Aggiornato il 12/09/2009

Una piccola digressione nella storia dell'applicazione pratica della teoria della probabilità.

Fino alla fine del 18° secolo la statistica applicata, senza la quale la contabilità e il controllo statale sono impensabili, e quindi esistevano a lungo, avevano un carattere elementare, puramente aritmetico. La teoria della probabilità è rimasta una disciplina puramente accademica, con solo il gioco d'azzardo come sue "applicazioni" relativamente complesse. Il miglioramento della tecnologia di produzione di dadi nel 18° secolo stimolò lo sviluppo della teoria della probabilità. I giocatori, inconsapevolmente, hanno iniziato a impostare esperimenti riproducibili in massa, poiché i dadi sono diventati gli stessi, lo standard. Così nacque un esempio di quello che in seguito verrà chiamato "esperimento statistico", un esperimento che può essere ripetuto un numero illimitato di volte nelle stesse condizioni.

Nel XIX e XX secolo, la teoria della probabilità è penetrata prima nella scienza (astronomia, fisica, biologia), poi nella pratica (agricoltura, industria, medicina) e infine, dopo l'invenzione dei computer, nella vita quotidiana di qualsiasi persona utilizzando i moderni mezzi di ricezione e trasmissione delle informazioni Tracciamo le fasi principali.

1. Astronomia.

Fu per l'uso in astronomia che venne sviluppato il famoso “metodo dei minimi quadrati” (Legendre 1805, Gauss 1815) Il problema principale per il quale era originariamente utilizzato era il calcolo delle orbite delle comete, che doveva essere ricavato da un piccolo numero di osservazioni. È chiaro che una determinazione affidabile del tipo di orbita (un'ellisse o un'iperbole) e un calcolo accurato dei suoi parametri è difficile, poiché l'orbita viene osservata solo in una piccola area. Il metodo si è rivelato efficace, universale e ha suscitato un acceso dibattito sulla priorità. Iniziò ad essere utilizzato nella geodesia e nella cartografia. Ora che l'arte dei calcoli manuali è andata perduta, è difficile immaginare che durante la mappatura degli oceani del mondo in Inghilterra nel 1880, un sistema di circa 6.000 equazioni con diverse centinaia di incognite sia stato risolto numericamente utilizzando il metodo dei minimi quadrati.

Nella seconda metà del XIX secolo, nelle opere di Maxwell, Boltzmann e Gibbs, si sviluppò la meccanica statistica, che descriveva lo stato dei sistemi rarefatti contenenti un numero enorme di particelle (dell'ordine del numero di Avogadro). Se prima il concetto di distribuzione di una variabile casuale era principalmente associato alla distribuzione degli errori di misurazione, ora risultava distribuita una varietà di quantità: velocità, energie, percorsi liberi.

3. Biometria.

Nel 1870-1900, il belga Quetelet e gli inglesi Francis Galton e Karl Pearson fondarono una nuova direzione scientifica: la biometria, in cui per la prima volta iniziarono a studiare sistematicamente e quantitativamente l'incerta variabilità degli organismi viventi e l'eredità dei tratti quantitativi. Nuovi concetti sono stati introdotti nella circolazione scientifica: regressioni e correlazioni.

Quindi, fino all'inizio del 20° secolo, le principali applicazioni della teoria della probabilità erano legate alla ricerca scientifica. L'attuazione nella pratica - agricoltura, industria, medicina è avvenuta nel 20° secolo.

4. Agricoltura.

All'inizio del 20° secolo in Inghilterra, il compito era quello di confrontare quantitativamente l'efficacia di vari metodi agricoli. Per risolvere questo problema sono state sviluppate la teoria degli esperimenti di pianificazione e l'analisi della varianza. Il merito principale nello sviluppo di questo uso già puramente pratico della statistica appartiene a Sir Ronald Fisher, astronomo (!) Per educazione, e poi agricoltore, statistico, genetista, presidente della Royal Society inglese. La moderna statistica matematica, adatta per un'ampia applicazione nella pratica, è stata sviluppata in Inghilterra (Karl Pearson, Student, Fisher). Student è stato il primo a risolvere il problema della stima di un parametro di distribuzione sconosciuto senza utilizzare l'approccio bayesiano.

