$E \sottoinsieme \mathbb(R)^(n)$. Si dice che $f$ ha massimo locale nel punto $x_(0) \in E$ se esiste un intorno $U$ del punto $x_(0)$ tale che per ogni $x \in U$ la disuguaglianza $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Viene chiamato il massimo locale rigoroso , se il vicinato $U$ può essere scelto in modo tale che per tutti i $x \in U$ diversi da $x_(0)$ ci sia $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definizione
Sia $f$ una funzione reale su set aperto$E \sottoinsieme \mathbb(R)^(n)$. Si dice che $f$ ha minimo locale nel punto $x_(0) \in E$ se esiste un intorno $U$ del punto $x_(0)$ tale che per ogni $x \in U$ la disuguaglianza $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Un minimo locale si dice stretto se il vicinato $U$ può essere scelto in modo che per tutti $x \in U$ diversi da $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\destra)$.

Un extremum locale combina i concetti di minimo locale e massimo locale.

Teorema (condizione necessaria per l'estremo di una funzione differenziabile)
Sia $f$ una funzione reale su un insieme aperto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se nel punto $x_(0) \in E$ ha la funzione $f$ estremo locale e a questo punto, allora $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ $$\displaystyle\frac(\f parziale)(\x parziale_(i))\sinistra(x_(0)\destra)=0.$$

Nel caso unidimensionale, questo è . Denota $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, dove $h$ è un vettore arbitrario. La funzione $\phi$ è definita per valori modulo sufficientemente piccoli di $t$. Inoltre, rispetto a , è differenziabile, e $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Sia $f$ un massimo locale a x $0$. Quindi, la funzione $\phi$ a $t = 0$ ha un massimo locale e, per il teorema di Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Quindi, abbiamo che $df \left(x_(0)\right) = 0$, cioè la funzione $f$ nel punto $x_(0)$ è uguale a zero su qualsiasi vettore $h$.

Definizione
I punti in cui il differenziale è uguale a zero, cioè quelle in cui tutte le derivate parziali sono uguali a zero si dicono stazionarie. punti critici le funzioni $f$ sono quei punti in cui $f$ non è differenziabile, o è uguale a zero. Se il punto è stazionario, allora non segue ancora che la funzione abbia un estremo a questo punto.

Esempio 1
Sia $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Quindi $\displaystyle\frac(\parziale f)(\parziale x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\parziale f)(\parziale y) = 3 \cdot y^(2 )$, quindi $\left(0,0\right)$ è un punto stazionario, ma la funzione non ha estremi a questo punto. Infatti, $f \left(0,0\right) = 0$, ma è facile vedere che in ogni vicinanza del punto $\left(0,0\right)$ la funzione assume valori sia positivi che negativi.

Esempio 2
La funzione $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ha l'origine delle coordinate come punto stazionario, ma è chiaro che a questo punto non esiste un estremo.

Teorema ( condizione sufficiente estremo).
Sia una funzione $f$ due volte continuamente differenziabile su un insieme aperto $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sia $x_(0) \in E$ un punto stazionario e $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\parziale^(2) f)(\parziale x_(i) \parziale x_(j)) \sinistra(x_(0)\destra)h^(i)h^(j).$ $ Allora

1. se $Q_(x_(0))$ – , allora la funzione $f$ nel punto $x_(0)$ ha un estremo locale, ovvero il minimo se la forma è definita positiva e il massimo se la forma è negativo-definito;
2. se la forma quadratica $Q_(x_(0))$ è indefinita, allora la funzione $f$ nel punto $x_(0)$ non ha estremi.

