Sia la funzione y=f(x) continua sul segmento . Come è noto, tale funzione raggiunge il suo massimo. e denominazione valori. La funzione può assumere questi valori sia nel punto interno del segmento, sia al confine del segmento, ad es. con =a o =b. Se , allora il punto va ricercato tra i punti critici della funzione data.

Otteniamo la seguente regola per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su:

1) trovare i punti critici della funzione sull'intervallo (a,b);

2) calcolare i valori della funzione nei punti critici trovati;

3) calcolare i valori della funzione alle estremità del segmento, ad es. nei punti x=a e x=b;

4) tra tutti i valori calcolati della funzione, scegli il più grande e il più piccolo.

Appunti:

1. Se la funzione y=f(x) sul segmento ha un solo punto critico ed è il punto massimo (minimo), a questo punto la funzione assume il valore più grande (minimo).

2. Se la funzione y=f(x) su un segmento non ha punti critici, significa che la funzione è monotonicamente crescente o decrescente su di esso. Pertanto, il suo valore più alto(M) la funzione assume un'estremità del segmento e la più piccola (m) - sull'altra.

60. Numeri complessi. Formule Moivre.
numero complesso nome un'espressione come z = x + iy, dove xey sono numeri reali, e io è il cosiddetto. unità immaginaria, . Se x=0, allora viene chiamato il numero 0+iy=iy. numero immaginario; se y=0, allora il numero x+i0=x viene identificato con il numero reale x, il che significa che l'insieme R di tutti è valido. numeri yavl. sottoinsieme dell'insieme C di tutti numeri complessi, cioè. . Numero x nome. parte reale z, . Due numeri complessi e si dicono uguali (z1=z2) se e solo se le loro parti reali sono uguali e le loro parti immaginarie sono uguali: x1=x2, y1=y2. In particolare, il numero complesso Z=x+iy è uguale a zero se e solo se x=y=0. Non vengono introdotti i concetti di "maggiore di" e "minore di" per i numeri complessi. Due numeri complessi z=x+iy e , che differiscono solo per il segno della parte immaginaria, sono detti coniugati.

Rappresentazione geometrica di numeri complessi.

Qualsiasi numero complesso z = x + iy può essere rappresentato da un punto M(x,y) del piano Oxy tale che x=Re z, y=Im z. E viceversa, ogni punto M(x;y) piano delle coordinate può essere visto come l'immagine di un numero complesso z = x + iy. Il piano su cui sono rappresentati i numeri complessi è chiamato piano complesso, perché i numeri reali z = x + 0i = x giacciono su di esso. L'asse y è chiamato asse immaginario, poiché i numeri complessi puramente immaginari z = 0 + iy giacciono su di esso. Il numero complesso Z=x+iy può essere specificato usando il vettore raggio r=OM=(x,y). La lunghezza di un vettore r che rappresenta un numero complesso z è chiamata modulo di questo numero ed è indicata con |z| o r. L'angolo tra il positivo La direzione dell'asse reale e del vettore r che rappresenta un numero complesso è chiamata argomento di questo numero complesso, indicato con Arg z o . L'argomento del numero complesso Z=0 non è definito. L'argomento di un numero complesso è un valore multivalore ed è determinato fino al termine dove arg z è il valore principale dell'argomento contenuto nell'intervallo (), cioè - (a volte il valore appartenente all'intervallo (0; ) viene preso come valore principale dell'argomento).

Scrivendo il numero z nella forma z=x+iy viene chiamato forma algebrica numero complesso.

Operazioni sui numeri complessi

Aggiunta. La somma di due numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è un numero complesso definito dall'uguaglianza: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). L'addizione di numeri complessi ha proprietà commutative e associative: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Sottrazione. La sottrazione è definita come l'inverso dell'addizione. La differenza dei numeri complessi z1 e z2 è un numero così complesso z, che, sommato a z2, dà il numero z1, cioè z=z1-z2 se z+z2=z1. Se z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, allora è facile ottenere z da questa definizione: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Moltiplicazione. Il prodotto dei numeri complessi z1=x1+iy1 e z2=x2+iy2 è il numero complesso definito dall'uguaglianza z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Pertanto, in particolare, segue: . Se si danno i numeri forma trigonometrica: .

Quando i numeri complessi vengono moltiplicati, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti. Formula di De Moivre(se ci sono n fattori e sono tutti uguali): .

