Un dominio si dice semplicemente connesso se il suo confine è un insieme connesso. Un dominio è detto n-connesso se il suo confine si divide in n insiemi connessi.
Commento. La formula di Green vale anche per i domini multipli connessi.
Affinché l'integrale (A, B sono punti qualsiasi da D) sia indipendente dal percorso di integrazione (ma solo sui punti iniziale e finale di A, B), è necessario e sufficiente che, su qualsiasi curva chiusa (su qualsiasi contorno) giacente in D, l'integrale era uguale a zero = 0
Prova (bisogno). Sia (4) indipendente dal percorso di integrazione. Considera un contorno arbitrario C giacente nella regione D e scegli due punti arbitrari A, B su questo contorno. Quindi la curva C può essere rappresentata come l'unione di due curve AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 .
Teorema 1. Perché l'integrale curvilineo sia indipendente dal cammino di integrazione in D, è necessario e sufficiente che
in area D. Sufficienza. Se soddisfatto, lo sarà la formula di Green per qualsiasi contorno C 
da cui l'asserzione richiesta segue dal lemma. Bisogno. Per il lemma, per ogni contorno = 0. Quindi, secondo la formula di Green per la regione D , delimitata da questo contorno = 0. Per il teorema del valore medio=mDor==0. Passando al limite, contraendo il contorno in un punto, lo otteniamo a questo punto.
Teorema 2. Perché l'integrale curvilineo (4) sia indipendente dal cammino di integrazione in D, è necessario e sufficiente che l'integrando Pdx+Qdy sia il differenziale totale di qualche funzione u nel dominio D. du = Pdx+Qdy. Adeguatezza. Lascia che sia fatto, poi Necessità. Sia l'integrale indipendente dal percorso di integrazione. Fissiamo un punto A0 nel dominio D e definiamo la funzione u(A) = u(x,y)=
In questo caso
XО (xО). Quindi, esiste una derivata =P. Allo stesso modo, controlliamo che =Q. Sotto le ipotesi fatte, la funzione u risulta essere continuamente differenziabile e du = Pdx+Qdy.
32-33. Definizione di integrali curvilinei di 1a e 2a specie
Integrale curvilineo su lunghezza d'arco (1° tipo)
Sia definita e continua la funzione f(x, y) nei punti dell'arco AB di una curva liscia K. Dividi arbitrariamente l'arco in n archi elementari per punti t0..tn Sia lk la lunghezza di k parziale arco. Prendiamo un punto arbitrario N(k,k) su ciascun arco elementare e moltiplichiamo questo punto per risp. la lunghezza dell'arco facciamo tre somme integrali:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, dove хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
L'integrale curvilineo di 1° tipo lungo la lunghezza dell'arco sarà chiamato limite della somma integrale 1, a condizione che max(lk) 0 
Se il limite della somma integrale è 2 o 3 a 0, allora questo limite viene chiamato. integrale curvilineo del 2° tipo, funzioni P(x,y) o Q(x,y) lungo la curva l = AB e si denota: 
o 
Quantità: 
+
è consuetudine chiamare l'integrale curvilineo generale del 2° tipo e denotare con il simbolo: 
in questo caso le funzioni f(x,y), P(x,y), Q(x,y) sono dette integrabili lungo la curva l = AB. La curva l stessa si chiama contorno oppure integrando A - quella iniziale, B - i punti finali di integrazione, dl - il differenziale della lunghezza dell'arco, quindi si chiama integrale curvilineo di 1a specie. integrale curvilineo sull'arco della curva e il secondo tipo - sulla funzione..
Dalla definizione di integrali curvilinei deriva che gli integrali di 1a specie non dipendono dalla direzione in cui la curva l è percorsa da A e B o da B e A. Integrale curvilineo di 1a specie su AB:
, per integrali curvilinei del 2° tipo, un cambiamento nella direzione del passaggio della curva porta ad un cambiamento di segno:
Nel caso in cui l sia una curva chiusa, cioè t.B coincide con il punto A, quindi delle due possibili direzioni per aggirare il contorno chiuso l, la direzione in cui l'area che giace all'interno del contorno rimane a sinistra rispetto a ??? si chiama positivo. fare una deviazione, cioè la direzione del movimento è antioraria. La direzione opposta del bypass è chiamata negativa. L'integrale curvilineo AB lungo un contorno chiuso l che corre in direzione positiva sarà indicato dal simbolo:
Per una curva spaziale, si introduce similmente 1 integrale del 1° tipo:
e tre integrali del 2° tipo:
si chiama la somma degli ultimi tre integrali. integrale curvilineo generale del 2° tipo.
