Condizioni iniziali e al contorno. Condizioni iniziali e al contorno Qual è la differenza tra condizioni al contorno e iniziali

U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (T)

Queste condizioni significano fisicamente che le modalità di oscillazione sono impostate alle estremità.

II. Condizioni al contorno del secondo tipo

u X | x=0 = g 1 (t), U X | x=l = g 2 (T)

Tali condizioni corrispondono al fatto che le forze sono date agli estremi.

III. Condizioni al contorno del terzo tipo

(U X -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U X –σ 2 U)| x=l = g 2 (T)

Queste condizioni corrispondono alla fissazione elastica delle estremità.

Le condizioni al contorno (5), (6) e (7) sono dette omogenee se i lati retti g 1 (t) e g 2 (t) sono identicamente uguali a zero per tutti i valori di t. Se almeno una delle funzioni a destra non è uguale a zero, le condizioni al contorno sono dette disomogenee.

Allo stesso modo formulato condizioni di confine e nel caso di tre o quattro variabili, purché una di queste variabili sia il tempo. Il confine in questi casi sarà o una curva chiusa Γ che delimita una certa regione piatta, o una superficie chiusa Ω che delimita una regione nello spazio. Di conseguenza, cambierà anche la derivata della funzione, che appare nelle condizioni al contorno del secondo e terzo tipo. Questa sarà la derivata lungo la normale n alla curva Г sul piano o alla superficie Ω nello spazio e, di regola, la normale è considerata esterna alla regione (vedi Fig. 5).

Ad esempio, la condizione al contorno (omogenea) del primo tipo sul piano viene scritta come U| Γ =O, nello spazio U| Ω = 0. La condizione al contorno del secondo tipo sul piano ha la forma e nello spazio. Certamente, significato fisico queste condizioni sono diverse per compiti diversi.

Quando si impostano le condizioni iniziali e al contorno, sorge il problema di trovare una soluzione all'equazione differenziale che soddisfi le condizioni iniziali e al contorno (al contorno) date. Per l'equazione d'onda (3) o (4), condizioni iniziali U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) e nel caso di condizioni al contorno del primo tipo (5 ), viene chiamato il problema il primo problema del valore al contorno iniziale per l'equazione d'onda. Se, al posto delle condizioni al contorno del primo tipo, sono poste condizioni del secondo tipo (6) o del terzo tipo (7), allora il problema sarà chiamato, rispettivamente, secondo e terzo problema al valore limite iniziale. Se le condizioni al contorno in diverse sezioni del confine hanno tipi diversi, quindi vengono chiamati tali problemi di valore al contorno iniziale misto.

Considera due tipici problemi elettrostatici:

1) Trova il potenziale campo elettrico in una posizione sconosciuta delle cariche iniziali, ma un dato potenziale elettrico ai confini della regione. (Ad esempio il problema della distribuzione del potenziale del campo elettrico creato da un sistema di conduttori fissi posti nel vuoto e collegati a batterie. Qui è possibile misurare il potenziale di ciascun conduttore, ma è molto difficile impostare il distribuzione delle cariche elettriche sui conduttori, a seconda della loro forma.)

2) Trovare il potenziale del campo elettrico creato da una data distribuzione nello spazio di cariche elettriche.

È noto che il metodo diretto per calcolare il potenziale del campo elettrico in questi problemi è da risolvere Equazioni di Laplace(attività 1)

(1)

e Equazioni di Poisson(attività 2)

. (2)

Le equazioni (1), (2) appartengono alla classe delle equazioni alle derivate parziali tipo ellittico.

Inoltre, considereremo solo un caso speciale di equazioni ellittiche per il campo  , che dipende da due variabili spaziali. È abbastanza ovvio che per soluzione completa il problema dell'equazione (1), (2) deve essere integrato con condizioni al contorno. Esistono tre tipi di condizioni al contorno:

1) Condizioni al contorno di Dirichlet(i valori di  sono riportati su alcune curve chiuse nel piano (x, y) ed, eventualmente, su alcune curve aggiuntive poste all'interno della regione (Fig. 1));

2) Condizioni al contorno di Neumann(la derivata normale del potenziale  è posta al confine);

3) misto problema del valore limite (sul confine è data una combinazione lineare del potenziale  e della sua derivata normale).

