7.1. Definizione di prodotto incrociato

Tre vettori non complanari a , b e c , presi nell'ordine indicato, formano una tripla destra se dalla fine del terzo vettore c il giro più breve dal primo vettore a al secondo vettore b è visto in senso antiorario, e una sinistra se in senso orario (vedi Fig. 16).

Il prodotto vettoriale di un vettore a e di un vettore b è chiamato vettore c, che:

1. Perpendicolare ai vettori aeb, cioè c ^ a e c ^ B;

2. Ha una lunghezza numericamente uguale all'area del parallelogramma costruita sui vettori a eB come ai lati (vedi fig. 17), cioè

3. I vettori a, b e c formano una terna destra.

prodotto vettoriale indicato con a x b o [a, b]. Dalla definizione di un prodotto vettoriale, seguo direttamente le seguenti relazioni tra gli orti, J e K(vedi fig. 18):

io x j \u003d k, j x k \u003d io, k x io \u003d j.
Proviamo, per esempio, che io xj \u003d k.

1) k ^ io , k ^ J;

2) |k |=1, ma | io x j| = |io | |J| peccato(90°)=1;

3) vettori i , j e K formare una tripla destra (vedi Fig. 16).

7.2. Proprietà incrociate del prodotto

1. Quando i fattori vengono riorganizzati, il prodotto vettoriale cambia segno, ad es. e xb \u003d (b xa) (vedi Fig. 19).

I vettori a xb e b xa sono collineari, hanno gli stessi moduli (l'area del parallelogramma rimane invariata), ma sono diretti in modo opposto (triple a, b e xb e a, b, b x a di orientamento opposto). Questo è axb = -(bxa).

2. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di combinazione rispetto a un fattore scalare, ad es. l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sia l >0. Il vettore l (a xb) è perpendicolare ai vettori a e b. vettore ( l ascia Bè anche perpendicolare ai vettori a e B(vettori a, l ma giacciono sullo stesso piano). Quindi i vettori l(a xb) e ( l ascia B collineare. È ovvio che le loro direzioni coincidono. Hanno la stessa lunghezza:

Ecco perché l(a xb)= l un xb. È dimostrato allo stesso modo per l<0.

3. Due vettori diversi da zero a e B sono collineari se e solo se il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore zero, cioè e ||b<=>e xb \u003d 0.

In particolare, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di distribuzione:

(a+b) xs = a xs + B x.

Accetta senza prove.

7.3. Espressione trasversale del prodotto in termini di coordinate

Useremo la tabella del prodotto incrociato vettoriale i , J e k:

se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, il prodotto è uguale al terzo vettore, se non corrisponde, il terzo vettore viene preso con un segno meno.

Siano due vettori a =a x i +a y J+az K e b=bx io+di J+bz K. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):

La formula risultante può essere scritta anche più breve:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante di terzo ordine in termini di elementi della prima riga, l'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.

7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato

Determinazione della collinearità dei vettori

Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo

Secondo la definizione del prodotto incrociato dei vettori ma e B |a xb | =| un | * |b |sing , cioè S par = |a x b |. E, quindi, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Determinazione del momento di forza su un punto

Si applichi una forza nel punto A F = AB Lasciarlo andare DI- un punto nello spazio (vedi Fig. 20).

È noto dalla fisica che coppia F rispetto al punto DI chiamato vettore M , che passa per il punto DI E:

1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;

2) numericamente uguale al prodotto della forza e del braccio

3) forma una terna retta con vettori OA e AB .

Pertanto, M \u003d OA x F.

Trovare la velocità lineare di rotazione

Velocità v punto M di un corpo rigido rotante a velocità angolare w attorno a un asse fisso, è determinato dalla formula di Eulero v \u003d w x r, dove r \u003d OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).

Angolo tra vettori

Per poter introdurre il concetto di prodotto incrociato di due vettori, dobbiamo prima trattare un concetto come l'angolo tra questi vettori.

