Sia P un campo. Elementi a, b, ... н R chiameremo scalari.

Definizione 1. Classe V vengono chiamati oggetti (elementi) , , , ... di natura arbitraria spazio vettoriale sul campo P, e vengono chiamati gli elementi della classe V vettori, se V è chiuso sotto l'operazione "+" e l'operazione di moltiplicazione per scalari da Р (cioè, per qualsiasi , нV + н V;"aО Р aОV), e sono soddisfatte le seguenti condizioni:

A 1: Algebra - gruppo abeliano;

A 2: per ogni a, bОР, per ogni ОV, vale a(b)=(ab)-generalizzata la legge associativa;

A 3: per qualsiasi a, bОР, per qualsiasi ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: per ogni a da P, per ogni , da V vale a(+)=a+a(leggi distributive generalizzate);

A 5: per qualsiasi di V, 1 = è soddisfatto, dove 1 è l'unità del campo P - la proprietà di unità.

Gli elementi del campo P saranno chiamati scalari e gli elementi dell'insieme V saranno chiamati vettori.

Commento. Moltiplicare un vettore per uno scalare non è un'operazione binaria sull'insieme V, poiché è una mappatura P´V®V.

Considera esempi di spazi vettoriali.

Esempio 1 Zero (zero-dimensionale) spazio vettoriale- spazio V 0 =() - costituito da un vettore nullo.

E per ogni aОР a=. Verifichiamo la soddisfacibilità degli assiomi dello spazio vettoriale.

Si noti che lo spazio vettoriale zero dipende essenzialmente dal campo P. Quindi, spazi a dimensione zero sul campo dei numeri razionali e sul campo numeri reali sono considerati diversi, anche se costituiti da un unico vettore nullo.

Esempio 2 Il campo P è esso stesso uno spazio vettoriale sul campo P. Sia V=P. Verifichiamo la soddisfacibilità degli assiomi dello spazio vettoriale. Poiché P è un campo, P è un gruppo abeliano additivo e vale A 1. In virtù della fattibilità in P dell'associatività della moltiplicazione, A 2 è soddisfatto. Gli assiomi A 3 e A 4 valgono perché la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione in P. Poiché esiste un unico elemento 1 nel campo P, la proprietà di unitarietà A 5 è soddisfatta. Quindi il campo P è uno spazio vettoriale sul campo P.

Esempio 3 Spazio vettoriale aritmetico n-dimensionale.

Sia P un campo. Si consideri l'insieme V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i н P, i=1,…, n). Sull'insieme V introduciamo le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare secondo le seguenti regole:

"= (a 1 , a 2 , … , an), = (b 1 , b 2 , … , bn) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , an + mld) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Verranno chiamati gli elementi dell'insieme V vettori n-dimensionali. Due vettori n-dimensionali si dicono uguali se le loro componenti corrispondenti (coordinate) sono uguali. Mostriamo che V è uno spazio vettoriale sul campo P. Dalla definizione delle operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare consegue che V è chiuso sotto queste operazioni. Poiché l'aggiunta di elementi da V si riduce all'aggiunta di elementi del campo P e P è un gruppo abeliano additivo, allora V è un gruppo abeliano additivo. Inoltre, = , dove 0 è lo zero del campo Р, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n). Pertanto, A 1 è soddisfatto. Poiché la moltiplicazione di un elemento di V per un elemento di P si riduce alla moltiplicazione di elementi del campo P, allora:

A 2 viene eseguito per l'associatività della moltiplicazione per P;

A 3 e A 4 sono soddisfatte per la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione su P;

A 5 è soddisfatto, poiché 1 Î P è un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione per P.

Definizione 2. L'insieme V= P n con operazioni, determinate formule(1) e (2) è chiamato spazio vettoriale aritmetico n-dimensionale sul campo P.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

vettore(o lineare) spazio- una struttura matematica, che è un insieme di elementi, detti vettori, per i quali si definiscono le operazioni di addizione tra loro e di moltiplicazione per un numero - uno scalare. Queste operazioni sono soggette a otto assiomi. Gli scalari possono essere elementi di un campo numerico reale, complesso o qualsiasi altro. Un caso speciale di tale spazio è il solito spazio euclideo tridimensionale, i cui vettori sono usati, ad esempio, per rappresentare le forze fisiche. Allo stesso tempo, va notato che un vettore come elemento di uno spazio vettoriale non deve essere specificato sotto forma di segmento orientato. La generalizzazione del concetto di "vettore" ad un elemento di uno spazio vettoriale di qualsiasi natura non solo non crea confusione di termini, ma permette anche di comprendere o addirittura anticipare una serie di risultati validi per spazi di natura arbitraria .

Gli spazi vettoriali sono oggetto di studio in algebra lineare. Una delle caratteristiche principali di uno spazio vettoriale è la sua dimensione. La dimensione è il numero massimo di elementi dello spazio linearmente indipendenti, cioè, ricorrendo ad una descrizione geometrica approssimativa, il numero di direzioni che sono inesprimibili l'una rispetto all'altra attraverso le sole operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Lo spazio vettoriale può essere dotato di strutture aggiuntive, come la norma o il prodotto scalare. Tali spazi appaiono naturalmente nel calcolo, prevalentemente come spazi di funzione a dimensione infinita ( inglese), dove i vettori sono le funzioni. Molti problemi di analisi richiedono di scoprire se una sequenza di vettori converge a dato vettore. La considerazione di tali domande è possibile in spazi vettoriali con struttura aggiuntiva, nella maggior parte dei casi una topologia adeguata, che consente di definire i concetti di prossimità e continuità. Tali spazi vettoriali topologici, in particolare gli spazi di Banach e Hilbert, consentono uno studio più approfondito.

Oltre ai vettori, l'algebra lineare studia anche i tensori di rango più alto (uno scalare è considerato un tensore di rango 0, un vettore è considerato un tensore di rango 1).

I primi lavori che anticiparono l'introduzione del concetto di spazio vettoriale risalgono al XVII secolo. Fu allora che la geometria analitica, la dottrina delle matrici, i sistemi di equazioni lineari ei vettori euclidei ricevettero il loro sviluppo.

Definizione

Lineare, o spazio vettoriale $V\sinistra(F\destra)$ sul campo $F$ è una quadrupla ordinata $(V,F,+,\cpunto)$ , dove

$V$ - un insieme non vuoto di elementi di natura arbitraria, che vengono chiamati vettori;
$F$ - (algebrico) campo i cui elementi sono chiamati scalari;
Operazione definita aggiunte vettori $V\volte V\a V$ , abbinando ogni coppia di elementi $\mathbf(x), \mathbf(y)$ imposta $V$ $V$ chiamandoli somma e indicato $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
Operazione definita moltiplicazione di vettori per scalari $F\volte V\a V$ , che corrisponde a ciascun elemento $\lambda$ campi $F$ e ogni elemento $\mathbf(x)$ imposta $V$ l'unico elemento dell'insieme $V$ , indicato $\lambda\cdot\mathbf(x)$ o $\lambda\mathbf(x)$ ;

Gli spazi vettoriali definiti sullo stesso insieme di elementi ma su campi diversi saranno spazi vettoriali diversi (ad esempio, l'insieme di coppie di numeri reali $\mathbb(R)^2$ può essere uno spazio vettoriale bidimensionale sul campo dei numeri reali o unidimensionale - sul campo dei numeri complessi).