Come notato nell'introduzione, le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine hanno un numero infinito di soluzioni che dipendono da due funzioni arbitrarie. Per determinare queste funzioni arbitrarie, o, in altre parole, per isolare la particolare soluzione di cui abbiamo bisogno, dobbiamo imporre condizioni aggiuntive alla funzione desiderata. Il lettore ha già riscontrato un fenomeno simile durante la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie, quando la selezione di una soluzione comune da una generale consisteva nel processo di trovare costanti arbitrarie secondo date condizioni iniziali.

Quando si considera il problema delle vibrazioni delle corde, le condizioni aggiuntive possono essere di due tipi: iniziali e limite (o limite).

Le condizioni iniziali mostrano in quale stato si trovava la corda nel momento in cui è iniziata l'oscillazione. È molto conveniente considerare che la corda ha cominciato ad oscillare in quel momento. La posizione iniziale dei punti della stringa è data dalla condizione

e la velocità iniziale

dove sono date le funzioni.

La notazione e significa che la funzione è presa a un valore arbitrario e a , cioè allo stesso modo . Questa forma di registrazione viene costantemente utilizzata in futuro; quindi, per esempio, ecc.

Le condizioni (1.13) e (1.14) sono simili alle condizioni iniziali nel problema più semplice della dinamica punto materiale. Lì, per determinare la legge del moto di un punto, oltre all'equazione differenziale, è necessario conoscere la posizione iniziale del punto e la sua velocità iniziale.

Le condizioni al contorno hanno un carattere diverso. Mostrano cosa succede alle estremità della corda durante tutto il tempo della vibrazione. Nel caso più semplice, quando le estremità della stringa sono fisse (l'inizio della stringa è all'origine e la fine è al punto, la funzione obbedirà alle condizioni

Con esattamente le stesse condizioni, il lettore si è incontrato nel corso sulla resistenza dei materiali studiando la flessione di una trave che giace su due supporti sotto l'azione di un carico statico.

Il significato fisico del fatto che l'impostazione delle condizioni iniziali e al contorno determina completamente il processo può essere rintracciato più facilmente per il caso vibrazioni libere stringhe.

Lascia, ad esempio, che una corda fissata alle estremità venga in qualche modo tirata indietro, cioè viene impostata una funzione - l'equazione della forma iniziale della corda e rilasciata senza una velocità iniziale (questo significa che) È chiaro che da questo l'ulteriore natura delle vibrazioni sarà completamente determinata e troveremo l'unica funzione risolvendo equazione omogenea nelle condizioni appropriate. Puoi far oscillare la corda in un altro modo, ovvero dando alle punte della corda una certa velocità iniziale. È fisicamente chiaro che in questo caso l'ulteriore processo di oscillazione sarà completamente determinato. Dare i punti della velocità iniziale della corda può essere fatto colpendo la corda (come accade quando si suona il pianoforte); il primo modo per eccitare la corda viene utilizzato quando si suonano strumenti a pizzico (ad esempio la chitarra).

Formuliamo ora l'ultimo problema matematico, che porta allo studio delle vibrazioni libere di una corda fissata alle due estremità.

È necessario risolvere un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine lineare omogenea con coefficienti costanti

rispettivamente l'area in esame.

Di solito un'equazione differenziale non ha una soluzione, ma un'intera famiglia di esse. Le condizioni iniziali e al contorno consentono di sceglierne una che corrisponda a un processo o fenomeno fisico reale. Nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie si dimostra un teorema sull'esistenza e l'unicità di una soluzione di un problema con una condizione iniziale (il cosiddetto problema di Cauchy). Per le equazioni alle derivate parziali, si ottengono alcuni teoremi di esistenza e unicità per soluzioni per determinate classi di problemi ai valori iniziali e al contorno.

Terminologia

A volte le condizioni iniziali nei problemi non stazionari, come la soluzione di equazioni iperboliche o paraboliche, sono anche dette condizioni al contorno.

Per problemi stazionari, c'è una divisione delle condizioni al contorno in principale e naturale.

Le condizioni principali di solito hanno la forma , dove è il confine della regione.

Le condizioni naturali contengono anche la derivata della soluzione rispetto alla normale al confine.

