sistema omogeneo equazioni lineari AX = 0 sempre insieme. Ha soluzioni non banali (diverse da zero) se r= rango UN< n .
Per sistemi omogenei le variabili di base (i coefficienti a cui si forma un minore di base) sono espresse in termini di variabili libere da relazioni della forma:
Quindi n-r soluzioni vettoriali linearmente indipendenti saranno:
e qualsiasi altra soluzione è la loro combinazione lineare. Decisione-vettore 
formare un sistema fondamentale normalizzato.
A spazio lineare l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari forma un sottospazio di dimensione n-r; 
è la base di questo sottospazio.
Sistema m equazioni lineari con n sconosciuto(o, sistema lineare
 |
Qui X 1 , X 2 , …, x n un 11 , un 12 , …, amn- coefficienti di sistema - e b 1 , b 2 , … bm aijio) e sconosciuto ( j
Viene chiamato il sistema (1). omogeneob 1 = b 2 = … = bm= 0), altrimenti - eterogeneo.
Viene chiamato il sistema (1). quadrato se il numero m equazioni è uguale al numero n sconosciuto.
Decisione sistemi (1) - set n numeri c 1 , c 2 , …, c n, tale che la sostituzione di ciascuno c io invece di x io nel sistema (1) trasforma tutte le sue equazioni in identità.
Viene chiamato il sistema (1). giunto incompatibile
Soluzioni c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) e c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n vari
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
certo incerto. Se ci sono più equazioni che incognite, viene chiamato ridefinito.
Risolvere sistemi di equazioni lineari
Risoluzione di equazioni matriciali ~ Metodo di Gauss
I metodi per risolvere i sistemi di equazioni lineari sono divisi in due gruppi:
1. metodi precisi, che sono algoritmi finiti per il calcolo delle radici di un sistema (risoluzione di sistemi mediante matrice inversa, regola di Cramer, metodo di Gauss, ecc.),
2. metodi iterativi, che consentono di ottenere una soluzione del sistema con una data accuratezza mediante processi iterativi convergenti (il metodo dell'iterazione, il metodo di Seidel, ecc.).
A causa dell'inevitabile arrotondamento, i risultati anche di metodi esatti sono approssimativi. Quando si utilizzano metodi iterativi, inoltre, viene aggiunto l'errore del metodo.
L'applicazione efficace dei metodi iterativi dipende essenzialmente da una buona scelta approssimazione iniziale e velocità di convergenza del processo.
Soluzione di equazioni matriciali
Considera il sistema n equazioni algebriche lineari rispetto a n sconosciuto X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrice MA, le cui colonne sono i coefficienti per le incognite corrispondenti e le righe sono i coefficienti per le incognite nell'equazione corrispondente, è chiamato matrice di sistema; matrice di colonne b, i cui elementi sono i lati destri delle equazioni del sistema, viene chiamato matrice di destra o semplicemente lato destro del sistema. matrice di colonne X, i cui elementi sono incognite sconosciute, è chiamato soluzione di sistema.
Se la matrice MA- non singolare, cioè det Un e è uguale a 0, quindi il sistema (13), o la sua equazione matriciale equivalente (14), ha un'unica soluzione.
Infatti, alla condizione det A non è uguale 0 esiste matrice inversa MA-uno . Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione (14) per la matrice MA-1 otteniamo:
| (16) |
La formula (16) fornisce una soluzione all'equazione (14) ed è unica.
È conveniente risolvere sistemi di equazioni lineari usando la funzione lrisolvo.
lsoldi( A, b)
Viene restituito il vettore di decisione X tale che Oh= b.
Argomenti:
MAè una matrice quadrata non singolare.
bè un vettore che ha tante righe quante sono le righe nella matrice MA .
La figura 8 mostra la soluzione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite.
