Quindi, il problema di studiare un sistema di vettori per una dipendenza lineare si riduce al problema di trovare il rango di una matrice composta dai vettori di tale sistema.

Si noti che per p>n il sistema di vettori sarà linearmente dipendente.

Commento: quando si compila la matrice A, i vettori del sistema possono essere presi non come righe, ma come colonne.

Algoritmo per lo studio di un sistema di vettori per una dipendenza lineare.

Analizziamo l'algoritmo con esempi.

Esempi di studio di un sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Esempio.

Dato un sistema di vettori. Esaminalo per una relazione lineare.

Soluzione.

Poiché il vettore c è zero, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente a causa della terza proprietà.

Risposta:

Il sistema dei vettori è linearmente dipendente.

Esempio.

Esaminare il sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Soluzione.

Non è difficile vedere che le coordinate del vettore c sono uguali alle corrispondenti coordinate del vettore moltiplicate per 3, cioè . Pertanto, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.

Definizione 1. Una combinazione lineare di vettori è la somma dei prodotti di questi vettori e scalari
:

Definizione 2. Sistema vettoriale
è detto sistema linearmente dipendente se la loro combinazione lineare (2.8) svanisce:

e tra i numeri
ce n'è almeno uno diverso da zero.

Definizione 3. vettori
sono detti linearmente indipendenti se la loro combinazione lineare (2.8) svanisce solo se tutti sono numeri.

Da queste definizioni si possono ricavare i seguenti corollari.

Corollario 1. In un sistema vettoriale linearmente dipendente, almeno un vettore può essere espresso come una combinazione lineare degli altri.

Prova. Sia (2.9) valere e sia, per determinatezza, il coefficiente
. Abbiamo quindi:
. Si noti che vale anche il contrario.

Conseguenza 2. Se il sistema dei vettori
contiene un vettore zero, quindi questo sistema è (necessariamente) linearmente dipendente - la dimostrazione è ovvia.

Corollario 3. Se tra n vettori
qualunque K(
) dei vettori sono linearmente dipendenti, quindi tutti n i vettori sono linearmente dipendenti (omettiamo la dimostrazione).

2 0 . Combinazioni lineari di due, tre e quattro vettori. Consideriamo questioni di dipendenza lineare e indipendenza di vettori su una retta, un piano e nello spazio. Presentiamo i teoremi corrispondenti.

Teorema 1. Perché due vettori siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che siano collineari.

Necessitano. Passiamo ai vettori e linearmente dipendente. Ciò significa che la loro combinazione lineare
=0 e (per motivi di certezza)
. Ciò implica l'uguaglianza
, e (per la definizione di moltiplicazione di un vettore per un numero) i vettori e collineare.

Adeguatezza. Passiamo ai vettori e collineare ( ║) (supponiamo che siano diversi dal vettore zero, altrimenti la loro dipendenza lineare è ovvia).

Per il Teorema (2.7) (vedi §2.1, punto 2 0) allora
tale che
, o
– la combinazione lineare è uguale a zero e il coefficiente at è uguale a 1 – vettori e linearmente dipendente.

Da questo teorema segue il seguente corollario.

Conseguenza. Se i vettori e non sono collineari, quindi sono linearmente indipendenti.

Teorema 2. Perché tre vettori siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che siano complanari.

Necessitano. Passiamo ai vettori ,e linearmente dipendente. Mostriamo che sono complanari.

La definizione della dipendenza lineare dei vettori implica l'esistenza di numeri
e tale che la combinazione lineare
, e allo stesso tempo (per certezza)
. Quindi da questa uguaglianza possiamo esprimere il vettore :=
, cioè il vettore uguale alla diagonale del parallelogramma costruito sui vettori sul lato destro di questa uguaglianza (Fig. 2.6). Ciò significa che i vettori ,e giacciono sullo stesso piano.

Adeguatezza. Passiamo ai vettori ,e Complanare. Dimostriamo che sono linearmente dipendenti.

