dove con pag, J/(kg×K) – capacità termica isobarica; r, kg/m 3 - densità; l, W/(m×K) – coefficiente di conducibilità termica; w x, w y , w z sono le proiezioni del vettore velocità del fluido; qv, W / m 3 - densità volumetrica del rilascio di calore interno del liquido.

L'equazione (1.12) è scritta per il caso l=cost.

Differenziale per solidi è chiamata equazione differenziale della conduzione del calore e può essere ottenuta dalla (1.12) nella condizione w x = w y = w z = 0, con pag=con v=insieme a:

,

dove - diffusività termica, caratterizza la velocità di variazione della temperatura nel corpo. Valori a = f(t) per i vari organismi sono riportati nei libri di consultazione.

Equazione differenziale conduttività termica

(1.13)

descrive il campo di temperatura non stazionario dei solidi con rilascio di calore interno (con fonti di calore interne). Tali fonti di calore possono essere: Joule calore rilasciato durante il passaggio di corrente elettrica attraverso conduttori; calore rilasciato dagli elementi combustibili dei reattori nucleari, ecc.

L'equazione differenziale del calore (1.13), scritta in coordinate cartesiane, può essere rappresentato in cilindrico (r,z, φ) e sferico (r, φ , ψ).

In particolare, nel cilindrico coordinate ( r- raggio; φ è l'angolo polare; z- applicata), l'equazione differenziale della conduzione del calore ha la forma

(1.14)

Condizioni di unicità

L'equazione differenziale descrive molti processi di conduzione del calore. Per individuare un processo specifico da questo insieme, è necessario formulare le caratteristiche di questo processo, che vengono chiamati condizioni di unicità e includono:

· condizioni geometriche caratterizzare la forma e le dimensioni del corpo;

· condizioni fisiche caratterizzare le proprietà dei corpi partecipanti allo scambio termico;

· condizioni di confine caratterizzare le condizioni del processo al confine del corpo;

· condizioni iniziali che caratterizza lo stato iniziale del sistema a processi non stazionari.

Quando si risolvono problemi di conduzione del calore, ci sono:

· condizioni al contorno del primo tipo quando la distribuzione della temperatura sulla superficie corporea è data:

t c = f (x, y, z, τ) o t c = cost;

· condizioni al contorno del secondo tipo quando è data la densità del flusso di calore sulla superficie corporea:

q c = f (x, y, z, τ) o qc = cost;

· condizioni al contorno del terzo tipo quando la temperatura media è impostata t e il coefficiente di scambio termico tra la superficie e il mezzo.

Secondo la legge di Newton-Richmann, il flusso di calore trasferito da 1 m 2 della superficie a un mezzo con una temperatura t,

Allo stesso tempo, questo flusso di calore viene fornito a 1 m 2 di superficie dagli strati profondi del corpo dalla conducibilità termica

Quindi l'equazione del bilancio termico per la superficie corporea può essere scritta nella forma

(1.15)

L'equazione (1.15) è una formulazione matematica delle condizioni al contorno del terzo tipo.

Il sistema di equazioni differenziali, insieme alle condizioni di unicità, è una formulazione matematica del problema. Le soluzioni di equazioni differenziali contengono costanti di integrazione, che sono determinate utilizzando condizioni di unicità.

Controllare le domande e le attività

1. Analizza come viene trasferito il calore acqua calda all'aria attraverso la parete del radiatore: dall'acqua alla superficie interna, attraverso la parete, dalla superficie esterna all'aria.

2. Perché c'è un meno sul lato destro dell'equazione (1.3)?

3. Analizzare con l'aiuto della letteratura di riferimento la dipendenza λ(t) per metalli, leghe, materiali termoisolanti, gas, liquidi e rispondi alla domanda: come cambia il coefficiente di conducibilità termica con la temperatura per questi materiali?

4. Come viene determinato il flusso di calore? (Q, W ) con scambio termico convettivo, conducibilità termica, irraggiamento termico?

5. Annotare l'equazione differenziale della conducibilità termica in coordinate cartesiane, che descrive un campo di temperatura stazionario tridimensionale senza fonti di calore interne.

6. Annotare l'equazione differenziale per il campo di temperatura di un filo che è eccitato per lungo tempo a un carico elettrico costante.

2. CONDUCIBILITA' TERMICA E TRASMISSIONE TERMICA
IN MODALITÀ STAZIONARIA

2.1. Conducibilità termica di una parete piana

Dato: spessore della parete uniforme piatta δ (Fig. 2.1) con coefficiente costante conduttività termica λ e temperature costanti t1 e t2 sulle superfici.

Definire: equazione del campo di temperatura t=f(x) e densità del flusso di calore q, L/mq.

Il campo di temperatura della parete è descritto dall'equazione di conduzione termica differenziale (1.3) nelle seguenti condizioni:

Poiché la modalità è stazionaria;

· perché non ci sono fonti interne di calore;

· perché temperatura t1 e t2 sulle superfici del muro sono costanti.

La temperatura della parete è funzione di una sola coordinata X e l'equazione (1.13) assume la forma

Le espressioni (2.1), (2.2), (2.3) sono la formulazione matematica del problema, la cui soluzione ci permetterà di ottenere l'equazione del campo di temperatura richiesta t=f(x).

L'integrazione dell'equazione (2.1) dà

Dopo ripetute integrazioni, otteniamo la soluzione dell'equazione differenziale nella forma

Dipendenza t=f(x), secondo (2.5) è una linea retta (Fig. 2.1), che vale per λ = cost.

Per determinare la densità del flusso di calore che passa attraverso la parete, utilizziamo la legge di Fourier

Con considerazione otteniamo la formula di calcolo per la densità del flusso di calore trasmesso attraverso una parete piana,

La formula (2.6) può essere scritta come

dove

Il valore viene chiamato conducibilità termica resistenza termica parete piatta.

Basato sull'equazione

qR=t 1 - t 2

si può concludere che la resistenza termica della parete è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura attraverso lo spessore della parete.

Tenere conto della dipendenza del coefficiente di conducibilità termica dalla temperatura, λ(t), è possibile sostituendo nelle equazioni (2.6) e (2.7) i valori λav per intervallo di temperatura t 1 - t 2.

Considera la conducibilità termica parete piana multistrato, costituito, ad esempio, da tre strati
(Fig. 2.2).

Dato:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = cost, t4=cost.

Definire: q, L/mq; t2, t3.

Nella modalità stazionaria e a temperature costanti delle superfici murarie, il flusso di calore trasmesso attraverso la parete a tre strati può essere rappresentato dal sistema di equazioni:

Temperature ai confini dello strato t2 e t3 può essere calcolato usando le equazioni (2.8) - (2.10) dopo la densità del flusso di calore ( q) da (2.12).