Nel luglio 2020, la NASA lancia una spedizione su Marte. Il veicolo spaziale consegnerà su Marte un vettore elettronico con i nomi di tutti i membri registrati della spedizione.

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Un altro capodanno... tempo gelido e fiocchi di neve sui vetri della finestra... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo di... frattali e di ciò che Wolfram Alpha ne sa. In questa occasione, lì articolo interessante, che contiene esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui vedremo di più esempi complessi frattali tridimensionali.

Un frattale può essere rappresentato visivamente (descritto) come una figura o un corpo geometrico (il che significa che entrambi sono un insieme, in questo caso, un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, è una struttura auto-simile, considerando i dettagli di cui, quando ingranditi, vedremo la stessa forma senza ingrandimento. Mentre nel caso del solito figura geometrica(non un frattale), quando ingrandiamo, vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla figura originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte di un'ellisse appare come un segmento di linea retta. Questo non accade con i frattali: con ogni loro aumento, vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che ad ogni aumento verrà ripetuta ancora e ancora.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, nel suo articolo Fractals and Art for Science ha scritto: "I frattali sono forme geometriche tanto complesse nei dettagli quanto nella loro forma complessiva. Cioè, se parte del frattale lo farà essere ingrandito alla dimensione del tutto, sembrerà come il tutto, o esattamente, o forse con una leggera deformazione.

L'estremo di una funzione è una proprietà del locale, carattere locale(vedi definizione). Non mescolare il valore massimo (minimo) con il valore più grande (minimo) della funzione in un'area chiusa D.

Definizione. Diciamo la funzione z = f(x, y) è definito e continuo in alcuni domini D, ha derivate parziali finite in questa regione. Quindi in questa regione ci sono punti in cui la funzione raggiunge il più grande e il minimo valori di altri valori. Questi punti possono trovarsi all'interno della regione o sul suo confine.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione in un'area chiusa, è necessario:

1) Trova i punti stazionari situati all'interno della regione e calcola i valori della funzione in questi punti.

Commento. Attacca ai punti stazionari i punti in cui le derivate sono infinite o non esistono (se presenti).

2) Trova i punti stazionari sul confine della regione e calcola i valori della funzione in questi punti.

3) Trova i valori della funzione nei punti d'angolo - i punti di intersezione delle linee di confine.

4) Tra tutti i valori trovati, scegli il più grande e il più piccolo.

Esempio 1.22. Trova il valore più grande e più piccolo di una funzione

z= 2X 2 – xy++ y 2 + 7X in una zona chiusa D: –3 X 3, –3 y 3 (Fig. 1.3).

Riso. 1.3. Campo di studi D

Decisione. 1) Trova punti stazionari

Da qui A = –1, X= –2, punto stazionario M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Indaghiamo la funzione sul confine della regione, che consiste di segmenti AB, DC, CB, AD.

a) in linea retta AB: A= 3 e la funzione ha la forma

z = 2X 2 + 3X + 9 + 7X =

= 2X 2 + 10X + 9, X [–3, 3].

Questa è una funzione di una variabile indipendente.

Determiniamo i punti stazionari di questa funzione:

quindi, X = –2,5.

Definiamo z A X = –2.5, nonché alle estremità del segmento [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

quindi = 3,5, a = 57.

b) Considera il segmento sole:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; A [–3, 3],

= 2si - 3; 2si - 3 = 0 y= 3/2.

Noi troviamo z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) sul segmento CD: y= 3, z= 2X 2 + 4x + 9; A [–3, 3],

= –4X + 4 = 0 Þ X = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Teorema 1.5 Sia in un dominio chiuso D funzione è data z=z(x,y) , che ha derivate parziali continue del primo ordine. Frontiera G le zone D è liscio a tratti (cioè, è costituito da pezzi di curve o linee rette "lisci al tatto"). Poi in zona D funzione z (x,y) raggiunge il suo massimo M e meno m valori.

Senza prove.

Puoi suggerire il seguente piano per la ricerca M e m .
1. Costruiamo un disegno, selezioniamo tutte le parti del bordo dell'area D e trova tutti i punti "d'angolo" del confine.
2. Trova i punti stazionari all'interno D .
3. Trova i punti stazionari su ciascuno dei confini.
4. Calcoliamo in tutti i punti stazionari e d'angolo, quindi scegliamo il più grande M e meno m valori.

Esempio 1.14 Trova il più grande M e meno m valori di funzione z = 4x2-2xy+y2-8x in una zona chiusa D , limitato: X = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Costruiamo l'area D (Fig. 1.5) sull'aereo Oh .

punti d'angolo: O (0; 0), SI (0; 4), LA (3; 0) .

