Abbastanza spesso consapevole analisi matematica puoi trovare un'attività con la seguente dicitura: "esplora la funzione e traccia". Questa formulazione parla da sé e suddivide il compito in due fasi:
- Fase 1: ricerca funzionale;
- Fase 2: tracciare la funzione studiata.
La prima fase è la più voluminosa e comprende la ricerca dei domini di definizione e dei valori, degli estremi della funzione, dei punti di flesso del grafico, ecc.
Il piano completo per la ricerca della funzione $y=f(x)$, che precede l'obiettivo del tracciamento, ha i seguenti punti:
- Trovare l'ambito della funzione $D_(y)$ e il dominio dei valori validi $E_(y)$ della funzione.
- Determinazione del tipo di funzione: pari, dispari, vista generale.
- Determinazione dei punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi coordinati.
- Trovare gli asintoti del grafico della funzione (verticale, obliquo, orizzontale).
- Trovare intervalli di monotonia di una funzione e punti estremi.
- Trovare intervalli di convessità, concavità del grafico e punti di flesso.
La ricerca del dominio della funzione $D_(y) $ implica trovare gli intervalli su cui data funzione esiste (definito). Di norma, questo compito si riduce alla ricerca dell'ODZ (intervallo di valori accettabili), in base al quale si forma $D_(y) $.
Esempio 1
Trova il dominio della funzione $y=\frac(x)(x-1) $.
Troviamo la ODZ della funzione considerata, cioè valori della variabile per cui il denominatore non va a zero.
ODZ: $x-1\ne 0\Freccia destra x\ne 1$
Scriviamo il dominio di definizione: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.
Definizione 1
La funzione $y=f(x)$ è pari se vale la seguente uguaglianza $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Definizione 2
La funzione $y=f(x)$ è dispari se vale la seguente uguaglianza $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Definizione 3
Una funzione che non è né pari né dispari è chiamata funzione generale.
Esempio 2
Determina il tipo di funzioni: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
1) $y=\frac(x)(x-1)$
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, quindi abbiamo una funzione generale.
2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $
$f(-x)=f(x)$, quindi abbiamo una funzione pari.
3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
$f(-x)\ne -f(x)$, quindi abbiamo una funzione dispari.
Determinare i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate include trovare i punti di intersezione: con l'asse OX ($y=0$), con l'asse OY ($x=0$).
Esempio 3
Trova i punti di intersezione con gli assi delle coordinate della funzione $y=\frac(x+2)(x-1) $.
- con l'asse OX ($y=0$)
$\frac(x+2)(x-1) =0\freccia destra x+2=0\freccia destra x=-2$; prendi un punto (-2;0)
- con asse OY ($x=0$)
$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, otteniamo il punto (0;-2)
Sulla base dei risultati ottenuti nella fase di studio della funzione, viene costruito un grafico. A volte i punti ottenuti nella prima fase non sono sufficienti per tracciare la funzione, quindi è necessario trovare punti aggiuntivi.
Esempio 4
Esplora la funzione e costruisci il suo grafico: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.
- Dominio di definizione: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
- Intervallo: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
- Funzioni pari, dispari :\ \
Funzione generale, cioè non è né pari né dispari.
4) Intersezione con assi coordinati:
con l'asse OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, quindi il grafico passa per il punto (0;1).
con l'asse OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( radici razionali No)
5) Asintoti del grafico:
Non ci sono asintoti verticali, poiché $D_(y) =\( x|x\in R\) $
Gli asintoti obliqui verranno ricercati nella forma $y=kx+b$.
$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Pertanto, non ci sono asintoti obliqui.
6) Funzione crescente, decrescente; estremi:
\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Freccia destra 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(array)\]
Segniamo i punti sull'asse dei numeri, posizioniamo i segni della derivata prima e notiamo il comportamento della funzione:
Immagine 1.
La funzione aumenta di $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ e $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, diminuisce di $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.