Forma generale dell'equazione (2.12) per una parete piana multistrato costituita da P strati omogenei con temperature costanti sulle superfici esterne e, ha la forma

2.2. Conducibilità termica di una parete cilindrica
in condizioni al contorno del primo tipo

Dato: Parete cilindrica omogenea (parete del tubo) con raggio interno r1, esterno - r2, lunghezza , con conducibilità termica costante λ , con temperature superficiali costanti t1 e t2.
(Fig. 2.3).

Definire: equazione del campo di temperatura
t=f(r), il flusso di calore trasmesso attraverso la parete
Q, W.

L'equazione differenziale della conduzione del calore in coordinate cilindriche(1.14) per le condizioni di questo problema:

prende la forma

La procedura per risolvere il sistema di equazioni (2.15) - (2.17) è la stessa del caso di una parete piana: si trova l'integrale generale dell'equazione differenziale del secondo ordine (2.15), che contiene due costanti di integrazione
da 1 e dal 2. Questi ultimi sono determinati utilizzando le condizioni al contorno (2.16) e (2.17), e dopo aver sostituito i loro valori nella soluzione dell'equazione differenziale (integrale generale), otteniamo equazione del campo di temperatura di una parete cilindrica t = f (r) come

Se prendiamo la derivata del membro destro dell'equazione (2.18) e la sostituiamo nella (2.19), otteniamo la formula di calcolo per flusso di calore della parete cilindrica

(2.20)

Nei calcoli tecnici, il flusso di calore viene spesso calcolato per 1 m di lunghezza del tubo:

e chiamato densità del flusso di calore lineare.

Scriviamo l'equazione (2.20) come

dove – resistenza termica della conducibilità termica di una parete cilindrica.

Per una parete cilindrica a tre strati(tubo ricoperto da due strati di isolamento termico) con temperature superficiali costanti note ( t1 e t4), di dimensioni geometriche note ( r1, r2, r3, r4, ) e coefficienti di conducibilità termica degli strati ( λ1, λ2, λ 3) (Fig. 2.4), possiamo scrivere le seguenti equazioni per il flusso di calore Q:

Temperature ai margini degli strati (t 2,t3) può essere calcolato dalle equazioni (2.21).

Per parete cilindrica multistrato, consiste in P strati, è possibile scrivere la formula (2.22). vista generale

(2.23)

Efficace conducibilità termica per una parete cilindrica multistrato, così come per una parete piana multistrato, è determinato dall'uguaglianza della somma delle resistenze termiche di una parete multistrato alla resistenza termica di una parete omogenea dello stesso spessore di quella multistrato. Quindi, per un isolamento termico a due strati di un tubo
(Fig. 2.4) conducibilità termica effettiva (λeff)è determinato dall'uguaglianza

2.3. Conducibilità termica di pareti piane e cilindriche
in condizioni al contorno del terzo tipo (trasferimento di calore)

Condizioni al contorno del terzo tipo consistono nella regolazione della temperatura del liquido (t w) e coefficiente di scambio termico () tra la superficie della parete e il liquido.

Viene chiamato il trasferimento di calore da un fluido all'altro attraverso un muro che li separa trasferimento di calore.

Esempi di trasferimento di calore sono il trasferimento di calore dai gas di scarico all'acqua attraverso la parete di un tubo di una caldaia a vapore, il trasferimento di calore dall'acqua calda all'aria ambiente attraverso la parete di una batteria di riscaldamento, ecc.

Lo scambio di calore tra la superficie e il mezzo (refrigerante) può essere convettivo se il liquido di raffreddamento è un liquido (acqua, olio, ecc.) o radiativo-convettivo quando il calore è ceduto per scambio termico convettivo e per irraggiamento, se il liquido di raffreddamento è un gas (fumi, aria, ecc.).

Consideriamo il trasferimento di calore attraverso pareti piane e cilindriche nella condizione di solo trasferimento di calore convettivo sulle superfici. Il trasferimento di calore con trasferimento di calore radiativo-convettivo (trasferimento di calore complesso) su superfici sarà discusso in seguito Trasferimento di calore W / m 2 (Q

Se un 1 e un 2 comparabile.

Trasferimento di calore attraverso una parete cilindrica multistrato calcolato dalla formula

(2.35)

dove F1 e F2 sono le aree delle superfici interna ed esterna della parete cilindrica multistrato.

z
X
CONFERENZA 4
Problemi di conduzione del calore in vari sistemi di coordinate.
sistema cartesiano coordinate
T
T
T
q
io
j
K
T T x, y, z, t
y
X
X
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
txx
(1)
(2)
(3)
In pratica, ci sono spesso tali condizioni che portano alla necessità di scrivere l'equazione
conducibilità termica in una forma diversa, più conveniente per rappresentare la soluzione e la sua fisica
interpretazioni.
Dipendenza dal tipo di equazione
dal sistema utilizzato
le coordinate possono essere escluse,
usando la notazione dell'operatore
1T
q
TV
A
2
X
2
2
y
2
2
z2
corrente alternata
T
c
div gradT qV
t
o
c
T
TqV
t
(4)
I termini che esprimono il rilascio di calore e l'accumulo di energia sono invarianti rispetto a
sistemi di coordinate (cioè, invariato); ma i termini che esprimono il conduttivo risultante
il flusso di calore dipende dalla geometria e, di conseguenza, dal sistema di coordinate.

Sistema di coordinate cilindriche
z
c
dott
r
dz
r, z
z
X
T
divq q
t
qT
x r cos
y
r, z
(5)
sei peccato
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dott
d
dio
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
X
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
un
(9)
T Ts
c
(8)

r ,
Sistema sferico coordinate
z
dott
r ,
r
d
X
1T
divq q
A
qT
y
1 2
1
1
2
2r
2
peccato
2
peccato 2
r r r r peccato
T
1T
1T
; q
; q
r
r
peccato
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2TqV
2r
2
peccato 2
2
a t r r r r sin
peccato
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r peccato cos
il tuo peccato peccato
z
(12)
z r cos
y
X

Equazioni di conduzione del calore per corpi di forma canonica
Scrivere equazioni in diversi sistemi di coordinate è particolarmente conveniente,
quando devi trovare la distribuzione della temperatura nei corpi del canonico
forme - in un cilindro o una palla. In questi casi, le equazioni sono essenzialmente
sono semplificati quando si specificano condizioni speciali, quando il campo della temperatura
dipende da una sola coordinata.
parallelepipedo
piatto
cilindro
sfera
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2 T qV
2
a t x
q
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
X

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Gli ultimi tre
equazioni insieme:
n 0
n 2
n 1 cilindro
aereo
T T0
T* T0
t
t*
(13)
sfera
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Sulla scrivania
Numero di Fourier
A*
Fo 2
r*
qV1:
A*
A
1: 2
2
r*
r*
(14)
qVr*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo

Problemi stazionari di conduzione del calore in diversi sistemi di coordinate
Parete cilindrica: processo stazionario di conduzione del calore all'interno
parete cilindrica (tubo) con raggio interno r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
tu
dott
di 1
tu 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dott
r
d 2T
1dT
0
2 dott
dott
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Il flusso di calore specifico non lo è
costante di spessore e decrescente
verso la superficie esterna
In condizioni stazionarie, il flusso di calore totale che passa
un tratto di tubo cilindrico di lunghezza l e uguale a
Qq Fq 2 rl
Flusso di calore specifico
decrescente con il raggio
!!!
(19)
Superficie
aumenta con il raggio
La temperatura attraverso lo spessore del tubo varia in modo non lineare anche a una costante
conduttività termica
Le costanti di integrazione possono essere trovate dalle condizioni al contorno.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Sistema lineare
equazioni
T2 C1 log r2 C2 ,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
registro r2 r1
q
Q
Flusso di calore lineare
qp
(20)
dT
C
1
dott
r
dT
T
l 2 l
2 l,
dott
registro r2 r1
mar
Q
2
T, T T1 T2
ln r2 r1
(21)
(22)

(le temperature delle pareti sono sconosciute)
T C1 log r C2
Possiamo fare lo stesso:
r r1:
Facciamo diversamente:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Flusso di calore convettivo per unità di lunghezza
i tubi devono essere uguali al flusso di calore lineare
per conducibilità termica:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
registro r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, C/(M K)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Coefficiente di scambio termico per
parete cilindrica
Rc
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
parete piatta
R
1 litro 1
1 2
1 litro 1
K
1
2
1
C/(M2 K)
Dal sistema di equazioni (23) possiamo trovare
e temperatura della parete e sostituire in (20)
Termico completo
resistenza del tubo
(24)
(25)
(26)
Dimensione
si differenzia da
dimensione K per
parete piatta!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
registro r2 r1
Può
Sulla scrivania

In variabili adimensionali
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Esercizio
in casa:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 registro C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Vai con attenzione alle variabili adimensionali
B) Trova le costanti di integrazione dal sistema (30)
B) costruire per valori diversi parametri

10.

I principi
coerente
e
parallelo
collegamenti di resistenze termiche in un circuito,
valido per una parete piana in un rettangolo
sistema di coordinate, può essere applicato anche al problema di
conduzione del calore in un cilindro cavo.
Analogia elettrica
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
ts
RT
registro r2 r1
2l
Il liquido scorre in un tubo, R 1 1
0
F 2 r1l
ricoperto di isolante
Materiale
dT
T
l 2 l
2l,
dott
registro r2 r1
T
Q
,
ceppo r2 r1 2 l
A forma di
Legge di Ohm
Resistenza termica
cilindro cavo
termica convettiva
resistenza ai fluidi
Abbiamo una connessione in serie della resistenza convettiva del liquido con due
resistenze termiche conduttive. Se viene data la temperatura del liquido e la temperatura
superficie esterna:
T0 Ts
T
Q
MA)
R
pieno
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Resistenza
isolamento
Se sono indicate le temperature delle superfici interna ed esterna
B)
T
Q
Pieno
T1 Ts
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Esempio
1 185
In un tubo di alluminio con conducibilità termica
W/(m K), flusso di vapore acqueo
◦
ad una temperatura di 110 C. Il diametro interno del tubo è di 10 cm, il diametro esterno è di 12
Te
vedi Il tubo si trova in una stanza con una temperatura
30◦С; coefficiente
e
trasferimento di calore convettivo dal tubo
all'aria
pari a 15 W/(m2K). 1) Richiesto
trovare il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo se il tubo non è isolato termicamente.
2) Per ridurre la dispersione termica del tubo, è stato ricoperto con uno strato di isolamento termico
(2 0,2 ​​W / (m K)) 5 cm di spessore Trova il flusso di calore per unità di lunghezza da
tubo termoisolato. Assumiamo che il termico convettivo
la resistenza al vapore è trascurabile.
Decisione. Per un tubo senza isolamento termico, i più significativi sono
resistenza termica conduttiva del tubo stesso e termica convettiva
resistenza all'aria ambiente. Poiché termica convettiva
la resistenza al vapore può essere trascurata, la temperatura della superficie interna
tubi è uguale alla temperatura del vapore. Il flusso di calore per unità di lunghezza del tubo segue da
relazioni T T
110 30
80
q
0
e
registro r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/mq.
Per un tubo con isolamento termico, è necessario aggiungere resistenza termica
isolamento termico, e il rapporto per il flusso di calore prende la forma
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
registro r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m

12.

Parete cilindrica multistrato
qc
Tn T1 1
n
d
1
registro io 1
2 io
di
, d i 2r1
qc
io 1
Il concetto resta valido.
coefficiente equivalente
conduttività termica
eq
log d n 1 d1
n
io 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d io 1
ln
io di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Temperatura Ti 1
Ti 1 Ti
2 equiv T1 Tn 1
log d n 1 d1
al confine tra gli strati i-esimo e i+1
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln ln ... ln io 1
2 1 d1 2 d 2
io
di
(35)
Coefficiente di scambio termico:
Kc
1
1
1d1
n
io 1
1 di 1
1
ln
2 io di 2 d 2
(36)

13.

r1
Il flusso di calore radiale nel tubo è inversamente proporzionale al logaritmo
raggio esterno (la resistenza della conduzione radiale aumenta);
r2
La dissipazione del calore dalla superficie esterna è direttamente proporzionale a questo
raggio (l'area della superficie di raffreddamento aumenta)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Pertanto, c'è un certo raggio, a
dove la dispersione termica è maggiore.
Se, per un raggio interno fisso (piccolo), aumentare
spessore della parete del tubo (cioè aumentare il raggio esterno r2), quindi l'azione
il logaritmo nella formula per la resistenza termica sarà maggiore
più forte che con un raggio interno più grande

14.