Usiamo l'espansione secondo la formula di Taylor (12.7 p. 292) . Tenendo conto che le derivate parziali del primo ordine nel punto $x_(0)$ sono uguali a zero, otteniamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\destra) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\parziale^(2) f)(\parziale x_(i) \ parziale x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ dove $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ e $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ per $h \rightarrow 0$, quindi il lato destro è positivo per qualsiasi vettore $h$ di lunghezza sufficientemente piccola.
Quindi, siamo giunti alla conclusione che in qualche intorno del punto $x_(0)$ la disuguaglianza $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ è soddisfatta se solo $ x \neq x_ (0)$ (inseriamo $x=x_(0)+h$\right). Ciò significa che nel punto $x_(0)$ la funzione ha un minimo locale stretto, e quindi la prima parte del nostro teorema è dimostrata.
Supponiamo ora che $Q_(x_(0))$ sia una forma indefinita. Poi ci sono i vettori $h_(1)$, $h_(2)$ tali che $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Quindi otteniamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Per $t>0$ sufficientemente piccoli, il lato destro è positivo. Ciò significa che in qualsiasi vicinanza del punto $x_(0)$ la funzione $f$ assume valori $f \left(x\right)$ maggiori di $f \left(x_(0)\right)$.
Allo stesso modo, otteniamo che in qualsiasi intorno del punto $x_(0)$ la funzione $f$ assume valori inferiori a $f \left(x_(0)\right)$. Questo, insieme alla precedente, significa che la funzione $f$ non ha un estremo nel punto $x_(0)$.

Consideriamo un caso speciale di questo teorema per una funzione $f \left(x,y\right)$ di due variabili definite in qualche intorno del punto $\left(x_(0),y_(0)\right) $ e aventi derivate parziali continue del primo e del secondo ordine. Sia $\left(x_(0),y_(0)\right)$ un punto stazionario e sia $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x \parziale y) \left(x_( 0) , y_(0)\destra), a_(22)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale y^(2)) \sinistra(x_(0), y_(0)\destra ). $$ Allora il teorema precedente assume la forma seguente.

Teorema
Sia $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Quindi:

1. se $\Delta>0$, allora la funzione $f$ ha un estremo locale nel punto $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ovvero un minimo se $a_(11)> 0$ e massimo se $a_(11)<0$;
2. se $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Esempi di problem solving

Algoritmo per trovare l'estremo di una funzione di molte variabili:

1. Troviamo punti stazionari;
2. Troviamo il differenziale del 2° ordine in tutti i punti stazionari
3. Usando la condizione sufficiente per l'estremo di una funzione di più variabili, consideriamo il differenziale del secondo ordine in ogni punto stazionario

1. Esamina la funzione fino all'estremo $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Decisione

   Trova le derivate parziali del 1° ordine: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f) (\ y parziale) = 24 \ cdot y ^ (2) — 6 \ cdot x. $ $ Componi e risolvi il sistema: $$ \ displaystyle \ begin (casi) \ frac (\ f parziale) (\ x parziale ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(casi) \Freccia destra \begin(casi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Dalla seconda equazione, esprimiamo $x=4 \cdot y^(2)$ — sostituisci nella prima equazione: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ destra )^(2)-2 \cpunto y=0$$ $$16 \cpunto y^(4) — 2 \cpunto y = 0$$ $$8 \cpunto y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Di conseguenza, si ottengono 2 punti stazionari:
   1) $y=0 \Freccia destra x = 0, M_(1) = \sinistra(0, 0\destra)$;
   2) $ \ displaystyle 8 \ cpunto y ^ (3) -1 = 0 \ freccia destra y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ freccia destra y = \ frac (1) (2) \ freccia destra x=1 , M_(2) = \sinistra(\frac(1)(2), 1\destra)$
   Verifichiamo il soddisfacimento della condizione estrema sufficiente:
   $$ \ displaystyle \ frac (\ parziale ^ (2) f) (\ parziale x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \frac(\parziale^(2) f)(\parziale x \parziale y)=-6; \frac(\parziale^(2) f)(\parziale y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Per il punto $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x^(2))\sinistra(0,0\destra)=0; B_(1)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x \parziale y) \sinistra(0,0\destra)=-6; C_(1)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale y^(2)) \sinistra(0,0\destra)=0;$$
   $A_(1) \cpunto B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Per il punto $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x^(2))\sinistra(1,\frac(1)(2)\destra)=6; B_(2)=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x \parziale y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\parziale^(2) f)(\y parziale^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, quindi c'è un estremo nel punto $M_(2)$, e poiché $A_(2)>0 $, allora questo è il minimo.
   Risposta: Il punto $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ è il punto minimo della funzione $f$.
   