Alcune applicazioni degli integrali curvilinei del 1° tipo.
1.Integrale 
- lunghezza d'arco AB
2. Il significato meccanico dell'integrale di 1a specie.
Se f(x,y) = (x,y) è la densità lineare dell'arco materiale, allora la sua massa è: 
3. Coordinate del centro di massa dell'arco materiale:
4. Momento d'inerzia di un arco giacente nel piano xy rispetto all'origine e agli assi di rotazione ox, oy:
5. Significato geometrico dell'integrale di primo tipo
Lascia che la funzione z = f(x,y) abbia la dimensione di lunghezza f(x,y)>=0 in tutti i punti dell'arco materiale giacente nel piano xy allora:
, dove S è l'area della superficie cilindrica, il gatto è costituito da perpendicolari al piano oxy, est. nei punti M(x, y) della curva AB.
Alcune applicazioni degli integrali curvilinei del 2° tipo.
Calcolo dell'area di una regione pianeggiante D con confine L
2. Lavoro di potenza. Lascia che un punto materiale sotto l'azione di una forza si muova lungo una curva piatta continua BC, andando da B a C, il lavoro di questa forza:
Formula Ostrogradsky-Green
Questa formula stabilisce una connessione tra l'integrale curvilineo su contorni chiusi C e doppio integrale lungo l'area delimitata da questo contorno.
Definizione 1. Un dominio D si dice dominio semplice se può essere suddiviso in un numero finito di domini del primo tipo e, indipendentemente da questo, in un numero finito di domini del secondo tipo.
Teorema 1. Siano definite le funzioni P(x,y) e Q(x,y) in un dominio semplice, che sono continue insieme alle loro derivate parziali e
Allora la formula vale
dove С è un contorno chiuso della regione D.
Questa è la formula Ostrogradsky-Green.
Termini di indipendenza integrale curvilineo dal percorso di integrazione
Definizione 1. Una regione quadrata chiusa D si dice semplicemente connessa se una qualsiasi curva chiusa l D può essere deformata continuamente in un punto in modo che tutti i punti di questa curva appartengano alla regione D (una regione senza "buchi" - D 1 ), se tale deformazione è impossibile, la regione viene chiamata moltiplicata (con "fori" - D 2).
Definizione 2. Se il valore dell'integrale curvilineo lungo la curva AB non dipende dal tipo di curva che collega i punti A e B, allora si dice che questo integrale curvilineo non dipende dal percorso di integrazione:
Teorema 1. Sia in un dominio chiuso semplicemente connesso D le funzioni continue P(x,y) e Q(x,y) insieme alle loro derivate parziali. Allora le seguenti 4 condizioni sono equivalenti (equivalenti):
1) integrale curvilineo lungo un contorno chiuso
dove C è un qualsiasi anello chiuso in D;
2) l'integrale curvilineo su un contorno chiuso non dipende dal percorso di integrazione nel dominio D, cioè
3) la forma differenziale P(x,y)dx + Q(x,y)dy è il differenziale totale di una qualche funzione F nel dominio D, cioè che esiste una funzione F tale che (x,y)D la uguaglianza
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) per tutti i punti (x, y) D sarà soddisfatta la seguente condizione:
Dimostriamolo secondo lo schema.
Dimostriamolo da
Sia 1), cioè sia dato = 0 per la proprietà 2 di §1, che = 0 (per la proprietà 1 di §1) .