Diametro critico dell'isolamento termico
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dott2
Condizione estrema:
dà
r2*1
2
Raggio critico
Caso speciale di resistenza interna zero, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Anche la resistenza esterna è zero
r1 r2
Lo spessore della parete è 0
1:x2r2
Per un dato raggio interno, il valore del critico
raggio esterno aumenta se aumenta
conducibilità termica del tubo o se il coefficiente diminuisce
trasferimento di calore sulla superficie esterna
(37)
Bi 1

15.

isolamento
L'esistenza di un raggio esterno critico porta al fatto che at
alcune condizioni reali, contrariamente alle idee usuali,
si può infatti ridurre la dispersione termica del tubo coibentato
riducendo lo spessore dell'isolante
d1
d2
Resistenza termica totale per un tubo a due strati la cui sezione trasversale
mostrato in figura, è determinato dalla formula
d3
Rc
1 2
tubo
Condizione
estremo:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- spessore dell'isolamento
La resistenza termica della conducibilità termica dell'isolamento (I) aumenta all'aumentare
spessore del rivestimento isolante; resistenza termica dell'isolamento termico
(II) - cadute (poiché la superficie di scambio termico aumenta)
Repubblica Democratica del Congo
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(IO)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
non dipende da
d2
(40)
(cioè, non dipende dal diametro della tubazione stessa)
Nel punto critico, la termica totale
la resistenza è minima!
aumentando lo spessore dell'isolamento si riduce il trasferimento di calore
l'applicazione del rivestimento selezionato comporterà inizialmente un aumento
trasferimento di calore e solo quando viene raggiunto il diametro critico, il flusso di calore lo farà
diminuire; allora raggiungerà il valore che era senza isolamento, e solo allora
porterà all'effetto desiderato.

16.

Problema per una palla vuota
(muro di palla)
d 2T
dott
2
2dT
0
r dott
(41)
Consideriamo uno stazionario spazialmente unidimensionale
problema di conduzione del calore in una parete sferica con dato
raggi della superficie interna ed esterna. Unidimensionalità
problema significa che la distribuzione della temperatura nella parete
dipende solo dal raggio
Sostituendo
variabili
r1
dT
tu
dott
du
2u
Decisione comune
dott
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; tu 21 ; T r 1 C2 ;
2
r
Dr-r
r
r2
Condizioni al contorno del primo tipo
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
Tr 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Densità del flusso di calore
Flusso di calore totale
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dott
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dott
1 r1 1 r2
(46)

17.

Condizioni al contorno del terzo tipo
Tr
Decisione comune
non cambia
C1
C2
r
T
r r1: -
1T Te1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Il flusso di calore totale Q non lo è
dipende dal raggio attuale
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Nel limite del trasferimento termico ideale dei mezzi con determinate temperature e
parete sferica (cioè a coefficienti di scambio termico infiniti) soluzione del problema con
condizioni al contorno del terzo tipo passa nella soluzione di un problema con condizioni al contorno
condizioni del primo tipo.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
flusso di calore,
4 r1 2 1 Te1 T
venendo a
muro interno
=
flusso di calore,
4 r 2 2 2 T Te 2
in partenza
muro esterno

18.

Distribuzione della temperatura in una parete sferica
per condizioni al contorno del terzo tipo
Case:
giocare tutto
decisione
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Tr
1 1
r1 r2
Temperature delle pareti:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Conducibilità della parete sferica:
S
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1

19.

Soluzioni dei problemi più semplici in forma adimensionale
Raccogliamo soluzioni di problemi stazionari per corpi di forma canonica con
condizioni al contorno del primo tipo insieme
T p T1 T1 T2
r
r2
Casa: gioca!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
ts
1 1
r1 r2
T1 registro r 2 r T 2 registro r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
In una parete piatta, la distribuzione qualitativa
la temperatura (lineare) non dipende da essa
spessore. Ma in cilindrico e sferico -
varia in modo non lineare con il raggio;
carattere
da cui dipende la distribuzione (curvatura della curva).
rapporto tra i raggi esterni ed interni.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Distribuzione della temperatura in piano
(1), cilindrico (2) e sfera (3)
parete. linee continue
;
10
linee tratteggiate - . 5

20.

Nel caso di condizioni al contorno del terzo tipo, soluzioni ai problemi più semplici
dipendono dai parametri che caratterizzano il trasferimento di calore.
A parità di coefficienti di scambio termico.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
per piatto
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
per cilindro:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 registro 2 registro
ln
1 1
2
1 miliardo
1 miliardo
c
per sfera:
S
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Distribuzione della temperatura
lungo la coordinata nel piano (1),
cilindrico (2) e sferico
(3) muri in condizioni
trasferimento di calore convettivo.
Linee continue - Bi 2 ;
punteggiato - Bi 1 0

21.

Esempi: bottiglia di Dewar
Una particella metallica ricoperta da una pellicola di ossido
Compiti a casa:
1. Formulare il problema della distribuzione della temperatura in un doppio strato
guscio sferico durante il suo raffreddamento convettivo, utilizzando il materiale
lezioni. Si presume che il contatto termico tra gli strati sia ideale. Guida
problema ad una forma adimensionale. Costruisci una soluzione analitica esatta
questo compito.
2.*Calcolare la temperatura della superficie interna ed esterna della palla
gusci nel problema 1, nonché la temperatura al contatto; determinare il pieno
il flusso di calore che lascia la superficie della palla, assumendo che le temperature
ambiente all'interno del guscio - 175 C, temperatura ambiente- 25°C;
i coefficienti di trasmissione del calore sono gli stessi e uguali - 28,8 kcal / (m2 ora gradi);
raggi della calotta interna ed esterna - 3 cm e 5 cm, spessore
calotta interna - 25 mm. Il guscio interno è composto da
materiale con una conducibilità termica di 1,45 kcal/(m ora gradi); esterno di
materiale con un coefficiente di conducibilità termica di 0,137 kcal/(m h deg). come
il flusso di calore cambierà al variare dello spessore dell'esterno
conchiglie che vanno da 25 mm a 300 mm?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
GU. primo tipo: r r1:
qV cost
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
GU. terzo tipo:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
La prima "via" della soluzione:
Il problema si risolve con l'integrazione elementare:
qV x 2
Tx
C1xC2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Sostituendo la soluzione generale nel CG, troviamo le costanti di integrazione.
Il massimo è ad una certa distanza dalle superfici.
La posizione massima può essere trovata dalla condizione (condizione estrema)
dT
qx
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Compiti con fonti di calore interne
PARETE PIANA CONDUTTIVA DI CALORE CON RILASCIO DI CALORE A VOLUME
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Facciamolo un po' diversamente. (Il secondo modo
soluzioni)
qV x 2
Tx
C1xC2
generale
decisione
2
(4)
Posizioniamo l'origine delle coordinate nel punto in cui
la temperatura è massima
T2
1; 2
- distanza dal massimo ai bordi della lastra
0
C10
Riscriviamo la condizione al contorno a destra come segue:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Poiché il piano x=0 può essere considerato isolato termicamente, tutto il calore rilasciato entra
targa a destra per unità di tempo deve essere deviata nell'ambiente
per trasferimento di calore dalla parete destra. In caso contrario, la condizione verrà violata
stazionarietà
qV 2 - la quantità di calore rilasciata nel volume della piastra con spessore \u003d 1 per unità di tempo
A sinistra - l'espressione per il flusso di trasferimento di calore per unità di superficie della superficie della piastra

24.

