In questo articolo daremo una definizione di fascio di piani, otterremo l'equazione di un fascio di piani rispetto ad un dato sistema di coordinate rettangolari, e considereremo in dettaglio le soluzioni a problemi tipici legati al concetto di fascio di piani .

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Un fascio di aerei - definizione.

Ne consegue dagli assiomi della geometria che spazio tridimensionale C'è solo un piano attraverso una linea e un punto non su di essa. E da questa affermazione segue che ci sono infiniti piani contenenti una linea predeterminata. Confermiamo questo.

Diamo una retta a . Prendiamo un punto M 1 che non giace sulla retta a. Quindi attraverso la retta a e il punto M 1 possiamo tracciare un piano, e solo uno. Designiamolo. Prendiamo ora un punto M 2 che non giace nel piano. Per la retta a ed il punto M 2 passa l'unico piano. Se prendiamo un punto M 3 che non giace né nel piano né nel piano, allora possiamo costruire un piano passante per la retta ae il punto M 3 . Ovviamente, questo processo di costruzione di piani passanti per una data retta a può essere continuato indefinitamente.

Si è così giunti alla definizione di fascio di piani.

Definizione.

Pacchetto aereoè l'insieme di tutti i piani nello spazio tridimensionale che passano per una data linea.

La retta, che è contenuta da tutti i piani del fascio, è chiamata centro di questo fascio di piani. Si ha così l'espressione "un fascio di piani di centro a".

Un particolare fascio di piani può essere definito specificando il suo centro o specificando due piani qualsiasi di questo fascio, che è essenzialmente la stessa cosa. D'altra parte, due piani che si intersecano definiscono un certo fascio di piani.

L'equazione di un raggio di piani: la soluzione dei problemi.

Ai fini pratici, non è tanto un fascio di piani nella sua forma geometrica che interessa, ma piuttosto.

Rispondiamo subito alla domanda logica: "Qual è l'equazione di un raggio di piani"?

Per fare ciò, assumeremo che Oxyz sia introdotto nello spazio tridimensionale e un fascio di piani sia specificato specificando due piani e da esso. Lascia che il piano corrisponda all'equazione generale del piano della forma e al piano della forma. Quindi, l'equazione di una trave di piani è un'equazione che definisce le equazioni di tutti i piani di questa trave.

Sorge la seguente domanda logica: "Qual è l'equazione di un raggio di piani in un sistema di coordinate rettangolare Oxyz"?

La forma dell'equazione per una matita di piani è data dal seguente teorema.

Teorema.

Il piano appartiene ad una matita di piani, che è definita da due piani intersecanti e , data dalle equazioni e rispettivamente, se e solo se la sua equazione generale ha la forma , dove e sono numeri reali arbitrari che non sono uguali a zero al stesso tempo (l'ultima condizione è equivalente alla disuguaglianza).

Prova.

Per dimostrare la sufficienza, è necessario mostrare:

Riscriviamo l'equazione nella forma . L'equazione risultante è equazione generale piano, se le espressioni e non sono uguali a zero contemporaneamente.

Dimostriamo che in realtà non svaniscono nello stesso tempo per assurdo. Facciamo finta che. Allora se , allora , se , allora . Le uguaglianze risultanti indicano che i vettori e sono legati da parenti o (se necessario, si veda l'articolo ), quindi, e tiene. Poiché è il vettore normale del piano, - il vettore normale del piano , ed i vettori e sono collineari, quindi i piani e sono paralleli o coincidono (vedi articolo la condizione di parallelismo di due piani). E questo non può essere, poiché i piani definiscono un fascio di piani e, quindi, si intersecano.

Quindi, l'equazione è davvero l'equazione generale del piano. Mostriamo che il piano definito da questa equazione passa per la linea di intersezione dei piani e .

Se questo è vero, allora il sistema di equazioni della forma ha un numero infinito di soluzioni. (Se il sistema di equazioni scritto ha un'unica soluzione, allora i piani dalle cui equazioni è composto il sistema hanno un unico punto comune, quindi il piano interseca la retta definita dai piani che si intersecano e. Se il sistema di equazioni scritto ha nessuna soluzione, allora non c'è punto che appartenga contemporaneamente a tutti e tre i piani, quindi il piano è parallelo alla retta data dai piani intersecanti e ).