Metodo Gauss
Il metodo gaussiano, detto anche metodo di eliminazione gaussiana, consiste nel fatto che il sistema (13) viene ridotto per eliminazione successiva di incognite ad un sistema equivalente a matrice triangolare:
Nella notazione matriciale, ciò significa che le prime operazioni elementari (il corso diretto del metodo di Gauss) sulle righe portano la matrice aumentata del sistema a una forma a gradini:
e quindi (il corso inverso del metodo gaussiano) questa matrice di passaggi viene trasformata in modo che nella prima n le colonne si sono rivelate una matrice di identità:
.
Scorso, ( n+ 1) la colonna di questa matrice contiene la soluzione del sistema (13).
In Mathcad, i movimenti avanti e indietro del metodo gaussiano vengono eseguiti dalla funzione rif(UN).
La figura 9 mostra la soluzione di un sistema di equazioni lineari con il metodo gaussiano, che utilizza seguenti caratteristiche:
rif( UN)
Restituisce la forma del passo della matrice MA.
aumentare( UN, A)
Restituisce una matrice formata dalla posizione UN e A fianco a fianco. Matrici UN e A deve avere lo stesso numero di righe.
sottomatrice( A, ir, jr, ic, jc)
Viene restituita una sottomatrice, composta da tutti gli elementi con ir su jr e colonne con circuito integrato su jc. Assicurati che ir jr e
circuito integrato jc, in caso contrario l'ordine delle righe e/o delle colonne verrà invertito.
Figura 9
Descrizione del metodo
Per un sistema di n equazioni lineari con n incognite (su un campo arbitrario)
con determinante della matrice di sistema Δ diverso da zero, la soluzione si scrive come
(l'i-esima colonna della matrice di sistema è sostituita da una colonna di termini liberi).
In un'altra forma, la regola di Cramer è formulata come segue: per qualsiasi coefficiente c1, c2, ..., cn, l'uguaglianza è vera:
In questa forma, la formula di Cramer è valida senza l'assunto che Δ sia diverso da zero, non è nemmeno necessario che i coefficienti del sistema siano elementi di un anello integrale (il determinante del sistema può anche essere un divisore zero nell'anello di coefficienti). Possiamo anche supporre che gli insiemi b1,b2,...,bn e x1,x2,...,xn, o l'insieme c1,c2,...,cn, non siano costituiti da elementi dell'anello dei coefficienti del sistema, ma di qualche modulo su questo anello. In questa forma, la formula di Cramer viene utilizzata, ad esempio, per dimostrare la formula per il determinante di Gram e il Lemma di Nakayama.
| 35) Teorema di Kronecker-Capelli |
Perché un sistema di m equazioni lineari disomogenee in n incognite sia coerente, è necessario e sufficiente che Dimostrazione di necessità. Sia il sistema (1.13) consistente, cioè ci sono tali numeri X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n, che cosa  (1.15) Sottrarre dall'ultima colonna della matrice estesa la sua prima colonna moltiplicata per α 1 , la seconda - per α 2 , …, l'ennesima - moltiplicata per α n , cioè dall'ultima colonna della matrice (1.14) si dovrebbero sottrarre le parti sinistre delle uguaglianze ( 1.15). Quindi otteniamo la matrice  il cui rango come risultato trasformazioni elementari non cambierà e . Ma è ovvio, e quindi la prova della sufficienza. Sia e lascia, per determinatezza, un minore diverso da zero di ordine r situato nell'angolo in alto a sinistra della matrice:  Ciò significa che il resto delle righe della matrice può essere ottenuto come combinazioni lineari Le prime r righe, cioè le m-r righe della matrice, possono essere rappresentate come somme delle prime r righe moltiplicate per alcuni numeri. Ma allora le prime r equazioni del sistema (1.13) sono indipendenti, e il resto ne sono le conseguenze, cioè la soluzione del sistema delle prime r equazioni è automaticamente la soluzione delle restanti equazioni. Sono possibili due casi. 1. r=n. Allora il sistema costituito dalle prime r equazioni ha lo stesso numero di equazioni e di incognite ed è consistente, e la sua soluzione è unica. 2.r |
36) us-e certezza, incertezza
Sistema m equazioni lineari con n sconosciuto(o, sistema lineare) in algebra lineare è un sistema di equazioni della forma
 |
Qui X 1 , X 2 , …, x n sono incognite da determinare. un 11 , un 12 , …, amn- coefficienti di sistema - e b 1 , b 2 , … bm- membri liberi - si presume siano conosciuti. Indici di coefficiente ( aij) i sistemi denotano i numeri dell'equazione ( io) e sconosciuto ( j), a cui si attesta, rispettivamente, questo coefficiente.
