La somma dei quadrati dei coseni di direzione è uguale a uno.

Se sono noti i coseni di direzione del vettore, le sue coordinate possono essere trovate dalle formule: formule simili si verificano anche nel caso tridimensionale - se sono noti i coseni di direzione del vettore, le sue coordinate possono essere trovate dal formule:

9 Dipendenza lineare e indipendenza lineare vettori. Base sul piano e nello spazio

Viene chiamato l'insieme dei vettori sistema vettoriale.

linearmente dipendente, se ci sono numeri , non tutti uguali a zero allo stesso tempo, tale che

Viene chiamato il sistema dei vettori linearmente indipendente, se l'uguaglianza è possibile solo per , cioè quando combinazione lineare sul lato sinistro l'uguaglianza è banale.

1. Un vettore forma anche un sistema: at - linearmente dipendente e at - linearmente indipendente.

2. Viene chiamata qualsiasi parte del sistema di vettori sottosistema.

1. Se il sistema di vettori include un vettore zero, allora è linearmente dipendente

2. Se un sistema di vettori ha due vettori uguali, allora è linearmente dipendente.

3. Se un sistema di vettori ha due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

4. Un sistema di vettori è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei vettori è una combinazione lineare degli altri.

5. Tutti i vettori inclusi in un sistema linearmente indipendente formano un sottosistema linearmente indipendente.

6. Un sistema di vettori contenente un sottosistema linearmente dipendente è linearmente dipendente.

7. Se il sistema di vettori è linearmente indipendente e dopo aver aggiunto un vettore risulta essere linearmente dipendente, il vettore può essere espanso in vettori e, inoltre, l'unico modo, cioè. i coefficienti di espansione si trovano in modo univoco.

Base sul piano e nello spazio è chiamato il massimo sistema linearmente indipendente di vettori sul piano o nello spazio (l'aggiunta di un altro vettore al sistema lo rende linearmente dipendente).

Pertanto, una base nel piano è costituita da due vettori non collinari qualsiasi presi in un certo ordine e una base nello spazio sono tre vettori non complanari qualsiasi presi in un certo ordine.

Sia una base nello spazio, quindi, secondo T. 3, qualsiasi vettore spaziale è scomposto in modo univoco in termini di vettori di base: . I coefficienti di dilatazione sono detti coordinate del vettore nella base

Scrivere operazioni lineari su vettori in termini di coordinate:

a) addizione e sottrazione: - base

b) moltiplicazione per il numero R:

Le formule derivano dalla proprietà delle operazioni lineari.

10 Coordinate vettoriali relative alla base. Horts

Base nello spazio dei vettori liberi V3 viene chiamata qualsiasi tripla ordinata di vettori non complanari.

Lascia stare IN :un 1,un 2,un 3è una base fissa in V3.

Coordinate vettore B rispetto alla base IN è chiamata tripla ordinata di numeri ( x, y, z), incl. B=X· un 1 +yun 2+zun 3.

Designazione:b={x, y, z} B Nota: le coordinate di un vettore fisso sono le coordinate del vettore libero corrispondente.

Teorema1: La corrispondenza tra V 3 e R 3 per una base fissa è uno a uno, cioè B V3 ! {x, y, z) R 3 e ( x, y, z) R 3 ! B V3, Compreso b={x, y, z} B

Corrispondenza tra un vettore e le sue coordinate in questa base ha le seguenti proprietà:

1. Lascia stare b 1 ={x1, y1, z1} B , b2 ={x2, y2, z2} B b1 + b2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Lascia stare b={x, y, z} B , λR λ· b={ λ· X, λ· si, λ· z} B

3. Lascia b 1 || b 2 , b 1 = {x1, y1, z1} B , b2 ={x2, y2, z2} B
(Qui: qualsiasi numero).

Vettore unitario, diretto lungo l'asse X, è indicato io, vettore unitario, diretto lungo l'asse Y, è indicato J, ma vettore unitario, diretto lungo l'asse Z, è indicato K. vettori io, J, K chiamata orti– hanno moduli singoli, cioè
io = 1, j = 1, k = 1

11 prodotto scalare vettori. Angolo tra vettori. Condizione di ortogonalità dei vettori

Questo numero è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angolo tra di loro.

Prodotto scalare di vettori in termini di coordinate

Prodotto scalare di vettori X, Y, Z e :

dove è l'angolo tra i vettori e ; se uno dei due, allora

Dalla definizione del prodotto scalare deriva che dove, ad esempio, è il valore della proiezione del vettore sulla direzione del vettore.