Le proprietà più semplici

Lo spazio vettoriale è un gruppo abeliano per addizione.
elemento neutro $\mathbf(0) \in V$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ per chiunque $\mathbf(x) \in V$ .
Per chiunque $\mathbf(x) \in V$ elemento opposto $-\mathbf(x) \in V$ è l'unico che segue dalle proprietà del gruppo.
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ per chiunque $\mathbf(x) \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf(x) = \alpha\cdot(-\mathbf(x)) = -(\alpha\mathbf(x))$ per ogni $\alfa \in F$ e $\mathbf(x) \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ per chiunque $\alfa \in F$ .

Definizioni e proprietà correlate

sottospazio

Definizione algebrica: Sottospazio lineare o sottospazio vettorialeè un sottoinsieme non vuoto $K$ spazio lineare $V$ tale che $K$ è esso stesso uno spazio lineare rispetto a quelli definiti in $V$ le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. L'insieme di tutti i sottospazi è generalmente indicato come $\mathrm(Lat)(V)$ . Perché un sottoinsieme sia un sottospazio, è necessario e sufficiente

per qualsiasi vettore $\mathbf(x)\in K$ , vettore $\alfa\mathbf(x)$ apparteneva anche $K$ , per ogni $\alfa\in F$ ;
per qualsiasi vettore $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vettore $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ apparteneva anche $K$ .

Le ultime due affermazioni equivalgono alle seguenti:

Per qualsiasi vettore $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vettore $\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(y)$ apparteneva anche $K$ per ogni $\alfa, \beta \in F$ .

In particolare, uno spazio vettoriale costituito da un solo vettore zero è un sottospazio di qualsiasi spazio; ogni spazio è un sottospazio di se stesso. Si chiamano sottospazi che non coincidono con questi due possedere o non banale.

Proprietà del sottospazio

L'intersezione di qualsiasi famiglia di sottospazi è di nuovo un sottospazio;
Somma dei sottospazi $K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N$ definito come un insieme contenente tutte le possibili somme di elementi K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)$.
- La somma di una famiglia finita di sottospazi è di nuovo un sottospazio.

Combinazioni lineari

Somma finale della vista

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

La combinazione lineare si chiama:

Base. Dimensione

vettori $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ chiamata linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare non banale uguale a zero:

Altrimenti, questi vettori sono chiamati linearmente indipendente.

Questa definizione consente la seguente generalizzazione: un insieme infinito di vettori da $V$ chiamata linearmente dipendente, se alcuni finale il suo sottoinsieme, e linearmente indipendente, se presente finale sottoinsieme è linearmente indipendente.

Proprietà di base:

Qualsiasi $n$ elementi linearmente indipendenti $n$ -forma spaziale dimensionale base questo spazio.
Qualsiasi vettore $\mathbf(x) \in V$ si può immaginare ( l'unico modo) sotto forma di finale combinazione lineare Elementi basici:

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

Conchiglia lineare

Conchiglia lineare $\mathcal V(X)$ sottoinsiemi $X$ spazio lineare $V$ - intersezione di tutti i sottospazi $V$ contenente $X$ .

La shell lineare è un sottospazio $V$ .

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato $X$ . Si dice anche che la campata lineare $\mathcal V(X)$ - spazio, allungato molti $X$ .

Conchiglia lineare $\mathcal V(X)$ consiste in tutte le possibili combinazioni lineari di vari sottosistemi finiti di elementi da $X$ . In particolare, se $X$ è un insieme finito, quindi $\mathcal V(X)$ è costituito da tutte le combinazioni lineari di elementi $X$ . Pertanto, il vettore nullo appartiene sempre all'intervallo lineare.

Se $X$ è un insieme linearmente indipendente, allora è una base $\mathcal V(X)$ e ne determina così la dimensione.

Esempi

Uno spazio nullo il cui unico elemento è zero.
Lo spazio di tutte le funzioni $X\a F$ con supporto finito forma uno spazio vettoriale di dimensione uguale a $X$ .
Il campo dei numeri reali può essere visto come uno spazio vettoriale a dimensioni continue sul campo dei numeri razionali.
Ogni campo è uno spazio unidimensionale sopra se stesso.

