16.3.2.1. Definizione di integrale curvilineo del primo tipo. Sia nello spazio delle variabili x,y,z viene data una curva liscia a tratti, su cui è definita la funzione f (X ,y ,z Dividiamo la curva con i punti in parti, scegliamo un punto arbitrario su ciascuno degli archi, troviamo la lunghezza dell'arco e formiamo la somma integrale. Se esiste un limite della successione di somme integrali per , che non dipende dal metodo di partizione della curva in archi o dalla scelta dei punti, allora la funzione f (X ,y ,z ) è detto integrabile di curva, e il valore di questo limite è detto integrale curvilineo del primo tipo, o integrale curvilineo sulla lunghezza d'arco della funzione f (X ,y ,z ) lungo la curva , ed è indicato da (o ).

Il teorema di esistenza. Se la funzione f (X ,y ,z ) è continua su una curva liscia a tratti, quindi è integrabile rispetto a questa curva.

Il caso di una curva chiusa. In questo caso, un punto arbitrario della curva può essere preso come punto iniziale e punto finale. D'ora in poi verrà chiamata una curva chiusa contorno e indicato da Insieme a . Il fatto che la curva lungo la quale è calcolato l'integrale è chiusa è solitamente indicato da un cerchio sul segno di integrale: .

16.3.2.2. Proprietà di un integrale curvilineo del primo tipo. Per questo integrale, tutte e sei le proprietà valgono per l'integrale definito, doppio, triplo, from linearità prima teoremi del valore medio. Formulateli e dimostrateli da soli. Tuttavia, la settima proprietà personale vale anche per questo integrale:

Indipendenza dell'integrale curvilineo del primo tipo sulla direzione della curva:.

Prova. Le somme integrali per gli integrali ai lati destro e sinistro di questa uguaglianza, per qualsiasi partizione della curva e la scelta dei punti, sono le stesse (sempre la lunghezza dell'arco), quindi i loro limiti sono uguali a .

16.3.2.3. Calcolo di un integrale curvilineo del primo tipo. Esempi. Sia data la curva da equazioni parametriche, dove sono funzioni continuamente differenziabili, e che i punti che definiscono lo sdoppiamento della curva corrispondano ai valori del parametro, cioè . Quindi (vedere la sezione 13.3. Calcolo delle lunghezze delle curve) . Per il teorema del valore medio, esiste un punto tale che . Selezioniamo i punti risultanti da questo valore di parametro: . Quindi la somma integrale per l'integrale curvilineo sarà uguale alla somma integrale per l'integrale definito. Poiché , quindi, passando al limite di uguaglianza , otteniamo

Pertanto, il calcolo di un integrale curvilineo del primo tipo si riduce al calcolo di un integrale definito su un parametro. Se la curva è data parametricamente, allora questa transizione non causa difficoltà; se viene fornita una descrizione verbale qualitativa della curva, la difficoltà principale potrebbe essere l'introduzione di un parametro sulla curva. Lo sottolineiamo ancora una volta l'integrazione avviene sempre nella direzione del parametro crescente.

Esempi. 1. Calcola , dove è un giro della spirale

Qui, il passaggio a un integrale definito non causa problemi: troviamo , e .

2. Calcolare lo stesso integrale sul segmento di retta che collega i punti e .

Qui non esiste una definizione parametrica diretta della curva, e così via AB è necessario inserire il parametro. Le equazioni parametriche di una retta hanno la forma dove è un vettore direzionale, è un punto di una retta. Come punto prendiamo un punto, come vettore direttivo prendiamo un vettore:. È facile vedere che il punto corrisponde al valore, il punto corrisponde al valore, quindi.

3. Trova dove si trova la parte della sezione del cilindro rispetto al piano z =X +1, giacente nel primo ottante.

Decisione: Le equazioni parametriche del cerchio - la guida del cilindro hanno la forma X =2cosj, y =2sinj, e poiché z=x +1, quindi z = 2cosj+1. Così,

Ecco perché

16.3.2.3.1. Calcolo di un integrale curvilineo del primo tipo. Custodia piatta. Se la curva giace su un piano di coordinate, ad esempio il piano Oh , ed è data dalla funzione , quindi, considerando X come parametro, otteniamo la seguente formula per calcolare l'integrale: . Allo stesso modo, se la curva è data dall'equazione , allora .

Esempio. Calcola , dove è un quarto del cerchio che giace nel quarto quadrante.

Decisione. 1. Considerando X come parametro, otteniamo, quindi

2. Se prendiamo una variabile come parametro A , poi e .

3. Naturalmente, puoi prendere il solito equazioni parametriche cerchi: .

Se la curva è data in coordinate polari, allora , e .

Lezione 5 Integrali curvilinei 1° e 2° tipo, le loro proprietà..

Il problema della massa della curva. Integrale curvilineo di 1a specie.

Il problema della massa della curva. Sia data in ogni punto della curva del materiale a tratti L: (AB) la sua densità. Determina la massa della curva.

Procediamo allo stesso modo di quando determiniamo la massa di una regione piatta (doppio integrale) e di un corpo spaziale ( triplo integrale).