Viene chiamato il sistema (1). omogeneo se tutti i suoi termini liberi sono uguali a zero ( b 1 = b 2 = … = bm= 0), altrimenti - eterogeneo.
Viene chiamato il sistema (1). giunto se ha almeno una soluzione, e incompatibile se non ha soluzione.
Un sistema congiunto della forma (1) può avere una o più soluzioni.
Soluzioni c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) e c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) sono chiamati sistemi congiunti della forma (1). vari se almeno una delle uguaglianze è violata:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Viene chiamato un sistema congiunto della forma (1). certo se ha una soluzione unica; se ha almeno due soluzioni diverse, allora si chiama incerto
37) Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss
Lascia che il sistema originale assomigli a questo
Matrice UNè chiamata matrice principale del sistema, b- una colonna di membri gratuiti.
Quindi, in base alla proprietà delle trasformazioni elementari su righe, la matrice principale di questo sistema può essere ridotta a una forma a gradini (le stesse trasformazioni devono essere applicate alla colonna di membri liberi):
Quindi vengono chiamate le variabili variabili principali. Tutti gli altri sono chiamati libero.
[modifica] Condizione di coerenza
La condizione di cui sopra per tutti può essere formulata come condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità:
Ricordiamo che il rango di un sistema articolare è il rango della sua matrice principale (o estesa, poiché sono uguali).
Algoritmo
Descrizione
L'algoritmo per risolvere SLAE con il metodo gaussiano è diviso in due fasi.
§ Nella prima fase si effettua il cosiddetto movimento diretto, quando, mediante trasformazioni elementari su file, si porta il sistema a gradino oa forma triangolare, oppure si stabilisce che il sistema è inconsistente. Vale a dire, tra gli elementi della prima colonna della matrice se ne sceglie uno diverso da zero, lo si sposta nella posizione più alta permutando le righe, e dalle righe rimanenti si sottrae la prima riga ottenuta dopo la permutazione, moltiplicandola di un valore uguale al rapporto tra il primo elemento di ciascuna di queste righe e il primo elemento della prima riga, azzerando così la colonna sottostante. Dopo che sono state eseguite le trasformazioni indicate, la prima riga e la prima colonna vengono mentalmente barrate e continuano fino a quando rimane una matrice di dimensione zero. Se in alcune iterazioni tra gli elementi della prima colonna non ne è stato trovato uno diverso da zero, passare alla colonna successiva ed eseguire un'operazione simile.
§ Nella seconda fase viene eseguita la cosiddetta mossa inversa, la cui essenza è esprimere tutte le variabili di base risultanti in termini di non di base e costruire un sistema fondamentale di soluzioni, oppure, se tutte le variabili sono di base , quindi esprimere numericamente l'unica soluzione del sistema di equazioni lineari. Questa procedura inizia con l'ultima equazione, da cui viene espressa la variabile di base corrispondente (e ce n'è solo una) e sostituita nelle equazioni precedenti, e così via, salendo i "passi". Ogni riga corrisponde esattamente a una variabile di base, quindi ad ogni passaggio, ad eccezione dell'ultima (la più in alto), la situazione ripete esattamente il caso dell'ultima riga.
Il metodo Gauss richiede ordine o(n 3) azioni.
Questo metodo si basa su:
38)Il teorema di Kronecker-Capelli.