Strutture aggiuntive

Guarda anche

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Appunti

Letteratura

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Vettori e matrici

vettori

Concetti basilari

Tipi di vettori

Operazioni sui vettori

Tipi di spazio

matrici

Concetti basilari

Altro

Un estratto che caratterizza lo spazio vettoriale

Kutuzov ha camminato attraverso i ranghi, fermandosi di tanto in tanto e dicendo alcune parole gentili agli ufficiali, che conosceva dalla guerra turca, e talvolta ai soldati. Guardando le scarpe, scosse più volte la testa tristemente e le indicò il generale austriaco con un'espressione tale che non sembrò rimproverare nessuno per questo, ma non poté fare a meno di vedere quanto fosse brutto. Il comandante del reggimento correva ogni volta, temendo di perdere la parola del comandante in capo riguardo al reggimento. Dietro Kutuzov, a una tale distanza da poter udire qualsiasi parola debolmente pronunciata, camminava un uomo di 20 seguiti. I signori del seguito parlavano tra loro e qualche volta ridevano. Il più vicino dietro al comandante in capo c'era un bell'aiutante. Era il principe Bolkonsky. Accanto a lui c'era il suo compagno Nesvitsky, alto quartier generale un ufficiale, estremamente grasso, con un bel viso gentile e sorridente e gli occhi umidi; Nesvitsky riuscì a malapena a trattenersi dal ridere, eccitato dall'ufficiale ussaro nerastro che camminava accanto a lui. L'ufficiale ussaro, senza sorridere, senza mutare l'espressione degli occhi fissi, guardava con espressione seria la schiena del comandante di reggimento e ne imitava ogni movimento. Ogni volta che il comandante del reggimento rabbrividì e si sporse in avanti, esattamente allo stesso modo, esattamente allo stesso modo, l'ufficiale ussaro rabbrividì e si sporse in avanti. Nesvitsky rise e spinse gli altri a guardare l'uomo divertente.
Kutuzov passò lentamente e svogliatamente davanti a mille occhi che uscivano dalle orbite, seguendo il capo. Dopo aver raggiunto il livello della 3a compagnia, si fermò improvvisamente. Il seguito, non prevedendo questa sosta, involontariamente avanzò su di lui.
- Ah, Timokhin! - disse il comandante in capo, riconoscendo il capitano dal naso rosso, che soffriva per un soprabito azzurro.
Sembrava che fosse impossibile allungare più di quanto Timokhin si estendesse, mentre il comandante del reggimento lo rimproverava. Ma in quel momento il comandante in capo gli si rivolse, il capitano si distese in modo che sembrava che se il comandante in capo lo avesse guardato ancora un po', il capitano non avrebbe potuto sopportarlo; e quindi Kutuzov, apparentemente comprendendo la sua posizione e augurando, al contrario, tutto il meglio per il capitano, si voltò frettolosamente. Un sorriso appena percettibile attraversò il viso grassoccio e ferito di Kutuzov.
«Un altro compagno Izmaylovsky», disse. "Ufficiale coraggioso!" Ne sei felice? chiese Kutuzov al comandante del reggimento.
E il comandante del reggimento, come riflesso in uno specchio, invisibile a se stesso, nell'ufficiale ussaro, rabbrividì, andò avanti e rispose:
«Molto contento, Eccellenza.
"Non siamo tutti privi di debolezze", ha detto Kutuzov, sorridendo e allontanandosi da lui. “Aveva un attaccamento a Bacco.
Il comandante del reggimento temeva di non essere da biasimare per questo e non rispose. L'ufficiale in quel momento notò la faccia del capitano con il naso rosso e lo stomaco piegato all'insù, e ne imitava il viso e la postura in modo così simile che Nesvitsky non poté fare a meno di ridere.
Kutuzov si voltò. Era evidente che l'ufficiale poteva controllarsi come voleva: nel momento in cui Kutuzov si è voltato, l'ufficiale è riuscito a fare una smorfia, per poi assumere l'espressione più seria, rispettosa e innocente.
La terza compagnia era l'ultima, e pensò Kutuzov, apparentemente ricordando qualcosa. Il principe Andrei uscì dal seguito e disse tranquillamente in francese:
- Hai ordinato di ricordarti del retrocesso Dolokhov in questo reggimento.
- Dov'è Dolochov? chiese Kutuzov.
Dolokhov, già vestito con un soprabito grigio da soldato, non ha aspettato di essere chiamato. La figura snella di un soldato biondo con gli occhi azzurri e limpidi si fece avanti. Si avvicinò al comandante in capo e fece una guardia.
- Reclamo? - Accigliandosi leggermente, chiese Kutuzov.
"Questo è Dolokhov", disse il principe Andrei.
- UN! ha detto Kutuzov. – Spero che questa lezione ti corregga, serva bene. L'imperatore è misericordioso. E non ti dimenticherò se te lo meriti.
Occhi azzurri guardavano il comandante in capo con la stessa franchezza con cui guardavano il comandante del reggimento, come se con la loro espressione stessero strappando il velo di convenzionalità che separava così lontano il comandante in capo dal soldato.
«Vi chiedo una cosa, Eccellenza», disse con la sua voce risonante, ferma, senza fretta. “Vi chiedo di darmi la possibilità di fare ammenda per la mia colpa e dimostrare la mia devozione all'imperatore e alla Russia.
Kutuzov si voltò. Lo stesso sorriso dei suoi occhi balenò sul suo volto come nel momento in cui si voltò dal capitano Timokhin. Si voltò e fece una smorfia, come se volesse esprimere con questo che tutto ciò che Dolokhov gli aveva detto, e tutto ciò che poteva dirgli, sapeva da molto, molto tempo che tutto questo lo aveva già annoiato e che tutto questo era non è affatto quello di cui aveva bisogno. . Si voltò e si avviò verso la carrozza.
Il reggimento si dispose in compagnie e si diresse verso gli appartamenti assegnati non lontano da Braunau, dove speravano di mettersi le scarpe, vestirsi e riposarsi dopo difficili transizioni.
- Non mi fai finta, Prokhor Ignatich? - disse il comandante del reggimento, girando intorno alla 3a compagnia dirigendosi verso il luogo e guidando fino al capitano Timokhin, che stava camminando davanti ad essa. Il volto del comandante del reggimento, dopo una rassegna felicemente tramontata, esprimeva una gioia irrefrenabile. - Il servizio reale ... non puoi ... un'altra volta ti taglierai davanti ... sarò il primo a scusarmi, mi conosci ... Grazie mille! E tese la mano al comandante.
"Mi scusi, generale, oso!" - rispose il capitano arrossendo col naso, sorridendo e rivelando con un sorriso la mancanza di due denti anteriori, storditi da un sedere vicino a Ismaele.
- Sì, dì al signor Dolokhov che non lo dimenticherò, in modo che sia calmo. Sì, per favore dimmi, continuavo a voler chiedere, cos'è, come si comporta? E ogni cosa...
«È molto utile nel suo servizio, Eccellenza... ma il carakhter...» disse Timokhin.
- E cosa, qual è il personaggio? chiese il comandante del reggimento.
«Lui trova, Eccellenza, da giorni», disse il capitano, «è intelligente, dotto e gentile. E questa è una bestia. In Polonia ha ucciso un ebreo, per favore, sa...
"Bene, sì, bene, sì", disse il comandante del reggimento, "deve essere tutto pentito". giovanotto in disgrazia. Dopotutto grandi connessioni… Quindi tu…
"Sto ascoltando, Eccellenza", ha detto Timokhin, con un sorriso che ha fatto capire di aver compreso i desideri del capo.
- Si si.
Il comandante del reggimento trovò Dolokhov nei ranghi e tenne a freno il suo cavallo.
"Prima del primo caso, le spalline", gli disse.
Dolokhov si guardò intorno, non disse nulla e non cambiò l'espressione della sua bocca beffardamente sorridente.
"Bene, va bene", continuò il comandante del reggimento. "La gente mi prende un bicchiere di vodka", ha aggiunto, in modo che i soldati potessero sentire. - Grazie a tutti! Grazie Dio! - E lui, dopo aver superato una compagnia, si avvicinò a un'altra.
- Beh, lui, giusto, buon uomo; Puoi servire con lui,” disse il subalterno Timokhin all'ufficiale che camminava accanto a lui.
- Una parola, rosso!... (il comandante del reggimento era soprannominato il re rosso) - disse ridendo l'ufficiale subalterno.
Il buon umore delle autorità dopo la revisione è passato ai soldati. Rota si stava divertendo. Le voci dei soldati parlavano da tutte le parti.
- Come hanno detto, Kutuzov storto, su un occhio?
- Ma no! Totalmente storto.
- Non... fratello, con gli occhi più grandi di te. Stivali e colletti - guardato intorno a tutto ...
- Come fa lui, fratello mio, a guardarmi i piedi... beh! pensare…
- E l'altro è un austriaco, era con lui, come imbrattato di gesso. Come farina, bianca. Sono il tè, come puliscono le munizioni!
- Cosa, Fedeshow!... ha detto, forse, quando iniziano le guardie, ti sei avvicinato? Hanno detto tutto, Bunaparte in persona è in piedi in Brunov.
- Bunaparte sta in piedi! menti, sciocco! Cosa non sa! Ora il prussiano è in rivolta. L'austriaco, quindi, lo tranquillizza. Non appena si riconcilierà, la guerra si aprirà con Bounaparte. E poi, dice, in Brunov, Bunaparte è in piedi! È ovvio che è un idiota. Ascolti di più.
«Guarda, maledetti inquilini! La quinta compagnia, guarda, si sta già trasformando nel villaggio, cucineranno il porridge e non arriveremo ancora sul posto.
- Dammi un cracker, maledizione.
"Hai dato del tabacco ieri?" Questo è tutto, fratello. Bene, avanti, Dio è con te.
- Se solo si fermassero, altrimenti non mangerai altri cinque miglia di proprem.
- È stato bello come i tedeschi ci hanno regalato i passeggini. Vai, lo sai: è importante!
- E qui, fratello, la gente è diventata completamente frenetica. Là tutto sembrava essere un polacco, tutto era della corona russa; e ora, fratello, un solido tedesco se n'è andato.
- Cantautori avanti! - Ho sentito il grido del capitano.
E una ventina di persone corsero davanti alla compagnia di ranghi diversi. Il batterista canta si è voltato ad affrontare i libri di canzoni e, agitando la mano, ha iniziato una lunga canzone da soldato, che iniziava: "Non è l'alba, il sole stava sorgendo ..." e termina con le parole: "Quello , fratelli, ci sarà gloria con padre Kamensky ..." in Turchia e ora veniva cantato in Austria, solo con il cambio che al posto di "padre Kamensky" furono inserite le parole: "Padre di Kutuzov".
Strappando queste ultime parole come un soldato e agitando le braccia come se stesse gettando qualcosa per terra, il batterista, un soldato secco e bello sulla quarantina, guardò severamente i soldati cantautori e chiuse gli occhi. Poi, assicurandosi che tutti gli occhi fossero fissi su di lui, sembrò sollevare con cautela con entrambe le mani un oggetto prezioso e invisibile sopra la sua testa, lo tenne così per diversi secondi, e improvvisamente lo lanciò disperatamente:
Oh, tu, mio baldacchino, mio baldacchino!
“Canopy my new…”, si raccolsero venti voci, e il cucchiaio, nonostante la pesantezza delle munizioni, balzò svelto in avanti e indietreggiò davanti alla compagnia, muovendo le spalle e minacciando qualcuno con dei cucchiai. I soldati, oscillando le braccia al ritmo della canzone, camminavano con passo ampio, colpendo involontariamente la gamba. Dietro la compagnia arrivavano i rumori delle ruote, lo scricchiolio delle molle e il rumore dei cavalli.
Kutuzov con il suo seguito stava tornando in città. Il comandante in capo fece segno che il popolo doveva continuare a camminare liberamente, e il suo viso e tutti i volti del suo seguito esprimevano piacere al suono del canto, alla vista del soldato che ballava e dei soldati allegri e svelti che marciavano l'azienda. Nella seconda fila, dal fianco destro, da cui la carrozza ha sorpassato le compagnie, un soldato dagli occhi azzurri, Dolokhov, ha catturato involontariamente l'attenzione, che ha camminato in modo particolarmente vivace e aggraziato al ritmo della canzone e ha guardato i volti dei passanti con un'espressione tale come se provasse compassione per tutti coloro che non sono andati in questo momento con una compagnia. Una cornetta ussaro del seguito di Kutuzov, imitando il comandante del reggimento, rimase indietro rispetto alla carrozza e si diresse verso Dolokhov.
L'ussaro cornetto Zherkov un tempo a San Pietroburgo apparteneva a quella società violenta guidata da Dolokhov. Zherkov ha incontrato Dolokhov all'estero come soldato, ma non ha ritenuto necessario riconoscerlo. Ora, dopo la conversazione di Kutuzov con il retrocesso, si rivolse a lui con la gioia di un vecchio amico:
- Caro amico, come stai? - disse al suono della canzone, uguagliando il passo del suo cavallo con il passo della compagnia.
- Sono come? - rispose freddamente Dolokhov, - come puoi vedere.
La vivace canzone attribuiva particolare importanza al tono di sfacciata allegria con cui parlava Zherkov e alla deliberata freddezza delle risposte di Dolokhov.
- Allora, come va d'accordo con le autorità? chiese Zherkov.
- Niente, brava gente. Come sei entrato in sede?
- Distaccato, sono in servizio.
Erano silenziosi.
"Ho fatto uscire il falco dalla manica destra", diceva la canzone, suscitando involontariamente una sensazione allegra e allegra. La loro conversazione sarebbe stata probabilmente diversa se non avessero parlato al suono di una canzone.
- Che è vero, gli austriaci sono stati battuti? chiese Dolochov.
«Il diavolo lo sa, dicono.
"Sono contento", ha risposto Dolokhov in modo breve e chiaro, come richiedeva la canzone.
- Bene, vieni da noi quando la sera il faraone si impegna, - disse Zherkov.
O hai molti soldi?
- Venire.
- È vietato. Ha fatto un voto. Non bevo né gioco finché non ho finito.
Beh, prima della prima cosa...
- Lo vedrai lì.
Di nuovo rimasero in silenzio.
"Entra, se hai bisogno di qualcosa, tutti al quartier generale ti aiuteranno..." disse Zherkov.
Dolokhov ridacchiò.
“Farai meglio a non preoccuparti. Quello di cui ho bisogno, non lo chiederò, lo prenderò io stesso.
"Sì, beh, sono così...
- Bene, lo sono anch'io.
- Arrivederci.
- Essere sano…
... e in alto e lontano,
In casa...
Zherkov toccò con gli speroni il suo cavallo, che per tre volte, eccitandosi, scalciando, non sapendo da dove cominciare, se la cavava e galoppava, sorpassando la compagnia e raggiungendo la carrozza, anche in tempo con la canzone.

