Derivate parziali di funzioni di due variabili.
Concetto ed esempi di soluzioni

In questa lezione, continueremo la nostra conoscenza della funzione di due variabili e considereremo, forse, il compito tematico più comune: trovare derivate parziali del primo e del secondo ordine, nonché differenziale totale funzioni. Gli studenti part-time, di norma, affrontano le derivate parziali al 1° anno del 2° semestre. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il compito di trovare le derivate parziali si trova quasi sempre nell'esame.

Per apprendimento efficace il materiale sottostante necessario essere in grado di trovare più o meno con sicurezza le "solite" derivate di una funzione di una variabile. Puoi imparare a gestire correttamente i derivati ​​nelle lezioni Come trovare la derivata? e Derivata di una funzione complessa. Abbiamo anche bisogno di una tabella derivata funzioni elementari e regole di differenziazione, è più conveniente se è a portata di mano in formato cartaceo. Prendilo materiale di riferimento possibile sulla pagina Formule e tabelle matematiche.

Ripetiamo velocemente il concetto di funzione di due variabili, cercherò di limitarmi al minimo indispensabile. Una funzione di due variabili viene solitamente scritta come , con le variabili chiamate variabili indipendenti o argomenti.

Esempio: - una funzione di due variabili.

A volte viene utilizzata la notazione. Ci sono anche attività in cui viene utilizzata la lettera invece di una lettera.

Da un punto di vista geometrico, una funzione di due variabili è il più delle volte una superficie di uno spazio tridimensionale (un piano, un cilindro, una palla, un paraboloide, un iperboloide, ecc.). Ma, in realtà, questa è già una geometria più analitica e abbiamo all'ordine del giorno analisi matematica, che non mi ha mai lasciato cancellare il mio professore universitario è il mio "cavallo".

Passiamo alla questione della ricerca di derivate parziali del primo e del secondo ordine. Ho delle buone notizie per quelli di voi che hanno bevuto qualche tazza di caffè e sono dell'umore giusto per materiale inimmaginabilmente difficile: le derivate parziali sono quasi le stesse delle derivate "ordinarie" di una funzione di una variabile.

Per le derivate parziali valgono tutte le regole di derivazione e la tavola delle derivate di funzioni elementari. Ci sono solo un paio di piccole differenze che conosceremo in questo momento:

... si, comunque, per questo argomento l'ho creato io piccolo libro pdf, che ti permetterà di "riempire la tua mano" in appena un paio d'ore. Ma, usando il sito, ovviamente otterrai anche il risultato, forse solo un po' più lento:

Esempio 1

Trova le derivate parziali del primo e del secondo ordine di una funzione

Per prima cosa troviamo le derivate parziali del primo ordine. Ce ne sono due.

Notazione:
o - derivata parziale rispetto a "x"
o - derivata parziale rispetto a "y"

Iniziamo con . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "x", allora la variabile è considerata una costante (numero costante).

Commenti sulle azioni intraprese:

(1) La prima cosa che facciamo quando troviamo la derivata parziale è concludere Tutto funzione tra parentesi sotto il trattino con pedice.

Attenzione importante! Gli indici NON PERDONO nel corso della soluzione. In questo caso, se disegna un "tratto" da qualche parte senza, l'insegnante, almeno, può metterlo accanto al compito (morde immediatamente parte del punteggio per disattenzione).

(2) Utilizzare le regole di differenziazione , . Per un esempio semplice come questo, entrambe le regole possono essere applicate nello stesso passaggio. Presta attenzione al primo termine: poiché è considerata una costante e qualsiasi costante può essere estratta dal segno della derivata, quindi lo togliamo dalle parentesi. Cioè, in questa situazione, non è migliore di un numero normale. Ora guardiamo al terzo termine: qui, al contrario, non c'è niente da togliere. Poiché è una costante, è anche una costante, e in questo senso non è migliore dell'ultimo termine: il "sette".

(3) Utilizziamo derivate tabulari e .

(4) Semplifichiamo, o, come mi piace dire, "combiniamo" la risposta.

Adesso . Quando troviamo la derivata parziale rispetto a "y", allora la variabileconsiderata una costante (numero costante).

(1) Usiamo le stesse regole di differenziazione , . Nel primo termine togliamo la costante oltre il segno della derivata, nel secondo termine non si toglie nulla perché è già una costante.

(2) Usiamo la tabella delle derivate di funzioni elementari. Cambia mentalmente nella tabella tutte le "X" in "Y". Cioè tabella data ugualmente valido per (e in effetti per quasi tutte le lettere). In particolare, le formule che utilizziamo si presentano così: e .

Qual è il significato delle derivate parziali?

Al loro interno, somigliano le derivate parziali di 1° ordine derivata "ordinaria".:

- Questo funzioni, che caratterizzano tasso di cambio funzioni nella direzione degli assi e rispettivamente. Quindi, ad esempio, la funzione caratterizza la pendenza di "salite" e "pendii" superfici nella direzione dell'asse delle ascisse, e la funzione ci parla del "rilievo" della stessa superficie nella direzione dell'asse delle ordinate.

