Definizione di base. Un sistema di vettori costituisce una base se:

1) è linearmente indipendente,

2) qualsiasi vettore dello spazio che lo attraversa è espresso linearmente.

Esempio 1 Base spaziale: .

2. Nel sistema dei vettori i vettori sono la base: , perché espresso linearmente in termini di vettori.

Commento. Per trovare le basi di un dato sistema di vettori, devi:

1) scrivere le coordinate dei vettori nella matrice,

2) attraverso trasformazioni elementari portare la matrice a una forma triangolare,

3) saranno righe di matrice diverse da zero base del sistema,

4) il numero di vettori nella base è uguale al rango della matrice.

Teorema di Kronecker-Capelli

Il teorema di Kronecker-Capelli fornisce una risposta esauriente alla questione della coerenza sistema arbitrario equazioni lineari con sconosciuto

Teorema di Kronecker-Capelli. Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della matrice estesa del sistema è uguale al rango della matrice principale, .

L'algoritmo per trovare tutte le soluzioni di un sistema coerente di equazioni lineari segue dal teorema di Kronecker-Capelli e dai seguenti teoremi.

Teorema. Se il grado del sistema congiunto è uguale al numero sconosciuto, allora il sistema ha una soluzione unica.

Teorema. Se il grado del sistema congiunto inferiore al numero sconosciuto, allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Algoritmo per risolvere un sistema arbitrario di equazioni lineari:

1. Trova i ranghi delle matrici principali ed estese del sistema. Se non sono uguali (), il sistema è incoerente (non ha soluzioni). Se i ranghi sono uguali ( , il sistema è compatibile.

2. Per un sistema compatibile, troviamo qualche minore, il cui ordine determina il rango della matrice (tale minore è detto di base). Componiamo nuovo sistema dalle equazioni in cui i coefficienti delle incognite sono inclusi nella minore di base (queste incognite sono chiamate incognite principali), scartiamo il resto delle equazioni. Lasciamo le incognite principali con i coefficienti a sinistra e trasferiamo le incognite rimanenti (sono chiamate incognite libere) sul lato destro delle equazioni.

3. Troviamo le espressioni delle principali incognite nei termini di quelle libere. Otteniamo la soluzione generale del sistema.

4. Dando valori arbitrari alle incognite libere, otteniamo i valori corrispondenti delle incognite principali. Pertanto, troviamo soluzioni particolari al sistema di equazioni originale.

Programmazione lineare. Concetti basilari

Programmazione lineareè una direzione della programmazione matematica che studia metodi per la risoluzione di problemi estremi, caratterizzati da una relazione lineare tra variabili e un criterio lineare.

Condizione necessaria affermazione del problema della programmazione lineare sono le restrizioni sulla disponibilità delle risorse, l'entità della domanda, la capacità di produzione dell'impresa e altri fattori di produzione.

L'essenza della programmazione lineare è trovare i punti di maggiore o il valore più piccolo alcune funzionano con un certo insieme di restrizioni imposte agli argomenti e ai generatori sistema di restrizioni , che di solito ha un numero infinito di soluzioni. Ogni insieme di valori variabili (argomenti di funzione F ) che soddisfa il sistema di vincoli è chiamato piano accettabile problemi di programmazione lineare. Funzione F , il cui massimo o minimo è determinato, viene chiamato funzione obiettivo compiti. Piano ammissibile su cui si raggiunge il massimo o il minimo della funzione F , è chiamato piano ottimale compiti.

Il sistema di vincoli che definisce l'insieme dei piani è dettato dalle condizioni di produzione. Un problema di programmazione lineare ( ZLP ) è la scelta del più redditizio (ottimale) dall'insieme dei piani fattibili.

La formulazione generale del problema della programmazione lineare è la seguente:

Ci sono alcune variabili x \u003d (x 1, x 2, ... x n) e la funzione di queste variabili f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , che porta il nome bersaglio funzioni. Il compito è fissato: trovare l'estremo (massimo o minimo) della funzione obiettivo f(x) a condizione che le variabili X appartengono a qualche area G :

A seconda del tipo di funzione f(x) e aree G e distinguere tra sezioni di programmazione matematica: programmazione quadratica, programmazione convessa, programmazione intera, ecc. La programmazione lineare è caratterizzata dal fatto che
una funzione f(x) è un funzione lineare variabili x 1, x 2, ... x n
b) zona G determinato dal sistema lineare uguaglianze o disuguaglianze.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore
, dove λ 1 , ... , λ m sono coefficienti arbitrari.

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se esiste la sua combinazione lineare uguale a , che ha almeno un coefficiente diverso da zero.

Sistema vettoriale
è detto linearmente indipendente se in uno qualsiasi dei suoi combinazione lineare uguale a , tutti i coefficienti sono zero.

Le basi del sistema dei vettori
viene chiamato il suo sottosistema non vuoto linearmente indipendente, attraverso il quale può essere espresso qualsiasi vettore del sistema.