Poiché la prima equazione del sistema di equazioni scritto è una combinazione lineare della seconda e della terza equazione, è ridondante e può essere esclusa dal sistema senza conseguenze (ne abbiamo parlato nell'articolo). Cioè, il sistema di equazioni originale è equivalente a un sistema di equazioni della forma . E questo sistema ha un numero infinito di soluzioni, poiché i piani e hanno infiniti punti in comune per il fatto che si intersecano.

La sufficienza è stata dimostrata.

Passiamo alla prova della necessità.

Per provare la necessità, è necessario dimostrare che, qualunque sia il piano predeterminato passante per la linea di intersezione dei piani e , è determinato dall'equazione per alcuni valori dei parametri e .

Prendi un aereo che passa per un punto e attraverso la linea di intersezione dei piani e (M 0 non giace sulla linea di intersezione di questi piani). Dimostriamo che è sempre possibile scegliere tali valori e parametri e , in corrispondenza dei quali le coordinate del punto M 0 soddisferanno l'equazione , cioè l'uguaglianza sarà vera. Questo si rivelerà sufficiente.

Sostituiamo le coordinate del punto М 0 : nell'equazione. Poiché i piani e non passano contemporaneamente per il punto M 0 (altrimenti questi piani coinciderebbero), allora almeno una delle espressioni o diverso da zero. Se , allora l'equazione può essere risolta rispetto al parametro come e, dando al parametro un valore arbitrario diverso da zero, calcoliamo . Se , quindi dando al parametro un valore arbitrario diverso da zero , calcoliamo .

Il teorema è completamente dimostrato.

Quindi sembra. Definisce tutti i piani della trave. Se prendiamo una coppia di valori e sostituiamoli nell'equazione di un fascio di piani, quindi otteniamo l'equazione generale di un piano da questo fascio.

Poiché i parametri e non sono uguali a zero nell'equazione del raggio dei piani, si può scrivere nella forma , se , e nella forma , se .

Tuttavia, queste equazioni non sono equivalenti all'equazione di un raggio di piani della forma , poiché per qualsiasi valore è impossibile ottenere un'equazione di un piano della forma dall'equazione e dall'equazione per qualsiasi valore ​​è impossibile ottenere un'equazione di un piano della forma.

Passiamo alla soluzione degli esempi.

Esempio.

Scrivi l'equazione per il fascio piano, che nel sistema di coordinate rettangolare Oxyz è dato da due piani intersecanti E .

Soluzione.

L'equazione data del piano in segmenti è equivalente all'equazione generale del piano della forma. Ora possiamo scrivere l'equazione richiesta per il fascio di piani: .

Risposta:

Esempio.

L'aereo appartiene a un fascio di piani con centro , ?

Soluzione.

Se un piano appartiene a una matita, allora la linea che è il centro della matita giace su questo piano. Quindi, si possono prendere due punti distinti di una linea e controllare se giacciono nel piano. In caso affermativo, l'aereo appartiene al bundle di piani specificato, in caso contrario, non lo fa.

Le equazioni parametriche di una retta nello spazio facilitano la determinazione delle coordinate dei punti che giacciono su di essa. Prendiamo due valori del parametro (ad esempio e ) e calcoliamo le coordinate di due punti M 1 e M 2 della retta:

Prima di tutto, diremo che l'aereo

esiste una combinazione lineare di piani

se l'equazione (1) è una combinazione lineare delle equazioni (2) e (3), cioè se esistono tali e , tali che l'identità

Segue dall'identità (4) che qualsiasi punto ) che soddisfi entrambe le equazioni (2) e (3) soddisfa anche l'equazione (1) - qualsiasi punto appartenente a entrambi i piani (2) e (3) appartiene anche al piano (1) . In altre parole:

L'aereo che è combinazione lineare due dati piani intersecanti (2) e (3) passano per la linea di intersezione di questi piani. Dimostriamo che, viceversa, ogni piano (1) passante per la linea di intersezione d di due piani dati (2) e (3) è una combinazione lineare di questi piani.

