Le trasformazioni di matrici elementari includono:

1. Modifica dell'ordine delle righe (colonne).

2. Eliminazione di zero righe (colonne).

3. Moltiplicazione di elementi di qualsiasi riga (colonna) per un numero.

4. Sommando agli elementi di una qualsiasi riga (colonna) gli elementi di un'altra riga (colonna), moltiplicati per un numero.

Sistemi di equazioni algebriche lineari slu (Concetti e definizioni di base).

1. Sistema m equazioni lineari Insieme a n sconosciuto è chiamato sistema di equazioni della forma:

2.Decisione sistema di equazioni (1) è chiamato insieme di numeri X 1 , X 2 , … , X n , convertire ogni equazione del sistema in un'identità.

3. Viene chiamato il sistema di equazioni (1). giunto se ha almeno una soluzione; se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

4. Viene chiamato il sistema di equazioni (1). certo se ha una sola soluzione, e incerto se ha più di una soluzione.

5. Per effetto di trasformazioni elementari, il sistema (1) si trasforma in un sistema ad esso equivalente (cioè avente lo stesso insieme di soluzioni).

Alle trasformazioni elementari i sistemi di equazioni lineari includono:

1. Eliminazione di stringhe nulle.

2. Modifica dell'ordine delle righe.

3. Aggiunta agli elementi di qualsiasi riga degli elementi di un'altra riga, moltiplicati per un numero.

Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

1) Metodo della matrice inversa (metodo della matrice) per la risoluzione di sistemi di n equazioni lineari con n incognite.

sistema n equazioni lineari con n sconosciuto è chiamato sistema di equazioni della forma:

Scriviamo il sistema (2) in forma matriciale, per questo introduciamo la notazione.

Matrice dei coefficienti prima delle variabili:

X = ‒ matrice di variabili.

B = è la matrice dei termini liberi.

Quindi il sistema (2) assumerà la forma:

UN× X = B‒ equazione matriciale.

Risolvendo l'equazione, otteniamo:

X = UN -1 × B

Esempio:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 esiste la matrice A -1.

3)

à =

4) LA -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Risposta:

2) Regola di Cramer per la risoluzione di sistemi di n - equazioni lineari con n - incognite.

Considera un sistema di 2 - x equazioni lineari con 2 - incognite:

Risolviamo questo sistema usando il metodo di sostituzione:

Dalla prima equazione segue:

Sostituendo nella seconda equazione, otteniamo:

Sostituiamo il valore nella formula per, otteniamo:

Determinante Δ - determinante della matrice del sistema;

Δ X 1 - determinante variabile X 1 ;

Δ X 2 - determinante variabile X 2 ;

Formule:

X 1 =;X 2 =;…,X n = ;Δ  0;

sono chiamati Le formule di Cramer.

Quando si trovano determinanti di incognite X 1 , X 2 ,…, X n la colonna dei coefficienti della variabile di cui si trova il determinante è sostituita da una colonna dei termini liberi.

Esempio: Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer

Soluzione:

Innanzitutto, componiamo e calcoliamo il determinante principale di questo sistema:

Poiché Δ ≠ 0, il sistema ha una soluzione unica che può essere trovata utilizzando la regola di Cramer:

dove Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 si ottengono dal determinante Δ sostituendo rispettivamente la 1a, 2a o 3a colonna con la colonna dei termini liberi.

In questo modo:

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Considera il sistema:

La matrice estesa del sistema (1) è una matrice della forma:

Metodo Gaussè un metodo di eliminazione successiva di incognite dalle equazioni del sistema, a partire dalla seconda equazione in poi m- quell'equazione.

In questo caso, per trasformazioni elementari, la matrice del sistema si riduce ad una triangolare (se m = n e determinante di sistema ≠ 0) o graduale (se m< n ) modulo.

Quindi, partendo dall'ultima equazione per numero, si trovano tutte le incognite.

Algoritmo del metodo di Gauss:

1) Compilare una matrice espansa del sistema, inclusa una colonna di membri liberi.

2) Se un 11  0, quindi dividiamo la prima riga per un 11 e moltiplicare per (- un 21) e aggiungere la seconda riga. Allo stesso modo, raggiungi m-di quella riga:

Divido pagina per un 11 e moltiplicare per (- un m 1) e aggiungi m- quella pagina

In questo caso, dalle equazioni, a partire dalla seconda a m- ovvero la variabile verrà esclusa X 1 .