1. Organizzare la partizione della regione dell'arco L in elementi - archi elementari in modo che questi elementi non abbiano punti interni comuni e ( condizione A )

3. Costruiamo la somma integrale , dove è la lunghezza dell'arco (di solito vengono introdotte le stesse designazioni per l'arco e la sua lunghezza). Questo è un valore approssimativo per la massa della curva. La semplificazione è che abbiamo assunto che la densità dell'arco fosse costante su ciascun elemento e abbiamo preso un numero finito di elementi.

Passare al limite sotto la condizione (condizione B ), otteniamo come limite delle somme integrali un integrale curvilineo del primo tipo:

.

Il teorema di esistenza.

Sia la funzione continua su un arco liscio a tratti L. Allora esiste un integrale curvilineo del primo tipo come limite delle somme integrali.

Commento. Questo limite non dipende

Proprietà di un integrale curvilineo del primo tipo.

1. Linearità
a) proprietà di sovrapposizione

b) proprietà di omogeneità .

Prova. Scriviamo le somme integrali per gli integrali sul lato sinistro delle uguaglianze. Poiché il numero di termini nella somma integrale è finito, passiamo alle somme integrali per i membri di destra delle uguaglianze. Quindi si passa al limite, secondo il teorema sul passaggio al limite in uguaglianza, si ottiene il risultato voluto.

2. Additività.
Se un , poi = +

3. .Ecco la lunghezza dell'arco.

4. Se la disuguaglianza è soddisfatta sull'arco, allora

Prova. Scriviamo la disuguaglianza per le somme integrali e passiamo al limite.

Si noti che, in particolare, è possibile

5. Teorema di stima.

Se ci sono costanti tali che , allora

Prova. Integrare la disuguaglianza (proprietà 4), otteniamo . Per la proprietà 1, le costanti possono essere detratte da sotto gli integrali. Usando la proprietà 3, otteniamo il risultato desiderato.

6. Teorema medio(il valore dell'integrale).

C'è un punto , che cosa

Prova. Poiché la funzione è continua su un insieme limitato chiuso, allora esiste il suo minimo e bordo superiore . La disuguaglianza è soddisfatta. Dividendo entrambi i membri per L, otteniamo . Ma il numero racchiusa tra i limiti inferiore e superiore della funzione. Poiché la funzione è continua su un insieme limitato chiuso L, la funzione deve assumere questo valore ad un certo punto. Quindi, .

Calcolo di un integrale curvilineo del primo tipo.

Parametrizziamo l'arco L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Sia t 0 corrisponda al punto A, e t 1 corrisponda al punto B. Allora l'integrale curvilineo del primo tipo si riduce a un integrale definito ( - la formula nota dal 1° semestre per il calcolo del differenziale della lunghezza d'arco):

Esempio. Calcolare la massa di un giro di un'elica omogenea (densità pari a k): .

Integrale curvilineo di 2a specie.

Il problema del lavoro forzato.

Quanto lavoro fa la forza?F(M) quando si sposta il puntoMin un arcoAB? Se l'arco AB fosse un segmento di retta e la forza fosse costante in grandezza e direzione quando il punto M si muove lungo l'arco AB, allora il lavoro potrebbe essere calcolato con la formula , dove è l'angolo tra i vettori. Nel caso generale, questa formula può essere utilizzata per costruire una somma integrale, assumendo che la forza sia costante su un elemento ad arco di lunghezza sufficientemente piccola. Invece della lunghezza di un piccolo elemento dell'arco, puoi prendere la lunghezza della corda che lo sottende, poiché queste quantità sono quantità infinitesime equivalenti nella condizione (primo semestre).

1. Organizzare la partizione della regione-arco AB in elementi - archi elementari in modo che questi elementi non abbiano punti interni comuni e ( condizione A )

2. Contrassegniamo gli elementi della partizione "punti contrassegnati" M i e calcoliamo i valori della funzione in essi

3. Costruisci la somma integrale , dove è il vettore diretto lungo la corda che sottende l'arco.

4. Passare al limite sotto la condizione (condizione B ), otteniamo un integrale curvilineo del secondo tipo come limite delle somme integrali (e del lavoro della forza):

. Spesso citato

Il teorema di esistenza.

Sia la funzione vettoriale continua su un arco liscio a tratti L. Allora esiste un integrale curvilineo del secondo tipo come limite delle somme integrali.

.

Commento. Questo limite non dipende

Un metodo per scegliere una partizione, purché la condizione A sia soddisfatta

Selezionando "punti contrassegnati" sugli elementi della partizione,

Un metodo per perfezionare la partizione, purché sia ​​soddisfatta la condizione B

Proprietà di un integrale curvilineo di 2a specie.

1. Linearità
a) proprietà di sovrapposizione

b) proprietà di omogeneità .

Prova. Scriviamo le somme integrali per gli integrali sul lato sinistro delle uguaglianze. Poiché il numero di termini nella somma integrale è finito, usando la proprietà del prodotto scalare, si passa alle somme integrali per i membri di destra delle uguaglianze. Quindi si passa al limite, secondo il teorema sul passaggio al limite in uguaglianza, si ottiene il risultato voluto.

2. Additività.
Se un , poi = + .

Prova. Scegliamo una partizione del dominio L in modo che nessuno degli elementi della partizione (inizialmente e quando la partizione è stata affinata) contenga sia gli elementi L 1 che gli elementi L 2 contemporaneamente. Questo può essere fatto dal teorema di esistenza (osservazione sul teorema). Inoltre, la dimostrazione è effettuata in termini di somme integrali, come nella Sezione 1.