Esempio

L'equazione descrive il movimento di un corpo nel campo gravitazionale della terra. È soddisfatto da qualsiasi funzione quadratica della forma, dove - numeri arbitrari. Per isolare una specifica legge del moto, è necessario indicare la coordinata iniziale del corpo e la sua velocità, cioè le condizioni iniziali.

Correttezza dell'impostazione delle condizioni al contorno

I problemi di fisica matematica descrivono il reale processi fisici, e quindi la loro formulazione deve soddisfare i seguenti requisiti naturali:

La decisione dovrebbe esistere in qualsiasi classe di funzioni;
La soluzione deve essere l'unica in qualsiasi classe di funzioni;
La decisione dovrebbe continuamente dipendente dai dati(condizioni iniziali e al contorno, termine libero, coefficienti, ecc.).

Il requisito per una dipendenza continua della soluzione è dovuto al fatto che i dati fisici, di regola, sono determinati approssimativamente dall'esperimento, e quindi bisogna essere sicuri che la soluzione del problema nell'ambito della scelta modello matematico non dipenderà in modo significativo dall'errore di misurazione. Matematicamente, questo requisito può essere scritto, ad esempio, come segue (per l'indipendenza dal termine libero):

Si diano due equazioni differenziali: con gli stessi operatori differenziali e le stesse condizioni al contorno, le loro soluzioni dipenderanno continuamente dal termine libero se:

soluzioni delle equazioni corrispondenti.

Viene chiamato l'insieme di funzioni per le quali sono soddisfatti i requisiti elencati classe di correttezza. L'impostazione errata delle condizioni al contorno è ben illustrata dall'esempio di Hadamard.

Guarda anche

Condizioni al contorno del 1° tipo (problema di Dirichlet), en:Condizione al contorno di Dirichlet
Condizioni al contorno del 2° tipo (problema di Neumann), en:Condizione al contorno di Neumann
Condizioni al contorno del 3° tipo (problema di Robin), en:Condizione al contorno di Robin
Condizioni per un perfetto contatto termico , it:Perfect Thermal contact

Letteratura

Fondazione Wikimedia. 2010.

Scopri cosa sono le "Condizioni iniziali e al contorno" in altri dizionari:

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Il problema di Neumann nelle equazioni differenziali è un problema di valori al contorno con date condizioni al contorno per la derivata della funzione desiderata sul confine della regione, le cosiddette condizioni al contorno del secondo tipo. A seconda del tipo di area, il problema di Neumann si può dividere in due... Wikipedia

condizioni di confine- condizioni fisiche formalizzate al confine della zona di deformazione o loro modello matematico, che, insieme ad altri, consentono di ottenere una soluzione unica ai problemi di trattamento della pressione. Le condizioni al contorno si dividono in...

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condizioni iniziali- descrizione dello stato del corpo prima della deformazione. Solitamente, al momento iniziale, vengono fornite le coordinate di Eulero dei punti xi0 della superficie corporea, sollecitazione, velocità, densità, temperatura in qualsiasi punto M del corpo. Area di Diya dello spazio, ... ... dizionario enciclopedico nella metallurgia

condizioni di cattura- un certo rapporto durante la laminazione, che mette in relazione l'angolo di presa ed il coefficiente o angolo di attrito, al quale è assicurata la presa primaria del metallo da parte dei rulli ed il riempimento della zona di deformazione; Vedi anche: condizioni di lavoro... Dizionario enciclopedico di metallurgia

Termini- : Vedi anche: condizioni di lavoro condizioni di equilibrio differenziale condizioni tecniche (TS) condizioni iniziali ... Dizionario enciclopedico di metallurgia

condizioni di lavoro- un insieme di caratteristiche igienico-sanitarie dell'ambiente esterno (temperatura e umidità, polverosità, rumore, ecc.) in cui si svolgono i processi tecnologici; regolato in Russia dal lavoro ... ... Dizionario enciclopedico di metallurgia

Libri

Metodi numerici per la risoluzione di problemi inversi di fisica matematica, Samarskiy A.A. I corsi tradizionali sui metodi per la risoluzione di problemi di fisica matematica trattano problemi diretti. In questo caso, la soluzione è determinata dalle equazioni alle derivate parziali, che sono integrate da ...

Determina la temperatura sulla superficie del corpo in un dato momento, ad es.

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Riso. 2.4 - Condizione al contorno isotermica.

