Viene chiamato il sistema lineare omogeneo se tutti i suoi termini gratuiti sono 0.

In forma matriciale, il sistema omogeneo si scrive:
.

Il sistema omogeneo (2) è sempre consistente . È ovvio che l'insieme dei numeri
,
, …,
soddisfa ogni equazione del sistema. Decisione
chiamata zero o banale decisione. Quindi, un sistema omogeneo ha sempre una soluzione nulla.

In quali condizioni il sistema omogeneo (2) avrà soluzioni diverse da zero (non banali)?

Teorema 1.3 Sistema omogeneo (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango r sua matrice principale inferiore al numero sconosciuto n .

Sistema (2) - indefinito
.

Conseguenza 1. Se il numero di equazioni m sistema omogeneo è inferiore al numero di variabili
, allora il sistema è indefinito e ha un insieme di soluzioni diverse da zero.

Conseguenza 2. Sistema quadrato omogeneo
ha soluzioni diverse da zero se e se la matrice principale di questo sistema è degenerato, cioè determinante
.

Altrimenti, se determinante
, il sistema quadrato omogeneo ha l'unica cosa soluzione zero
.

Sia il rango del sistema (2)
cioè, il sistema (2) ha soluzioni non banali.

Lascia stare e - soluzioni particolari di questo sistema, ovvero
e
.

Proprietà delle soluzioni per un sistema omogeneo

Veramente, .

Veramente, .

Combinando le proprietà 1) e 2), possiamo dire che se

…,
- soluzioni del sistema omogeneo (2), quindi qualsiasi loro combinazione lineare è anche la sua soluzione. Qui
sono numeri reali arbitrari.

Possono essere trovati
soluzioni particolari linearmente indipendenti sistema omogeneo (2), che può essere utilizzato per ottenere qualsiasi altra soluzione particolare di tale sistema, ovvero ottenere la soluzione generale del sistema (2).

Definizione 2.2 Aggregato
soluzioni particolari linearmente indipendenti

…,
Si chiama sistema omogeneo (2) tale che ciascuna soluzione del sistema (2) possa essere rappresentata come una loro combinazione lineare sistema decisionale fondamentale (FSR) di sistema omogeneo (2).

Lascia stare

…,
- sistema fondamentale soluzioni, allora la soluzione generale del sistema omogeneo (2) può essere rappresentata come:

In cui si

.

Commento. Per ottenere l'FSR, devi trovare soluzioni private

…,
, dando a sua volta a qualsiasi variabile libera il valore "1", ea tutte le altre variabili libere - il valore "0".

Ottenere ,, …,- FSR.

Esempio. Trova la soluzione generale e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo di equazioni:

Decisione. Scriviamo la matrice estesa del sistema, mettendo prima l'ultima equazione del sistema, e riduciamola a una forma graduale. Dal momento che le parti giuste delle equazioni di conseguenza trasformazioni elementari non modificare, zeri rimanenti, colonna

potrebbe non essere scritto.

̴
̴
̴

Classificazione del sistema dove
- numero di variabili. Il sistema è incerto e ha molte soluzioni.

Base minore con variabili
diverso da zero:
scegliere
come variabili di base, il resto
- variabili libere (prendere qualsiasi valore reale).

L'ultima matrice della catena corrisponde al sistema graduale di equazioni:

(3)

Esprimi le variabili di base
tramite variabili libere
(il corso inverso del metodo di Gauss).

Dall'ultima equazione che esprimiamo :
e sostituisci nella prima equazione. Riceveremo. Apriamo le parentesi, diamo quelle simili ed esprimiamo :
.

Supponendo
,
,
, dove
, scrivere

è la soluzione generale del sistema.

Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni

,,.

Allora la soluzione generale del sistema omogeneo può essere scritta come:

Commento. La FSR potrebbe essere trovata in un altro modo, senza prima trovare la soluzione generale del sistema. Per fare ciò, il sistema di fasi risultante (3) doveva essere risolto tre volte, assumendo per :
; per :
; per :
.