Un sistema è consistente se e solo se il rango della sua matrice principale è uguale al rango della sua matrice estesa.
6.3. SISTEMI OMOGENEI DI EQUAZIONI LINEARI
Lascia ora nel sistema (6.1).
Un sistema omogeneo è sempre compatibile. Decisione () è chiamato zero, o banale.
Il sistema omogeneo (6.1) ha soluzione diversa da zero se e solo se il suo rango ( 
) è inferiore al numero di incognite. In particolare, un sistema omogeneo in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite ha soluzione diversa da zero se e solo se il suo determinante è zero.
Perché questa volta tutto
, al posto delle formule (6.6) otteniamo quanto segue:
(6.7)
Le formule (6.7) contengono qualsiasi soluzione del sistema omogeneo (6.1).
1. L'insieme di tutte le soluzioni del sistema omogeneo di equazioni lineari (6.1) forma uno spazio lineare.
2. Spazio lineareRdi tutte le soluzioni del sistema omogeneo di equazioni lineari (6.1) connincognite e il rango della matrice principale uguale ar, ha dimensionen–r.
Qualsiasi insieme di (n–r) soluzioni linearmente indipendenti del sistema omogeneo (6.1) formano una base nello spazioRtutte le decisioni. È chiamato fondamentale l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo di equazioni (6.1). Evidenziare "normale" l'insieme fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo (6.1):
(6.8)
Per definizione di una base, qualsiasi soluzione X sistema omogeneo (6.1) può essere rappresentato nella forma
(6.9)
dove 
sono costanti arbitrarie.
Poiché la formula (6.9) contiene una qualsiasi soluzione del sistema omogeneo (6.1), dà decisione comune questo sistema.
Esempio.
Viene chiamato un sistema di equazioni lineari in cui tutti i termini liberi sono uguali a zero omogeneo :
Qualsiasi sistema omogeneo è sempre coerente, poiché lo è sempre stato zero (banale ) soluzione. Sorge la domanda in quali condizioni un sistema omogeneo avrà una soluzione non banale.
Teorema 5.2.Un sistema omogeneo ha una soluzione non banale se e solo se il rango della matrice principale è inferiore al numero delle sue incognite.
Conseguenza. Un sistema quadrato omogeneo ha soluzione non banale se e solo se il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero.
Esempio 5.6. Determina i valori del parametro l per cui il sistema ha soluzioni non banali e trova queste soluzioni:
Decisione. Questo sistema avrà una soluzione non banale quando il determinante della matrice principale è uguale a zero:
Pertanto, il sistema non è banale quando l=3 o l=2. Per l=3, il rango della matrice principale del sistema è 1. Quindi, lasciando una sola equazione e assumendo che y=un e z=b, noi abbiamo x=b-a, cioè.
Per l=2, il rango della matrice principale del sistema è 2. Quindi, scegliendo come minore di base:
otteniamo un sistema semplificato
Da qui lo troviamo x=z/4, y=z/2. Supponendo z=4un, noi abbiamo
L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema omogeneo ha un aspetto molto importante proprietà lineare : se X colonne 1 e X 2 - soluzioni del sistema omogeneo AX = 0, quindi qualsiasi loro combinazione lineare un X 1+b X 2 sarà anche la soluzione di questo sistema. Infatti, poiché ASCIA 1 = 0 e ASCIA 2 = 0 , poi UN(un X 1+b X 2) = a ASCIA 1+b ASCIA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. A causa di questa proprietà, se un sistema lineare ha più di una soluzione, allora ci saranno infinite di queste soluzioni.
Colonne linearmente indipendenti e 1 , e 2 , E k, che sono soluzioni di un sistema omogeneo, si chiama sistema decisionale fondamentale sistema omogeneo di equazioni lineari se la soluzione generale di questo sistema può essere scritta come una combinazione lineare di queste colonne:
Se un sistema omogeneo ha n variabili e il rango della matrice principale del sistema è uguale a r, poi K = n-r.