3) Al 3° passo, la seconda riga è usata per simili trasformazioni elementari di stringhe dalla 3a alla m- tu. Questo rimuoverà la variabile X 2, a partire dalla 3a riga in basso m- tuia, ecc.

Come risultato di queste trasformazioni, il sistema sarà ridotto a una forma triangolare oa gradini (nel caso di una forma triangolare, ci sono degli zeri sotto la diagonale principale).

Viene chiamato il portare un sistema a una forma triangolare o a gradini metodo di Gauss diretto, e viene chiamata la ricerca di incognite dal sistema risultante indietro.

Esempio:

Mossa diretta. Presentiamo la matrice aumentata del sistema

con l'aiuto di trasformazioni elementari alla forma graduale. Scambia la prima e la seconda riga della matrice UN b otteniamo la matrice:

Aggiungiamo la seconda riga della matrice risultante con la prima moltiplicata per (‒2) e la sua terza riga con la prima riga moltiplicata per (‒7). Ottieni la matrice

Alla terza riga della matrice risultante, aggiungiamo la seconda riga moltiplicata per (‒3), di conseguenza otteniamo una matrice a gradini

Pertanto, abbiamo ridotto questo sistema di equazioni a una forma graduale:

,

Mossa inversa. Partendo dall'ultima equazione del sistema di equazioni graduale ottenuto, troviamo successivamente i valori delle incognite:

§7. Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equilibrio. Trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari.

Permettere DA- campo numeri complessi. Digita equazione

dove
, è chiamata equazione lineare con n sconosciuto
. insieme ordinato
,
è chiamata soluzione dell'equazione (1) se .

sistema m equazioni lineari con n sconosciuto è un sistema di equazioni della forma:

- coefficienti del sistema di equazioni lineari, - membri gratuiti.

tavolo rettangolare

,

chiamata matrice delle dimensioni
. Introduciamo la notazione: - io-esima riga della matrice,
- K-esima colonna della matrice. Matrice MA anche denotare
o
.

Le seguenti trasformazioni di riga di matrice MA sono detti elementari.
) eccezione di stringa nulla; ) moltiplicando tutti gli elementi di qualsiasi stringa per un numero
; ) somma a qualsiasi stringa di qualsiasi altra stringa, moltiplicata per
. Trasformazioni di colonne di matrice simili MA sono dette trasformazioni matriciali elementari MA.

Primo elemento diverso da zero (contando da sinistra a destra) di qualsiasi riga della matrice MAè chiamato l'elemento principale di questa stringa.

Definizione. Matrice
si chiama stepwise se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1) zero righe della matrice (se presenti) sono inferiori a quelle diverse da zero;

2) se
gli elementi guida delle righe della matrice, quindi

Qualsiasi matrice A diversa da zero può essere ridotta a una matrice a passi mediante trasformazioni elementari di riga.

Esempio. Presentiamo la matrice
alla matrice dei passi:
~
~
.

Matrice composta dai coefficienti del sistema equazioni lineari (2) è chiamata matrice principale del sistema. Matrice
, ottenuta dall'addizione di una colonna di termini liberi, è chiamata matrice aumentata del sistema.

Un insieme ordinato è chiamato soluzione del sistema di equazioni lineari (2) se è una soluzione di ciascuna equazione lineare di questo sistema.

Un sistema di equazioni lineari si dice consistente se ha almeno una soluzione e incoerente se non ha soluzioni.

Un sistema di equazioni lineari si dice definito se ha una soluzione unica e indefinito se ha più di una soluzione.

Le seguenti trasformazioni di un sistema di equazioni lineari sono dette elementari:

) esclusione dal sistema di equazioni del modulo ;

) moltiplicazione di entrambi i membri di qualsiasi equazione per
,
;

) somma a qualsiasi equazione di qualsiasi altra equazione, moltiplicata per ,.

Due sistemi di equazioni lineari da n le incognite si dicono equivalenti se non sono compatibili o se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi.

Teorema. Se un sistema di equazioni lineari è ottenuto da un altro mediante trasformazioni elementari del tipo ), ), ), allora è equivalente a quello originario.

Risolvere un sistema di equazioni lineari con il metodo dell'eliminazione delle incognite (con il metodo di Gauss).

Lascia che il sistema m equazioni lineari con n sconosciuto:

Se il sistema (1) contiene un'equazione della forma

allora questo sistema è incoerente.