3. Orientabilità.

= -

Prova. L'integrale d'arco –L, cioè nella direzione negativa di aggirare l'arco, c'è un limite di somme intere, nei cui termini c'è invece () . Sottraendo il "meno" dal prodotto scalare e dalla somma di un numero finito di termini, passando al limite, otteniamo il risultato richiesto.

Sedia " matematica superiore»

Integrali curvilinei

Linee guida

Volgograd

UDC 517.373(075)

Recensore:

Professore Ordinario del Dipartimento di Matematica Applicata N.I. Koltsov

Pubblicato per decisione del consiglio di redazione ed editoria

Università tecnica statale di Volgograd

Integrali curvilinei: metodo. istruzioni / comp. M.I.Andreeva,

OE Grigoriev; VolgGTU. - Volgograd, 2011. - 26 p.

Le istruzioni metodologiche sono una guida per l'implementazione di compiti individuali sull'argomento "Integrali curvilinei e loro applicazioni alla teoria dei campi".

La prima parte delle linee guida contiene il materiale teorico necessario per l'attuazione dei singoli compiti.

Nella seconda parte, esempi di esecuzione di tutti i tipi di compiti inclusi nel compiti individuali sull'argomento, che contribuisce a una migliore organizzazione lavoro indipendente studenti e padronanza di successo dell'argomento.

Le istruzioni metodiche sono destinate agli studenti del primo e del secondo corso.

© Stato di Volgograd

Università Tecnica, 2011

1. INTEGRALE CURVILINEARE DEL 1° TIPO

Definizione di integrale curvilineo di 1a specie

Lascia che sia AB– un arco di una curva piana o spaziale a tratti liscia l, f(P) - dato su questo arco funzione continua, MA 0 = MA, MA 1 , MA 2 , …, Un – 1 , Un = B AB e Pi sono punti arbitrari sugli archi parziali È un io – 1 Ai, le cui lunghezze D io (io = 1, 2, …, n

A n® ¥ e max D io® 0, che non dipende da come l'arco È AB punti Ai, né dalla scelta dei punti Pi su archi parziali È un io – 1 Ai (io = 1, 2, …, n). Questo limite è chiamato integrale curvilineo del primo tipo di funzione f(P) lungo la curva l e indicato

Calcolo di un integrale curvilineo di 1a specie

Il calcolo di un integrale curvilineo del 1° tipo può essere ridotto al calcolo di un integrale definito con diversi modi di specificare la curva di integrazione.

Se l'arco È AB la curva piana è data parametricamente dalle equazioni dove X(t) e y(t t, e X(t 1) = x A, X(t 2) = x B, poi

dove - differenziale della lunghezza d'arco della curva.

Una formula simile si ha nel caso di una specifica parametrica di una curva spaziale l. Se l'arco È AB storto l dato dalle equazioni , e X(t), y(t), z(t) sono funzioni del parametro continuamente differenziabili t, poi

dove è il differenziale della lunghezza d'arco della curva.

in coordinate cartesiane

Se l'arco È AB curva piatta l dato dall'equazione dove y(X

e la formula per calcolare l'integrale curvilineo è:

Quando si specifica un arco È AB curva piatta l come X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
dove X(y) è una funzione continuamente differenziabile,

e l'integrale curvilineo è calcolato dalla formula

(1.4)

Specifica di una curva di integrazione con un'equazione polare

Se una curva piatta l data dall'equazione nel sistema di coordinate polari r = r(j), j О , dove r(j) è una funzione continuamente differenziabile

e

(1.5)

Applicazioni dell'integrale curvilineo del 1° tipo

Utilizzando un integrale curvilineo del 1° tipo si calcolano: la lunghezza dell'arco della curva, l'area di una parte della superficie cilindrica, la massa, i momenti statici, i momenti di inerzia e le coordinate del baricentro di una curva materiale con una data densità lineare.

1. Lunghezza l curva piatta o spaziale l si trova secondo la formula

2. L'area di una parte di una superficie cilindrica con asse parallelo oncia generatrice e situata nel piano XOY guida l racchiuso tra il piano XOY e la superficie data dall'equazione z = f(X; y) (f(P) ³ 0 per P Î l), è uguale a

(1.7)

3. Peso m curva materiale l con densità lineare m( P) è determinato dalla formula

(1.8)

4. Momenti statici sugli assi Bue e Ehi e coordinate del baricentro di una curva di materiale piano l con densità lineare m( X; y) sono rispettivamente pari a:

(1.9)

5. Momenti statici relativi ai piani Ossi, Oxz, Oyz e coordinate del baricentro della curva materiale spaziale con densità lineare m( X; y; z) sono determinati dalle formule:

(1.11)

6. Per curva materiale piatto l con densità lineare m( X; y) momenti di inerzia rispetto agli assi Bue, Ehi e l'origine delle coordinate, rispettivamente, sono:

(1.13)

7. Momenti di inerzia di una curva materiale spaziale l con densità lineare m( X; y; z) relativamente piani coordinati calcolato con formule

(1.14)

e i momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati sono:

(1.15)