Diamo due vettori $\overline(α)$ e $\overline(β)$. Prendiamo un punto $O$ nello spazio e mettiamo da parte i vettori $\overline(α)=\overline(OA)$ e $\overline(β)=\overline(OB)$, quindi l'angolo $AOB $ sarà chiamato angolo tra questi vettori (Fig. 1).

Notazione: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Il concetto del prodotto incrociato dei vettori e la formula per la ricerca

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori dati, e la sua lunghezza sarà uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori con il seno dell'angolo tra questi vettori, e questo vettore con due iniziali ha lo stesso orientamento come sistema di coordinate cartesiane.

Notazione: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicamente si presenta così:

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ e $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sono lo stesso orientato (Fig. 2)

Ovviamente, il prodotto esterno dei vettori sarà uguale al vettore zero in due casi:

Se la lunghezza di uno o di entrambi i vettori è zero.
Se l'angolo tra questi vettori è uguale a $180^\circ$ o $0^\circ$ (perché in questo caso il seno è uguale a zero).

Per vedere chiaramente come si trova il prodotto incrociato dei vettori, considera i seguenti esempi di soluzioni.

Esempio 1

Trova la lunghezza del vettore $\overline(δ)$, che sarà il risultato del prodotto incrociato dei vettori, con le coordinate $\overline(α)=(0,4,0)$ e $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Soluzione.

Rappresentiamo questi vettori nello spazio delle coordinate cartesiane (Fig. 3):

Figura 3. Vettori nello spazio delle coordinate cartesiane. Author24 - scambio online di documenti degli studenti

Vediamo che questi vettori giacciono rispettivamente sugli assi $Ox$ e $Oy$. Pertanto, l'angolo tra loro sarà uguale a $90^\circ$. Troviamo le lunghezze di questi vettori:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Quindi, per Definizione 1, otteniamo il modulo $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Risposta: $ 12 $.

Calcolo del prodotto incrociato per le coordinate dei vettori

La definizione 1 implica immediatamente un modo per trovare il prodotto incrociato per due vettori. Poiché un vettore, oltre a un valore, ha anche una direzione, è impossibile trovarlo solo utilizzando un valore scalare. Ma oltre a questo, c'è un altro modo per trovare i vettori che ci vengono dati usando le coordinate.

Diamo i vettori $\overline(α)$ e $\overline(β)$, che avranno rispettivamente le coordinate $(α_1,α_2,α_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$. Quindi il vettore del prodotto incrociato (vale a dire le sue coordinate) può essere trovato con la seguente formula:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Altrimenti, espandendo il determinante, otteniamo le seguenti coordinate

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Esempio 2

Trova il vettore del prodotto incrociato dei vettori collineari $\overline(α)$ e $\overline(β)$ con coordinate $(0,3,3)$ e $(-1,2,6)$.

Soluzione.

Usiamo la formula sopra. Ottenere

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Risposta: $(12,-3,3)$.

Proprietà del prodotto incrociato dei vettori

Per tre vettori misti arbitrari $\overline(α)$, $\overline(β)$ e $\overline(γ)$, così come $r∈R$, valgono le seguenti proprietà:

Esempio 3

Trova l'area di un parallelogramma i cui vertici hanno coordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ e $(3,8,0) $.

Soluzione.

Innanzitutto, disegna questo parallelogramma nello spazio delle coordinate (Fig. 5):

Figura 5. Parallelogramma nello spazio delle coordinate. Author24 - scambio online di documenti degli studenti

Vediamo che i due lati di questo parallelogramma sono costruiti utilizzando vettori collineari con coordinate $\overline(α)=(3,0,0)$ e $\overline(β)=(0,8,0)$. Utilizzando la quarta proprietà, otteniamo:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Trova il vettore $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Di conseguenza

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Utilizzo del prodotto incrociato di VECTORS

per calcolare l'area

alcune forme geometriche

Lavoro di ricerca in matematica

Alunno 10 classe B

MOU scuola secondaria №73

Perevoznikov Mikhail

Capi:

Insegnante di matematica MOU scuola secondaria №73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

Assistente di reparto. Analisi Matematica della Facoltà di Meccanica e Matematica, SSU NG Chernyshevsky Berdnikov Gleb Sergeevich

Saratov, 2015

Introduzione.

