In questa lezione, esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto incrociato di vettori e prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare dei vettori, è necessario sempre di più. Tale è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo non è vero. In questa sezione di matematica superiore, c'è generalmente poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale nella geometria analitica, come molti vedranno o avranno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini per ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso in lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali , e i vettori piatti con due coordinate verranno tralasciati. Come mai? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto di vettori sono definiti e funzionano spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Che siano lettere imperiture.

L'azione stessa indicato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare dei vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui vengono moltiplicati due vettori, quindi qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In vari letteratura educativa la notazione può anche variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collinare vettori, preso in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Possiamo quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente, indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare il caso dei vettori collineari un po' più avanti.

2) Vettori presi in un ordine rigoroso: – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" in "a". Il risultato della moltiplicazione del vettoreè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto incrociato non è uguale all'area del parallelogramma.

Ne ricordiamo uno formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto parti adiacenti dal seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula si parla della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangolo uguale. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Non meno di fatto importanteè che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè . Naturalmente, anche il vettore con direzione opposta (freccia cremisi) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in modo tale base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su passaggio a una nuova base Ne ho parlato in dettaglio orientamento piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Ti spiegherò con le dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premi sul palmo della mano. Di conseguenza pollice - il prodotto vettoriale cercherà in alto. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "estrai l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile abbinalo all'"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello che ora sai orientato a destra e a sinistra basi, perché le affermazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora e . Si noti che il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi controllare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, questo non è un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali negli elementi delle condizioni. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stata chiesta la lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è tenuto a trovare la zona parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto incrociato:

Risposta:

Si noti che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto area della figura, rispettivamente, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro Rispondere. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone probabilità verrà restituito per la revisione. Sebbene questo non sia un nitpick particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca cose semplici e / o non abbia approfondito l'essenza del compito. Questo momento va sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in merito matematica superiore e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente bloccato sulla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica il compito è davvero molto comune, i triangoli in genere possono essere torturati.

Per risolvere altri problemi abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto incrociato dei vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e numero arbitrario valgono le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento non è solitamente distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori è importante.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti sono facilmente escluse dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A titolo dimostrativo, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, si estraggono le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . L'inconveniente è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Analizziamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Nella prima fase, esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Nessuna parola sulla lunghezza ancora!

(1) Sostituiamo espressioni di vettori.

(2) Utilizzando le leggi distributive, aprire le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà gradevole . Nel secondo termine, utilizziamo la proprietà di anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore è risultato essere espresso attraverso un vettore, che era ciò che doveva essere ottenuto:

2) Nella seconda fase, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'Esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti su una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune in lavoro di controllo, ecco un esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Trova se

Breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento quando hai studiato gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori di coordinate nella riga superiore del determinante, "impacchettamo" le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga e inseriamo in ordine rigoroso- prima le coordinate del vettore "ve", poi le coordinate del vettore "doppia-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, è necessario scambiare anche le linee:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
ma)
B)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto grande, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto infatti riposerà sulla definizione, significato geometrico e un paio di formule di lavoro.

Il prodotto misto dei vettori è il prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non vedono l'ora di essere calcolati.

Prima ancora la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori, preso in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di un segno "+" se la base è destra, e un segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono disegnate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, prendo atto del fatto ovvio: il prodotto misto dei vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

Per definizione il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non occupiamoci di nuovo del concetto dell'orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che un segno meno può essere aggiunto al volume. In parole semplici, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

Definizione. Il numero [, ] è chiamato prodotto misto di una tripla ordinata di vettori, .

Indichiamo: (,) = = [, ].

Poiché i prodotti vettoriali e scalari sono coinvolti nella definizione del prodotto misto, il loro proprietà generali sono le proprietà del prodotto misto.

Ad esempio, () = ().

Teorema 1. Il prodotto misto di tre vettori complanari è zero.

Prova. Se la tripletta di vettori data è complanare, allora per i vettori è soddisfatta una delle seguenti condizioni.