Esempio 2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ed esprimi i vettori rimanenti in termini di base.

Soluzione Costruiamo una matrice in cui disponiamo le coordinate di questi vettori in colonne. Lo portiamo a una forma a gradini.

~
~
~
.

La base di questo sistema è costituita dai vettori ,,, che corrispondono agli elementi principali delle righe contrassegnate da cerchi. Per un'espressione vettoriale risolvi l'equazione x 1 +x2 +x4 =. Si riduce a un sistema di equazioni lineari, la cui matrice si ottiene dall'originale permutando la colonna corrispondente , al posto della colonna dei membri liberi. Pertanto, per risolvere il sistema, utilizziamo la matrice risultante in una forma graduale, apportando in essa le necessarie permutazioni.

Troviamo successivamente:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Osservazione 1. Se è necessario esprimere più vettori attraverso la base, per ciascuno di essi viene costruito il corrispondente sistema di equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. Pertanto, per risolverli, è possibile compilare una matrice, in cui ci saranno diverse colonne di membri liberi. In questo caso, ogni sistema viene risolto indipendentemente dagli altri.

Osservazione 2. Per esprimere un qualsiasi vettore è sufficiente utilizzare solo i vettori base del sistema che lo precedono. In questo caso, non è necessario rimodellare la matrice, è sufficiente inserire una linea verticale nel posto giusto.

Esercizio 2. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi il resto dei vettori attraverso la base:

un) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

in) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistema decisionale fondamentale

Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero.

Il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari è alla base dell'insieme delle sue soluzioni.

Sia dato un sistema disomogeneo di equazioni lineari. Un sistema omogeneo associato a uno dato è un sistema ottenuto da uno dato sostituendo tutti i termini liberi con zeri.

Se un sistema disomogeneo è consistente e indefinito, allora la sua soluzione arbitraria ha la forma f н +  1 f о1 + ... +  k f о k , dove f н è una soluzione particolare sistema eterogeneo e f o1 , ... , f o k è il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato.

Esempio 3. Trova una soluzione particolare per il sistema disomogeneo dall'Esempio 1 e sistema fondamentale soluzioni del sistema omogeneo associato.

Soluzione Scriviamo la soluzione ottenuta nell'Esempio 1 in forma vettoriale ed espandiamo il vettore risultante in una somma sui parametri liberi che contiene e sui valori numerici fissi:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Otteniamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Commento. Il problema di trovare un sistema fondamentale di soluzioni per un sistema omogeneo è risolto in modo simile.

Esercizio 3.1 Trova il sistema fondamentale di soluzioni di un sistema omogeneo:

un)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

ESERCIZIO 3.2. Trova una soluzione particolare del sistema disomogeneo e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo associato:

un)

b)

Dipendenza lineare e indipendenza lineare vettori.
Base dei vettori. Sistema di coordinate affine

C'è un carrello con cioccolatini tra il pubblico e oggi ogni visitatore riceverà una dolce coppia: geometria analitica con algebra lineare. Questo articolo tratterà due sezioni contemporaneamente. matematica superiore e vedremo come vanno d'accordo in un involucro. Fai una pausa, mangia Twix! ... accidenti, beh, sostenendo sciocchezze. Anche se va bene, non segnerò, alla fine dovrebbe esserci un atteggiamento positivo nei confronti dello studio.

Dipendenza lineare dei vettori, indipendenza lineare dei vettori, base vettoriale e altri termini hanno non solo un'interpretazione geometrica, ma, soprattutto, un significato algebrico. Il concetto stesso di "vettore" dal punto di vista dell'algebra lineare è tutt'altro che il vettore "ordinario" che possiamo rappresentare su un piano o nello spazio. Non è necessario cercare lontano per la prova, prova a disegnare un vettore di spazio a cinque dimensioni . O il vettore meteorologico per cui sono appena andato a Gismeteo per: - temperatura e Pressione atmosferica rispettivamente. L'esempio, ovviamente, non è corretto dal punto di vista delle proprietà dello spazio vettoriale, ma, tuttavia, nessuno vieta di formalizzare questi parametri come vettore. Respiro d'autunno...

No, non ti annoierò con la teoria, gli spazi vettoriali lineari, il compito è farlo comprendere definizioni e teoremi. I nuovi termini (dipendenza lineare, indipendenza, combinazione lineare, base, ecc.) sono applicabili a tutti i vettori da un punto di vista algebrico, ma verranno forniti degli esempi geometricamente. Quindi, tutto è semplice, accessibile e visivo. Oltre ai problemi di geometria analitica, ne considereremo anche alcuni compiti tipici algebra. Per padroneggiare il materiale, è consigliabile familiarizzare con le lezioni Vettori per manichini e Come calcolare il determinante?