Sistema m equazioni lineari c n sconosciuto è chiamato sistema lineare omogeneo equazioni se tutti i termini liberi sono uguali a zero. Un tale sistema si presenta come:

dove e ij (io = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numeri dati; x io- sconosciuto.

Il sistema di equazioni lineari omogenee è sempre consistente, poiché r(A) = r(). Ha sempre almeno zero ( banale) soluzione (0; 0; ...; 0).

Consideriamo in quali condizioni i sistemi omogenei hanno soluzioni diverse da zero.

Teorema 1. Un sistema di equazioni lineari omogenee ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango della sua matrice principale r meno incognite n, cioè. r < n.

□ uno). Lascia che il sistema di equazioni lineari omogenee abbia una soluzione diversa da zero. Poiché il rango non può superare la dimensione della matrice, è ovvio che r ≤ n. Lascia stare r = n. Poi uno dei minori di taglia n n diverso da zero. Pertanto, il corrispondente sistema di equazioni lineari ha una soluzione unica: , , . Quindi, non ci sono soluzioni diverse da quelle banali. Quindi, se esiste una soluzione non banale, allora r < n.

2). Lascia stare r < n. Allora un sistema omogeneo, essendo consistente, è indefinito. Quindi, ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha anche soluzioni diverse da zero. ■

Considera un sistema omogeneo n equazioni lineari c n sconosciuto:

(2)

Teorema 2. sistema omogeneo n equazioni lineari c n incognite (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il suo determinante è uguale a zero: = 0.

□ Se il sistema (2) ha una soluzione diversa da zero, allora = 0. Per at , il sistema ha solo una soluzione zero unica. Se = 0, allora il rango r la matrice principale del sistema è inferiore al numero di incognite, cioè r < n. E, quindi, il sistema ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha anche soluzioni diverse da zero. ■

Indichiamo la soluzione del sistema (1) X 1 = K 1 , X 2 = K 2 , …, x n = k n come una stringa .

Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee hanno le seguenti proprietà:

1. Se la stringa è una soluzione per il sistema (1), quindi la stringa è anche una soluzione per il sistema (1).

2. Se le linee e sono soluzioni del sistema (1), quindi per qualsiasi valore insieme a 1 e insieme a 2 la loro combinazione lineare è anche una soluzione per il sistema (1).

Puoi verificare la validità di queste proprietà sostituendole direttamente nelle equazioni del sistema.

Dalle proprietà formulate consegue che qualsiasi combinazione lineare di soluzioni per un sistema di equazioni lineari omogenee è anche una soluzione per questo sistema.

Sistema di soluzioni linearmente indipendenti e 1 , e 2 , …, e r chiamata fondamentale se ogni soluzione del sistema (1) è combinazione lineare queste decisioni e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Se rango r matrici di coefficienti per variabili di sistema equazioni lineari omogenee (1) è inferiore al numero di variabili n, allora qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni del sistema (1) è costituito da n–r soluzioni.

Così decisione comune il sistema di equazioni lineari omogenee (1) ha la forma:

dove e 1 , e 2 , …, e rè qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni al sistema (9), insieme a 1 , insieme a 2 , …, con pag – numeri arbitrari, R = n–r.

Teorema 4. Soluzione di sistema generale m equazioni lineari c n incognite è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (1) e di una soluzione particolare arbitraria di questo sistema (1).

Esempio. Risolvi il sistema

Decisione. Per questo sistema m = n= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha solo una soluzione banale: X = y = z = 0.

Esempio. 1) Trova soluzioni generali e particolari del sistema

2) Trova un sistema fondamentale di soluzioni.

Decisione. 1) Per questo sistema m = n= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha soluzioni diverse da zero.

Poiché esiste una sola equazione indipendente nel sistema

X + y – 4z = 0,

quindi da esso esprimiamo X =4z- y. Da dove otteniamo un insieme infinito di soluzioni: (4 z- y, y, z) è la soluzione generale del sistema.