Frontiera G le zone D si compone di tre parti:

2. Trova i punti stazionari all'interno dell'area D :

3. Punti stazionari sui confini l 1 , l 2 , l 3 :

4. Calcola sei valori:

Esempi

Esempio 1

Questa funzione definito per tutti i valori delle variabili X e y , fatta eccezione per l'origine, dove il denominatore svanisce.

Polinomio x2+y2 è continua ovunque, e quindi anche la radice quadrata di una funzione continua è continua.

La frazione sarà continua ovunque tranne che nei punti in cui il denominatore è uguale a zero. Cioè, la funzione considerata è continua sull'intero piano delle coordinate Oh esclusa l'origine.

Esempio 2

Indagare per continuità una funzione z=tg (x,y) . La tangente è definita e continua per tutti i valori finiti dell'argomento, ad eccezione dei valori pari a un numero dispari di grandezza π /2 , cioè. ad eccezione dei punti in cui

Per ogni fisso "K" l'equazione (1.11) definisce un'iperbole. Pertanto, la funzione in questione è funzione continua X e y , esclusi i punti giacenti sulle curve (1.11).

Esempio 3

Trova le derivate parziali delle funzioni u=z-xy , z > 0 .

Esempio 4

Mostra quella funzione

soddisfa l'identità:

– questa uguaglianza vale per tutti i punti M(x; y; z) , a parte il punto M 0 (a; b; c) .

Considera la funzione z=f(x, y) di due variabili indipendenti e imposta significato geometrico variabili private z"x=f"x (x, y) e z"y=f"y (x, y) .

In questo caso, l'equazione z=f (x, y) è l'equazione di una superficie (fig.1.3). Disegna un aereo y = cost . Nella sezione di questo piano della superficie z=f (x, y) prendi qualche riga l 1 intersezione, lungo la quale cambiano solo le quantità X e z .

Derivata parziale z"x (il suo significato geometrico deriva direttamente dal significato geometrico noto della derivata di una funzione di una variabile) è numericamente uguale alla tangente dell'angolo α inclinazione rispetto all'asse Oh , tangente L1 alla curva l 1 , ottenuto nella sezione trasversale della superficie z=f (x, y) aereo y = cost al punto M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Nella sezione trasversale della superficie z=f (x, y) aereo X = cost ottenere una linea di intersezione l 2 , lungo il quale solo le quantità A e z . Poi la derivata parziale z" y numericamente uguale alla tangente dell'angolo β inclinazione rispetto all'asse UO , tangente L2 alla riga specificata l 2 intersezione di punti M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Esempio 5

Che angolo fa con l'asse Oh tangente alla linea:

al punto M(2,4,5) ?

Utilizziamo il significato geometrico della derivata parziale rispetto a una variabile X (a costante A ):

Esempio 6

Secondo (1.31):

Esempio 7

Supponendo che l'equazione

definisce implicitamente una funzione

trovare z"x , z" y .

quindi, secondo la (1.37), otteniamo la risposta.

Esempio 8

Esplora fino all'estremo:

1. Trova i punti stazionari risolvendo il sistema (1.41):

cioè si trovano quattro punti stazionari.
2.

per il Teorema 1.4 in un punto è minimo.

E

4. Calcola sei valori:

Tra i sei valori ottenuti, scegliamo il più grande e il più piccolo.

Bibliografia:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. matematica superiore per economisti. I semestre: corso Express. - M.: Nuove conoscenze, 2002. - 140 p.

ü Gusak A.A.. Analisi matematica ed equazioni differenziali - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Matematica superiore. Esercitazione per studenti universitari in 2 volumi. - Mn., 1998. - 544 pag. (1 vol.), 448 pag. (2 tonnellate).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Higher Mathematics for Economists: Textbook for High Schools / Ed. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. e altri Matematica superiore. Corso generale: Libro di testo / Sotto il generale. ed. SA Samalya.– Mn.: Vysh. scuola, 2000. - 351 p.

Sia definita e continua la funzione $z=f(x,y)$ in un dominio chiuso limitato $D$. Sia la funzione data derivate parziali finite del primo ordine in questa regione (con la possibile eccezione di un numero finito di punti). Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una data regione chiusa, sono necessari tre passaggi di un semplice algoritmo.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=f(x,y)$ nel dominio chiuso $D$.