Dimostriamolo da
È dato che cr.int. non dipende dal percorso di integrazione, ma solo dalla scelta dell'inizio e della fine del percorso
Considera la funzione
Mostriamo che la forma differenziale P(x,y)dx + Q(x,y)dy è il differenziale totale della funzione F(x,y), cioè, , che cosa
Impostiamo un guadagno privato
x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =
(per la proprietà 3 del § 1, BB* Oy) = = P (c, y)x (per il teorema del valore medio, con -const), dove x (per la continuità della funzione P). Abbiamo ottenuto la formula (5). La formula (6) si ottiene in modo simile. Dimostriamolo da Data la formula dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Ovviamente, = P(x, y). Quindi Per la condizione del teorema, le parti di destra delle uguaglianze (7) e (8) sono funzioni continue, quindi per il teorema sull'uguaglianza delle derivate miste, anche le parti di sinistra saranno uguali, cioè che Dimostriamolo su 41. Scegliamo un qualsiasi contorno chiuso dalla regione D, che limita la regione D 1 . Le funzioni P e Q soddisfano le condizioni di Ostrogradsky-Green: In virtù dell'uguaglianza (4) sul lato sinistro di (9), l'integrale è uguale a 0, il che significa che il lato destro dell'uguaglianza è uguale a Osservazione 1. Il teorema 1. può essere formulato come tre teoremi indipendenti Teorema 1*. Affinché l'int. non dipende dal percorso di integrazione quindi la condizione (.1) è soddisfatta, cioè Teorema 2*. Affinché l'int. non dipende dal percorso di integrazione quindi la condizione (3) è soddisfatta: la forma differenziale P(x,y)dx + Q(x,y)dy è il differenziale totale di una qualche funzione F nel dominio D. Teorema 3*. Affinché l'int. non dipende dal percorso di integrazione per cui è soddisfatta la condizione (4): Osservazione 2. Nel Teorema 2*, il dominio D può anche essere moltiplicato. Formula di Green: se C è il confine chiuso del dominio D e le funzioni P(x,y) e Q(x,y), insieme alle loro derivate parziali del primo ordine, sono continue nel dominio chiuso D (compreso il confine di C), allora vale la formula di Green:, e il bypass attorno al contorno C viene scelto in modo che la regione D rimanga a sinistra. Dalle lezioni: Siano date le funzioni P(x,y) e Q(x,y), che sono continue nel dominio D insieme a derivate parziali del primo ordine. L'integrale di confine (L) giacente interamente nella regione D e contenente tutti i punti nella regione D: . La direzione positiva del contorno è quando la parte limitata del contorno è a sinistra. Condizione di indipendenza dell'integrale curvilineo di 2a specie dal percorso di integrazione. Condizione necessaria e sufficiente per il fatto che l'integrale curvilineo del primo tipo, che collega i punti M1 e M2, non dipende dal percorso di integrazione, ma dipende solo dai punti iniziale e finale, è l'uguaglianza:. - specificando la superficie. Proiettiamo S sul piano xy, otteniamo l'area D. Dividiamo l'area D con una griglia di linee in parti chiamate Di. Da ogni punto di ogni linea tracciamo linee parallele a z, quindi S sarà diviso in Si. Facciamo una somma integrale: . Mettiamo a zero il diametro massimo Di:, otteniamo: Questo è un integrale di superficie del primo tipo Questo è l'integrale di superficie del primo tipo. Definizione in breve. Se esiste un limite finito della somma integrale, che non dipende dal metodo di partizione S in sezioni elementari Si e dalla scelta dei punti, allora si parla di integrale di superficie del primo tipo. Quando si passa dalle variabili x e y a u e v: P Definizione di integrale di superficie del secondo tipo, sue principali proprietà e calcolo. Collegamento con l'integrale del primo tipo. Sia data una superficie S delimitata da una retta L (Fig. 3.10). Prendi un contorno L sulla superficie S che non ha punti in comune con il confine L. Nel punto M del contorno L, due normali u possono essere ripristinate alla superficie S. Scegliamo una di queste direzioni. Delinea il punto M lungo il contorno L con la direzione selezionata della normale. Se il punto M ritorna nella sua posizione originale con la stessa direzione della normale (e non con la direzione opposta), allora la superficie S è chiamata a due lati. Considereremo solo superfici a due lati. Una superficie a due lati è qualsiasi superficie liscia con l'equazione . Sia S una superficie a due lati non chiusa delimitata da una retta L che non ha punti di autointersezione. Scegliamo un certo lato della superficie. Chiameremo la direzione positiva di aggirare il contorno L una tale direzione, quando ci muoviamo lungo la quale lungo il lato selezionato della superficie, la superficie stessa rimane a