$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - punto massimo; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1,172$
$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - punto minimo; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23,172$
7) Convessità, concavità del grafico:
\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Freccia destra 6x-12=0\Freccia destra x=2) \end(array)\]
Segniamo i punti sull'asse dei numeri, posizioniamo i segni della derivata seconda e notiamo il comportamento del grafico della funzione:
Figura 2.
Il grafico è convesso verso l'alto di $(-\infty ;2]$, verso il basso di $
8) Grafico delle funzioni:
Figura 3
Costruire un grafico di una funzione per punti singolari include lo studio della funzione stessa: determinare l'area dei valori ammissibili dell'argomento, determinare l'area di modifica della funzione, determinare se il la funzione è pari o dispari, determinando i punti di interruzione della funzione, trovando gli intervalli del segno costante della funzione, trovando gli asintoti del grafico della funzione. Con l'aiuto della derivata prima, è possibile determinare gli intervalli di aumento (diminuzione) della funzione, la presenza di punti estremi. La seconda derivata può essere utilizzata per determinare gli intervalli di convessità (concavità) del grafico della funzione, nonché i punti di flesso. Assumiamo anche che se a un certo punto xo la tangente al grafico della funzione è al di sopra della curva, quindi il grafico della funzione a questo punto ha una convessità; se la tangente è al di sotto della curva, il grafico della funzione in questo punto ha una concavità.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Ricerca funzionale.
a) Intervallo di valori ammissibili dell'argomento: (-∞,+∞).
b) Gamma di funzioni: (-∞, +∞).
c) La funzione è dispari, perché y(-x) = -y(x), quelli. il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.
d) La funzione è continua, non ci sono punti di discontinuità, quindi non ci sono asintoti verticali.
e) Trovare l'equazione dell'asintoto obliquo y(x) = k∙x + b, dove
k = /X e b= 
In questo esempio, i parametri dell'asintoto sono rispettivamente uguali:
k = , perché il grado più alto del numeratore e del denominatore è lo stesso, uguale a tre, e il rapporto dei coefficienti a queste potenze più alte è uguale a uno. Per x→ + ∞, per calcolare il limite è stato utilizzato il terzo limite notevole.
b = = = 0, quando si calcola il limite in x→ + ∞ hanno utilizzato il terzo limite notevole. Quindi, il grafico di questa funzione ha un asintoto obliquo y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - la derivata viene calcolata utilizzando la formula di differenziazione quoziente.
a) Determiniamo gli zeri della derivata e i punti di discontinuità, eguagliando a zero rispettivamente il numeratore e il denominatore della derivata: y´=0, Se x=0. La 1a derivata non ha punti di interruzione.
b) Determinare gli intervalli di costanza della derivata, cioè intervalli di monotonia della funzione: at -∞
3. Indagine di una funzione utilizzando la 2a derivata.
Utilizzando la formula per differenziare il quoziente ed eseguire trasformazioni algebriche, otteniamo: y´´ = /(x²+3)³
a) Determiniamo gli zeri della 2a derivata e gli intervalli di costanza: y´´ = 0, Se x=0 e x= + 3 . Non ci sono punti di interruzione per la 2a derivata.
b) Determiniamo gli intervalli di costanza della derivata 2a, cioè intervalli di convessità o concavità del grafico della funzione. A -∞
Esempio: esplorare una funzione e tracciarla y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Ricerca funzionale.
a) Intervallo di valori accettabili: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Gamma di funzioni: (-∞,+∞).
d) Questa funzione ha un punto di discontinuità del 2° tipo in x=0.
e) Trovare gli asintoti. Perché la funzione ha un punto di discontinuità del 2° tipo in x=0, allora la funzione ha un asintoto verticale x=0. Questa funzione non ha asintoti obliqui o orizzontali.
2.Indagine di una funzione utilizzando la 1a derivata.