Esempio 5.7. Trova il sistema fondamentale di soluzioni del seguente sistema di equazioni lineari:
Decisione. Trova il rango della matrice principale del sistema:
Pertanto, l'insieme delle soluzioni di questo sistema di equazioni forma un sottospazio lineare di dimensione n-r= 5 - 2 = 3. Scegliamo come minore base
Quindi, lasciando solo le equazioni di base (il resto sarà una combinazione lineare di queste equazioni) e le variabili di base (trasferiamo il resto, le cosiddette variabili libere a destra), otteniamo un sistema di equazioni semplificato:
Supponendo X 3 = un, X 4 = b, X 5 = c, noi troviamo
Supponendo un= 1, b=c= 0, otteniamo la prima soluzione di base; supponendo b= 1, a = c= 0, otteniamo la seconda soluzione di base; supponendo c= 1, a = b= 0, otteniamo la terza soluzione di base. Di conseguenza, prende forma il normale sistema fondamentale di soluzioni
Usando il sistema fondamentale, la soluzione generale del sistema omogeneo può essere scritta come
X = aE 1 + essere 2 + ce 3. un
Notiamo alcune proprietà delle soluzioni del sistema disomogeneo di equazioni lineari AX=B e la loro relazione con il corrispondente sistema omogeneo di equazioni AX = 0.
Soluzione generale di un sistema disomogeneoè uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo AX = 0 e di una soluzione particolare arbitraria del sistema disomogeneo. Infatti, lasciate Y 0 è una soluzione particolare arbitraria di un sistema disomogeneo, cioè AY 0 = B, e Yè la soluzione generale di un sistema disomogeneo, cioè AY=B. Sottraendo un'uguaglianza dall'altra, otteniamo
UN(Y-Y 0) = 0, cioè Y-Y 0 è la soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo ASCIA=0. Quindi, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. QED
Sia un sistema disomogeneo la forma AX = B 1 + B 2 . Quindi la soluzione generale di un tale sistema può essere scritta come X = X 1 + X 2 , dove AX 1 = B 1 e AX 2 = B 2. Questa proprietà esprime la proprietà universale di qualsiasi sistema lineare in generale (algebrico, differenziale, funzionale, ecc.). In fisica, questa proprietà è chiamata principio di sovrapposizione, in ingegneria elettrica e radio - principio di sovrapposizione. Ad esempio, nella teoria dei circuiti elettrici lineari, la corrente in qualsiasi circuito può essere ottenuta come somma algebrica delle correnti causate da ciascuna fonte di energia separatamente.
Il metodo gaussiano presenta una serie di svantaggi: è impossibile sapere se il sistema è coerente o meno finché non sono state eseguite tutte le trasformazioni necessarie nel metodo gaussiano; il metodo gaussiano non è adatto per sistemi con coefficienti di lettere.
Considera altri metodi per risolvere i sistemi di equazioni lineari. Questi metodi utilizzano il concetto di rango di una matrice e riducono la soluzione di qualsiasi sistema articolare alla soluzione di un sistema a cui si applica la regola di Cramer.
Esempio 1 Trova la soluzione generale del seguente sistema di equazioni lineari usando il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo ridotto e una soluzione particolare del sistema disomogeneo.
1. Creiamo una matrice UN e la matrice aumentata del sistema (1)
2. Esplora il sistema (1) per compatibilità. Per fare ciò, troviamo i ranghi delle matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se risulta che , il sistema (1) incompatibile. Se lo otteniamo , allora questo sistema è coerente e lo risolveremo. (Lo studio della coerenza si basa sul teorema di Kronecker-Capelli).
un. Noi troviamo RA.
Trovare RA, considereremo successivamente minori non nulli del primo, secondo, ecc. ordine della matrice UN e i minori che li circondano.
M1=1≠0 (1 è preso dall'angolo in alto a sinistra della matrice MA).