Assumiamo che il sistema (1) non contenga un'equazione della forma (2). Sia nel sistema (1) il coefficiente della variabile X 1 nella prima equazione
(se questo non è il caso, riorganizzando le equazioni in alcuni punti lo otterremo, poiché non tutti i coefficienti a X 1 sono uguali a zero). Applichiamo la seguente catena di trasformazioni elementari al sistema di equazioni lineari (1):

, aggiungi alla seconda equazione;

La prima equazione moltiplicata per
, aggiungi alla terza equazione e così via;

La prima equazione moltiplicata per
, aggiungi all'ultima equazione del sistema.

Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni lineari (nel seguito useremo l'abbreviazione CLE per un sistema di equazioni lineari) equivalente al sistema (1). Potrebbe risultare che nel sistema risultante, non una singola equazione con il numero io, io 2, non contiene sconosciuto X 2. Permettere Kè il minimo numero naturale, che è sconosciuto X Kè contenuto in almeno un'equazione con il numero io, io 2. Quindi il sistema di equazioni risultante ha la forma:

Il sistema (3) è equivalente al sistema (1). Applicare ora al sottosistema
sistemi di equazioni lineari (3) ragionamento che è stato applicato a SLE (1) . E così via. Come risultato di questo processo, arriviamo a uno dei due risultati.

1. Otteniamo un SLE contenente un'equazione della forma (2). In questo caso, SLE (1) è incoerente.

2. Le trasformazioni elementari applicate al SLE (1) non portano a un sistema contenente un'equazione della forma (2). In questo caso, SLE (1) per trasformazioni elementari
si riduce ad un sistema di equazioni della forma:

(4)

dove, 1< K < l < . . .< S,

Il sistema di equazioni lineari della forma (4) è detto stepwise. Qui sono possibili i due casi seguenti.

MA) r= n, allora il sistema (4) ha la forma

(5)

Il sistema (5) ha una soluzione unica. Di conseguenza, anche il sistema (1) ha una soluzione unica.

B) r< n. In questo caso, l'ignoto
nel sistema (4) sono dette le principali incognite, e le restanti incognite in questo sistema sono dette libere (il loro numero è uguale a n- r). Assegniamo valori numerici arbitrari alle incognite libere, quindi SLE (4) avrà la stessa forma del sistema (5). Da esso, le principali incognite sono determinate in modo univoco. Quindi, il sistema ha una soluzione, cioè è unito. Poiché alle incognite libere sono stati dati valori numerici arbitrari da DA, allora il sistema (4) è indefinito. Di conseguenza, anche il sistema (1) è indefinito. Esprimendo in SLE (4) le principali incognite in termini di incognite libere, otteniamo un sistema chiamato soluzione generale del sistema (1).

Esempio. Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo G aussa

Scriviamo la matrice estesa del sistema di equazioni lineari e, mediante trasformazioni elementari di riga, la riduciamo a una matrice a passi:

~

~
~
~

~. Utilizzando la matrice risultante, ripristiniamo il sistema di equazioni lineari:
Questo sistema è equivalente al sistema originale. Come le principali incognite, prendiamo quindi
sconosciuti liberi. Esprimiamo le principali incognite solo nei termini delle incognite libere:

Abbiamo ottenuto la soluzione generale del SLE. Lascia allora

(5, 0, -5, 0, 1) è una soluzione particolare del SLE.

Compiti per soluzione indipendente

1. Trova una soluzione generale e una soluzione particolare di un sistema di equazioni eliminando le incognite:

1)
2)

4)
6)

2. Trova a diversi valori di parametro un soluzione generale del sistema di equazioni:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§otto. Spazi vettoriali

Il concetto di spazio vettoriale. Le proprietà più semplici.

Permettere V ≠ Ø, ( F, +,∙) – campo. Gli elementi del campo saranno chiamati scalari.

Schermo φ : F× V –> Vè chiamata operazione di moltiplicazione degli elementi di un insieme V a scalari dal campo F. Denota φ (λ,a) attraverso λа prodotto dell'elemento un ad uno scalare λ .