Trasformiamo la funzione eseguendo tutte le operazioni algebriche. Di conseguenza, la forma della funzione sarà notevolmente semplificata: y(x)=x²-x-1+(1/x). Dalla somma dei termini è molto facile prendere la derivata e otteniamo: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Determinare gli zeri ei punti di discontinuità della 1a derivata. Portiamo le espressioni per la derivata 1a a un denominatore comune e, eguagliando a zero il numeratore e poi il denominatore, otteniamo: y´=0 A x=1, y' - non esiste quando x=0.
b) Definiamo intervalli di monotonia della funzione, cioè intervalli di costanza di segno della derivata. A -∞<X<0
e 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Con la 2a derivata determiniamo gli intervalli di convessità o concavità del grafico della funzione e anche, se presenti, i punti di flesso. Portiamo l'espressione per la derivata seconda a un denominatore comune, quindi, eguagliando a sua volta numeratore e denominatore a zero, otteniamo: y´´=0 A x=-1, y´´- non esiste quando x=0.
A -∞
Riso. 4 fig. 5
Esempio: esplorare una funzione e tracciarla y(x) = log(x²+4x+5)
1.Ricerca funzionale.
a) Il range di valori validi dell'argomento: la funzione logaritmica esiste solo per argomenti rigorosamente maggiori di zero, quindi, x²+4x+5>0 – questa condizione è soddisfatta per tutti i valori dell'argomento, cioè O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Intervallo di modifica della funzione: (0, +∞). Trasformiamo l'espressione sotto il segno del logaritmo e uguagliamo la funzione a zero: ln((x+2)²+1) =0. Quelli. la funzione svanisce quando x=-2. Il grafico della funzione sarà simmetrico rispetto a una retta x=-2.
c) La funzione è continua, non ha punti di discontinuità.
d) Il grafico della funzione non ha asintoti.
2.Indagine di una funzione utilizzando la 1a derivata.
Usando la regola di differenziazione di una funzione complessa, otteniamo: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Definire gli zeri e i punti di discontinuità della derivata: y´=0, A x=-2. La derivata prima non ha punti di interruzione.
b) Determiniamo gli intervalli di monotonia della funzione, cioè intervalli di costanza della derivata prima: a -∞<X<-2
derivato si'<0,
pertanto, la funzione è decrescente; -2
3.Indagine di una funzione rispetto alla 2a derivata.
Rappresentiamo la derivata prima nella forma seguente: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Determiniamo gli intervalli di costanza della derivata seconda. Poiché il denominatore della derivata 2a è sempre non negativo, il segno della derivata seconda è determinato solo dal numeratore. y´´=0 A x=-3 e x=-1.
In -∞
Esempio: esplorare una funzione e un grafico y(x) = x²/(x+2)²
1.Ricerca funzionale.
a) L'intervallo di valori ammissibili dell'argomento (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) L'area di modifica della funzione ².
a) Definiamo zeri e intervalli di costanza della derivata seconda. Perché il denominatore di una frazione è sempre positivo, quindi il segno della derivata seconda è completamente determinato dal numeratore. A -∞
Per uno studio completo della funzione e per tracciarne il grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:
1) trovare l'ambito della funzione;
2) trovare i punti di discontinuità della funzione e gli asintoti verticali (se esistono);
3) indagare il comportamento della funzione all'infinito, trovare gli asintoti orizzontali e obliqui;
4) indagare la funzione per l'uniformità (stranezza) e per la periodicità (per le funzioni trigonometriche);
5) trovare estremi ed intervalli di monotonia della funzione;
6) determinare gli intervalli di convessità e punti di flesso;
7) trovare i punti di intersezione con gli assi delle coordinate, se possibile, e alcuni punti aggiuntivi che rifiniscono il grafico.
Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.
Esempio 9 Esplora la funzione e costruisci un grafico.
1. Ambito di definizione: ;
2. La funzione si interrompe in punti 
,
;
Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti verticali.
;
,
─ asintoto verticale.
;
,
─ asintoto verticale.
3. Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti obliqui e orizzontali.
