Lezione 6
4.6 Determinante del prodotto di due matrici quadrate.
Prodotto di due matrici quadrate n l'ordine è sempre definito. Qui il seguente teorema è di grande importanza.
Teorema. Il determinante della matrice prodotto è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici fattoriali:
Prova. Permettere
e 
,
.
Componi un determinante ausiliario
.
Per il corollario del teorema di Laplace si ha:
.
Così, 
, lo mostreremo 
. Per fare ciò, trasformiamo il determinante come segue. primo primo P
, aggiungere a 
-esima colonna. Poi il primo P colonne moltiplicate rispettivamente per 
, aggiungere a 
-esima colonna, ecc. All'ultimo passo per 
-esima colonna verrà aggiunta alla prima P colonne moltiplicate rispettivamente per 
. Di conseguenza, otteniamo il determinante
.
Espandere il determinante risultante usando il teorema di Laplace in termini di ultimo P colonne, troviamo:
Quindi abbiamo dimostrato le uguaglianze 
e 
, da cui ne consegue che 
.
4.7 Matrice inversa
Definizione 1
.
Sia data una matrice quadrata MA P-esimo ordine. Matrice quadrata 
dello stesso ordine sono chiamati inversione alla matrice MA, se , dove e-matrice identità P-esimo ordine.
Dichiarazione. Se esiste una matrice inversa alla matrice MA, quindi una tale matrice è unica.
Prova. Assumiamo che la matrice 
non è l'unica matrice inversa alla matrice MA. Prendi un'altra matrice inversa B. Quindi le condizioni
Considera il prodotto 
. Ha le uguaglianze
da cui ne consegue 
. Pertanto, viene dimostrata l'unicità della matrice inversa.
Quando si dimostra il teorema di esistenza matrice inversa abbiamo bisogno della nozione di "matrice aggiunta".
Definizione 2 . Sia la matrice
.
i cui elementi sono complementi algebrici 
elementi 
matrici MA, è chiamato Allegata
da matrice a matrice MA.
Si noti che per costruire la matrice aggiunta DA elementi di matrice MAè necessario sostituirli con complementi algebrici e quindi trasporre la matrice risultante.
Definizione 3.
matrice quadrata MA chiamato non degenerato
, Se 
.
Teorema.
In ordine per la matrice MA aveva una matrice inversa 
, è necessario e sufficiente che la matrice MA non era degenerato. In questo caso, la matrice 
è determinato dalla formula
,
(1)
dove 
- complementi algebrici di elementi di matrice MA.
Prova. Sia la matrice MA ha una matrice inversa 
. Allora sono soddisfatte le condizioni che implicano . Dall'ultima uguaglianza otteniamo i determinanti 
e 
. Questi determinanti sono correlati dalla relazione 
. matrici MA e 
non degenerato, poiché i loro determinanti sono diversi da zero.
Ora lascia la matrice MA non degenerato. Dimostriamo che la matrice MA ha una matrice inversa 
ed è determinato dalla formula (1). Per questo, considera il lavoro
matrici MA e la matrice ad esso collegata DA.
Per la regola della moltiplicazione matriciale, l'elemento 
lavori 
matrici MA e DA ha la forma: . Poiché la somma dei prodotti degli elementi io-esima riga sui complementi algebrici degli elementi corrispondenti j-
la riga è zero a 
e il determinante a 
. Di conseguenza,
dove e- matrice identità P-esimo ordine. L'uguaglianza 
. In questo modo, 
, che significa che 
e matrice 
è l'inverso della matrice MA. Pertanto, la matrice non singolare MA ha una matrice inversa, determinata dalla formula (1).
Corollario 1
.
Determinanti di matrice MA e 
legati dal rapporto 
.
Conseguenza 2 . La proprietà principale della matrice associata DA alla matrice MA espresso
uguaglianze 
.
Corollario 3 . Determinante di una matrice non degenerata MA e la matrice ad esso collegata
DA vincolato dall'uguaglianza 
.
Il corollario 3 segue dall'uguaglianza 
e proprietà dei determinanti, secondo le quali, quando moltiplicato per P- la potenza di questo numero. In questo caso
da cui ne consegue 
.
Esempio. MA:
.
Soluzione. Determinante della matrice
diverso da zero. Pertanto, la matrice MA ha un rovescio. Per trovarlo, calcoliamo prima i complementi algebrici:
,
,
,
,
,
,
,
.
Ora, usando la formula (1), scriviamo la matrice inversa
.
