Questo argomento può sembrare complicato all'inizio a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Si indichi questa formula con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:

la soluzione avrà due radici;
la risposta sarà un numero;
L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non è portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancherà di alcuni termini. Ciò che è stato scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula diventa equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Sia la prima formula il numero due e la seconda il numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, allora la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo che è stato chiarito che esistono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una tale formula.

Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. Espressione firmata radice quadrataè il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in un modo diverso.

Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione equazioni quadratiche non ancora elaborato, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminante e variabile. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all'inizio c'è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'incognita. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di annotarla due volte con segni opposti.

Le seguenti sono alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti scarsi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere costantemente eseguite. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero.

Se viene visualizzato un meno prima del coefficiente "a", può complicare il lavoro per un principiante nello studio delle equazioni di secondo grado. È meglio liberarsene. A tal fine, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno nel contrario.

Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda verrà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che è risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in vista standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Ora è il momento di usare il secondo consiglio utile e moltiplica tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Rappresenta numero positivo. Da quanto detto sopra, risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che devi portare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 -x \u003d 0. È diventato incompleto. Simile ad esso è già stato considerato un po' più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Continuiamo a studiare l'argomento soluzione di equazioni". Abbiamo già familiarizzato con le equazioni lineari e ora faremo conoscenza equazioni quadratiche.

Innanzitutto, analizzeremo cos'è un'equazione di secondo grado, come è scritta vista generale e fornire definizioni correlate. Successivamente, usando esempi, analizzeremo in dettaglio come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Passiamo alla soluzione. equazioni complete, otteniamo la formula delle radici, conosciamo il discriminante dell'equazione quadratica e consideriamo le soluzioni di esempi tipici. Infine, tracciamo le connessioni tra radici e coefficienti.

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Che cos'è un'equazione quadratica? I loro tipi

Per prima cosa devi capire chiaramente cos'è un'equazione di secondo grado. Pertanto, è logico iniziare a parlare di equazioni di secondo grado con la definizione di un'equazione di secondo grado, nonché di definizioni ad essa correlate. Successivamente, puoi considerare i principali tipi di equazioni quadratiche: equazioni ridotte e non ridotte, nonché equazioni complete e incomplete.

Definizione ed esempi di equazioni quadratiche

Definizione.

Equazione quadrataè un'equazione della forma ax2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a , b e c sono alcuni numeri e a è diverso da zero.

Diciamo subito che le equazioni di secondo grado sono spesso chiamate equazioni di secondo grado. Questo perché l'equazione quadratica è equazione algebrica secondo grado.

La definizione sonora ci permette di fornire esempi di equazioni quadratiche. Quindi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione.

Numeri a , b e c sono chiamati coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 +b x + c=0, e il coefficiente a è chiamato primo, o senior, o coefficiente in x 2, b è il secondo coefficiente, o coefficiente in x, e c è un membro libero.

Ad esempio, prendiamo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0 , qui il coefficiente principale è 5 , il secondo coefficiente è −2 e il termine libero è −3 . Si noti che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, come nell'esempio appena riportato, allora forma breve scrivendo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0 , e non 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Vale la pena notare che quando i coefficienti a e / o b sono uguali a 1 o −1, di solito non sono esplicitamente presenti nella notazione dell'equazione quadratica, il che è dovuto alle peculiarità della notazione di tale . Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 −y+3=0, il coefficiente principale è uno e il coefficiente in y è −1.

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

A seconda del valore del coefficiente principale, si distinguono equazioni quadratiche ridotte e non ridotte. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 equazione quadratica ridotta. Altrimenti, l'equazione quadratica lo è non ridotto.

Secondo questa definizione, equazioni quadratiche x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, ecc. - ridotti, in ciascuno di essi il primo coefficiente è uguale a uno. E 5 x 2 −x−1=0 , ecc. - equazioni quadratiche non ridotte, i loro coefficienti direttivi sono diversi da 1 .

Da qualsiasi equazione quadratica non ridotta, dividendo entrambe le sue parti per il coefficiente principale, puoi passare a quella ridotta. Questa azione è una trasformazione equivalente, cioè l'equazione quadratica ridotta così ottenuta ha le stesse radici dell'equazione quadratica non ridotta originale, o, come essa, non ha radici.