Quadrato scalare di un vettore:

Proprietà del prodotto a punti:

Angolo tra vettori

Condizioni per l'ortogonalità dei vettori.

Due vettore a e b ortogonale (perpendicolare), se il loro prodotto scalare è uguale a zero a b= 0

Quindi nel caso problema aereo vettore

a= (a x ;a y )e b= (b x ;b y )

sono ortogonali se a b= a x b x + a y b y = 0

12 prodotto vettoriale vettori, le sue proprietà. La condizione dei vettori collineari

Il prodotto incrociato di un vettore per un vettore è un vettore indicato dal simbolo e definito dalle seguenti tre condizioni:

uno). Il modulo del vettore è , dove è l'angolo tra i vettori e ;

2). Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e ;

3). La direzione del vettore corrisponde alla "regola della mano destra". Ciò significa che se i vettori , e vengono portati a un inizio comune, il vettore dovrebbe essere diretto nello stesso modo in cui è diretto il dito medio della mano destra, il cui pollice è diretto lungo il primo fattore (cioè, lungo il vettore) e l'indice lungo il secondo (cioè lungo il vettore). Il prodotto vettoriale dipende dall'ordine dei fattori, ovvero: .

Il modulo del prodotto incrociato è uguale all'area S del parallelogramma costruito sui vettori e : .

Il prodotto vettoriale stesso può essere espresso dalla formula,

dov'è il prodotto vettore vettoriale.

Il prodotto vettoriale svanisce se e solo se i vettori e sono collineari. In particolare, .

Se il sistema di assi di coordinate è corretto e i vettori e sono dati in questo sistema dalle loro coordinate:

quindi il prodotto incrociato di un vettore per un vettore è determinato dalla formula

Un vettore è collineare a un vettore diverso da zero se e solo se le coordinate

i vettori sono proporzionali alle corrispondenti coordinate del vettore, cioè

Le operazioni lineari sui vettori date dalle loro coordinate nello spazio vengono eseguite in modo simile.

13 prodotto misto di vettori. Le sue proprietà. Condizione di complanarità per i vettori

Prodotto misto di tre vettori, , è un numero uguale al prodotto scalare di un vettore per un vettore :

Proprietà miste del prodotto:

3° Tre vettori sono complanari se e solo se

4° Una terna di vettori è giusta se e solo se . Se , allora i vettori e formano una tripletta sinistra di vettori.

10° Identità Jacobi:

Se i vettori , e sono dati dalle loro coordinate, il loro prodotto misto viene calcolato dalla formula

Si chiamano vettori paralleli allo stesso piano o che giacciono sullo stesso piano vettori complanari.

Condizioni di complanarità per vettori

Tre i vettori sono complanari se il loro prodotto misto è zero.

Tre i vettori sono complanari se sono linearmente dipendenti.

15 vari tipi di equazioni di una retta e di un piano

Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

e le costanti A, B non sono uguali a zero allo stesso tempo. Questa equazione del primo ordine è chiamata l'equazione generale di una retta. A seconda dei valori costante A, B e C, sono possibili i seguenti casi speciali:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - la linea passa per l'origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Ox

L'equazione di una retta può essere presentata in varie forme a seconda di una data condizione iniziale.

def. 1.5.6. Coseni di direzione vettore ma chiamiamo i coseni di quegli angoli che questo vettore forma con i vettori di base, rispettivamente, io , J , K .

Coseni di direzione vettoriale ma = (X, a, z) si trovano dalle formule:

La somma dei quadrati dei coseni di direzione è uguale a uno:

Coseni di direzione vettoriale un sono le coordinate della sua orth: .

Passiamo ai vettori di base io , J , K tratto da un punto comune DI. Assumiamo che gli ort impostino le direzioni positive degli assi Oh, UO, Oz. raccolta punti DI (origine) e una base ortonormale io , J , K chiamata Sistema di coordinate rettangolari cartesiane nello spazio. Lascia stare MAè un punto arbitrario nello spazio. Vettore ma = OA= X io + y J + z K chiamata raggio vettore punti MA, le coordinate di questo vettore ( X, y, z) sono anche dette coordinate del punto MA(simbolo: MA(X, y, z)). Coordinare gli assi Oh, UO, Oz chiamato anche, rispettivamente, asse ascissa, asse ordinato, asse applicato.

Se il vettore è dato dalle coordinate del suo punto di partenza IN 1 (X 1 , y 1 , z 1) e punto finale IN 2 (X 2 , y 2 , z 2), allora le coordinate del vettore sono uguali alla differenza tra le coordinate della fine e dell'inizio: (poiché ).