2. INTEGRALE CURVILINEARE DI 2° TIPO

Definizione di integrale curvilineo del 2° tipo

Lascia che sia ABè un arco di una curva orientata a tratti l, = (ascia(P); Ay(P); az(P)) è un continuo funzione vettoriale, MA 0 = MA, MA 1 , MA 2 , …, Un – 1 , Un = B– divisione arbitraria dell'arco AB e Pi sono punti arbitrari su archi parziali un io – 1 Ai. Sia un vettore di coordinate D x io, D si io, D z io(io = 1, 2, …, n), ed è il prodotto scalare di vettori e ( io = 1, 2, …, n). Allora c'è un limite della successione delle somme intere

A n® ¥ e max ÷ ç ® 0, che non dipende da come è diviso l'arco AB punti Ai, né dalla scelta dei punti Pi su archi parziali È un io – 1 Ai
(io = 1, 2, …, n). Questo limite è chiamato integrale curvilineo del 2° tipo di funzione ( P) lungo la curva l e indicato

Nel caso in cui la funzione vettoriale sia data su una curva piana l, allo stesso modo abbiamo:

Quando si cambia la direzione di integrazione, l'integrale curvilineo del 2° tipo cambia segno.

Gli integrali curvilinei del primo e del secondo tipo sono legati dalla relazione

(2.2)

dove - vettore unitario tangente ad una curva orientata.

Utilizzando un integrale curvilineo del 2° tipo, puoi calcolare il lavoro di una forza in movimento punto materiale lungo l'arco di una curva L:

Direzione positiva attorno ad una curva chiusa INSIEME A, che delimita una regione semplicemente connessa G, si considera il senso antiorario.

Integrale curvilineo del 2° tipo su una curva chiusa Insieme a si chiama circolazione e si denota

(2.4)

Calcolo di un integrale curvilineo di 2a specie

Il calcolo di un integrale curvilineo di 2a specie si riduce al calcolo di un integrale definito.

Specifica parametrica della curva di integrazione

Se è AB la curva del piano orientato è data parametricamente dalle equazioni , dove X(t) e y(t) sono funzioni del parametro continuamente differenziabili t, e poi

Una formula simile si ha nel caso di una specifica parametrica di una curva orientata nello spazio l. Se l'arco È AB storto l dato dalle equazioni , e sono funzioni continuamente differenziabili del parametro t, poi

Specifica esplicita di una curva di integrazione piatta

Se l'arco È AB lè dato in coordinate cartesiane dall'equazione dove y(X) è una funzione continuamente differenziabile, quindi

(2.7)

Quando si specifica un arco È AB curva orientata piatta l come
X= X(y), y Î [ y 1 ; y 2], dove X(y) è una funzione a derivabilità continua, la formula

(2.8)

Passiamo alle funzioni sono continue insieme alle loro derivate

in zona pianeggiante chiusa G, delimitato da una curva orientata positivamente chiusa autodisgiunta a tratti liscia Insieme a+. Allora vale la formula di Green:

Lascia stare Gè una regione semplicemente connessa alla superficie, e

= (ascia(P); Ay(P); az(P))

è il campo vettoriale specificato in questa regione. Campo ( P) è chiamato potenziale se esiste una tale funzione u(P), che cosa

(P) = grad u(P),

Condizione necessaria e sufficiente per la potenzialità campo vettoriale (P) sembra:

marcire ( P) = , dove (2.10)

(2.11)

Se il campo vettoriale è potenziale, l'integrale curvilineo del 2° tipo non dipende dalla curva di integrazione, ma dipende solo dalle coordinate dell'inizio e della fine dell'arco M 0 M. Potenziale u(M) del campo vettoriale è determinato fino a un termine costante e si trova mediante la formula

(2.12)

dove M 0 Mè una curva arbitraria che collega un punto fisso M 0 e punto variabile M. Per semplificare i calcoli, è possibile scegliere una linea spezzata come percorso di integrazione M 0 M 1 M 2 M con collegamenti paralleli assi coordinati, Per esempio:

3. esempi di compiti

Esercizio 1

Calcola l'integrale curvilineo del primo tipo

dove L è l'arco della curva , 0 ≤ X ≤ 1.

Decisione. Con la formula (1.3), la riduzione di un integrale curvilineo del primo tipo a un integrale definito nel caso di una curva piana data esplicitamente:

dove y = y(X), X 0 ≤ X ≤ X 1 - equazione dell'arco l curva di integrazione. In questo esempio Troviamo la derivata di questa funzione

e il differenziale della lunghezza d'arco della curva l

quindi, sostituendo in questa espressione invece di y, noi abbiamo

Trasformiamo l'integrale curvilineo in uno definito:

Calcoliamo questo integrale usando la sostituzione. Quindi
t 2 = 1 + X, X = t 2 – 1, dx = 2t dt; A x= 0 t= 1; un X= 1 fiammiferi. Dopo le trasformazioni, otteniamo

Compito 2

Calcola un integrale curvilineo del 1° tipo in un arco l storto l:X= cos 3 t, y= peccato 3 t, .

Decisione. Come lè un arco di una curva piana liscia definita in forma parametrica, allora usiamo la formula (1.1) per ridurre l'integrale curvilineo del 1° tipo a uno definito:

.