Facciamo un esempio di come viene eseguita la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio.

Dall'equazione 3 x 2 +12 x−7=0, vai alla corrispondente equazione quadratica ridotta.

Decisione.

È sufficiente per noi eseguire la divisione di entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 3, è diverso da zero, quindi possiamo eseguire questa azione. Abbiamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , che è lo stesso di (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , e così via (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , da cui . Quindi abbiamo ottenuto l'equazione quadratica ridotta, che è equivalente a quella originale.

Risposta:

Equazioni quadratiche complete e incomplete

C'è una condizione a≠0 nella definizione di un'equazione quadratica. Questa condizione è necessaria affinché l'equazione a x 2 +b x+c=0 sia esattamente quadrata, poiché con a=0 diventa effettivamente un'equazione lineare della forma b x+c=0 .

Per quanto riguarda i coefficienti b e c, possono essere uguali a zero, sia separatamente che insieme. In questi casi, l'equazione quadratica è chiamata incompleta.

Definizione.

Viene chiamata l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 incompleto, se almeno uno dei coefficienti b , c è uguale a zero.

Nel suo turno

Definizione.

Equazione quadratica completaè un'equazione in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero.

Questi nomi non sono dati a caso. Ciò risulterà chiaro dalla discussione seguente.

Se il coefficiente b è uguale a zero, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 +0 x+c=0 , ed è equivalente all'equazione a x 2 +c=0 . Se c=0 , cioè l'equazione quadratica ha la forma a x 2 +b x+0=0 , allora può essere riscritta come a x 2 +b x=0 . E con b=0 e c=0 otteniamo l'equazione quadratica a·x 2 =0. Le equazioni risultanti differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto il loro lato sinistro non contiene né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. Da qui il loro nome: equazioni quadratiche incomplete.

Quindi le equazioni x 2 +x+1=0 e −2 x 2 −5 x+0,2=0 sono esempi di equazioni quadratiche complete e x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Dalle informazioni del paragrafo precedente risulta che c'è tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

a x 2 =0 , ad esso corrispondono i coefficienti b=0 e c=0;
a x 2 +c=0 quando b=0 ;
e a x 2 +b x=0 quando c=0 .

Analizziamo in ordine come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete di ciascuno di questi tipi.

a x 2 \u003d 0

Iniziamo risolvendo equazioni quadratiche incomplete in cui i coefficienti b e c sono uguali a zero, cioè con equazioni della forma a x 2 =0. L'equazione a x 2 =0 è equivalente all'equazione x 2 =0, che si ottiene dall'originale dividendo le sue due parti per un numero diverso da zero a. Ovviamente, la radice dell'equazione x 2 \u003d 0 è zero, poiché 0 2 \u003d 0. Questa equazione non ha altre radici, il che si spiega, infatti, per ogni numero p diverso da zero, si verifica la disuguaglianza p 2 >0, il che implica che per p≠0 l'uguaglianza p 2 =0 non è mai raggiunta.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 \u003d 0 ha una sola radice x \u003d 0.

A titolo di esempio, diamo la soluzione di un'equazione quadratica incompleta −4·x 2 =0. È equivalente all'equazione x 2 \u003d 0, la sua unica radice è x \u003d 0, quindi anche l'equazione originale ha un'unica radice zero.

Una breve soluzione in questo caso può essere emessa come segue:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

ax2 +c=0

Consideriamo ora come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete, in cui il coefficiente b è uguale a zero, e c≠0, cioè le equazioni della forma a x 2 +c=0. Sappiamo che il trasferimento di un termine da un lato dell'equazione all'altro con segno opposto, così come la divisione di entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero, danno un'equazione equivalente. Pertanto, si possono effettuare le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0:

sposta c sul lato destro, che dà l'equazione a x 2 =−c,
e dividiamo entrambe le sue parti per a, otteniamo.

L'equazione risultante ci consente di trarre conclusioni sulle sue radici. A seconda dei valori di a e c, il valore dell'espressione può essere negativo (ad esempio, se a=1 e c=2 , allora ) o positivo (ad esempio, se a=−2 e c=6 , allora ), non è uguale a zero , perché per condizione c≠0 . Analizzeremo separatamente i casi e .