1. Revisione teorica.

1.1. Vettori e calcoli con vettori.

1.2. Utilizzo del prodotto scalare dei vettori nella risoluzione di problemi

1.3 Prodotto scalare di vettori in coordinate

1.4. Prodotto vettoriale di vettori nello spazio euclideo tridimensionale: definizione del concetto.

1.5. Coordinate vettoriali prodotti di vettori.

2. Parte pratica.

2.1. Relazione tra il prodotto incrociato e l'area di un triangolo e di un parallelogramma. Derivazione della formula e significato geometrico del prodotto vettoriale dei vettori.

2.2. Conoscendo solo le coordinate dei punti, trova l'area del triangolo. Dimostrazione del teorema

2.3. Verifica su esempi la correttezza della formula.

2.4. Uso pratico dell'algebra vettoriale e prodotto di vettori.

Conclusione

introduzione

Come sapete, molti problemi geometrici hanno due soluzioni chiave: grafica e analitica. Il metodo grafico è associato alla costruzione di grafici e disegni, mentre il metodo analitico prevede la risoluzione di problemi principalmente con l'ausilio di operazioni algebriche. In quest'ultimo caso, l'algoritmo per la risoluzione dei problemi è legato alla geometria analitica. La geometria analitica è una branca della matematica, o meglio dell'algebra lineare, che considera la soluzione di problemi geometrici mediante l'algebra basata sul metodo delle coordinate sul piano e nello spazio. La geometria analitica consente di analizzare immagini geometriche, esplorare linee e superfici importanti per applicazioni pratiche. Inoltre, in questa scienza, per espandere la comprensione spaziale delle figure, a volte viene utilizzato anche il prodotto vettoriale dei vettori.

A causa dell'uso diffuso di tecnologie spaziali tridimensionali, lo studio delle proprietà di alcune forme geometriche utilizzando un prodotto vettoriale sembra rilevante.

A questo proposito, è stato identificato lo scopo di questo progetto: l'uso del prodotto incrociato dei vettori per calcolare l'area di alcune forme geometriche.

In relazione a questo obiettivo, sono stati risolti i seguenti compiti:

1. Studiare teoricamente i fondamenti necessari dell'algebra vettoriale e definire il prodotto vettoriale dei vettori in un sistema di coordinate;

2. Analizzare la presenza di una connessione tra un prodotto vettoriale e l'area di un triangolo e un parallelogramma;

3. Ricavare la formula per l'area di un triangolo e di un parallelogramma in coordinate;

4. Verificare su esempi specifici la correttezza della formula derivata.

1. Revisione teorica.

Un vettore è un segmento diretto, per il quale sono indicati il suo inizio e la sua fine:

In questo caso, il punto è l'inizio del segmento MA, la fine del segmento è un punto IN. Il vettore stesso è indicato con
o . Per trovare le coordinate di un vettore
, conoscendo le coordinate dei suoi punti di inizio A e punto di arrivo B, è necessario sottrarre le coordinate corrispondenti del punto di inizio dalle coordinate del punto di arrivo:

= { B X - UN X ; B y - UN y }

I vettori che giacciono su rette parallele o sulla stessa retta sono detti collineari. In questo caso, il vettore è un segmento caratterizzato da lunghezza e direzione.

La lunghezza del segmento orientato determina il valore numerico del vettore ed è chiamata lunghezza del vettore o modulo del vettore.

Lunghezza del vettore || in coordinate cartesiane rettangolari è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

I vettori possono essere manipolati in molti modi.