Confinante M1 la seconda riga e la seconda colonna di questa matrice. 
. Continuiamo al confine M1 la seconda riga e la terza colonna..gif" width="37" height="20 src=">. Ora delimitamo il minore diverso da zero М2′ secondo ordine.
Abbiamo: 
(perché le prime due colonne sono le stesse)
(perché la seconda e la terza riga sono proporzionali).
Lo vediamo rA=2, ed è la base minore della matrice UN.
b. Noi troviamo .
Minore sufficientemente elementare М2′ matrici UN bordo con una colonna di membri liberi e tutte le righe (abbiamo solo l'ultima riga).
. Ne consegue che М3′′ rimane la base minore della matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Come М2′- base minore della matrice UN sistemi (2) , allora questo sistema è equivalente al sistema (3) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (2) (per М2′è nelle prime due righe della matrice A).
(3)
Poiché il minore di base è https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
In questo sistema, due incognite libere ( x2 e x4 ). Così FSR sistemi (4) si compone di due soluzioni. Per trovarli, assegniamo incognite gratuite a (4) prima i valori x2=1 , x4=0 , e poi - x2=0 , x4=1 .
In x2=1 , x4=0 noi abbiamo:
.
Questo sistema ha già l'unica cosa soluzione (può essere trovata con la regola di Cramer o con qualsiasi altro metodo). Sottraendo la prima equazione dalla seconda otteniamo:
La sua decisione sarà x1= -1 , x3=0 . Dati i valori x2 e x4 , che abbiamo dato, otteniamo il primo decisione fondamentale sistemi (2) : .
Ora inseriamo (4) x2=0 , x4=1 . Noi abbiamo:
.
Risolviamo questo sistema usando il teorema di Cramer:
.
Otteniamo la seconda soluzione fondamentale del sistema (2) : .
Soluzioni β1 , β2 e truccarti FSR sistemi (2) . Allora la sua soluzione generale sarà
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Qui C1 , C2 sono costanti arbitrarie.
4. Trovane uno privato decisione sistema eterogeneo(1) . Come nel paragrafo 3 , invece del sistema (1) considera il sistema equivalente (5) , costituito dalle prime due equazioni del sistema (1) .
(5)
Trasferiamo le incognite libere sul lato destro x2 e x4.
(6)
Diamo incognite gratuite x2 e x4 valori arbitrari, ad esempio x2=2 , x4=1 e collegarli (6) . Prendiamo il sistema
Questo sistema ha una soluzione unica (perché il suo determinante М2′0). Risolvendolo (usando il teorema di Cramer o il metodo di Gauss), otteniamo x1=3 , x3=3 . Dati i valori delle incognite libere x2 e x4 , noi abbiamo particolare soluzione di un sistema disomogeneo(1)α1=(3,2,3,1).
5. Ora resta da scrivere soluzione generale α di un sistema disomogeneo(1) : è uguale alla somma decisione privata questo sistema e soluzione generale del suo sistema omogeneo ridotto (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Significa: 
(7)
6. Visita medica. Per verificare se hai risolto il sistema correttamente (1) , abbiamo bisogno di una soluzione generale (7) sostituire in (1) . Se ogni equazione diventa un'identità ( C1 e C2 dovrebbe essere distrutto), quindi la soluzione viene trovata correttamente.
Sostituiremo (7) per esempio, solo nell'ultima equazione del sistema (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Otteniamo: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Dove -1=-1. Abbiamo un'identità. Lo facciamo con tutte le altre equazioni del sistema (1) .
Commento. La verifica è solitamente piuttosto macchinosa. Possiamo consigliare la seguente "verifica parziale": nella soluzione complessiva del sistema (1) assegnare alcuni valori a costanti arbitrarie e sostituire la soluzione particolare risultante solo nelle equazioni scartate (cioè in quelle equazioni da (1) che non sono inclusi (5) ). Se ottieni identità, allora più probabilmente, soluzione del sistema (1) trovato correttamente (ma un tale controllo non dà piena garanzia di correttezza!). Ad esempio, se in (7) mettere C2=- 1 , C1=1, quindi otteniamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Sostituendo nell'ultima equazione del sistema (1), abbiamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ovvero –1=–1. Abbiamo un'identità.