In z= 1, y= -1, otteniamo una soluzione particolare: (5, -1, 1). Mettendo z= 3, y= 2, otteniamo la seconda soluzione particolare: (10, 2, 3), ecc.

2) Nella soluzione generale (4 z- y, y, z) variabili y e z sono liberi e la variabile X- dipendente da loro. Per trovare il sistema fondamentale di soluzioni, diamo gratuitamente valori variabili: All'inizio y = 1, z= 0, quindi y = 0, z= 1. Si ottengono soluzioni particolari (-1, 1, 0), (4, 0, 1), che costituiscono il sistema fondamentale di soluzioni.

Illustrazioni:

Riso. 1 Classificazione dei sistemi di equazioni lineari

Riso. 2 Studio di sistemi di equazioni lineari

Presentazioni:

Soluzione SLAU_ metodo matriciale

Soluzione Il metodo di SLAU_Cramer

Soluzione Metodo SLAE_Gauss

· Pacchetti per la risoluzione di problemi matematici matematica: ricerca di soluzioni analitiche e numeriche di sistemi di equazioni lineari

domande di prova:

1. Definire un'equazione lineare

2. Che tipo di sistema fa m equazioni lineari con n sconosciuto?

3. Come si chiama la soluzione dei sistemi di equazioni lineari?

4. Quali sistemi sono chiamati equivalenti?

5. Quale sistema è chiamato incompatibile?

6. Quale sistema si chiama giunto?

7. Quale sistema si chiama definito?

8. Quale sistema si chiama indefinito

9. Elencare le trasformazioni elementari dei sistemi di equazioni lineari

10. Elenca le trasformazioni elementari delle matrici

11. Formulare un teorema sull'applicazione di trasformazioni elementari ad un sistema di equazioni lineari

12. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo matriciale?

13. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Cramer?

14. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Gauss?

15. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

16. Descrivere il metodo matriciale per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

17. Descrivere il metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

18. Descrivere il metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

19. Quali sistemi possono essere risolti utilizzando matrice inversa?

20. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer

Letteratura:

1. matematica superiore per economisti: Libro di testo per le università / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, MN Fridman. ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Corso generale di matematica superiore per economisti: libro di testo. / Ed. IN E. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 pag.

3. Raccolta di problemi di matematica superiore per economisti: Esercitazione/ Sotto la direzione di V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 pag.

4. V. E. Gmurman, Guida alla risoluzione dei problemi nella teoria della probabilità e nella statistica magmatica. - M.: scuola di Specializzazione, 2005. - 400 pag.

5. Gmurman. VE Teoria della probabilità e statistica matematica. - M.: Scuola superiore, 2005.

6. Danko PE, Popov AG, Kozhevnikova T.Ya. Matematica superiore in esercizi e compiti. Parte 1, 2. - M.: Onice 21° secolo: Mondo e educazione, 2005. - 304 p. Parte 1; – 416 pag. Parte 2

7. Matematica in Economia: Libro di testo: In 2 ore / A.S. Solodovnikov, VA Babaitsev, AV Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finanza e statistica, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematica superiore: libro di testo per studenti. università - M.: Scuola Superiore, 2007. - 479 p.

Informazioni simili.

Tenere conto sistema omogeneo m equazioni lineari con n variabili:

(15)

Il sistema di equazioni lineari omogenee è sempre compatibile, perché ha sempre una soluzione nulla (banale) (0,0,…,0).

Se nel sistema (15) m=n e , allora il sistema ha solo una soluzione nulla, che segue dal teorema e dalle formule di Cramer.

Teorema 1. Il sistema omogeneo (15) ha una soluzione non banale se e solo se il rango della sua matrice è minore del numero di variabili, cioè . r(UN)< n.

Prova. L'esistenza di una soluzione non banale del sistema (15) equivale alla dipendenza lineare delle colonne della matrice del sistema (cioè, esistono tali numeri x 1 , x 2 ,…, x n , non tutti uguali a zero , che valgono le uguaglianze (15).

