I cerchi di Mora sono diagrammi circolari che danno una rappresentazione visiva delle sollecitazioni nelle diverse sezioni che passano dato punto. Nel sistema di coordinate τ n - σ n - tre (semi) cerchi, che lungo l'asse delle ascisse sono la differenza tra le principali sollecitazioni normali σ 1, σ 2, σ 3 (Fig.). Il cerchio massimo di raggio (σ 1 -σ 3)/2 copre due cerchi interni di raggio (σ 1 -σ 2)/2 e (σ 2 -σ 3)/2, toccando il punto σ 2 . Le coordinate dei punti nello spazio tra gli archi di questi cerchi sono normali e tangenti in aree orientate arbitrariamente. Sugli assi dei cerchi sono rispettivamente . La posizione del punto σ 2 è determinata dal coefficiente Lode - Nadai. Allo stesso modo, i cerchi di Mohr nelle coordinate γ - ε sono costruiti per studiare lo stato deformato, dove R 1 = (ε 2 -ε 1) / 2 = 0,5γ 23, R 2 = (ε 1 -ε 3) / 2 = 0,5γ 31 , R 3 \u003d (ε 1 -ε 2) / 2 \u003d 0,5γ 12

Cerchi di Mohr (sollecitazioni circolari)

dizionario enciclopedico nella metallurgia. - M.: Ingegneria Intermet. Caporedattore N.P. Lyakishev. 2000 .

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Cerchi di Mohr- Grafici a torta che danno una rappresentazione visiva delle sollecitazioni in diverse sezioni che passano per un dato punto. Nel sistema di coordinate tl-al - tre (mezzi) cerchi, dia. a ryh lungo l'ascissa sono la differenza delle principali normali ... ... Manuale tecnico del traduttore

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Storia degli insegnamenti comunisti- Comunismo è il nome generico delle dottrine che proclamano l'obiettivo dell'abolizione della proprietà privata e della liberazione dell'uomo e della società dall'oppressione economica e sociale. La parola "comunismo" unisce quegli insegnamenti religiosi, morali ed economici, ... ... Wikipedia

La dipendenza delle sollecitazioni σ n e τ n agenti sull'area con la normale n passante per il punto in esame può essere visualizzata graficamente utilizzando il diagramma circolare di Mohr (cerchi di Mohr).

STATO DI STRESS PIATTO. Sono date le sollecitazioni principali σ 1 e σ 2 (vedi fig. 2) . I segmenti OA=σ 1 e OB=σ 2 sono tracciati, tenendo conto dei segni (Fig. 1). Sul segmento AB, come su un diametro, si costruisce un cerchio. Dal punto B si traccia una retta con un angolo α rispetto all'asse σ. Le coordinate del punto D dell'intersezione di questa retta con il cerchio danno la sollecitazione sull'area inclinata: OE=σ n , ED=τ n .

Immagine 1.

Vengono fornite le sollecitazioni α x, σ y , τ xy (Fig. 2). I segmenti OE=σ x e OF=σ y sono tracciati, tenendo conto dei segni. Dal punto E (indipendentemente dalla sua posizione) si traccia il segmento ED=τ xy, tenendo conto anche del segno. Dal punto C, dividendo a metà il segmento EF, come dal centro, si costruisce una circonferenza di raggio CD. La retta BD determina la direzione del vettore di sollecitazione principale σ 1 , e le ascisse dei punti di intersezione della circonferenza con l'asse σ danno i valori delle sollecitazioni principali: OA=σ 1 , OB=σ 2 .

Figura 2.

STATO DI SOLLECITAZIONE DEL VOLUME. Sui segmenti sono costruiti tre semicerchi che rappresentano le differenze delle sollecitazioni principali σ 1 -σ 3, σ 2 -σ 3, σ 1 -σ 2, come sui diametri (Fig. 3). Le sollecitazioni σ n e τ n lungo un'area inclinata, la normale alla quale forma gli angoli α, β e γ con le direzioni delle tre sollecitazioni principali, sono determinate dalla seguente costruzione. Le linee AE e BF sono tracciate, rispettivamente, agli angoli α e γ rispetto alla verticale. Gli archi con raggi C 2 E e C 1 F vengono disegnati attraverso i punti di intersezione ottenuti E ed F fino all'intersezione nel punto D, le cui coordinate danno le sollecitazioni σ n e τ n . I punti che rappresentano gli stati di tensione in aree diverse non escono dall'area racchiusa tra i tre semicerchi (ombreggiati nella figura).