Ritornato dalla rassegna, Kutuzov, accompagnato dal generale austriaco, si recò nel suo ufficio e, chiamato l'aiutante, ordinò di consegnarsi alcune carte relative allo stato delle truppe in arrivo e lettere ricevute dall'arciduca Ferdinando, che comandava l'esercito avanzato . Il principe Andrei Bolkonsky con i documenti richiesti entrò nell'ufficio del comandante in capo. Davanti al piano steso sul tavolo sedevano Kutuzov e un membro austriaco dell'Hofkriegsrat.
«Ah...» disse Kutuzov, voltandosi a guardare Bolkonskij, come per invitare con questa parola l'aiutante ad aspettare, e continuò la conversazione iniziata in francese.
«Dico solo una cosa, generale», disse Kutuzov con una piacevole eleganza nell'espressione e nell'intonazione, costringendo ad ascoltare ogni parola detta con calma. Era evidente che Kutuzov si ascoltava con piacere. - Dico solo una cosa, Generale, che se la cosa fosse dipesa dal mio desiderio personale, allora la volontà di Sua Maestà l'Imperatore Francesco si sarebbe compiuta molto tempo fa. Sarei entrato nell'arciduca molto tempo fa. E credi mio onore, che per me personalmente trasferire il comando superiore dell'esercito più di me a un generale esperto e abile, come l'Austria è così abbondante, e dare tutta questa pesante responsabilità per me personalmente sarebbe una gioia . Ma le circostanze sono più forti di noi, generale.
E Kutuzov sorrise con un'espressione come se stesse dicendo: "Hai tutto il diritto di non credermi, e anche a me non importa se mi credi o no, ma non hai motivo di dirmelo. E questo è il punto".
Il generale austriaco sembrava insoddisfatto, ma non poteva rispondere a Kutuzov con lo stesso tono.
«Al contrario», disse con tono burbero e rabbioso, così contrario al significato lusinghiero delle parole dette, «al contrario, la partecipazione di Vostra Eccellenza alla causa comune è molto apprezzata da Sua Maestà; ma crediamo che un vero rallentamento privi le gloriose truppe russe e i loro comandanti di quegli allori che sono abituati a mietere nelle battaglie ", ha concluso la frase apparentemente preparata.
Kutuzov si inchinò senza cambiare sorriso.
- E sono così convinto e, basandomi sull'ultima lettera che Sua Altezza l'Arciduca Ferdinando mi ha onorato, presumo che le truppe austriache, al comando di un abile assistente come il generale Mack, abbiano già ottenuto una vittoria decisiva e non più bisogno del nostro aiuto, - ha detto Kutuzov.
Il generale si accigliò. Nonostante non ci fossero notizie positive sulla sconfitta degli austriaci, troppe erano le circostanze che confermavano le voci sfavorevoli generali; e quindi l'ipotesi di Kutuzov sulla vittoria degli austriaci era molto simile a una presa in giro. Ma Kutuzov sorrise mite, sempre con la stessa espressione che diceva che aveva il diritto di presumerlo. Infatti, l'ultima lettera che ricevette dall'esercito di Mack lo informava della vittoria e della posizione strategica più vantaggiosa dell'esercito.
"Dammi questa lettera qui", disse Kutuzov, rivolgendosi al principe Andrei. - Ecco a te, se vuoi vederlo. - E Kutuzov, con un sorriso beffardo sulla punta delle labbra, lesse il seguente brano della lettera dell'arciduca Ferdinando del generale austro-tedesco: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient. [Abbiamo una forza completamente concentrata, circa 70.000 persone, in modo da poter attaccare e sconfiggere il nemico se attraversa il Lech. Dal momento che possediamo già Ulm, possiamo mantenere il vantaggio di comandare entrambe le sponde del Danubio, quindi, ogni minuto, se il nemico non attraversa il Lech, attraversa il Danubio, corri alla sua linea di comunicazione, attraversa il Danubio più in basso e il nemico , se decide di rivolgere tutte le sue forze ai nostri fedeli alleati, per impedire che la sua intenzione si realizzi. Pertanto, attendiamo con gioia il tempo in cui l'impero esercito russo completamente pronto, e quindi insieme possiamo facilmente trovare un'opportunità per preparare il destino del nemico, che si merita.