• 1. Questa tripla di vettori contiene almeno un vettore zero. In questo caso, la dimostrazione del teorema è ovvia.
• 2. Questa tripla di vettori contiene almeno una coppia di vettori collineari. Se ||, allora [, ] = 0, perché [, ]= . Se

|| , allora [, ] e [, ] = 0. Allo stesso modo, se || .

3. Sia complanare la data tripla di vettori, ma i casi 1 e 2 non sono soddisfatti. Allora il vettore [, ] sarà perpendicolare al piano a cui tutti e tre i vettori, .

Pertanto, [, ] e (,) = 0.

Teorema 2. Siano indicati i vettori (), (), () nella base (). Quindi

Prova. Secondo la definizione di prodotto misto

(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .

Per le proprietà del determinante si ha:

Teorema dimostrato.

Teorema 3. (,) = [, ].

Prova. Perché

e in virtù delle proprietà del determinante si ha:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorema dimostrato.

Teorema 4. Il modulo del prodotto misto di una terna non complanare di vettori è numericamente uguale al volume del parallelepipedo costruito su rappresentanti di questi vettori di origine comune.

Prova. Scegliamo un punto arbitrario O e mettiamo da parte da esso i rappresentanti di questi vettori, : , . Nel piano OAB, costruiamo un parallelogramma OADB e, aggiungendo un bordo OS, costruiamo un parallelepipedo OADBCADB. Il volume V di questo parallelepipedo è uguale al prodotto dell'area della base ОАDB e della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo ОО.

L'area del parallelogramma ОАDB è uguale a |[, ]|. D'altro canto

|OO| = || |cos |, dove è l'angolo tra i vettori e [, ].

Considera il modulo del prodotto misto:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Il teorema è stato dimostrato.

Nota 1. Se il prodotto misto di una tripla di vettori è uguale a zero, allora questa tripla di vettori è linearmente dipendente.

Nota 2. Se il prodotto misto di una data tripla di vettori è positivo, allora la tripla di vettori è destra, e se è negativo, allora la tripla di vettori è sinistra. Infatti il ​​segno del prodotto misto coincide con il segno di cos , e l'ampiezza dell'angolo determina l'orientamento del triplo, . Se l'angolo è acuto, allora il triplo è retto, e se è un angolo ottuso, allora il triplo è sinistro.

Esempio 1 Dato un parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 e le coordinate dei seguenti vettori in base ortonormale: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Trova: 1) il volume del parallelepipedo;

• 2) aree del viso ABCD e CDD 1 C;
• 3) il coseno dell'angolo diedro tra i piani ABC e CDD 1 .

Soluzione.

Questa scatola è costruita su vettori

Pertanto, il suo volume è uguale al modulo del prodotto misto di questi vettori, cioè

Quindi, V vapore \u003d 12 unità cubiche.

Ricordiamo che l'area di un parallelogramma è uguale alla lunghezza del prodotto incrociato dei vettori su cui è costruito.

Introduciamo la notazione: , quindi

Pertanto, (6; - 8; - 2), donde

Quella. mq

Allo stesso modo,

Lascia allora

donde (15; - 20; 1) e

Quindi unità quadrate.

Introduciamo la seguente notazione: sq. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Secondo la definizione di prodotto vettoriale, abbiamo:

Quindi vale la seguente uguaglianza:

Dal secondo punto della soluzione abbiamo:

Dimostra che se, sono reciprocamente perpendicolari vettori unitari, quindi per tutti i vettori e l'uguaglianza è vera:

Soluzione.

Sia nella base ortonormale, le coordinate dei vettori sono date: ; . Poiché, per la proprietà del prodotto misto, abbiamo:

Pertanto, l'uguaglianza (1) può essere scritta nella forma seguente: , e questa è una delle proprietà provate del prodotto vettoriale dei vettori e. Pertanto, la validità dell'uguaglianza (1) è dimostrata.

Soluzione della versione zero del lavoro di controllo

Compito numero 1

Il vettore si forma con i vettori di base e, rispettivamente, gli angoli e. Determina l'angolo che un vettore forma con un vettore.

Soluzione.

Costruiamo un parallelepipedo su vettori, e su una diagonale, tale che i vettori e siano uguali.

Poi dentro triangolo rettangolo con un angolo retto, l'ampiezza dell'angolo è, da dove.