2. Esaminare la funzione per l'estremo $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Decisione

   Trova i punti stazionari: $ $ \ displaystyle \ frac (\ parziale f) (\ parziale x) = 2 \ cdot y - 4; $ $ \ displaystyle \ frac (\ parziale f) (\ parziale y) = 2 \ cdot y + 2 \cpunto x — 2.$$
   Componi e risolvi il sistema: $$\displaystyle \begin(casi)\frac(\partial f)(\parziale x)= 0\\\frac(\parziale f)(\parziale y)= 0\end(casi) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\fine(casi) \Freccia destra x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ è un punto stazionario.
   Verifichiamo il soddisfacimento della condizione estrema sufficiente: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale x \parziale y) \sinistra(-1,2\destra)=2; C=\frac(\parziale^(2) f)(\parziale y^(2)) \sinistra(-1,2\destra)=2;$$
   $A \cpunto B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Risposta: non ci sono estremi.
   

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Esaminare la funzione $f$ per gli estremi: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Correttamente


Non giusto


1. Compito 2 di 4

   2 .

   Numero di punti: 1

   La funzione $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

   Correttamente

Definizione Per la funzione f(x, y) viene chiamata l'espressione Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) pieno incremento .

Se la funzione f(x, y) ha derivate parziali continue, allora

Quindi otteniamo applicando il teorema di Lagrange

Perché le derivate parziali sono continue, quindi possiamo scrivere le uguaglianze:

Definizione. L'espressione è chiamata pieno incremento funzioni f(x, y) in un punto (x, y), dove a 1 e a 2 sono funzioni infinitesime come Dх ® 0 e Dу ® 0, rispettivamente.

Definizione: differenziale completo la funzione z = f(x, y) è detta lineare principale rispetto agli incrementi Dx e Dy della funzione Dz nel punto (x, y).

Per funzione numero arbitrario variabili:

Esempio. Trova il differenziale completo della funzione.

Esempio. Trova il differenziale completo di una funzione

Il significato geometrico del differenziale totale.

Piano tangente e normale alla superficie.

normale

piano tangente

Siano N e N 0 punti della superficie data. Tracciamo una retta NN 0 . Viene chiamato il piano che passa per il punto N 0 piano tangente alla superficie se l'angolo tra la secante NN 0 e questo piano tende a zero quando la distanza NN 0 tende a zero.

Definizione. normale alla superficie nel punto N 0 si dice una retta passante per il punto N 0 perpendicolare al piano tangente a questa superficie.

Ad un certo punto, la superficie ha un solo piano tangente o non lo ha affatto.

Se la superficie è data dall'equazione z \u003d f (x, y), dove f (x, y) è una funzione derivabile nel punto M 0 (x 0, y 0), il piano tangente nel punto N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) esiste e ha l'equazione:

L'equazione per la normale alla superficie a questo punto è:

senso geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili f (x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (coordinata z) del piano tangente alla superficie durante il passaggio dal punto (x 0, y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Come visto, senso geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili è un analogo spaziale del significato geometrico del differenziale di una funzione di una variabile.

Esempio Trova le equazioni del piano tangente e normale alla superficie

Al punto M(1, 1, 1).

Equazione del piano tangente:

Equazione normale:

Derivati ​​parziali di ordini superiori.

Sia un insieme X nello spazio. Ogni punto di questo insieme è definito da un insieme di numeri, che sono le coordinate del punto dato. Diremo che una funzione di n-variabili è data sull'insieme X se ogni punto secondo una certa legge viene assegnato un unico numero z, cioè .

Esempio: let x 1, x 2, x 3 - la lunghezza, larghezza e profondità della piscina. Quindi troviamo la superficie della piscina.

Funzione di n-variabili si dice continua in un punto , se il limite della funzione in questo punto è uguale al valore della funzione nel punto limite, cioè .

Definizione: derivata parziale di una funzione rispetto alla variabile è detta derivata della funzione z rispetto alla variabile, calcolata a condizione che tutte le altre variabili rimangano costanti.

Derivato privato.

Esempio

Per una funzione di due variabili si possono quindi introdurre quattro derivate parziali del secondo ordine

1., leggi: due z due volte.

Teorema le derivate miste, dove sono continue, non dipendono dall'ordine in cui le derivate sono calcolate. Questo è vero per le derivate miste di qualsiasi ordine e per una funzione di qualsiasi numero di variabili.