Escludiamo il caso di collinearità di qualsiasi coppia di vettori (perché allora questa coppia è linearmente dipendente e per il Corollario 3 (vedi punto 1 0) tutti e tre i vettori sono linearmente dipendenti). Si noti che tale ipotesi esclude anche l'esistenza di un vettore zero tra i tre indicati.

Trasferiamo tre vettori complanari su un piano e li portiamo a un'origine comune. Attraverso la fine del vettore traccia linee parallele ai vettori e ; otteniamo i vettori e (Fig. 2.7) - la loro esistenza è assicurata dal fatto che i vettori e vettori che non sono collineari per ipotesi. Ne consegue che il vettore =+. Riscrivendo questa uguaglianza come (–1) ++=0, concludiamo che i vettori ,e linearmente dipendente.

Dal teorema dimostrato seguono due corollari.

Corollario 1. Lascia stare e vettori non collineari, vettore – arbitrario, giacente nel piano definito dai vettori e , vettore. Poi ci sono i numeri e tale che

=+. (2.10)

Conseguenza 2. Se i vettori ,e non sono complanari, quindi sono linearmente indipendenti.

Teorema 3. Qualsiasi quattro vettori sono linearmente dipendenti.

Omettiamo la prova; con alcune modifiche, copia la dimostrazione del Teorema 2. Presentiamo un corollario di questo teorema.

Conseguenza. Per eventuali vettori non complanari ,,e qualsiasi vettore
e tale che

. (2.11)

Commento. Per i vettori in uno spazio (tridimensionale), i concetti di dipendenza lineare e indipendenza hanno, come segue dai Teoremi 1-3 sopra, un semplice significato geometrico.

Siano due vettori linearmente dipendenti e . In questo caso, uno di questi è una combinazione lineare del secondo, ovvero differisce semplicemente da esso per un fattore numerico (ad esempio,
). Geometricamente, questo significa che entrambi i vettori sono su una linea comune; possono avere direzioni uguali o opposte (Fig. 2.8 xx).

Se due vettori si trovano ad angolo l'uno rispetto all'altro (Fig. 2.9 xx), in questo caso uno di essi non può essere ottenuto moltiplicando l'altro per un numero: tali vettori sono linearmente indipendenti. Pertanto, l'indipendenza lineare di due vettori e significa che questi vettori non possono essere posti sulla stessa retta.

Scopriamo il significato geometrico della dipendenza lineare e dell'indipendenza di tre vettori.

Passiamo ai vettori ,e sono linearmente dipendenti e sia (per determinatezza) il vettore è una combinazione lineare di vettori e , cioè situato nel piano contenente i vettori e . Ciò significa che i vettori ,e giacciono sullo stesso piano. Vale anche l'affermazione inversa: se i vettori ,e giacciono sullo stesso piano, quindi sono linearmente dipendenti.

Quindi i vettori ,e sono linearmente indipendenti se e solo se non giacciono sullo stesso piano.

3 0 . Concetto di base. Uno dei concetti più importanti dell'algebra lineare e vettoriale è il concetto di base. Introduciamo definizioni.

Definizione 1. Una coppia di vettori si dice ordinata se viene specificato quale vettore di questa coppia è considerato il primo e quale è il secondo.

Definizione 2. Coppia ordinata ,dei vettori non collineari è chiamata base sul piano definito dai vettori dati.

Teorema 1. Qualsiasi vettore sul piano può essere rappresentato come una combinazione lineare del sistema di base dei vettori ,:

(2.12)

e questa rappresentazione è unica.

Prova. Passiamo ai vettori e formare una base. Quindi qualsiasi vettore può essere rappresentato come
.

Per dimostrare l'unicità, supponiamo che ci sia un'altra scomposizione
. Abbiamo quindi =0 e almeno una delle differenze è diversa da zero. Quest'ultimo significa che i vettori e linearmente dipendente, cioè collineare; questo contraddice l'affermazione che costituiscono una base.

Ma poi la decomposizione è unica.

