Sistema equazioni lineari ha la forma
dove - coefficienti; - membri liberi; sono quantità sconosciute.
La soluzione di questo sistema è un insieme di numeri che, sostituiti alle incognite nelle equazioni, trasformano queste equazioni in identità. Un sistema di equazioni si dice consistente se ha almeno una soluzione. Se il sistema non ha soluzione, viene chiamato incoerente.
Un sistema articolare si dice definito se ha una sola soluzione e indefinito se ne ha più di una.
sono chiamati rispettivamente matrice e matrice estesa del sistema (2).
Il teorema di Kronecker-Capelli. Perché il sistema (2) sia compatibile, è necessario e sufficiente che il rango della matrice di questo sistema sia uguale al rango della matrice estesa:
La regola di Cramer. Se il rango della matrice del sistema articolare è uguale al numero le sue incognite, allora il sistema è definito. Se il numero di incognite nel sistema (2) coincide con il numero di equazioni e la matrice del sistema non è degenerata, allora il sistema ha un'unica soluzione, che si trova secondo la regola di Cramer:
In queste formule, è il determinante del sistema, ed è il determinante ottenuto dal determinante del sistema sostituendo la colonna con una colonna di membri liberi
Soluzione matriciale del sistema. Il sistema di equazioni lineari (2) può essere scritto in forma matriciale
dove A è la matrice del sistema; X - matrice di colonne di incognite; B - colonna matrice di membri liberi. Se la matrice A è quadrata e non singolare, la soluzione del sistema (3) può essere scritta in forma matriciale:
Sistemi di equazioni equivalenti. Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se gli insiemi delle loro soluzioni sono gli stessi. Trovare soluzioni a un sistema di equazioni lineari si basa sul passaggio a un sistema equivalente più semplice di quello originale. Indichiamo le operazioni più semplici che portano ad un sistema equivalente:
1) scambiare due equazioni nel sistema;
2) moltiplicazione di qualsiasi equazione del sistema per numero reale(diverso da zero);
3) sommando a un'equazione un'altra equazione, moltiplicata per un numero arbitrario.
Un'incognita si dice risolta o di base se una qualsiasi equazione del sistema la contiene con un coefficiente di 1 e non è inclusa in tutte le altre equazioni.
Se ogni equazione del sistema contiene un'incognita risolta, allora tale sistema è chiamato risolto. Le sue incognite, che non sono basilari, sono chiamate libere.
Per trovare tutte le soluzioni di un sistema coerente di equazioni lineari, è sufficiente trovare un sistema consentito equivalente. Se tutte le incognite risultano essere basilari, allora il sistema risolto fornisce i valori di queste incognite, che costituiscono l'unica soluzione del sistema originario. Altrimenti, le incognite di base sono espresse in termini di quelle libere.
Metodo Jordan-Gauss. Scriviamo il sistema di equazioni lineari (2) sotto forma di tabella
La trasformata di Jordan di un sistema con un elemento risolutivo è la seguente sequenza di azioni:
1) moltiplicando una riga della tabella per un numero;
2) sommando alla prima riga della tabella la sua riga (ottenuta dopo la prima azione), moltiplicata per -
3) sommando alla seconda riga la riga moltiplicata per -, ecc.
Dopo queste trasformazioni, l'incognita verrà risolta, tutti i coefficienti della colonna saranno uguali a zero, tranne
Effettuando trasformazioni di Jordan consecutive con elementi risolutivi presi in righe diverse, otteniamo un sistema consentito equivalente a quello originario.
Se, a seguito di trasformazioni, tutti i coefficienti per le incognite in una riga risultano uguali a zero e il termine libero di questa riga non è uguale a zero, allora questo sistema di equazioni è incoerente. Se ottieni una stringa composta solo da zeri, viene eliminata dalla tabella.
Esempio 1. Risolvi un sistema di equazioni
Decisione. Scriviamo questo sistema sotto forma di tabella e lo trasformiamo nella forma consentita in sei passaggi.
Sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma
dove aij e b io (io=1,…,m; b=1,…,n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,x n- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo jè il numero dell'incognita a cui sta questo coefficiente.
I coefficienti per le incognite saranno scritti sotto forma di una matrice 
, che chiameremo matrice di sistema.
I numeri a destra delle equazioni b 1 ,…,b m chiamata membri liberi.
Aggregato n numeri c 1 ,…,c n chiamata decisione di questo sistema, se ogni equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito i numeri in essa c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x 1 ,…,x n.
Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:
Viene chiamato un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione giunto. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.
Considera i modi per trovare soluzioni al sistema.
METODO MATRICE PER LA RISOLVENZA DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni con tre incognite:
Considera la matrice del sistema 
e colonne di matrice di membri sconosciuti e liberi 
Troviamo il prodotto
quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi utilizzando la definizione di uguaglianza di matrici questo sistema può essere scritto nel modulo
o più breve UN∙X=B.
Qui matrici UN e B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.
Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Nella misura in cui LA -1 LA = E e e∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione matriciale nella forma X = LA -1 B .
Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, allora il metodo matriciale può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Tuttavia, la notazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non è quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = LA -1 B.
Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.
REGOLA DI CRAMER
Consideriamo un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:
Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti a incognite,
chiamata determinante del sistema.
Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo successivamente 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di termini liberi
Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.
Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una e una sola soluzione, e
Prova. Quindi, considera un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico A 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3a - su A 31:
Aggiungiamo queste equazioni:
Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Per il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna
Allo stesso modo, si può dimostrare che e .
Alla fine, è facile vederlo 
Quindi, otteniamo l'uguaglianza: .
Quindi, .
Le uguaglianze e sono derivate similmente, da cui segue l'asserzione del teorema.
Pertanto, notiamo che se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema ha un insieme infinito di soluzioni o non ha soluzioni, cioè incompatibile.
Esempi. Risolvi un sistema di equazioni
METODO DI GAUSS
I metodi precedentemente considerati possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con un numero qualsiasi di equazioni. Consiste nella successiva eliminazione di incognite dalle equazioni del sistema.
Considera di nuovo il sistema tre equazioni con tre incognite:
.
Lasciamo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escludiamo i termini contenenti x 1. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per un 21 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungi con la prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione in un 31 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originario assumerà la forma:
Ora, dall'ultima equazione, eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per , moltiplica per e aggiungila alla seconda. Avremo quindi un sistema di equazioni:
Quindi dall'ultima equazione è facile da trovare x 3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine dal 1° - x 1.
Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate se necessario.
Spesso invece di scrivere nuovo sistema le equazioni si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:
e poi portalo a una forma triangolare o diagonale usando trasformazioni elementari.
A trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:
- permutazione di righe o colonne;
- moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
- aggiungendo ad una riga altre righe.
Esempi: Risolvi sistemi di equazioni usando il metodo di Gauss.
Pertanto, il sistema ha un numero infinito di soluzioni.
I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica con modellazione matematica vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.
I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi di trovare la dimensione della popolazione.
Un sistema di equazioni lineari è un termine per due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Una tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.
Equazione lineare
Le equazioni della forma ax+by=c sono dette lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvere l'equazione tracciando il suo grafico apparirà come una linea retta, i cui punti sono tutti la soluzione del polinomio.
Tipi di sistemi di equazioni lineari
I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.
Risolvi un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) per i quali il sistema diventa una vera uguaglianza, oppure stabilire che non esistono valori adatti di x e y.
Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate puntiformi, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Se i sistemi hanno una soluzione comune o non esiste una soluzione, sono chiamati equivalenti.
I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno di "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.
Il numero di variabili può essere molto più di due, quindi dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.
Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente grande.
Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni
Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. Il corso scolastico di matematica descrive in dettaglio metodi come la permutazione, l'addizione algebrica, la sostituzione, nonché il metodo grafico e matriciale, la soluzione con il metodo di Gauss.
Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ciascun esempio. La cosa principale non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un metodo particolare.
La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari del 7 ° anno del programma scolastico di istruzione generale è abbastanza semplice ed è spiegata in dettaglio. In qualsiasi libro di testo di matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi degli istituti di istruzione superiore.
Soluzione di sistemi con il metodo della sostituzione
Le azioni del metodo di sostituzione hanno lo scopo di esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a un'unica forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema
Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:
Come si vede dall'esempio, la variabile x è stata espressa tramite F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non crea difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio consiste nel verificare i valori ottenuti.
Non è sempre possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo ingombrante per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.
Soluzione di un esempio di sistema di equazioni lineari disomogenee:
Soluzione mediante addizione algebrica
Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.
Per le applicazioni questo metodo ci vuole pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione con numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.
Algoritmo di azione della soluzione:
- Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per un numero. Di conseguenza operazione aritmetica uno dei coefficienti della variabile deve diventare uguale a 1.
- Aggiungi l'espressione risultante termine per termine e trova una delle incognite.
- Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione del sistema per trovare la variabile rimanente.
Metodo risolutivo introducendo una nuova variabile
Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non deve essere superiore a due.
Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita inserita e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.
L'esempio mostra che introducendo una nuova variabile t è stato possibile ridurre la 1a equazione del sistema allo standard trinomio quadrato. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.
È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.
La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.
Un metodo visivo per risolvere i sistemi
Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo è quello di costruire asse delle coordinate grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.
Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.
Come si può vedere dall'esempio, sono stati costruiti due punti per ogni linea, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. Sulla base dei valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con le coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.
I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.
Nell'esempio seguente è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.
Come si può vedere dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafici sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.
I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.
Matrix e le sue varietà
Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.
Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinito di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri zero elementi è chiamata identità.
Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in una unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.
Regole per trasformare un sistema di equazioni in una matrice
Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.
Una riga di matrice è chiamata diversa da zero se almeno un elemento della riga non è uguale a zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.
Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'incognita y - solo nella seconda.
Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono moltiplicati in sequenza per un numero.
Opzioni per trovare la matrice inversa
La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 - matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.
Il determinante è facilmente calcolabile per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.
Soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo matriciale
Il metodo matriciale per trovare una soluzione consente di ridurre voci ingombranti quando si risolvono sistemi con un numero elevato di variabili ed equazioni.
Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.
Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss
A matematica superiore il metodo di Gauss è studiato insieme al metodo di Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo della soluzione di Gauss-Cramer. Questi metodi vengono utilizzati per trovare le variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.
Il metodo gaussiano è molto simile alle soluzioni di sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso della scuola, la soluzione gaussiana viene utilizzata per i sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 - rispettivamente con 3 e 4 variabili.
Portato il sistema nella forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.
Nei libri di testo scolastici per il grado 7, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:
Come si può vedere dall'esempio, al punto (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.
Il teorema 5, menzionato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originale.
Il metodo Gauss è difficile da comprendere per gli studenti Scuola superiore, ma è uno dei modi più interessanti per sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti ad un corso avanzato di studi di matematica e fisica.
Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine effettuare le seguenti operazioni:
I coefficienti di equazione e i termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, in cui ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.
Per prima cosa scrivono la matrice con cui lavorare, quindi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.
Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice viene ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.
Questa notazione è meno ingombrante e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.
L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi vengono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.
Un'equazione con un'incognita, che, dopo aver aperto le parentesi e aver ridotto i termini simili, prende forma
ax + b = 0, dove a e b numeri arbitrari, è chiamato equazione lineare con uno sconosciuto. Oggi scopriremo come risolvere queste equazioni lineari.
Ad esempio, tutte le equazioni:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineare.
Viene chiamato il valore dell'incognita che trasforma l'equazione in una vera uguaglianza decisione o la radice dell'equazione .
Ad esempio, se nell'equazione 3x + 7 \u003d 13 sostituiamo il numero 2 invece dell'incognita x, otteniamo l'uguaglianza corretta 3 2 + 7 \u003d 13. Quindi, il valore x \u003d 2 è la soluzione o la radice dell'equazione.