5. Industria. Introduzione di metodi di controllo statistico in produzione (carte di controllo Shewhart). Ridurre il numero richiesto di test di qualità del prodotto. I metodi matematici sono già così importanti da essere classificati. Solo dopo la fine della seconda guerra mondiale, nel 1947, fu quindi pubblicato un libro che descriveva una nuova tecnica che permetteva di ridurre il numero dei test (Wald's Sequential Analysis).

6.Medicina. L'uso diffuso dei metodi statistici in medicina è iniziato in tempi relativamente recenti (seconda metà del XX secolo). Lo sviluppo di metodi di trattamento efficaci (antibiotici, insulina, anestesia efficace, bypass cardiopolmonare) ha richiesto metodi affidabili per valutarne l'efficacia. È emerso un nuovo concetto di "Medicina basata sull'evidenza". Ha iniziato a svilupparsi un approccio più formale e quantitativo al trattamento di molte malattie: l'introduzione di protocolli, linee guida.

Dalla metà degli anni '80 è emerso un nuovo e importante fattore che ha rivoluzionato tutte le applicazioni della teoria della probabilità: la possibilità di un uso diffuso di computer veloci e convenienti. Si può sentire l'enormità della rivoluzione avvenuta, dato che un (!) personal computer moderno supera in velocità e memoria tutti i (!) computer dell'URSS e degli USA che esistevano nel 1968, epoca in cui i progetti legati alla erano già in atto la costruzione di centrali nucleari, i voli sulla luna, la realizzazione di una bomba termonucleare. Ora, con la sperimentazione diretta, puoi ottenere risultati che prima erano inaccessibili, pensando che fossero impensabili.

7. Bioinformatica. Dagli anni '80, il numero di sequenze note di proteine ​​e acidi nucleici è cresciuto rapidamente. La quantità di informazioni accumulate è tale che solo un'analisi computerizzata di questi dati può risolvere il problema dell'estrazione delle informazioni.

8. Riconoscimento del modello.

2.1. La scelta dell'apparato matematico della teoria dell'affidabilità

La definizione di affidabilità di cui sopra non è chiaramente sufficiente, poiché è solo qualitativa e non consente di risolvere vari problemi di ingegneria nel processo di progettazione, produzione, collaudo e funzionamento delle apparecchiature aeronautiche. In particolare, non consente di risolvere compiti così importanti come, ad esempio:

Valutare l'affidabilità (affidabilità, recuperabilità, conservabilità, prontezza e durabilità) delle nuove strutture esistenti ed emergenti;

Confrontare l'affidabilità di diversi tipi di elementi e sistemi;

Valutare l'efficacia del ripristino di aeromobili difettosi;

Sostanziare i piani di riparazione e la composizione dei pezzi di ricambio necessari per garantire i piani di lavoro di volo;

Determinare il volume, la frequenza, il costo dell'esecuzione dei preparativi di volo, la manutenzione ordinaria e l'intero complesso della manutenzione;

Determinare il costo del tempo, SNL e fondi necessari per ripristinare i dispositivi tecnici difettosi.

La difficoltà nel determinare le caratteristiche quantitative dell'affidabilità deriva dalla natura stessa dei guasti, ciascuno dei quali è il risultato della coincidenza di una serie di fattori sfavorevoli, quali, ad esempio, sovraccarichi, deviazioni locali dalle modalità di funzionamento di progetto di elementi e sistemi, difetti nei materiali, cambiamenti nelle condizioni esterne, ecc. relazioni causali di varia natura e entità, che causano improvvise concentrazioni di carichi superiori al carico di progetto.