Dipendenza lineare e indipendenza di vettori piani.
Base piana e sistema di coordinate affine

Considera il piano della scrivania del tuo computer (solo un tavolo, comodino, pavimento, soffitto, qualunque cosa ti piaccia). L'attività consisterà nelle seguenti azioni:

1) Seleziona la base del piano. In parole povere, il piano del tavolo ha una lunghezza e una larghezza, quindi è intuitivamente chiaro che sono necessari due vettori per costruire la base. Un vettore chiaramente non è abbastanza, tre vettori sono troppi.

2) In base alla base scelta impostare il sistema di coordinate(griglia delle coordinate) per assegnare le coordinate a tutti gli elementi della tabella.

Non sorprenderti, all'inizio le spiegazioni saranno sulle dita. Inoltre, sul tuo. Si prega di posizionare dito indice della mano sinistra sul bordo del tavolo in modo che guardi il monitor. Questo sarà un vettore. Ora posto mignolo della mano destra allo stesso modo sul bordo del tavolo, in modo che sia diretto verso lo schermo del monitor. Questo sarà un vettore. Sorridi, stai benissimo! Cosa si può dire dei vettori? Vettori di dati collineare, che significa linearmente espresso l'uno attraverso l'altro:
, bene, o viceversa: , dove è un numero diverso da zero.

Puoi vedere un'immagine di questa azione nella lezione. Vettori per manichini, dove ho spiegato la regola per moltiplicare un vettore per un numero.

Le tue dita stabiliranno la base sul piano del tavolo del computer? Ovviamente no. I vettori collineari viaggiano avanti e indietro solo direzione, mentre un piano ha una lunghezza e una larghezza.

Tali vettori sono chiamati linearmente dipendente.

Riferimento: Le parole "lineare", "lineare" denotano il fatto che non ci sono quadrati, cubi, altre potenze, logaritmi, seni, ecc. nelle equazioni matematiche, nelle espressioni. Esistono solo espressioni e dipendenze lineari (di 1° grado).

Due vettori piani linearmente dipendente se e solo se sono collineari.

Incrocia le dita sul tavolo in modo che ci sia qualsiasi angolo tra di loro tranne 0 o 180 gradi. Due vettori pianilinearmente non sono dipendenti se e solo se non sono collineari. Quindi, la base è ricevuta. Non c'è bisogno di essere imbarazzati dal fatto che la base si sia rivelata "obliqua" con vettori non perpendicolari di varie lunghezze. Molto presto vedremo che non solo un angolo di 90 gradi è adatto alla sua costruzione, e non solo vettori unitari di uguale lunghezza

Qualsiasi vettore aereo l'unico modo ampliato in termini di base:
, dove sono i numeri reali. I numeri sono chiamati coordinate vettoriali in questa base.

Lo dicono anche vettorepresentato nel modulo combinazione lineare vettori di base. Cioè, l'espressione è chiamata decomposizione vettorialebase o combinazione lineare vettori di base.

Ad esempio, si può dire che un vettore è espanso in una base ortonormale del piano, oppure si può dire che è rappresentato come una combinazione lineare di vettori.

Formuliamo definizione di base formalmente: base pianaè una coppia di vettori linearmente indipendenti (non collineari), , in cui qualunque il vettore piano è una combinazione lineare dei vettori di base.

Il punto essenziale della definizione è il fatto che si prendono i vettori in un certo ordine. basi Sono due basi completamente diverse! Come si suol dire, il mignolo della mano sinistra non può essere spostato al posto del mignolo della mano destra.

Abbiamo scoperto le basi, ma non è sufficiente impostare la griglia delle coordinate e assegnare le coordinate a ciascun elemento sulla scrivania del computer. Perché non abbastanza? I vettori sono liberi e vagano sull'intero piano. Quindi, come si assegnano le coordinate a quei puntini sporchi del tavolo rimasti da un weekend selvaggio? Serve un punto di partenza. E un tale punto di riferimento è un punto familiare a tutti: l'origine delle coordinate. Comprensione del sistema di coordinate:

Inizierò con il sistema "scuola". Già nella lezione introduttiva Vettori per manichini Ho evidenziato alcune delle differenze tra un sistema di coordinate rettangolare e una base ortonormale. Ecco l'immagine standard:

Quando si parla di sistema di coordinate rettangolari, quindi il più delle volte significano l'origine delle coordinate, assi coordinati e scala lungo gli assi. Prova a digitare "sistema di coordinate rettangolare" nel motore di ricerca e vedrai che molte fonti ti parleranno degli assi delle coordinate familiari dal 5° al 6° grado e come tracciare i punti su un piano.

D'altra parte, si ha l'impressione che un sistema di coordinate rettangolare possa essere ben definito in termini di una base ortonormale. E lo è quasi. La dicitura recita così:

origine, e Ortonormale set di base Sistema di coordinate cartesiane del piano . Cioè, un sistema di coordinate rettangolare decisamenteè definito da un unico punto e due vettori ortogonali unitari. Ecco perché vedi il disegno che ho dato sopra: nei problemi geometrici, sia i vettori che gli assi delle coordinate sono spesso (ma tutt'altro che sempre) disegnati.