Dritto 
─ asintoto obliquo, se 
,
.
,
.
Dritto 
─ asintoto orizzontale.
4. La funzione è anche perché 
. La parità della funzione indica la simmetria del grafico rispetto all'asse y.
5. Trova gli intervalli di monotonia ed estremi della funzione.
Troviamo i punti critici, es. punti in cui la derivata è 0 o non esiste: 
;
. Abbiamo tre punti 
;
. Questi punti dividono l'intero asse reale in quattro intervalli. Definiamo i segni 
su ciascuno di essi.
Sugli intervalli (-∞; -1) e (-1; 0) la funzione aumenta, sugli intervalli (0; 1) e (1; +∞) diminuisce. Quando si passa per un punto 
la derivata cambia segno da più a meno, quindi, a questo punto, la funzione ha un massimo 
.
6. Troviamo gli intervalli di convessità, i punti di flesso.
Troviamo i punti in cui 
è 0 o non esiste.
non ha vere radici. 
,
,
punti 
e 
dividere l'asse reale in tre intervalli. Definiamo il segno 
ad ogni intervallo.
Quindi, la curva sugli intervalli 
e 
convesso verso il basso, sull'intervallo (-1;1) convesso verso l'alto; non ci sono punti di flesso, poiché la funzione nei punti 
e 
non specificato.
7. Trova i punti di intersezione con gli assi.
con asse 
il grafico della funzione si interseca nel punto (0; -1) e con l'asse 
il grafico non si interseca, perché il numeratore di questa funzione non ha radici reali.
Il grafico della funzione data è mostrato in Figura 1.
Figura 1 ─ Grafico della funzione 
Applicazione del concetto di derivata in economia. Elasticità della funzione
Per studiare i processi economici e risolvere altri problemi applicati, viene spesso utilizzato il concetto di elasticità di una funzione.
Definizione. Elasticità della funzione 
è detto limite del rapporto tra l'incremento relativo della funzione 
all'incremento relativo della variabile 
A 
, . (VII)
L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quale percentuale la funzione cambierà 
quando si cambia la variabile indipendente 
dell'1%.
L'elasticità di una funzione viene utilizzata nell'analisi della domanda e del consumo. Se l'elasticità della domanda (in valore assoluto) 
, allora la domanda è considerata elastica se 
─ neutrale se 
─ anelastico rispetto al prezzo (o reddito).
Esempio 10 Calcola l'elasticità di una funzione 
e trova il valore dell'indice di elasticità per 
= 3.
Soluzione: secondo la formula (VII) l'elasticità della funzione:
Sia x=3 allora 
Ciò significa che se la variabile indipendente aumenta dell'1%, il valore della variabile dipendente aumenterà dell'1,42%.
Esempio 11 Lascia che la domanda funzioni 
per quanto riguarda il prezzo 
ha la forma 
, dove 
─ coefficiente costante. Trova il valore dell'indice di elasticità della funzione di domanda al prezzo x = 3 den. unità
Soluzione: calcolare l'elasticità della funzione di domanda utilizzando la formula (VII)
Supponendo 
unità monetarie, otteniamo 
. Ciò significa che al prezzo 
unità monetaria un aumento del prezzo dell'1% provocherà una diminuzione della domanda del 6%, cioè la domanda è elastica.
Reshebnik Kuznetsov.
III Grafici
Compito 7. Condurre uno studio completo della funzione e costruirne il grafico.
Prima di iniziare a scaricare le opzioni, prova a risolvere il problema seguendo l'esempio seguente per l'opzione 3. Alcune delle opzioni sono archiviate in formato .rar
7.3 Condurre uno studio completo della funzione e tracciarla
Decisione.
1) Campo di applicazione: o cioè 
.
.
Quindi: .
2) Non ci sono punti di intersezione con l'asse Ox. In effetti, l'equazione non ha soluzioni.
Non ci sono punti di intersezione con l'asse Oy perché .