Circolo di Mohr- Questo è un grafico a torta che fornisce una rappresentazione visiva delle sollecitazioni in varie sezioni che passano per un determinato punto. Prende il nome da Otto Christian Mohr. È un'interpretazione grafica bidimensionale del tensore di sollecitazione.

La prima persona a creare una rappresentazione grafica delle sollecitazioni per le sollecitazioni longitudinali e trasversali di una trave orizzontale flettente è stata Karl Kuhlmann. Il contributo di Mohr consiste nell'utilizzare questo approccio per stati di sollecitazione piana e di massa e per definire un criterio di resistenza basato sul cerchio di sollecitazione.

significato fisico

Le forze interne sorgono tra le particelle di un corpo solido deformabile come reazione all'applicazione forze esterne: superficie e volume. Questa reazione è coerente con la seconda legge di Newton applicata alle particelle degli oggetti materiali. L'entità dell'intensità di queste forze interne è chiamata sollecitazione meccanica. Perché il corpo è considerato solido, questi forze interne distribuito in modo continuo sull'intero volume dell'oggetto in esame.

texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \cos ^2 \theta = \frac(1+\cos 2\theta)(2), \qquad \sin ^2 \theta = \frac(1-\cos 2\ theta)(2) \qquad \text() \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Quindi puoi ottenere

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \sigma_\mathrm(n) = \frac(1)(2) (\sigma_x + \sigma_y) + \frac(1)(2) (\sigma_x - \sigma_y )\ cos 2\theta + \tau_(xy) \sin 2\theta

sollecitazione di taglio Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc opera anche nell'area del sito Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): dA. Dall'uguaglianza delle proiezioni delle forze sull'asse Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \tau_\mathrm(n)(asse Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): y") noi abbiamo:

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida all'installazione.): \ \begin(align) \sum F_(y") &= \tau_\mathrm(n) dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \ sin \theta \cos \theta - \tau_(xy) dA \cos ^2 \theta + \tau_(xy) dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm(n) &= -( \sigma_x -\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_(xy) \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end(align)

È risaputo che

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text() \qquad \sin 2\theta= 2\sin\ theta\ cos\teta

Quindi puoi ottenere

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida all'installazione.): \tau_\mathrm(n) = -\frac(1)(2)(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_(xy)\cos 2 \theta