4.8. Trasformazioni elementari su matrici. Algoritmo di Gauss.
Definizione
1.
Sotto trasformazioni elementari
matrice di dimensioni superiori 
comprendere i seguenti passaggi.
Moltiplicazione di qualsiasi riga (colonna) di una matrice per qualsiasi numero diverso da zero.
aggiunta a qualsiasi io-esima riga della matrice di una qualsiasi delle sue j- esima riga, moltiplicata per un numero arbitrario.
aggiunta a qualsiasi io-esima colonna di una matrice di una qualsiasi delle sue j- esima colonna moltiplicata per un numero arbitrario.
Permutazione di righe (colonne) di una matrice.
Definizione 2.
matrici MA e A chiameremo equivalente
,
se uno di essi può essere trasformato nell'altro mediante trasformazioni elementari. Scriverò 
.
L'equivalenza della matrice ha le seguenti proprietà:
Definizione 3 . fatto un passo chiamata matrice MA avente le seguenti proprietà:
1) se io-esima riga è zero, cioè consiste di soli zeri, quindi 
-anche la stringa è nulla;
2) se i primi elementi diversi da zero
io-esimo e 
-esima riga sono disposte in colonne con numeri K e l, poi 
.
Esempio. matrici
e 
sono a gradini e la matrice
non è un passo
Mostriamo come, utilizzando trasformazioni elementari, possiamo ridurre la matrice MA ad una vista a gradini.
Algoritmo di Gauss
.
Considera la matrice MA taglia 
. Senza perdita di generalità, possiamo presumerlo 
. (Se nella matrice MA c'è almeno un elemento diverso da zero, quindi scambiando le righe e poi le colonne, puoi assicurarti che questo elemento cada all'intersezione della prima riga e della prima colonna.) Aggiungiamo alla seconda riga della matrice MA prima moltiplicato per 
, alla terza riga - la prima, moltiplicata per 
eccetera.
Di conseguenza, otteniamo
.
Articoli recenti 
le linee sono definite dalle formule:
,
,
.
Considera la matrice
.
Se tutti gli elementi della matrice 
sono uguali a zero, quindi
e la matrice di passi equivalente. Se tra gli elementi della matrice 
almeno uno è diverso da zero, quindi possiamo presumere senza perdita di generalità che 
(questo può essere ottenuto riorganizzando le righe e le colonne della matrice 
). In questo caso, trasformando la matrice 
uguale alla matrice MA, noi abbiamo
rispettivamente,
.
Qui 
,
,
.
e 
,
,
… ,
. Nella matrice MA t righe e per ridurlo a una forma a gradini nel modo indicato, non ci vorrà più di t passi. Il processo potrebbe quindi terminare K-esimo passo se e solo se tutti gli elementi della matrice
sono uguali a zero. In questo caso
e 
,
,
… ,
.
4.9. Trovare la matrice inversa usando trasformazioni elementari.
Per una matrice grande, è conveniente trovare la matrice inversa usando trasformazioni elementari su matrici. Questo metodo è il seguente. Scrivi una matrice composita 
e secondo lo schema del metodo di Gauss, vengono eseguiti sulle righe di questa matrice (cioè contemporaneamente nella matrice MA e nella matrice e) trasformazioni elementari. Di conseguenza, la matrice MA si trasforma nella matrice identità e nella matrice e- in una matrice 
.
Esempio. Trova matrice inversa a matrice
.
Soluzione. Scriviamo una matrice composita 
e trasformarlo utilizzando trasformazioni di stringhe elementari secondo il metodo di Gauss. Di conseguenza, otteniamo:
.
Da queste trasformazioni deduciamo che
.
4.10 Classificazione della matrice.
Definizione.
Numero intero r chiamato rango
matrici MA, se ha un minore di ordine r, diverso da zero, e tutti i minori di ordine superiore r sono uguali a zero. Il rango di una matrice sarà indicato dal simbolo 
.
Il rango della matrice è calcolato dal metodo bordare i minori .
Esempio. Calcola il rango di una matrice usando il metodo marginale minore
.
Soluzione.
Il metodo sopra non è sempre conveniente, perché. associato al calcolo di un grande
il numero di determinanti.
Dichiarazione. Il rango di una matrice non cambia nelle trasformazioni elementari delle sue righe e colonne.
L'affermazione indicata indica il secondo modo per calcolare il rango di una matrice. È chiamato metodo delle trasformazioni elementari . Per trovare il rango di una matrice, è necessario portarla in una forma a gradini usando il metodo gaussiano, quindi selezionare il massimo minore diverso da zero. Spieghiamolo con un esempio.