Se la funzione f(x, y) è definita in qualche dominio D, allora anche le sue derivate parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso.

Chiameremo queste derivate derivate parziali del primo ordine.

Le derivate di queste funzioni saranno derivate parziali del secondo ordine.

Continuando a differenziare le uguaglianze ottenute, otteniamo derivate parziali di ordini superiori.

Definizione Derivate parziali della forma eccetera. chiamata derivati ​​misti.

Teorema Se la funzione f(x, y) e le sue derivate parziali sono definite e continue nel punto M(x, y) e nel suo intorno, allora la relazione è vera: .

quindi viene chiamato il punto M 0 punto minimo.

Teorema (Condizioni necessarie per un estremo) Se la funzione f (x, y) nel punto (x 0, y 0) ha un estremo, allora a questo punto entrambe le sue derivate parziali del primo ordine sono zero, o almeno una di esse non esiste.

Questo punto (x 0, y 0) verrà chiamato punto critico.

Teorema (Condizioni sufficienti per un estremo) Sia in prossimità del punto critico (x 0, y 0) che la funzione f(x, y) abbia derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso. Considera l'espressione:

1) Se D(x 0 , y 0) > 0, allora nel punto (x 0 , y 0) la funzione f(x, y) ha un estremo se

2) - 0, quindi nel punto (x 0, y 0) la funzione f (x, y) non ha un estremo

Se D = 0, non si può trarre la conclusione sulla presenza di un estremo.

Il significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili f (x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (coordinata z) del piano tangente alla superficie durante la transizione dal punto (x 0, y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Derivati ​​parziali di ordini superiori. : Se la funzione f(x, y) è definita in qualche dominio D, allora anche le sue derivate parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso. Chiameremo queste derivate derivate parziali del primo ordine.

Le derivate di queste funzioni saranno derivate parziali del secondo ordine.

Continuando a differenziare le uguaglianze ottenute, otteniamo derivate parziali di ordini superiori. Definizione. Derivate parziali della forma eccetera. prendono il nome di derivate miste. Teorema di Schwartz:

Se derivati ​​parziali di ordini superiori f.m.s. sono derivate continue, quindi miste dello stesso ordine, che differiscono solo nell'ordine di differenziazione = tra loro.

Qui n è la potenza simbolica della derivata, che viene sostituita dalla potenza reale dopo che l'espressione tra parentesi è stata elevata ad essa.

14. L'equazione del piano tangente e normale alla superficie!

Siano N e N 0 punti della superficie data. Tracciamo una retta NN 0 . Viene chiamato il piano che passa per il punto N 0 piano tangente alla superficie se l'angolo tra la secante NN 0 e questo piano tende a zero quando la distanza NN 0 tende a zero.

Definizione. normale alla superficie nel punto N 0 si dice una retta passante per il punto N 0 perpendicolare al piano tangente a questa superficie.

Ad un certo punto, la superficie ha un solo piano tangente o non lo ha affatto.

Se la superficie è data dall'equazione z \u003d f (x, y), dove f (x, y) è una funzione derivabile nel punto M 0 (x 0, y 0), piano tangente nel punto N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) esiste e ha l'equazione:

L'equazione della normale alla superficie in questo punto:

senso geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili f (x, y) nel punto (x 0, y 0) è l'incremento dell'applicata (coordinata z) del piano tangente alla superficie durante il passaggio dal punto (x 0, y 0) al punto (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Come puoi vedere, il significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili è un analogo spaziale del significato geometrico del differenziale di una funzione di una variabile.

16. Campo scalare e sue caratteristiche Linee di livello, derivate di direzione, gradiente di campo scalare.

Se a ogni punto nello spazio viene assegnata una quantità scalare , allora sorge un campo scalare (ad esempio un campo di temperatura, un campo di potenziale elettrico). Se vengono immesse coordinate cartesiane, indicare anche o Il campo può essere piatto se centrale (sferico) se cilindrico, se

Superfici e linee di livello: le proprietà dei campi scalari possono essere visualizzate utilizzando superfici di livello. Si tratta di superfici nello spazio su cui assume un valore costante. La loro equazione è: . In un campo scalare piatto, le linee di livello sono curve su cui il campo assume un valore costante: In alcuni casi, le linee di livello possono degenerare in punti e le superfici di livello in punti e curve.