Senza perdita di generalità, possiamo supporre che il piano (1) non coincida con nessuno dei piani (2) e (3). La dimostrazione è esattamente la stessa che nel caso dei versi (Capitolo V, §5).

Il piano passante per la retta d sarà completamente definito se indichiamo alcuni suoi punti (Fig. 122) che non giacciono sulla retta d.

Prendiamo un tale punto sul nostro piano (1) e scriviamo un'equazione con due incognite e :

Poiché, per ipotesi, il punto non giace sulla retta d, allora almeno una delle parentesi sul lato sinistro dell'Eq. (5) è diversa da zero; da questa equazione (5) il rapporto è determinato in modo univoco

Passiamo ora e alcuni numeri che soddisfano la proporzione (6). Allora vale anche l'uguaglianza (5), il che significa che il punto giace sul piano

Ma questo piano, essendo una combinazione lineare di piani (2) e (3), passa per la linea d e contiene un punto appartenente al piano (-significa che il piano (1) coincide con il piano (7) ed è una combinazione lineare dei piani (2) e ( 3) L'asserzione è dimostrata.

Quindi, affinché il piano (1) passi per la linea di intersezione di due piani (2) e (3), è necessario e sufficiente che l'equazione (1) sia una combinazione lineare di equazioni (2) e (3) .

Siano ora paralleli i piani (2) e (3). Esattamente come nel § 5 del Capitolo V, siamo convinti che qualsiasi piano che sia una combinazione lineare di piani (2) e (3) sarà ad essi parallelo e che, viceversa, qualsiasi piano parallelo a due (parallelo tra loro) i piani (2) e (3) è la loro combinazione lineare.

Chiamiamo matita propria di piani con asse l'insieme di tutti i piani passanti per una data retta Chiamiamo matita impropria di piani l'insieme di tutti i piani paralleli (nel senso ampio della parola) ad uno di alcuni piani. Infine, chiamiamo l'insieme di tutti i piani che sono combinazioni lineari di due piani qualsiasi e , una varietà unidimensionale di piani generata dai suoi due elementi e . Abbiamo dimostrato che qualsiasi matita di piani (propria o impropria) è una varietà unidimensionale generata da due qualsiasi dei suoi elementi.

Al contrario, qualsiasi varietà unidimensionale di piani (generata da alcuni due piani e 62) è un fascio di piani - proprio se i piani e 62 si intersecano, improprio se sono paralleli.

Nel capitolo XXIII di queste "Lezioni" costruiremo uno spazio proiettivo, dopo aver riempito lo spazio abituale di punti infinitamente distanti (impropri) in modo tale che la totalità di questi punti infinitamente distanti formi un piano infinitamente distante (improprio);

Tutte le linee che giacciono su questo piano saranno anche chiamate all'infinito o improprie. Ogni piano dello spazio "proprio" (cioè ordinario) si interseca con un piano improprio lungo una retta impropria - lungo l'unica retta impropria di un dato piano proprio. Risulta che due piani propri sono paralleli se e solo se si intersecano lungo (loro comune) linea all'infinito. Così, in uno spazio proiettivo, scompare la distinzione tra matite di piani propria e impropria: una matita impropria è una matita di piani il cui asse è una delle linee improprie dello spazio proiettivo.

L'articolo tratta le definizioni di una matita di linee centrata in un dato punto del piano. Smontato soluzione dettagliata usando la definizione, vengono considerati problemi per compilare l'equazione di una matita di linee, trovare le coordinate.

Una matita di linee è definita in un piano, ma non nello spazio tridimensionale. L'assioma della geometria dice che se ci sono due punti non coincidenti situati su un piano, allora solo una linea retta può essere tracciata attraverso di essi. Se sul piano γ sono dati un punto M 0 e M 1, allora possiamo tracciare una linea retta attraverso di essi. Quando c'è un altro punto M 2 che non giace sulla linea M 0 M 1, puoi tracciare una linea M 0 M 2. Se segniamo un punto M 3 che non appartiene a nessuna delle linee tracciate, possiamo anche tracciare una linea che passi per M 0 .