! Nota : qui si fa riferimento alle indicazioni che sono paralleli assi coordinati.

Per una migliore comprensione, consideriamo un punto specifico del piano e calcoliamo il valore della funzione ("altezza") in esso:
- e ora immagina di essere qui (SULLA SUPERFICIE).

Calcoliamo la derivata parziale rispetto a "x" in un dato punto:

Ci dice il segno negativo della derivata "X". discendente funziona in un punto nella direzione dell'asse x. In altre parole, se facciamo un piccolo-piccolo (infinitesimale) passo verso la punta dell'asse (parallelo a questo asse), quindi scendere il pendio della superficie.

Ora scopriamo la natura del "terreno" nella direzione dell'asse y:

La derivata rispetto a "y" è positiva, quindi, in un punto lungo l'asse, la funzione aumenta. Se è abbastanza semplice, allora eccoci in attesa di una salita.

Inoltre, caratterizza la derivata parziale in un punto tasso di cambio funzioni nella direzione pertinente. Maggiore è il valore risultante modulo- più la superficie è ripida, e viceversa, più è vicina allo zero, più la superficie è piatta. Quindi, nel nostro esempio, la "pendenza" nella direzione dell'asse delle ascisse è più ripida della "montagna" nella direzione dell'asse delle ordinate.

Ma quelli erano due percorsi privati. È abbastanza chiaro che dal punto in cui ci troviamo, (e in generale da qualsiasi punto della superficie data) possiamo muoverci in qualche altra direzione. Pertanto, c'è interesse a compilare una "carta di navigazione" generale che ci parli del "paesaggio" della superficie. se possibile in ogni punto portata di questa funzione in tutti i modi disponibili. Di questo e di altre cose interessanti parlerò in una delle prossime lezioni, ma per ora torniamo al lato tecnico della questione.

Sistemiamo le regole elementari applicate:

1) Quando distinguiamo per , la variabile è considerata una costante.

2) Quando la differenziazione viene effettuata secondo, allora è considerata una costante.

3) Le regole e la tabella delle derivate di funzioni elementari sono valide e applicabili per qualsiasi variabile (o qualsiasi altra) rispetto alla quale si effettua la differenziazione.

Passo due. Troviamo derivate parziali del secondo ordine. Ci sono quattro di loro.

Notazione:
oppure - la seconda derivata rispetto a "x"
oppure - la seconda derivata rispetto a "y"
o - misto derivata "x per y"
o - misto derivata "Y con X"

Non ci sono problemi con la derivata seconda. parlando linguaggio semplice, la derivata seconda è la derivata della derivata prima.

Per comodità riscrivo le derivate parziali del primo ordine già trovate:

Per prima cosa troviamo le derivate miste:

Come puoi vedere, tutto è semplice: prendiamo la derivata parziale e la differenziamo ancora, ma in questo caso già per “y”.

Allo stesso modo:

In esempi pratici, puoi concentrarti sulla seguente uguaglianza:

Così, attraverso derivate miste del secondo ordine, è molto conveniente verificare se abbiamo trovato correttamente le derivate parziali del primo ordine.

Troviamo la derivata seconda rispetto a "x".
Nessuna invenzione, prendiamo e differenzialo di nuovo per "X":

Allo stesso modo:

Va notato che quando trovi , devi mostrare maggiore attenzione, poiché non ci sono uguaglianze miracolose per metterle alla prova.

Anche le derivate seconde trovano ampio uso pratico, in particolare, sono utilizzati nel problema del reperimento estremi di una funzione di due variabili. Ma ogni cosa ha il suo tempo:

Esempio 2

Calcola le derivate parziali del primo ordine della funzione nel punto . Trova le derivate del secondo ordine.

Questo è un esempio di self-solving (risposte alla fine della lezione). Se hai difficoltà a differenziare le radici, torna alla lezione Come trovare la derivata? In generale, molto presto imparerai come trovare derivati ​​simili al volo.

Mettiamo le mani su di più esempi difficili:

Esempio 3

Controllalo . Scrivi il differenziale totale del primo ordine.

Soluzione: troviamo derivate parziali del primo ordine:

Fai attenzione al pedice: accanto alla "x" non è vietato scrivere tra parentesi che è una costante. Questo segno può essere molto utile per i principianti per facilitare la navigazione nella soluzione.

Ulteriori commenti:

(1) Eliminiamo tutte le costanti al di fuori del segno della derivata. In questo caso, e , e, quindi, il loro prodotto è considerato un numero costante.

(2) Non dimenticare come differenziare correttamente le radici.

(1) Prendiamo tutte le costanti dal segno della derivata, in questo caso la costante è .

(2) Sotto il primo, abbiamo il prodotto di due funzioni, quindi, dobbiamo usare la regola di differenziazione del prodotto .