Definizione 3. Una terna di vettori si dice ordinata se viene indicato quale vettore è considerato il primo, quale è il secondo e quale è il terzo.

Definizione 4. Una tripla ordinata di vettori non complanari è chiamata base nello spazio.

Anche qui vale il teorema di scomposizione e unicità.

Teorema 2. Qualsiasi vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare del sistema vettoriale di base ,,:

(2.13)

e questa rappresentazione è unica (omettiamo la dimostrazione del teorema).

Nelle espansioni (2.12) e (2.13), le quantità sono dette coordinate del vettore in una data base (più precisamente, in coordinate affini).

Per una base fissa
e
tu puoi scrivere
.

Ad esempio, se viene fornita una base
e dato che
, allora questo significa che c'è una rappresentazione (scomposizione)
.

4 0 . Operazioni lineari su vettori in forma di coordinate. L'introduzione di una base consente di sostituire le operazioni lineari sui vettori con normali operazioni lineari sui numeri, le coordinate di questi vettori.

Sia data qualche base
. Ovviamente, l'impostazione delle coordinate del vettore in questa base determina completamente il vettore stesso. Ci sono le seguenti proposte:

a) due vettori
e
sono uguali se e solo se le rispettive coordinate sono uguali:

b) quando si moltiplica un vettore
per numero le sue coordinate sono moltiplicate per questo numero:

; (2.15)

c) quando si aggiungono i vettori, si aggiungono le rispettive coordinate:

Omettiamo le prove di queste proprietà; Dimostriamo la proprietà b) solo a titolo esemplificativo. abbiamo

==

Commento. Nello spazio (sul piano) si possono scegliere infinite basi.

Diamo un esempio del passaggio da una base all'altra, stabiliamo la relazione tra le coordinate del vettore in basi diverse.

Esempio 1. Nel sistema di base
sono dati tre vettori:
,
e
. in base ,,vettore ha una decomposizione. Trova le coordinate vettoriali in base
.

Soluzione. Abbiamo espansioni:
,
,
; Di conseguenza,
=
+2
+
= =
, cioè
in base
.

Esempio 2. Lascia entrare qualche base
quattro vettori sono dati dalle loro coordinate:
,
,
e
.

Scopri se i vettori si formano
base; in caso di risposta positiva, trova la scomposizione del vettore in questa base.

Soluzione. 1) i vettori formano una base se sono linearmente indipendenti. Componi una combinazione lineare di vettori
(
) e scopri per cosa
e svanisce:
=0. Abbiamo:

=
+
+
=

Per definizione dell'uguaglianza dei vettori in forma di coordinate, otteniamo il seguente sistema di equazioni (algebriche lineari omogenee):
;
;
, il cui determinante
=1
, cioè il sistema ha la (unica) soluzione banale
. Ciò significa che i vettori sono linearmente indipendenti
e quindi formano una base.

2) espandere il vettore in questa base. Abbiamo: =
o in forma coordinata.

Passando all'uguaglianza dei vettori in forma di coordinate, otteniamo un sistema di equazioni algebriche lineari non omogenee:
;
;
. Risolvendolo (ad esempio, secondo la regola di Cramer), otteniamo:
,
,
E (
)
. Abbiamo una scomposizione vettoriale in base
:=.

5 0 . Proiezione di un vettore su un asse. Proprietà di proiezione. Lascia che ci sia qualche asse l, cioè una retta con una direzione scelta su di essa, e sia dato un vettore .Definire il concetto di proiezione di un vettore per asse l.

Definizione. Proiezione vettoriale per asse lè chiamato il prodotto del modulo di questo vettore e il coseno dell'angolo tra l'asse l e vettore (Fig.2.10):

. (2.17)

Una conseguenza di questa definizione è l'affermazione che vettori uguali hanno proiezioni uguali (sullo stesso asse).

Nota le proprietà delle proiezioni.