Ciò implica che nel piano γ si può tracciare un insieme di linee dato punto. Ciò ha portato alla definizione di una matita di linee.

Definizione 1

Un dato piano γ con l'insieme di tutte le rette che giacciono nel piano γ e passano per il punto M 0 è detto matita di rette centrata nel punto M 0 .

Sulla base della definizione, abbiamo che due linee qualsiasi di questa matita si intersecheranno al centro di questa matita di linee. Una trave è definita se viene specificato il centro di questa trave.

Equazione del fascio di linee - risoluzione dei problemi

Per risolvere i problemi, viene utilizzata l'equazione di una matita di linee, ovvero la matita stessa è considerata relativa al sistema di coordinate O x y sul piano.

Quando abbiamo un sistema di coordinate rettangolare O x y sul piano con le linee di intersezione indicate a 1 e a 2, la trave definisce queste linee. L'equazione generale di una retta è responsabile del sistema di coordinate O x y, che ha la forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 o A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0.

Introduciamo la designazione dell'intersezione di rette come punto M 0 con coordinate x 0 e y 0 . Ne consegue che il punto M ha coordinate M 0 (x 0 , y 0) .

Per determinare la forma dell'equazione utilizzata in fasci, si consideri il teorema.

Teorema

Date due linee intersecanti a 1 e a 2, ci sono linee che sono incluse nella matita di linee formata nel sistema di coordinate O x y. Le loro equazioni sono della forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 se e solo se l'equazione della retta α (A 1 x + B 1 y + C 1 = 0) + β (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 corrisponde ad esso, e α e β sono numeri reali, diverso da zero. Questa condizione è scritta come segue: α 2 + β 2 ≠ 0.

Prova

Iniziamo la considerazione della dimostrazione considerando la retta a della matita indicata, dopo di che dimostriamo che può essere specificata usando l'equazione α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 .

Prendiamo il centro della trave come punto con coordinate M 0 = (x 0 , y 0) .

Da qui otteniamo che n → = (A 1 , B 1) è il vettore normale della retta A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, quindi n 2 → = (A 2 , B 2) è il normale vettore per la linea A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Otteniamo che n → 1 e n 2 → sono vettori non collineari, perché la retta a 1 e a 2 non hanno punti di intersezione comuni. Quindi, è necessario espandere il vettore normale n → in due non collineari n 1 → e n 2 →. La scomposizione deve essere eseguita secondo la formula n → = α · n 1 → + β · n 2 → . Di conseguenza, otteniamo che n → = (α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2) .

Dopo i calcoli, otteniamo le coordinate del vettore normale della retta a uguale a n → = α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2 . Le coordinate del punto che interseca la retta a nel punto M 0 (x 0, y 0) si scrivono usando l'equazione generale della retta a. Quindi otteniamo un'espressione come:

α UN 1 + β UN 2 x - x 0 + α B 1 + β B 2 y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α (A 1 x + B 1 y - UN 1 x 0 + B 1 y 0) + β UN 2 x + B 2 y - UN 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

Con - A 1 x 0 - B 1 y 0 \u003d C 1 e - A 2 x 0 - B 2 y 0 \u003d C 2 otteniamo l'equazione generale della linea a, che ha la forma α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β UN 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . La necessità di cui sopra è stata dimostrata.

Resta da trovare la prova della sufficienza.

Quindi, è necessario dimostrare l'espressione α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, dove abbiamo α e β per alcuni numeri reali diversi da zero , c'è un'equazione da matita di linee con il punto di intersezione M 0 (x 0 , y 0) . Tale equazione è definita utilizzando due rette intersecanti A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Scriviamo l'equazione α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 come α A 1 + β A 2 x + α B 1 + β B 2 y + α C 1 + β C 2 = 0 .

L'equazione sarà considerata generale se la condizione è soddisfatta quando α · A 1 + β · A 2 e α · B 1 + β · B 2 sono diversi da zero. Altrimenti, abbiamo un'espressione della forma α A 1 + β A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α A 2 e α B 1 + β B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α B 2 o α A 1 + β UN 2 = 0 ⇔ UN 2 = - α β UN 1 e α B 1 + β B 2 = 0 ⇔ B 2 = - α β B 1. Ciò significherebbe che i vettori non sono collineari.