3) La funzione non è né pari né dispari. Non c'è simmetria sull'asse y. Non c'è simmetria nemmeno sull'origine. Come 
.
Vediamo che e .
4) La funzione è continua nel dominio
.
; 
. 
; 
.
Pertanto, il punto è un punto di discontinuità del secondo tipo (discontinuità infinita).
5) Asintoti verticali:
Trova l'asintoto obliquo . Qui
;
.
Pertanto, abbiamo un asintoto orizzontale: y=0. Non ci sono asintoti obliqui.
6) Trova la derivata prima. Prima derivata: 
.
Ed ecco perché 
.
Troviamo punti stazionari in cui la derivata è uguale a zero, cioè
.
7) Trova la derivata seconda. Seconda derivata: 
.
E questo è facile da verificare, dal momento che
Oggi ti invitiamo a esplorare e tracciare un grafico di funzioni con noi. Dopo un attento studio di questo articolo, non dovrai sudare a lungo per completare questo tipo di attività. Non è facile esplorare e costruire un grafico di una funzione, il lavoro è voluminoso, richiede la massima attenzione e accuratezza dei calcoli. Per facilitare la percezione del materiale, studieremo gradualmente la stessa funzione, spiegheremo tutte le nostre azioni e calcoli. Benvenuti nel fantastico e affascinante mondo della matematica! Andare!
Dominio
Per esplorare e tracciare una funzione, è necessario conoscere alcune definizioni. Una funzione è uno dei concetti di base (di base) in matematica. Riflette la dipendenza tra più variabili (due, tre o più) con le modifiche. La funzione mostra anche la dipendenza degli insiemi.
Immagina di avere due variabili che hanno un certo intervallo di cambiamento. Quindi, y è una funzione di x, a condizione che ogni valore della seconda variabile corrisponda a un valore della seconda. In questo caso, la variabile y è dipendente e viene chiamata funzione. È consuetudine dire che le variabili xey sono in Per maggiore chiarezza di questa dipendenza, viene costruito un grafico della funzione. Che cos'è un grafico di funzione? Questo è un insieme di punti sul piano delle coordinate, dove ogni valore di x corrisponde a un valore di y. I grafici possono essere diversi: una linea retta, un'iperbole, una parabola, una sinusoide e così via.
Un grafico di funzione non può essere tracciato senza esplorazione. Oggi impareremo come condurre ricerche e tracciare un grafico di funzioni. È molto importante prendere appunti durante lo studio. Quindi sarà molto più facile affrontare il compito. Il piano di studio più conveniente:
- Dominio.
- Continuità.
- Pari o dispari.
- Periodicità.
- Asintoti.
- Zero.
- Costanza.
- Ascendente e discendente.
- Estremi.
- Convessità e concavità.
Partiamo dal primo punto. Troviamo il dominio di definizione, ovvero su quali intervalli esiste la nostra funzione: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Nel nostro caso, la funzione esiste per qualsiasi valore di x, ovvero il dominio di definizione è R. Questo può essere scritto come xОR.
Continuità
Ora esploreremo la funzione di discontinuità. In matematica, il termine "continuità" è apparso come risultato dello studio delle leggi del moto. Cos'è l'infinito? Spazio, tempo, alcune dipendenze (un esempio è la dipendenza delle variabili S e t in problemi di movimento), la temperatura dell'oggetto riscaldato (acqua, padella, termometro e così via), una linea continua (cioè una che si può disegnare senza toglierla dal foglio a matita).
Un grafico è considerato continuo se non si rompe a un certo punto. Uno degli esempi più ovvi di un tale grafico è un'onda sinusoidale, che puoi vedere nell'immagine in questa sezione. La funzione è continua in un punto x0 se sono soddisfatte alcune condizioni:
- una funzione è definita in un dato punto;
- i limiti destro e sinistro in un punto sono uguali;
- il limite è uguale al valore della funzione nel punto x0.