1) proiezione della somma dei vettori su un asse lè uguale alla somma delle proiezioni dei termini dei vettori sullo stesso asse:

2) la proiezione del prodotto di uno scalare e di un vettore è uguale al prodotto di questo scalare e la proiezione del vettore sullo stesso asse:

=
. (2.19)

Conseguenza. La proiezione di una combinazione lineare di vettori sull'asse è uguale alla combinazione lineare delle loro proiezioni:

Omettiamo le dimostrazioni delle proprietà.

6 0 . Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio.Scomposizione di un vettore in vettori unitari di assi. Si scelgano come base tre vettori unitari tra loro perpendicolari; introduciamo una notazione speciale per loro
. Posizionandoli iniziare dal punto o, dirigersi lungo di essi (secondo i vettori unitari
) assi coordinati Bue,Ehi e O z(un asse con una direzione positiva selezionata su di esso, un punto di riferimento e un'unità di lunghezza è chiamato asse delle coordinate).

Definizione. Un sistema ordinato di tre assi di coordinate reciprocamente perpendicolari con un'origine comune e un'unità di lunghezza comune è chiamato sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio.

Asse Bue chiamato asse x, Ehi- l'asse y e O z – asse di applicazione.

Trattiamo l'espansione di un vettore arbitrario in termini di base
. Dal teorema (vedi §2.2, punto 3 0 , (2.13)) segue che
può essere ampliato in modo univoco nella base
(qui invece di designare le coordinate
utilizzo
):

. (2.21)

In (2.21)
sono le coordinate (rettangolari cartesiane) del vettore . Significato coordinate cartesiane stabilisce il seguente teorema.

Teorema. coordinate cartesiane
vettore sono le proiezioni di questo vettore, rispettivamente, sugli assi Bue,Ehi e O z.

Prova. Posizioniamo il vettore all'origine del sistema di coordinate - un punto o. Allora la sua fine coinciderà con un certo punto
.

Passiamo per il punto
tre piani paralleli ai piani delle coordinate Oyz,Oxz e Ossi(Fig. 2.11 xx). Otteniamo quindi:

. (2.22)

Nella (2.22) i vettori
e
sono detti componenti del vettore
lungo gli assi Bue,Ehi e O z.

Lascia passare
e sono indicati rispettivamente gli angoli formati dal vettore con orts
. Quindi per i componenti otteniamo le seguenti formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Da (2.21), (2.22) (2.23) troviamo:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- coordinate
vettore ci sono proiezioni di questo vettore sugli assi delle coordinate Bue,Ehi e O z rispettivamente.

Commento. Numeri
sono detti coseni di direzione del vettore .

Modulo vettoriale (diagonale di un parallelepipedo rettangolare) si calcola con la formula:

. (2.24)

Dalle formule (2.23) e (2.24) segue che i coseni di direzione possono essere calcolati utilizzando le formule:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Alzando entrambe le parti di ciascuna delle uguaglianze in (2.25) e sommando termine per termine le parti sinistra e destra delle uguaglianze risultanti, si arriva alla formula:

- non tre angoli qualsiasi formano una certa direzione nello spazio, ma solo quelli i cui coseni sono legati per relazione (2.26).

7 0 . Vettore del raggio e coordinate del punto.Determinazione di un vettore in base al suo inizio e alla sua fine. Introduciamo una definizione.

Definizione. Il vettore raggio (indicato ) è chiamato il vettore che collega l'origine o con questo punto (Fig. 2.12 xx):

. (2.27)

Qualsiasi punto nello spazio corrisponde a un certo raggio vettore (e viceversa). Pertanto, i punti nello spazio sono rappresentati nell'algebra vettoriale dai loro vettori raggio.

Ovviamente le coordinate
punti m sono proiezioni del suo vettore raggio
sugli assi delle coordinate:

(2.28’)

e quindi,

(2.28)

– il vettore raggio di un punto è un vettore le cui proiezioni sugli assi delle coordinate sono uguali alle coordinate di questo punto. Da questo seguono due voci:
e
.

Ottenere formule per il calcolo delle proiezioni vettoriali
dalle coordinate del suo inizio - il punto
e punto finale
.