Derivata direzionale e gradiente del campo scalare:

Sia il vettore unitario con le coordinate un campo scalare. La derivata direzionale caratterizza il cambiamento nel campo in una data direzione ed è calcolata dalla formula La derivata direzionale è il prodotto scalare di un vettore e di un vettore con coordinate , che è chiamato gradiente della funzione ed è indicato da . Since , dove l'angolo tra e , il vettore indica la direzione dell'aumento più rapido nel campo e il suo modulo è uguale alla derivata in questa direzione. Poiché le componenti del gradiente sono derivate parziali, è facile ottenere le seguenti proprietà del gradiente:

17. FMP extrema Extremum locale di fmp, condizioni necessarie e sufficienti per la sua esistenza. Il più grande e il più piccolo f.m.s. in limitato zona chiusa.

Sia definita la funzione z = ƒ(x;y) in qualche dominio D, il punto N(x0;y0)

Un punto (x0; y0) è detto punto di massimo della funzione z=ƒ(x; y) se esiste un tale d-intorno del punto (x0; y0) che per ogni punto (x; y) diverso da (xo; yo), questo quartiere soddisfa la disuguaglianza ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;y0). Il valore della funzione nel punto di massimo (minimo) è chiamato massimo (minimo) della funzione. Il massimo e il minimo di una funzione sono detti estremi. Si noti che, in virtù della definizione, il punto estremo della funzione risiede all'interno del dominio della funzione; il massimo e il minimo hanno un carattere locale (locale): il valore della funzione nel punto (x0; y0) viene confrontato con i suoi valori in punti sufficientemente vicini a (x0; y0). Nella regione D, la funzione può avere diversi estremi o nessuno.

Condizioni necessarie(1) e sufficienti(2) per l'esistenza:

(1) Se nel punto N (x0; y0) la funzione derivabile z \u003d ƒ (x; y) ha un estremo, le sue derivate parziali a questo punto sono uguali a zero: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Commento. Una funzione può avere un estremo nei punti in cui almeno una delle derivate parziali non esiste. Il punto in cui le derivate parziali del primo ordine della funzione z ≈ ƒ(x; y) sono uguali a zero, cioè f "x=0, f" y=0, è detto punto stazionario della funzione z.

I punti stazionari ei punti in cui non esiste almeno una derivata parziale sono detti punti critici.

(2) Sia la funzione ƒ(x; y) avere derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso in un punto stazionario (xo; yo) e parte del suo intorno. Calcoliamo nel punto (x0;y0) i valori A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Denota Quindi:

1. se Δ > 0, allora la funzione ƒ(x; y) nel punto (x0; y0) ha un estremo: massimo se A< 0; минимум, если А > 0;

2. se Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Nel caso di Δ = 0, può esserci o meno un estremo nel punto (x0; y0). Sono necessarie ulteriori ricerche.

Per una funzione di una variabile y = f(X) al punto X 0 il significato geometrico del differenziale indica l'incremento dell'ordinata della tangente tracciata al grafico della funzione nel punto con l'ascissa X 0 quando ci si sposta in un punto X 0 +  X. E il differenziale di una funzione di due variabili a questo riguardo è un incremento appliques tangente aereo disegnato sulla superficie data dall'equazione z = f(X, y) , al punto M 0 (X 0 , y 0 ) quando ci si sposta in un punto M(X 0 +  X, y 0 +  y). Diamo la definizione di piano tangente a una superficie:

Df . Piano passante per un punto R 0 superfici S, è chiamato piano tangente in un dato punto, se l'angolo tra questo piano e una secante passante per due punti R 0 e R(qualsiasi punto sulla superficie S) , tende a zero quando il punto R tende lungo questa superficie fino a un punto R 0 .

Lascia che la superficie S dato dall'equazione z = f(X, y). Quindi si può dimostrare che questa superficie ha un punto P 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) piano tangente se e solo se la funzione z = f(X, y) è differenziabile a questo punto. In questo caso, il piano tangente è dato dall'equazione:

z – z 0 = +
(6).