(3) Non dimenticare che è una funzione complessa (sebbene la più semplice di quelle complesse). Usiamo la regola corrispondente: .

Ora troviamo derivate miste del secondo ordine:

Ciò significa che tutti i calcoli sono corretti.

Scriviamo il differenziale totale. Nel contesto del compito in esame, non ha senso dire quale sia il differenziale totale di una funzione di due variabili. È importante che molto spesso questo molto differenziale debba essere trascritto in problemi pratici.

Differenziale totale del primo ordine funzioni di due variabili ha la forma:

In questo caso:

Cioè, nella formula devi solo sostituire stupidamente le derivate parziali del primo ordine già trovate. Icone differenziali e in questa e in situazioni simili, se possibile, è meglio scrivere in numeratori:

E su ripetuta richiesta dei lettori, differenziale completo del secondo ordine.

Si presenta così:

Trova ATTENTAMENTE i derivati ​​"a lettera singola" del 2° ordine:

e annota il "mostro", "attaccando" accuratamente i quadrati, il prodotto e senza dimenticare di raddoppiare la derivata mista:

Va bene se qualcosa ti sembra difficile, puoi sempre tornare alle derivate in un secondo momento, dopo aver ripreso la tecnica di differenziazione:

Esempio 4

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione . Controllalo . Scrivi il differenziale totale del primo ordine.

Considera una serie di esempi con funzioni complesse:

Esempio 5

Trova le derivate parziali del primo ordine della funzione.

Decisione:

Esempio 6

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .
Annota il differenziale totale.

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione). Soluzione completa Non cito, perché è abbastanza semplice

Abbastanza spesso, tutte le regole di cui sopra vengono applicate in combinazione.

Esempio 7

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .

(1) Usiamo la regola della differenziazione della somma

(2) Il primo termine in questo caso è considerato una costante, poiché non c'è nulla nell'espressione che dipenda da "x" - solo "y". Sai, è sempre bello quando una frazione può essere trasformata in zero). Per il secondo termine, applichiamo la regola della differenziazione del prodotto. A proposito, in questo senso, non cambierebbe nulla se fosse data invece una funzione - è importante che qui il prodotto di due funzioni, OGNUNO ​​dei quali dipende "X", e quindi, è necessario utilizzare la regola di differenziazione del prodotto. Per il terzo termine, applichiamo la regola di differenziazione funzione complessa.

(1) Nel primo termine, sia il numeratore che il denominatore contengono una "y", quindi è necessario utilizzare la regola per differenziare il quoziente: . Il secondo termine dipende SOLO da "x", il che significa che è considerato una costante e diventa zero. Per il terzo termine, utilizziamo la regola di differenziazione di una funzione complessa.

Per quei lettori che coraggiosamente sono arrivati ​​quasi alla fine della lezione, ti racconto un vecchio aneddoto di Mekhmatov sulla distensione:

Un tempo un derivato del male compariva nello spazio delle funzioni e come andava a differenziare tutti. Tutte le funzioni si disperdono in tutte le direzioni, nessuno vuole girare! E solo una funzione non sfugge da nessuna parte. La derivata si avvicina e chiede:

"Perché non scappi da me?"

- Ah. Ma non mi interessa, perché sono "e alla potenza di x", e non puoi farmi niente!

Al che il malvagio derivato con un sorriso insidioso risponde:

- Qui è dove ti sbagli, ti differenzierò per "y", quindi sii zero per te.

Chi ha capito la battuta, ha imparato i derivati, almeno per la "troika").

Esempio 8

Trova le derivate parziali del primo ordine di una funzione .

Questo è un esempio fai da te. Una soluzione completa e un progetto di esempio del problema sono alla fine della lezione.

Bene, questo è quasi tutto. Infine, non posso fare a meno di accontentare i matematici con un altro esempio. Non si tratta nemmeno di dilettanti, ognuno ha un diverso livello di formazione matematica: ci sono persone (e non così rare) a cui piace competere con compiti più difficili. Anche se l'ultimo esempio di questa lezione non è tanto complicato quanto ingombrante in termini di calcoli.

Le derivate parziali vengono utilizzate negli incarichi con funzioni di più variabili. Le regole per la ricerca sono esattamente le stesse delle funzioni di una variabile, con l'unica differenza che una delle variabili deve essere considerata una costante (numero costante) al momento della differenziazione.