Secondo il teorema minore di base, le colonne di una matrice sono linearmente dipendenti , quando non tutte le colonne di questa matrice sono basilari, cioè  quando l'ordine r della base minore della matrice è minore del numero n delle sue colonne. Ch.t.d.

Conseguenza. Un sistema quadrato omogeneo ha soluzioni non banali  quando |A|=0.

Teorema 2. Se le colonne x (1), x (2), ..., x (s) della soluzione del sistema omogeneo AX=0, allora qualsiasi loro combinazione lineare è anche una soluzione per questo sistema.

Prova. Considera qualsiasi combinazione di soluzioni:

Quindi AX=A()===0. h.t.d.

Conseguenza 1. Se un sistema omogeneo ha una soluzione non banale, allora ha infinite soluzioni.

Quella. è necessario trovare tali soluzioni x (1), x (2), ..., x (s) del sistema Ax = 0, in modo che qualsiasi altra soluzione di questo sistema possa essere rappresentata come una loro combinazione lineare e , inoltre, in modo unico.

Definizione. Viene chiamato il sistema k=n-r (n è il numero di incognite nel sistema, r=rg A) di soluzioni linearmente indipendenti x (1) ,x (2) ,…,x (k) del sistema Ax=0 sistema decisionale fondamentale questo sistema.

Teorema 3. Sia dato un sistema omogeneo Ax=0 con n incognite e r=rg A. Allora c'è un insieme di k=n-r soluzioni x (1) ,x (2) ,…,x (k) di questo sistema che formano il sistema fondamentale di soluzioni.

Prova. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che la base minore della matrice A si trovi nell'angolo in alto a sinistra. Quindi, per il teorema di base minore, le righe rimanenti della matrice A sono combinazioni lineari delle righe di base. Ciò significa che se i valori x 1 ,x 2 ,…,x n soddisfano le prime r equazioni cioè equazioni corrispondenti alle righe della minore di base), quindi soddisfano anche altre equazioni. Pertanto, l'insieme di soluzioni del sistema non cambierà se vengono scartate tutte le equazioni a partire dalla (r + 1)esima. Otteniamo il sistema:

Spostiamo le incognite libere x r +1, x r +2 ,…,x n sul lato destro, e lasciamo le incognite di base x 1 , x 2 ,…, x r sul lato sinistro:

(16)

Perché in questo caso, tutti b i =0, quindi al posto delle formule

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), otteniamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Se alle incognite libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n sono dati valori arbitrari, rispetto alle incognite di base otteniamo uno SLAE quadrato con una matrice non singolare che ha una soluzione univoca. Pertanto, qualsiasi soluzione di uno SLAE omogeneo è determinata in modo univoco dai valori delle incognite libere х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Considera la seguente serie k=n-r di valori di incognite libere:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Il numero di serie è indicato da un apice tra parentesi e le serie di valori sono scritte in colonne. In ogni serie =1 se i=j e =0 se ij.

la i-esima serie di valori di incognite libere corrisponde in modo univoco ai valori,,..., di incognite di base. I valori delle incognite libere e di base insieme danno soluzioni al sistema (17).

Mostriamo che le colonne e i =,i=1,2,…,k (18)

costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni.

Perché queste colonne per costruzione sono soluzioni del sistema omogeneo Ax=0 e il loro numero è pari a k, resta poi da dimostrare l'indipendenza lineare delle soluzioni (16). Sia una combinazione lineare di soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K(x (1) , x (2) ,…, x (k)), uguale alla colonna zero:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e K ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Quindi il lato sinistro di questa uguaglianza è una colonna le cui componenti con numeri r+1,r+2,…,n sono uguali a zero. Ma la (r+1)esima componente è uguale a  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Allo stesso modo, la (r+2)-esima componente è uguale a  2 ,…, la k-esima componente è uguale a  k . Pertanto  1 =  2 = …= k =0, che significa l'indipendenza lineare delle soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Viene chiamato il sistema fondamentale costruito di soluzioni (18). normale. In virtù della formula (13), ha la seguente forma:

(20)

Conseguenza 2. Lascia stare e 1 , e 2 ,…, e K-sistema fondamentale normale di soluzioni di un sistema omogeneo, quindi l'insieme di tutte le soluzioni può essere descritto dalla formula:

x=c 1 e 1 + da 2 e 2 +…+ñ k e K (21)

dove ñ 1 ,ñ 2 ,…,ñ k – prendono valori arbitrari.