Se , allora l'equazione non ha radici. Questa affermazione deriva dal fatto che il quadrato di qualsiasi numero è un numero non negativo. Ne consegue che quando , allora per qualsiasi numero p l'uguaglianza non può essere vera.

Se , la situazione con le radici dell'equazione è diversa. In questo caso, se ricordiamo, allora la radice dell'equazione diventa immediatamente ovvia, è il numero, poiché. È facile intuire che il numero è anche la radice dell'equazione, anzi, . Questa equazione non ha altre radici, che possono essere mostrate, ad esempio, per assurdo. Facciamolo.

Indichiamo le radici appena espresse dell'equazione come x 1 e −x 1 . Supponiamo che l'equazione abbia un'altra radice x 2 diversa dalle radici indicate x 1 e −x 1 . È noto che la sostituzione nell'equazione invece di x delle sue radici trasforma l'equazione in una vera uguaglianza numerica. Per x 1 e −x 1 abbiamo , e per x 2 abbiamo . Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci consentono di eseguire la sottrazione termine per termine delle uguaglianze numeriche vere, quindi sottraendo le parti corrispondenti delle uguaglianze si ottiene x 1 2 − x 2 2 =0. Le proprietà delle operazioni con i numeri consentono di riscrivere l'uguaglianza risultante come (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Sappiamo che il prodotto di due numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero. Pertanto, dall'uguaglianza ottenuta segue che x 1 −x 2 =0 e/o x 1 +x 2 =0 , che è lo stesso, x 2 =x 1 e/o x 2 = −x 1 . Quindi siamo giunti a una contraddizione, poiché all'inizio abbiamo detto che la radice dell'equazione x 2 è diversa da x 1 e −x 1 . Ciò dimostra che l'equazione non ha altre radici che e .

Riassumiamo le informazioni in questo paragrafo. L'equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0 è equivalente all'equazione , che

non ha radici se,
ha due radici e se .

Considera esempi di risoluzione di equazioni quadratiche incomplete della forma a·x 2 +c=0 .

Iniziamo con l'equazione quadratica 9 x 2 +7=0 . Dopo aver trasferito il termine libero sul lato destro dell'equazione, assumerà la forma 9·x 2 =−7. Dividendo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9, arriviamo a . Poiché un numero negativo è ottenuto sul lato destro, questa equazione non ha radici, quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 +7=0 non ha radici.

Risolviamo un'altra equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0. Trasferiamo i nove sul lato destro: -x 2 \u003d -9. Ora dividiamo entrambe le parti per −1, otteniamo x 2 =9. Il lato destro contiene un numero positivo, da cui deduciamo che o . Dopo aver scritto la risposta finale: l'equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0 ha due radici x=3 o x=−3.

ax2 +bx=0

Resta da affrontare la soluzione dell'ultimo tipo di equazioni quadratiche incomplete per c=0 . Le equazioni quadratiche incomplete della forma a x 2 +b x=0 consentono di risolvere metodo di fattorizzazione. Ovviamente possiamo, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, per cui è sufficiente togliere tra parentesi il fattore comune x. Questo ci permette di passare dall'equazione quadratica incompleta originale a un'equazione equivalente della forma x·(a·x+b)=0 . E questa equazione è equivalente all'insieme di due equazioni x=0 e a x+b=0 , l'ultima delle quali è lineare e ha una radice x=−b/a .

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 +b x=0 ha due radici x=0 e x=−b/a.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione di un esempio specifico.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Decisione.

Prendiamo x tra parentesi, questo dà l'equazione. È equivalente a due equazioni x=0 e . Risolviamo l'equazione lineare risultante: , e dopo aver diviso il numero misto per una frazione ordinaria, troviamo . Pertanto, le radici dell'equazione originale sono x=0 e .

Dopo aver acquisito la pratica necessaria, le soluzioni di tali equazioni possono essere scritte brevemente:

Risposta:

x=0 , .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per risolvere le equazioni quadratiche, esiste una formula radice. Scriviamo la formula delle radici dell'equazione quadratica: , dove D=b 2 −4 un c- cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica. La notazione significa essenzialmente che .