§5. Derivata direzionale, gradiente di funzione.

Funzioni derivate parziali y= f(X 1 , X 2 .. X n ) per variabili X 1 , X 2 . . . X n esprimere la velocità di variazione della funzione nella direzione degli assi coordinati. Per esempio, è la velocità di variazione della funzione X 1 - cioè si assume che il punto appartenente al dominio della definizione della funzione si muova solo parallelamente all'asse OH 1 e tutte le altre coordinate rimangono invariate. Tuttavia, si può presumere che la funzione possa cambiare in qualche altra direzione, che non coincide con la direzione di nessuno degli assi.

Consideriamo una funzione di tre variabili: tu= f(X, y, z).

Fissa un punto M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) e una linea retta diretta (asse) l passando per questo punto. Lascia stare M(X, y, z) - un punto arbitrario di questa retta e  M 0 M - distanza da M 0 prima M.

tu = f (X, y, z) – f(X 0 , y 0 , z 0 ) – incremento della funzione in un punto M 0 .

Trova il rapporto tra l'incremento della funzione e la lunghezza del vettore
:

Df . Funzione derivativa tu = f (X, y, z) in direzione l al punto M 0 è detto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e la lunghezza del vettore  M 0 Mquando quest'ultimo tende a 0 (o, che è la stessa cosa, con approssimazione illimitata M a M 0 ):

(1)

Questa derivata caratterizza la velocità di variazione della funzione nel punto M 0 nella direzione l.

Lasciamo l'asse l (vettore M 0 M) forme con assi BUE, OY, oncia angoli
rispettivamente.

Denota x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Poi il vettore M 0 M = (X - X 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
e i suoi coseni di direzione:

;

;

.

(4).

(4) è una formula per calcolare la derivata direzionale.

Si consideri un vettore le cui coordinate sono le derivate parziali della funzione tu= f(X, y, z) al punto M 0 :

grad tu - gradiente di funzione tu= f(X, y, z) al punto M(X, y, z)

Proprietà del gradiente:

Conclusione: lunghezza del gradiente della funzione tu= f(X, y, z) - è il valore più alto possibile a questo punto M(X, y, z) , e la direzione del vettore grad tu coincide con la direzione del vettore in uscita dal punto M, lungo il quale la funzione cambia più velocemente. Cioè, la direzione del gradiente della funzione grad tu è la direzione dell'aumento più rapido della funzione.

CALCOLO DIFFERENZIALE DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI.

Concetti e definizioni di base.

Quando si considerano le funzioni di più variabili, ci si limita a una descrizione dettagliata delle funzioni di due variabili, poiché tutti i risultati ottenuti saranno validi per funzioni di un numero arbitrario di variabili.

Se a ciascuna coppia di numeri reciprocamente indipendenti (x, y) di un determinato insieme, secondo una regola, viene assegnato uno o più valori della variabile z, allora si chiama la variabile z funzione di due variabili.

Se una coppia di numeri (x, y) corrisponde a un valore di z, viene chiamata la funzione inequivocabile, e se più di uno, allora - ambiguo.

Ambito di definizione la funzione z è l'insieme delle coppie (x, y) per le quali esiste la funzione z.

Punto di quartiere M 0 (x 0, y 0) di raggio r è l'insieme di tutti i punti (x, y) che soddisfano la condizione.

Viene chiamato il numero A limite funzione f(x, y) poiché il punto M(x, y) tende al punto M 0 (x 0, y 0), se per ogni numero e > 0 esiste un numero tale r > 0 che per ogni punto M (x, y) per cui la condizione

anche la condizione è vera .

Annota:

Sia il punto M 0 (x 0, y 0) appartenente al dominio della funzione f(x, y). Quindi viene chiamata la funzione z = f(x, y). continuo nel punto M 0 (x 0, y 0), se

(1)

inoltre, il punto M(x, y) tende al punto M 0 (x 0, y 0) in modo arbitrario.

Se la condizione (1) non è soddisfatta in nessun momento, allora questo punto viene chiamato punto di rottura funzioni f(x, y). Questo può essere nei seguenti casi:

1) La funzione z \u003d f (x, y) non è definita nel punto M 0 (x 0, y 0).