In questo esempio

Trova la differenza di lunghezza d'arco

Sostituiamo le espressioni trovate nella formula (1.1) e calcoliamo:

Compito 3

Trova la massa dell'arco di una linea l con piano lineare m.

Decisione. Il peso m archi l con densità m( P) è calcolato con la formula (1.8)

Questo è un integrale curvilineo del 1° tipo su un arco liscio di una curva nello spazio parametricamente dato, quindi è calcolato dalla formula (1.2) di ridurre un integrale curvilineo del 1° tipo ad un integrale definito:

Troviamo le derivate

e differenziale di lunghezza d'arco

Sostituiamo queste espressioni nella formula per la massa:

Compito 4

Esempio 1 Calcola l'integrale curvilineo del 2° tipo

in un arco l curva 4 X + y 2 = 4 dal punto UN(1; 0) al punto B(0; 2).

Decisione. arco piatto l impostato implicitamente. Per calcolare l'integrale, è più conveniente esprimere X attraverso y:

e trova l'integrale mediante la formula (2.8) della trasformazione di un integrale curvilineo di 2a specie in integrale definito per variabile y:

dove ascia(X; y) = xy – 1, Ay(X; y) = xy 2 .

Tenendo conto dell'impostazione della curva

Con la formula (2.8) otteniamo

Esempio 2. Calcola l'integrale curvilineo del 2° tipo

dove l- linea spezzata ABC, UN(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Decisione. Per la proprietà di additività dell'integrale curvilineo

Ciascuno dei termini integrali è calcolato dalla formula (2.7)

dove ascia(X; y) = X 2 + y, Ay(X; y) = –3xy.

Equazione del segmento di linea AB: y = 2, y¢ = 0, X 1 = 1, X 2 = 3. Sostituendo queste espressioni nella formula (2.7), otteniamo:

Per calcolare l'integrale

scrivi l'equazione di una retta AVANTI CRISTO secondo la formula

dove x B, e B, x C, yC– coordinate del punto B e Insieme a. Noi abbiamo

y – 2 = X – 3, y = X – 1, y¢ = 1.

Sostituiamo le espressioni ottenute nella formula (2.7):

Compito 5

Calcola un integrale curvilineo del 2° tipo su un arco l

0 ≤ t ≤ 1.

Decisione. Poiché la curva di integrazione è data parametricamente dalle equazioni x = x(t), y=y(t), t Î [ t 1 ; t 2], dove X(t) e y(t) sono funzioni continuamente differenziabili t A t Î [ t 1 ; t 2 ], quindi per calcolare l'integrale curvilineo del secondo tipo, utilizziamo la formula (2.5) per ridurre l'integrale curvilineo a quello definito per una curva parametrica piana

In questo esempio ascia(X; y) = y; Ay(X; y) = –2X.

Tenendo conto dell'impostazione della curva l noi abbiamo:

Sostituiamo le espressioni trovate nella formula (2.5) e calcoliamo l'integrale definito:

Compito 6

Esempio 1 C + dove Insieme a : y 2 = 2X, y = X – 4.

Decisione. Designazione C+ indica che il profilo viene percorso in direzione positiva, ovvero in senso antiorario.

Verifichiamo che la formula di Green (2.9) possa essere utilizzata per risolvere il problema

Dal momento che le funzioni ascia (X; y) = 2y – X 2 ; Ay (X; y) = 3X + y e le loro derivate parziali continuo in una regione piatta e chiusa G, delimitata dal contorno C, allora è applicabile la formula di Green.

Calcolare doppio integrale disegna l'area G, avendo preventivamente determinato i punti di intersezione degli archi delle curve y 2 = 2X e
y = X- 4 che costituiscono il contorno C.

Troviamo i punti di intersezione risolvendo il sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è equivalente all'equazione X 2 – 10X+ 16 = 0, da cui X 1 = 2, X 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Quindi, i punti di intersezione delle curve: UN(2; –2), B(8; 4).

Dal momento che la zona G– correggere nella direzione dell'asse Bue, quindi per ridurre l'integrale doppio a uno ripetuto, progettiamo il dominio G per asse OY e usa la formula

.

Come un = –2, b = 4, X 2 (y) = 4+y, poi

Esempio 2 Calcola un integrale curvilineo del 2° tipo su un contorno chiuso dove Insieme a- il contorno di un triangolo con vertici UN(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Decisione. La notazione significa che il contorno del triangolo è attraversato in senso orario. Nel caso in cui l'integrale curvilineo sia preso lungo un contorno chiuso, la formula di Green assume la forma

Disegna un'area G delimitata da un determinato contorno.

Funzioni e derivate parziali e continuo nella regione G, quindi è possibile applicare la formula di Green. Quindi

Regione G non è corretto nella direzione di nessuno degli assi. Disegna un segmento di linea X= 1 e immagina G come G = G 1 È G 2, dove G 1 e G 2 aree corrette in direzione dell'asse Ehi.

Quindi

Per ridurre ciascuno degli integrali doppi G 1 e G 2 per riutilizzare useremo la formula

dove [ un; b] – proiezione dell'area D per asse Bue,

y = y 1 (X) è l'equazione della curva di delimitazione inferiore,

y = y 2 (X) è l'equazione della curva di delimitazione superiore.

Scriviamo le equazioni per i confini della regione G 1 e trova

AB: y = 2X, 0 ≤ X ≤ 1; ANNO DOMINI: , 0 ≤ X ≤ 1.