Golovizin V.V. Lezioni di Algebra e Geometria. 4

Lezioni di Algebra e Geometria. Semestre 2.

Lezione 22. Spazi vettoriali.

Riepilogo: definizione di uno spazio vettoriale, le sue proprietà più semplici, sistemi di vettori, combinazione lineare di un sistema di vettori, combinazione lineare banale e non banale, sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti, condizioni dipendenza lineare o indipendenza di un sistema di vettori, un sottosistema di un sistema di vettori, un sistema di colonne di uno spazio vettoriale aritmetico.

elemento 1. Definizione di uno spazio vettoriale e sue proprietà più semplici.

Qui, per comodità del lettore, ripetiamo il contenuto del paragrafo 13 della lezione 1.

Definizione. Sia un insieme arbitrario non vuoto i cui elementi chiameremo vettori, K sia un campo i cui elementi chiameremo scalari. Sia definita un'operazione algebrica binaria interna sull'insieme, che indicheremo con il segno + e chiameremo addizione di vettori. Sia definita anche un'operazione algebrica binaria esterna sull'insieme, che chiameremo moltiplicazione di un vettore per uno scalare e indicheremo con il segno di moltiplicazione. In altre parole, sono definite due mappature:

Un insieme insieme a queste due operazioni algebriche è chiamato spazio vettoriale su un campo K se valgono i seguenti assiomi:

1. L'addizione è associativa, cioè

2. C'è un vettore zero, ad es.

3. Per ogni vettore, ce n'è uno opposto:

Il vettore y, opposto al vettore x, è solitamente indicato con -x, quindi

4. L'addizione è commutativa, cioè .

5. La moltiplicazione di un vettore per uno scalare obbedisce alla legge di associatività, cioè

dove il prodotto è il prodotto di scalari definiti nel campo K.

6. , dove 1 è l'unità del campo K.

7. La moltiplicazione di un vettore per uno scalare è distributiva rispetto all'addizione del vettore:

8. La moltiplicazione di un vettore per uno scalare è distributiva rispetto all'addizione di scalari: .

Definizione. Lo spazio vettoriale sul campo dei numeri reali è chiamato spazio vettoriale reale.

Teorema. (Le proprietà più semplici degli spazi vettoriali.)

1. C'è un solo vettore nullo in uno spazio vettoriale.

2. In uno spazio vettoriale, ogni vettore ha un unico opposto.

3. o
.

4. .

Prova. 1) L'unicità del vettore zero si dimostra allo stesso modo dell'unicità della matrice identità e, in generale, dell'unicità dell'elemento neutro di qualsiasi operazione algebrica binaria interna.

Sia 0 il vettore zero dello spazio vettoriale V. Allora . Lascia stare
è un altro vettore zero. Quindi . Prendiamo il primo caso
, e nel secondo
. Quindi
e
, da cui ne consegue
, eccetera.

2a) Innanzitutto dimostriamo che il prodotto di uno scalare zero e qualsiasi vettore è uguale a un vettore zero.

Lascia stare
. Quindi, applicando gli assiomi dello spazio vettoriale, otteniamo:

Per quanto riguarda l'addizione, uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano e la legge di cancellazione vale in qualsiasi gruppo. Applicando la legge di riduzione, implica l'ultima uguaglianza

2b) Proviamo ora l'asserzione 4). Lascia stare
è un vettore arbitrario. Quindi

Ne consegue immediatamente che il vettore
è l'opposto di x.

2c) Lascia ora
. Quindi, applicando gli assiomi dello spazio vettoriale,
e
noi abbiamo:

2d) Let
e supponiamo che
. Perché
, dove K è un campo, allora esiste
. Moltiplichiamo l'uguaglianza
lasciato a
:
, da cui segue
o
o
.

Il teorema è stato dimostrato.

elemento 2. Esempi di spazi vettoriali.