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Appunti

Un estratto che caratterizza il Circolo di Mora

Che sia stato un incidente o qualcuno in qualche modo ha aiutato, ma mia madre è stata molto fortunata: era sposata con una persona meravigliosa, un magnate veneziano, che ... lui stesso era uno stregone molto forte ... e che vedi ora con noi .. .
Con occhi lucidi e inumiditi, Isidora guardò il suo fantastico padre, ed era chiaro quanto e disinteressatamente lo amasse. Era una figlia orgogliosa, che con dignità ha portato il suo sentimento puro e luminoso attraverso i secoli, e anche lì, lontano, nei suoi nuovi mondi, non si è nascosta e non ne è rimasta imbarazzata. E poi ho capito quanto volessi diventare come lei!.. E nel suo potere d'amore, e nel suo potere di Strega, e in tutto ciò che questa donna straordinariamente brillante portava in sé...
E lei continuava a raccontare con calma, come se non notasse né le nostre emozioni “traboccanti”, né la delizia “da cucciolo” delle nostre anime che hanno accompagnato la sua meravigliosa storia.
– Fu allora che mia madre venne a sapere di Venezia... Mio padre trascorse ore a raccontarle della libertà e della bellezza di questa città, dei suoi palazzi e canali, dei giardini segreti e delle enormi biblioteche, dei ponti e delle gondole, e tanto, tanto di più. E la mia impressionabile mamma, ancor prima di vedere questa meravigliosa città, se ne innamorò con tutto il cuore... Non vedeva l'ora di vedere questa città con i suoi occhi! E ben presto il suo sogno si avverò... Suo padre la portò in un palazzo magnifico, pieno di servitori fedeli e silenziosi, da cui non c'era bisogno di nascondersi. E, da quel giorno, mia madre ha potuto passare ore a fare la sua cosa preferita, senza timore di essere fraintesa o, peggio ancora, offesa. La sua vita divenne piacevole e sicura. Erano una coppia sposata davvero felice che ha avuto una bambina esattamente un anno dopo. La chiamavano Isidora... Ero io.
Ero un bambino molto felice. E, per quanto posso ricordare, il mondo mi è sempre sembrato bello... Sono cresciuto circondato da calore e affetto, tra persone gentili e attente che mi amavano moltissimo. La mamma si accorse presto che stavo manifestando un potente Dono, molto più forte del suo. Cominciò a insegnarmi tutto quello che sapeva fare e quello che mi aveva insegnato sua nonna. E più tardi, anche mio padre si unì alla mia educazione "strega".
Sto raccontando tutto questo, miei cari, non perché voglio raccontarvi la storia della mia vita felice, ma perché possiate capire meglio cosa seguirà un po' dopo... Altrimenti, non proverete tutto l'orrore e il dolore che io e la mia famiglia abbiamo dovuto sopportare. .
Quando ho compiuto diciassette anni, la voce su di me è andata ben oltre i confini città natale, e non c'era fine a coloro che desideravano ascoltare il loro destino. Ero molto stanco. Non importa quanto fossi dotato, ma il carico di lavoro quotidiano era estenuante e la sera cadevo letteralmente dai piedi ... Mio padre si è sempre opposto a tale "violenza", ma mia madre (che una volta non poteva usare il suo dono per il più completo) credevo di essere dentro in perfetto ordine e che deve esercitare onestamente il suo talento.
Sono passati tanti anni. Ho avuto a lungo la mia vita personale e la mia meravigliosa e amata famiglia. Mio marito era un uomo dotto, si chiamava Girolamo. Penso che fossimo destinati l'uno all'altro, dal momento che dal primo incontro avvenuto in casa nostra, non ci siamo quasi più separati... È venuto da noi per qualche libro consigliato da mio padre. Quella mattina ero seduto in biblioteca e, come al solito, studiavo il lavoro di qualcun altro. Girolamo è entrato all'improvviso e quando mi ha visto lì è rimasto completamente sbalordito... Il suo imbarazzo era così sincero e dolce che mi ha fatto ridere. Era una bruna alta e forte dagli occhi castani, che in quel momento arrossiva come una ragazza che ha incontrato per la prima volta il suo fidanzato... E ho subito capito che quello era il mio destino. Ci siamo sposati presto e non ci siamo più lasciati. Era un marito meraviglioso, affettuoso e gentile, e molto gentile. E quando la nostra piccola figlia è nata, è diventato lo stesso padre amorevole e premuroso. Così trascorsero dieci anni felicissimi e senza nuvole. La nostra cara figlia Anna è cresciuta allegra, vivace e molto intelligente. E già nei suoi primi dieci anni, anche lei, come me, iniziò a manifestare lentamente il Dono...
La vita era luminosa e meravigliosa. E sembrava che non ci fosse nulla che potesse oscurare la nostra pacifica esistenza con la sfortuna. Ma avevo paura... Per quasi un anno, ogni notte ho avuto incubi - immagini inquietanti persone torturate e incendi ardenti. Continuava a ripetersi, a ripetersi, a ripetersi... facendomi impazzire. Ma soprattutto ero spaventato dall'immagine di uno strano uomo che entrava costantemente nei miei sogni e, senza dire una parola, mi divorava solo con lo sguardo ardente dei suoi profondi occhi neri ... Era spaventoso e molto pericoloso.
E poi un giorno venne... Nubi nere cominciarono ad addensarsi nel limpido firmamento della mia amata Venezia... Voci inquietanti, crescendo, vagavano per la città. La gente sussurrava gli orrori dell'Inquisizione e, agghiacciando l'anima, i falò umani viventi ... La Spagna bruciava da molto tempo, bruciando anime umane pure con "fuoco e spada", con il nome di Cristo ... E oltre La Spagna, tutta l'Europa era già in fiamme... Non credevo e non ho mai considerato Cristo Dio. Ma era un meraviglioso Vedun, il più forte di tutti i viventi. E aveva un'anima straordinariamente pura e alta. E quello che ha fatto la chiesa, uccidere “per la gloria di Cristo”, è stato un crimine terribile e imperdonabile.