Formula

Le derivate parziali per una funzione di due variabili $ z(x,y) $ sono scritte nella forma seguente $ z"_x, z"_y $ e si trovano usando le formule:

Derivati ​​parziali del primo ordine

$$ z"_x = \frac(\z parziale)(\x parziale) $$

$$ z"_y = \frac(\z parziale)(\y parziale) $$

Derivati ​​parziali del secondo ordine

$$ z""_(xx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale y) $$

derivata mista

$$ z""_(xy) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale x) $$

Derivata parziale di una funzione complessa

a) Sia $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, allora la derivata della funzione complessa è determinata dalla formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\z parziale)(\y parziale) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Sia $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, allora le derivate parziali della funzione sono trovate dalla formula:

$$ \frac(\z parziale)(\u parziale) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(\x parziale)(\u parziale) + \frac(\z parziale)( \parziale y) \cdot \frac(\parziale y)(\parziale u) $$

$$ \frac(\z parziale)(\v parziale) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(\x parziale)(\v parziale) + \frac(\z parziale)( \parziale y) \cdot \frac(\parziale y)(\parziale v) $$

Derivate parziali di una funzione data implicitamente

a) Sia $ F(x,y(x)) = 0 $, quindi $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Sia $ F(x,y,z)=0 $, quindi $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Trova le derivate parziali del primo ordine $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Decisione

Per trovare la derivata parziale rispetto a $ x $, assumeremo che $ y $ sia un valore costante (numero): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Per trovare la derivata parziale di una funzione rispetto a $ y $, definire $ y $ come una costante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Noi forniremo soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con lo stato di avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Esempio 2

Trova le derivate parziali di una funzione del secondo ordine $ z = e^(xy) $

Decisione

Per prima cosa devi trovare le derivate prime e poi conoscendole, puoi trovare le derivate del secondo ordine. Sia $ y $ una costante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Impostiamo ora $ x $ come valore costante: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Conoscendo le derivate prime, troviamo analogamente le seconde. Imposta $y$ costante: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + y^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Imposta $ x $ costante: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Ora resta da trovare la derivata mista. Puoi differenziare $ z"_x $ rispetto a $ y $, oppure puoi differenziare $ z"_y $ rispetto a $ x $, poiché per il teorema $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Risposta

$$ z"_x = si^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Esempio 4

Sia $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definisca una funzione implicita $ F(x,y,z) = 0 $. Trova le derivate parziali del primo ordine.

Decisione

Scriviamo la funzione nel formato: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ e troviamo le derivate: $$ z"_x (y,z - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Risposta

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Consideriamo una funzione di due variabili:

Poiché le variabili $x$ e $y$ sono indipendenti, possiamo introdurre il concetto di derivata parziale per tale funzione:

La derivata parziale della funzione $f$ nel punto $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ rispetto alla variabile $x$ è il limite

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Allo stesso modo, possiamo definire la derivata parziale rispetto alla variabile $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \destra))(\Delta y)\]

In altre parole, per trovare la derivata parziale di una funzione di più variabili, è necessario fissare tutte le altre variabili tranne quella desiderata, quindi trovare la derivata ordinaria rispetto a questa variabile desiderata.

Da ciò segue la tecnica principale per calcolare tali derivate: considera semplicemente che tutte le variabili eccetto quella data sono costanti, quindi differenzia la funzione come differenzieresti quella "ordinaria" - con una variabile. Per esempio:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\fine(allineamento)$

Ovviamente, derivate parziali rispetto a diverse variabili danno risposte diverse: questo è normale. È molto più importante capire perché, ad esempio, nel primo caso abbiamo rimosso con calma $10y$ da sotto il segno del derivato e nel secondo caso abbiamo completamente annullato il primo termine. Tutto ciò è dovuto al fatto che tutte le lettere, ad eccezione della variabile mediante la quale viene effettuata la differenziazione, sono considerate costanti: possono essere estratte, "bruciate", ecc.

Che cos'è una "derivata parziale"?

Oggi parleremo delle funzioni di più variabili e delle loro derivate parziali. Innanzitutto, qual è una funzione di più variabili? Fino ad ora, siamo stati abituati a pensare a una funzione come $y\left(x \right)$ o $t\left(x \right)$, o qualsiasi variabile e una singola funzione da essa. Ora avremo una funzione e diverse variabili. Quando $y$ e $x$ cambiano, il valore della funzione cambierà. Ad esempio, se $x$ raddoppia, il valore della funzione cambierà, mentre se $x$ cambia e $y$ non cambia, il valore della funzione cambierà allo stesso modo.

Naturalmente, una funzione di più variabili, proprio come una funzione di una variabile, può essere differenziata. Tuttavia, poiché esistono più variabili, è possibile differenziare in base a variabili diverse. In questo caso, emergono regole specifiche che non esistevano quando si differenzia una variabile.

Prima di tutto, quando consideriamo la derivata di una funzione di qualsiasi variabile, dobbiamo indicare di quale variabile consideriamo la derivata - questa è chiamata derivata parziale. Ad esempio, abbiamo una funzione di due variabili e possiamo calcolarla sia in $x$ che in $y$, due derivate parziali di ciascuna delle variabili.

