La proiezione di un punto su un piano è un'equazione. Proiezione puntuale

La proiezione di un punto su un piano è un caso speciale del problema generale di trovare la proiezione di un punto su una superficie. A causa della semplicità di calcolo della proiezione di un punto su un piano tangente alla superficie, viene utilizzata come approssimazione zero per risolvere il problema generale.

Si consideri il problema della proiezione di un punto su un piano dato dal vettore raggio

Assumiamo che i vettori non siano collineari. Si supponga che nel caso generale i vettori non siano ortogonali e abbiano lunghezza non unitaria. Il piano passa per il punto in cui i parametri sono uguali a zero ei vettori determinano le direzioni parametriche. Il punto dato ha una proiezione unica sul piano (4.6.1). Costruiamo un'unità normale al piano

Riso. 4.6.1. Proiezione di un punto sul piano s(u, v)

Calcoliamo il vettore raggio della proiezione del punto sul piano come differenza tra il vettore raggio del punto proiettato e la componente del vettore parallelo alla normale al piano,

(4.6.4)

Sulla fig. 4.6.1 mostra i vettori del suo piano punto di partenza e la proiezione del punto dato.

I parametri e le lunghezze delle proiezioni sono correlati dalle equazioni

dove il coseno dell'angolo tra i vettori è determinato dalla formula (1.7.13).

Dal sistema di queste equazioni, troviamo i parametri della proiezione di un punto su un piano

(4.6.6)

dove sono i coefficienti della prima forma quadratica di base del piano (1.7.8), sono anche componenti covarianti del tensore di superficie metrico, sono le componenti controvarianti del tensore di superficie metrico. Se i vettori sono ortogonali, le formule (4.6.6) e (4.6.7) assumono la forma

La distanza da un punto alla sua proiezione su un piano è generalmente calcolata come la lunghezza di un vettore. La distanza da un punto alla sua proiezione su un piano può essere determinata senza calcolare la proiezione del punto, ma calcolando la proiezione del vettore sulla normale al piano

(4.6.8)

Casi speciali.

Le proiezioni di un punto su alcune superfici analitiche possono essere trovate senza utilizzare metodi numerici. Ad esempio, per trovare la proiezione di un punto sulla superficie di un cilindro, cono, sfera o toro circolare, è necessario tradurre il punto proiettato nel sistema di coordinate locali della superficie, dove è facile trovare i parametri di proiezione. Allo stesso modo si possono trovare proiezioni su superfici di estrusione e rotazione. In alcuni casi speciali, le posizioni del punto proiettato della sua proiezione possono essere facilmente trovate anche su altre superfici.

Caso generale.

Consideriamo il problema della proiezione di un punto su una superficie nel caso generale. Sia richiesto di trovare tutte le proiezioni di un punto su una superficie. Ogni punto desiderato della superficie soddisfa il sistema di due equazioni

Il sistema di equazioni (4.6.9) contiene due incognite: i parametri u e v. Questo problema viene risolto allo stesso modo del problema di trovare le proiezioni di un dato punto su una curva.

Nella prima fase determiniamo le approssimazioni zero dei parametri di superficie per le proiezioni di un punto e nella seconda fase troviamo i valori esatti dei parametri che determinano le proiezioni di un dato punto sulla superficie

Ripercorriamo la superficie con passi calcolati con le formule (4.2.4) e (4.2.5), sopra descritti dal modo di muoverci lungo la regione parametrica. Indichiamo i parametri dei punti attraverso i quali passeremo. Ad ogni punto, calcoleremo i prodotti scalari dei vettori

(4.6.10)