1. Trova i punti critici della funzione $z=f(x,y)$ che appartengono alla regione $D$. Calcola i valori delle funzioni nei punti critici.
2. Indagare il comportamento della funzione $z=f(x,y)$ sul confine della regione $D$ trovando i punti dei possibili valori massimo e minimo. Calcola i valori della funzione nei punti ottenuti.
3. Dai valori della funzione ottenuti nei due paragrafi precedenti, scegli il più grande e il più piccolo.

Quali sono i punti critici? mostra nascondi

Sotto punti critici implicano punti in cui entrambe le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero (cioè $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o almeno una derivata parziale non esiste.

Spesso vengono chiamati i punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero punti stazionari. Pertanto, i punti stazionari sono un sottoinsieme di punti critici.

Esempio 1

Trova i valori massimo e minimo della funzione $z=x^2+2xy-y^2-4x$ nella regione chiusa delimitata dalle linee $x=3$, $y=0$ e $y=x +1$.

Seguiremo quanto sopra, ma prima tratteremo il disegno di una determinata area, che indicheremo con la lettera $D$. Ci viene dato equazioni di tre rette, che delimitano quest'area. La retta $x=3$ passa per il punto $(3;0)$ parallelo all'asse y (asse Oy). La retta $y=0$ è l'equazione dell'asse delle ascisse (asse Ox). Bene, per costruire una retta $y=x+1$ troviamo due punti attraverso i quali tracciare questa retta. Ovviamente puoi sostituire un paio di valori arbitrari invece di $x$. Ad esempio, sostituendo $x=10$, otteniamo: $y=x+1=10+1=11$. Abbiamo trovato il punto $(10;11)$ che giace sulla linea $y=x+1$. Tuttavia, è meglio trovare quei punti in cui la linea $y=x+1$ si interseca con le linee $x=3$ e $y=0$. Perché è meglio? Perché deporremo un paio di piccioni con una fava: otterremo due punti per costruire la retta $y=x+1$ e allo stesso tempo scopriremo in quali punti questa retta interseca altre rette che delimitano la data la zona. La retta $y=x+1$ interseca la retta $x=3$ nel punto $(3;4)$, e la retta $y=0$ - nel punto $(-1;0)$. Per non ingombrare il corso della soluzione con spiegazioni ausiliarie, porrò in una nota la questione dell'ottenimento di questi due punti.

Come sono stati ottenuti i punti $(3;4)$ e $(-1;0)$? mostra nascondi

Partiamo dal punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $x=3$. Le coordinate del punto desiderato appartengono sia alla prima che alla seconda linea, quindi per trovare coordinate sconosciute, è necessario risolvere il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(allineato) & y=x+1;\\ & x=3. \end(allineato) \right. $$

La soluzione di un tale sistema è banale: sostituendo $x=3$ nella prima equazione avremo: $y=3+1=4$. Il punto $(3;4)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $x=3$.

Ora troviamo il punto di intersezione delle rette $y=x+1$ e $y=0$. Ancora una volta, componiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(allineato) & y=x+1;\\ & y=0. \end(allineato) \right. $$

Sostituendo $y=0$ nella prima equazione, otteniamo: $0=x+1$, $x=-1$. Il punto $(-1;0)$ è il punto di intersezione desiderato delle rette $y=x+1$ e $y=0$ (asse delle ascisse).

Tutto è pronto per costruire un disegno che assomiglierà a questo:

La domanda della nota sembra ovvia, perché dalla figura si vede tutto. Tuttavia, vale la pena ricordare che il disegno non può fungere da prova. La figura è solo un'illustrazione per chiarezza.

La nostra area è stata impostata utilizzando le equazioni di rette che la limitano. È ovvio che queste linee definiscono un triangolo, vero? O non del tutto ovvio? O forse ci viene assegnata un'area diversa, delimitata dalle stesse linee:

Naturalmente, la condizione dice che l'area è chiusa, quindi l'immagine mostrata è sbagliata. Ma per evitare tali ambiguità, è meglio definire le regioni in base alle disuguaglianze. Ci interessa la parte del piano situata sotto la linea $y=x+1$? Ok, quindi $y ≤ x+1$. La nostra area dovrebbe trovarsi sopra la linea $y=0$? Ottimo, quindi $y ≥ 0$. A proposito, le ultime due disuguaglianze sono facilmente combinabili in una: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(allineato) \right. $$

Queste disuguaglianze definiscono il dominio $D$ e lo definiscono in modo univoco, senza ambiguità. Ma in che modo questo ci aiuta nella domanda all'inizio della nota a piè di pagina? Aiuterà anche :) Dobbiamo controllare se il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$. Sostituiamo $x=1$ e $y=1$ nel sistema di disuguaglianze che definisce questa regione. Se entrambe le disuguaglianze sono soddisfatte, il punto si trova all'interno della regione. Se almeno una delle disuguaglianze non è soddisfatta, il punto non appartiene alla regione. Così:

$$ \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right. \;\; \left \( \begin(allineato) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right.$$

Entrambe le disuguaglianze sono vere. Il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$.