Ragionamento simile per lo strato sinistro della lastra con spessore
1 2
portare all'espressione
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Usando le uguaglianze (6), (7), troviamo la posizione
massimo
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Determinando la costante C2, (qualsiasi uguaglianza è adatta), troviamo la soluzione generale.
Prende la forma più semplice se
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
poi
qV qV 2
C2
Te
2
8
e
2
q
qV
2
Tx
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Più è bassa, maggiore è la conducibilità termica della piastra
Tmax T x 0
Te
8
2
q
La temperatura della parete Ts T1 T2 V Te aumenta con il deterioramento del trasferimento di calore
2

25.

Condizioni al contorno del primo tipo
T1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
TxT2
X
1
2
2 2
qV
Per valori molto grandi
x2:
qV x 2
Tx
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Le condizioni al contorno del terzo tipo si trasformano in condizioni al contorno
condizioni del primo tipo. Pertanto, abbiamo la stessa soluzione
ottenere utilizzando la soluzione precedente
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Di conseguenza, da un problema simmetrico con condizioni al contorno del terzo tipo troviamo la (10).
2
qV
2
Tx
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Temperatura
muri
(14)
La stessa uguaglianza deriva dalla soluzione precedente, a condizione che le temperature delle pareti siano uguali

26.

Si consideri un cilindro solido infinito riscaldato uniformemente (o
raffreddato) dalla superficie laterale. La fonte di calore si trova nel volume del cilindro
intensità costante. È necessario trovare la distribuzione della temperatura per
modalità stabilita.
d 2T 1 dT q
dott
u dT dott
2
r dott
qr
du
r
u V 0
dott
V
o
0
(1)
d ru qV r
0
dott
qV r 2
it
C1
2
qr C
dT
V1
dott
2
r
Decisione comune
Primo
integrante
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Condizione al centro per
cilindro solido
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Cilindro con dissipazione volumetrica del calore
dT
T Te
r R
dott
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Condizioni esterne:
densità del flusso di calore sulla superficie del cilindro:
flusso di calore totale dalla superficie del cilindro:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Il problema del raffreddamento di un cilindro con rilascio di calore volumetrico è, in
in particolare, di interesse per trovare la distribuzione della temperatura nei catodi,
utilizzato nelle torce al plasma per generare flussi di ioni. In pratica
applicazione, questo problema può essere riformulato come segue: trova il potere
fonte sufficiente per spruzzare il catodo, a condizione che ciò lo richieda
raggiungere il punto di fusione del materiale catodico
Utilizzando la soluzione generale (4), si può trovare la distribuzione della temperatura sullo spessore
pareti di un cilindro cavo o secondo lo spessore di un cilindro ricoperto da uno strato protettivo
(considereremo ulteriormente). Nel primo caso, è necessario impostare le condizioni sulla superficie interna
cilindro. Nel secondo caso, è richiesta una condizione aggiuntiva all'interfaccia
due materiali con proprietà diverse, ad es. condizione al contorno del quarto tipo.

28.

Sfera con dissipazione volumetrica del calore
qV r 2 C1
A casa: spettacolo
T
C2(2)
(1)
qual è la soluzione generale
6
r1
dott2
(1) ha la forma (2)
dT
Condizioni:
dTdr0; r 0 e dr T Te ; r R
q
q
dare C1 0 e
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Temperatura massima
3
6
q
q
Temperatura superficiale
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Flusso di calore totale attraverso la superficie
Q
R 3qV
4 dottor R R 3
palla
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
cilindro
S
2
4
2
Confrontare
d 2T
2 dTqV
0
r dott
Strato piatto Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
con (4), (5)

29.

Esempio 1. Trova la corrente massima che può essere attraversata
filo di alluminio (λ = 204 W / (m K)) con un diametro di 1 mm, in modo che
la temperatura non ha superato i 200 C. Il filo è sospeso in aria con
temperatura 25 C. Il coefficiente di trasferimento di calore convettivo dal filo a
l'aria è 10 W/(m2 K). Resistenza elettrica Re/l per unità
la lunghezza del filo è 0,037 ohm/m.
Decisione. Usiamo la formula (66), da cui segue
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
io 2 R
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Sostituiamo i valori dati delle grandezze fisiche:
200 25
io
2
2 1 0 3
Da qui troviamo la forza attuale:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12.2 A

30.

Filo con isolamento
Formulazione matematica rigorosa del problema:
d 2T1
dott
2
d 2T2
La prima condizione è la condizione di simmetria;
la seconda dice che la termica
contatto tra filo e isolante
perfetto, e il terzo corrisponde
fili di scambio termico convettivo con
isolamento dall'ambiente.
dott
2
1dT2
0
r dott
r0: dT dr0
rR: 1
r R
(1)
R R R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dott
dott
rR: 2
Soluzione generale del problema:
1 dT1qV
0
r dott
1
dT2
T2 Te
dott
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
A casa: spettacolo
giustizia

31.

Filo con isolamento
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Soluzione generale del problema:
T2 C3 l n r C 4
Dalla condizione (3) abbiamo:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Le condizioni (4) danno:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nRC 4
4 1
2 2
La condizione (5) implica:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln RC 4 Te
R
R22
2 2
Noi troviamo:
qV R 2
qR
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Pertanto, la distribuzione della temperatura nel filo con isolamento
è descritto da formule
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
e
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Presentiamo la soluzione finale nella forma:
T Te
io io
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
BiK
2
1 1 2
registro 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Determina il flusso di calore dalla superficie
conduttore
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Vai a casa
variabili adimensionali
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- l'isolamento non sottrae calore al conduttore di corrente
- possibile raffreddamento del conduttore per dispersione termica in
ambiente
R

33.

Esempio 2. Far passare un lungo filo di alluminio del diametro di 1 cm
fluente elettricità intensità di corrente 1000 A. Il filo è ricoperto da uno strato
isolamento in gomma di 3 mm di spessore (λ2=0,15 W/(m K)). Temperatura
superficie esterna dell'isolamento 30 C. Trova la temperatura dell'interno
superficie isolante. Resistenza ohmica del filo per unità
lunghezza 3,7 10-4 Ohm/m.
Decisione. Per risolvere questo problema, utilizziamo la seconda formula per Т2
considerato problema aggiunto. Dato che la temperatura è impostata
2
superficie esterna dell'isolante, ad es.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Utilizzando il valore della conducibilità termica del filo di alluminio
1 232 W / (m K) e la formula per T, possiamo calcolare la temperatura al centro
1
fili. Nelle condizioni in esame, abbiamo
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Compito a casa.
1. La corrente con una potenza di I \u003d 200 A viene fatta passare attraverso un filo di acciaio inossidabile
con un diametro di 2 mm e una lunghezza di 1 m La resistenza elettrica del filo è
0,125 Ohm, conducibilità termica 17W/(m·K). Temperatura
superficie del filo 150 C. È necessario calcolare la temperatura sull'asse
filo.
2. Assumere nello stesso problema che il filo sia ricoperto da uno strato di isolamento
(coefficiente di conducibilità termica dell'isolante 0,15 W/(m K)), e il coefficiente
il trasferimento di calore sulla superficie isolante è di 60 W/(m2K). Come necessario
modificare la forza attuale (aumentare o diminuire) in modo che la temperatura
la superficie del filo è rimasta pari a 150 C.