In secondo luogo, non appena abbiamo fissato una delle variabili e iniziamo a calcolare la derivata parziale rispetto ad essa, tutte le altre incluse in questa funzione sono considerate costanti. Ad esempio, in $z\left(xy \right)$, se consideriamo la derivata parziale rispetto a $x$, allora ovunque incontriamo $y$, la consideriamo una costante e la trattiamo esattamente come una costante. In particolare, quando calcoliamo la derivata di un prodotto, possiamo togliere $y$ dalla parentesi (abbiamo una costante), e quando calcoliamo la derivata della somma, se otteniamo da qualche parte la derivata di un'espressione contenente $y$ e non contenente $x$, la derivata di questa espressione sarà uguale a "zero" come derivata della costante.

A prima vista, può sembrare che sto parlando di qualcosa di complesso e molti studenti all'inizio si confondono. Tuttavia, non c'è nulla di soprannaturale nelle derivate parziali, e ora lo vedremo sull'esempio di problemi specifici.

Problemi con radicali e polinomi

Compito #1

Per non perdere tempo invano, inizieremo fin dall'inizio con esempi seri.

Comincio con la seguente formula:

Questo è il valore della tabella standard che conosciamo dal corso standard.

In questo caso, la derivata $z$ è calcolata come segue:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Ripeto, dato che la radice non è $x$, ma qualche altra espressione, in questo caso $\frac(y)(x)$, quindi useremo prima il valore della tabella standard, e poi, poiché la radice non è $ x $ e un'altra espressione, dobbiamo moltiplicare la nostra derivata per un'altra di questa espressione rispetto alla stessa variabile. Cominciamo con quanto segue:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Torniamo alla nostra espressione e scriviamo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Fondamentalmente, questo è tutto. Tuttavia, è sbagliato lasciarlo in questa forma: una tale costruzione è scomoda da utilizzare per ulteriori calcoli, quindi trasformiamola un po':

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Risposta trovata. Ora affrontiamo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Scriviamo separatamente:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Adesso scriviamo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Fatto.

Compito #2

Questo esempio è sia più semplice che più complesso del precedente. Più difficile, perché ci sono più azioni, ma più facile, perché non c'è radice e, inoltre, la funzione è simmetrica rispetto a $x$ e $y$, cioè se scambiamo $x$ e $y$, la formula non cambia. Questa osservazione semplificherà ulteriormente il calcolo della derivata parziale, cioè è sufficiente calcolarne uno, e nel secondo scambiare solo $x$ e $y$.

Andiamo al sodo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Contiamo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Tuttavia, molti studenti non capiscono un record del genere, quindi lo scriviamo in questo modo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Quindi, siamo ancora una volta convinti dell'universalità dell'algoritmo della derivata parziale: non importa come li consideriamo, se tutte le regole sono applicate correttamente, la risposta sarà la stessa.

Ora affrontiamo un'altra derivata parziale dalla nostra grande formula:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Sostituiamo le espressioni risultanti nella nostra formula e otteniamo:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ destra)-xy((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(\prime ))_(x))(((\sinistra (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \destra))(((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2 )))\]

$x$ contati. E per calcolare $y$ dalla stessa espressione, non eseguiamo la stessa sequenza di azioni, ma usiamo la simmetria della nostra espressione originale: sostituiamo semplicemente tutti i $y$ nella nostra espressione originale con $x$ e viceversa:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

A causa della simmetria, abbiamo calcolato questa espressione molto più velocemente.

Sfumature della soluzione

Tutti funzionano per derivate parziali formule standard, che usiamo per quelli ordinari, cioè la derivata del quoziente. In questo caso, però, emergono le sue specificità: se consideriamo la derivata parziale di $x$, quando la otteniamo da $x$, la consideriamo come una costante, e quindi la sua derivata sarà uguale a " zero".

Come nel caso delle derivate ordinarie, il quoziente (uno e lo stesso) può essere calcolato per più diversi modi. Ad esempio, la stessa costruzione che abbiamo appena calcolato può essere riscritta come segue:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Tuttavia, d'altra parte, puoi usare la formula della somma derivata. Come sappiamo, è uguale alla somma delle derivate. Ad esempio, scriviamo quanto segue:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Ora, sapendo tutto questo, proviamo a lavorare con espressioni più serie, poiché le derivate parziali reali non si limitano ai soli polinomi e radici: ci sono trigonometria, e logaritmi, e una funzione esponenziale. Ora facciamolo.

Problemi con funzioni trigonometriche e logaritmi

Compito #1

Scriviamo le seguenti formule standard:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Forti di questa conoscenza, proviamo a risolvere:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Scriviamo una variabile separatamente:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Torna al nostro design:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Abbiamo trovato tutto per $x$, ora facciamo i calcoli per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Ancora una volta, considera un'espressione:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \destra)\]

Torniamo all'espressione originale e continuiamo la soluzione:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Fatto.

Compito #2

Scriviamo la formula di cui abbiamo bisogno:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Ora contiamo per $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Trovato da $x$. Contando per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problema risolto.