Non importa come cambia la temperatura all'interno del corpo, la temperatura dei punti sulla superficie obbedisce all'equazione (2.15).

La curva di distribuzione della temperatura nel corpo (Fig. 2.4) al confine del corpo ha un'ordinata data Ts , che può cambiare nel tempo. Un caso speciale della condizione al contorno del primo tipo è isotermico la condizione al contorno in cui la temperatura superficiale del corpo rimane costante durante tutto il processo di trasferimento del calore:

T s = cost.

Riso. 2.5 - Condizione di primo tipo

Per immaginare un tale stato del corpo, è necessario presumere che un'altra fonte di calore fittizia esterna ad esso con segno negativo (il cosiddetto dissipatore di calore) agisca simmetricamente alla fonte di calore che agisce nel corpo. Inoltre, le proprietà di questo dissipatore di calore corrispondono esattamente alle proprietà della fonte di calore effettiva e la distribuzione della temperatura è descritta dalla stessa espressione matematica. L'effetto totale di queste sorgenti porterà al fatto che si stabilisce una temperatura costante sulla superficie del corpo, nel caso particolare T = 0 8°C , mentre all'interno del corpo la temperatura dei punti cambia continuamente.

Condizione al contorno del secondo tipo

Determina la densità del flusso di calore in qualsiasi punto della superficie corporea in qualsiasi momento, ad es.

Secondo la legge di Fourier, la densità del flusso di calore è direttamente proporzionale al gradiente di temperatura. Pertanto, il campo di temperatura al confine ha un dato gradiente (Fig. b), in un caso particolare, costante, quando

Un caso speciale della condizione al contorno del secondo tipo è la condizione al contorno adiabatica, quando il flusso di calore attraverso la superficie del corpo è zero (Fig. 2.6), cioè

Riso. 2.6 - Condizione al contorno del secondo tipo

Nei calcoli tecnici, ci sono spesso casi in cui il flusso di calore dalla superficie del corpo è piccolo rispetto ai flussi all'interno del corpo. Quindi possiamo prendere questo confine come adiabatico. Nella saldatura, un caso del genere può essere rappresentato dal diagramma seguente (Fig. 2.7).

Riso. 2.7 - Condizione del secondo tipo

Al punto DI è in funzione una fonte di calore. Per soddisfare la condizione che il confine non trasmetta calore, è necessario posizionare la stessa sorgente simmetricamente a questa sorgente all'esterno del corpo, nel punto Circa 1 , e il flusso di calore da esso è diretto contro il flusso della fonte principale. Si annullano a vicenda, cioè il confine non lascia passare il calore. Tuttavia, la temperatura del bordo del corpo sarebbe doppia se questo corpo fosse infinito. Questo metodo di compensazione del flusso di calore è chiamato metodo di riflessione, poiché in questo caso il confine impermeabile al calore può essere considerato come un confine che riflette il flusso di calore proveniente dal metallo.

Condizione al contorno del terzo tipo.

Determina la temperatura ambiente e la legge dello scambio termico tra la superficie del corpo e l'ambiente. Otteniamo la forma più semplice della condizione al contorno del terzo tipo se il trasferimento di calore al confine è dato dall'equazione di Newton, che esprime che la densità del flusso di calore del trasferimento di calore attraverso la superficie al contorno è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra la superficie di confine e l'ambiente

La densità del flusso di calore che fluisce alla superficie di confine dal lato del corpo, secondo la legge di Fourier, è direttamente proporzionale al gradiente di temperatura sulla superficie di confine:

Uguagliando il flusso di calore proveniente dal lato del corpo al flusso di scambio termico, otteniamo la condizione al contorno del 3° tipo:

esprimendo che il gradiente di temperatura sulla superficie di confine è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra la superficie del corpo e l'ambiente. Questa condizione richiede che la tangente alla curva di distribuzione della temperatura nel punto limite passi per il punto di controllo DI con temperatura esterna al corpo a distanza dalla superficie di confine (Fig. 2.8).

Figura 2.8 - Condizione al contorno del 3° tipo

Dalla condizione al contorno del 3° tipo si può ottenere, come caso speciale, una condizione al contorno isotermica. Se , che avviene con un coefficiente di scambio termico molto grande o un coefficiente di conducibilità termica molto piccolo, allora:

e, cioè la temperatura della superficie corporea è costante durante l'intero processo di trasferimento del calore ed è uguale alla temperatura ambiente.