Ciò è impossibile in questo caso, poiché n 1 → e n 2 → sono vettori normali di rette a 1 e a 2 che si intersecano.

Abbiamo che l'equazione α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 è l'equazione generale di una retta. Successivamente, è necessario dimostrare la soddisfazione delle coordinate del punto quando si intersecano, ovvero le coordinate del punto M 0 (x 0, y 0) . Dimostriamo se l'uguaglianza α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 è vera.

M 0 (x 0 , y 0) è il punto di intersezione delle rette, il che significa che le sue coordinate devono soddisfare le equazioni di entrambe le rette intersecanti.

Quando A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ne consegue che α A 1 x + B 1 y + C 1 + β A 2 x + B 2 y + C 2 = α 0 + β 0 = 0 .

QED

Possiamo concludere che l'equazione che ha la forma α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 è l'equazione della trave.

I valori di α e β sono necessari per determinare le rette che si trovano in questo fascio, con le equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

È necessario che almeno uno dei parametri sia diverso da zero, quindi l'espressione può essere semplificata. A condizione che α ≠ 0, otteniamo un'espressione della forma A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 con λ = α β .

Per β ≠ 0, l'espressione diventa μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 con μ = α β .

Non sono equivalenti all'equazione di una matita di linee relativa alla forma α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . L'equazione A 1 x + B 1 y + C 1 + λ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 per qualsiasi valore di λ non consentirà di ottenere un'equazione della forma A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

L'equazione μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 per qualsiasi valore di μ non risulterà in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 .

Diamo un'occhiata più da vicino alla risoluzione di esempi.

Esempio 1

Scrivi l'equazione di una trave rettilinea con un centro dato nel punto M 0 (- 1 , 4) , k = 3 .

Soluzione

È necessario formulare un'equazione per una retta che passerà per un dato punto di coordinate M 0 (- 1, 4) con pendenza pari a 3. Quindi scriviamo l'equazione di una retta con pendenza e otteniamo y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 .

Risposta: y = 3 x + 7 .

Esempio 2

Trova le coordinate del centro della matita di linee in O x y se sono note due equazioni di rette intersecanti x - 4 2 = y + 3 0 e x 2 3 + y - 1 = 1.

Soluzione

Per trovare le coordinate del centro della trave, è necessario trovare i punti di intersezione x - 4 2 = y + 3 0 e x 2 3 + y - 1 = 1 .

Lo capiamo equazione canonica una retta sul piano x - 4 2 = y + 3 0 è equivalente a x 2 3 + y - 1 = 1 e l'equazione nei segmenti x 2 3 + y - 1 = 1 è equivalente all'equazione generale di la retta 3 2 x - y - 1 = 0 .

Ora componiamo un sistema di equazioni che include le equazioni delle rette.

Lo capiamo

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Otteniamo che - 4 3 , - 3 sono le coordinate del punto centrale in cui tutte le linee si intersecano.

Risposta: - 4 3 , - 3 .

Esempio 3

Compila l'equazione di una matita di linee in O x y, che è data dalle linee 3 x - 2 y + 1 \u003d 0 e x \u003d - 2 + 2 · λ y = 5 · λ con un punto di intersezione comune.

Soluzione

Per prima cosa devi ottenere l'equazione generale di una retta. È definito equazione parametrica x = - 2 + 2 λ y = 5 λ .

Quindi ne consegue che

x = - 2 + 2 λ y = 5 λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 (x + 2) = 2 y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Scriviamo l'equazione di una matita di linee e otteniamo α (3 x - 2 y + 1) + β (5 x - 2 y + 10) = 0, e α e β sono numeri reali, dove α 2 + β 2 è considerato un prerequisito ≠ 0 .

Risposta:α (3 x - 2 y + 1) + β (5 x - 2 y + 10) = 0 .