Allo stesso modo, in un triangolo rettangolo con un angolo retto, la grandezza è, da cui.

In un triangolo rettangolo, secondo il teorema di Pitagora, troviamo:

In un triangolo rettangolo con un angolo retto, la gamba e l'ipotenusa. Quindi l'angolo è uguale. Ma l'angolo è uguale all'angolo tra i vettori e. Così, il problema è risolto.

Compito numero 2.

Nella base sono dati tre vettori. Dimostra che il quadrilatero è piatto. Trova la sua zona.

Soluzione.

1. Se i vettori e sono complanari, allora è un quadrilatero piatto. Calcoliamo il determinante composto dalle coordinate di questi vettori.

Poiché il determinante è zero, i vettori e sono complanari, il che significa che il quadrilatero è piatto.

2. Si noti che, quindi, e quindi il quadrilatero è un trapezio con basi AB e CD.

Per la proprietà del prodotto vettoriale, abbiamo:

Trovare il prodotto vettoriale

Compito numero 3. Trova un vettore collineare al vettore (2; 1; -2) la cui lunghezza è 5.

Soluzione.

Indichiamo le coordinate del vettore (x, y, z). Come sapete, le coordinate dei vettori collineari sono proporzionali e quindi abbiamo:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Dalla condizione del problema || = 5, e in forma di coordinate:

Esprimendo le variabili in termini del parametro t, otteniamo:

4t2+t2+4t2=25,

In questo modo,

x = , y = , z = .

Abbiamo due soluzioni.

Il calcolatrice online calcola il prodotto misto dei vettori. dato soluzione dettagliata. Per calcolare il prodotto misto dei vettori, seleziona il metodo di rappresentazione dei vettori (per coordinate o per due punti), inserisci i dati nelle celle e fai clic su "Calcola".

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Prodotto misto di vettori (teoria)

prodotto misto di tre vettori è il numero che risulta dal prodotto scalare del risultato del prodotto incrociato dei primi due vettori e del terzo vettore. In altre parole, dati tre vettori a, b e C, quindi per ottenere il prodotto misto di questi vettori, prima i primi due vettori e il vettore risultante [ ab] è scalare moltiplicato per il vettore C.

Prodotto misto di tre vettori a, b e C denotato in questo modo: abc o giù di lì ( a, b, c). Allora puoi scrivere:

abc=([ab],C)

Prima di formulare un teorema che rappresenti il ​​significato geometrico di un prodotto misto, familiarizzare con i concetti di tripla destra, tripla sinistra, sistema di coordinate destro, sistema di coordinate sinistro (definizioni 2, 2 "e 3 nella pagina online del prodotto vettoriale incrociato).

Per chiarezza, in quanto segue considereremo solo i sistemi di coordinate destrorsi.

Teorema 1. Prodotto misto di vettori ([ab],C) è uguale al volume del parallelepipedo costruito su vettori ridotti ad un'origine comune a, b, c, preso con un segno più, se il triplo a, b, c a destra, e con un segno meno se il triplo a, b, c sinistra. Se i vettori a, b, c sono complanari, quindi ([ ab],C) è zero.

Corollario 1. Vale la seguente uguaglianza:

Pertanto, ci basta dimostrarlo

([ab],C)=([avanti Cristo],un)

(3)

Si può vedere dall'espressione (3) che le parti sinistra e destra sono uguali al volume del parallelepipedo. Ma coincidono anche i segni dei lati destro e sinistro, poiché le triple dei vettori abc e bca avere lo stesso orientamento.

L'uguaglianza dimostrata (1) permette di scrivere il prodotto misto di tre vettori a, b, c solo nella forma abc, senza specificare quali due vettori vengono moltiplicati vettorialmente per i primi due o per gli ultimi due.

Corollario 2. Necessario e condizione sufficiente la complanarità di tre vettori è l'uguaglianza a zero del loro prodotto misto.

La dimostrazione segue dal Teorema 1. Infatti, se i vettori sono complanari, allora il prodotto misto di questi vettori è uguale a zero. Viceversa, se il prodotto misto è uguale a zero, allora la complanarità di questi vettori segue dal Teorema 1 (poiché il volume di un parallelepipedo costruito su vettori ridotti ad un'origine comune è uguale a zero).