1) Un insieme di funzioni numeriche reali di una variabile, continue nell'intervallo (0; 1) rispetto alle normali operazioni di somma di funzioni e moltiplicazione di una funzione per un numero.

2) L'insieme dei polinomi da una lettera con coefficienti del campo K rispetto all'addizione dei polinomi e alla moltiplicazione dei polinomi per uno scalare.

3) Impostare numeri complessi per quanto riguarda l'addizione di numeri complessi e la moltiplicazione per un numero reale.

4) Un insieme di matrici della stessa dimensione con elementi del campo K rispetto all'addizione di matrici e alla moltiplicazione di matrici per uno scalare.

L'esempio seguente è un importante caso speciale dell'Esempio 4.

5) Sia un numero naturale arbitrario. Indichiamo con l'insieme di tutte le colonne di altezza n, cioè insieme di matrici su un campo K di dimensione
.

L'insieme è uno spazio vettoriale sul campo K ed è chiamato spazio vettoriale aritmetico delle colonne di altezza n sul campo K.

In particolare, se invece di un campo arbitrario K prendiamo il campo dei numeri reali, allora lo spazio vettoriale
è chiamato spazio vettoriale aritmetico reale di colonne di altezza n.

Allo stesso modo, anche l'insieme di matrici su un campo K di dimensione è uno spazio vettoriale
o meno, stringhe di lunghezza n. È anche indicato ed è anche chiamato spazio vettoriale aritmetico di stringhe di lunghezza n sul campo K.

voce 3. Sistemi di vettori di uno spazio vettoriale.

Definizione. Un sistema di vettori di uno spazio vettoriale è un qualsiasi insieme finito non vuoto di vettori di questo spazio.

Designazione:
.

Definizione. Espressione

, (1)

dove sono gli scalari del campo K, sono i vettori dello spazio vettoriale V, si chiama combinazione lineare del sistema di vettori
. Gli scalari sono chiamati coefficienti di questa combinazione lineare.

Definizione. Se tutti i coefficienti della combinazione lineare (1) sono uguali a zero, allora tale combinazione lineare è chiamata banale, altrimenti non è banale.

Esempio. Lascia stare
un sistema di tre vettori in uno spazio vettoriale V. Allora

è una banale combinazione lineare di un dato sistema di vettori;

è una combinazione lineare non banale di un dato sistema di vettori, poiché il primo coefficiente di questa combinazione
.

Definizione. Se un vettore x di uno spazio vettoriale V può essere rappresentato come:

allora diciamo che il vettore x è espresso linearmente in termini di vettori del sistema
. In questo caso, diciamo anche che il sistema
rappresenta linearmente il vettore x.

Commento. In questa e nella precedente definizione, la parola "lineare" viene spesso omessa e si dice che il sistema rappresenta un vettore, oppure il vettore è espresso in termini di vettori del sistema e così via.

Esempio. Lascia stare
è un sistema di due colonne nello spazio vettoriale aritmetico reale delle colonne di altezza 2. Quindi la colonna
espresso linearmente in termini di colonne del sistema, oppure il dato sistema di colonne rappresenta linearmente la colonna x. Veramente,

voce 4. Sistemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale.

Poiché il prodotto di uno scalare zero e qualsiasi vettore è un vettore zero e la somma di zero vettori è uguale a un vettore zero, allora per qualsiasi sistema di vettori l'uguaglianza

Ne consegue che il vettore nullo è espresso linearmente in termini di vettori di qualsiasi sistema di vettori, o, in altre parole, qualsiasi sistema di vettori rappresenta linearmente il vettore nullo.

Esempio. Lascia stare
. In questo caso la colonna nulla può essere espresso linearmente in termini di colonne del sistema in più di un modo:

Per distinguere tra questi metodi di rappresentazione lineare del vettore zero, introduciamo la seguente definizione.

Definizione. Se l'uguaglianza

e tutti i coefficienti , allora diciamo che il sistema
rappresenta banalmente il vettore nullo. Se in uguaglianza (3) almeno uno dei coefficienti
non è uguale a zero, allora diciamo che il sistema dei vettori
rappresenta il vettore nullo in modo non banale.

Dall'ultimo esempio, vediamo che esistono sistemi di vettori che possono rappresentare il vettore nullo in modo non banale. Dal seguente esempio vedremo che esistono sistemi di vettori che non possono rappresentare in modo non banale il vettore nullo.

Esempio. Lascia stare
è un sistema di due colonne dallo spazio vettoriale. Considera l'uguaglianza:

dove
coefficienti sconosciuti. Usando le regole per moltiplicare una colonna per uno scalare (numero) e aggiungere colonne, otteniamo l'uguaglianza:

Dalla definizione di uguaglianza di matrice deriva che
e
.

Pertanto, il sistema dato non può rappresentare la colonna nulla in modo non banale.

Segue dagli esempi precedenti che esistono due tipi di sistemi vettoriali. Alcuni sistemi rappresentano il vettore nullo in modo non banale, mentre altri no. Si noti ancora una volta che qualsiasi sistema di vettori rappresenta banalmente il vettore nullo.

Definizione. Un sistema vettoriale spaziale che rappresenta SOLO banalmente il vettore zero è detto linearmente indipendente.

Definizione. Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale che può rappresentare in modo non banale un vettore nullo è detto linearmente dipendente.

L'ultima definizione può essere data in una forma più dettagliata.

Definizione. Sistema vettoriale
lo spazio vettoriale V è detto linearmente dipendente se esiste un tale insieme diverso da zero di scalari del campo K

Commento. Qualsiasi sistema di vettori
può rappresentare banalmente il vettore nullo:

Ma questo non è sufficiente per scoprire se un dato sistema di vettori è linearmente dipendente o linearmente indipendente. Dalla definizione consegue che un sistema di vettori linearmente indipendente non può rappresentare il vettore zero in modo non banale, ma solo in modo banale. Pertanto, al fine di verificare l'indipendenza lineare di un dato sistema di vettori, è necessario considerare la rappresentazione di zero da una combinazione lineare arbitraria di questo sistema di vettori:

Se questa uguaglianza è impossibile, a condizione che almeno un coefficiente di questa combinazione lineare sia diverso da zero, allora questo sistema è, per definizione, linearmente indipendente.

Quindi negli esempi del paragrafo precedente, il sistema a colonne
è linearmente indipendente e il sistema di colonne
è linearmente dipendente.

Allo stesso modo si dimostra l'indipendenza lineare del sistema di colonne , , ... ,

dallo spazio , dove K è un campo arbitrario, n è un numero naturale arbitrario.

I seguenti teoremi forniscono diversi criteri per la dipendenza lineare e, di conseguenza, l'indipendenza lineare dei sistemi di vettori.

Teorema. (Una condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare di un sistema di vettori.)

Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente nei termini degli altri vettori di questo sistema.