Se la soluzione desiderata si trova vicino a un punto con parametri , allora avremo segni diversi, così come e avrà segni diversi. Il cambiamento dei segni dei prodotti scalari indica che la soluzione desiderata è vicina. Per l'approssimazione zero dei parametri, prendiamo i valori A partire dall'approssimazione zero dei parametri, uno dei metodi per risolvere le equazioni non lineari troverà una soluzione al problema con una determinata precisione. Ad esempio, nel metodo di Newton, alle iterazioni, gli incrementi dei parametri di proiezione possono essere trovati dal sistema di equazioni lineari

dove sono le derivate parziali del vettore raggio rispetto ai parametri. prossima approssimazione i parametri di proiezione del punto sono uguali a . Il processo di raffinamento dei parametri sarà completato quando le disuguaglianze saranno soddisfatte all'iterazione successiva, dove è l'errore specificato. Allo stesso modo troviamo tutte le altre radici del sistema di equazioni (4.6.9).

Se devi trovare solo la proiezione più vicina di un dato punto sulla superficie, puoi passare per gli stessi punti di un oggetto geometrico e selezionare quello più vicino al punto dato. I parametri del punto più vicino e dovrebbero essere scelti come approssimazione zero della soluzione del problema.

Proiezione di un punto su una superficie in una determinata direzione.

In certi casi si pone il problema di determinare la proiezione di un punto su una superficie non lungo la normale ad essa, ma lungo una data direzione. Sia data la direzione di proiezione da un vettore di lunghezza unitaria q. Costruiamo una linea retta

(4.6.12)

Passare attraverso dato punto e avente la direzione del vettore dato. Definiamo le proiezioni di un punto su una superficie in una data direzione come i punti di intersezione della superficie con una retta (4.6.12) passante per un dato punto in una data direzione.

Proiezione vettoriale algebrica su qualsiasi asse è uguale al prodotto della lunghezza del vettore e del coseno dell'angolo tra l'asse e il vettore:

A destra a b = |b|cos(a,b) o

Dove a b è il prodotto scalare dei vettori , |a| - modulo del vettore a .

Istruzione. Per trovare online la proiezione del vettore Пp a b, devi specificare le coordinate dei vettori aeb . In questo caso, il vettore può essere dato nel piano (due coordinate) e nello spazio (tre coordinate). La soluzione risultante viene salvata in un file Word. Se i vettori sono dati attraverso le coordinate dei punti, allora devi usare questa calcolatrice.

Classificazione della proiezione vettoriale

Tipi di proiezioni per definizione proiezione vettoriale

La proiezione geometrica del vettore AB sull'asse (vettore) è chiamata vettore A"B", l'inizio del quale A' è la proiezione dell'inizio A sull'asse (vettore), e l'estremità B' è la proiezione dell'estremità B sullo stesso asse.
La proiezione algebrica del vettore AB sull'asse (vettore) si chiama lunghezza del vettore A"B", presa con un segno + o -, a seconda che il vettore A"B" abbia la stessa direzione dell'asse ( vettore).

Tipi di proiezioni per sistema di coordinate

Proprietà di proiezione vettoriale

La proiezione geometrica di un vettore è un vettore (ha una direzione).
La proiezione algebrica di un vettore è un numero.

Teoremi di proiezione vettoriale

Teorema 1. La proiezione della somma dei vettori su qualsiasi asse è uguale alla proiezione dei termini dei vettori sullo stesso asse.

AC"=AB"+B"C"

Teorema 2. La proiezione algebrica di un vettore su qualsiasi asse è uguale al prodotto della lunghezza del vettore e del coseno dell'angolo tra l'asse e il vettore:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Tipi di proiezioni vettoriali

proiezione sull'asse OX.
proiezione sull'asse OY.
proiezione su un vettore.