Ora è il turno di indagare il comportamento della funzione sul confine del dominio, cioè vai a. Iniziamo con la retta $y=0$.

La retta $y=0$ (asse delle ascisse) limita la regione $D$ alla condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituisci $y=0$ in data funzione$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. La funzione di sostituzione risultante di una variabile $x$ sarà indicata come $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cpunto 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ora per la funzione $f_1(x)$ dobbiamo trovare i valori più grandi e più piccoli sull'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata di questa funzione e uguagliala a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Il valore $x=2$ appartiene al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, quindi aggiungiamo anche $M_2(2;0)$ all'elenco dei punti. Inoltre, calcoliamo i valori della funzione $z$ alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè nei punti $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A proposito, se il punto $M_2$ non appartenesse al segmento in esame, ovviamente non ci sarebbe bisogno di calcolare il valore della funzione $z$ in esso contenuto.

Quindi, calcoliamo i valori della funzione $z$ nei punti $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ovviamente puoi sostituire le coordinate di questi punti nell'espressione originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ad esempio, per il punto $M_2$ otteniamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cpunto 2\cpunto 0-0^2-4\cpunto 2=-4.$$

Tuttavia, i calcoli possono essere leggermente semplificati. Per fare ciò, vale la pena ricordare che sul segmento $M_3M_4$ abbiamo $z(x,y)=f_1(x)$. Lo spiego in dettaglio:

\begin(allineato) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunto (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunto 3=-3. \end(allineato)

Naturalmente, di solito non sono necessarie voci così dettagliate e in futuro inizieremo a scrivere tutti i calcoli in un modo più breve:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cpunto 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunto (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cpunto 3=-3.$$

Passiamo ora alla retta $x=3$. Questa linea delimita il dominio $D$ nella condizione $0 ≤ y ≤ 4$. Sostituisci $x=3$ nella funzione data $z$. Come risultato di tale sostituzione, otteniamo la funzione $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cpunto 3\cpunto y-y^2-4\cpunto 3=-y^2+6y-3. $$

Per la funzione $f_2(y)$, devi trovare i valori più grandi e più piccoli nell'intervallo $0 ≤ y ≤ 4$. Trova la derivata di questa funzione e uguagliala a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Il valore $y=3$ appartiene al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, quindi aggiungiamo $M_5(3;3)$ ai punti trovati in precedenza. Inoltre, è necessario calcolare il valore della funzione $z$ nei punti alle estremità del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, cioè nei punti $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. Al punto $M_4(3;0)$ abbiamo già calcolato il valore di $z$. Calcoliamo il valore della funzione $z$ nei punti $M_5$ e $M_6$. Ti ricordo che sul segmento $M_4M_6$ abbiamo $z(x,y)=f_2(y)$, quindi:

\begin(allineato) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cpunto 4-3=5. \end(allineato)

E, infine, considera l'ultimo limite di $D$, cioè riga $y=x+1$. Questa linea delimita la regione $D$ nella condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituendo $y=x+1$ nella funzione $z$, avremo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cpunto (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ancora una volta abbiamo una funzione di una variabile $x$. E ancora, devi trovare i valori più grande e più piccolo di questa funzione sul segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Trova la derivata della funzione $f_(3)(x)$ e uguagliala a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Il valore $x=1$ appartiene all'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, allora $y=x+1=2$. Aggiungiamo $M_7(1;2)$ all'elenco dei punti e scopriamo qual è il valore della funzione $z$ a questo punto. I punti alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè i punti $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ sono stati considerati in precedenza, abbiamo già trovato in essi il valore della funzione.

$$z_7=f_3(1)=2\cpunto 1^2-4\cpunto 1-1=-3.$$

Il secondo passaggio della soluzione è completato. Abbiamo sette valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Passiamo a. Scegliendo i valori più grandi e più piccoli da quei numeri che sono stati ottenuti nel terzo paragrafo, avremo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Il problema è risolto, resta solo da scrivere la risposta.