Componi l'equazione del confine AVANTI CRISTO le zone G 2 usando la formula

AVANTI CRISTO: dove 1 ≤ X ≤ 3.

DC: 1 ≤ X ≤ 3.

Compito 7

Esempio 1 Trova una forza lavoro l: y = X 3 dal punto M(0; 0) al punto N(1; 1).

Decisione. Il lavoro di una forza variabile quando si sposta un punto materiale lungo un arco di curva lè determinato dalla formula (2.3) (come integrale curvilineo del secondo tipo di funzione lungo la curva l) .

Poiché la funzione vettoriale è data dall'equazione e l'arco della curva orientata nel piano è esplicitamente definito dall'equazione y = y(X), X Î [ X 1 ; X 2], dove y(X) è una funzione continuamente differenziabile, quindi per la formula (2.7)

In questo esempio y = X 3 , , X 1 = x M = 0, X 2 = x N= 1. Pertanto

Esempio 2. Trova una forza lavoro quando si sposta un punto materiale lungo una linea l: X 2 + y 2 = 4 dal punto M(0; 2) puntare N(–2; 0).

Decisione. Usando la formula (2.3), otteniamo

.

In questo esempio, l'arco della curva l(È MN) è un quarto del cerchio dato dall'equazione canonica X 2 + y 2 = 4.

Per calcolare l'integrale curvilineo del secondo tipo, è più conveniente passare alla specificazione parametrica del cerchio: X = R cos t, y = R peccato t e usa la formula (2.5)

Come X= 2cos t, y= 2 peccato t, , , noi abbiamo

Compito 8

Esempio 1. Calcolare il modulo di circolazione del campo vettoriale lungo il contorno G:

Decisione. Per calcolare la circolazione di un campo vettoriale lungo un contorno chiuso G usiamo la formula (2.4)

Poiché vengono forniti un campo vettoriale spaziale e un contorno spaziale chiuso G, quindi passando dalla forma vettoriale della scrittura dell'integrale curvilineo alla forma delle coordinate, otteniamo

Curva Gè definito come l'intersezione di due superfici: un paraboloide iperbolico z=x 2 – y 2 + 2 e cilindro X 2 + y 2 = 1. Per calcolare l'integrale curvilineo conviene passare alle equazioni parametriche della curva G.

L'equazione di una superficie cilindrica può essere scritta come:
X= cos t, y= peccato t, z = z. Espressione per z nelle equazioni parametriche la curva si ottiene per sostituzione X= cos t, y= peccato t nell'equazione di un paraboloide iperbolico z= 2 + cos2 t– peccato 2 t= 2 + cos2 t. Così, G: X= cos t,
y= peccato t, z= 2 + cos2 t, 0 ≤ t≤ 2 pence.

Poiché le curve incluse nelle equazioni parametriche G funzioni
X(t) = cos t, y(t) = peccato t, z(t) = 2 + cos 2 t sono funzioni continuamente differenziabili del parametro t A tн , allora troviamo l'integrale curvilineo con la formula (2.6)

L'integrale curvilineo di 2a specie si calcola allo stesso modo dell'integrale curvilineo di 1a specie per riduzione a uno definito. Per fare ciò, tutte le variabili sotto il segno di integrale sono espresse in termini di una variabile, utilizzando l'equazione della retta lungo la quale viene eseguita l'integrazione.

a) Se la linea AB data dal sistema di equazioni allora

(10.3)

Per custodia piatta quando la curva è data dall'equazione l'integrale curvilineo si calcola con la formula: . (10.4)

Se la linea AB data da equazioni parametriche quindi

(10.5)

Per il caso piatto, se la linea AB data da equazioni parametriche , l'integrale curvilineo si calcola con la formula:

, (10.6)

dove - valori dei parametri t, corrispondenti ai punti di inizio e di fine del percorso di integrazione.

Se la linea AB liscio a tratti, allora si dovrebbe usare la proprietà di additività dell'integrale curvilineo, scissione AB su archi lisci.

Esempio 10.1 Calcoliamo l'integrale curvilineo lungo un contorno costituito da una parte di una curva da un punto prima e archi di ellisse dal punto prima .

Poiché il contorno è costituito da due parti, utilizziamo la proprietà di additività dell'integrale curvilineo: . Riduciamo entrambi gli integrali a definiti. Parte del contorno è data dall'equazione rispetto alla variabile . Usiamo la formula (10.4 ), in cui cambiamo i ruoli delle variabili. Quelli.

. Dopo il calcolo, otteniamo .

Per calcolare l'integrale di contorno sole passiamo alla forma parametrica di scrittura dell'equazione dell'ellisse e utilizziamo la formula (10.6).

Prestare attenzione ai limiti dell'integrazione. punto corrisponde al valore e al punto corrisponde Risposta:
.

Esempio 10.2. Calcola lungo un segmento di retta AB, dove A(1,2,3), B(2,5,8).

Decisione. Viene fornito un integrale curvilineo di 2a specie. Per calcolarlo, devi convertirlo in uno specifico. Facciamo equazioni di una retta. Il suo vettore di direzione ha coordinate .

Equazioni canoniche AB diretto: .

Equazioni parametriche di questa retta: ,

In
.