Sfumature della soluzione

Quindi, indipendentemente dalla funzione da cui prendiamo una derivata parziale, le regole rimangono le stesse, indipendentemente dal fatto che stiamo lavorando con la trigonometria, con le radici o con i logaritmi.

Le regole classiche per lavorare con le derivate standard rimangono invariate, ovvero la derivata della somma e differenza, il quoziente e la funzione complessa.

L'ultima formula si trova più spesso nella risoluzione di problemi con derivate parziali. Li incontriamo quasi ovunque. Non c'è stato ancora un singolo compito in cui non ci siamo imbattuti lì. Ma indipendentemente dalla formula che usiamo, aggiungiamo ancora un requisito in più, vale a dire la caratteristica di lavorare con le derivate parziali. Non appena fissiamo una variabile, tutte le altre sono costanti. In particolare, se consideriamo la derivata parziale dell'espressione $\cos \frac(x)(y)$ rispetto a $y$, allora è $y$ che è la variabile, e $x$ rimane costante ovunque. Lo stesso funziona viceversa. Può essere tolto dal segno della derivata e la derivata della costante stessa sarà uguale a "zero".

Tutto ciò porta al fatto che le derivate parziali della stessa espressione, ma rispetto a variabili diverse, possono apparire completamente diverse. Consideriamo ad esempio le seguenti espressioni:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemi con funzioni esponenziali e logaritmi

Compito #1

Iniziamo scrivendo la seguente formula:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Conoscendo questo fatto, oltre alla derivata di una funzione complessa, proviamo a calcolare. Ora risolverò in due modi diversi. La prima e più ovvia è la derivata del prodotto:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Risolviamo separatamente la seguente espressione:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cpunto y-x\cpunto 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Torniamo al nostro design originale e continuiamo la soluzione:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\destra)\]

Tutto, $x$ contati.

Tuttavia, come promesso, ora cercheremo di calcolare la stessa derivata parziale in un modo diverso. Per fare ciò, notare quanto segue:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Scriviamola così:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]

Di conseguenza, abbiamo ottenuto esattamente la stessa risposta, ma la quantità di calcoli si è rivelata inferiore. Per fare ciò bastava notare che moltiplicando il prodotto si possono sommare gli esponenti.

Ora contiamo per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Risolviamo un'espressione separatamente:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Continuiamo la soluzione della nostra costruzione originale:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naturalmente, la stessa derivata potrebbe essere calcolata nel secondo modo, la risposta sarebbe la stessa.

Compito #2

Contiamo per $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Contiamo un'espressione separatamente:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Continuiamo la soluzione della costruzione originale: $$

Ecco la risposta.

Resta da trovare per analogia con $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Contiamo un'espressione separatamente come sempre:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Continuiamo la soluzione della struttura principale:

Tutto è contato. Come puoi vedere, a seconda di quale variabile viene presa per la differenziazione, le risposte sono completamente diverse.

Sfumature della soluzione

Ecco un vivido esempio di come la derivata della stessa funzione può essere calcolata in due modi diversi. Guarda qui:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ sinistra(1+\frac(1)(y)\destra)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Quando si scelgono percorsi diversi, la quantità di calcoli potrebbe essere diversa, ma la risposta, se tutto viene eseguito correttamente, sarà la stessa. Questo vale sia per le derivate classiche che per quelle parziali. Allo stesso tempo, vi ricordo ancora una volta: a seconda di quale variabile viene presa la derivata, cioè differenziazione, la risposta può essere completamente diversa. Aspetto:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpunto 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cpunto 1\]

In conclusione, per consolidare tutto questo materiale, proviamo a contare altri due esempi.

Problemi con una funzione trigonometrica e una funzione a tre variabili

Compito #1

Scriviamo queste formule:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Risolviamo ora la nostra espressione:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Separatamente, considera la seguente costruzione:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Continuiamo a risolvere l'espressione originale:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Questa è la risposta finale della variabile privata per $x$. Ora contiamo per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Risolviamo un'espressione separatamente:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Risolviamo la nostra costruzione fino in fondo:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Compito #2

A prima vista, questo esempio può sembrare piuttosto complicato, perché ci sono tre variabili. In effetti, questa è una delle attività più semplici nel tutorial video di oggi.

Trova per $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \destra))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Ora affrontiamo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Abbiamo trovato la risposta.

Ora resta da trovare per $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cpunto ((e)^(z))\]

Abbiamo calcolato la derivata terza, sulla quale la soluzione del secondo problema è completamente completata.

Sfumature della soluzione

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questi due esempi. L'unica cosa che abbiamo visto è che la derivata di una funzione complessa viene usata frequentemente e, a seconda della derivata parziale che consideriamo, otteniamo risposte diverse.

Nell'ultima attività, ci è stato chiesto di gestire una funzione di tre variabili contemporaneamente. Non c'è niente di sbagliato in questo, ma alla fine ci siamo assicurati che differissero tutti in modo significativo l'uno dall'altro.