Prova. Per il Teorema 2, la colonna (19) è una soluzione del sistema omogeneo Ax=0. Resta da dimostrare che qualsiasi soluzione di questo sistema può essere rappresentata nella forma (17). Considera una colonna X=y r +1 e 1 +…+sn e K. Questa colonna coincide con la colonna y in termini di elementi con numeri r+1,…,n ed è la soluzione della (16). Quindi le colonne X e A partita, perché le soluzioni del sistema (16) sono determinate in modo univoco dall'insieme dei valori delle sue incognite libere x r +1 ,…,x n e dalle colonne A e X questi set corrispondono. Quindi, A=X= y r +1 e 1 +…+sn e K, cioè. decisione Aè una combinazione lineare di colonne e 1 ,…,y n normale FSR. Ch.t.d.

L'affermazione dimostrata è vera non solo per il normale FSR, ma anche per un FSR arbitrario di uno SLAE omogeneo.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - decisione comune sistemi di equazioni lineari omogenee

Dove Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r è un qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni,

c 1 ,c 2 ,…,ñ n - r sono numeri arbitrari.

Esempio. (pag. 78)

Stabiliamo un collegamento tra le soluzioni dello SLAE disomogeneo (1) e il corrispondente SLAE omogeneo (15)

Teorema 4. La somma di qualsiasi soluzione di un sistema disomogeneo (1) e del corrispondente sistema omogeneo (15) è una soluzione del sistema (1).

Prova. Se c 1 ,…,c n è una soluzione del sistema (1), e d 1 ,…,d n è una soluzione del sistema (15), la sostituzione in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione del sistema (1) al posto dei numeri incogniti c 1 +d 1 ,…,c n +d n , otteniamo:

B io +0=b io

Teorema 5. La differenza di due soluzioni arbitrarie del sistema disomogeneo (1) è la soluzione del sistema omogeneo (15).

Prova. Se c 1 ,…,c n e c 1 ,…,c n sono soluzioni del sistema (1), sostituendo in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione del sistema (1) al posto di incognita numeri c 1 -с 1 ,…,c n -с n , otteniamo:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Dai teoremi dimostrati consegue che la soluzione generale di un sistema di m equazioni lineari omogenee con n variabili è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (15) e un numero arbitrario di soluzioni particolari di questo sistema (15).

X neod. =X totale uno +X frequente più di una (22)

Come soluzione particolare di un sistema disomogeneo, è naturale prendere la sua soluzione, che si ottiene se nelle formule c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) posto uguale a zero tutti i numeri c r +1 ,…,c n , cioè

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Sommando questa soluzione particolare alla soluzione generale X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r corrispondente sistema omogeneo, otteniamo:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+С n - r X n - r (24)

Consideriamo un sistema di due equazioni con due variabili:

in cui almeno uno dei coefficienti aij 0.

Per risolvere, escludiamo x 2 moltiplicando la prima equazione per a 22 e la seconda per (-a 12) e sommandoli: Elimina x 1 moltiplicando la prima equazione per (-a 21) e la seconda per 11 e aggiungendoli: Espressione tra parentesi - determinante

Denotando ,, allora il sistema assumerà la forma:, cioè, se, allora il sistema ha una soluzione univoca:,.

