numeri dentro forma trigonometrica.

Formula di De Moivre

Sia z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) e z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Notazione trigonometrica numero complesso conviene utilizzarlo per compiere le operazioni di moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza intera ed estrazione della radice di grado n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + io peccato( 1 +  2)).

Quando si moltiplicano due numeri complessi in forma trigonometrica si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. Quando si divide i loro moduli sono divisi ei loro argomenti sottratti.

Una conseguenza della regola per moltiplicare un numero complesso è la regola per elevare a potenza un numero complesso.

z = r(cos  + io peccato ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Questo rapporto è chiamato La formula di De Moivre.

Esempio 8.1 Trova il prodotto e il quoziente di numeri:

e

Soluzione

z1∙z2
∙

=

;

Esempio 8.2 Scrivi un numero in forma trigonometrica

∙
-i) 7 .

Soluzione

Denota
ez 2 =
- io.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arct ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arct
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Estrazione della radice di un numero complesso

Definizione. radicenla potenza di un numero complesso z (indicando
) è un numero complesso w tale che w n = z. Se z = 0, allora
= 0.

Sia z  0, z = r(cos + isin). Indichiamo w = (cos + sin), quindi scriviamo l'equazione w n = z nella forma seguente

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Quindi  n = r,

 =

Quindi w k =
·
.

Ci sono esattamente n valori distinti tra questi valori.

Pertanto, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Sul piano complesso, questi punti sono i vertici di un n-gon regolare inscritto in una circonferenza di raggio
centrato nel punto O (Figura 12).

Figura 12

Esempio 9.1 Trova tutti i valori
.

Soluzione.

Rappresentiamo questo numero in forma trigonometrica. Trova il suo modulo e argomento.

w k =
, dove k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Sul piano complesso, questi punti sono i vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio
centrato all'origine (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Esempio 9.2 Trova tutti i valori
.

Soluzione.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, dove k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Sul piano complesso, questi punti sono i vertici di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio 2 centrato nel punto O (0; 0) - Figura 14.

§ 10 La forma esponenziale di un numero complesso.

formula di Eulero

Denota
= cos  + isin  e
= cos  - isin  . Questi rapporti sono chiamati formule di Eulero .

Funzione
ha le solite proprietà di una funzione esponenziale:

Sia scritto il numero complesso z nella forma trigonometrica z = r(cos + isin).

Usando la formula di Eulero, possiamo scrivere:

z = r
.

Questa voce è chiamata forma indicativa numero complesso. Usandolo, otteniamo le regole per la moltiplicazione, la divisione, l'esponenziazione e l'estrazione della radice.

Se z 1 = r 1
e z 2 = r 2
?poi

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, dove k = 0, 1, … , n – 1.

Esempio 10.1 Scrivi un numero in forma algebrica

z=
.

Soluzione.

Esempio 10.2 Risolvi l'equazione z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Soluzione.

Per qualsiasi coefficiente complesso, questa equazione ha due radici z 1 e z 1 (possibilmente coincidenti). Queste radici possono essere trovate usando la stessa formula del caso reale. Perché
assume due valori che differiscono solo nel segno, quindi questa formula ha la forma:

Da –9 \u003d 9 e  i, quindi i valori
i numeri saranno:

Quindi
e
.

Soluzione.

Le radici desiderate dell'equazione saranno i valori
.

Per z = –1 abbiamo r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Esercizi

9 Presentare in forma esponenziale i numeri:

10 Scrivi in ​​forma esponenziale e algebrica del numero:

11 Scrivi in ​​forma algebrica e geometrica i numeri:

12 Numeri dati

Presentandoli in forma esponenziale, trova
.

13 Utilizzo mostra la forma numero complesso, procedere come segue:

ma)
B)

in)
G)

da e numero naturale n 2 .

Numero complesso Z chiamata radicen– C, Se Z n = C.