Disegna i vettori del raggio
e vettore
(fig.2.13). Lo capiamo

=
=(2.29)

– le proiezioni del vettore sui vettori di coordinate sono uguali alle differenze delle corrispondenti coordinate della fine e dell'inizio del vettore.

8 0 . Alcuni problemi sulle coordinate cartesiane.

1) condizioni di collinearità vettoriale . Dal teorema (vedi §2.1, item 2 0 , formula (2.7)) segue che per la collinarità dei vettori e necessario e sufficiente affinché la seguente relazione possa valere: =. Da questa uguaglianza vettoriale, otteniamo tre uguaglianze nella forma delle coordinate:, da cui segue la condizione per la collinarità dei vettori nella forma delle coordinate:

(2.30)

– per vettori collineari e è necessario e sufficiente che le rispettive coordinate siano proporzionali.

2) distanza tra punti . Dalla rappresentazione (2.29) segue che la distanza
tra i punti
e
è determinato dalla formula

=
=. (2.31)

3) suddivisione del segmento in questo senso . Si danno punti
e
e atteggiamento
. Necessità di trovare
- coordinate del punto m (fig.2.14).

Abbiamo dalla condizione dei vettori collineari:
, dove
e

. (2.32)

Dalla (2.32) otteniamo nella forma delle coordinate:

Dalle formule (2.32') si possono ricavare formule per il calcolo delle coordinate del centro del segmento
, supponendo
:

Commento. Contiamo i segmenti
e
positivo o negativo, a seconda che la loro direzione coincida con la direzione dall'origine
tagliare alla fine
, o non corrisponde. Quindi, utilizzando le formule (2.32) - (2.32"), puoi trovare le coordinate del punto che divide il segmento
esternamente, cioè, in modo che il punto di divisione mè sull'estensione
, non al suo interno. Allo stesso tempo, ovviamente,
.

4) equazione della superficie sferica . Componiamo l'equazione di una superficie sferica - il luogo dei punti
, equidistante da una distanza da qualche centro fisso - un punto
. Ovviamente, in questo caso
e tenendo conto della formula (2.31)

L'equazione (2.33) è l'equazione della superficie sferica desiderata.

Lascia stare l – spazio lineare sul campo R . Lascia stare A1, a2, ... , an (*) un sistema finito di vettori da l . Vettore IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chiamato Una combinazione lineare di vettori ( *), o dire vettore IN espresso linearmente attraverso un sistema di vettori (*).

Definizione 14. Viene chiamato il sistema dei vettori (*) linearmente dipendente , se e solo se esiste un insieme di coefficienti diverso da zero a1, a2, … , tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Se a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, allora viene chiamato il sistema (*) linearmente indipendente.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

10. Se un sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Infatti, se nel sistema (*) il vettore A1 = 0, Quindi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Se un sistema di vettori contiene due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

Lascia stare A1 = l×a2. Quindi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× MA N= 0.

30. Un sistema finito di vettori (*) per n ³ 2 è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare degli altri vettori di tale sistema.

Þ Sia (*) linearmente dipendente. Allora c'è un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, … , un tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Senza perdita di generalità, possiamo assumere che a1 ¹ 0. Allora esiste A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× MA N. Quindi, il vettore A1 è una combinazione lineare dei vettori rimanenti.

Ü Sia uno dei vettori (*) una combinazione lineare degli altri. Possiamo supporre che questo sia il primo vettore, cioè A1 = B2 A2+ … + mld MA N, quindi (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld MA N= 0 , ovvero (*) è linearmente dipendente.

Commento. Utilizzando l'ultima proprietà, si può definire la dipendenza lineare e l'indipendenza di un sistema infinito di vettori.

Definizione 15. Sistema vettoriale A1, a2, ... , an , … (**) è chiamato linearmente dipendente, Se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare di un numero finito di altri vettori. In caso contrario, viene chiamato il sistema (**). linearmente indipendente.

40. Un sistema finito di vettori è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei suoi vettori può essere espresso linearmente nei termini dei suoi altri vettori.

50. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

60. Se qualche sottosistema di un dato sistema di vettori è linearmente dipendente, anche l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano dati due sistemi di vettori A1, a2, ... , an , … (16) e В1, в2, … , вs, … (17). Se ogni vettore del sistema (16) può essere rappresentato come una combinazione lineare di un numero finito di vettori del sistema (17), allora diciamo che il sistema (17) è espresso linearmente attraverso il sistema (16).

Definizione 16. Si chiamano i due sistemi di vettori equivalente , se ciascuno di essi è espresso linearmente nei termini dell'altro.

Teorema 9 (teorema di base sulla dipendenza lineare).

Lascia e - Due sistemi finali vettori da l . Se il primo sistema è linearmente indipendente ed espresso linearmente nei termini del secondo, allora n£s.

Prova. Facciamo finta che n> S. Secondo il teorema

giunto. Dal numero di equazioni più numero incognite, allora il sistema ha infinite soluzioni. Pertanto, ha un diverso da zero x10, x20, …, xN0. Per questi valori, sarà vera l'uguaglianza (18), che contraddice il fatto che il sistema di vettori è linearmente indipendente. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Di conseguenza, n£s.

Conseguenza. Se due sistemi di vettori equivalenti sono finiti e linearmente indipendenti, allora contengono lo stesso numero di vettori.

Definizione 17. Viene chiamato il sistema dei vettori Il massimo sistema di vettori linearmente indipendenti spazio lineare l , se è linearmente indipendente, ma aggiungendovi qualsiasi vettore da l non incluso in questo sistema, diventa linearmente dipendente.

Teorema 10. Qualsiasi due sistemi finiti di vettori massimali linearmente indipendenti da l Contengono lo stesso numero di vettori.

Prova deriva dal fatto che due sistemi di vettori massimali linearmente indipendenti sono equivalenti .

È facile dimostrare che qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori spaziali l può essere completato al massimo sistema linearmente indipendente di vettori di questo spazio.

Esempi:

1. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici collineari, qualsiasi sistema costituito da un vettore diverso da zero è massima linearmente indipendente.

2. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici complanari, due vettori non collineari qualsiasi costituiscono un sistema massimale linearmente indipendente.

3. Nell'insieme di tutti i possibili vettori geometrici dello spazio euclideo tridimensionale, qualsiasi sistema di tre vettori non complanari è il massimo linearmente indipendente.

4. Nell'insieme di tutti i polinomi, il grado è al massimo n Con coefficienti reali (complessi), un sistema di polinomi 1, x, x2, …, xnÈ massima linearmente indipendente.

5. Nell'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali (complessi), esempi di un sistema massimale linearmente indipendente sono

ma) 1, x, x2, … , xn, … ;

B) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. L'insieme delle matrici di dimensione m´ nè uno spazio lineare (dai un'occhiata). Un esempio di sistema massimale linearmente indipendente in questo spazio è il sistema di matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Sia dato un sistema di vettori C1, c2, ... , cfr (*). Viene chiamato il sottosistema dei vettori da (*) Massima linearmente indipendente Sottosistema Sistemi ( *) , se è linearmente indipendente, ma quando ad esso viene aggiunto qualsiasi altro vettore di questo sistema, diventa linearmente dipendente. Se il sistema (*) è finito, allora uno qualsiasi dei suoi sottosistemi massimali linearmente indipendenti contiene lo stesso numero di vettori. (Prova da solo.) Viene chiamato il numero di vettori nel sottosistema linearmente indipendente massimo del sistema (*) classifica Questo sistema. Ovviamente, sistemi di vettori equivalenti hanno gli stessi ranghi.

Dipendenza lineare e indipendenza dei vettori

Definizioni di sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Definizione 22

Abbiamo un sistema di n vettori e un insieme di numeri
, poi

(11)

è chiamata combinazione lineare di un dato sistema di vettori con un dato insieme di coefficienti.