35.

Proprietà termofisiche efficaci (equivalenti).
Davvero usato nell'ingegneria meccanica e nei materiali che ci circondano
sono multicomponenti e multifase. Questo vale per l'acciaio
leghe, compositi intermetallici, materiali sinterizzati,
compositi in fibra, compositi a base di polimeri, miscele,
soluzioni, ecc.
Se per i componenti iniziali (da cui vengono sintetizzati i compositi in
diverse tecnologie) o dati i materiali utilizzati con le proprietà di tutti
più o meno chiaro, quindi per i materiali di nuova concezione
definire le proprietà è un grosso problema.
I metodi sperimentali standard potrebbero non funzionare o diventare
costoso o ad alta intensità di manodopera
Per il calcolo è necessario conoscere le proprietà dei componenti, la struttura e il mutuo
influenza reciproca dei fenomeni fisici.
Nessun dato su Proprietà fisiche ah nessuna scientifica è possibile
o calcolo ingegneristico
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Conducibilità termica di miscele e compositi
materiali

36.

Modelli per il calcolo delle proprietà:
corpuscolare (molecolare), continuo e combinato
Nei modelli corpuscolari, le proprietà sono studiate in base alla conoscenza della natura,
la struttura e la natura dell'interazione delle particelle. Calcolo delle proprietà fisiche in
In questo caso, è possibile solo con l'utilizzo di dati su altre proprietà.
Classificazione delle strutture eterogenee:
Dulnev, pp.10-52 (aperta)
Compositi: pp.106-130

37.

Esistono numerosi modi per calcolare i coefficienti effettivi
conducibilità termica di materiali eterogenei e porosi
Nell'approssimazione più semplice per il processo di conduzione del calore in un separato
microdominio (che è considerato un volume rappresentativo)
le equazioni fisiche sono valide
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Condizioni al contorno sulle interfacce delle regioni con ideale
contatto termico hanno la forma:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Per determinare la conducibilità termica effettiva di un materiale (costituito da
diverse fasi), è necessario determinare le distribuzioni dei campi fisici durante
tutti i microdomini, per poi passare a un ambiente quasi omogeneo, per
quali le relazioni
JT*T
1
JkdV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Stabilire il tipo di questo
Coefficiente effettivo: f k , k ;
dipendenze ed è
compito principale
- frazioni di fase
varie teorie.
JT
T

38.

Sistema bifase
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
K
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Segue da
precedente
, k 1,2
- gradiente medio volumetrico
Il sistema di due equazioni (1) contiene tre incognite. Per la chiusura
sono necessarie ulteriori informazioni, come i dettagli della struttura
sistema eterogeneo, i dati di un esperimento appositamente progettato.
La soluzione del problema della chiusura di tali sistemi ha portato alla comparsa di tutti
varietà di metodi per determinare i coefficienti di trasferimento (non solo
coefficiente di conducibilità termica), noto in letteratura

39.

1. Nel caso della struttura più semplice, che è un sistema
piastre illimitate parallele al flusso J
1 2 1
e
1 1 2 2
2. Se gli strati sono perpendicolari al flusso
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
I tipi di strutture dei mezzi disomogenei sono molto diversi. Quindi, nel caso
mezzi a due fasi, a quali fasi (microregioni contenenti fasi diverse)
può essere distribuito nello spazio sia in modo casuale che ordinato,
è possibile distinguere strutture contenenti una delle fasi sotto forma di isolato
inclusioni isomeriche (1) o anisotropicamente orientate (2).
continua altra fase, sistemi granulari con una struttura continua (3) e
pori (4), sistemi fibrosi di fibre (5) e pori (6), statisticamente
sistemi disomogenei (microdisomogenei) di dimensioni simili
componenti (7), sistemi stratificati di parallelo (8) e perpendicolare
(9) strati di flusso. Si possono immaginare sistemi costituiti da individui
sottosistemi con varie strutture del tipo descritto. Inoltre
ciascuna delle fasi comprese nelle strutture può essere sia multicomponente che
e singolo componente. In ogni caso, è necessario calcolare le proprietà di ciascuna delle fasi
o la loro definizione sperimentale.

40.

Equazione di Kondorsky
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevskij (metodo
1
ambiente efficiente)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
metodo integrale
Stime bilaterali (stime
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
L'indice 1 si riferisce alla matrice e "2" si riferisce alle inclusioni
Nonostante i modelli multimediali semplificati, alcune delle formule ben note
consentono di effettuare stime abbastanza attendibili, nonostante il numero di formule per
vari casi speciali di media aumenta rapidamente con l'aumentare del numero di fasi.

41.

Case:
C'è un composito. La matrice è una lega a base di tungsteno (lo consideriamo
conducibilità termica uguale alla conducibilità termica del tungsteno).
Particelle (inclusioni) carburo di titanio.
Usando le formule sopra, calcola le dipendenze
coefficienti effettivi di conducibilità termica del composito sulla frazione
inclusioni (ξ= da 0 a 0,75). Traccia su un grafico.
Quale conclusione si può trarre?

42.

Proprietà dei materiali granulari e porosi
Sulla conducibilità termica effettiva dei materiali porosi, a parità di altre condizioni
condizioni è influenzato dalla conducibilità termica della fase solida. Allo stesso tempo, per
per alcuni materiali porosi (basato su A12O3, BeO, MgO, ecc.) coefficiente
la conducibilità termica diminuisce con l'aumentare della temperatura, mentre per
altri, realizzati sulla base di SiO2, ZrO2, - aumenta. Decisivo
la porosità ha un effetto sull'effettiva conduttività termica, poiché
i pori stessi, a causa della bassa conducibilità del gas, sono efficaci
barriera alla diffusione del calore. Tuttavia, ce ne sono altri
meccanismi di trasferimento del calore (convezione, irraggiamento).
I modelli più semplici si basano sulla rappresentazione di un poroso o
materiale disperso sotto forma di strati alternati piani, composto e
telaio solido (nucleo) e aria.
1
1
2
2
1
1 1 2
- proporzione di pori; porosità
- conducibilità termica dell'aria o del riempimento di altre sostanze
spazio poroso

43.