Proiezione sull'asse OX	Proiezione sull'asse OY	Proiezione su vettore
Se la direzione del vettore A'B' coincide con la direzione dell'asse OX, allora la proiezione del vettore A'B' ha segno positivo.	Se la direzione del vettore A'B' coincide con la direzione dell'asse OY, la proiezione del vettore A'B' ha segno positivo.	Se la direzione del vettore A'B' coincide con la direzione del vettore NM, allora la proiezione del vettore A'B' ha segno positivo.
Se la direzione del vettore è opposta alla direzione dell'asse OX, la proiezione del vettore A'B' ha segno negativo.	Se la direzione del vettore A'B' è opposta alla direzione dell'asse OY, la proiezione del vettore A'B' ha segno negativo.	Se la direzione del vettore A'B' è opposta alla direzione del vettore NM, allora la proiezione del vettore A'B' ha segno negativo.
Se il vettore AB è parallelo all'asse OX, la proiezione del vettore A'B' è uguale al modulo del vettore AB.	Se il vettore AB è parallelo all'asse OY, la proiezione del vettore A'B' è uguale al modulo del vettore AB.	Se il vettore AB è parallelo al vettore NM, allora la proiezione del vettore A'B' è uguale al modulo del vettore AB.
Se il vettore AB è perpendicolare all'asse OX, la proiezione di A'B' è uguale a zero (vettore zero).	Se il vettore AB è perpendicolare all'asse OY, la proiezione di A'B' è uguale a zero (un vettore nullo).	Se il vettore AB è perpendicolare al vettore NM, la proiezione di A'B' è uguale a zero (un vettore nullo).

1. Domanda: La proiezione di un vettore può avere segno negativo. Risposta: Sì, le proiezioni vettoriali possono essere negative. In questo caso il vettore ha la direzione opposta (vedi come sono diretti l'asse OX e il vettore AB)
2. Domanda: La proiezione di un vettore può coincidere con il modulo del vettore. Risposta: Sì, può. In questo caso, i vettori sono paralleli (o giacciono sulla stessa linea).
3. Domanda: La proiezione di un vettore può essere uguale a zero (vettore zero). Risposta: Sì, può. In questo caso, il vettore è perpendicolare all'asse corrispondente (vettore).

Esempio 1 . Il vettore (Fig. 1) forma un angolo di 60° con l'asse OX (è dato dal vettore a). Se OE è un'unità di scala, allora |b|=4, quindi .

Infatti, la lunghezza del vettore ( proiezione geometrica b) è uguale a 2 e la direzione è la stessa della direzione dell'asse OX.

Esempio 2. Il vettore (Fig. 2) forma un angolo con l'asse OX (con il vettore a) (a,b) = 120 o . Lunghezza |b| vettore b è uguale a 4, quindi pr a b=4 cos120 o = -2.

Infatti, la lunghezza del vettore è uguale a 2 e la direzione è opposta alla direzione dell'asse.

Quando si decide problemi geometrici nello spazio si pone spesso il problema di determinare la distanza tra un piano e un punto. In alcuni casi, questo è necessario per soluzione completa. Questo valore può essere calcolato trovando la proiezione sul piano del punto. Consideriamo questo problema in modo più dettagliato nell'articolo.

Equazione per descrivere un piano

Prima di procedere a considerare la domanda su come trovare la proiezione di un punto su un piano, dovresti conoscere i tipi di equazioni che definiscono quest'ultimo nello spazio tridimensionale. Maggiori dettagli di seguito.

Un'equazione generale che definisce tutti i punti che appartengono a un dato piano è la seguente:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

I primi tre coefficienti sono le coordinate del vettore, che è chiamato guida per il piano. Per esso coincide con la normale, cioè è perpendicolare. Questo vettore è indicato con n¯(A; B; C). Il coefficiente libero D è determinato in modo univoco dalla conoscenza delle coordinate di qualsiasi punto appartenente al piano.

Il concetto di proiezione di un punto e il suo calcolo

Supponiamo che siano dati un punto P(x 1 ; y 1 ; z 1) e un piano. È definito dall'equazione in vista generale. Se tracciamo una retta perpendicolare da P a dato piano, allora è ovvio che intersecherà quest'ultimo in un punto specifico Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q è chiamata proiezione di P sul piano in esame. La lunghezza del segmento PQ è chiamata distanza dal punto P al piano. Quindi PQ stesso è perpendicolare al piano.