Esempio. Usando le trasformazioni elementari, calcola il rango di una matrice
.
Soluzione. Eseguiamo una catena di trasformazioni elementari secondo il metodo di Gauss. Di conseguenza, otteniamo una catena di matrici equivalenti.
Definizione. Il prodotto di due matrici MA e A chiamata matrice DA, il cui elemento, situato all'intersezione io-esima riga e j-esima colonna, è uguale alla somma dei prodotti degli elementi io-esima riga della matrice MA sugli elementi corrispondenti (in ordine). j-esima colonna della matrice A.
Questa definizione implica la formula per l'elemento matrice C:
Prodotto a matrice MA alla matrice A indicato AB.
Esempio 1 Trova il prodotto di due matrici MA e B, Se
,
.
Soluzione. È conveniente trovare il prodotto di due matrici MA e A scrivi come in Fig. 2:
Nel diagramma, le frecce grigie mostrano gli elementi di quale riga della matrice MA sugli elementi di quale colonna della matrice A devi moltiplicare per ottenere gli elementi della matrice DA e i colori dell'elemento matrice C gli elementi corrispondenti delle matrici sono collegati UN e B, i cui prodotti vengono aggiunti per ottenere un elemento di matrice C.
Di conseguenza, otteniamo gli elementi del prodotto delle matrici:
Ora abbiamo tutto per scrivere il prodotto di due matrici:
.
Prodotto di due matrici AB ha senso solo quando il numero di colonne della matrice MA corrisponde al numero di righe della matrice A.
Questa importante funzione sarà più facile da ricordare se utilizzi più spesso i seguenti promemoria:
Ce n'è uno in più caratteristica importante prodotti di matrici rispetto al numero di righe e colonne:
Nel prodotto di matrici AB il numero di righe è uguale al numero di righe della matrice MA e il numero di colonne è uguale al numero di colonne della matrice A .
Esempio 2 Trova il numero di righe e colonne di una matrice C, che è il prodotto di due matrici UN e B le seguenti dimensioni:
a) 2 X 10 e 10 X 5;
b) 10 X 2 e 2 X 5;
Esempio 3 Trova prodotto di matrici UN e B, Se:
.
UN B- 2. Pertanto, la dimensione della matrice C = AB- 2X2.
Calcola gli elementi della matrice C = AB.
Prodotto trovato di matrici: .
Puoi controllare la soluzione di questo e altri problemi simili su calcolatore di prodotti a matrice online .
Esempio 5 Trova prodotto di matrici UN e B, Se:
.
Soluzione. Numero di righe nella matrice UN- 2, il numero di colonne nella matrice B C = AB- 2X1.
Calcola gli elementi della matrice C = AB.
Il prodotto delle matrici sarà scritto come matrice di colonne: .
Puoi controllare la soluzione di questo e altri problemi simili su calcolatore di prodotti a matrice online .
Esempio 6 Trova prodotto di matrici UN e B, Se:
.
Soluzione. Numero di righe nella matrice UN- 3, il numero di colonne nella matrice B- 3. Pertanto, la dimensione della matrice C = AB- 3X3.
Calcola gli elementi della matrice C = AB.
Prodotto trovato di matrici: 
.
Puoi controllare la soluzione di questo e altri problemi simili su calcolatore di prodotti a matrice online .
Esempio 7 Trova prodotto di matrici UN e B, Se:
.
Soluzione. Numero di righe nella matrice UN- 1, il numero di colonne nella matrice B- 1. Di conseguenza, la dimensione della matrice C = AB- 1 X 1.
Calcola l'elemento della matrice C = AB.
Il prodotto di matrici è una matrice di un elemento: .
Puoi controllare la soluzione di questo e altri problemi simili su calcolatore di prodotti a matrice online .
Implementazione software il prodotto di due matrici in C++ viene analizzato nell'articolo corrispondente nel blocco "Computer e programmazione".
Esponenziale di matriceElevare una matrice a una potenza è definita come moltiplicare una matrice per la stessa matrice. Poiché il prodotto delle matrici esiste solo quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice, solo le matrici quadrate possono essere elevate a potenza. n la potenza di una matrice moltiplicando la matrice per se stessa n una volta:
Esempio 8 Data una matrice. Trova UN² e UN³ .
Trova tu stesso il prodotto delle matrici e poi vedi la soluzione
Esempio 9 Data una matrice 
Trova il prodotto della matrice data e della matrice trasposta, il prodotto della matrice trasposta e della matrice data.