Definizione. Molti V con una data operazione algebrica di somma degli elementi dell'insieme V e moltiplicazione degli elementi dell'insieme V a scalari dal campo Fè chiamato spazio vettoriale su un campo F se valgono i seguenti assiomi:

Esempio. Permettere F campo, F n = {(un 1 , un 2 , … , un n) | un io F (io=)). Ogni elemento del set F n chiamato n vettore aritmetico -dimensionale. Introduciamo l'operazione di addizione n-vettori dimensionali e moltiplicazione n-dimensionale da vettore a scalare dal campo F. Permettere
. Mettiamo = ( un 1 + b 1 , … , un n + b n), = (λ un 1, λ un 2 , … , λ un n). Molti F n rispetto alle operazioni introdotte è uno spazio vettoriale, e viene chiamato n spazio vettoriale aritmetico -dimensionale sul campo F.

Permettere V- spazio vettoriale sul campo F, ,
. Si svolgono le seguenti proprietà:

1)
;

3)
;

4)
;

Prova di proprietà 3.

Dall'uguaglianza secondo la legge di riduzione nel gruppo ( V,+) abbiamo
.

Dipendenza lineare, indipendenza di sistemi di vettori.

Permettere Vè lo spazio vettoriale sul campo F,

. Il vettore viene chiamato combinazione lineare sistemi vettoriali
. Viene chiamato l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un sistema di vettori guscio lineare di questo sistema di vettori ed è indicato con .

Definizione. Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se esistono tali scalari
non tutti uguali a zero, che

Se l'uguaglianza (1) vale se e solo se λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, allora il sistema dei vettori è detto linearmente indipendente.

Esempio. Scopri se il sistema dei vettori = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) spazi R 3 linearmente dipendente o indipendente.

Soluzione. Sia λ 1 , λ 2 , λ 3
e

 |=> (0,0,0) – soluzione del sistema. Pertanto, il sistema dei vettori è linearmente indipendente.

Proprietà dipendenza lineare e indipendenza del sistema di vettori.

1. Il sistema di vettori contenente almeno un vettore zero è linearmente dipendente.

2. Un sistema di vettori contenente un sottosistema linearmente dipendente è linearmente dipendente.

3. Sistema di vettori, dove
è linearmente dipendente se e solo se almeno un vettore di questo sistema diverso dal vettore è una combinazione lineare dei vettori che lo precedono.

4. Se il sistema dei vettori è linearmente indipendente, e il sistema dei vettori
linearmente dipendente, quindi il vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare di vettori e, inoltre, in modo unico.

Prova. Poiché il sistema dei vettori è linearmente dipendente, allora
non tutti uguali a zero, che

In uguaglianza vettoriale (2) λ m+1 ≠ 0. Supponendo che λ m+1 =0, quindi da (2) => Ne consegue che il sistema dei vettori è linearmente dipendente, poiché λ 1 , λ 2 , … , λ m non tutti sono zero. Siamo arrivati ​​a una contraddizione con la condizione. Da (1) => dove
.

Lascia che il vettore possa anche essere rappresentato come: Quindi dall'uguaglianza del vettore
in virtù di indipendenza lineare sistema di vettori ne consegue che
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Siano due sistemi di vettori e
, m>K. Se ogni vettore del sistema di vettori può essere rappresentato come una combinazione lineare del sistema di vettori, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Base, rango del sistema di vettori.

Un sistema finito di vettori spaziali V sul campo F denotare con S.

Definizione. Qualsiasi sottosistema linearmente indipendente del sistema di vettori Sè chiamata base del sistema dei vettori S, se qualsiasi vettore del sistema S può essere rappresentato come una combinazione lineare di un sistema di vettori.

Esempio. Trova le basi di un sistema di vettori = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Il sistema dei vettori è linearmente indipendente, poiché, secondo la proprietà 5, il sistema dei vettori è ottenuto dal sistema dei vettori. indennità basi elettromeccanotronica: educativoindennità basi ingegnere elettrico"; ...

Letteratura educativa 2000-2008 (1)

Letteratura

Matematica Matematica Lobkova N.I. Nozioni di base lineare algebra e geometria analitica: educativoindennità/ NI Lobkova, MV Lagunova ... progettando per basi elettromeccanotronica: educativoindennità/PGUP. Dipartimento. "Teorico basi ingegnere elettrico"; ...

Definizione 5. Trasformazioni elementari sistema di equazioni lineari sono chiamati le sue seguenti trasformazioni:

1) permutazione di due equazioni qualsiasi in luoghi;

2) moltiplicazione di entrambe le parti di un'equazione per qualsiasi numero;

3) sommando ad entrambe le parti di un'equazione le parti corrispondenti dell'altra equazione, moltiplicate per qualsiasi numero K;

(mentre tutte le altre equazioni rimangono invariate).