Esempio 4

Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto M 1 (2, - 1) e appartenente a una matita di linee con l'equazione α · (5 x + y - 19) + β · (2 ​​​​x - 3 y + 6) = 0 .

Soluzione

Il problema si risolve in due modi.

Il primo metodo inizia con la definizione di M 0 , che è il centro dell'intersezione. Quindi devi trovare i punti di intersezione delle equazioni 5 x + y - 19 = 0 e 2 x - 3 y + 6 = 0 e il loro risultato saranno le coordinate per M 0 .

Determiniamo le coordinate risolvendo il sistema risultante:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 xx = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Quindi il punto M 0 ha coordinate (3, 4) . Questo è scritto come M 0 (3 , 4) . Per ottenere l'equazione desiderata che passa per punti con coordinate M 0 (3, 4) e M 1 (2, - 1) . Di conseguenza, otteniamo:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

Il secondo metodo parte dal fatto che è necessario determinare i parametri α e β, in modo che l'equazione α (5 x + y - 19) + β 2 x - 3 y + 6 = 0 sia l'equazione di una retta che passa per M 1 (2, - uno) . Per fare ciò, troviamo le coordinate M 1 e le otteniamo

α 5 2 + (- 1) - 19 + β 2 2 - 3 (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 α + 13 β = 0 ⇔ α = 13 β 10

Prendiamo il valore β = 10, se lo desideri, puoi scegliere qualsiasi altro valore di β, che fornisce un semplice calcolo di α. Otteniamo α \u003d 13 β 10 \u003d 13 10 10 \u003d 13.

Quando si sostituiscono i valori α = 13 e β = 10 nell'equazione del raggio data, si trasforma:

13 (5 x + y - 19) + 10 (2 x - 3 y + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 y - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

È necessario verificare l'equivalenza delle equazioni risultanti.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 x - 3 = 1 y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Da ciò ne consegue che tutto è deciso correttamente.

Risposta: 5 x - y - 11 = 0 .

Esempio 5

Determina se la linea 3 x - y + 5 = 0 appartiene alla matita di linee α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Soluzione

La soluzione è fatta in due modi.

Il primo modo per risolvere inizia trovando i centri delle coordinate dell'equazione del raggio data e verificandoli:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 y - 4 y = 0 ⇔ x = 2 0 - 4 y = 0 ⇔ x = - 4 y = 0 3 (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

Otteniamo che la sostituzione delle coordinate del centro nell'equazione della retta 3 x - y + 5 = 0 dà un'uguaglianza errata. Concludiamo che la linea non interseca il centro delle travi, e quindi non gli appartiene.

Il secondo metodo inizia aprendo le parentesi e portando termini simili α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 .

Quando la linea 3 x - y + 5 = 0 appartiene a una matita di linee, allora ci sono valori α e β tali che le due equazioni α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 e 3 x - y + 5 = 0 sono equivalenti.

Quindi otteniamo un sistema composto da tre equazioni α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 .

Per trasformarlo è necessario eguagliare i coefficienti davanti alle variabili xey e i termini liberi delle equazioni esistenti α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 e 3 x - y +5=0 per ottenere il risultato della soluzione.

Per verificare è necessario applicare il teorema di Kronecker-Capelli.

Per fare ciò, è necessario annotare le matrici principali ed estese per il sistema di equazioni compilato. Otteniamo che A = 1 1 2 1 4 4 e T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 .

Il risultato della ricerca del rango della matrice aumentata è 3 perché 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 .

Quindi abbiamo che il sistema di equazioni α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 non è definito, cioè ha soluzioni. Poiché non ci sono soluzioni, la linea non passa per il centro della linea delle matite di linee esistenti.

Risposta: no, la linea 3 x - y + 5 = 0 non appartiene alla matita di linee data scritta da un'equazione della forma α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

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Una vera matita di piani è l'insieme di tutti i piani che passano per una linea retta.

Una matita di piani impropria è un insieme di tutti i piani paralleli.