Se Δ=0, a (o), allora il sistema è incoerente, perché si riduce alla forma Se Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, allora il sistema è incerto, perché portato in mente

Viene chiamato un sistema di equazioni lineari in cui tutti i termini liberi sono uguali a zero omogeneo :

Qualsiasi sistema omogeneo è sempre coerente, poiché lo è sempre stato zero (banale ) soluzione. Sorge la domanda in quali condizioni un sistema omogeneo avrà una soluzione non banale.

Teorema 5.2.Un sistema omogeneo ha una soluzione non banale se e solo se il rango della matrice sottostante è inferiore al numero delle sue incognite.

Conseguenza. Un sistema quadrato omogeneo ha soluzione non banale se e solo se il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero.

Esempio 5.6. Determina i valori del parametro l per cui il sistema ha soluzioni non banali e trova queste soluzioni:

Decisione. Questo sistema avrà una soluzione non banale quando il determinante della matrice principale è uguale a zero:

Pertanto, il sistema non è banale quando l=3 o l=2. Per l=3, il rango della matrice principale del sistema è 1. Quindi, lasciando una sola equazione e assumendo che y=un e z=b, noi abbiamo x=b-a, cioè.

Per l=2, il rango della matrice principale del sistema è 2. Quindi, scegliendo come minore di base:

otteniamo un sistema semplificato

Da qui lo troviamo x=z/4, y=z/2. Supponendo z=4un, noi abbiamo

L'insieme di tutte le soluzioni di un sistema omogeneo ha un aspetto molto importante proprietà lineare : se X colonne 1 e X 2 - soluzioni del sistema omogeneo AX = 0, quindi qualsiasi loro combinazione lineare un X 1+b X 2 sarà anche la soluzione di questo sistema. Infatti, poiché ASCIA 1 = 0 e ASCIA 2 = 0 , poi UN(un X 1+b X 2) = a ASCIA 1+b ASCIA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. A causa di questa proprietà, se un sistema lineare ha più di una soluzione, allora ci saranno infinite di queste soluzioni.

Colonne linearmente indipendenti e 1 , e 2 , E k, che sono soluzioni di un sistema omogeneo, si chiama sistema decisionale fondamentale sistema omogeneo di equazioni lineari se la soluzione generale di questo sistema può essere scritta come una combinazione lineare di queste colonne:

Se un sistema omogeneo ha n variabili e il rango della matrice principale del sistema è uguale a r, poi K = n-r.

Esempio 5.7. Trova il sistema fondamentale di soluzioni del seguente sistema di equazioni lineari:

Decisione. Trova il rango della matrice principale del sistema:

Pertanto, l'insieme delle soluzioni di questo sistema di equazioni forma un sottospazio lineare di dimensione n-r= 5 - 2 = 3. Scegliamo come minore base

Quindi, lasciando solo le equazioni di base (il resto sarà una combinazione lineare di queste equazioni) e le variabili di base (trasferiamo il resto, le cosiddette variabili libere a destra), otteniamo un sistema di equazioni semplificato:

Supponendo X 3 = un, X 4 = b, X 5 = c, noi troviamo

Supponendo un= 1, b=c= 0, otteniamo la prima soluzione di base; supponendo b= 1, a = c= 0, otteniamo la seconda soluzione di base; supponendo c= 1, a = b= 0, otteniamo la terza soluzione di base. Di conseguenza, prende forma il normale sistema fondamentale di soluzioni

Usando il sistema fondamentale, la soluzione generale del sistema omogeneo può essere scritta come

X = aE 1 + essere 2 + ce 3. un

Notiamo alcune proprietà delle soluzioni del sistema disomogeneo di equazioni lineari AX=B e la loro relazione con il corrispondente sistema omogeneo di equazioni AX = 0.