Usiamo la formula (10.5) :

Dopo aver calcolato l'integrale, otteniamo la risposta: .

5. Il lavoro di una forza quando si sposta un punto materiale di un'unità di massa da un punto all'altro lungo una curva .

Lascia in ogni punto della curva liscia a tratti è dato un vettore che ha coordinate funzioni continue: . Spezziamo questa curva in piccole parti per punti in modo che nei punti di ogni parte valore della funzione
potrebbe essere considerato permanente, e la parte stessa potrebbe essere preso come un segmento di retta (vedi Fig. 10.1). Quindi . Prodotto scalare forza costante, il cui ruolo è svolto dal vettore , su un vettore di spostamento rettilineo è numericamente uguale al lavoro svolto dalla forza quando si sposta un punto materiale lungo . Facciamo una somma integrale . Nel limite, con un aumento illimitato del numero delle partizioni, otteniamo un integrale curvilineo di 2a specie

. (10.7) Così, significato fisico integrale curvilineo di 2a specie - è un lavoro fatto con la forza quando si sposta un punto materiale da MA a A lungo il contorno l.

Esempio 10.3. Calcola il lavoro svolto dal vettore quando si sposta un punto lungo la parte della curva Viviani, data come intersezione dell'emisfero e cilindro in senso antiorario se visto dal lato positivo dell'asse BUE.

Decisione. Costruiamo una data curva come una linea di intersezione di due superfici (vedi Fig. 10.3).

.

Per ridurre l'integrando ad una singola variabile, si passa a sistema cilindrico coordinate: .

Perché il punto si muove lungo la curva , allora conviene scegliere come parametro la variabile , che cambia lungo il contorno in modo che . Quindi otteniamo le seguenti equazioni parametriche per questa curva:

.Dove
.

Sostituiamo le espressioni ottenute nella formula per il calcolo della circolazione:

( - il segno + indica che il movimento del punto lungo il contorno è in senso antiorario)

Calcoliamo l'integrale e otteniamo la risposta: .

Lezione 11.

La formula di Green per un dominio semplicemente connesso. Indipendenza dell'integrale curvilineo dal percorso di integrazione. Formula di Newton-Leibniz. Trovare una funzione in base al suo differenziale totale usando un integrale curvilineo (casi piani e spaziali).

OL-1 cap.5, OL-2 cap.3, OL-4 cap.3 § 10, p.10.3, 10.4.

Pratica : OL-6 n. 2318 (a, b, e), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 o OL-5 n. 10.79, 82, 133, 135, 139.

Costruzione casa per la lezione 11: OL-6 n. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 o OL-5 n. 10.80, 134, 136, 140

La formula di Green.

Facciamo salire sull'aereo dato un dominio semplicemente connesso delimitato da un contorno chiuso liscio a tratti. (Un dominio è chiamato semplicemente connesso se qualsiasi contorno chiuso in esso può essere contratto in un punto in questo dominio).

Teorema. Se funziona e le loro derivate parziali G, poi

Figura 11.1

- La formula di Green . (11.1)

Indica la direzione positiva di attraversamento (in senso antiorario).

Esempio 11.1. Usando la formula di Green, calcoliamo l'integrale lungo un contorno costituito da segmenti OA, OB e un arco di cerchio più grande punti di collegamento UN e b, Se , , .

Decisione. Costruiamo un contorno (vedi fig. 11.2). Calcoliamo le derivate necessarie.

Figura 11.2

, ; , . Le funzioni e le loro derivate sono continue in una regione chiusa delimitata da un dato contorno. Secondo la formula di Green, questo integrale è .

Dopo aver sostituito le derivate calcolate, otteniamo

. Calcoliamo l'integrale doppio passando a coordinate polari:
.

Verifichiamo la risposta calcolando l'integrale direttamente sul contorno come integrale curvilineo del 2° tipo.
.

Risposta:
.

2. Indipendenza dell'Integrale Curvilineo dal Cammino di Integrazione.

Lascia stare e - punti arbitrari di un'area semplicemente connessa pl. . Gli integrali curvilinei calcolati da varie curve che collegano questi punti hanno generalmente valori diversi. Ma in determinate condizioni, tutti questi valori possono essere gli stessi. Quindi l'integrale non dipende dalla forma del percorso, ma dipende solo dai punti iniziale e finale.

Valgono i seguenti teoremi.

Teorema 1. In ordine per l'integrale
non dipende dalla forma del percorso che collega i punti ed è necessario e sufficiente che questo integrale su qualsiasi contorno chiuso sia uguale a zero.

Teorema 2.. In ordine per l'integrale
è uguale a zero lungo un qualsiasi contorno chiuso, è necessario e sufficiente che funzioni e le loro derivate parziali erano continui in una regione chiusa G e in modo che la condizione ( 11.2)

Quindi, se sono soddisfatte le condizioni per l'indipendenza dell'integrale dalla forma del cammino (11.2) , allora è sufficiente specificare solo i punti di inizio e fine: (11.3)

Teorema 3. Se la condizione è soddisfatta in un dominio semplicemente connesso, allora esiste una funzione tale che. (11.4)

Questa formula è chiamata formula Newton-Leibniz per l'integrale curvilineo.

Commento. Ricordiamo che l'uguaglianza è una condizione necessaria e sufficiente per l'espressione
.