E il valore x \u003d 3 non trasforma l'equazione 3x + 7 \u003d 13 in una vera uguaglianza, poiché 3 2 + 7 ≠ 13. Pertanto, il valore x \u003d 3 non è una soluzione o una radice dell'equazione.
La soluzione di eventuali equazioni lineari è ridotta alla soluzione di equazioni della forma
ax + b = 0.
Trasferiamo il termine libero dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a b al contrario, otteniamo
Se a ≠ 0, allora x = – b/a .
Esempio 1 Risolvi l'equazione 3x + 2 =11.
Trasferiamo 2 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno davanti a 2 al contrario, otteniamo
3x \u003d 11 - 2.
Facciamo la sottrazione, allora
3x = 9.
Per trovare x, devi dividere il prodotto per un fattore noto, ovvero
x = 9:3.
Quindi il valore x = 3 è la soluzione o la radice dell'equazione.
Risposta: x = 3.
Se a = 0 e b = 0, quindi otteniamo l'equazione 0x \u003d 0. Questa equazione ha infinite soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0, otteniamo 0, ma b è anche 0. La soluzione di questa equazione è qualsiasi numero.
Esempio 2 Risolvi l'equazione 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Espandiamo le parentesi:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Ecco membri simili:
0x = 0.
Risposta: x è un numero qualsiasi.
Se a = 0 e b ≠ 0, quindi otteniamo l'equazione 0x = - b. Questa equazione non ha soluzioni, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 0, otteniamo 0, ma b ≠ 0.
Esempio 3 Risolvi l'equazione x + 8 = x + 5.
Raggruppiamo i termini contenenti incognite sul lato sinistro e i termini liberi sul lato destro:
x - x \u003d 5 - 8.
Ecco membri simili:
0x = - 3.
Risposta: nessuna soluzione.
Sul Figura 1 viene mostrato lo schema per risolvere l'equazione lineare
Componiamo schema generale soluzioni di equazioni con una variabile. Considera la soluzione dell'esempio 4.
Esempio 4 Risolviamo l'equazione
1) Moltiplicare tutti i termini dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, pari a 12.
2) Dopo la riduzione otteniamo
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Per separare i membri che contengono membri sconosciuti e membri liberi, aprire le parentesi:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Raggruppiamo in una parte i termini contenenti incognite e nell'altra i termini liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Ecco i membri simili:
- 22x = - 154.
6) Dividi per - 22 , otteniamo
x = 7.
Come puoi vedere, la radice dell'equazione è sette.
In generale, tale le equazioni possono essere risolte come segue:
a) portare l'equazione a una forma intera;
b) parentesi aperte;
c) raggruppare i termini contenenti l'incognita in una parte dell'equazione, ei termini liberi nell'altra;
d) portare soci simili;
e) risolvere un'equazione della forma aх = b, che è stata ottenuta portando termini simili.
Tuttavia, questo schema non è richiesto per ogni equazione. Quando si risolvono molte equazioni più semplici, non si deve partire dalla prima, ma dalla seconda ( Esempio. 2), Terzo ( Esempio. tredici) e anche dal quinto stadio, come nell'esempio 5.
Esempio 5 Risolvi l'equazione 2x = 1/4.
Troviamo l'ignoto x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Si consideri la soluzione di alcune equazioni lineari incontrate nell'esame di stato principale.
Esempio 6 Risolvi l'equazione 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Risposta: - 0,125
Esempio 7 Risolvi l'equazione - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Risposta: 2.3
Esempio 8 Risolvi l'equazione
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Esempio 9 Trova f(6) se f (x + 2) = 3 7
Decisione
Poiché dobbiamo trovare f(6), e sappiamo f (x + 2),
allora x + 2 = 6.
Risolviamo l'equazione lineare x + 2 = 6,
otteniamo x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Se x = 4 allora
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Risposta: 27.
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