sinistra. Una superficie a due lati con una direzione positiva di attraversamento del contorno impostata su di essa in questo modo è chiamata superficie orientata. Procediamo alla costruzione di un integrale di superficie del secondo tipo. Prendiamo nello spazio una superficie bifacciale S, costituita da un numero finito di pezzi, ciascuno dei quali è dato da un'equazione della forma oppure è una superficie cilindrica con generatori paralleli all'asse Oz. Sia R(x,y,z) una funzione definita e continua sulla superficie S. Utilizzando una rete di rette, partizioniamo S arbitrariamente in n segmenti "elementari" ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn che non hanno punti interni comuni. Su ciascun segmento ΔSi, scegliamo arbitrariamente un punto Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Sia (ΔSi)xy l'area di proiezione della sezione ΔSi sul piano delle coordinate Oxy, presa con il segno "+", se la normale alla superficie S nel punto Mi(xi,yi,zi) (i= 1,...,n) forme con asse Oz è un angolo acuto, e con il segno "-" se questo angolo è ottuso. Componiamo la somma integrale per la funzione R(x,y,z) sulla superficie S rispetto alle variabili x,y: . Sia λ il maggiore dei diametri ΔSi (i = 1, ..., n). Se esiste un limite finito che non dipende dal metodo di partizione della superficie S in sezioni "elementari" ΔSi e dalla scelta dei punti, allora si dice integrale di superficie sul lato selezionato della superficie S della funzione R (x, y, z) lungo le coordinate x, y (o integrale di superficie del secondo tipo) ed è indicato Allo stesso modo, si possono costruire integrali di superficie sulle coordinate x, z o y, z lungo il lato corrispondente della superficie, cioè Se esistono tutti questi integrali, è possibile introdurre un integrale "generale" sul lato selezionato della superficie: . Un integrale di superficie del secondo tipo ha le solite proprietà di un integrale. Notiamo solo che qualsiasi integrale di superficie del secondo tipo cambia segno quando cambia il lato della superficie. Connessione tra integrali di superficie del primo e del secondo tipo. Lascia che la superficie S sia data dall'equazione: z \u003d f (x, y) e f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) sono funzioni continue in a regione chiusa τ (proiezioni della superficie S sul piano delle coordinate Oxy) e la funzione R(x,y,z) è continua sulla superficie S. La normale alla superficie S, che ha coseni di direzione cos α, cos β , cos γ, viene scelto sul lato superiore della superficie S. Quindi . Per il caso generale abbiamo:
= Si consideri un integrale curvilineo del 2° tipo , dove l- punti di raccordo della curva M e N. Passiamo alle funzioni P(x, y) e Q(x, y) hanno derivate parziali continue in alcuni domini D, che contiene l'intera curva l. Determiniamo le condizioni in cui l'integrale curvilineo considerato non dipende dalla forma della curva l, ma solo sulla posizione dei punti M e N. Disegna due curve arbitrarie MPN e MQN, sdraiato nella zona D e punti di raccordo M e N(Fig. 1). M N Riso. uno. P Assumiamo che , cioè Poi dove l- un contorno chiuso, composto da curve MPN e NQM(quindi può essere considerato arbitrario). Pertanto, la condizione per l'indipendenza di un integrale curvilineo del 2° tipo dal percorso di integrazione è equivalente alla condizione che tale integrale su qualsiasi contorno chiuso sia uguale a zero. Teorema 1. Lascia in tutti i punti di una certa area D le funzioni sono continue P(x, y) e Q(x, y) e le loro derivate parziali e . Quindi in ordine per qualsiasi circuito chiuso l, sdraiato nella zona D, la condizione È necessario e sufficiente che = in tutti i punti della regione D. Prova
. 1) Sufficienza: sia soddisfatta la condizione =. Considera un ciclo chiuso arbitrario l nell'area di D, limitando l'area S e scrivi la formula di Green: Quindi, la sufficienza è dimostrata. 2) Necessità: supponiamo che la condizione sia soddisfatta in ogni punto dell'area D, ma c'è almeno un punto in questa regione dove - ≠ 0. Sia, ad esempio, nel punto P(x0, y0)-> 0. Poiché esiste una funzione continua sul lato sinistro della disuguaglianza, sarà positiva e maggiore di qualche δ > 0 in una piccola area D` punto di contenimento R. Di conseguenza, Quindi, con la formula di Green, otteniamo che , dove L`- il contorno che delimita l'area D`. Questo risultato contraddice la condizione. Pertanto, = in tutti i punti della regione D, che doveva essere dimostrato. Nota 1
. Allo stesso modo per spazio tridimensionale si può dimostrare che il necessario e condizioni sufficienti indipendenza dell'integrale curvilineo dal percorso di integrazione sono: Nota 2.