Equazione Zero chiamiamo la seguente equazione:

Teorema 1. Qualsiasi sequenza finita di trasformazioni elementari e la trasformazione di cancellazione dell'equazione zero trasforma un sistema di equazioni lineari in un altro sistema di equazioni lineari equivalente ad esso.

Prova. Per la proprietà 4 del comma precedente, basta dimostrare separatamente il teorema per ciascuna trasformazione.

1. Quando le equazioni nel sistema vengono riorganizzate, le equazioni stesse non cambiano, quindi, per definizione, il sistema risultante è equivalente a quello originale.

2. In virtù della prima parte della dimostrazione, basta provare l'asserzione per la prima equazione. Moltiplichiamo la prima equazione del sistema (1) per il numero , otteniamo il sistema

(2)

Permettere  sistemi (1) . Allora i numeri soddisfano tutte le equazioni del sistema (1). Poiché tutte le equazioni del sistema (2) tranne la prima coincidono con le equazioni del sistema (1), i numeri soddisfano tutte queste equazioni. Poiché i numeri soddisfano la prima equazione del sistema (1), si verifica la corretta uguaglianza numerica:

Moltiplicandolo per un numero K, otteniamo la corretta uguaglianza numerica:

Quella. lo stabiliamo  sistemi (2).

Viceversa, se soluzione del sistema (2), allora i numeri soddisfano tutte le equazioni del sistema (2). Poiché tutte le equazioni del sistema (1) tranne la prima coincidono con le equazioni del sistema (2), i numeri soddisfano tutte queste equazioni. Poiché i numeri soddisfano la prima equazione del sistema (2), vale l'uguaglianza numerica (4). Dividendo entrambe le sue parti per il numero , otteniamo l'uguaglianza numerica (3) e la dimostriamo  soluzione del sistema (1).

Quindi, per la definizione 4, il sistema (1) è equivalente al sistema (2).

3. In virtù della prima parte della dimostrazione, basta provare l'asserzione per la prima e la seconda equazione del sistema. Aggiungiamo ad entrambe le parti della prima equazione del sistema le parti corrispondenti della seconda moltiplicate per il numero K, otteniamo il sistema

(5)

Permettere soluzione del sistema (1) . Allora i numeri soddisfano tutte le equazioni del sistema (1). Poiché tutte le equazioni del sistema (5) tranne la prima coincidono con le equazioni del sistema (1), i numeri soddisfano tutte queste equazioni. Poiché i numeri soddisfano la prima equazione del sistema (1), si verificano le uguaglianze numeriche corrette:

Sommando termine per termine alla prima uguaglianza la seconda, moltiplicata per il numero K otteniamo la corretta uguaglianza numerica.

Due sistemi di equazioni lineari da un insieme x 1 ,..., x n di incognite e, rispettivamente, da equazioni m e p

Sono detti equivalenti se la loro soluzione insiemi e coincidono (cioè, i sottoinsiemi e in K n coincidono, ). Ciò significa che o sono entrambi sottoinsiemi vuoti (cioè entrambi i sistemi (I) e (II) sono incoerenti) o sono simultaneamente non vuoti e (cioè ogni soluzione del sistema I è una soluzione del sistema II e ogni soluzione sistema II è una soluzione per il sistema I).

Esempio 3.2.1.

Metodo Gauss

Il piano dell'algoritmo proposto da Gauss era abbastanza semplice:

1. applichiamo trasformazioni sequenziali al sistema di equazioni lineari che non modifichino l'insieme delle soluzioni (salviamo così l'insieme delle soluzioni del sistema originario), e andiamo a un sistema equivalente che abbia una "forma semplice" (il cosiddetto passo modulo);
2. per " forma semplice"di un sistema (con matrice a passi) descrivono un insieme di soluzioni che coincide con l'insieme di soluzioni del sistema originale.

Si noti che il metodo strettamente correlato "fan-chen" era già noto nell'antica matematica cinese.

Trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari (righe di matrici)

Definizione 3.4.1 (conversione elementare di tipo 1). Quando la i -esima equazione del sistema viene aggiunta alla k -esima equazione moltiplicata per il numero (notazione: (i) "= (i) + c (k) ; cioè solo una i -esima equazione (i) viene sostituita da una nuova equazione (i)"=(i)+c(k) ). La nuova i-esima equazione ha la forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k, o, brevemente,

Cioè, nella nuova i-esima equazione a ij "=a ij +ca kj, b i"=b io + cb k.