Penso che tutti lo capiscano con l'aiuto di un punto (origine) e di una base ortonormale QUALSIASI PUNTO dell'aereo e QUALSIASI VETTORE dell'aereoè possibile assegnare le coordinate. In senso figurato, "tutto sull'aereo può essere numerato".

I vettori di coordinate devono essere unità? No, possono avere una lunghezza arbitraria diversa da zero. Considera un punto e due vettori ortogonali lunghezza arbitraria diversa da zero:

Tale base è chiamata ortogonale. L'origine delle coordinate con i vettori definisce la griglia delle coordinate e qualsiasi punto del piano, qualsiasi vettore ha le proprie coordinate nella base data. Ad esempio, o. L'ovvio inconveniente è che i vettori di coordinate in generale hanno lunghezze diverse dall'unità. Se le lunghezze sono uguali a uno, si ottiene la solita base ortonormale.

! Nota : nella base ortogonale, e anche sotto in basi affini si considerano le unità piane e spaziali lungo gli assi CONDIZIONALE. Ad esempio, un'unità lungo l'ascissa contiene 4 cm, un'unità lungo l'ordinata contiene 2 cm Queste informazioni sono sufficienti per convertire le coordinate "non standard" in "nostri centimetri abituali", se necessario.

E la seconda domanda, a cui in realtà è già stata data una risposta: l'angolo tra i vettori di base è necessariamente uguale a 90 gradi? Non! Come dice la definizione, i vettori di base devono essere solo non lineare. Di conseguenza, l'angolo può essere qualsiasi cosa tranne 0 e 180 gradi.

Un punto sul piano chiamato origine, e non collinare vettori, , impostare sistema di coordinate affine del piano :

A volte viene chiamato questo sistema di coordinate obliquo sistema. Punti e vettori sono mostrati come esempi nel disegno:

Come capisci, il sistema di coordinate affine è ancora meno conveniente, le formule per le lunghezze di vettori e segmenti, che abbiamo considerato nella seconda parte della lezione, non funzionano in esso. Vettori per manichini, tante deliziose formule legate a prodotto scalare dei vettori. Ma valgono le regole per sommare vettori e moltiplicare un vettore per un numero, le formule per dividere un segmento a questo riguardo, così come alcuni altri tipi di problemi che prenderemo presto in considerazione.

E la conclusione è che il caso speciale più conveniente sistema affine coordinate è un sistema rettangolare cartesiano. Pertanto, lei, la sua, molto spesso deve essere vista. ... Tuttavia, tutto in questa vita è relativo: ci sono molte situazioni in cui è appropriato avere un obliquo (o qualche altro, ad esempio, polare) sistema di coordinate. Sì, e gli umanoidi tali sistemi possono venire al gusto =)

Passiamo alla parte pratica. Tutti i problemi di questa lezione sono validi sia per un sistema di coordinate rettangolare che per il caso affine generale. Non c'è niente di complicato qui, tutto il materiale è disponibile anche per uno scolaro.

Come determinare la collinearità dei vettori piani?

Cosa tipica. In ordine per due vettori piani sono collineari, è necessario e sufficiente che le rispettive coordinate siano proporzionali.Essenzialmente, questo è un perfezionamento coordinata per coordinata della relazione ovvia.

Esempio 1

a) Verificare se i vettori sono collineari .
b) I vettori costituiscono una base? ?

Decisione:
a) Scopri se esiste per i vettori coefficiente di proporzionalità, tale da soddisfare le uguaglianze:

Ti parlerò sicuramente della versione "foppista" dell'applicazione di questa regola, che nella pratica funziona abbastanza bene. L'idea è di elaborare immediatamente una proporzione e vedere se è corretta:

Facciamo una proporzione dai rapporti delle coordinate corrispondenti dei vettori:

Accorciamo:
, quindi le coordinate corrispondenti sono proporzionali, quindi,

La relazione potrebbe essere fatta e viceversa, questa è un'opzione equivalente:

Per l'autotest, si può usare il fatto che i vettori collineari sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. In questo caso, ci sono uguaglianze . La loro correttezza può essere facilmente verificata attraverso azioni elementari con vettori:

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Esaminiamo i vettori per la collinearità . Creiamo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , dalla seconda equazione segue che , il che significa, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, le coordinate corrispondenti dei vettori non sono proporzionali.

Conclusione: i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Una versione semplificata della soluzione si presenta così:

Componi la proporzione dalle coordinate corrispondenti dei vettori :
, quindi, questi vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Di solito i revisori non rifiutano questa opzione, ma sorge un problema nei casi in cui alcune coordinate sono uguali a zero. Come questo: . O così: . O così: . Come lavorare con la proporzione qui? (Davvero, non puoi dividere per zero). È per questo motivo che ho chiamato la soluzione semplificata "foppish".

Risposta: a) , b) modulo.

Un piccolo esempio creativo per una soluzione indipendente:

Esempio 2

A quale valore dei vettori dei parametri sarà collineare?