Sistemi di coordinate cartesiane rettangolari sul piano e sulla retta sono definiti esattamente allo stesso modo con corrispondenti modifiche quantitative (a seconda della dimensione).

Soluzione di compiti tipici.

Esempio 1 Trova la lunghezza e la direzione dei coseni di un vettore ma = 6io – 2J -3K .

Soluzione. Lunghezza del vettore: . Coseni di direzione: .

Esempio 2 Trova le coordinate vettoriali ma , formando angoli acuti uguali con gli assi coordinati, se la lunghezza di questo vettore è uguale a .

Soluzione. Poiché , quindi sostituendo nella formula (1.6), otteniamo . Vettore ma forma angoli acuti con gli assi coordinati, quindi l'orto . Pertanto, troviamo le coordinate del vettore .

Esempio 3 Vengono forniti tre vettori non complanari e 1 = 2io – K , e 2 = 3io + 3J , e 3 = 2io + 3K . Decomponi il vettore D = io + 5J - 2K base e 1 , e 2 , e 3 .

questi sono i coseni degli angoli che il vettore forma con i semiassi positivi delle coordinate. I coseni di direzione definiscono in modo univoco la direzione del vettore. Se un vettore ha lunghezza 1, i suoi coseni di direzione sono uguali alle sue coordinate. In generale, per un vettore con coordinate ( un; B; C) i coseni di direzione sono uguali:

dove a, b, g sono gli angoli formati dal vettore con gli assi X, y, z rispettivamente.

21) Decomposizione di un vettore in termini di vettori. L'orth dell'asse delle coordinate è indicato da , gli assi - da , gli assi - da (Fig. 1).

Per ogni vettore che giace nel piano, avviene la seguente scomposizione:

Se il vettore si trova nello spazio, quindi l'espansione in termini di vettori unitari degli assi coordinati ha la forma:

22)Prodotto a punti due vettori diversi da zero e il numero uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori per il coseno dell'angolo tra di loro è chiamato:

23) Angolo tra due vettori

Se l'angolo tra due vettori è acuto, il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.

24) La condizione di parallelismo e perpendicolarità di due vettori.

La condizione di perpendicolarità dei vettori
I vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto interno è zero Sono dati due vettori a(xa;ya) e b(xb;yb). Questi vettori saranno perpendicolari se l'espressione xaxb + yayb = 0.

25) Prodotto vettoriale di due vettori.

Un prodotto vettoriale di due vettori non collineari è un vettore c=a×b che soddisfa le seguenti condizioni: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) I vettori a, b, c formano la tripla destra dei vettori.

26) Vettori collineari e complanari..

I vettori sono collineari se l'ascissa del primo vettore è rapportata all'ascissa del secondo come l'ordinata del primo sta all'ordinata del secondo.Sono dati due vettori un (x;si) E B (xb;yb). Questi vettori sono collineari se x un = xb e si a = yb, dove R.

Vettori −→ un,−→B e −→ C chiamata Complanare se esiste un piano a cui sono paralleli.

27) Prodotto misto di tre vettori. Prodotto misto di vettori- prodotto scalare del vettore a e prodotto vettoriale dei vettori b e c. Trova il prodotto misto dei vettori a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Soluzione:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) La distanza tra due punti su un piano. La distanza tra due punti dati è uguale alla radice quadrata della somma delle differenze al quadrato delle stesse coordinate di questi punti.

29) Divisione del segmento in questo rispetto. Se il punto M(x; y) giace su una retta passante per due punti dati ( , ) e ( , ), ed è data la relazione in cui il punto M divide il segmento , allora si determinano le coordinate del punto M dalle formule

Se il punto M è il punto medio del segmento, le sue coordinate sono determinate dalle formule

30-31. Pendenza di una rettaè detta tangente della pendenza di questa retta. La pendenza di una retta è solitamente indicata dalla lettera K. Poi per definizione

Equazione di linea con pendenza ha la forma dove K- coefficiente angolare della retta, Bè un numero reale. L'equazione di una retta con una pendenza può definire qualsiasi retta, non parallelo all'asse Ehi(per una retta parallela all'asse y, la pendenza non è definita).

33. Equazione generale di una retta su un piano. Digita equazione mangiare equazione generale di una retta Ossi. A seconda dei valori delle costanti A, B e C, sono possibili i seguenti casi speciali:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - la linea passa per l'origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - la retta coincide con l'asse Ox

34.Equazione di una retta in segmenti su un piano in un sistema di coordinate rettangolare Ossi ha la forma dove un e B- alcuni diversi da zero numeri reali. Questo nome non è casuale, poiché i valori assoluti dei numeri ma e B uguale alle lunghezze dei segmenti a cui la retta si interrompe assi coordinati Bue e Ehi rispettivamente (i segmenti vengono contati dall'origine). Pertanto, l'equazione di una retta in segmenti rende facile costruire questa retta in un disegno. Per fare ciò, segna i punti con le coordinate e in un sistema di coordinate rettangolare sul piano e usa un righello per collegarli con una linea retta.