Corollario 3. Il prodotto misto di tre vettori, di cui due uguali, è uguale a zero.

Veramente. Se due dei tre vettori sono uguali, allora sono complanari. Pertanto, il prodotto misto di questi vettori è zero.

Prodotto misto di vettori in coordinate cartesiane

Teorema 2. Siano tre vettori a, b e C definito dalle loro coordinate rettangolari cartesiane

Prova. prodotto misto abcè uguale al prodotto scalare dei vettori [ ab] E C. prodotto vettoriale vettori [ ab] in coordinate cartesianeè calcolato con la formula ():

L'ultima espressione può essere scritta usando determinanti del secondo ordine:

è necessario e sufficiente che il determinante sia uguale a zero, le cui righe sono riempite con le coordinate di questi vettori, cioè:

.

(7)

Per provare il corollario, basta considerare la formula (4) e il Corollario 2.

Prodotto misto di vettori con esempi

Esempio 1. Trova il prodotto misto di vettori addominali, dove

Prodotto misto di vettori a, b, c uguale al determinante di matrice l. Calcola il determinante della matrice l, espandendo il determinante lungo la riga 1:

Punto finale vettoriale un.

Prodotto misto di vettoriè chiamato un numero uguale al prodotto scalare di un vettore e al prodotto vettoriale dei vettori. Il prodotto miscelato è indicato.

1. Il modulo del prodotto misto di vettori non complanari è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori. Il prodotto è positivo se la tripla dei vettori è destra e negativo se la tripla è sinistra e viceversa.

2. Il prodotto misto è zero se e solo se i vettori sono complanari:

i vettori sono complanari.

Dimostriamo la prima proprietà. Per definizione, troviamo il prodotto misto: , dove è l'angolo tra i vettori e. Il modulo del prodotto incrociato (secondo la proprietà geometrica 1) è uguale all'area del parallelogramma costruita sui vettori e: . Ecco perché. Il valore algebrico della lunghezza della proiezione del vettore sull'asse specificato dal vettore è uguale in valore assoluto all'altezza del parallelepipedo costruito sui vettori (Fig. 1.47). Pertanto, il modulo del prodotto misto è uguale al volume di questo parallelepipedo:

Il segno del prodotto misto è determinato dal segno del coseno dell'angolo. Se la tripla è giusta, il prodotto misto è positivo. Se è triplo, anche il prodotto misto è negativo.

Dimostriamo la seconda proprietà. L'uguaglianza è possibile in tre casi: o (cioè), o (cioè, il vettore appartiene al piano del vettore e). In ogni caso, i vettori sono complanari (vedi Sezione 1.1).

Il prodotto misto di tre vettori è un numero uguale al prodotto vettoriale dei primi due vettori, moltiplicato scalarmente per il vettore. Può essere rappresentato come vettori come questo

Poiché i vettori in pratica sono dati in forma di coordinate, il loro prodotto misto è uguale al determinante costruito sulle loro coordinate Poiché il prodotto vettoriale è anticommutativo, e prodotto scalare commutativamente, allora la permutazione ciclica dei vettori nel prodotto misto non cambia il suo valore. Lo scambio di due vettori vicini inverte il segno

Il prodotto misto dei vettori è positivo se formano una tripla destra e negativo se formano una tripla sinistra.

Proprietà geometriche del prodotto misto 1. Il volume di un parallelepipedo costruito su vettori è uguale al modulo del prodotto misto di queste età tori.2. Il volume di una piramide quadrangolare è pari a un terzo del modulo del prodotto misto 3. Il volume di una piramide triangolare è pari a un sesto del modulo del prodotto misto 4. Vettori planari se e solo se In coordinate, la condizione di complanarità significa che il determinante è uguale a zero Per un'assimilazione pratica, considera degli esempi. Esempio 1

Determina quale tripla (destra o sinistra) sono i vettori

Soluzione.