Quindi dai teoremi formulati sopra segue che se le funzioni e le loro derivate parziali continuo in una regione chiusa G, in cui sono indicati i punti e , e poi

a) c'è una funzione , tale che ,

non dipende dalla forma del percorso, ,

c) vale la formula Newton-Leibniz .

Esempio 11.2. Assicuriamoci che l'integrale
non dipende dalla forma del percorso e calcolarlo.

Decisione. .

Figura 11.3

Verifichiamo il soddisfacimento della condizione (11.2) .
. Come puoi vedere, la condizione è soddisfatta. Il valore dell'integrale non dipende dal percorso di integrazione. Scegliamo la strada dell'integrazione. Maggior parte

un modo semplice per calcolare è una linea spezzata DIA che collega i punti di inizio e fine del percorso. (Vedi fig. 11.3)

Quindi .

3. Trovare una funzione in base al suo differenziale totale.

Con l'aiuto di un integrale curvilineo, che non dipende dalla forma del percorso, si può trovare la funzione conoscendo il suo differenziale totale. Questo problema viene risolto nel modo seguente.

Se funziona e le loro derivate parziali continuo in una regione chiusa G e , allora l'espressione è differenziale completo qualche funzione . Inoltre, l'integrale
, in primo luogo, non dipende dalla forma del percorso e, in secondo luogo, può essere calcolato utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Calcolare
due strade.

Figura 11.4

a) Scegli un punto nella regione con coordinate specifiche e un punto con coordinate arbitrarie. Calcoliamo l'integrale curvilineo lungo una linea spezzata costituita da due segmenti di rette che collegano questi punti, uno dei segmenti essendo parallelo all'asse e l'altro all'asse. Quindi . (Vedi fig. 11.4)

L'equazione .

L'equazione .

Otteniamo: dopo aver calcolato entrambi gli integrali, otteniamo alcune funzioni nella risposta.

b) Ora possiamo calcolare lo stesso integrale usando la formula di Newton-Leibniz.

Ora confrontiamo due risultati del calcolo dello stesso integrale. La parte funzionale della risposta al paragrafo a) è la funzione desiderata e la parte numerica - il suo valore nel punto .

Esempio 11.3. Assicuriamoci che l'espressione
è il differenziale totale di una qualche funzione e troviamolo. Verifichiamo i risultati del calcolo dell'esempio 11.2 utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Decisione. Condizione di esistenza della funzione (11.2) è stato verificato nell'esempio precedente. Troviamo questa funzione, per la quale useremo la Figura 11.4, e prenderemo per punto . Componi e calcola l'integrale sulla linea spezzata DIA, dove :

Come accennato in precedenza, la parte funzionale dell'espressione risultante è la funzione desiderata
.

Verifichiamo il risultato dei calcoli dell'esempio 11.2 utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

I risultati corrispondevano.

Commento. Tutte le affermazioni considerate sono vere anche per il caso spaziale, ma con un gran numero di condizioni.

Lascia che una curva liscia a tratti appartenga a un dominio nello spazio . Allora, se le funzioni e le loro derivate parziali sono continue in una regione chiusa in cui sono dati i punti e e
(11.5 ), poi

a) l'espressione è il differenziale totale di una funzione ,

b) un integrale curvilineo del differenziale totale di qualche funzione non dipende dalla forma del percorso e,

c) vale la formula Newton-Leibniz .(11.6 )

Esempio 11.4. Assicuriamoci che l'espressione sia il differenziale totale di qualche funzione e troviamolo.

Decisione. Per rispondere alla domanda se una data espressione è il differenziale totale di qualche funzione , calcolare le derivate parziali delle funzioni , , . (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Queste funzioni sono continue insieme alle loro derivate parziali in qualsiasi punto dello spazio.

Vediamo che il necessario e condizioni sufficienti esistenza : , , , h.t.d.

Per calcolare la funzione usiamo il fatto che l'integrale di linea non dipende dal percorso di integrazione e può essere calcolato usando la formula di Newton-Leibniz. Lascia il punto - l'inizio del percorso e un punto - fine della strada . Calcoliamo l'integrale

lungo un contorno costituito da segmenti di linea paralleli agli assi delle coordinate. (vedi fig. 11.5).

.

Figura 11.5

Equazioni delle parti di contorno: , ,
.

Quindi

, X risolto qui, quindi ,

È risolto qui y, Ecco perché .

Di conseguenza, otteniamo:

Ora possiamo calcolare lo stesso integrale usando la formula di Newton-Leibniz.

Confrontiamo i risultati: .

Dall'uguaglianza risultante deriva che , e

Lezione 12.

Integrale di superficie del primo tipo: definizione, proprietà di base. Regole per calcolare l'integrale di superficie del primo tipo utilizzando un integrale doppio. Applicazioni dell'integrale di superficie del primo tipo: area superficiale, massa della superficie del materiale, momenti statici sui piani coordinati, momenti di inerzia e coordinate del baricentro. OL-1 cap.6, OL 2 cap.3, OL-4 § 11.

Pratica: OL-6 n. 2347, 2352, 2353 o OL-5 n. 10.62, 65, 67.

Compiti per la lezione 12:

OL-6 n. 2348, 2354 o OL-5 n. 10.63, 64, 68.