Punti chiave

Le conclusioni finali del video tutorial di oggi sono le seguenti:

1. Le derivate parziali sono considerate alla stregua di quelle ordinarie, mentre per calcolare la derivata parziale rispetto ad una variabile, tutte le altre variabili comprese in questa funzione, prendiamo come costanti.
2. Quando si lavora con le derivate parziali, utilizziamo tutte le stesse formule standard delle derivate ordinarie: la somma, la differenza, la derivata del prodotto e il quoziente e, naturalmente, la derivata di una funzione complessa.

Ovviamente, guardare questo video tutorial da solo non è sufficiente per comprendere appieno questo argomento, quindi in questo momento sul mio sito Web per questo particolare video c'è una serie di attività dedicate all'argomento di oggi: vai, scarica, risolvi queste attività e controlla la risposta. E dopo, nessun problema con le derivate parziali né in esami né in corso lavoro indipendente non lo farai. Naturalmente, questa non è l'ultima lezione matematica superiore, quindi visita il nostro sito Web, aggiungi VKontakte, iscriviti a YouTube, metti Mi piace e resta con noi!

Sia data una funzione. Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane invariata. Incrementiamo la variabile indipendente x mantenendo invariato il valore di y. Quindi z riceverà un incremento, chiamato incremento parziale di z di x ed è indicato da . Così, .

Allo stesso modo, otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y: .

Incremento completo la funzione z è definita dall'uguaglianza.

Se esiste un limite, allora si chiama derivata parziale della funzione nel punto rispetto alla variabile x ed è indicata da uno dei simboli:

.

Le derivate parziali rispetto a x in un punto sono solitamente indicate dai simboli .

La derivata parziale di rispetto alla variabile y è definita e denotata in modo simile:

Pertanto, la derivata parziale di una funzione di più (due, tre o più) variabili è definita come la derivata di una funzione di una di queste variabili, soggetta alla costanza dei valori delle restanti variabili indipendenti. Pertanto, le derivate parziali di una funzione si trovano secondo le formule e le regole per calcolare le derivate di una funzione di una variabile (in questo caso, x o y, rispettivamente, sono considerati un valore costante).

Le derivate parziali sono anche dette derivate parziali del primo ordine. Possono essere considerati come funzioni di . Queste funzioni possono avere derivate parziali, che sono chiamate derivate parziali del secondo ordine. Sono definiti e indicati come segue:

; ;

; .

Differenziali di 1° e 2° ordine di una funzione di due variabili.

Il differenziale totale di una funzione (formula 2.5) è chiamato differenziale del primo ordine.

La formula per calcolare il differenziale totale è la seguente:

(2.5) o , dove ,

differenziali parziali della funzione.

Sia la funzione a derivate parziali continue del secondo ordine. Il differenziale del secondo ordine è determinato dalla formula. Troviamolo:

Da qui: . Simbolicamente è scritto così:

.

INDEFINITO INTEGRALE.

Antiderivata di una funzione, integrale indefinito, proprietà.

Viene chiamata la funzione F(x). primitivo per una data funzione f(x), se F"(x)=f(x), oppure, che è lo stesso, se dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Se una funzione f(x), definita in un intervallo (X) di lunghezza finita o infinita, ha un'antiderivativa, F(x), allora ha anche infiniti antiderivate; sono tutti contenuti nell'espressione F(x)+C, dove C è una costante arbitraria.

Si chiama l'insieme di tutte le antiderivate per una data funzione f(x), definita in qualche intervallo o su qualche segmento di lunghezza finita o infinita integrale indefinito dalla funzione f(x) [o dall'espressione f(x)dx ] ed è indicato dal simbolo .

Se F(x) è una delle antiderivate per f(x), allora per il teorema antiderivativa

, dove C è una costante arbitraria.

Per definizione dell'antiderivativa F "(x)=f(x) e, quindi, dF(x)=f(x) dx. Nella formula (7.1), f(x) è chiamato integrando, e f( x) dx è chiamata espressione integrando.

Il concetto di funzione di molte variabili

Siano presenti n-variabili e ad ogni x 1, x 2 ... x n di un certo insieme x viene assegnata una definizione. il numero Z, quindi sull'insieme x viene data la funzione Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) di molte variabili.

X - area delle funzioni definite

x 1, x 2 ... x n - variabile indipendente (argomenti)

Z - funzione Esempio: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volume del cilindro)

Considera Z \u003d f (x; y) - f-tion di 2 variabili x (x 1, x 2 sostituito da x, y). I risultati sono trasferiti per analogia ad altre funzioni di molte variabili. L'area di definizione della funzione di 2 variabili è l'intera corda del quadrato (ooh) o parte di essa. Mn-nel valore della esima funzione di 2 variabili: la superficie in uno spazio tridimensionale.

Tecniche di costruzione dei grafi: - Sezione Rassm-t sulla superficie del quadrato || quadrati coordinati.