Nella soluzione campione, il parametro si trova attraverso la proporzione.

C'è un modo algebrico elegante per verificare la collinearità dei vettori. Sistemiamo la nostra conoscenza e aggiungiamola come quinto punto:

Per due vettori piani, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

2) i vettori costituiscono una base;
3) i vettori non sono collineari;

+ 5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Rispettivamente, le seguenti affermazioni opposte sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente dipendenti;
2) i vettori non costituiscono una base;
3) i vettori sono collineari;
4) i vettori possono essere espressi linearmente tra loro;
+ 5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è uguale a zero.

Spero davvero, davvero che al momento tu abbia già compreso tutti i termini e le affermazioni che ti sono imbattuti.

Diamo un'occhiata più da vicino al nuovo, quinto punto: due vettori piani sono collineari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:. Per utilizzare questa funzione, ovviamente, devi essere in grado di farlo trovare determinanti.

Decideremo Esempio 1 nel secondo modo:

a) Calcolare il determinante, composto dalle coordinate dei vettori :
, quindi questi vettori sono collineari.

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Calcoliamo il determinante composto dalle coordinate dei vettori :
, quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Risposta: a) , b) modulo.

Sembra molto più compatto e più carino della soluzione con proporzioni.

Con l'aiuto del materiale considerato, è possibile stabilire non solo la collinearità dei vettori, ma anche dimostrare il parallelismo di segmenti, linee rette. Considera un paio di problemi con forme geometriche specifiche.

Esempio 3

Si danno i vertici di un quadrilatero. Dimostra che il quadrilatero è un parallelogramma.

Prova: Non è necessario creare un disegno nel problema, poiché la soluzione sarà puramente analitica. Ricorda la definizione di parallelogramma:
Parallelogramma Si dice quadrilatero, in cui i lati opposti sono paralleli a coppie.

Pertanto, è necessario dimostrare:
1) parallelismo di lati opposti e;
2) parallelismo di lati opposti e .

Dimostriamo:

1) Trova i vettori:

2) Trova i vettori:

Il risultato è lo stesso vettore ("secondo scuola" - vettori uguali). La collinearità è abbastanza ovvia, ma è meglio prendere la decisione in modo corretto, con l'accordo. Calcola il determinante, composto dalle coordinate dei vettori:
, quindi questi vettori sono collineari e .

Conclusione: I lati opposti di un quadrilatero sono paralleli a coppie, quindi è un parallelogramma per definizione. QED.

Figure più buone e diverse:

Esempio 4

Si danno i vertici di un quadrilatero. Dimostra che il quadrilatero è un trapezio.

Per una formulazione più rigorosa della dimostrazione, è meglio, ovviamente, avere la definizione di un trapezio, ma basta ricordare che aspetto ha.

Questo è un compito per una decisione indipendente. Soluzione completa alla fine della lezione.

E ora è il momento di passare lentamente dall'aereo allo spazio:

Come determinare la collinearità dei vettori spaziali?

La regola è molto simile. Affinché due vettori spaziali siano collineari, è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali a.

Esempio 5

Scopri se i seguenti vettori spaziali sono collineari:

un) ;
b)
in)

Decisione:
a) Verificare se esiste un coefficiente di proporzionalità per le corrispondenti coordinate dei vettori:

Il sistema non ha soluzione, il che significa che i vettori non sono collineari.

"Semplificato" si ottiene controllando la proporzione. In questo caso:
– le coordinate corrispondenti non sono proporzionali, il che significa che i vettori non sono collineari.

Risposta: i vettori non sono collineari.

b-c) Questi sono punti per una decisione indipendente. Provalo in due modi.

Esiste un metodo per verificare la collinearità dei vettori spaziali e attraverso un determinante del terzo ordine, Da questa parte trattato nell'articolo Prodotto incrociato di vettori.

Analogamente al caso piano, gli strumenti considerati possono essere utilizzati per studiare il parallelismo di segmenti e linee spaziali.

Benvenuti nella seconda sezione:

Dipendenza lineare e indipendenza di vettori spaziali tridimensionali.
Base spaziale e sistema di coordinate affine

Molte delle regolarità che abbiamo considerato sull'aereo saranno valide anche per lo spazio. Ho cercato di minimizzare il riassunto della teoria, dal momento che la parte del leone delle informazioni è già stata masticata. Tuttavia, ti consiglio di leggere attentamente la parte introduttiva, poiché appariranno nuovi termini e concetti.

Ora, invece del piano del tavolo del computer, esaminiamo lo spazio tridimensionale. Per prima cosa, creiamo le sue basi. Qualcuno ora è al chiuso, qualcuno è all'aperto, ma in ogni caso non possiamo allontanarci da tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza. Pertanto, per costruire una base, tre vettore spaziale. Uno o due vettori non bastano, il quarto è superfluo.