Trova tutti i valori radice n– esimo grado da un numero complesso da. Lascia stare C=| C|·(cos arg C+ io· peccato argda), ma Z = | Z|·(conos arg Z + io· peccato arg Z) , dove Z radice n- esimo grado da un numero complesso da. Allora deve essere = C = | C|·(cos arg C+ io· peccato argda). Quindi ne consegue che
e n· arg Z = argda
arg Z =
(K=0,1,…) . Di conseguenza, Z =
(cos
+ io· peccato
), (K=0,1,…) . È facile vedere che uno qualsiasi dei valori
, (K=0,1,…) diverso da uno dei valori corrispondenti
,(K = 0,1,…, n-1) a un multiplo 2π. Ecco perché , (K = 0,1,…, n-1) .

Esempio.

Calcola la radice di (-1).

, ovviamente |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + io· peccato π )

, (k = 0, 1).

= io

Grado con esponente razionale arbitrario

Prendi un numero complesso arbitrario da. Se n numero naturale, quindi da n = | C| n ·(daos nArgcon +io· peccato nArgda)(6). Questa formula vale anche nel caso n = 0 (c≠0)
. Lascia stare n < 0 e n Z e c ≠ 0, poi

da n =
(cos nArgda+io peccato nArgda) = (cos nArgda+ io peccato nArgda) . Pertanto, la formula (6) è valida per qualsiasi n.

Prendiamo un numero razionale , dove Q numero naturale, e Rè un numero intero.

Poi sotto grado C R capiamo il numero
.

Lo capiamo ,

(K = 0, 1, …, Q-1). Questi valori Q pezzi, se la frazione non viene ridotta.

Lezione №3 Il limite di una sequenza di numeri complessi

Viene chiamata una funzione a valori complessi di un argomento naturale sequenza di numeri complessi e indicato (da n ) o da 1 , da 2 , ..., da n . da n = a n + B n · io (n = 1,2, ...) numeri complessi.

da 1 , da 2 , … - membri della sequenza; da n - membro comune

Numero complesso da = un+ B· io chiamata limite di una sequenza di numeri complessi (C n ) , dove da n = a n + B n · io (n = 1, 2, …) , dove per qualsiasi

, quello per tutti n > n la disuguaglianza
. Viene chiamata una sequenza che ha un limite finito convergente sequenza.

Teorema.

Per una sequenza di numeri complessi (con n ) (da n = a n + B n · io) convergeva in un numero con = un+ B· io, è necessario e sufficiente per l'uguaglianzalim un n = un, lim B n = B.

Prova.

Dimostreremo il teorema sulla base della seguente ovvia doppia disuguaglianza

, dove Z = X + y· io (2)

Necessitano. Lascia stare lim(da n ) = con. Mostriamo che le uguaglianze lim un n = un e lim B n = B (3).

Ovviamente (4)

Perché
, quando n → ∞ , quindi segue dal lato sinistro della disuguaglianza (4) che
e
, quando n → ∞ . quindi valgono le uguaglianze (3). La necessità è stata dimostrata.

Adeguatezza. Ora valgono le uguaglianze (3). Dall'uguaglianza (3) segue che
e
, quando n → ∞ , quindi, a causa del lato destro della disuguaglianza (4), sarà
, quando n→∞ , significa lim(da n )=s. La sufficienza è stata dimostrata.

Quindi, la questione della convergenza di una sequenza di numeri complessi è equivalente alla convergenza di due sequenze di numeri reali, quindi tutte le proprietà di base dei limiti delle sequenze di numeri reali si applicano alle sequenze di numeri complessi.

Ad esempio, per sequenze di numeri complessi vale il criterio di Cauchy: per una sequenza di numeri complessi (con n ) convergenti, è necessario e sufficiente che per qualsiasi

, quello per qualsiasin, m > nla disuguaglianza
.

Teorema.

Sia una sequenza di numeri complessi (con n ) E (z n ) convergono rispettivamente con ez, quindi l'uguaglianzalim(da n z n ) = C z, lim(da n · z n ) = C· z. Se si sa per certoznon è uguale a 0, quindi l'uguaglianza
.