Il problema diretto di Mohr è il problema di determinare le sollecitazioni su un sito arbitrario da sollecitazioni principali note.

Consideriamo un volume elementare nelle condizioni di uno stato di stress volumetrico e le facce di questo volume sono le aree principali. Una piattaforma secante parallela alla sollecitazione principale σ 2 , seleziona un prisma triangolare da questo volume:

Per determinare le sollecitazioni su un'area secante arbitraria, considerare la faccia anteriore del prisma

Scriviamo le equazioni di equilibrio per il sistema di forze agenti sulla faccia del prisma.

Per un asse tangente alla rampa
:

Ridurre i fattori comuni e moltiplicare tutti i termini per
, noi abbiamo

,

. (2.2)

Per un asse normale alla rampa
:

Eseguiamo le seguenti trasformazioni:

e prendi:

. (2.3)

Al quadrato ciascuna parte delle espressioni ottenute (2.2) e (2.3):

,

.

Sommando le parti sinistra e destra in coppia, otteniamo:

.

Questa è l'equazione in coordinate    è l'equazione di una circonferenza centrata in un punto
,
e raggio
:

Viene chiamato il cerchio risultante cerchio di stress o Mora in giro. Il cerchio di Mohr interseca l'asse x in punti con coordinate  1 e  3 .

Determina le coordinate del punto D  :

, (2.5)

che coincide con le formule (2.2) e (2.3) ottenute in precedenza.

Pertanto, ogni sito inclinato di un angolo  ai siti principali, sul cerchio della Mora corrisponde un certo punto. Il raggio di questo punto forma un angolo di 2 con l'asse x  e le sue coordinate determinano le sollecitazioni sul sito   e   .

Un compito.

In un'asta con una sezione trasversale UN= 5x10 4 m 2, teso a forza F= 50 kN, determinare le sollecitazioni normali e di taglio che si verificano su un sito inclinato ad angolo
alla sezione trasversale dell'asta:

Nei punti della sezione trasversale sorgono solo sollecitazioni normali, ovvero l'area del volume elementare in prossimità del punto, coincidente con questa sezione, è quella principale:

,

le altre principali sollecitazioni sono assenti, cioè è uno stato di sollecitazione uniassiale.

Troviamo le sollecitazioni su una piattaforma inclinata.

Vettore piena tensione p, agendo su questo sito, può essere scomposto in due componenti: la normale   e tangente   , per determinare il valore di cui usiamo il cerchio di Mohr.

Applicare in coordinate    punti corrispondenti alle sollecitazioni principali
e
, e su questi punti, come sul diametro, costruiamo il cerchio di Mohr:

Mettendo da parte l'asse delle ascisse in senso antiorario, il doppio angolo  , otteniamo un punto sul cerchio che mostra lo stato sulla piattaforma inclinata. Le coordinate di questo punto sono le sollecitazioni desiderate e sono calcolate dalle formule (2.4) e (2.5):

,
.

Problema di Mohr inverso

Il problema inverso di Mohr consiste nel determinare le sollecitazioni principali da sollecitazioni note su un sito arbitrario. Consideriamolo su un esempio specifico.

Un compito.

Determinare le principali sollecitazioni nel punto pericoloso dello stelo soggetto all'azione combinata di flessione e torsione:

Dopo aver costruito i diagrammi dei fattori di forza interni, concludiamo che la sezione pericolosa dell'asta è la sezione dell'incastonatura, in cui agisce il momento flettente maggiore M X .

Per trovare un punto pericoloso in una sezione pericolosa, considerare la distribuzione delle sollecitazioni normali e di taglio su una sezione pericolosa:

In questo caso, ci sono due punti ugualmente pericolosi: B e C, in cui agiscono le massime sollecitazioni normali e tangenziali, che sono le stesse in grandezza, ma differenti nella direzione. Considera lo stato di stress nel punto A, selezionando un volume elementare nelle sue vicinanze e posizionando i vettori di sollecitazione e sui suoi bordi.