Ad esempio, addizione. Per aggiungerli, devi prima disegnare il secondo vettore dalla fine del primo, quindi collegare l'inizio del primo alla fine del secondo (Fig. 1). La somma dei vettori è un altro vettore con nuove coordinate.

La somma dei vettori = {un X ; un y) E = {B X ; B y) può essere trovato utilizzando la seguente formula:

+ = (a X +b X ; un y +b y }

Riso. 1. Azioni con vettori

Quando si sottraggono i vettori, è necessario prima disegnarli da un punto, quindi collegare la fine del secondo alla fine del primo.

Differenza vettoriale = {un X ; un y) E = {B X ; B y } può essere trovato usando la formula:

- = { un X -B X ; un y -B y }

Inoltre, i vettori possono essere moltiplicati per un numero. Il risultato sarà anche un vettore che è k volte più grande (o più piccolo) di quello dato. La sua direzione dipenderà dal segno di k: se k è positivo, i vettori sono nella stessa direzione, e se k è negativo, sono diretti in modo opposto.

Prodotto vettoriale = {un X ; un y } e il numero k può essere trovato usando la seguente formula:

K = (k un X ; k a y }

È possibile moltiplicare un vettore per un vettore? Certo, e anche due opzioni!

La prima opzione è il prodotto scalare.

Riso. 2. Punta il prodotto nelle coordinate

Per trovare il prodotto dei vettori, puoi usare l'angolo  tra questi vettori, mostrato in Figura 3.

Dalla formula segue che il prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo tra di loro, il suo risultato è un numero. È importante che se i vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero, perché il coseno dell'angolo retto tra di loro è zero.

Nel piano delle coordinate, anche il vettore ha le coordinate. IN i vettori, le loro coordinate e il prodotto scalare sono alcuni dei metodi più convenienti per calcolare l'angolo tra le linee (oi loro segmenti) se viene inserito un sistema di coordinate.E se le coordinate
, allora il loro prodotto scalare è:

Nello spazio tridimensionale ci sono 3 assi e, di conseguenza, punti e vettori in un tale sistema avranno 3 coordinate e il prodotto scalare dei vettori viene calcolato dalla formula:

1.2. Prodotto vettoriale di vettori nello spazio tridimensionale.

La seconda opzione per calcolare il prodotto dei vettori è il prodotto vettoriale. Ma per determinarlo non è più necessario un piano, ma uno spazio tridimensionale in cui l'inizio e la fine del vettore hanno 3 coordinate ciascuno.

In contrasto con il prodotto scalare dei vettori nello spazio tridimensionale, l'operazione di "moltiplicazione vettoriale" sui vettori porta a un risultato diverso. Se nel precedente caso di moltiplicazione scalare di due vettori il risultato era un numero, nel caso di moltiplicazione vettoriale di vettori il risultato sarà un altro vettore perpendicolare ad entrambi i vettori entrati nel prodotto. Pertanto, questo prodotto di vettori è chiamato prodotto vettoriale.

Ovviamente, quando si costruisce il vettore risultante , perpendicolare ai due che sono entrati nel prodotto - e , si possono scegliere due direzioni opposte. In questo caso, la direzione del vettore risultante è determinato dalla regola della mano destra, o la regola del succhiello.Se disegni i vettori in modo che i loro inizi coincidano e ruoti il primo vettore moltiplicatore nel modo più breve al secondo vettore moltiplicatore, e quattro dita della mano destra mostrano il direzione di rotazione (come se si coprisse un cilindro rotante), quindi un pollice sporgente mostrerà la direzione del vettore prodotto (Fig. 7).

Riso. 7. Regola della mano destra

1.3. Proprietà del prodotto incrociato dei vettori.

La lunghezza del vettore risultante è determinata dalla formula

in cui
prodotto vettoriale. Come accennato in precedenza, il vettore risultante sarà perpendicolare
e la sua direzione è determinata dalla regola della mano destra.