Come trovare le coordinate della proiezione di un punto su un piano? Non è difficile farlo. Per prima cosa devi elaborare un'equazione per una retta che sarà perpendicolare al piano. Ad esso apparterrà il punto P. Poiché il vettore normale n¯(A; B; C) di questa retta deve essere parallelo, l'equazione per esso nella forma appropriata può essere scritta come segue:

(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1) + λ*(A; B; C).

Dove λ - numero reale, che di solito è chiamato parametro dell'equazione. Modificandolo, puoi ottenere qualsiasi punto della linea.

Dopo aver scritto l'equazione vettoriale per una retta perpendicolare al piano, è necessario trovare un punto di intersezione comune per gli oggetti geometrici considerati. Le sue coordinate saranno la proiezione P. Poiché devono soddisfare entrambe le uguaglianze (per la retta e per il piano), il problema si riduce alla risoluzione del corrispondente sistema di equazioni lineari.

Il concetto di proiezione è spesso utilizzato nello studio dei disegni. Rappresentano le proiezioni laterali e orizzontali della parte sui piani zy, zx e xy.

Calcolo della distanza da un piano a un punto

Come notato sopra, conoscere le coordinate della proiezione sul piano del punto consente di determinare la distanza tra di loro. Utilizzando la notazione introdotta nel paragrafo precedente, otteniamo che la distanza desiderata è uguale alla lunghezza del segmento PQ. Per calcolarlo è sufficiente trovare le coordinate del vettore PQ¯, quindi calcolarne il modulo utilizzando una formula ben nota. L'espressione finale per la distanza d tra il punto P e il piano diventa:

d = |PQ¯| \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Il valore risultante di d è presentato in unità in cui è specificato l'attuale sistema di coordinate cartesiane xyz.

Esempio di attività

Supponiamo che ci sia un punto N(0; -2; 3) e un piano, che è descritto dalla seguente equazione:

Dovresti trovare i punti di proiezione sul piano e calcolare la distanza tra loro.

Per prima cosa formuleremo l'equazione di una retta che interseca il piano con un angolo di 90°. Abbiamo:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Scrivendo questa uguaglianza in modo esplicito, arriviamo al seguente sistema di equazioni:

Sostituendo i valori delle coordinate delle prime tre uguaglianze nella quarta, otteniamo il valore λ, che determina le coordinate del punto comune della retta e del piano:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Sostituiamo il parametro trovato e troviamo le coordinate della proiezione del punto di partenza sul piano:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Per calcolare la distanza tra gli oggetti geometrici specificati nell'enunciato del problema, applichiamo la formula per d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

In questo problema, abbiamo mostrato come trovare la proiezione di un punto su un piano arbitrario e come calcolare la distanza tra di loro.

Sarà costruito quando si ripristina la perpendicolare al piano dato passante per il punto e si costruisce il punto di intersezione della perpendicolare con il piano:
Linea e piano;
Intersezione di una retta con un piano

Sarà costruito quando si ripristina la perpendicolare al piano dato, si abbassa dal punto al piano e si costruisce il punto di intersezione della perpendicolare con il piano. Queste costruzioni vengono eseguite quando la distanza da un punto a un piano è determinata dal metodo di un triangolo rettangolo.

Dati di proiezione: punti UN(A`, A") e aereo α (αH, αV). Trova la distanza dal punto UN fino all'aereo α metodo del triangolo rettangolo.