È utile sapere come è stata ottenuta la formula della radice e come viene applicata nella ricerca delle radici delle equazioni quadratiche. Affrontiamo questo.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0 . Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

Possiamo dividere entrambe le parti di questa equazione per un numero a diverso da zero, di conseguenza otteniamo l'equazione quadratica ridotta.
Adesso seleziona un quadrato intero alla sua sinistra: . Dopodiché, l'equazione assumerà la forma .
A questo punto è possibile effettuare il trasferimento degli ultimi due termini a destra con segno opposto, abbiamo .
E trasformiamo anche l'espressione a destra: .

Di conseguenza, arriviamo all'equazione , che è equivalente all'equazione quadratica originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Abbiamo già risolto equazioni simili nella forma nei paragrafi precedenti quando abbiamo analizzato . Questo ci permette di trarre le seguenti conclusioni riguardo alle radici dell'equazione:

se , allora l'equazione non ha soluzioni reali;
se , allora l'equazione ha la forma , quindi, , da cui è visibile la sua unica radice;
se , allora o , che è uguale a o , cioè l'equazione ha due radici.

Pertanto, la presenza o l'assenza delle radici dell'equazione, e quindi l'equazione quadratica originale, dipende dal segno dell'espressione sul lato destro. A sua volta, il segno di questa espressione è determinato dal segno del numeratore, poiché il denominatore 4 a 2 è sempre positivo, cioè il segno dell'espressione b 2 −4 a c . Questa espressione b 2 −4 a c è chiamata discriminante di un'equazione quadratica e contrassegnato con la lettera D. Da qui, l'essenza del discriminante è chiara: dal suo valore e segno, si conclude se l'equazione quadratica ha radici reali e, in tal caso, qual è il loro numero: uno o due.

Torniamo all'equazione , riscriviamola usando la notazione del discriminante: . E concludiamo:

se D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
se D=0, allora questa equazione ha una sola radice;
infine, se D>0, allora l'equazione ha due radici o , che possono essere riscritte nella forma o , e dopo aver ampliato e ridotto le frazioni a un denominatore comune, otteniamo .

Quindi abbiamo derivato le formule per le radici dell'equazione quadratica, sembrano , dove il discriminante D è calcolato dalla formula D=b 2 −4 a c .

Con il loro aiuto, con un discriminante positivo, puoi calcolare entrambe le radici reali di un'equazione quadratica. Quando il discriminante è uguale a zero, entrambe le formule danno lo stesso valore radice corrispondente all'unica soluzione dell'equazione quadratica. E con un discriminante negativo, quando si tenta di utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica, ci troviamo di fronte a estrarre la radice quadrata da un numero negativo, che ci porta oltre e curriculum scolastico. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non ha radici reali, ma ha una coppia complesso coniugato radici, che possono essere trovate usando le stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

In pratica, quando si risolve un'equazione quadratica, è possibile utilizzare immediatamente la formula della radice, con la quale calcolarne i valori. Ma si tratta più di trovare radici complesse.

Tuttavia, in un corso di algebra scolastica, di solito non si parla di complessi, ma di vere radici di un'equazione quadratica. In questo caso, è consigliabile trovare prima il discriminante prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, assicurarsi che non sia negativo (altrimenti possiamo concludere che l'equazione non ha radici reali), e successivamente calcola i valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra ci permette di scrivere algoritmo per la risoluzione di un'equazione quadratica. Per risolvere l'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, è necessario:

utilizzando la formula discriminante D=b 2 −4 a c calcolarne il valore;
concludere che l'equazione quadratica non ha radici reali se il discriminante è negativo;
calcola l'unica radice dell'equazione usando la formula if D=0 ;
trova due radici reali di un'equazione quadratica usando la formula della radice se il discriminante è positivo.

Qui notiamo solo che se il discriminante è uguale a zero, la formula può anche essere utilizzata, darà lo stesso valore di .

Puoi passare agli esempi di applicazione dell'algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Considera le soluzioni di tre equazioni quadratiche con discriminante positivo, negativo e zero. Dopo aver affrontato la loro soluzione, per analogia sarà possibile risolvere qualsiasi altra equazione quadratica. Iniziamo.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione x 2 +2 x−6=0 .

Decisione.