Proprietà del prodotto di due matriciProprietà 1. Il prodotto di una qualsiasi matrice A e della matrice identità E dell'ordine corrispondente sia a destra che a sinistra coincide con la matrice A, cioè AE = EA = A.
In altre parole, il ruolo della matrice identità nella moltiplicazione di matrici è lo stesso del ruolo delle unità nella moltiplicazione dei numeri.
Esempio 10 Assicurati che la proprietà 1 sia vera trovando i prodotti della matrice
alla matrice identità a destra e a sinistra.
Soluzione. Dal momento che la matrice MA contiene tre colonne, quindi è necessario trovare il prodotto AE, dove
-
la matrice identitaria del terzo ordine. Troviamo gli elementi del lavoro DA = AE :
Si scopre che AE = MA .
Ora troviamo il lavoro EA, dove eè la matrice identità del secondo ordine, poiché la matrice A contiene due righe. Troviamo gli elementi del lavoro DA = EA :
14. Il teorema sul determinante del prodotto di matrici.
Teorema:
Prova: Siano date matrici quadrate di ordine n. 
e 
. Basato sul teorema sul determinante di una matrice quasi triangolare ( 
) noi abbiamo: 
l'ordine di questa matrice è 2n. Senza modificare il determinante, eseguiamo le seguenti trasformazioni su una matrice di ordine 2n: aggiungi alla prima riga . Come risultato di tale trasformazione, le prime n posizioni della prima riga saranno tutte 0 e la seconda (nel secondo blocco) conterrà la somma dei prodotti della prima riga della matrice A e della prima colonna della matrice B. Dopo aver eseguito le stesse trasformazioni con 2 ... n righe, otteniamo la seguente uguaglianza: 
Per portare il determinante giusto in una forma quasi triangolare, scambiamo 1 e 1+ n colonne, 2 e 2+ n … n e 2 n colonne al suo interno. Di conseguenza, otteniamo l'uguaglianza: 
Commento:È chiaro che il teorema vale per qualsiasi numero finito di matrici. In particolare 
.
15. Il teorema sull'esistenza di una matrice inversa.
Definizione: Se una 
la matrice è chiamata non non singolare (non singolare). Se una 
quindi la matrice è detta degenerata (speciale).
Consideriamo una matrice quadrata arbitraria A. Dai complementi algebrici degli elementi di questa matrice, componiamo una matrice e la trasponiamo. Otteniamo la matrice C: 
la matrice C si dice attaccata rispetto alla matrice A. Calcolando il prodotto di A*C e B*C, otteniamo 
Di conseguenza 
, così 
Se 
.
Pertanto, l'esistenza di A -1 deriva dalla non singolarità della matrice A. D'altra parte, se A ha A -1 allora l'equazione della matrice AX=E è risolvibile. Di conseguenza 
e. Combinando i risultati ottenuti si ottiene l'affermazione:
Teorema: Una matrice quadrata su un campo P ha un inverso se e solo se non è singolare. Se la matrice inversa esiste, allora si trova con la formula: 
, dove C è la matrice associata.
Commento:
16. Determinazione del rango di una matrice. Il teorema minore di base e il suo corollario.
Definizione: Il k-esimo ordine minore di una matrice A è il k-esimo determinante di ordine con elementi che giacciono all'intersezione di qualsiasi k righe e qualsiasi k colonne.
Definizione: Viene chiamato il rango di una matrice A ordine più alto diversi da 0 minori di questa matrice. Indicato con r(A). chiaro 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
Definizione: Qualsiasi matrice minore diversa da 0 il cui ordine è uguale al rango della matrice è chiamata base minore di questa matrice. È chiaro che una matrice può avere più basi minori. Le colonne e le righe che formano le basi minori sono dette base.
Teorema: Nella matrice derivata A=(a i) m , n, ogni colonna è una combinazione lineare delle colonne di base in cui si trova la base minore (lo stesso per le righe).
Prova: Sia r(A)=r. Scegliamo un minore di base dalla matrice. Per semplicità, assumiamo che la base minore si trovi nell'angolo in alto a sinistra della matrice, cioè sulle prime r righe e sulle prime r colonne. Quindi la base minore Mr sarà simile a: 
. Dobbiamo dimostrare che qualsiasi colonna della matrice A è una combinazione lineare delle prime colonne di questa matrice in cui si trova la base minore, cioè, è necessario dimostrare che esistono numeri λ j tali che per ogni k-esima colonna della matrice A avviene l'uguaglianza: dove 
…
.