Condizioni iniziali e al contorno. Un elemento integrante e più importante nella formulazione di qualsiasi problema di meccanica dei continui è la formulazione delle condizioni iniziali e al contorno. Il loro significato è determinato dal fatto che l'uno o l'altro sistema di risoluzione delle equazioni descrive un'intera classe di moti del corrispondente mezzo deformabile e solo l'impostazione delle condizioni iniziali e al contorno corrispondenti al processo in esame consente di distinguere da questa classe un caso speciale di interesse corrispondente al problema pratico da risolvere.

Le condizioni iniziali sono le condizioni che fissano i valori delle funzioni caratteristiche ricercate al momento dell'inizio della considerazione del processo in studio. Il numero di condizioni iniziali date è determinato dal numero di funzioni incognite di base incluse nel sistema di risoluzione delle equazioni, nonché dall'ordine della derivata temporale più alta inclusa in questo sistema. Ad esempio, il moto adiabatico di un liquido ideale o di un gas ideale è descritto da un sistema di sei equazioni con sei incognite principali: tre componenti del vettore velocità, pressione, densità ed energia interna specifica, mentre l'ordine delle derivate di queste quantità fisiche non supera il primo ordine nel tempo. Di conseguenza, i campi iniziali di queste sei grandezze fisiche dovrebbero essere impostati come condizioni iniziali: a t =0 ,. In alcuni casi (ad esempio, nella teoria dinamica dell'elasticità), non le componenti del vettore velocità, ma le componenti del vettore spostamento sono utilizzate come principali incognite nel sistema di risoluzione delle equazioni e l'equazione del moto contiene la seconda -derivate d'ordine delle componenti di spostamento, che richiede l'impostazione di due condizioni iniziali per la funzione desiderata: a t = 0

Le condizioni al contorno sono stabilite in modo più complesso e diversificato quando si pongono problemi di meccanica del continuo. Le condizioni al contorno sono le condizioni che fissano i valori delle funzioni desiderate (o loro derivate rispetto alle coordinate e al tempo) sulla superficie S della regione occupata dal mezzo deformabile. Esistono diversi tipi di condizioni al contorno: cinematiche, dinamiche, miste e di temperatura.

Le condizioni al contorno cinematiche corrispondono al caso in cui sulla superficie S del corpo (o parte di essa) sono specificati spostamenti o velocità, dove sono le coordinate dei punti della superficie S, che generalmente cambiano a seconda del tempo.

Le condizioni al contorno dinamiche (o condizioni al contorno nelle sollecitazioni) sono specificate quando le forze superficiali p agiscono sulla superficie S. Come segue dalla teoria dello stress, in questo caso, su qualsiasi area elementare della superficie con vettore unitario normale p, il vettore delle forze superficiali specifiche pn imposta forzatamente il vettore di sollecitazione totale?p = pn, agendo in un mezzo continuo in un punto di una data area superficiale, il che porta alla relazione del tensore di sollecitazione (?) a questo punto con la forza superficiale e l'orientamento del vettore p della corrispondente area superficiale : (?) n = rp o.

Le condizioni al contorno miste corrispondono al caso in cui i valori delle quantità sia cinematiche che dinamiche sono specificati sulla superficie S o vengono stabilite relazioni tra di loro.

Le condizioni al contorno della temperatura sono divise in diversi gruppi (tipi). Sulla superficie S del mezzo deformabile sono fissate condizioni al contorno del primo tipo determinati valori temperatura T. Le condizioni al contorno del secondo tipo fissano il vettore del flusso di calore q al confine, il quale, tenendo conto della legge di conduzione del calore di Fourier, q = - ? grad T, in sostanza, impone restrizioni sulla natura della distribuzione della temperatura in prossimità del punto di confine. Condizioni al contorno del terzo tipo stabiliscono una relazione tra il vettore del flusso di calore q, diretto a un dato mezzo dal lato dell'ambiente, e la differenza di temperatura tra questi mezzi, ecc.

Va notato che la formulazione e la soluzione della maggior parte dei problemi nella fisica dei processi veloci, di regola, vengono eseguite nell'approssimazione adiabatica, pertanto le condizioni al contorno della temperatura vengono utilizzate abbastanza raramente, principalmente condizioni al contorno cinematiche, dinamiche e miste sono usati in varie combinazioni. Ritenere opzioni possibili stabilire condizioni al contorno su un particolare esempio.