Trova il prodotto misto dei vettori e scopri per segno quale tripla di vettori formano

I vettori formano una tripla destra I vettori formano una tripla destra I vettori formano una tripla sinistra Questi vettori sono linearmente dipendenti.. Un prodotto misto di tre vettori. Il prodotto misto di tre vettori è il numero

Proprietà geometrica del prodotto misto:

Teorema 10.1. Il volume di un parallelepipedo costruito su vettori è uguale al modulo del prodotto misto di questi vettori

oppure il volume di un tetraedro (piramide) costruito su vettori è pari a un sesto del modulo del prodotto misto

Prova. Dalla geometria elementare si sa che il volume di un parallelepipedo è uguale al prodotto dell'altezza per l'area della base

L'area della base del parallelepipedo Sè uguale all'area di un parallelogramma costruito su vettori (vedi Fig. 1). Usando

Riso. 1. Alla dimostrazione del Teorema 1. il significato geometrico del prodotto vettoriale dei vettori , lo otteniamo

Da ciò si ottiene Se la tripla dei vettori è lasciata, allora il vettore e il vettore sono diretti in senso opposto, quindi o Quindi, si prova per inciso che il segno del prodotto misto determina l'orientamento della tripla dei vettori (la tripla è destra e la tripla è sinistra). Dimostriamo ora la seconda parte del teorema. Dalla fig. 2 è evidente che il volume di un prisma triangolare costruito su tre vettori è uguale alla metà del volume di un parallelepipedo costruito su questi vettori, cioè
Riso. 2. Sulla dimostrazione del Teorema 1.

Ma un prisma è costituito da tre piramidi dello stesso volume OABC, ABCD e ACDE. Infatti, i volumi delle piramidi ABCD e ACDE uguali perché hanno basi uguali BCD e CDE e la stessa altezza è caduta dall'alto UN. Lo stesso vale per le altezze e le basi delle piramidi OABC e ACDE. Da qui

Prodotto misto (o vettoriale-scalare). tre vettori a, b, c (presi in questo ordine) è chiamato prodotto scalare del vettore a e del prodotto vettoriale b x c, cioè il numero a(b x c), o, che è lo stesso, (b x c)a.
Designazione: abc.

Appuntamento. Il calcolatore online è progettato per calcolare il prodotto misto di vettori. La soluzione risultante viene salvata in un file Word. Inoltre, viene creato un modello di soluzione in Excel.

Segni di complanarità del vettore

Tre vettori (o di più) si dicono complanari se, essendo ridotti ad un'origine comune, giacciono sullo stesso piano.
Se almeno uno dei tre vettori è zero, anche i tre vettori sono considerati complanari.

Segno di complanarità. Se il sistema a, b, c è corretto, allora abc>0 ; se a sinistra, abc Il significato geometrico del prodotto misto. Il prodotto misto abc di tre vettori non complanari a, b, c è uguale al volume del parallelepipedo costruito sui vettori a, b, c, preso con segno più se il sistema a, b, c è giusto, e con un segno meno se questo sistema è lasciato.

Proprietà miste del prodotto

1. Con una permutazione circolare di fattori il prodotto misto non cambia, con una permutazione di due fattori inverte il suo segno: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Deriva dal significato geometrico.
2. (a+b)cd=acd+bcd (proprietà distributiva). Si estende a qualsiasi numero di termini.
   Deriva dalla definizione di prodotto misto.
3. (ma)bc=m(abc) (proprietà associativa rispetto al fattore scalare).
   Deriva dalla definizione di prodotto misto. Queste proprietà consentono di applicare trasformazioni a prodotti misti che differiscono da quelli algebrici ordinari solo per il fatto che l'ordine dei fattori può essere modificato solo tenendo conto del segno del prodotto.
4. Un prodotto misto che ha almeno due fattori uguali è uguale a zero: aab=0 .

Esempio 1. Trova un prodotto misto. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Esempio #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Tutti i termini, ad eccezione dei due estremi, sono uguali a zero. Inoltre, bca=abc . Pertanto (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Esempio #3. Calcola il prodotto misto di tre vettori a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Soluzione. Per calcolare il prodotto misto dei vettori, è necessario trovare il determinante del sistema composto dalle coordinate dei vettori. Scriviamo il sistema nel modulo