Prova. Necessitano. Lascia che il sistema
linearmente dipendente. Quindi, per definizione, rappresenta il vettore nullo in modo non banale, cioè esiste una combinazione lineare non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

dove almeno uno dei coefficienti di questa combinazione lineare non è uguale a zero. Lascia stare
,
.

Dividi entrambe le parti dell'uguaglianza precedente per questo coefficiente diverso da zero (cioè, moltiplica per :

Denota:
, dove .

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente in termini di altri vettori di questo sistema, ecc.

Adeguatezza. Sia espresso linearmente uno dei vettori del sistema in termini di altri vettori di questo sistema:

Spostiamo il vettore a destra di questa equazione:

Poiché il coefficiente al vettore è uguale a
, allora abbiamo una rappresentazione non banale di zero mediante un sistema di vettori
, il che significa che questo sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza.

1. Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei vettori del sistema è espresso linearmente in termini di altri vettori di questo sistema.

2. Un sistema di vettori contenente un vettore zero o due vettori uguali è linearmente dipendente.

Prova.

1) Necessità. Sia il sistema linearmente indipendente. Assumiamo il contrario e c'è un vettore di sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema. Quindi, per il teorema, il sistema è linearmente dipendente e arriviamo a una contraddizione.

Adeguatezza. Che nessuno dei vettori del sistema sia espresso in termini di altri. Assumiamo il contrario. Lascia che il sistema sia linearmente dipendente, ma poi dal teorema segue che esiste un vettore di sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema, e arriviamo di nuovo a una contraddizione.

2a) Lascia che il sistema contenga un vettore zero. Assumiamo per certezza che il vettore
:. Poi l'uguaglianza

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente nei termini degli altri vettori di questo sistema. Segue dal teorema che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, e così via.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente dalla definizione di un sistema di vettori linearmente dipendente.

Perché
, allora la seguente uguaglianza è ovvia

Questa è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema
è linearmente dipendente.

2b) Lascia che il sistema abbia due vettori uguali. Lascia per la certezza
. Poi l'uguaglianza

Quelli. il primo vettore è espresso linearmente nei termini degli altri vettori dello stesso sistema. Segue dal teorema che il sistema dato è linearmente dipendente, e così via.

Analogamente alla precedente, questa affermazione può essere provata anche direttamente dalla definizione di un sistema linearmente dipendente.

Infatti, poiché
, quindi l'uguaglianza

quelli. abbiamo una rappresentazione non banale del vettore nullo.

La conseguenza è provata.

Teorema (Sulla dipendenza lineare di un sistema di un vettore.

Un sistema costituito da un vettore è linearmente dipendente se e solo se questo vettore è zero.

Prova.

Necessitano. Lascia che il sistema
linearmente dipendente, cioè esiste una rappresentazione non banale del vettore nullo

dove
e
. Ne consegue dalle proprietà più semplici di uno spazio vettoriale che allora
.

Adeguatezza. Lascia che il sistema sia costituito da un vettore zero
. Quindi questo sistema rappresenta il vettore zero in modo non banale

da cui segue la dipendenza lineare del sistema
.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. Un sistema costituito da un vettore è linearmente indipendente se e solo se questo vettore è diverso da zero.

La dimostrazione è lasciata al lettore come esercizio.

Sia V un insieme non vuoto i cui elementi chiameremo vettori e saranno indicati con … e così via. Siano date e determinate in qualche modo due operazioni su V. La prima operazione è un'operazione additiva binaria (o, grosso modo, un'operazione di addizione). Questa operazione sarà indicata dal segno + (tuttavia, non è necessario che questa operazione sia definita al 100% allo stesso modo in cui è definita l'operazione di addizione per i numeri ordinari, ora non stiamo studiando numeri, ma vettori, quindi questa operazione di addizione vettoriale può anche essere indicata da alcuni con il suo segno speciale, ad esempio: (). La seconda operazione è la moltiplicazione di un vettore per qualche elemento? di un tale insieme, che è un campo, a seguito del quale un nuovo si ottiene vector(). Gli elementi del campo sono anche chiamati scalari. (Chi è troppo pigro per guardare cosa sia un campo del genere, dirò che l'insieme dei numeri reali o anche complessi può servire come esempi di campi algebrici.) (4)

Formuliamo quindi gli assiomi dello spazio vettoriale. (3)

1. a) la somma di due elementi qualsiasi di V e b) il prodotto di un elemento scalare e un elemento arbitrario di V sono alcuni elementi di V (vettori).

2. l'aggiunta di tre elementi qualsiasi da V obbedisce alla legge di combinazione (o, come si suol dire, l'addizione vettoriale è associativa):

3. l'addizione di due elementi qualsiasi da V obbedisce alla legge commutativa (l'addizione del vettore è commutativa): .

4. esiste un tale elemento da V (vettore zero) che per qualsiasi.

5. per ogni elemento di V esiste un elemento di V la cui somma con l'elemento originario è uguale, cioè (.

Per qualsiasi scalari (numeri)? E? e per due vettori qualsiasi da V

sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale, o semplicemente un sottospazio, uno spazio vettoriale E su un campo K è un insieme chiuso sotto le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Un sottospazio considerato separatamente dal suo spazio contenitore è uno spazio vettoriale sullo stesso campo. (cinque)

Una retta passante per due punti xey dello spazio vettoriale E è un insieme di elementi della forma, ??. Un insieme G è chiamato insieme piatto se, insieme a due qualsiasi, contiene una retta passante per questi punti. Ogni set piatto è ottenuto da un sottospazio usando uno spostamento ( trasferimento parallelo): G=x+F, questo significa che ogni elemento di z può essere rappresentato in modo univoco come y e l'uguaglianza fornisce una corrispondenza uno a uno tra F e G.

L'insieme di tutti gli spostamenti di un dato sottospazio F forma uno spazio vettoriale su K, è detto spazio quoziente E/F, se il determinante dell'operazione è il seguente:

Sia M = un insieme arbitrario di vettori E; una combinazione lineare di vettori è un vettore x definito dalla formula

in cui solo un numero finito di coefficienti è diverso da zero. L'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di un dato insieme M è il più piccolo sottospazio contenente M ed è chiamato guscio lineare insiemi M. Una combinazione lineare si dice banale se tutti i coefficienti sono uguali a zero. Un insieme M è detto insieme linearmente dipendente se tutte le combinazioni lineari non banali di vettori da M sono diverse da zero.

Nella teoria degli spazi vettoriali reali e complessi ruolo importante gioca la teoria degli insiemi convessi. Un insieme M in uno spazio vettoriale reale è detto insieme convesso se, insieme a due qualsiasi dei suoi punti x, y, anche il segmento appartiene a M.