2) Non c'è limite.

3) Questo limite esiste, ma non è uguale a f(x 0 , y 0).

Proprietà delle funzioni di più variabili relative alla loro continuità.

Proprietà. Se la funzione f(x, y, …) è definita e continua in un dominio chiuso e limitato D, allora c'è almeno un punto in questo dominio

N(x 0 , y 0 , …) tale che la disuguaglianza

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

così come un punto N 1 (x 01 , y 01 , ...), tale che per tutti gli altri punti la disuguaglianza è vera

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

allora f(x 0 , y 0 , …) = M – valore più alto funzioni e f(x 01 , y 01 , ...) = m - valore più piccolo funzioni f(x, y, …) nel dominio D.

Una funzione continua in un dominio chiuso e limitato D raggiunge almeno una volta il valore più grande e una volta tanto.

Proprietà. Se la funzione f(x, y, …) è definita e continua in un dominio chiuso D, e M e m sono, rispettivamente, il più grande e valore più piccolo funzioni in questo dominio, allora per ogni punto m í esiste un punto

N 0 (x 0 , y 0 , …) tale che f(x 0 , y 0 , …) = m.

In poche parole, funzione continua prende nella regione D tutti i valori intermedi tra M e m. Una conseguenza di questa proprietà può essere la conclusione che se i numeri M e m hanno segni diversi, allora nel dominio D la funzione svanisce almeno una volta.

Proprietà. Funzione f(x, y, …), continua in un dominio chiuso D, limitato in quest'area, se esiste un numero K tale che per tutti i punti dell'area la disuguaglianza è vera .

Proprietà. Se una funzione f(x, y, …) è definita e continua in un dominio chiuso D, allora essa uniformemente continuo in questo settore, cioè per chiunque numero positivo e esiste un numero D > 0 tale che per due punti qualsiasi (x 1 , y 1) e (x 2 , y 2) dell'area situata a distanza minore di D, la disuguaglianza

2. Derivati ​​parziali. Derivati ​​parziali di ordini superiori.

Sia data una funzione z = f(x, y) in qualche dominio. Prendi un punto arbitrario M(x, y) e imposta l'incremento Dx sulla variabile x. Quindi viene chiamata la quantità D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) incremento parziale della funzione in x.

Può essere scritto

.

Poi chiamato derivata parziale funzioni z = f(x, y) in x.

Designazione:

La derivata parziale di una funzione rispetto a y è definita in modo simile.

senso geometrico la derivata parziale (diciamo) è la tangente della pendenza della tangente disegnata nel punto N 0 (x 0, y 0, z 0) alla sezione della superficie dal piano y \u003d y 0.

Se la funzione f(x, y) è definita in qualche dominio D, allora anche le sue derivate parziali saranno definite nello stesso dominio o parte di esso.

Chiameremo queste derivate derivate parziali del primo ordine.

Le derivate di queste funzioni saranno derivate parziali del secondo ordine.

Continuando a differenziare le uguaglianze ottenute, otteniamo derivate parziali di ordini superiori.

Derivate parziali della forma eccetera. chiamata derivati ​​misti.

Teorema. Se la funzione f(x, y) e le sue derivate parziali sono definite e continue nel punto M(x, y) e nel suo intorno, allora la relazione è vera:

Quelli. le derivate parziali di ordini superiori non dipendono dall'ordine di differenziazione.

I differenziali di ordine superiore sono definiti in modo simile.

…………………

Qui n è la potenza simbolica della derivata, che viene sostituita dalla potenza reale dopo che l'espressione tra parentesi è stata elevata ad essa.

Differenziale completo. Il significato geometrico del differenziale totale. Piano tangente e normale alla superficie.

L'espressione è chiamata pieno incremento funzioni f(x, y) in un punto (x, y), dove a 1 e a 2 sono funzioni infinitesime come Dх ® 0 e Dу ® 0, rispettivamente.

differenziale completo la funzione z = f(x, y) è la parte lineare principale rispetto a Dx e Dy dell'incremento della funzione Dz nel punto (x, y).

Per una funzione di un numero arbitrario di variabili:

Esempio 3.1. Trova il differenziale completo della funzione.