E di nuovo ci scaldiamo sulle dita. Si prega di alzare la mano e stenderla in diverse direzioni pollice, indice e medio. Questi saranno vettori, guarderanno in direzioni diverse, avranno lunghezze diverse e angoli diversi tra loro. Congratulazioni, la base dello spazio tridimensionale è pronta! A proposito, non hai bisogno di dimostrarlo agli insegnanti, non importa come giri le dita, ma non puoi sfuggire alle definizioni =)

Successivamente, poniamo una domanda importante, se tre vettori qualsiasi formano una base di uno spazio tridimensionale? Si prega di premere con decisione tre dita sul piano del tavolo del computer. Cosa è successo? Tre vettori si trovano sullo stesso piano e, grosso modo, abbiamo perso una delle misurazioni: l'altezza. Tali vettori sono Complanare e, ovviamente, che la base dello spazio tridimensionale non è stata creata.

Va notato che i vettori complanari non devono giacere sullo stesso piano, possono trovarsi dentro piani paralleli(basta non farlo con le dita, solo Salvador Dalì è uscito così =)).

Definizione: vengono chiamati i vettori Complanare se esiste un piano a cui sono paralleli. Qui è logico aggiungere che se un tale piano non esiste, i vettori non saranno complanari.

Tre vettori complanari sono sempre linearmente dipendenti, cioè si esprimono linearmente l'uno nell'altro. Per semplicità, immagina ancora una volta che giacciono sullo stesso piano. In primo luogo, i vettori non sono solo complanari, ma possono anche essere collineari, quindi qualsiasi vettore può essere espresso attraverso qualsiasi vettore. Nel secondo caso, se ad esempio i vettori non sono collineari, allora il terzo vettore si esprime attraverso di essi in modo univoco: (e perché è facile intuire dai materiali della sezione precedente).

Vale anche il contrario: tre vettori non complanari sono sempre linearmente indipendenti, cioè non si esprimono in alcun modo l'uno nell'altro. E, ovviamente, solo tali vettori possono costituire la base di uno spazio tridimensionale.

Definizione: Le basi dello spazio tridimensionaleè chiamato una tripla di vettori linearmente indipendenti (non complanari), preso in un certo ordine, mentre qualsiasi vettore dello spazio l'unico modo si espande nella base data, dove sono le coordinate del vettore nella base data

Come promemoria, puoi anche dire che un vettore è rappresentato come combinazione lineare vettori di base.

Il concetto di sistema di coordinate viene introdotto esattamente nello stesso modo di custodia piatta, un punto e tre lineari qualsiasi vettori indipendenti:

origine, e non complanare vettori, preso in un certo ordine, impostare sistema di coordinate affine dello spazio tridimensionale :

Naturalmente, la griglia di coordinate è "obliqua" e scomoda, ma, tuttavia, il sistema di coordinate costruito ce lo consente decisamente determinare le coordinate di qualsiasi vettore e le coordinate di qualsiasi punto nello spazio. Simile al piano, alcune formule che ho già menzionato non funzioneranno nel sistema di coordinate affine dello spazio.

Il caso speciale più familiare e conveniente di un sistema di coordinate affine, come tutti possono immaginare, è sistema di coordinate spaziali rettangolari:

punto nello spazio chiamato origine, e Ortonormale set di base Sistema di coordinate cartesiane dello spazio . immagine familiare:

Prima di procedere alle attività pratiche, sistemiamo nuovamente le informazioni:

Per tre vettori spaziali, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente indipendenti;
2) i vettori costituiscono una base;
3) i vettori non sono complanari;
4) i vettori non possono essere espressi linearmente tra loro;
5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Affermazioni opposte, credo, siano comprensibili.

La dipendenza/indipendenza lineare dei vettori spaziali viene tradizionalmente verificata utilizzando il determinante (elemento 5). I restanti compiti pratici saranno di spiccata natura algebrica. È ora di appendere un bastoncino geometrico a un chiodo e impugnare una mazza da baseball di algebra lineare:

Tre vettori spaziali sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero: .

Attiro la tua attenzione su una piccola sfumatura tecnica: le coordinate dei vettori possono essere scritte non solo in colonne, ma anche in righe (il valore del determinante non cambierà da questo - vedi le proprietà dei determinanti). Ma è molto meglio nelle colonne, poiché è più vantaggioso per risolvere alcuni problemi pratici.

Per quei lettori che hanno un po' dimenticato i metodi per calcolare i determinanti, o magari sono per niente orientati, consiglio una delle mie lezioni più antiche: Come calcolare il determinante?

Esempio 6

Controlla se i seguenti vettori formano una base di uno spazio tridimensionale:

Decisione: In effetti, l'intera soluzione si riduce al calcolo del determinante.

a) Calcolare il determinante, composto dalle coordinate dei vettori (il determinante è espanso sulla prima riga):

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti (non complanari) e costituiscono la base di uno spazio tridimensionale.

Risposta: questi vettori costituiscono la base

b) Questo è un punto per una decisione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Ci sono anche compiti creativi:

Esempio 7

A quale valore del parametro i vettori saranno complanari?

Decisione: I vettori sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:

In sostanza, è necessario risolvere un'equazione con un determinante. Voliamo negli zeri come gli aquiloni nei jerboa: è più redditizio aprire il determinante nella seconda riga e sbarazzarci immediatamente degli svantaggi:

Eseguiamo ulteriori semplificazioni e riduciamo la questione alla più semplice equazione lineare:

Risposta: A

È facile controllare qui, per questo è necessario sostituire il valore risultante nel determinante originale e assicurarsi che riaprendolo.

In conclusione, consideriamo un altro problema tipico, più di natura algebrica e tradizionalmente compreso nel corso dell'algebra lineare. È così comune che merita un argomento a parte:

Dimostra che 3 vettori formano una base di uno spazio tridimensionale
e trova le coordinate del 4° vettore nella base data

Esempio 8

I vettori sono dati. Mostra che i vettori formano una base dello spazio tridimensionale e trova le coordinate del vettore in questa base.

Decisione: Affrontiamo prima la condizione. Per condizione, vengono forniti quattro vettori e, come puoi vedere, hanno già coordinate in qualche modo. Qual è la base: non siamo interessati. E la cosa seguente è interessante: tre vettori possono benissimo formare una nuova base. E il primo passo è esattamente lo stesso della soluzione dell'Esempio 6, è necessario verificare se i vettori sono davvero linearmente indipendenti:

Calcola il determinante, composto dalle coordinate dei vettori:

, quindi i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base di uno spazio tridimensionale.

! Importante : coordinate vettoriali necessariamente annotare in colonne determinante, non stringhe. Altrimenti, ci sarà confusione nell'ulteriore algoritmo di soluzione.

In geometria, un vettore è inteso come un segmento diretto e i vettori ottenuti l'uno dall'altro trasferimento parallelo, sono considerati uguali. Tutti i vettori uguali sono trattati come lo stesso vettore. L'inizio del vettore può essere posizionato in qualsiasi punto dello spazio o del piano.

Se le coordinate degli estremi del vettore sono date nello spazio: UN(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), quindi

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Una formula simile vale nel piano. Ciò significa che un vettore può essere scritto come una stringa di coordinate. Le operazioni sui vettori, - addizione e moltiplicazione per un numero, sulle stringhe vengono eseguite componente per componente. Ciò rende possibile espandere il concetto di vettore, intendendo un vettore come una qualsiasi stringa di numeri. Ad esempio, la soluzione di un sistema di equazioni lineari, nonché qualsiasi insieme di valori variabili di sistema, può essere visto come un vettore.

Su stringhe della stessa lunghezza, l'operazione di addizione viene eseguita secondo la regola

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

La moltiplicazione di una stringa per un numero viene eseguita secondo la regola

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Insieme di vettori di riga di data lunghezza n con le indicate operazioni di addizione vettoriale e moltiplicazione per un numero forma una struttura algebrica chiamata spazio lineare n-dimensionale.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore , dove λ 1 , ... , λ m sono coefficienti arbitrari.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se esiste la sua combinazione lineare uguale a , che ha almeno un coefficiente diverso da zero.

Un sistema di vettori si dice linearmente indipendente se in una qualsiasi delle sue combinazioni lineari uguali a , tutti i coefficienti sono zero.

Pertanto, la soluzione della questione della dipendenza lineare del sistema di vettori si riduce alla soluzione dell'equazione

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Se questa equazione ha soluzioni diverse da zero, il sistema di vettori è linearmente dipendente. Se la soluzione zero è unica, allora il sistema dei vettori è linearmente indipendente.

Per risolvere il sistema (4), per chiarezza, i vettori possono essere scritti non sotto forma di righe, ma sotto forma di colonne.

Quindi, dopo aver eseguito le trasformazioni sul lato sinistro, arriviamo a un sistema di equazioni lineari equivalenti all'equazione (4). La matrice principale di questo sistema è formata dalle coordinate dei vettori originali disposti in colonne. La colonna dei membri liberi qui non è necessaria, poiché il sistema è omogeneo.

Base sistema di vettori (finiti o infiniti, in particolare tutti spazio lineare) è il suo sottosistema linearmente indipendente non vuoto, attraverso il quale può essere espresso qualsiasi vettore del sistema.

Esempio 1.5.2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ed esprimere altri vettori attraverso la base.

Decisione. Costruiamo una matrice in cui le coordinate di questi vettori sono disposte in colonne. Questa è la matrice del sistema X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Portiamo la matrice in una forma a gradini:

~ ~ ~

La base di questo sistema di vettori è costituita dai vettori , , , che corrispondono agli elementi principali delle righe contrassegnate da cerchi. Per esprimere il vettore, risolviamo l'equazione X 1 + X 2 + X 4 = . Si riduce a un sistema di equazioni lineari, la cui matrice si ottiene dall'originale riordinando la colonna corrispondente a , al posto della colonna dei termini liberi. Pertanto, quando si riduce a una forma a gradini, sulla matrice verranno eseguite le stesse trasformazioni di cui sopra. Ciò significa che possiamo utilizzare la matrice risultante in una forma a gradini apportando le necessarie permutazioni delle colonne al suo interno: le colonne con i cerchi sono poste a sinistra della barra verticale e la colonna corrispondente al vettore è posizionata a destra del bar.