Un ampio posto nella teoria degli spazi vettoriali è occupato dalla teoria dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale e dalla relativa teoria della dualità. Sia E uno spazio vettoriale su un campo K. Un funzionale lineare su E è una mappatura additiva e omogenea, ed E è uno spazio vettoriale su un campo K. Un funzionale lineare su E è una mappatura additiva e omogenea

L'insieme di tutti i funzionali lineari su E forma uno spazio vettoriale sul campo K rispetto alle operazioni

Questo spazio vettoriale è chiamato spazio duale (o duale) (verso E). Un certo numero di termini geometrici sono associati al concetto di spazio duale. Sia D?E (rispettivamente l'insieme Ã) chiamato insieme

(rispettivamente); qui e sono rispettivamente i sottospazi degli spazi e di E. Se Fè un elemento diverso da zero, quindi ( F) è un sottospazio lineare proprio massimo di E, talvolta chiamato ipersottospazio; lo spostamento di tale sottospazio è chiamato iperpiano in E; ogni iperpiano ha la forma

{x: f(x)=??), dove F? 0, F, A.

Un sottoinsieme è chiamato sottoinsieme totale su E se il suo annientatore contiene solo l'elemento zero =(0).

Ciascun insieme linearmente indipendente può essere associato a un sottoinsieme coniugato, ad es. un insieme tale che (simbolo Kronecker) per tutti. L'insieme delle coppie è detto sistema bioortogonale. Se un insieme è una base in E, allora è totalmente su E.

Un posto significativo nella teoria degli spazi vettoriali è occupato dalla teoria trasformazioni lineari spazio vettoriale. Siano due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Una mappatura lineare, o un operatore lineare, T, che mappa uno spazio vettoriale in uno spazio vettoriale (o un operatore lineare da a.

Due spazi vettoriali e sono chiamati spazi vettoriali isomorfi se esistono operatore lineare("isomorfismo"), effettuando una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi e.

La teoria delle mappature bilineari e multilineari di uno spazio vettoriale è strettamente correlata alla teoria delle mappature lineari di uno spazio vettoriale.

Un importante gruppo di problemi nella teoria dello spazio vettoriale è formato dai problemi di estensione delle mappature lineari. Sia F un sottospazio di uno spazio vettoriale - uno spazio lineare sullo stesso campo di e sia - una mappatura lineare di F in; è necessario trovare un'estensione T di una mappatura che è definita su tutto ed è una mappatura lineare verso. Tale estensione esiste sempre, ma ulteriori restrizioni sulle funzioni (associate a strutture aggiuntive nello spazio vettoriale, come la topologia o le relazioni di ordine) possono rendere il problema irrisolvibile. Esempi di risoluzione del problema della continuazione sono il teorema di Hahn-Banach e i teoremi sulla continuazione di funzionali positivi negli spazi con un cono.

Un ramo importante della teoria degli spazi vettoriali è la teoria delle operazioni sugli spazi vettoriali, cioè modi per costruire nuovi spazi vettoriali da quelli conosciuti. Esempi di tali operazioni sono le ben note operazioni di prendere un sottospazio e formare uno spazio quoziente da un sottospazio. Altre operazioni importanti sono la costruzione della somma diretta, del prodotto diretto e del prodotto tensoriale di uno spazio vettoriale.

1) X+y=y+x ( commutatività dell'addizione)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( addizione associativa)

3) esiste un tale elemento 0єV che x+0=x

4) per ogni x єV esiste un tale elemento - x єV , che x+(-x)=0? chiamato vettore, opposto vettore x.

5) α(βx)= (αβ)x ( associatività della moltiplicazione per uno scalare)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Vettori liberi nello spazio R 3

2) Matrici di dimensione nxm

3) L'insieme di tutti i polinomi il cui grado non supera n

4) Esempi di spazio lineare sono:

5) - lo spazio dei numeri reali.

6) è l'insieme dei vettori geometrici sul piano.

7) - spazio di matrici di dimensione fissa.

8) - spazio di soluzioni di omogeneo sistemi lineari e così via.

Definizioni di base

vettore N-dimensionale è chiamata sequenza di n numeri. Questi numeri sono chiamati coordinate vettore. Viene chiamato il numero di coordinate del vettore n dimensione vettore.

Puoi aggiungere solo vettori della stessa dimensione.

I vettori sono uguali se hanno la stessa dimensione e le coordinate corrispondenti sono uguali.

Qualsiasi vettore n-dimensionale A può essere moltiplicare per qualsiasi numeroλ, mentre tutte le sue coordinate sono moltiplicate per questo numero:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Si possono aggiungere due vettori della stessa dimensione e si aggiungono le coordinate corrispondenti:

Che cos'è una combinazione lineare di vettori?

Combinazione lineare di vettori a1,a2,…,an chiamato un'espressione come:

Dove a1,a2,…,an - numeri arbitrari

Quali vettori sono chiamati linearmente dipendenti (indipendenti)?

Vettori diversi da zero a1,a2,…,an chiamata linearmente dipendente, se una combinazione lineare non banale di questi vettori è uguale al vettore zero:

Vettori diversi da zero a1,a2,…,an chiamata linearmente indipendente, a meno che la banale combinazione lineare di questi vettori sia uguale al vettore nullo.

Esempi lineari non vettori dipendenti

Come viene risolta la questione della dipendenza lineare dei vettori?

Teorema 1. Perché un sistema di vettori sia linearmente dipendente è necessario e sufficiente che almeno uno di essi sia rappresentato come una combinazione lineare degli altri.

Teorema 2. Nello spazio n-dimensionale, qualsiasi sistema contenente più di n vettori è linearmente dipendente.

Teorema 3.Se il determinante, composto dalle coordinate dei vettori, è diverso da zero, allora il sistema dei vettori è linearmente indipendente. Se questi teoremi non rispondono alla domanda di dipendenza lineare o indipendenza dei vettori, allora è necessario risolvere il sistema di equazioni rispetto a , o determinare il rango del sistema di vettori.

Qual è il rapporto tra le coordinate di due vettori linearmente dipendenti?

Fornisci un esempio di due vettori linearmente dipendenti

: Vettori e sono collineari quando esiste un tale numero , che è l'uguaglianza:
.

Definizione della base di uno spazio lineare

Un insieme di n elementi linearmente indipendenti in uno spazio di dimensione n è chiamato base di questo spazio.

Determinazione della dimensione di uno spazio lineare.

Definizione 3.1. spazio lineare Rè detto n-dimensionale se contiene n elementi linearmente indipendenti e qualsiasi ( n+1) gli elementi sono già linearmente dipendenti. Allo stesso tempo, il numero n si chiama dimensione dello spazio R.

La dimensione dello spazio è indicata dal simbolo dim.

Definizione 3.2. spazio lineare Rè detto infinito-dimensionale se contiene un numero qualsiasi di elementi linearmente indipendenti.

Teorema 3.4. Sia lo spazio lineare R ha una base composta da n elementi. Poi la dimensione Rè uguale a n(dim R=n).

Il concetto di spazio n-dimensionale

Uno spazio lineare V è chiamato spazio n-dimensionale se contiene un sistema di n elementi linearmente indipendenti e qualsiasi n+1 elemento è linearmente dipendente.

Formule che collegano i vettori della vecchia e della nuova base