Soluzione generale di un sistema disomogeneoè uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo AX = 0 e di una soluzione particolare arbitraria del sistema disomogeneo. Infatti, lasciate Y 0 è una soluzione particolare arbitraria di un sistema disomogeneo, cioè AY 0 = B, e Yè la soluzione generale di un sistema disomogeneo, cioè AY=B. Sottraendo un'uguaglianza dall'altra, otteniamo
UN(Y-Y 0) = 0, cioè Y-Y 0 è la soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo ASCIA=0. Quindi, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. QED

Lascia stare sistema eterogeneo ha la forma AX = B 1 + B 2 . Quindi la soluzione generale di un tale sistema può essere scritta come X = X 1 + X 2 , dove AX 1 = B 1 e AX 2 = B 2. Questa proprietà esprime la proprietà universale di qualsiasi sistema lineare in generale (algebrico, differenziale, funzionale, ecc.). In fisica, questa proprietà è chiamata principio di sovrapposizione, in ingegneria elettrica e radio - principio di sovrapposizione. Ad esempio, nella teoria dei circuiti elettrici lineari, la corrente in qualsiasi circuito può essere ottenuta come somma algebrica delle correnti causate da ciascuna fonte di energia separatamente.

Esempio 1 . Trova una soluzione generale e qualche sistema fondamentale di soluzioni per il sistema

Decisione trova con una calcolatrice. L'algoritmo di soluzione è lo stesso dei sistemi di equazioni lineari disomogenee.
Operando solo con righe troviamo il rango della matrice, il minore di base; dichiariamo incognite dipendenti e libere e troviamo la soluzione generale.

La prima e la seconda riga sono proporzionali, una di esse verrà cancellata:

.
Variabili dipendenti - x 2, x 3, x 5, libere - x 1, x 4. Dalla prima equazione 10x 5 = 0 troviamo x 5 = 0, quindi
; .
La soluzione generale è simile a:

Troviamo il sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni. Nel nostro caso, n=5, r=3, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è costituito da due soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti. Perché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia uguale al numero delle righe, cioè 2. Basta dare le incognite libere x 1 e x 4 valori dalle righe del determinante del secondo ordine, che è diverso da zero, e calcola x 2 , x 3 , x 5 . Il più semplice determinante diverso da zero è .
Quindi la prima soluzione è: , il secondo - .
Queste due decisioni costituiscono il sistema decisionale fondamentale. Nota che il sistema fondamentale non è unico (determinanti diversi da zero possono essere composti quanti ne vuoi).

Esempio 2. Trova la soluzione generale e il sistema fondamentale di soluzioni del sistema
Decisione.



,
ne consegue che il rango della matrice è 3 e è uguale al numero sconosciuto. Ciò significa che il sistema non ha incognite libere e quindi ha una soluzione unica: una banale.

Esercizio . Esplora e risolvi un sistema di equazioni lineari.
Esempio 4

Esercizio . Trova soluzioni generali e particolari per ogni sistema.
Decisione. Scriviamo la matrice principale del sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Portiamo la matrice a una forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga di una matrice per un numero diverso da zero e sommarla a un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e sommarla a un'altra equazione, che non cambia la soluzione del sistema.
Moltiplica la 2a riga per (-5). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Moltiplica la 2a riga per (6). Moltiplica la 3a riga per (-1). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:
Trova il rango della matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Il distinto minore ha ordine più alto(dei possibili minori) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale reciproca), quindi rang(A) = 2.
Questo minore è di base. Include i coefficienti per l'incognita x 1, x 2, il che significa che l'incognita x 1, x 2 sono dipendenti (di base) e x 3, x 4, x 5 sono liberi.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la minore di base.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale e ha la forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Con il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo soluzione non banale:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono variabili dipendenti x 1 ,x 2 tramite free x 3 ,x 4 ,x 5 , ovvero abbiamo trovato decisione comune:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Troviamo il sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni.
Nel nostro caso, n=5, r=2, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è costituito da 3 soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti.
Perché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia uguale al numero delle righe, cioè 3.
Basta dare alle incognite libere x 3 ,x 4 ,x 5 valori dalle righe del determinante del 3° ordine, diversi da zero, e calcolare x 1 ,x 2 .
Il più semplice determinante diverso da zero è la matrice identità.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Compito . Trova un insieme fondamentale di soluzioni per un sistema omogeneo di equazioni lineari.