Esempio 2 Trova una soluzione generale per un sistema di equazioni lineari (1) , esprimendo le principali incognite in termini di libere.
Decisione. Come in Esempio 1, comporre matrici UN e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> di queste matrici. Ora lasciamo solo quelle equazioni del sistema (1) , i cui coefficienti sono inclusi in questo minore di base (cioè abbiamo le prime due equazioni) e consideriamo il sistema costituito da esse, che è equivalente al sistema (1).
Trasferiamo le incognite libere sul lato destro di queste equazioni.
sistema (9) risolviamo con il metodo gaussiano, considerando le parti giuste come membri liberi.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opzione 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opzione 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opzione 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opzione 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
2.4.1. Definizione. Sia dato un sistema disomogeneo di equazioni lineari
Considera un sistema omogeneo
per cui la matrice dei coefficienti coincide con la matrice dei coefficienti del sistema (2.4.1). Quindi viene chiamato il sistema (2.4.2). sistema omogeneo ridotto (2.4.1).
2.4.2. Teorema. La soluzione generale di un sistema disomogeneo è uguale alla somma di qualche soluzione particolare del sistema disomogeneo e della soluzione generale del sistema omogeneo ridotto.
Quindi, per trovare la soluzione generale del sistema disomogeneo (2.4.1), basta:
1) Esaminalo per verificarne la compatibilità. In caso di compatibilità:
2) Trovare la soluzione generale del sistema omogeneo ridotto.
3) Trova una soluzione particolare a quella originale (non omogenea).
4) Sommate la soluzione particolare trovata e la soluzione generale di quella data, trovare la soluzione generale del sistema originario.
2.4.3. Un esercizio. Indagare il sistema per la compatibilità e, in caso di compatibilità, trovare la sua soluzione generale nella forma della somma del quoziente e del generale ridotto.
Decisione. a) Per risolvere il problema, utilizziamo lo schema sopra:
1) Esaminiamo il sistema per verificarne la compatibilità (con il metodo dei minori confinanti): Il rango della matrice principale è 3 (vedi la soluzione dell'esercizio 2.2.5, a), e il minore diverso da zero dell'ordine massimo è composto dagli elementi del 1° , 2a, 4a riga e la 1a, 3a, 4a colonna. Per trovare il rango della matrice espansa, lo contorniamo con la 3a riga e la 6a colonna della matrice espansa: =0. Si intende, rg UN =rg=3 e il sistema è coerente. In particolare, è equivalente al sistema
2) Trova una soluzione generale X 0 ridotta omogenea di questo sistema
X 0 ={(-2un - b ; un ; b ; b ; b ) | un , b Î R}
(vedi la soluzione dell'esercizio 2.2.5, a)).
3) Trova qualche soluzione particolare x h del sistema originale . Per fare ciò, nel sistema (2.4.3), che è equivalente a quello originale, le incognite libere X 2 e X Impostiamo 5 uguale, ad esempio, a zero (questi sono i dati più convenienti):
e risolviamo il sistema risultante: X 1 =- , X 3 =- , X 4=-5. Quindi, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ è una particolare soluzione del sistema.
4) Troviamo la soluzione generale X n del sistema originario :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2un - b ; un ; b ; b ; b )}=
={(- -2un - b ; un ; - + b ; -5+b ; b )}.
Commento. Confronta la tua risposta con la seconda risposta nell'esempio 1.2.1 c). Per ottenere una risposta nella prima forma per 1.2.1 c), prendiamo come incognite di base X 1 , X 3 , X 5 (il minore per il quale anche non è uguale a zero), e come libero ¾ X 2 e X 4 .