I modelli presentati nella figura al centro sono associati ai nomi
Maxwell-Eucken (Maxwell-Aiken). Il risultato sembra
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
la struttura solida è continua
continuo è poroso
spazio
modello di teoria dei mezzi efficaci

Propagazione del calore per conduzione termica in pareti piatte e cilindriche in modalità stazionaria (condizioni al contorno del primo tipo)

Parete piana omogenea monostrato. Consideriamo la propagazione del calore per conduzione termica in una parete piana omogenea monostrato di spessore 8 con larghezza e lunghezza illimitate.

Asse X dirigerlo perpendicolarmente al muro (Fig. 7.4). Su entrambe le superfici del muro come nella direzione dell'asse si, così come nella direzione dell'asse G grazie all'uniformità di erogazione e rimozione del calore, le temperature sono distribuite uniformemente.

Poiché la parete nella direzione di questi assi ha dimensioni infinitamente grandi, i corrispondenti gradienti di temperatura W / yu \u003d (k / (k= = 0, e quindi non vi è alcuna influenza sul processo di conducibilità termica delle superfici terminali della parete. In queste condizioni semplificative, il campo di temperatura stazionario è funzione solo della coordinata X, quelli. viene considerato un problema unidimensionale. Applicata a questo caso, l'equazione differenziale della conduzione del calore assumerà la forma (at d^dh = 0)

Le condizioni al contorno del primo tipo sono date:

Riso. 7.4.

Troviamo l'equazione del campo di temperatura e determiniamo il flusso di calore Ф che passa attraverso la sezione di parete con area MA(in fig. 1 litro il muro non è indicato, poiché si trova su un piano perpendicolare al piano della figura). La prima integrazione dà

quelli. il gradiente di temperatura è costante per tutto lo spessore della parete.

Dopo la seconda integrazione, otteniamo l'equazione del campo di temperatura desiderata

dove un e b - costanti di integrazione.

Pertanto, la variazione di temperatura lungo lo spessore della parete segue una legge lineare e le superfici isotermiche sono piani paralleli alle facce della parete.

Per determinare costanti di integrazione arbitrarie, utilizziamo le condizioni al contorno:

Come? > ? CT2 , quindi la proiezione del gradiente sull'asse X negativo come

questo era prevedibile per la direzione scelta dell'asse, coincidente con la direzione del vettore di densità del flusso di calore superficiale.

Sostituendo il valore delle costanti in (7.24), otteniamo l'espressione finale per la temperatura zero

Linea a-b in fig. 7.4, il cd curva di temperatura, mostra la variazione di temperatura rispetto allo spessore della parete.

Conoscendo il gradiente di temperatura, è possibile, utilizzando l'equazione di Fourier (7.10), trovare la quantità di calore 8 () che passa attraverso l'elemento di superficie?? 4, perpendicolare all'asse t.

e per una superficie MA

Prende la forma la formula (7.28) per il flusso di calore e la densità del flusso di calore superficiale

Si consideri la propagazione del calore per conduzione termica in una parete piana multistrato costituita da diversi (ad esempio tre) strati strettamente adiacenti (vedi Fig. 7.5).

Riso. 7.5.

Ovviamente, nel caso di un campo di temperatura stazionario, il flusso di calore passa attraverso le superfici della stessa area MA, sarà lo stesso per tutti i livelli. Pertanto, l'equazione (7.29) può essere utilizzata per ciascuno degli strati.

Per il primo strato

per il secondo e il terzo strato

dove X2, A 3 - conducibilità termica degli strati; 8 1? 8 2 , 8 3 strati di spessore.

Ai confini esterni del muro a tre strati, le temperature considerate sono note? St1 e? ST4. Le temperature sono impostate lungo le interfacce degli strati? ST2 e? STZ, che sono considerati sconosciuti. Le equazioni (7.31) - (7.33) saranno risolte rispetto alle differenze di temperatura:

e quindi aggiungere termine per termine eliminando così le temperature intermedie sconosciute:

Generalizzando (7.36) per una parete a strato z, otteniamo

Per determinare le temperature intermedie? ST2, ? STz sui piani di separazione degli strati utilizziamo le formule (7.34):

Infine, generalizzando la derivazione ad una parete di strato u, otteniamo una formula per la temperatura al confine dell'iesimo e (r + 1)esimo strato:

A volte usano il concetto di conducibilità termica equivalente R equiv. Per la densità superficiale del flusso di calore che passa attraverso una parete piana multistrato,

dove è lo spessore totale di tutti gli strati della parete multistrato. Confrontando le espressioni (7.37) e (7.40), ne concludiamo

Sulla fig. 7.5 sotto forma di linea tratteggiata mostra un grafico delle variazioni di temperatura attraverso lo spessore di una parete multistrato. All'interno dello strato, come è stato dimostrato sopra, la variazione di temperatura segue una legge lineare. La tangente della pendenza cp, la retta della temperatura all'orizzontale

quelli. uguale al valore assoluto del gradiente di temperatura ^1 "ac1 Quindi, secondo la pendenza delle rette ab, bc e con

Quindi,

quelli. i gradienti di temperatura per i singoli strati di una parete piana multistrato sono inversamente proporzionali alle conducibilità termiche di questi strati.

Ciò significa che per ottenere grandi gradienti di temperatura (richiesti, ad esempio, quando si isolano le tubazioni del vapore, ecc.), sono necessari materiali con bassi valori di conducibilità termica.

Parete cilindrica omogenea monostrato. Troviamo il campo di temperatura e la densità del flusso di calore superficiale per una modalità stazionaria di conduzione del calore per una parete cilindrica monostrato omogenea (Fig. 7.6). Per risolvere il problema, utilizziamo l'equazione differenziale della conduzione del calore in coordinate cilindriche.

L'asse 2 sarà diretto lungo l'asse del tubo. Assumiamo che la lunghezza del tubo sia infinitamente grande rispetto al diametro. In questo caso, possiamo trascurare l'influenza delle estremità del tubo sulla distribuzione della temperatura lungo l'asse 2. Assumiamo che a causa dell'uniformità di apporto e rimozione di calore, la temperatura sulla superficie interna sia ovunque uguale a? ST1, e sulla superficie esterna -? ST2 (condizioni al contorno del primo tipo). Con queste semplificazioni (k/ = 0, e vista la simmetria del campo di temperatura rispetto a qualsiasi diametro (d), dove G- raggio attuale della parete cilindrica.

Riso. 7.6.

L'equazione differenziale della conduzione del calore (7.19) nella condizione gg/gg m = 0 assume la forma

Introduciamo una nuova variabile

qual è il gradiente di temperatura (grad ?).