Se almeno una condizione non è soddisfatta, si dice che la funzione si interrompe. E i punti in cui la funzione si interrompe sono chiamati punti di interruzione. Un esempio di una funzione che si "spezzerà" quando visualizzata graficamente è: y=(x+4)/(x-3). Inoltre, y non esiste nel punto x = 3 (poiché è impossibile dividere per zero).
Nella funzione che stiamo studiando (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) tutto si è rivelato semplice, poiché il grafico sarà continuo.
Pari dispari
Ora esamina la funzione per la parità. Cominciamo con un po' di teoria. Una funzione pari è una funzione che soddisfa la condizione f (-x) = f (x) per qualsiasi valore della variabile x (dall'intervallo di valori). Esempi sono:
- modulo x (il grafico ha l'aspetto di una taccola, la bisettrice del primo e del secondo quarto del grafico);
- x al quadrato (parabola);
- coseno x (onda coseno).
Si noti che tutti questi grafici sono simmetrici se visti rispetto all'asse y.
Che cosa allora si chiama funzione dispari? Queste sono quelle funzioni che soddisfano la condizione: f (-x) \u003d - f (x) per qualsiasi valore della variabile x. Esempi:
- iperbole;
- parabola cubica;
- sinusoide;
- tangente e così via.
Si noti che queste funzioni sono simmetriche rispetto al punto (0:0), ovvero all'origine. In base a quanto detto in questa sezione dell'articolo, una funzione pari e dispari deve avere la proprietà: x appartiene all'insieme di definizioni e anche -x.
Esaminiamo la funzione di parità. Possiamo vedere che non corrisponde a nessuna delle descrizioni. Pertanto, la nostra funzione non è né pari né dispari.
Asintoti
Cominciamo con una definizione. Un asintoto è una curva che è il più vicino possibile al grafico, cioè la distanza da un punto tende a zero. Esistono tre tipi di asintoti:
- verticale, cioè parallelo all'asse y;
- orizzontale, cioè parallelo all'asse x;
- obliquo.
Per quanto riguarda il primo tipo, queste linee dovrebbero essere cercate in alcuni punti:
- spacco;
- estremità del dominio.
Nel nostro caso, la funzione è continua e il dominio di definizione è R. Pertanto, non ci sono asintoti verticali.
Il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale, che soddisfa il seguente requisito: se x tende all'infinito o meno all'infinito e il limite è uguale a un certo numero (ad esempio a). In questo caso, y=a è l'asintoto orizzontale. Non ci sono asintoti orizzontali nella funzione che stiamo studiando.
Un asintoto obliquo esiste solo se sono soddisfatte due condizioni:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Quindi può essere trovato con la formula: y=kx+b. Anche in questo caso, nel nostro caso non ci sono asintoti obliqui.
Zero di funzione
Il passaggio successivo consiste nell'esaminare il grafico della funzione per gli zeri. È anche molto importante notare che il compito associato alla ricerca degli zeri di una funzione si verifica non solo nello studio e nel tracciamento di un grafico di funzione, ma anche come compito indipendente e come modo per risolvere le disuguaglianze. Potrebbe essere necessario trovare gli zeri di una funzione su un grafico o utilizzare la notazione matematica.
Trovare questi valori ti aiuterà a tracciare la funzione in modo più accurato. In parole povere, lo zero della funzione è il valore della variabile x, a cui y \u003d 0. Se stai cercando gli zeri di una funzione su un grafico, dovresti prestare attenzione ai punti in cui il grafico si interseca con l'asse x.
Per trovare gli zeri della funzione, devi risolvere la seguente equazione: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Dopo aver eseguito i calcoli necessari, otteniamo la seguente risposta:
segno di costanza
La fase successiva nello studio e nella costruzione di una funzione (grafica) è trovare gli intervalli di costanza dei segni. Ciò significa che dobbiamo determinare su quali intervalli la funzione assume un valore positivo e su quali intervalli assume un valore negativo. Gli zeri delle funzioni trovate nella sezione precedente ci aiuteranno a farlo. Quindi, dobbiamo costruire una linea retta (separatamente dal grafico) e distribuire gli zeri della funzione lungo di essa nell'ordine corretto dal più piccolo al più grande. Ora devi determinare quale degli intervalli risultanti ha un segno "+" e quale ha un "-".