35. L'equazione normale di una retta ha la forma

dove è la distanza dalla retta all'origine;  è l'angolo tra la normale alla retta e l'asse.

L'equazione normale può essere ottenuta dall'equazione generale (1) moltiplicandola per il fattore di normalizzazione , il segno di  è opposto al segno di , quindi .

I coseni degli angoli tra la retta e gli assi coordinati sono detti coseni di direzione,  è l'angolo tra la retta e l'asse,  è tra la retta e l'asse:

Pertanto, l'equazione normale può essere scritta come

Distanza dal punto a drittoè determinato dalla formula

36. La distanza tra un punto e una linea è calcolata da seguente formula:

dove x 0 e y 0 sono le coordinate del punto e A, B e C sono i coefficienti dell'equazione generale della retta

37. Portare l'equazione generale di una retta a una normale. L'equazione e il piano in questo contesto non differiscono l'uno dall'altro in nient'altro che nel numero di termini nelle equazioni e nella dimensione dello spazio. Pertanto, all'inizio dirò tutto sull'aereo e alla fine farò una prenotazione sulla linea retta.
Sia data l'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0.
;. otteniamo il sistema: g;Mc=cosb, MB=cosa Portiamolo alla forma normale. Per fare ciò, moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione per il fattore di normalizzazione M. Otteniamo: Max + Mvu + MSz + MD = 0. In questo caso, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa otteniamo il sistema:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Sommando tutte le equazioni del sistema, otteniamo M*(A2 + B2 + C2) = 1 Ora resta solo da qui esprimere M per sapere per quale fattore di normalizzazione occorre moltiplicare l'equazione generale originale per riportarla alla normalità modulo:
M \u003d - + 1 / RADICE KV A2 + B2 + C2
MD deve essere sempre minore di zero, quindi il segno del numero M si assume opposto al segno del numero D.
Con l'equazione di una retta tutto è uguale, solo il termine C2 dovrebbe essere semplicemente rimosso dalla formula per M.

Ascia + Di + cz + D = 0,

38. Equazione generale aereo nello spazio è chiamata equazione della forma

dove UN 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Nello spazio 3D in sistema cartesiano coordinate, qualsiasi piano è descritto da un'equazione di 1° grado (equazione lineare). E viceversa, qualsiasi equazione lineare definisce un piano.

40.Equazione di un piano in segmenti. In un sistema di coordinate rettangolare Oxyz nello spazio tridimensionale, un'equazione della forma , dove un, B e C vengono chiamati numeri reali diversi da zero equazione piana in segmenti. Valori assoluti dei numeri un, B e C uguale alle lunghezze dei segmenti che il piano taglia sugli assi delle coordinate Bue, Ehi e Oz rispettivamente, contando dall'origine. Segno di numero un, B e C mostra in quale direzione (positiva o negativa) i segmenti sono tracciati sugli assi delle coordinate

41) Equazione normale del piano.

L'equazione normale di un piano è la sua equazione, scritta nella forma

dove , , sono i coseni di direzione della normale del piano, e

p è la distanza dall'origine al piano. Quando si calcolano i coseni di direzione della normale, si dovrebbe considerare che è diretta dall'origine al piano (se il piano passa per l'origine, la scelta della direzione positiva della normale è indifferente).

42) Distanza da un punto ad un piano.Sia il piano dato dall'equazione e dato un punto. Quindi la distanza da un punto a un piano è determinata dalla formula

Prova. La distanza da un punto a un piano è, per definizione, la lunghezza della perpendicolare caduta da un punto a un piano

Angolo tra i piani

Siano i piani e siano dati rispettivamente dalle equazioni e . È necessario trovare l'angolo tra questi piani.

I piani, intersecandosi, formano quattro angoli diedri: due ottusi e due acuti o quattro retti, ed entrambi gli angoli ottusi sono uguali tra loro, ed entrambi acuti sono anche uguali tra loro. Cercheremo sempre un angolo acuto. Per determinarne il valore, prendiamo un punto sulla linea di intersezione dei piani ea questo punto in ciascuno di essi

piani disegniamo perpendicolari alla linea di intersezione.

Coseni di direzione vettoriale.