Teorema 1. In ordine per i tre piani dati dalle equazioni generali

rispetto al comune sistema di coordinate cartesiane, appartenuto alla stessa trave, propria o impropria, è necessario e sufficiente che il rango della matrice

era uguale a due o a uno.

prova di necessità. Lascia che tre piani (1) appartengano a un fascio. È necessario dimostrarlo

Assumiamo prima che i tre piani dati appartengano alla loro stessa matita. Allora il sistema (1) ha un insieme infinito di soluzioni (perché per definizione di matita propria: tre piani appartengono ad una matita se passano per una retta); questo sarà se e solo se, poiché se, allora il sistema (1) o ha una soluzione unica o è incoerente, a seconda che il determinante composto dai coefficienti delle incognite sia diverso da zero o uguale a zero.

Se tre piani dati appartengono a un fascio improprio, allora il rango della matrice

è uguale a 1, il che significa che il rango della matrice m uguale a due o a uno.

Prova di sufficienza. Dato: è necessario dimostrare che tre piani dati appartengono alla stessa matita.

Se, allora e. Lascia stare. Allora il sistema (1) è consistente, ha un numero infinito di soluzioni, e tra questi piani ve ne sono di intersecanti (perché se non ci fossero quelli intersecanti, sarebbero tutti paralleli e il rango della matrice sarebbe uguale a 1), quindi il tre piani dati appartengono al proprio fascio.

Se; , allora tutti i piani sono collineari (due di essi sono necessariamente paralleli e il terzo può coincidere con uno dei piani paralleli).

Se, allora e, e tutti i piani coincidono.

Teorema 2. Lascia in generale sistema cartesiano alle coordinate vengono dati due diversi piani ed equazioni generali: ; .

In ordine per il terzo piano, dato anche dall'equazione generale

rispetto allo stesso sistema di coordinate, apparteneva alla matita definita dai piani e, è necessario e sufficiente che il lato sinistro dell'equazione del piano sia una combinazione lineare dei lati sinistro delle equazioni dei piani e.

prova di necessità. Dato: il piano appartiene al fascio di piani definito dai piani u. È necessario dimostrare che ci sono numeri e tali che l'identità valga per tutti i valori X, a, z:

In effetti, se tre piani e appartengono a un fascio, allora dove

Le prime due righe di questa matrice sono linearmente indipendenti (poiché i piani e sono differenti), e poiché la terza riga è una combinazione lineare delle prime due, cioè ci sono numeri e cose del genere

Moltiplicando entrambi i membri della prima uguaglianza per X, entrambe le parti del secondo accese a, entrambe le parti del terzo accese z e sommando le uguaglianze e le eguaglianze ottenute termine per termine, otteniamo l'identità da provare.

Prova di sufficienza. Lascia che l'identità

valido per tutti i valori X, a e z. È necessario provare che la pialla appartiene alla matita definita dai piani u.

Da questa identità seguono le relazioni

quindi la terza riga della matrice mè una combinazione lineare dei primi due, e quindi. Ch.t.d.

L'equazione in cui e non sono contemporaneamente uguali a zero, è chiamata equazione di un fascio di piani, definito da due piani diversi e, le cui equazioni in un comune sistema di coordinate cartesiane sono le seguenti:

Come è stato dimostrato, l'equazione di qualsiasi piano di una trave definita da piani diversi e può essere scritta nella forma

Viceversa, se un'equazione in cui almeno uno dei numeri e diverso da zero è un'equazione di primo grado, allora è un'equazione di un piano appartenente alla matita definita dai piani u. Infatti, la terza riga della matrice m, composto dai coefficienti delle equazioni e ha la forma

quelli. è una combinazione lineare degli altri due, quindi.

Se i piani e si intersecano, e e non sono uguali a zero contemporaneamente, allora tutti i coefficienti a X, a, z nell'equazione non può essere uguale a zero, poiché se le relazioni

quindi i piani sarebbero collineari, contrariamente all'ipotesi.

Ma se i piani e sono paralleli, allora ci sono tali numeri e, tra i quali almeno uno non è uguale a zero, e tali che nell'equazione tutti i coefficienti a X, a e z sono uguali a zero. Ma allora sarà una matita impropria, e proprio come nel caso di una matita a linee rette, qui bisogna stare molto attenti.