Il prodotto vettoriale dipende dall'ordine dei fattori, ovvero:

Il prodotto incrociato di vettori diversi da zero è 0 se sono collineari, quindi il seno dell'angolo tra di loro sarà 0.

Le coordinate dei vettori nello spazio tridimensionale sono espresse come segue: . Quindi le coordinate del vettore risultante vengono trovate dalla formula

La lunghezza del vettore risultante si trova con la formula:

2. Parte pratica.

2.1. Collegamento del prodotto vettoriale con l'area di un triangolo e un parallelogramma su un piano. Il significato geometrico del prodotto incrociato dei vettori.

Diamoci un triangolo ABC (Fig. 8). È risaputo che .

Se rappresentiamo i lati del triangolo AB e AC come due vettori, allora nella formula dell'area del triangolo troviamo l'espressione per il prodotto incrociato dei vettori:

Da quanto sopra, possiamo determinare il significato geometrico del prodotto vettoriale (Fig. 9):

la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori è uguale al doppio dell'area di un triangolo con i lati dei vettori e , se sono messi da parte da un punto.

In altre parole, la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori ed è uguale all'area del parallelogramma,costruito su vettori E , con lati e e un angolo tra loro uguale a .

Riso. 9. Il significato geometrico del prodotto vettoriale dei vettori

A questo proposito, possiamo dare un'altra definizione del prodotto vettoriale dei vettori :

Prodotto incrociato di un vettore su un vettore si chiama vettore , la cui lunghezza è numericamente uguale all'area del parallelogramma costruito sui vettori e , perpendicolare al piano di questi vettori e diretto in modo che la minima rotazione da k intorno al vettore è stato eseguito in senso antiorario se visto dalla fine del vettore (Fig. 10).

Riso. 10. Definizione del prodotto incrociato dei vettori

usando un parallelogramma

2.2. Derivazione di una formula per trovare l'area di un triangolo in coordinate.

Quindi, ci viene dato un triangolo ABC nel piano e le coordinate dei suoi vertici. Troviamo l'area di questo triangolo (Fig. 11).

Riso. 11. Un esempio per risolvere il problema di trovare l'area di un triangolo in base alle coordinate dei suoi vertici

Soluzione.

Per prima cosa, considera le coordinate dei vertici nello spazio e calcola le coordinate dei vettori AB e AC.

Secondo la formula data sopra, calcoliamo le coordinate del loro prodotto vettoriale. La lunghezza di questo vettore è uguale a 2 aree del triangolo ABC. L'area di un triangolo è 10.

Inoltre, se consideriamo un triangolo su un piano, le prime 2 coordinate del prodotto vettoriale saranno sempre zero, quindi possiamo formulare il seguente teorema.

Teorema: Sia dato un triangolo ABC e le coordinate dei suoi vertici (Fig. 12).

Quindi .

Riso. 12. Dimostrazione del teorema

Prova.

Considera i punti nello spazio e calcola le coordinate dei vettori BC e BA. . Usando la formula sopra, calcoliamo le coordinate del prodotto incrociato di questi vettori. Si noti che tutti i termini che contengonoz 1 o z 2 sono uguali a 0, perché z 1i z 2 = 0. RIMUOVI!!!

Perciò,

2.3. Verifica della correttezza della formula sugli esempi

Trova l'area di un triangolo formato da vettori a = (-1; 2; -2) e b = (2; 1; -1).

Soluzione: Troviamo il prodotto incrociato di questi vettori:

un ×b=

I(2 (-1) - (-2) 1) - j((-1) (-1) - (-2) 2) + k((-1) 1 - 2 2) =

I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = (0; -5; -5)

Dalle proprietà del prodotto vettoriale:

SΔ =

| a×b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Risposta: SΔ = 2,5√2.

Conclusione

2.4. Applicazioni dell'algebra vettoriale

e il prodotto scalare e incrociato dei vettori.