In questo caso, abbiamo i seguenti coefficienti dell'equazione quadratica: a=1 , b=2 e c=−6 . Secondo l'algoritmo, devi prima calcolare il discriminante, per questo sostituiamo a, b e c indicati nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 un c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Poiché 28>0, cioè il discriminante è maggiore di zero, l'equazione quadratica ha due radici reali. Troviamoli con la formula delle radici , otteniamo , qui possiamo semplificare le espressioni ottenute facendo escludendo il segno della radice seguito da riduzione di frazione:

Risposta:

Passiamo al prossimo esempio tipico.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica −4 x 2 +28 x−49=0 .

Decisione.

Iniziamo trovando il discriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Pertanto, questa equazione quadratica ha un'unica radice, che troviamo come , cioè,

Risposta:

x=3,5 .

Resta da considerare la soluzione delle equazioni quadratiche con discriminante negativo.

Esempio.

Risolvi l'equazione 5 y 2 +6 y+2=0 .

Decisione.

Ecco i coefficienti dell'equazione quadratica: a=5 , b=6 e c=2 . Sostituendo questi valori nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Il discriminante è negativo, quindi questa equazione quadratica non ha radici reali.

Se è necessario specificare radici complesse, quindi applichiamo la ben nota formula per le radici dell'equazione quadratica ed eseguiamo azioni con numeri complessi :

Risposta:

non ci sono vere radici, le radici complesse sono: .

Ancora una volta, notiamo che se il discriminante dell'equazione quadratica è negativo, la scuola di solito scrive immediatamente la risposta, in cui indica che non ci sono radici reali e non trova radici complesse.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula per le radici di un'equazione quadratica, dove D=b 2 −4 a c ti permette di ottenere una formula più compatta che ti permette di risolvere equazioni quadratiche con un coefficiente pari in x (o semplicemente con un coefficiente che assomiglia a 2 n , ad esempio, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Portiamola fuori.

Diciamo che dobbiamo risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 +2 n x + c=0 . Ritroviamo le sue radici usando la formula a noi nota. Per fare ciò, calcoliamo il discriminante D=(2 n) 2 −4 un c=4 n 2 −4 un c=4 (n 2 −a c), e quindi usiamo la formula radice:

Indichiamo l'espressione n 2 −a c come D 1 (a volte è indicato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assume la forma , dove D 1 =n 2 −a c .

È facile vedere che D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . In altre parole, D 1 è la quarta parte del discriminante. È chiaro che il segno di D 1 è lo stesso del segno di D . Cioè, il segno D 1 è anche un indicatore della presenza o dell'assenza delle radici dell'equazione quadratica.

Quindi, per risolvere un'equazione quadratica con il secondo coefficiente 2 n, è necessario

Calcola D 1 =n 2 −a·c ;
Se D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Se D 1 =0, calcola l'unica radice dell'equazione usando la formula;
Se D 1 >0, trova due radici reali usando la formula.

Si consideri la soluzione dell'esempio utilizzando la formula radice ottenuta in questo paragrafo.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica 5 x 2 −6 x−32=0 .

Decisione.

Il secondo coefficiente di questa equazione può essere rappresentato come 2·(−3) . Cioè, puoi riscrivere l'equazione quadratica originale nella forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , qui a=5 , n=−3 e c=−32 , e calcolare la quarta parte del discriminante: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Poiché il suo valore è positivo, l'equazione ha due radici reali. Li troviamo usando la formula radice corrispondente:

Si noti che era possibile utilizzare la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso sarebbe necessario eseguire più lavoro di calcolo.

Risposta:

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte, prima di intraprendere il calcolo delle radici di un'equazione di secondo grado utilizzando le formule, non fa male porsi la domanda: "È possibile semplificare la forma di questa equazione"? D'accordo sul fatto che in termini di calcoli sarà più facile risolvere l'equazione quadratica 11 x 2 −4 x −6=0 che 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Di solito, una semplificazione della forma di un'equazione quadratica si ottiene moltiplicando o dividendo entrambi i suoi membri per un certo numero. Ad esempio, nel paragrafo precedente, siamo riusciti a ottenere una semplificazione dell'equazione 1100 x 2 −400 x −600=0 dividendo entrambi i membri per 100 .