Definizione 3.4.2 (conversione elementare di tipo 2). Per i -esima e k -esima equazione sono scambiate, le restanti equazioni non cambiano (notazione: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; per i coefficienti ciò significa quanto segue: per j=1 ,.. .,n

Osservazione 3.4.3. Per comodità, in calcoli specifici, si può applicare una trasformazione elementare del 3° tipo: la i -esima equazione viene moltiplicata per un numero diverso da zero , (i)"=c(i) .

Proposta 3.4.4. Se si passa dal sistema I al sistema II con l'ausilio di un numero finito di trasformazioni elementari di 1° e 2° tipo, allora dal sistema II possiamo tornare al sistema I anche per trasformazioni elementari di 1° e 2° tipo.

Prova.

Osservazione 3.4.5. L'affermazione è vera anche con l'inclusione di una trasformazione elementare del 3° tipo nel numero delle trasformazioni elementari. Se una e (i)"=c(i) , allora e (i)=c -1 (i)".

Teorema 3.4.6.Dopo l'applicazione successiva di un numero finito di trasformazioni elementari di 1° o 2° tipo ad un sistema di equazioni lineari, si ottiene un sistema di equazioni lineari equivalente a quello originario.

Prova. Si noti che è sufficiente considerare il caso del passaggio dal sistema I al sistema II con l'ausilio di una trasformazione elementare e dimostrare l'inclusione per gli insiemi di soluzioni (poiché, in virtù della proposizione dimostrata, è possibile tornare dal sistema II al sistema I e quindi avremo l'inclusione , cioè sarà provata l'uguaglianza).

Di seguito consideriamo i sistemi di equazioni lineari nel campo delle variabili ESTESO. Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se ciascuna soluzione di uno di questi sistemi è una soluzione dell'altro sistema.

Le seguenti frasi esprimono le proprietà di equivalenza, che derivano dalla definizione di equivalenza e le proprietà di successione dei sistemi sopra annotate.

PROPOSTA 2.2. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se ciascuno di questi sistemi è una conseguenza dell'altro sistema.

PROPOSTA 2.3. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se l'insieme di tutte le soluzioni di un sistema coincide con l'insieme di tutte le soluzioni dell'altro sistema.

PROPOSTA 2.4. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se i predicati definiti da questi sistemi sono equivalenti.

DEFINIZIONE. Le seguenti trasformazioni sono dette trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari:

(a) moltiplicazione di entrambi i membri di una qualche equazione del sistema per uno scalare diverso da zero;

(P) addizione (sottrazione) ad entrambe le parti di qualsiasi equazione del sistema delle parti corrispondenti di un'altra equazione del sistema, moltiplicata per uno scalare;

Esclusione dal sistema o aggiunta al sistema di un'equazione lineare a coefficienti nulli e membro libero zero.

TEOREMA 2.5. Se un sistema di equazioni lineari è ottenuto da un altro sistema di equazioni lineari come risultato di una catena di trasformazioni elementari, allora questi due sistemi sono equivalenti.

Prova. Lascia che il sistema

Se moltiplichiamo una delle sue equazioni, ad esempio la prima, per un X scalare diverso da zero, otteniamo il sistema

Ogni soluzione del sistema (1) è anche una soluzione del sistema (2).

Al contrario, se è una soluzione del sistema (2),

quindi, moltiplicando la prima uguaglianza per e senza modificare le uguaglianze successive, otteniamo uguaglianze che mostrano che il vettore è una soluzione del sistema (1). Pertanto, il sistema (2) è equivalente al sistema originale (1). È anche facile verificare che una singola applicazione della trasformazione elementare (P) o del sistema (1) porta ad un sistema equivalente al sistema originario (1). Poiché la relazione di equivalenza è transitiva, l'applicazione ripetuta di trasformazioni elementari porta a un sistema di equazioni equivalente al sistema originario (1).

COROLLARIO 2.6. Se aggiungiamo una combinazione lineare di altre equazioni del sistema a una delle equazioni del sistema di equazioni lineari, otteniamo un sistema di equazioni equivalente a quello originale.

COROLLARIO 2.7. Se escludiamo dal sistema di equazioni lineari o vi aggiungiamo un'equazione che è una combinazione lineare di altre equazioni del sistema, otteniamo un sistema di equazioni equivalente al sistema originale.