Aggiungiamo qualche k-esima colonna e s-esima riga al minore di base: 
perché se la riga aggiunta o
colonna sono tra le base quindi il determinante 
, come determinante con due righe identiche (colonne). Se viene aggiunta una riga (colonna), allora 
secondo la definizione del rango di una matrice. Espandi il determinante 
dagli elementi della riga inferiore, otteniamo: da qui otteniamo: 
dove λ 1 … λ r non dipendono dal numero S, perché E Sj non dipendono dagli elementi della S-esima riga aggiunta. L'uguaglianza (1) è l'uguaglianza di cui abbiamo bisogno (p.t.d.)
Conseguenza: Se A è una matrice quadrata e determinante A=0, una delle colonne della matrice è una combinazione lineare delle colonne rimanenti e una delle righe è una combinazione lineare delle righe rimanenti.
Prova: Se il determinante di una matriceA=0, allora il rango di questa matrice<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
Per [A] =0 è necessario e sufficiente che almeno una riga (colonna) sia una combinazione lineare delle sue altre righe (colonne).
Commento. L'operazione di moltiplicazione matriciale non è commutativa, cioè Infatti, se il prodotto AB esiste, allora BA potrebbe non esistere affatto a causa di una mancata corrispondenza delle dimensioni (vedi l'esempio precedente). Se esistono sia AB che BA, possono avere dimensioni diverse (se).
Per matrici quadrate dello stesso ordine, i prodotti AB e BA esistono e hanno la stessa dimensione, ma i loro elementi corrispondenti generalmente non sono uguali.
Tuttavia, in alcuni casi i prodotti AB e BA coincidono.
Si consideri il prodotto di una matrice quadrata A e di una matrice identità E dello stesso ordine:
Otteniamo lo stesso risultato per il prodotto EA. Quindi, per ogni matrice quadrata A AE = EA = A.
Matrice inversa.
Definizione 3.7. Una matrice quadrata A si dice degenerata se e non degenerata se.
Definizione 3.8. Una matrice quadrata B è chiamata inversa di una matrice quadrata A dello stesso ordine se AB = BA = E. In questo caso, B è indicato.
Consideriamo la condizione per l'esistenza di una matrice inversa a quella data e il metodo del suo calcolo.
Teorema 3.2. Perché la matrice inversa esista, è necessario e sufficiente che la matrice originale non sia singolare.
Prova.
1) Necessità: da allora (Teorema 3.1), quindi
2) Sufficienza: impostare la matrice nella seguente forma:
Quindi qualsiasi elemento del prodotto (o) che non giace sulla diagonale principale è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) della matrice A e delle addizioni algebriche agli elementi di un'altra colonna e , quindi, è uguale a 0 (come determinante con due colonne uguali). Gli elementi sulla diagonale principale sono uguali Quindi,
*=. Il teorema è stato dimostrato.
Commento. Formuliamo ancora una volta il metodo per calcolare la matrice inversa: i suoi elementi sono i complementi algebrici degli elementi della matrice trasposta A, divisi per il suo determinante.
Teorema. Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Allora il determinante del loro prodotto è uguale al prodotto dei determinanti, cioè
| AB | = | A| | B|.
< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n
(d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.
Se mostriamo che il determinante (d) (2n) è uguale al determinante della matrice C=AB, allora il teorema sarà dimostrato.
In (d) (2n) faremo le seguenti trasformazioni: a 1 riga aggiungiamo (n + 1) riga moltiplicata per a11; (n+2) stringa moltiplicata per a12, ecc. (2n) stringa moltiplicata per (a) (1n) . Nel determinante risultante, i primi n elementi della prima riga saranno zero e gli altri n elementi diventeranno così:
a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;
a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;
a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .
Allo stesso modo, otteniamo zeri in 2, ..., n righe del determinante (d) (2n) e gli ultimi n elementi in ciascuna di queste righe diventeranno gli elementi corrispondenti della matrice C. Di conseguenza, il determinante (d) (2n) si trasforma in un determinante uguale:
(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >
Conseguenza. Il determinante del prodotto di un numero finito di matrici quadrate è uguale al prodotto dei loro determinanti.
< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>
MATRICE INVERSA.
Sia A = (aij) (n x n) una matrice quadrata sul campo P.
Definizione 1. La matrice A sarà chiamata degenerata se il suo determinante è uguale a 0. La matrice A sarà chiamata non degenerata in caso contrario.