Sulla fig. 3 mostra schematicamente il processo di interazione quando il corpo deformabile I penetra nella barriera deformabile II. Il corpo I è delimitato dalle superfici S1 e S5, mentre il corpo II è delimitato dalle superfici S2, S3, S4, S5. La superficie S5 è l'interfaccia tra i corpi deformabili interagenti. Assumiamo che il movimento del corpo I prima dell'inizio dell'interazione, così come durante il suo processo, avvenga in un fluido che crea una certa pressione idrostatica

Figura 3

e fissando forze superficiali esterne ad entrambi i corpi рп = - рп= - рni ri, agenti su una qualsiasi delle aree elementari delle superfici S1 del corpo I e S2 dell'ostacolo II, confinanti con il liquido. Assumeremo inoltre che la superficie S3 della barriera sia rigidamente fissata e che la superficie S4 sia libera dall'azione delle forze superficiali (pn = 0).

Per l'esempio fornito, su varie superfici che delimitano i mezzi deformabili I e II, devono essere specificate le condizioni al contorno di tutti e tre i tipi principali. È ovvio che le condizioni al contorno cinematiche dovrebbero essere impostate sulla superficie rigidamente fissata Sz? (S3) = ?(, t) = 0. corpi: o Anche le componenti del tensore delle sollecitazioni sulla superficie S4 della barriera non possono essere arbitrarie, ma sono interconnessi con l'orientamento delle sue aree elementari come.

Le condizioni al contorno all'interfaccia (superficie S5) dei mezzi deformabili interagenti sono le più complesse e si riferiscono a condizioni di tipo misto, comprendenti, a loro volta, parti cinematiche e dinamiche (vedi Fig. 3). La parte cinematica delle condizioni al contorno miste impone restrizioni alle velocità dei singoli punti di entrambi i mezzi che sono in contatto in ogni punto spaziale della superficie S5. Ci sono due opzioni per impostare queste restrizioni, illustrate in Fig. 4, a e b. Secondo la prima opzione più semplice, si presume che le velocità di movimento di due punti individuali in contatto qualsiasi siano le stesse (? = ?) - questa è la cosiddetta condizione di "incollaggio" o la condizione di "saldatura" (vedi Fig. 4, a). Più complesso e allo stesso tempo più adeguato per il processo in esame è l'impostazione della condizione di "impenetrabilità", o la condizione di "impermeabilità" (? n = ? n; cfr. Fig. 4, b), che corrisponde alla condizione sperimentale fatto confermato: i media deformabili interagenti non possono penetrare

Figura 4

l'uno nell'altro o in ritardo l'uno rispetto all'altro, o possono scivolare l'uno rispetto all'altro con velocità? - ?diretto tangenzialmente all'interfaccia ((?I - ?II) n = 0). La parte dinamica delle condizioni al contorno miste all'interfaccia tra due mezzi è formulata sulla base della terza legge di Newton utilizzando le relazioni della teoria dello stress (Fig. 4, c). Quindi, in ciascuna delle due singole particelle del mezzo deformabile I e II a contatto, si realizza il proprio stato di sollecitazione, caratterizzato dai tensori di sollecitazione (?)I e (?) II. , esterni rispetto a questo mezzo, la sollecitazione totale atti vettoriali? nI = (?) nI. Nel mezzo II, sulla stessa area, ma con un vettore normale unitario nII esterno a questo mezzo, il vettore di sollecitazione totale agisce?nII =(?)II · nII. Data la reciprocità di azione e reazione?nI = - ? n II , così come la condizione ovvia nI = --nII = n, viene stabilita una relazione tra i tensori di sollecitazione in entrambi i mezzi interagenti alla loro interfaccia: (?)I p = (?) II p o (?ijI - ? ijII) nj = 0. Le possibili opzioni per specificare le condizioni al contorno non sono limitate all'esempio particolare considerato. Ci sono tante opzioni per impostare le condizioni iniziali e al contorno quante sono in natura e tecnologia per i processi di interazione di corpi o media deformabili. Sono determinati dalle specificità del problema pratico da risolvere e sono fissati secondo i suddetti principi generali.