Valori di stress e può essere determinato dalle formule:

,

.

Considera il cubo selezionato dal lato privo di stress (in alto):

Indichiamo due aree reciprocamente perpendicolari  e  . Sul posto  agire normalmente
e sforzo di taglio 
. Sul posto  solo sforzo di taglio 
(secondo la legge dell'accoppiamento delle sollecitazioni tangenziali).

L'ordine di costruzione del circolo di Mohr:

Tracciamo la posizione delle aree principali e la direzione delle principali sollecitazioni sull'area in esame:

Raggio del cerchio di Mohr

,

poi le principali sollecitazioni

,

.

Il famoso scienziato tedesco Mohr ha proposto metodo grafico determinazione delle sollecitazioni σ α e τ α per dati σ 1 , σ 2 e α nel caso di uno stato tensionale piano.

Fig.18.1. Il caso di uno stato di sollecitazione piano.

Per questo, seleziona sistema piatto coordinate, mentre gli assi delle ascisse corrispondono alle sollecitazioni normali e gli assi delle ordinate corrispondono alle sollecitazioni di taglio

Sull'asse x giacciono tensioni σ 1 = OA e σ 2 = OB

Un cerchio si costruisce sulla differenza di segmenti OA - OB = σ1 - σ2, di raggio BC = (σ1 - σ2)/2. allontanando l'angolo 2α dall'asse delle ascisse in senso antiorario, otteniamo il punto D sul cerchio e abbassiamo la perpendicolare da esso all'asse delle ascisse - DK

Il segmento risultante OK = σ α e il segmento DК = τ α

I cerchi di Mohr consentono di analizzare tutti i tipi di stato di stress del corpo.

Fig.18.2. Definizione grafica delle sollecitazioni. Cerchio di Mohr.

Un compito.

Determinare analiticamente e utilizzando il cerchio di Mohr le sollecitazioni normali σα e tangenziali τα nella sezione AB situata ad un angolo β=60º rispetto all'asse longitudinale. L'asta è allungata dalla forza P = 20kN, la sua area della sezione trasversale è 200 * 200mm2, α = 90- β

Trovare lo stress principale

perché viene considerato il caso di uno stato di tensione lineare

Per definizione grafica sollecitazioni, scegliamo il sistema di coordinate σ – τ. Sull'asse σ, tracciamo lo stress σ 1 sulla scala selezionata sotto forma di un segmento OM, che dividiamo a metà, e disegniamo un cerchio con un segmento. Dal punto M (il polo del cerchio di Mohr) tracciamo una retta parallela ad AB o parallelo al normale all'AV. Otteniamo il punto D dell'intersezione della retta con il cerchio. L'ascissa OD1 rappresenterà σ α =37 MPa e l'ordinata DD1 - τ α =21,5 MPa.

LA LEGGE GENERALIZZATA DI HOOKE NEL CASO GENERALE DELLO STATO DI STRESS.

Quando si studiano le deformazioni nel caso di uno stato di sollecitazione di massa, si presume che il materiale obbedisca alla legge di Hooke e che le deformazioni siano piccole.

Si consideri un elemento le cui dimensioni della faccia siano uguali a a * b * c e le sollecitazioni principali σ 1, σ 2, σ 3 agiscono su queste facce.

Si presume che tutte le sollecitazioni siano positive. A causa della deformazione, i bordi degli elementi cambiano la loro lunghezza e diventano uguali a a+∆a, b+∆b, c+∆c. Il rapporto tra gli incrementi della lunghezza dei bordi degli elementi e la loro lunghezza iniziale darà i principali allungamenti relativi nelle direzioni principali:

Sotto l'azione della sollecitazione σ 1 lunghezza della nervatura un riceverà un allungamento relativo

Le sollecitazioni σ 2 e σ 3 agiscono attraverso la nervatura a, quindi ne impediranno l'allungamento. Deformazioni causate dall'azione di σ 2 , σ 3 nella direzione della nervatura un sarà uguale.