Troviamo successivamente:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Commento. Se è necessario esprimere più vettori attraverso la base, per ciascuno di essi viene costruito il corrispondente sistema di equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. In questo caso, ogni sistema viene risolto indipendentemente dagli altri.

ESERCIZIO 1.4. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi il resto dei vettori in termini di base:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

In un dato sistema di vettori, una base può essere generalmente distinta in modi diversi, ma tutte le basi avranno lo stesso numero di vettori. Il numero di vettori nella base di uno spazio lineare è chiamato dimensione dello spazio. Per n-spazio lineare dimensionale nè la dimensione dello spazio, poiché questo spazio ha una base standard = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Attraverso questa base, qualsiasi vettore = (a 1 , a 2 , … , a n) è espresso come segue:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Pertanto, le componenti nella riga del vettore = (a 1 , a 2 , … , a n) sono i suoi coefficienti nell'espansione in termini di base standard.

Rette su un piano

Il problema della geometria analitica - applicazione a problemi geometrici metodo delle coordinate. Questo traduce il compito in forma algebrica e si risolve con l'algebra.

Trova la base del sistema di vettori e vettori che non sono inclusi nella base, espandi sulla base:

un 1 = {5, 2, -3, 1}, un 2 = {4, 1, -2, 3}, un 3 = {1, 1, -1, -2}, un 4 = {3, 4, -1, 2}, un 5 = {13, 8, -7, 4}.

Decisione. Tenere conto sistema omogeneo equazioni lineari

un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 + un 4 X 4 + un 5 X 5 = 0

o ampliato.

Risolveremo questo sistema usando il metodo gaussiano, senza scambiare righe e colonne e, inoltre, scegliendo elemento principale non nell'angolo in alto a sinistra, ma su tutta la linea. Il compito è quello di selezionare la parte diagonale del sistema di vettori trasformato.

~ ~

~ ~ ~ .

Il sistema di vettori consentito, che è equivalente a quello originario, ha la forma

un 1 1 X 1 + un 2 1 X 2 + un 3 1 X 3 + un 4 1 X 4 + un 5 1 X 5 = 0 ,

dove un 1 1 = , un 2 1 = , un 3 1 = , un 4 1 = , un 5 1 = . (1)

vettori un 1 1 , un 3 1 , un 4 1 formano un sistema diagonale. Quindi i vettori un 1 , un 3 , un 4 costituiscono la base del sistema di vettori un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 .

Ora espandiamo i vettori un 2 e un 5 in base un 1 , un 3 , un 4. Per fare ciò, espandiamo prima i vettori corrispondenti un 2 1 e un 5 1 sistema diagonale un 1 1 , un 3 1 , un 4 1, tenendo presente che i coefficienti dell'espansione del vettore nel sistema diagonale sono le sue coordinate x io.

Da (1) abbiamo:

un 2 1 = un 3 1 (-1) + un 4 1 0 + un 1 1 1 un 2 1 = un 1 1 – un 3 1 .

un 5 1 = un 3 1 0 + un 4 1 1+ un 1 1 2 un 5 1 = 2un 1 1 + un 4 1 .

vettori un 2 e un 5 espandere in base un 1 , un 3 , un 4 con gli stessi coefficienti dei vettori un 2 1 e un 5 1 sistema diagonale un 1 1 , un 3 1 , un 4 1 (quei coefficienti x io). Quindi,

un 2 = un 1 – un 3 , un 5 = 2un 1 + un 4 .

Compiti. uno.Trova la base del sistema di vettori e i vettori che non sono inclusi nella base, espandi in base alla base:

1. un 1 = { 1, 2, 1 }, un 2 = { 2, 1, 3 }, un 3 = { 1, 5, 0 }, un 4 = { 2, -2, 4 }.

2. un 1 = { 1, 1, 2 }, un 2 = { 0, 1, 2 }, un 3 = { 2, 1, -4 }, un 4 = { 1, 1, 0 }.

3. un 1 = { 1, -2, 3 }, un 2 = { 0, 1, -1 }, un 3 = { 1, 3, 0 }, un 4 = { 0, -7, 3 }, un 5 = { 1, 1, 1 }.

4. un 1 = { 1, 2, -2 }, un 2 = { 0, -1, 4 }, un 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Trova tutte le basi di un sistema di vettori:

1. un 1 = { 1, 1, 2 }, un 2 = { 3, 1, 2 }, un 3 = { 1, 2, 1 }, un 4 = { 2, 1, 2 }.

2. un 1 = { 1, 1, 1 }, un 2 = { -3, -5, 5 }, un 3 = { 3, 4, -1 }, un 4 = { 1, -1, 4 }.