Una trasformazione simile viene eseguita con equazioni quadratiche, i cui coefficienti non sono . In questo caso, entrambe le parti dell'equazione sono solitamente divise per i valori assoluti dei suoi coefficienti. Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 12 x 2 −42 x+48=0. valori assoluti dei suoi coefficienti: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dividendo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 , arriviamo all'equazione quadratica equivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

E la moltiplicazione di entrambe le parti dell'equazione quadratica viene solitamente eseguita per eliminare i coefficienti frazionari. In questo caso, la moltiplicazione viene effettuata sui denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se entrambe le parti di un'equazione quadratica vengono moltiplicate per LCM(6, 3, 1)=6 , assumerà una forma più semplice x 2 +4 x−18=0 .

In conclusione di questo paragrafo, notiamo che quasi sempre sbarazzarsi del meno al coefficiente più alto dell'equazione quadratica cambiando i segni di tutti i termini, che corrisponde a moltiplicare (o dividere) entrambe le parti per −1. Ad esempio, solitamente dall'equazione quadratica −2·x 2 −3·x+7=0 si passa alla soluzione 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relazione tra radici e coefficienti di un'equazione quadratica

La formula per le radici di un'equazione quadratica esprime le radici di un'equazione in termini di coefficienti. Sulla base della formula delle radici, puoi ottenere altre relazioni tra le radici e i coefficienti.

Le formule più note e applicabili del teorema di Vieta della forma e . In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è il termine libero. Ad esempio, con la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 −7 x+22=0, possiamo immediatamente dire che la somma delle sue radici è 7/3 e il prodotto delle radici è 22/3.

Usando le formule già scritte, puoi ottenere una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, puoi esprimere la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica in termini di coefficienti: .

Bibliografia.

Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. Alle 14:00 Parte 1. Libro di testo dello studente istituzioni educative/ AG Mordkovich. - 11a ed., cancellato. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Equazioni quadratiche. Informazione Generale.

A equazione quadrata ci deve essere una x nel quadrato (per questo si chiama

"quadrato"). Oltre a ciò, nell'equazione potrebbero esserci (o non esserci!) Solo x (al primo grado) e

solo un numero (membro libero). E non dovrebbero esserci x in grado maggiore di due.

Equazione algebrica vista generale.

dove Xè una variabile libera, un, b, c sono coefficienti e un≠0 .

Per esempio:

Espressione chiamata trinomio quadrato.

Gli elementi di un'equazione quadratica hanno i loro nomi:

detto primo o coefficiente maggiore,

è chiamato secondo o coefficiente a ,

è chiamato un membro libero.

Equazione quadratica completa.

Queste equazioni quadratiche hanno l'insieme completo di termini a sinistra. x al quadrato

coefficiente un, x alla prima potenza con coefficiente b e libero membroinsieme a. A tutti i coefficienti

deve essere diverso da zero.

Incompletoè un'equazione quadratica in cui almeno uno dei coefficienti, ad eccezione di

senior (o il secondo coefficiente o il termine libero) è uguale a zero.

Facciamo finta che b\u003d 0, - x scomparirà nel primo grado. Si scopre, ad esempio:

2x 2 -6x=0,

Eccetera. E se entrambi i coefficienti b e c sono uguali a zero, allora è ancora più semplice, Per esempio:

2x 2 \u003d 0,

Si noti che x al quadrato è presente in tutte le equazioni.

Perché un non può essere zero? Quindi la x al quadrato scompare e l'equazione diventa lineare .

Ed è fatto diversamente...

Risolvere equazioni utilizzando il metodo "transfer".

Considera l'equazione quadratica

ax 2 + bx + c \u003d 0, dove a? 0.

Moltiplicando entrambe le sue parti per a, otteniamo l'equazione

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sia ax = y, donde x = y/a; poi veniamo all'equazione

y 2 + di + ac = 0,

equivalente a questo. Troviamo le sue radici in 1 e in 2 usando il teorema di Vieta.

Infine otteniamo x 1 = y 1 /a e x 1 = y 2 /a. Con questo metodo, il coefficiente a viene moltiplicato per il termine libero, come se ad esso “trasferito”, quindi è chiamato metodo di “trasferimento”. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

* Esempio.

Risolviamo l'equazione 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Decisione. "Trasferiamo" il coefficiente 2 al termine libero, di conseguenza otteniamo l'equazione

y 2 - 11y + 30 = 0.