Risposta: $z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6$.

Esempio #2

Trova i valori più grandi e più piccoli della funzione $z=x^2+y^2-12x+16y$ nella regione $x^2+y^2 ≤ 25$.

Costruiamo prima un disegno. L'equazione $x^2+y^2=25$ (questa è la linea di confine dell'area data) definisce un cerchio con un centro all'origine (cioè nel punto $(0;0)$) e un raggio di 5. La disuguaglianza $x^2 +y^2 ≤ 25$ soddisfa tutti i punti all'interno e sul cerchio menzionato.

Agiremo su. Troviamo le derivate parziali e scopriamo i punti critici.

$$ \frac(\z parziale)(\x parziale)=2x-12; \frac(\z parziale)(\y parziale)=2y+16. $$

Non ci sono punti in cui le derivate parziali trovate non esistono. Scopriamo in quali punti entrambe le derivate parziali sono contemporaneamente uguali a zero, cioè trovare punti stazionari.

$$ \left \( \begin(allineato) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(allineato) \right. \;\; \left \( \begin(allineato) & x =6;\\ & y=-8.\end(allineato) \right.$$

Abbiamo un punto stazionario $(6;-8)$. Tuttavia, il punto trovato non appartiene alla regione $D$. Questo è facile da mostrare senza nemmeno ricorrere al disegno. Verifichiamo se vale la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$, che definisce il nostro dominio $D$. Se $x=6$, $y=-8$, allora $x^2+y^2=36+64=100$, cioè la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$ non è soddisfatta. Conclusione: il punto $(6;-8)$ non appartiene alla regione $D$.

Pertanto, non ci sono punti critici all'interno di $D$. Andiamo avanti, a. Abbiamo bisogno di indagare il comportamento della funzione sul confine di un'area data, ad es. sul cerchio $x^2+y^2=25$. Ovviamente puoi esprimere $y$ in termini di $x$, quindi sostituire l'espressione risultante nella nostra funzione $z$. Dall'equazione del cerchio otteniamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sostituendo, ad esempio, $y=\sqrt(25-x^2)$ nella funzione data, avremo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

L'ulteriore soluzione sarà del tutto identica allo studio del comportamento della funzione sul confine della regione nel precedente esempio n. 1. Tuttavia, mi sembra più ragionevole in questa situazione applicare il metodo di Lagrange. Siamo interessati solo alla prima parte di questo metodo. Dopo aver applicato la prima parte del metodo di Lagrange, otterremo dei punti ed esamineremo la funzione $z$ per i valori minimo e massimo.

Componiamo la funzione di Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Troviamo le derivate parziali della funzione di Lagrange e componiamo il corrispondente sistema di equazioni:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (allineato) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(allineato) \ destra. \;\; \left \( \begin(allineato) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( allineato)\destra.$$

Per risolvere questo sistema, indichiamo subito che $\lambda\neq -1$. Perché $\lambda\neq -1$? Proviamo a sostituire $\lambda=-1$ nella prima equazione:

$$ x+(-1)\cpunto x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contraddizione risultante $0=6$ dice che il valore $\lambda=-1$ non è valido. Uscita: $\lambda\neq -1$. Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $\lambda$:

\begin(allineato) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(allineato)

Credo che qui diventi ovvio il motivo per cui abbiamo specificamente stabilito la condizione $\lambda\neq -1$. Questo è stato fatto per adattare l'espressione $1+\lambda$ ai denominatori senza interferenze. Cioè, per essere sicuri che il denominatore sia $1+\lambda\neq 0$.

Sostituiamo le espressioni ottenute per $x$ e $y$ nella terza equazione del sistema, cioè in $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dall'uguaglianza risultante segue che $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Quindi, abbiamo due valori del parametro $\lambda$, ovvero: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Di conseguenza, otteniamo due coppie di valori $x$ e $y$:

\begin(allineato) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(allineato)

Quindi, abbiamo due punti di un possibile estremo condizionale, cioè $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Trova i valori della funzione $z$ nei punti $M_1$ e $M_2$:

\begin(allineato) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cpunto(-3)+16\cpunto 4=125. \end(allineato)

Dovremmo scegliere i valori più grandi e più piccoli tra quelli che abbiamo ottenuto nel primo e nel secondo passaggio. Ma in questo caso, la scelta è piccola :) Abbiamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125. $$

Risposta: $z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125$.