Definizione 23

Sistema vettoriale
è detto linearmente dipendente se esiste un tale insieme di coefficienti
, di cui almeno uno diverso da zero, tale che la combinazione lineare del dato sistema di vettori con questo insieme di coefficienti sia uguale al vettore zero:

Lascia stare
, poi

Definizione 24 ( attraverso la rappresentazione di un vettore del sistema come combinazione lineare degli altri)

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se almeno uno dei vettori di questo sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri vettori di questo sistema.

Dichiarazione 3

Le definizioni 23 e 24 sono equivalenti.

Definizione 25(tramite combinazione di linee zero)

Sistema vettoriale
si dice linearmente indipendente se la combinazione lineare zero di questo sistema è possibile solo per tutti
uguale a zero.

Definizione 26(attraverso l'impossibilità di rappresentare un vettore del sistema come combinazione lineare del resto)

Sistema vettoriale
è detto linearmente indipendente se nessuno dei vettori di questo sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare di altri vettori di questo sistema.

Proprietà di sistemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Teorema 2 (vettore zero nel sistema dei vettori)

Se c'è un vettore zero nel sistema di vettori, allora il sistema è linearmente dipendente.

 Let
, poi .

Ottenere
, quindi, per definizione di un sistema di vettori linearmente dipendente in termini di combinazione lineare nulla (12) il sistema è linearmente dipendente. 

Teorema 3 (sottosistema dipendente nel sistema dei vettori)

Se un sistema di vettori ha un sottosistema linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.

 Let
- sottosistema linearmente dipendente
, tra cui almeno uno diverso da zero:

Quindi, per la Definizione 23, il sistema è linearmente dipendente. 

Teorema 4

Qualsiasi sottosistema di un sistema linearmente indipendente è linearmente indipendente.

 Al contrario. Lascia che il sistema sia linearmente indipendente e abbia un sottosistema linearmente dipendente. Ma poi, per il Teorema 3, anche l'intero sistema sarà linearmente dipendente. Contraddizione. Pertanto, un sottosistema di un sistema linearmente indipendente non può essere linearmente dipendente. 

Significato geometrico della dipendenza lineare e dell'indipendenza di un sistema di vettori

Teorema 5

Due vettori e linearmente dipendente se e solo se
.

 Necessitano.

e - linearmente dipendente
che la condizione
. Quindi
, cioè.
.

Adeguatezza.

Dipendente lineare. 

Corollario 5.1

Il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore

Corollario 5.2

Perché due vettori siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che non era collineare .

Teorema 6

Affinché un sistema di tre vettori sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che questi vettori siano complanari .

 Necessitano.

- sono linearmente dipendenti, quindi un vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri due.

, (13)

dove
e
. Secondo la regola del parallelogramma è la diagonale di un parallelogramma con i lati
, ma un parallelogramma è una figura piatta
Complanare
sono anche complanari.

Adeguatezza.

- Complanare. Applichiamo tre vettori al punto O:

C

B`

– linearmente dipendente 

Corollario 6.1

Il vettore zero è complanare a qualsiasi coppia di vettori.

Corollario 6.2

In ordine per i vettori
sono linearmente indipendenti se e solo se non sono complanari.

Corollario 6.3

Qualsiasi vettore piano può essere rappresentato come una combinazione lineare di due vettori non collinari qualsiasi dello stesso piano.

Teorema 7

Qualsiasi quattro vettori nello spazio sono linearmente dipendenti .

Consideriamo 4 casi:

Disegniamo un piano attraverso i vettori, quindi un piano attraverso i vettori e un piano attraverso i vettori. Tracciamo poi i piani passanti per il punto D, paralleli alle coppie di vettori; ; rispettivamente. Costruiamo un parallelepipedo lungo le linee di intersezione dei piani OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Ritenere OB 1 D 1 C 1 - parallelogramma per costruzione secondo la regola del parallelogramma
.

Considera OADD 1 - un parallelogramma (dalla proprietà del parallelepipedo)
, poi

EMBED Equazione.3 .