Quando le condizioni (28/1.18) sono soddisfatte, l'espressione Pdx+Qdy+Rdzè il differenziale totale di una qualche funzione e. Questo permette di ridurre il calcolo dell'integrale curvilineo alla determinazione della differenza tra i valori e in finale e punti di partenza contorno di integrazione, perché Allo stesso tempo, la funzione e può essere trovato usando la formula dove ( x0, y0, z0)– punto dall'area D, un Cè una costante arbitraria. Infatti, è facile verificare che le derivate parziali delle funzioni e data dalla formula (28/1.19) sono P, Q e R. 2° tipo da percorso di integrazione Si consideri un integrale curvilineo del 2° tipo, dove L è una curva che collega i punti M e N. Siano le funzioni P(x, y) e Q(x, y) derivate parziali continue in un dominio D, in cui la curva L'intera giace L. Determiniamo le condizioni in cui l'integrale curvilineo considerato non dipende dalla forma della curva L, ma solo dalla posizione dei punti M e N. Tracciamo due curve arbitrarie MSN e MTN, che giacciono nella regione D e collegano i punti M e N (Fig. 14). Supponiamo che, cioè dove L è un contorno chiuso composto da curve MSN e NTM (quindi può essere considerato arbitrario). Pertanto, la condizione che un integrale curvilineo del 2° tipo sia indipendente dal percorso di integrazione è equivalente alla condizione che tale integrale su qualsiasi contorno chiuso sia uguale a zero. Teorema 5 (teorema di Green). Siano continue le funzioni P(x, y) e Q(x, y) e le loro derivate parziali u in tutti i punti di un dominio D. Quindi affinché qualsiasi contorno chiuso L che si trova nel dominio D soddisfi la condizione è necessario e sufficiente che = in tutti i punti del dominio D. Prova. 1) Sufficienza: sia soddisfatta la condizione =. Considera un contorno chiuso arbitrario L nella regione D, che delimita la regione S, e scrivi la formula di Green per esso: Quindi, la sufficienza è dimostrata. 2) Necessità: supponiamo che la condizione sia soddisfatta in ogni punto della regione D, ma vi sia almeno un punto in questa regione in cui - ? 0. Sia, ad esempio, nel punto P(x0, y0) si ha: - > 0. Poiché il lato sinistro della disuguaglianza è funzione continua, sarà positivo e maggiore di alcuni? > 0 in qualche piccola regione D` contenente il punto P. Pertanto, Quindi, con la formula di Green, lo otteniamo dove L` è il contorno che delimita la regione D`. Questo risultato contraddice la condizione. Pertanto, = in tutti i punti del dominio D, che doveva essere dimostrato. Osservazione 1. In modo simile, per uno spazio tridimensionale, si può dimostrare che le condizioni necessarie e sufficienti per l'indipendenza dell'integrale curvilineo dal percorso di integrazione sono: Osservazione 2. Nelle condizioni (52), l'espressione Pdx + Qdy + Rdz è il differenziale totale di una qualche funzione u. Questo ci permette di ridurre il calcolo dell'integrale curvilineo alla determinazione della differenza tra i valori di e ai punti finali e iniziali del contorno di integrazione, poiché In questo caso, la funzione e può essere trovata dalla formula dove (x0, y0, z0) è un punto in D e C è una costante arbitraria. Infatti, è facile verificare che le derivate parziali della funzione e date dalla formula (53) sono uguali a P, Q e R. Esempio 10 Calcola integrale curvilineo del 2° tipo lungo una curva arbitraria che collega i punti (1, 1, 1) e (2, 3, 4). Assicuriamoci che le condizioni (52) siano soddisfatte: Pertanto, la funzione esiste. Troviamolo con la formula (53), ponendo x0 = y0 = z0 = 0. Quindi Pertanto, la funzione e è determinata fino a un termine costante arbitrario. Prendiamo С = 0, quindi u = xyz. Di conseguenza,
30. La formula di Green. Condizioni per l'indipendenza dell'integrale curvilineo dal percorso di integrazione.
.31. Integrali di superficie del primo e del secondo tipo, loro principali proprietà e calcolo.
un integrale di superficie ha tutte le proprietà di un integrale ordinario. Vedi le domande sopra.
.
e 
.