§3. Alcune applicazioni.
3.1. Sulla questione delle equazioni matriciali. Ve lo ricordiamo equazione matriciale sul campo F è un'equazione in cui una matrice sul campo agisce come un'incognita F .
Le equazioni matriciali più semplici sono equazioni della forma
ASCIA=B , XA =B (2.5.1)
dove UN , B ¾ date matrici (conosciute) sul campo F , un X ¾ di tali matrici, sostituendo quali equazioni (2.5.1) si trasformano in vere uguaglianze di matrici. In particolare, metodo matriciale di alcuni sistemi si riduce a risolvere un'equazione matriciale.
Quando le matrici UN nelle equazioni (2.5.1) non sono degenerate, hanno rispettivamente soluzioni X =A B e X =BA .
Nel caso in cui almeno una delle matrici sul lato sinistro delle equazioni (2.5.1) sia degenere, questo metodo non più adatto, poiché la corrispondente matrice inversa UN non esiste. In questo caso, trovare soluzioni alle equazioni (2.5.1) si riduce a sistemi risolutivi.
Ma prima introduciamo alcuni concetti.
Viene chiamato l'insieme di tutte le soluzioni del sistema soluzione comune . Una soluzione individuale di un sistema indefinito, chiamiamola decisione privata .
3.1.1. Esempio. Risolvi l'equazione della matrice sul campo R.
un) X = ; b) X = ; in) X = .
Decisione. a) Da \u003d 0, quindi la formula X =A B non adatto a risolvere questa equazione. Se nel lavoro XA =B matrice UN ha 2 righe, quindi la matrice X ha 2 colonne. Numero di righe X deve corrispondere al numero di righe B . Così X ha 2 linee. Così, X ¾ alcuni matrice quadrata secondo ordine: X = . Sostituire X nell'equazione originale:
Moltiplicando le matrici sul lato sinistro della (2.5.2), si arriva all'uguaglianza
Due matrici sono uguali se e solo se hanno le stesse dimensioni e gli elementi corrispondenti sono uguali. Pertanto (2.5.3) è equivalente al sistema
Questo sistema è equivalente al sistema
Risolvendolo, ad esempio, con il metodo di Gauss, si arriva a un insieme di soluzioni (5-2 b , b , -2d , d ), dove b , d corrono indipendentemente l'uno dall'altro R. Così, X = .
b) Analogamente ad a) abbiamo X = e.
Questo sistema è incoerente (dai un'occhiata!). Pertanto, questa equazione matriciale non ha soluzioni.
c) Denotare questa equazione con ASCIA =B . Come UN ha 3 colonne e B ha 2 colonne quindi X ¾ una matrice 3´2: X = . Pertanto, abbiamo la seguente catena di equivalenze:
Risolviamo l'ultimo sistema usando il metodo di Gauss (omettiamo i commenti)
Arriviamo così al sistema
la cui soluzione è (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) dove z , w corrono indipendentemente l'uno dall'altro R.
Risposta: a) X = , b , d Î R.
b) Non ci sono soluzioni.
in) X = z , w Î R.
3.2. Sulla questione della permutabilità delle matrici. In generale, il prodotto delle matrici non è permutabile, cioè se UN e B tale che AB e BA definito, quindi, in generale, AB ¹ BA . Ma l'esempio della matrice di identità e mostra che è possibile anche la commutabilità AE =EA per qualsiasi matrice UN , se solo AE e EA siamo determinati.
In questa sottosezione, consideriamo i problemi di trovare l'insieme di tutte le matrici che commutano con una data. Così,
Sconosciuto X 1 , y 2 e z 3 può assumere qualsiasi valore: X 1 =un , y 2 =b , z 3 =g . Quindi
Così, X = .
Risposta. un) X d ¾ qualsiasi numero.
b) X ¾ insieme di matrici della forma , dove un , b e g ¾ qualsiasi numero.