Codice tabella HTML, esempi

L'attività n. 4 è costruita nell'opera grafica n. 2 per due punti del segmento EF: Opera grafica 2

Costruire un diagramma del punto B simmetrico A rispetto alla retta m

Ecco uno dei tanti modi per risolvere questo problema.
1. Utilizzare la proiezione obliqua con direzione S parallela a una data retta m:
a) Traccia una linea n passante per il punto A e trova le tracce nH, mH e nV, mV;
b) trovare le tracce del piano α mediante le tracce delle parallele dei suoi generatori nH, mH e nV, mV;
c) trovare le tracce kH e kV della retta k simmetriche rispetto alla retta m sulle tracce omonime del piano α.
2. Per il punto A tracciamo un piano β perpendicolare alle rette parallele m, n e k del piano α:
a) Per il punto A tracciamo un orizzontale e un frontale del piano β;
b) Trovare le tracce dell'orizzontale e frontale del piano β;
c) Tracciare le tracce del piano β attraverso le tracce del suo orizzontale h e frontale f.
3. Trova il punto B dell'incontro della retta k con il piano β:
a) Trova la linea di intersezione di 1 - 2 piani α e β;
b) Trovare il punto desiderato B all'intersezione della linea 1-2 con la linea k.

Trova un angolo acuto tra le diagonali di un parallelogramma costruito su vettori

5) Determina le coordinate del vettore c, diretto lungo la bisettrice dell'angolo tra i vettori aeb, se il vettore c \u003d 3 ha radici su 42. a \u003d (2; -3; 6), b \ u003d (-1; 2; -2)

Cerchiamo vettore unitario e_a codirezionale con a:

allo stesso modo e_b = b/|b|,

quindi il vettore desiderato sarà diretto allo stesso modo di somma vettoriale e_a+e_b, perché (e_a+e_b) è la diagonale del rombo, che è yavl. bisettrice del suo angolo.

Denota (e_a+e_b)=d,

Troviamo un vettore unitario che sia diretto lungo la bisettrice: e_c = d/|d|

Se |c| = 3*sqrt(42), quindi c = |c|*e_c. È tutto.

Trovare dipendenza lineare tra dati quattro vettori non complanari: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Dalle prime tre uguaglianze, prova a esprimere `a,b,c` in termini di `p,q,r` (inizia aggiungendo la seconda e la terza equazione). Quindi sostituisci `b` e `c` nell'ultima equazione con le espressioni trovate tramite `p,q,r`.

13) Trova l'equazione del piano passante per i punti A(2, -1, 4) e B(3, 2, -1) perpendicolari al piano x + y + 2z - 3 = 0. L'equazione del piano desiderata ha la forma: Ax + By + Cz + D = 0, il vettore normale a questo piano (A, B, C). Il vettore (1, 3, -5) appartiene al piano. Il piano che ci viene dato, perpendicolare a quello desiderato, ha un vettore normale (1, 1, 2). Perché i punti A e B appartengono a entrambi i piani e i piani sono tra loro perpendicolari, quindi il vettore normale è (11, -7, -2). Perché il punto A appartiene al piano desiderato, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione di questo piano, cioè 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21. In totale, otteniamo l'equazione del piano: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Equazione di un piano passante per una retta parallela a un vettore.

Lascia che il piano desiderato passi per la retta (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 parallela alla retta (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2 .

Allora il vettore normale del piano è il prodotto incrociato dei vettori di direzione di queste linee:

Lascia le coordinate prodotto vettoriale(A;B;C). Il piano desiderato passa per il punto (x1;y1;z1). Il vettore normale e il punto attraverso il quale passa l'aereo determinano in modo univoco l'equazione del piano desiderato:

A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0

17) Trova l'equazione della retta passante per il punto A(5, -1) perpendicolare alla retta 3x - 7y + 14 = 0.

18) Componi l'equazione di una retta passante per il punto M perpendicolare al piano dato M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - il tuo punto M(4,3,1)

(n, m, p) - vettore di direzione di una retta, è anche un vettore normale per una data superficie (1, 3, 5) (coefficienti a variabili x,y,z nell'equazione piana)

Trova la proiezione di un punto su un piano

Punto M(1,-3,2), piano 2x+5y-3z-19=0