Esempio: x \u003d x 0, zn. quadrato X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tipo di funzione: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Ad esempio: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Cerchio parabola(centro(0;1)

Limiti e continuità delle funzioni di due variabili

Sia data Z = f (x; y), allora A è il limite della f-zione in m (x 0, y 0), se per qualsiasi put arbitrariamente piccolo. numero E>0 sostantivo-t numero positivo b>0, che per ogni x,y soddisfa |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) è continuo in t. (x 0, y 0), se: - è definito in questo t .; - ha un finito limite in x, tendente a x 0 e y a y 0; - questo limite = valore

funzioni in t. (x 0, y 0), cioè limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Se la funzione è continua in ciascuno. t. mn-va X, allora è continuo in quest'area

Funzione differenziale, sua geosignificato. L'uso di dif-la in valori approssimativi.

dy=f'(x)∆x – funzione differenziale

dy=dx, cioè dy=f '(x)dx se y=x

Dal punto di vista di un geologo, una funzione differenziale è un incremento nell'ordinata della tangente tracciata al grafico della funzione in un punto con l'ascissa x 0

Dif-l viene utilizzato nel calcolo di ca. valori della funzione secondo la formula: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f'(x 0)∆x

Più ∆x è vicino a x, più accurato è il risultato.

Derivati ​​parziali del primo e del secondo ordine

Derivata del primo ordine (che è chiamata privata)

A. Siano x, y gli incrementi di variabili indipendenti x e y ad un certo punto dalla regione X. Allora il valore uguale a z = f(x + x, y + y) = f(x, y) è chiamato incremento totale nel punto x 0, y 0. Se la variabile x è fissa e la variabile y è incrementata di y, allora otteniamo zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

La derivata parziale della variabile y è definita in modo simile, cioè

La derivata parziale di una funzione di 2 variabili si trova secondo le stesse regole delle funzioni di una variabile.

La differenza è che quando si differenzia una funzione rispetto alla variabile x, y è considerata const, e quando si differenzia rispetto a y, x è considerata const.

Le coste isolate sono collegate alla funzione con operazioni di addizione/sottrazione.

I const associati sono collegati alla funzione con operazioni di moltiplicazione/divisione.

Derivata di const isolata = 0

1.4.Differenziale totale di una funzione di 2 variabili e sue applicazioni

Sia z = f(x,y), allora

tz = - è chiamato incremento completo

Derivata parziale del 2° ordine

Per funzioni continue di 2 variabili, le derivate parziali miste del 2° ordine e coincidono.

L'uso di derivate parziali per determinare le derivate parziali di funzioni max e min è chiamato estremi.

A. I punti sono chiamati max o min z = f(x,y) se ci sono dei segmenti tali che per tutti x e y da questo intorno f(x,y)

T. Se si dà un punto estremo di una funzione di 2 variabili, allora il valore delle derivate parziali a questo punto è uguale a 0, cioè ,

I punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono dette stazionarie o critiche.

Pertanto, per trovare i punti estremi di una funzione di 2 variabili, vengono utilizzate condizioni estreme sufficienti.

Sia la funzione z = f(x,y) due volte differenziabile, e sia il punto stazionario,

1) e maxA<0, minA>0.

1.4.(*)differenziale completo. Il significato geometrico del differenziale. Applicazione del differenziale nei calcoli approssimativi

O. Sia definita la funzione y = f(x) in qualche intorno nei punti . Una funzione f(x) è detta derivabile in un punto se il suo incremento in questo punto , dove è rappresentato nella forma (1)

Dove A è un valore costante indipendente da , in un punto fisso x, - infinitamente piccolo in . Una funzione A relativamente lineare è chiamata differenziale della funzione f(x) in un punto ed è indicata con df() o dy.

Pertanto, l'espressione (1) può essere scritta come ().

La funzione differenziale nell'espressione (1) ha la forma dy = A . Come ogni funzione lineare, è definita per qualsiasi valore mentre l'incremento della funzione va considerato solo per quelle per cui + appartiene al dominio della funzione f(x).

Per comodità di notazione del differenziale, l'incremento è indicato con dx ed è chiamato differenziale della variabile indipendente x. Pertanto, il differenziale è scritto come dy = Adx.

Se la funzione f(x) è differenziabile in ogni punto di un intervallo, allora il suo differenziale è una funzione di due variabili: il punto x e la variabile dx:

T. Affinché la funzione y = g(x) sia differenziabile ad un certo punto, è necessario e sufficiente che a questo punto abbia una derivata, mentre

(*)Prova. Bisogno.

Sia la funzione f(x) derivabile nel punto , cioè, . Quindi

Pertanto, la derivata f'() esiste ed è uguale ad A. Quindi dy = f'()dx

Adeguatezza.

Sia una derivata f'(), cioè = f'(). Allora la curva y = f(x) è un segmento tangente. Per calcolare il valore di una funzione in un punto x, prendi un punto in alcuni dei suoi dintorni, in modo tale che non sia difficile trovare f() e f'()/