Sostituzione di una variabile e in (7.43), otteniamo un'equazione differenziale del primo ordine con variabili separabili

o

Integrando, otteniamo

Per una parete cilindrica, il gradiente di temperatura è una variabile che aumenta al diminuire del raggio G. Pertanto, il gradiente di temperatura sulla superficie interna è maggiore che su quella esterna.

Valore sostitutivo e da (7.44) a (7.45), otteniamo e

dove un b- costanti di integrazione.

Pertanto, la curva di distribuzione della temperatura sullo spessore della parete è una curva logaritmica (curva a-b in fig. 7.6).

Definiamo le costanti un e b, inclusa nell'equazione del campo di temperatura, basata sulle condizioni al contorno del primo tipo. Indichiamo il raggio interno della superficie rx, all'aperto - g 2 . Indichiamo i diametri corrispondenti (1 l e (1 2 . Allora abbiamo un sistema di equazioni

Decidere questo sistema equazioni, otteniamo

L'equazione della temperatura zero assumerà la forma Il gradiente di temperatura è determinato dalla formula (7.45):

Come? ST1 > ? CT2 , e r, r 2 , quindi la proiezione grad? sul vettore raggio ha un valore negativo.

Quest'ultimo mostra che in questo caso il flusso di calore è diretto dal centro alla periferia.

Determinare il flusso di calore che passa attraverso una sezione di una superficie cilindrica con una lunghezza b, usa l'equazione

Dalla (7.46) segue che il flusso di calore che passa attraverso la superficie cilindrica dipende dal rapporto tra i raggi esterno ed interno r 2 / gx(o diametri c1 2 / (1 {), non lo spessore della parete.

La densità del flusso di calore superficiale per una superficie cilindrica può essere trovata riferendo il flusso di calore Ф all'area della superficie interna Un vp o alla superficie esterna E np. Nei calcoli, a volte viene utilizzata la densità del flusso di calore lineare:

Da (7.47)-(7.49) segue

Parete cilindrica multistrato. Considera la propagazione del calore per conducibilità termica in una parete cilindrica a tre strati (tubo) di lunghezza A (Fig. 7.7) con un diametro interno c1 x e diametro esterno (1 l. Diametri intermedi dei singoli strati - c1 2 e X 2 , X 3 .

Riso. 7.7.

Si conoscono le temperature? st) interno e temperatura? Superficie esterna CT4. Il flusso di calore Ф e la temperatura devono essere determinati? ST2 e? STz ai confini del livello. Componiamo un'equazione della forma (7.46) per ogni strato:

Risolvendo (7.51)-(7.53) rispetto alle differenze di temperatura, e quindi sommando termine per termine, otteniamo

Da (7.54) abbiamo un'espressione di calcolo per determinare il flusso di calore per una parete a tre strati:

Generalizziamo la formula (7.55) alla parete del tubo dello strato u:
dove io- numero di serie dello strato.

Da (7.51)-(7.53) troviamo un'espressione per determinare la temperatura ai confini degli strati intermedi:

Temperatura? Arte. +) al confine?-esimo e (G+ 1)-esimo strato può essere determinato con una formula simile

La letteratura contiene soluzioni dell'equazione del calore differenziale per una sfera cava in condizioni al contorno del primo tipo, nonché soluzioni per tutti i corpi considerati in condizioni al contorno del terzo tipo. Non prendiamo in considerazione questi problemi. Anche le questioni della conduzione del calore stazionaria in barre (nervature) di sezione trasversale costante e variabile, nonché le questioni della conduzione del calore non stazionaria, sono rimaste al di fuori dell'ambito del nostro corso.

Studio di qualsiasi processo fisico si associa all'instaurazione di una relazione tra le grandezze che caratterizzano questo processo. Per processi complessi, che includono il trasferimento di calore per conduzione termica, quando si stabilisce la relazione tra le quantità, è conveniente utilizzare i metodi della fisica matematica, che considera il corso del processo non nell'intero spazio oggetto di studio, ma in un volume elementare di materia per un intervallo di tempo infinitesimo. Il collegamento tra le grandezze coinvolte nel trasferimento di calore per conducibilità termica è stabilito in questo caso dal cd equazione differenziale di conduzione del calore. Entro i limiti del volume elementare prescelto e di un arco di tempo infinitamente piccolo, diventa possibile trascurare il cambiamento di alcune grandezze che caratterizzano il processo.

Quando si ricava l'equazione differenziale della conduzione del calore, si fanno le seguenti ipotesi: quantità fisiche λ, con p e ρ costante; nessuna fonte di calore interna; il corpo è omogeneo e isotropo; si utilizza la legge di conservazione dell'energia, che in questo caso è formulata come segue: la differenza tra la quantità di calore che entra per conducibilità termica in un parallelepipedo elementare nel tempo dτ e rilasciato da esso nello stesso tempo viene speso per cambiare l'energia interna del volume elementare considerato. Di conseguenza, arriviamo all'equazione:

Il valore viene chiamato Operatore Laplace e di solito è abbreviato come 2 t(il segno si legge "nabla"); valore λ /cρ chiamata diffusività termica e indicato dalla lettera un. Con la notazione precedente, assume la forma l'equazione differenziale per la conduzione del calore

Viene chiamata l'equazione (1-10). equazione differenziale di conduzione del calore, o l'equazione di Fourier, per un campo di temperatura tridimensionale non stazionario in assenza di fonti di calore interne. È l'equazione principale nello studio del riscaldamento e del raffreddamento dei corpi nel processo di trasferimento del calore per conduzione termica e stabilisce una relazione tra le variazioni di temperatura temporali e spaziali in qualsiasi punto del campo.

Diffusività termica un= λ/crè un parametro fisico di una sostanza e ha un'unità di m 2 / s. Nei processi termici non stazionari, il valore un caratterizza la velocità di variazione della temperatura. Se il coefficiente di conducibilità termica caratterizza la capacità dei corpi di condurre il calore, allora il coefficiente di diffusività termica unè una misura delle proprietà termo-inerziali dei corpi. Dall'equazione (1-10) segue che la variazione di temperatura nel tempo ∂t / ∂τ per ogni punto del corpo è proporzionale al valore un Pertanto, nelle stesse condizioni, la temperatura del corpo che ha una maggiore diffusività termica aumenterà più velocemente. I gas hanno piccoli e metalli - grandi valori della diffusività termica.

L'equazione differenziale di conduzione del calore con sorgenti di calore all'interno del corpo avrà la forma

dove qv- la quantità di calore rilasciata per unità di volume di una sostanza per unità di tempo, insieme aè la capacità termica di massa del corpo, ρ - densità corporea .

L'equazione del calore differenziale in coordinate cilindriche con una fonte di calore interna avrà la forma

dove r- vettore raggio in coordinate cilindriche; φ - iniezione.