Secondo il teorema di Vieta

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Risposta: 2,5; 3.

Proprietà dei coefficienti di un'equazione quadratica

MA. Sia data un'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0, dove a? 0.

1) Se a + b + c \u003d 0 (ovvero la somma dei coefficienti è zero), allora x 1 \u003d 1,

Prova. Dividi entrambi i membri dell'equazione per a? 0, otteniamo l'equazione quadratica ridotta

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Secondo il teorema di Vieta

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 = 1*c/a.

Per condizione a - b + c = 0, da cui b = a + c. Così,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

quelli. x 1 \u003d -1 e x 2 \u003d c / a, che m doveva dimostrare.

* Esempi.
1) Risolviamo l'equazione 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Decisione. Poiché a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), allora

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Risposta 1; -208/345.

2) Risolvi l'equazione 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Decisione. Poiché a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), allora

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Risposta 1; 115/132.

B. Se il secondo coefficiente b = 2k è un numero pari, allora la formula radice

* Esempio.

Risolviamo l'equazione 3x2 - 14x + 16 = 0.

Decisione. Abbiamo: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Videolezione 2: Risoluzione di equazioni quadratiche

Conferenza: Equazioni quadratiche

L'equazione

L'equazione- questa è una specie di uguaglianza, nelle cui espressioni c'è una variabile.

risolvere l'equazione- significa trovare un tale numero invece di una variabile che lo porterà alla corretta uguaglianza.

Un'equazione può avere una soluzione, più o nessuna.

Per risolvere qualsiasi equazione, dovrebbe essere semplificata il più possibile nella forma:

Lineare: a*x = b;

Quadrato: a*x 2 + b*x + c = 0.

Cioè, qualsiasi equazione prima di risolverla deve essere convertita in una forma standard.

Qualsiasi equazione può essere risolta in due modi: analitica e grafica.

Sul grafico, la soluzione dell'equazione è considerata i punti in cui il grafico interseca l'asse x.

Equazioni quadratiche

Un'equazione può essere definita quadratica se, semplificata, assume la forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

in cui a, b, c sono coefficienti dell'equazione che differiscono da zero. MA "X"- radice dell'equazione. Si ritiene che un'equazione quadratica abbia due radici o potrebbe non avere alcuna soluzione. Le radici risultanti potrebbero essere le stesse.

"un"- il coefficiente che sta davanti alla radice nel quadrato.

"b"- sta davanti all'ignoto nel primo grado.

"insieme a"- termine libero dell'equazione.

Se, ad esempio, abbiamo un'equazione della forma:

2x 2 -5x+3=0

In esso, "2" è il coefficiente al termine più alto dell'equazione, "-5" è il secondo coefficiente e "3" è il termine libero.

Risolvere un'equazione quadratica

Ci sono molti modi per risolvere un'equazione quadratica. Tuttavia, nel corso di matematica della scuola, la soluzione viene studiata utilizzando il teorema di Vieta, oltre che utilizzando il discriminante.

Soluzione discriminante:

Quando si risolve con questo metodo occorre calcolare il discriminante secondo la formula:

Se durante i calcoli si ottiene che il discriminante è inferiore a zero, significa che data equazione non ha soluzioni.

Se il discriminante è zero, l'equazione ha due soluzioni identiche. In questo caso, il polinomio può essere compresso secondo la formula abbreviata di moltiplicazione nel quadrato della somma o della differenza. Quindi risolvilo come un'equazione lineare. Oppure usa la formula:

Se il discriminante è maggiore di zero, è necessario utilizzare il seguente metodo:

Il teorema di Vieta

Se l'equazione è ridotta, cioè il coefficiente al termine più alto è uguale a uno, puoi usarlo Il teorema di Vieta.

Quindi diciamo che l'equazione è:

Le radici dell'equazione si trovano come segue:

Equazione quadratica incompleta

Esistono diverse opzioni per ottenere un'equazione quadratica incompleta, la cui forma dipende dalla presenza di coefficienti.

1. Se il secondo e il terzo coefficiente sono uguali a zero (b=0, c=0), quindi l'equazione quadratica sarà simile a:

Questa equazione avrà una soluzione unica. L'uguaglianza sarà vera solo se la soluzione dell'equazione è zero.