Per il teorema 1
tale che. Quindi
, e per definizione 24 il sistema dei vettori è linearmente dipendente. 

Corollario 7.1

La somma di tre vettori non complanari nello spazio è un vettore che coincide con la diagonale del parallelepipedo costruito su questi tre vettori attaccati ad un'origine comune, e l'inizio del vettore di somma coincide con l'origine comune di questi tre vettori.

Corollario 7.2

Se prendiamo 3 vettori non complanari in uno spazio, allora qualsiasi vettore di questo spazio può essere scomposto in una combinazione lineare di questi tre vettori.

Lascia stare l- spazio lineare arbitrario, a io Î l sono i suoi elementi (vettori).

Definizione 3.3.1. Espressione , dove , - arbitrario numeri reali, è chiamata combinazione lineare vettori a 1 , a 2 ,…, a n.

Se il vettore R = , allora lo dicono R scomposto in vettori a 1 , a 2 ,…, a n.

Definizione 3.3.2. Viene chiamata una combinazione lineare di vettori non banale, se tra i numeri ce n'è almeno uno diverso da zero. In caso contrario, viene chiamata la combinazione lineare banale.

Definizione 3.3.3 . Vettori a 1 , a 2 ,…, a n sono detti linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare non banale tale che

= 0 .

Definizione 3.3.4. Vettori a 1 ,a 2 ,…, a n sono detti linearmente indipendenti se l'uguaglianza = 0 possibile solo se tutti i numeri l 1, l 2,…, ln sono contemporaneamente zero.

Si noti che qualsiasi elemento diverso da zero a 1 può essere considerato un sistema linearmente indipendente, poiché l'uguaglianza l un 1 = 0 possibile solo a condizione l= 0.

Teorema 3.3.1. Necessario e condizione sufficiente dipendenza lineare a 1 , a 2 ,…, a nè la possibilità di scomporre almeno uno di questi elementi nel resto.

Prova. Necessitano. Siano gli elementi a 1 , a 2 ,…, a n linearmente dipendente. Significa che = 0 e almeno uno dei numeri l 1, l 2,…, ln diverso da zero. Lascia per la certezza l 1 ¹ 0. Allora

cioè l'elemento a 1 è scomposto negli elementi a 2 , a 3 , …, a n.

Adeguatezza. Sia scomposto l'elemento a 1 in elementi a 2 , a 3 , …, a n, cioè un 1 = . Allora = 0 , quindi, esiste una combinazione lineare non banale di vettori a 1 , a 2 ,…, a n uguale a 0 , quindi sono linearmente dipendenti .

Teorema 3.3.2. Se almeno uno degli elementi a 1 , a 2 ,…, a n zero, allora questi vettori sono linearmente dipendenti.

Prova . Lascia stare un n= 0 , quindi = 0 , il che significa la dipendenza lineare degli elementi indicati.

Teorema 3.3.3. Se tra n vettori qualsiasi p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Prova. Siano, per determinatezza, gli elementi a 1 , a 2 ,…, a P linearmente dipendente. Ciò significa che esiste una combinazione lineare non banale tale = 0 . L'uguaglianza indicata verrà preservata se aggiungiamo l'elemento ad entrambe le sue parti. Quindi + = 0 , mentre almeno uno dei numeri l 1, l 2,…, lp diverso da zero. Pertanto, vettori a 1 , a 2 ,…, a n sono linearmente dipendenti.

Corollario 3.3.1. Se n elementi sono linearmente indipendenti, allora ogni k di essi è linearmente indipendente (k< n).

Teorema 3.3.4. Se i vettori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 sono linearmente indipendenti e gli elementi a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n sono linearmente dipendenti, quindi il vettore un n può essere scomposto in vettori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Prova. Poiché per condizione a 1 , a 2 ,…, un n- 1, a n sono linearmente dipendenti, allora esiste una loro combinazione lineare non banale = 0 , e (altrimenti, risultano essere linearmente vettori dipendenti a 1 , a 2 ,…, a n- uno). Ma poi il vettore

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