Dove sono necessari i vettori? Lo spazio vettoriale e i vettori non sono solo teorici, ma hanno anche un'applicazione pratica molto reale nel mondo moderno.

In meccanica e fisica, molte quantità non hanno solo un valore numerico, ma anche una direzione. Tali quantità sono dette quantità vettoriali. Insieme all'uso di concetti meccanici elementari, in base al loro significato fisico, molte quantità sono considerate vettori scorrevoli e le loro proprietà sono descritte sia da assiomi, come è consuetudine nella meccanica teorica, sia con l'aiuto delle proprietà matematiche dei vettori. Gli esempi più eclatanti di grandezze vettoriali sono la velocità, la quantità di moto e la forza (Fig. 12). Ad esempio, il momento angolare e la forza di Lorentz sono scritti matematicamente utilizzando vettori.

In fisica, non solo i vettori stessi sono importanti, ma anche i loro prodotti sono importanti in larga misura, il che aiuta a calcolare alcune quantità. Il prodotto incrociato è utile per determinare la collinearità dei vettori.Il modulo del prodotto incrociato di due vettori è uguale al prodotto dei loro moduli se sono perpendicolari e diminuisce a zero se i vettori sono co-diretti o opposti.

Come altro esempio, il prodotto scalare viene utilizzato per calcolare il lavoro utilizzando la formula seguente, dove F è il vettore forza e s è il vettore spostamento.

Un esempio di utilizzo del prodotto dei vettori è il momento della forza, che è uguale al prodotto del raggio vettore disegnato dall'asse di rotazione al punto di applicazione della forza e il vettore di questa forza.

Gran parte di ciò che viene calcolato in fisica dalla regola della mano destra è un prodotto incrociato. Trova prove, fai esempi.

Vale anche la pena notare che le possibili varianti degli spazi vettoriali non sono limitate allo spazio bidimensionale e tridimensionale. La matematica superiore considera spazi di dimensioni superiori, in cui sono definiti anche analoghi delle formule per i prodotti scalari e vettoriali. Nonostante il fatto che gli spazi di dimensione maggiore di 3, la mente umana non sia in grado di visualizzare, trovano sorprendentemente applicazioni in molte aree della scienza e dell'industria.

Allo stesso tempo, il risultato del prodotto incrociato dei vettori nello spazio euclideo tridimensionale non è un numero, ma il vettore risultante con le proprie coordinate, direzione e lunghezza.

La direzione del vettore risultante è determinata dalla regola della mano destra, che è una delle disposizioni più sorprendenti della geometria analitica.

Il prodotto incrociato dei vettori può essere utilizzato per trovare l'area di un triangolo o parallelogramma date le coordinate dei vertici, cosa che è stata confermata derivando una formula, dimostrando un teorema e risolvendo problemi pratici.

I vettori sono ampiamente utilizzati in fisica, dove indicatori come velocità, quantità di moto e forza possono essere rappresentati come quantità vettoriali e calcolati geometricamente.

Elenco delle fonti utilizzate

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. et al. Geometria. Classi 7-9: un libro di testo per le istituzioni educative. M.: , 2013. 383 pag.

Atanasyan LS, Butuzov VF, Kadomtsev SB et al Geometry. Classi 10-11: un libro di testo per le organizzazioni educative: livelli di base e di profilo. M.: , 2013. 255 pag.

Bugrov Ya.S., Nikolsky SM Matematica Superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.

Kletenik D.V. Raccolta di problemi di geometria analitica. Mosca: Nauka, Fizmatlit, 1998.

Geometria analitica.

Matematica. Trifoglio.

Imparare la matematica online.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Sito web di V. Glaznev.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Wikipedia.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED %E8%E5

In questa lezione, esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto incrociato di vettori e prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare dei vettori, è necessario sempre di più. Tale è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo non è vero. In questa sezione di matematica superiore, c'è generalmente poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale nella geometria analitica, come molti vedranno o avranno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini per ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso nel lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno tralasciati. Come mai? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto di vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Che siano lettere imperiture.

L'azione stessa indicato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma ho usato per denotare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare dei vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui vengono moltiplicati due vettori, quindi qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In varie pubblicazioni educative, anche le designazioni possono variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collinare vettori, preso in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Possiamo quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente, indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare il caso dei vettori collineari un po' più avanti.

2) Vettori presi in un ordine rigoroso: – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" in "a". Il risultato della moltiplicazione del vettoreè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto incrociato non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula si parla della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè . Naturalmente, anche il vettore con direzione opposta (freccia cremisi) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in modo tale base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su passaggio a una nuova base Ne ho parlato in dettaglio orientamento piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Ti spiegherò con le dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premi sul palmo della mano. Di conseguenza pollice- il prodotto vettoriale cercherà in alto. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "estrai l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile abbinalo all'"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello che ora sai orientato a destra e a sinistra basi, perché le affermazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora e . Si noti che il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi controllare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, questo non è un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali negli elementi delle condizioni. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stata chiesta la lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è tenuto a trovare la zona parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto incrociato:

Risposta:

Si noti che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto area della figura, rispettivamente, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro Rispondere. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone probabilità verrà restituito per la revisione. Anche se questo non è un nitpick particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca le cose semplici e/o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente bloccato sulla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica il compito è davvero molto comune, i triangoli in genere possono essere torturati.

Per risolvere altri problemi abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto incrociato dei vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento non è solitamente distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori è importante.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti sono facilmente escluse dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A titolo dimostrativo, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, si estraggono le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . L'inconveniente è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Analizziamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Nella prima fase, esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Nessuna parola sulla lunghezza ancora!

(1) Sostituiamo espressioni di vettori.

(2) Utilizzando le leggi distributive, aprire le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà gradevole . Nel secondo termine, utilizziamo la proprietà di anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore è risultato essere espresso attraverso un vettore, che era ciò che doveva essere ottenuto:

2) Nella seconda fase, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'Esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo desiderato:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti su una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune nei test, ecco un esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Trova se

Breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento quando hai studiato gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori delle coordinate nella riga superiore del determinante, “impacchettamo” le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga e mettiamo in ordine rigoroso- prima le coordinate del vettore "ve", poi le coordinate del vettore "doppia-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, è necessario scambiare anche le linee:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
ma)
B)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto infatti riposerà sulla definizione, sul significato geometrico e su un paio di formule di lavoro.

Il prodotto misto dei vettori è il prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non vedono l'ora di essere calcolati.

Prima ancora la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori, preso in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di un segno "+" se la base è destra, e un segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono disegnate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, prendo atto del fatto ovvio: il prodotto misto dei vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design può essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

Per definizione il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non occupiamoci di nuovo del concetto dell'orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che un segno meno può essere aggiunto al volume. In parole povere, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

prodotto vettorialeè uno pseudovettore perpendicolare al piano costruito da due fattori, che è il risultato dell'operazione binaria "moltiplicazione vettoriale" sui vettori nello spazio euclideo tridimensionale. Il prodotto vettoriale non ha le proprietà di commutatività e associatività (è anticommutativo) e, a differenza del prodotto scalare dei vettori, è un vettore. Ampiamente usato in molte applicazioni tecniche e fisiche. Ad esempio, il momento angolare e la forza di Lorentz sono scritti matematicamente come prodotti incrociati. Il prodotto incrociato è utile per "misurare" la perpendicolarità dei vettori: il modulo del prodotto incrociato di due vettori è uguale al prodotto dei loro moduli se sono perpendicolari e diminuisce a zero se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Puoi definire un prodotto vettoriale in diversi modi e, teoricamente, in uno spazio di qualsiasi dimensione n, puoi calcolare il prodotto di n-1 vettori, ottenendo un unico vettore perpendicolare a tutti loro. Ma se il prodotto è limitato a prodotti binari non banali con risultati vettoriali, il prodotto vettoriale tradizionale è definito solo in spazi tridimensionali e settedimensionali. Il risultato del prodotto vettoriale, come il prodotto scalare, dipende dalla metrica dello spazio euclideo.

A differenza della formula per calcolare il prodotto scalare dalle coordinate dei vettori in un sistema di coordinate rettangolare tridimensionale, la formula per il prodotto vettoriale dipende dall'orientamento del sistema di coordinate rettangolare, o, in altre parole, dalla sua "chiralità".

Definizione:
Il prodotto vettoriale di un vettore a e di un vettore b nello spazio R 3 è chiamato vettore c che soddisfa i seguenti requisiti:
la lunghezza del vettore c è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori aeb e del seno dell'angolo φ tra di loro:
|c|=|a||b|peccato φ;
il vettore c è ortogonale a ciascuno dei vettori aeb;
il vettore c è diretto in modo che la tripla dei vettori abc sia retta;
nel caso dello spazio R7 è richiesta l'associatività della tripla dei vettori a,b,c.
Designazione:
c===a×b

Riso. 1. L'area di un parallelogramma è uguale al modulo del prodotto incrociato

Proprietà geometriche del prodotto incrociato:
Una condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori diversi da zero è l'uguaglianza del loro prodotto vettoriale a zero.

Modulo di prodotti incrociati è uguale ad area S parallelogramma costruito su vettori ridotti ad un'origine comune un e B(vedi fig. 1).

Se e- vettore unitario ortogonale ai vettori un e B e scelto in modo che il triplo a, b, e- giusto, e S- l'area del parallelogramma costruito su di essi (ridotta a un'origine comune), quindi vale la seguente formula per il prodotto vettoriale:
=S e

Fig.2. Il volume del parallelepipedo quando si utilizza il vettore e il prodotto scalare dei vettori; le linee tratteggiate mostrano le proiezioni del vettore c su a × b e del vettore a su b × c, il primo passo è trovare i prodotti interni

Se C- qualsiasi vettore π - qualsiasi piano contenente questo vettore, e- vettore unitario che giace nell'aereo π e ortogonale a c,g- vettore unitario ortogonale al piano π e diretto in modo che il triplo dei vettori esè giusto, quindi per qualsiasi sdraiato sull'aereo π vettore un la formula corretta è:
=Pr e a |c|g
dove Pr e a è la proiezione del vettore e su a
|c|-modulo del vettore c

Quando si utilizzano prodotti vettoriali e scalari, è possibile calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori ridotti a un'origine comune a, b e C. Un tale prodotto di tre vettori è detto misto.
V=|a (b×c)|
La figura mostra che questo volume può essere trovato in due modi: il risultato geometrico viene preservato anche quando i prodotti "scalare" e "vettoriale" vengono scambiati:
V=a×b c=a b×c

Il valore del prodotto incrociato dipende dal seno dell'angolo tra i vettori originali, quindi il prodotto incrociato può essere pensato come il grado di "perpendicolarità" dei vettori, proprio come il prodotto scalare può essere pensato come il grado di "parallelismo". Il prodotto incrociato di due vettori unitari è uguale a 1 (un vettore unitario) se i vettori iniziali sono perpendicolari e uguale a 0 (vettore zero) se i vettori sono paralleli o antiparalleli.

Espressione del prodotto incrociato in coordinate cartesiane
Se due vettori un e B sono definiti dalle loro coordinate cartesiane rettangolari, o più precisamente, sono rappresentati in base ortonormale
a=(a x , a y , a z)
b=(b x ,b y ,b z)
e il sistema di coordinate è corretto, quindi il loro prodotto vettoriale ha la forma
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Per ricordare questa formula:
i =∑ε ijk a j b k
dove ε ijk- il simbolo di Levi-Civita.