Nel nostro caso, la funzione assume un valore positivo sugli intervalli:
- da 1 a 4;
- da 9 a infinito.
Significato negativo:
- da meno infinito a 1;
- dalle 4 alle 9.
Questo è abbastanza facile da determinare. Sostituisci qualsiasi numero dall'intervallo nella funzione e guarda quale segno è la risposta (meno o più).
Funzione crescente e decrescente
Per esplorare e costruire una funzione, dobbiamo sapere dove aumenterà il grafico (salire su Oy) e dove cadrà (scendere lungo l'asse y).
La funzione aumenta solo se il valore maggiore della variabile x corrisponde al valore maggiore di y. Cioè, x2 è maggiore di x1 e f(x2) è maggiore di f(x1). E osserviamo un fenomeno completamente opposto in una funzione decrescente (più x, meno y). Per determinare gli intervalli di aumento e diminuzione, è necessario trovare quanto segue:
- ambito (lo abbiamo già);
- derivata (nel nostro caso: 1/3(3x^2-28x+49);
- risolvi l'equazione 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Dopo i calcoli, otteniamo il risultato:
Otteniamo: la funzione aumenta sugli intervalli da meno infinito a 7/3 e da 7 a infinito, e diminuisce sull'intervallo da 7/3 a 7.
Estremi
La funzione studiata y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) è continua ed esiste per qualsiasi valore della variabile x. Il punto estremo mostra il massimo e il minimo di questa funzione. Nel nostro caso, non ce ne sono, il che semplifica notevolmente il compito di costruzione. Altrimenti, si trovano anche usando la funzione derivata. Dopo averli trovati, non dimenticare di segnarli sul grafico.
Convessità e concavità
Continuiamo a studiare la funzione y(x). Ora dobbiamo verificarne la convessità e la concavità. Le definizioni di questi concetti sono abbastanza difficili da percepire, è meglio analizzare tutto con esempi. Per il test: una funzione è convessa se è una funzione non decrescente. D'accordo, questo è incomprensibile!
Dobbiamo trovare la derivata della funzione del secondo ordine. Otteniamo: y=1/3(6x-28). Ora uguagliamo il lato destro a zero e risolviamo l'equazione. Risposta: x=14/3. Abbiamo trovato il punto di flesso, cioè il punto in cui il grafico cambia da convesso a concavo o viceversa. Nell'intervallo da meno infinito a 14/3, la funzione è convessa e da 14/3 a più infinito è concava. È anche molto importante notare che il punto di flesso sul grafico dovrebbe essere liscio e morbido, non dovrebbero esserci angoli acuti.
Definizione di punti aggiuntivi
Il nostro compito è esplorare e tracciare il grafico della funzione. Abbiamo completato lo studio, ora non sarà difficile tracciare la funzione. Per una riproduzione più accurata e dettagliata di una curva o di una retta sul piano delle coordinate, puoi trovare diversi punti ausiliari. È abbastanza facile calcolarli. Ad esempio, prendiamo x=3, risolviamo l'equazione risultante e troviamo y=4. Oppure x=5 e y=-5 e così via. Puoi prendere tutti i punti aggiuntivi di cui hai bisogno per costruire. Almeno 3-5 di loro vengono trovati.
Tracciare
Avevamo bisogno di studiare la funzione (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Tutti i segni necessari nel corso dei calcoli sono stati eseguiti sul piano delle coordinate. Non resta che costruire un grafico, ovvero collegare tutti i punti tra loro. Collegare i punti è fluido e preciso, questa è una questione di abilità: un po' di pratica e il tuo programma sarà perfetto.