Definizione 2. Sia А н Pn. Una matrice B Î Pn sarà chiamata inversa ad A se AB = BA=E.
Teorema (criterio di invertibilità delle matrici) La matrice A è invertibile se e solo se non è degenerata.
< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.
Lascia, indietro, | A | ¹ 0. Dobbiamo mostrare che esiste una matrice B tale che AB = BA = E. Come B prendiamo la seguente matrice:
dove A ij è il complemento algebrico dell'elemento a ij . Quindi
Si noti che il risultato sarà una matrice identità (basta usare i corollari 1 e 2 del teorema di Laplace), cioè AB \u003d E. Allo stesso modo, viene mostrato che BA \u003d E. >
Esempio. Per la matrice A, trova la matrice inversa o dimostra che non esiste.
det A = -3 Þ esiste la matrice inversa. Consideriamo ora le addizioni algebriche.
A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6
A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3
A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1
Quindi, la matrice inversa è simile a: B = =
Algoritmo per trovare la matrice inversa di una matrice
1. Calcola il dettaglio A.
2. Se è uguale a 0, la matrice inversa non esiste. Se il dettaglio A non è uguale
0, consideriamo addizioni algebriche.
3. Mettiamo le addizioni algebriche nei posti appropriati.
4. Dividi tutti gli elementi della matrice risultante per il det A.
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI.
Definizione 1. Un'equazione della forma a1x1+ ....+an xn=b , dove a, ... ,an sono numeri; x1, ... ,xn sono incognite, è chiamata equazione lineare con n sconosciuto.
S equazioni con n sconosciuto è chiamato il sistema S equazioni lineari Insieme a n sconosciuto, cioè
(1)
La matrice A, composta dai coefficienti delle incognite del sistema (1), è chiamata matrice del sistema (1). .
Se aggiungiamo una colonna di termini liberi alla matrice A, otteniamo la matrice estesa del sistema (1).
X = - colonna di incognite. - colonna dei membri liberi.
In forma matriciale, il sistema ha la forma: AX=B (2).
La soluzione del sistema (1) è l'insieme ordinato n numeri (α1 ,…, αn) tali che se sostituiamo in (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , allora otteniamo identità numeriche.
Definizione 2. Il sistema (1) si dice consistente se ha soluzioni, e incoerente in caso contrario.
Definizione 3. Due sistemi si dicono equivalenti se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi.
Esiste un modo universale per risolvere il sistema (1) - il metodo di Gauss (il metodo di eliminazione successiva delle incognite)
Consideriamo più in dettaglio il caso quando s = n. Esiste un metodo Cramer per risolvere tali sistemi.
Sia d = det ,
dj - il determinante di d, in cui la j-esima colonna è sostituita da una colonna di membri liberi.
REGOLA DI CRAMER
Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è d ¹ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione ottenuta dalle formule:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
e si consideri l'equazione AX = B (2) con matrice di colonne incognita X. Poiché A, X, B sono matrici di dimensioni n x n, n x 1, n x 1 di conseguenza, il prodotto delle matrici rettangolari AX è definito e ha le stesse dimensioni della matrice B. Pertanto, l'equazione (2) ha senso.
La connessione tra il sistema (1) e l'equazione (2) è qual è la soluzione di questo sistema se e solo se
la colonna è la soluzione dell'equazione (2).
In effetti, questa affermazione significa che l'uguaglianza
L'ultima uguaglianza, come uguaglianza di matrici, è equivalente al sistema delle uguaglianze
il che significa che è una soluzione per il sistema (1).
Pertanto, la soluzione del sistema (1) è ridotta alla soluzione dell'equazione matriciale (2). Poiché il determinante d della matrice A è diverso da zero, ha una matrice A -1 inversa. Allora AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) In z X = A(^-1)B (3). Pertanto, se l'equazione (2) ha una soluzione, allora è data dalla formula (3). D'altra parte, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.
Pertanto, X \u003d A (^-1) B è l'unica soluzione all'equazione (2).
Perché ,
dove A ij è il complemento algebrico dell'elemento a ij nel determinante d, allora
donde (4).
Nell'uguaglianza (4) tra parentesi si scrive l'espansione per elementi della j-esima colonna del determinante dj, che si ottiene dal determinante d dopo la sostituzione in essa
j-esima colonna da una colonna di membri liberi. Ecco perchè, xj = dj/ d.>
Conseguenza. Se una sistema omogeneo n equazioni lineari da n di incognite ha una soluzione diversa da zero, quindi il determinante di questo sistema è uguale a zero.