Coseni di direzione del vettore a sono i coseni degli angoli che il vettore forma con i semiassi positivi delle coordinate.

Per trovare i coseni di direzione del vettore a, è necessario dividere le coordinate corrispondenti del vettore per il modulo del vettore.

Proprietà: La somma dei quadrati dei coseni di direzione è uguale a uno.

Così in caso di problemi con l'aereo i coseni di direzione del vettore a = (ax; ay) si trovano con le formule:

Un esempio di calcolo dei coseni di direzione di un vettore:

Trova i coseni di direzione del vettore a = (3; 4).

Soluzione: |a| =

Quindi dentro caso di un problema spaziale i coseni di direzione del vettore a = (ax; ay; az) si trovano con le formule:

Un esempio di calcolo dei coseni di direzione di un vettore

Trova i coseni di direzione del vettore a = (2; 4; 4).

Soluzione: |a| =

La direzione del vettore nello spazio è determinata dagli angoli che il vettore forma con gli assi delle coordinate (Fig. 12). I coseni di questi angoli sono chiamati coseni di direzione del vettore: , , . Dalle proprietà delle proiezioni:, , . Di conseguenza, È facile mostrarlo 2) le coordinate di qualsiasi vettore unitario coincidono con i suoi coseni di direzione: .

"Come trovare i coseni di direzione di un vettore"

Indichiamo con alfa, beta e gamma gli angoli formati dal vettore a con la direzione positiva degli assi coordinati (vedi Fig. 1). I coseni di questi angoli sono detti coseni di direzione del vettore a.

Poiché le coordinate a nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari sono uguali alle proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate, allora a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Quindi: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Inoltre, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Quindi cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Va notato la proprietà principale dei coseni di direzione. La somma dei quadrati dei coseni di direzione del vettore è uguale a uno. Infatti, cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Primo modo

Esempio: dato: vettore a=(1, 3, 5). Trova i suoi coseni di direzione. Soluzione. In accordo con quanto trovato, scriviamo: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Pertanto, la risposta può essere scritta nella forma seguente: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Secondo modo

Quando trovi i coseni di direzione del vettore a, puoi usare la tecnica per determinare i coseni degli angoli usando il prodotto scalare. In questo caso si intendono gli angoli tra ae i vettori unitari direttivi del rettangolo coordinate cartesiane i, j e k. Le loro coordinate sono rispettivamente (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Va ricordato che il prodotto scalare dei vettori è definito come segue.

Se l'angolo tra i vettori è φ, allora il prodotto scalare di due venti (per definizione) è un numero uguale al prodotto dei moduli dei vettori per cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Allora, se b=i, allora (a, i) = |a||i|cos(alfa), oppure a1 = |a|cos(alfa). Inoltre, tutte le azioni vengono eseguite in modo simile al metodo 1, tenendo conto delle coordinate j e k.

DEFINIZIONE

Vettoreè chiamata coppia ordinata di punti e (cioè si sa esattamente quale dei punti di questa coppia è il primo).

Il primo punto è chiamato l'inizio del vettore, e il secondo è suo fine.

Viene chiamata la distanza tra l'inizio e la fine di un vettore lunghezza o modulo vettoriale.

Viene chiamato un vettore il cui inizio e fine sono gli stessi zero ed è indicato da ; si presume che la sua lunghezza sia zero. Altrimenti, se la lunghezza del vettore è positiva, viene chiamato diverso da zero.

Commento. Se la lunghezza di un vettore è uguale a uno, viene chiamato ortom o vettore unitario ed è indicato.

ESEMPIO

L'obiettivo	Controlla se il vettore lo è separare.
Soluzione	Calcoliamo la lunghezza del vettore dato, è uguale alla radice quadrata della somma delle coordinate quadrate: Poiché la lunghezza del vettore è uguale a uno, il vettore è un vettore.
Risposta	Il vettore è unico.

Un vettore diverso da zero può anche essere definito come segmento diretto.

Commento. La direzione del vettore nullo non è definita.

Coseni di direzione vettoriale

DEFINIZIONE

Coseni di direzione alcuni vettori sono chiamati coseni degli angoli che il vettore forma con le direzioni positive degli assi coordinati.

Commento. La direzione di un vettore è determinata in modo univoco dai suoi coseni di direzione.

Per trovare i coseni di direzione di un vettore, è necessario normalizzare il vettore (cioè dividere il vettore per la sua lunghezza):

Commento. Le coordinate del vettore unitario sono uguali ai suoi coseni di direzione.

TEOREMA

(Proprietà dei coseni di direzione). La somma dei quadrati dei coseni di direzione è uguale a uno: