È noto da un corso di matematica scolastica che un vettore su un piano è un segmento diretto. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate vettoriali vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.

Il concetto di vettore può essere esteso anche a uno spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).

Pendenza grad z della funzione z = f(х 1 , х 2 , …х n) è il vettore delle derivate parziali della funzione nel punto, cioè vettore con coordinate.

Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello della funzione in un punto.

Ad esempio, per la funzione z \u003d 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Puoi costruirlo su un aereo diversi modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, puoi collegare il punto (0; 0) al punto (2; 1) o il punto (1; 0) al punto (3; 1) o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o t .P. (vedi figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

La Figura 5.8 mostra chiaramente che il livello della funzione cresce nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Funzione gradiente z \u003d 2x 1 + x 2

Considera un altro esempio: la funzione z = 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

La Figura 5.9 mostra le linee di livello della funzione z = 1 / (x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la linea retta 1 / (x 1 x 2) = 2 è indicata da una linea tratteggiata e la linea retta
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linea continua).

Figura 5.9 - Gradienti della funzione z \u003d 1 / (x 1 x 2) in vari punti

Prendi, ad esempio, il punto (0,5; 1) e calcola il gradiente a questo punto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Si noti che il punto (0,5; 1) si trova sulla linea di livello 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, perché z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. A rappresentiamo il vettore (-4; -2) in Figura 5.9, colleghiamo il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio punto (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Calcola il gradiente a questo punto
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo in Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

FUNZIONE SCALDA u = f(x, y, z) specificato in alcune regioni. spazio (X Y Z), mangiare vettore con proiezioni denotate da simboli: grad dove io, j, k- vettori di coordinate. G.f. - esiste una funzione punto (x, y, z), ovvero forma un campo vettoriale. Derivata in direzione di G. f. a questo punto raggiunge il suo valore massimo ed è pari a: La direzione del gradiente è la direzione dell'aumento più rapido della funzione. G.f. in un dato punto è perpendicolare alla superficie piana passante per questo punto. Efficienza d'uso G. f. negli studi litologici è stato mostrato nello studio di eolian ex. Karakum centrale.

Dizionario geologico: in 2 volumi. - M.: Nedra. A cura di KN Paffengolts et al.. 1978 .

Guarda cos'è la "FUNZIONE GRADIENTE" in altri dizionari:

Questo articolo riguarda la caratteristica matematica; sul metodo di riempimento, vedere: Gradient (computer graphics) ... Wikipedia

- (lat.). La differenza nelle letture barometriche e termometriche nelle diverse aree. Dizionario di parole straniere incluso nella lingua russa. Chudinov A.N., 1910. Differenza GRADIENTE nelle letture di un barometro e di un termometro contemporaneamente ... ... Dizionario di parole straniere della lingua russa

pendenza- Modifica del valore di una certa quantità per unità di distanza in una determinata direzione. Un gradiente topografico è il cambiamento di elevazione su una distanza orizzontale misurata. Protezione relè EN gradiente della caratteristica di intervento della protezione differenziale … Manuale tecnico del traduttore

Pendenza- un vettore diretto verso l'incremento più rapido della funzione e uguale in grandezza alla sua derivata in questa direzione: dove i simboli ei indicano i vettori unitari degli assi coordinati (orth) ... Dizionario economico e matematico

Uno dei concetti base dell'analisi vettoriale e della teoria delle mappature non lineari. Il gradiente della funzione scalare dell'argomento vettore dallo spazio euclideo E n chiamato. derivata della funzione f (t) rispetto all'argomento vettore t, cioè un vettore n-dimensionale con ... ... Enciclopedia matematica

gradiente fisiologico- - un valore che riflette una variazione di k o un indicatore di una funzione dipendente da un altro valore; ad esempio il gradiente di pressione parziale è la differenza di pressioni parziali che determina la diffusione dei gas dagli alveoli (accinus) nel sangue e dal sangue nel ... ... Glossario dei termini per la fisiologia degli animali da allevamento

I Gradient (dal lat. gradientis, genus gradientis walking) Un vettore che mostra la direzione del cambiamento più rapido di una certa quantità, il cui valore cambia da un punto all'altro dello spazio (vedi Teoria dei campi). Se il valore ... ... Grande enciclopedia sovietica

Pendenza- (dal lat. gradiens camminare, camminare) (in matematica) un vettore che mostra la direzione dell'incremento più rapido di qualche funzione; (in fisica) una misura di aumento o diminuzione nello spazio o su un piano di alcuni quantità fisica per unità ... ... Gli inizi delle moderne scienze naturali

Libri

• Metodi per risolvere alcuni problemi di sezioni selezionate di matematica superiore. Practicum, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilievna, Kozlovsky Evgeny Alexandrovich. Questo seminario discute i metodi per risolvere alcuni tipi di problemi da tali sezioni del corso generalmente accettato analisi matematica, come limite ed estremo di una funzione, gradiente e derivata...

Definizione 1

Se per ogni coppia $(x,y)$ di valori di due variabili indipendenti di qualche dominio, certo valore$z$, allora si dice che $z$ è una funzione di due variabili $(x,y)$. Notazione: $z=f(x,y)$.

Si consideri la funzione $z=f(x,y)$, che è definita in alcuni domini nello spazio $Oxy$.

Di conseguenza,

Definizione 3

Se per ogni tripla $(x,y,z)$ di valori di tre variabili indipendenti di qualche dominio viene assegnato un certo valore $w$, allora $w$ si dice funzione di tre variabili $(x, y,z)$ in quest'area.

Designazione:$w=f(x,y,z)$.

Si consideri la funzione $w=f(x,y,z)$, che è definita in alcuni domini nello spazio $Oxyz$.

Per data funzione definire un vettore per il quale le proiezioni sugli assi delle coordinate sono i valori delle derivate parziali della funzione data ad un certo punto $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ parziale y) $.

Definizione 4

Il gradiente di una data funzione $w=f(x,y,z)$ è un vettore $\overrightarrow(gradw) $ della forma seguente:

Teorema 3

Sia definito un campo gradiente in un campo scalare $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\parziale w)(\parziale x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\parziale w)(\parziale y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\parziale w)(\parziale z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivata $\frac(\partial w)(\partial s) $ nella direzione dietro dato vettore$\overrightarrow(s)$ è uguale alla proiezione del vettore gradiente $\overrightarrow(gradw)$ sul vettore dato $\overrightarrow(s)$.

Esempio 4

Soluzione:

L'espressione per il gradiente è trovata dalla formula

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\parziale w)(\parziale x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\parziale w)(\parziale y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\parziale w)(\parziale z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\parziale w)(\parziale x) =2x;\frac(\parziale w)(\parziale y) =4y;\frac(\parziale w)(\parziale z) =2.\]

Di conseguenza,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Esempio 5

Determina il gradiente di una data funzione

nel punto $M(1;2;1)$. Calcola $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Soluzione:

L'espressione per il gradiente in dato punto trova per formula

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\parziale w)(\parziale x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\w parziale)(\y parziale) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\w parziale)(\z parziale) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Le derivate parziali hanno la forma:

\[\frac(\parziale w)(\parziale x) =2x;\frac(\parziale w)(\parziale y) =4y;\frac(\parziale w)(\parziale z) =6z^(2) .\]

Derivati ​​al punto $M(1;2)$:

\[\frac(\w parziale)(\x parziale) =2\cdot 1=2;\frac(\w parziale)(\y parziale) =4\cdot 2=8;\frac(\w parziale)( \z parziale) =6\cpunto 1^(2) =6.\]

Di conseguenza,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Elenchiamo alcuni proprietà del gradiente:

La derivata di una data funzione in un dato punto nella direzione di qualche vettore $\overrightarrow(s)$ ha valore più alto se la direzione del dato vettore $\overrightarrow(s)$ è la stessa della direzione del gradiente. In questo caso, questo valore massimo della derivata coincide con la lunghezza del vettore gradiente, cioè $|\overrightarrow(gradw) |$.

La derivata della funzione data rispetto alla direzione del vettore che è perpendicolare al vettore gradiente, cioè $\overrightarrow(gradw) $ è uguale a 0. Poiché $\varphi =\frac(\pi )(2) $, allora $\cos \varphi =0$; quindi $\frac(\parziale w)(\parziale s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Pendenza funzioniè una grandezza vettoriale, il cui risultato è associato alla definizione di derivate parziali della funzione. La direzione del gradiente indica il percorso della crescita più rapida della funzione da un punto all'altro del campo scalare.

Istruzione

1. Per risolvere il problema sul gradiente della funzione, vengono utilizzati i metodi Calcolo differenziale, ovvero trovare derivate parziali del primo ordine rispetto a tre variabili. Si assume che la funzione stessa e tutte le sue derivate parziali abbiano la proprietà di continuità nel dominio della funzione.

2. Un gradiente è un vettore la cui direzione indica la direzione dell'aumento più rapido nella funzione F. Per questo, sul grafico vengono selezionati due punti M0 e M1, che sono le estremità del vettore. Il valore del gradiente è uguale alla velocità di incremento della funzione dal punto M0 al punto M1.

3. La funzione è differenziabile in tutti i punti di questo vettore, quindi le proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate sono tutte le sue derivate parziali. Quindi la formula del gradiente è simile a questa: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, dove i, j, k sono le coordinate del vettore unitario. In altre parole, il gradiente di una funzione è un vettore le cui coordinate sono le sue derivate parziali grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Esempio 1. Sia data la funzione F = sin (x z?) / y. È necessario trovare il suo gradiente nel punto (?/6, 1/4, 1).

5. Soluzione Determina le derivate parziali rispetto a qualsiasi variabile: F'_x \u003d 1 / y cos (xz?) z?; F'_y \u003d sin (xz?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Sostituisci le famose coordinate del punto: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Applicare la formula del gradiente di funzione: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Esempio 2. Trova le coordinate del gradiente della funzione F = y arñtg (z / x) nel punto (1, 2, 1).

9. Soluzione F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -yz / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Il gradiente di campo scalare è una grandezza vettoriale. Pertanto, per trovarlo, è necessario determinare tutte le componenti del vettore corrispondente, in base alla conoscenza della divisione del campo scalare.

Istruzione

1. Leggi nel libro di testo matematica superiore, che è il gradiente del campo scalare. Come sapete, questa quantità vettoriale ha una direzione caratterizzata dal massimo tasso di decadimento della funzione scalare. Tale senso di una data quantità vettoriale è giustificato da un'espressione per determinarne i componenti.

2. Ricorda che ogni vettore è definito dai valori dei suoi componenti. I componenti del vettore sono in realtà proiezioni di questo vettore sull'uno o sull'altro asse delle coordinate. Quindi, se considerato spazio tridimensionale, allora il vettore deve avere tre componenti.

3. Scrivi come vengono determinate le componenti di un vettore che è il gradiente di un campo. Tutte le coordinate di tale vettore sono uguali alla derivata del potenziale scalare rispetto alla variabile di cui si sta calcolando la coordinata. Cioè, se è necessario calcolare la componente "X" del vettore del gradiente di campo, è necessario differenziare funzione scalare per variabile "x". Si noti che la derivata deve essere quoziente. Ciò significa che nel differenziare, le restanti variabili che non vi partecipano devono essere considerate costanti.

4. Scrivi un'espressione per il campo scalare. Come sapete, questo termine indica ciascuno solo una funzione scalare di più variabili, che sono anche quantità scalari. Il numero di variabili di una funzione scalare è limitato dalla dimensione dello spazio.

5. Differenziare separatamente la funzione scalare rispetto a ciascuna variabile. Di conseguenza, avrai tre nuove funzioni. Scrivi una qualsiasi funzione nell'espressione per il vettore gradiente del campo scalare. Qualsiasi delle funzioni ottenute è in realtà un indicatore per un vettore unitario di una data coordinata. Pertanto, il vettore del gradiente finale dovrebbe apparire come un polinomio con esponenti come derivati ​​di una funzione.

Quando si considerano problemi che coinvolgono la rappresentazione di un gradiente, è più comune pensare a ciascuno come a un campo scalare. Pertanto, è necessario introdurre la notazione appropriata.

Avrai bisogno

• - boom;
• - penna.

Istruzione

1. Sia data la funzione da tre argomenti u=f(x, y, z). La derivata parziale di una funzione, ad esempio rispetto a x, è definita come la derivata rispetto a questo argomento, ottenuta fissando i restanti argomenti. Gli altri argomenti sono simili. La notazione derivata parziale è scritta come: df / dx \u003d u'x ...

2. Il differenziale totale sarà uguale a du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz Le derivate parziali possono essere intese come derivate nelle direzioni assi coordinati. Di conseguenza, sorge il problema di trovare la derivata rispetto alla direzione di un dato vettore s nel punto M(x, y, z) (non dimenticare che la direzione s specifica un vettore unitario-ort s^o). In questo caso, il vettore differenziale degli argomenti è (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Considerando la vista differenziale totale du, si può concludere che la derivata rispetto alla direzione s nel punto M è: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy) |M)cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gamma). Se s = s (sx, sy, sz), allora la direzione coseni (cos (alfa), cos (beta), cos (gamma)) sono calcolati (vedi Fig.1a).

4. La definizione della derivata direzionale, considerando il punto M come variabile, può essere riscritta nella forma prodotto a punti: (du/ds)=((df/dx, df/dy, df/dz), (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))))=(grad u, s^o). Questa espressione sarà oggettiva per un campo scalare. Se consideriamo una funzione facile, allora gradf è un vettore avente coordinate coincidenti con le derivate parziali f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/d)j +(df/dz)k. Qui (i, j, k) sono i vettori unitari degli assi delle coordinate nel rettangolo sistema cartesiano coordinate.

5. Se utilizziamo l'operatore vettore differenziale di Hamilton Nabla, allora gradf può essere scritto come la moltiplicazione di questo vettore operatore per lo scalare f (vedi Fig. 1b). Dal punto di vista della connessione di gradf con la derivata direzionale, l'uguaglianza (gradf, s^o)=0 è ammissibile se questi vettori sono ortogonali. Di conseguenza, gradf è spesso definito come la direzione della metamorfosi più veloce di un campo scalare. E dal punto di vista delle operazioni differenziali (gradf è una di queste), le proprietà di gradf ripetono esattamente le proprietà di differenziazione delle funzioni. In particolare, se f=uv, allora gradf=(vgradu+ugradv).

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Pendenza questo è uno strumento che negli editor grafici riempie la silhouette con una transizione graduale da un colore all'altro. Pendenza può dare a una silhouette il risultato del volume, simulare l'illuminazione, i riflessi della luce sulla superficie di un oggetto o il risultato di un tramonto sullo sfondo di una fotografia. Questo strumento ha un ampio utilizzo, quindi, per elaborare fotografie o creare illustrazioni, è molto importante imparare ad usarlo.

Avrai bisogno

• Computer, editor grafico Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net o altro.

Istruzione

1. Apri l'immagine nel programma o creane una nuova. Crea una silhouette o seleziona l'area desiderata sull'immagine.

2. Attiva lo strumento Gradiente sulla barra degli strumenti dell'editor grafico. Posiziona il cursore del mouse su un punto all'interno dell'area o sagoma selezionata, dove inizierà il primo colore della sfumatura. Fare clic e tenere premuto il pulsante sinistro del mouse. Sposta il cursore nel punto in cui il gradiente dovrebbe passare al colore finale. Rilascia il pulsante sinistro del mouse. La silhouette selezionata verrà riempita con un riempimento sfumato.

3. Pendenza y è possibile impostare la trasparenza, i colori e il loro rapporto in un determinato punto di riempimento. Per fare ciò, apri la finestra Modifica sfumatura. Per aprire la finestra di modifica in Photoshop, fai clic sull'esempio di sfumatura nel pannello Opzioni.

4. Nella finestra che si apre, le opzioni di riempimento sfumatura disponibili vengono visualizzate come esempi. Per modificare una delle opzioni, selezionala con un clic del mouse.

5. Un esempio di sfumatura viene visualizzato nella parte inferiore della finestra sotto forma di un'ampia scala con cursori. I cursori indicano i punti in cui il gradiente dovrebbe avere le regole di confronto specificate e, nell'intervallo tra i cursori, il colore passa in modo uniforme da quello specificato nel primo punto al colore del 2° punto.

6. I cursori situati nella parte superiore della scala impostano la trasparenza del gradiente. Per modificare la trasparenza, fare clic sul dispositivo di scorrimento desiderato. Apparirà un campo sotto la scala, in cui inserire il grado di trasparenza richiesto in percentuale.

7. I cursori nella parte inferiore della scala impostano i colori del gradiente. Cliccando su uno di essi, potrai preferire il colore desiderato.

8. Pendenza può avere più colori di transizione. Per impostare un altro colore, fare clic su uno spazio vuoto nella parte inferiore della scala. Apparirà un altro dispositivo di scorrimento. Imposta il colore desiderato per esso. La scala visualizzerà un esempio di gradiente con un punto in più. È possibile spostare i cursori tenendoli premuti con il supporto del tasto sinistro del mouse in modo da ottenere la combinazione desiderata.

9. Pendenza Esistono diversi tipi che possono dare forma a sagome piatte. Diciamo che per dare a un cerchio la forma di una palla viene applicato un gradiente radiale e per dare la forma di un cono viene applicato un gradiente conico. È possibile utilizzare una sfumatura speculare per dare alla superficie l'illusione di un rigonfiamento e una sfumatura a diamante può essere utilizzata per creare punti salienti.

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1 0 Il gradiente è diretto lungo la normale alla superficie piana (o alla linea di livello se il campo è piatto).

2 0 Il gradiente è diretto nella direzione della funzione di campo crescente.

3 0 Il modulo del gradiente è uguale alla derivata più grande nella direzione in un dato punto del campo:

Queste proprietà danno una caratteristica invariante del gradiente. Dicono che il vettore gradU indichi la direzione e l'entità della maggiore variazione nel campo scalare in un dato punto.

Osservazione 2.1. Se la funzione U(x,y) è una funzione di due variabili, allora il vettore

giace nel piano ossidico.

Siano U=U(x,y,z) e V=V(x,y,z) funzioni differenziabili nel punto М 0 (x,y,z). Allora valgono le seguenti uguaglianze:

a) grado()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grado = , V ;

e) gradU( = gradU, dove , U=U() ha una derivata rispetto a .

Esempio 2.1. Viene data la funzione U=x 2 +y 2 +z 2. Determinare il gradiente della funzione nel punto M(-2;3;4).

Soluzione. Secondo la formula (2.2), abbiamo

Le superfici piane di questo campo scalare sono la famiglia delle sfere x 2 +y 2 +z 2 , il vettore gradU=(-4;6;8) è il vettore normale dei piani.

Esempio 2.2. Trova il gradiente del campo scalare U=x-2y+3z.

Soluzione. Secondo la formula (2.2), abbiamo

Le superfici piane di un dato campo scalare sono i piani

x-2y+3z=C; il vettore gradU=(1;-2;3) è il vettore normale dei piani di questa famiglia.

Esempio 2.3. Trova la pendenza più ripida della superficie U=x y nel punto M(2;2;4).

Soluzione. Abbiamo:

Esempio 2.4. Trova il vettore normale unitario alla superficie piana del campo scalare U=x 2 +y 2 +z 2 .

Soluzione. Superfici piane di un dato scalare Campo-sfera x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Il gradiente è diretto lungo la normale alla superficie piana, in modo che

Definisce il vettore normale alla superficie piana nel punto M(x,y,z). Per un vettore normale unitario, otteniamo l'espressione

Esempio 2.5. Trova il gradiente di campo U= , dove e sono vettori costanti, r è il vettore raggio del punto.

Soluzione. Lascia stare

Quindi: . Per la regola di differenziazione del determinante, otteniamo

Di conseguenza,

Esempio 2.6. Trova il gradiente di distanza , dove P(x,y,z) è il punto del campo in studio, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) è un punto fisso.

Soluzione. Abbiamo un vettore di direzione unitario.

Esempio 2.7. Trova l'angolo tra i gradienti delle funzioni nel punto M 0 (1,1).

Soluzione. Troviamo i gradienti di queste funzioni nel punto M 0 (1,1) che abbiamo

; L'angolo tra gradU e gradV nel punto M 0 è determinato dall'uguaglianza

Quindi =0.

Esempio 2.8. Trova la derivata rispetto alla direzione a cui il raggio vettore è uguale

Soluzione. Trovare il gradiente di questa funzione:

Sostituendo (2.5) in (2.4), otteniamo

Esempio 2.9. Trova nel punto M 0 (1;1;1) la direzione della maggiore variazione nel campo scalare U=xy+yz+xz e l'entità di questa maggiore variazione in questo punto.

Soluzione. La direzione del maggior cambiamento nel campo è indicata dal vettore grad U(M). Lo troviamo:

E quindi, . Questo vettore determina la direzione del maggior incremento di questo campo nel punto M 0 (1;1;1). Il valore della modifica più grande nel campo a questo punto è uguale a

Esempio 3.1. Trova le linee vettoriali campo vettoriale dove è un vettore costante.

Soluzione. Abbiamo così

Moltiplica il numeratore e il denominatore della prima frazione per x, la seconda per y, la terza per z e aggiungilo termine per termine. Usando la proprietà della proporzione, otteniamo

Quindi xdx+ydy+zdz=0, il che significa

x 2 +y 2 +z 2 =LA 1 , LA 1 -cost>0. Ora moltiplicando numeratore e denominatore della prima frazione (3.3) per c 1, la seconda per c 2, la terza per c 3 e sommandolo termine per termine otteniamo

Da dove c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

E, quindi, con 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 cost.

Equazioni richieste di linee vettoriali

Queste equazioni mostrano che le linee vettoriali si ottengono come risultato dell'intersezione di sfere aventi un centro comune all'origine con piani perpendicolari al vettore. Ne consegue che le linee vettoriali sono cerchi i cui centri sono su una retta passante per l'origine nella direzione del vettore c. I piani dei cerchi sono perpendicolari alla linea specificata.

Esempio 3.2. Trova la linea del vettore di campo che passa per il punto (1,0,0).

Soluzione. Equazioni differenziali linee vettoriali

Quindi abbiamo. Risolvere la prima equazione. Oppure se introduciamo il parametro t, allora avremo In questo caso, l'equazione assume la forma o dz=bdt, da cui z=bt+c 2 .