I guasti alle apparecchiature aeronautiche dipendono da molte cause, che possono essere valutate in termini di suscettibilità come primarie o secondarie. Ciò consente di considerare il numero di guasti e il tempo del loro verificarsi 1 come variabili casuali, cioè grandezze che, a seconda dei casi, possono assumere valori diversi, ai quali non si sa quali.

Stabilire dipendenze quantitative classicamente - III metodi in una situazione così complessa è praticamente impossibile - 1k 11 è possibile, poiché numerosi fattori casuali secondari svolgono un ruolo così importante che è impossibile individuare il primo m'foam, i fattori principali da molti altri . Inoltre, l'uso dei soli metodi di ricerca classici è una ricerca basata sulla considerazione invece del fenomeno del suo modello perdonato e idealizzato costruito sulla contabilità. Se si cercano i fattori principali e si trascurano quelli secondari, si ottiene sempre il risultato giusto.

Pertanto, per lo studio di tali fenomeni all'attuale livello di sviluppo della scienza e della tecnologia, il modo migliore può essere utilizzato la teoria della probabilità e della ma - | emn in ncheskaya statistiche - le scienze che studiano i modelli - III in fenomeni casuali e in alcuni casi fino a - IIі>'111)110111110 metodi classici.

Quanto segue dovrebbe essere attribuito ai tsogonnet di questi metodi:

І) сіаіін'ііірнч'кііе metodi, senza rivelare le singole її e le ragioni del minimo rifiuto, invece di stabilire

……… io. e pvniiiiiii Ciao o pc iii. è uno sfruttamento di massa con

Mulino…………. (ІКНІМО (dal gioco lo indosso) in CONDIZIONI

"in in hi i" її і loro 'ipm і ragioni;

' І "і loro) ні і ii'ii kii metodi hanno ottenuto risultati

1 » ……… io le ricerche m podi corrispondono a tutto

1 .. picco" pcarn. in. iK le condizioni di funzionamento, e non uno o più shriїїNіnіїoїі e uno schema altamente semplificato; m І...І sulla base di osservazioni di massa dell'aspetto dell'otite media і і. A giugno è possibile identificare modelli generali, la cui analisi ingegneristica apre la strada per aumentare il PNDI della tecnologia aeronautica nel processo di creazione e mantenerlo a un determinato livello durante il funzionamento.

I vantaggi indicati di questo apparato matematico lo rendono finora l'unico accettabile per lo studio degli interrogatori sull'affidabilità delle apparecchiature aeronautiche. Allo stesso tempo, nella pratica dovrebbero essere prese in considerazione limitazioni specifiche.

metodi statistici esistenti che non possono rispondere alla domanda se un determinato dispositivo tecnico funzionerà senza problemi nel periodo di nostro interesse o meno. Questi metodi consentono solo di determinare la probabilità di un funzionamento senza guasti dell'uno o dell'altro equipaggiamento aeronautico e di valutare il rischio che si verifichi un guasto durante il periodo di funzionamento di nostro interesse.

Le conclusioni ottenute con mezzi statistici si basano sempre sull'esperienza passata nel funzionamento di apparecchiature aeronautiche, e quindi la valutazione di guasti futuri sarà rigorosa solo se l'intero insieme di condizioni operative (modalità operative, condizioni di stoccaggio) coincide in modo abbastanza accurato.

Per analizzare e valutare la recuperabilità e la prontezza delle apparecchiature aeronautiche per il volo, vengono utilizzati anche questi metodi, utilizzando le leggi della teoria delle code e soprattutto alcune sezioni della teoria del recupero.

"La casualità non è casuale"... Suona come ha detto un filosofo, ma in realtà lo studio degli incidenti è il lotto della grande scienza della matematica. In matematica, il caso è la teoria della probabilità. Formule ed esempi di compiti, nonché le principali definizioni di questa scienza saranno presentati nell'articolo.

Che cos'è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.

Per renderlo un po' più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, può cadere testa o croce. Finché la moneta è nell'aria, entrambe queste possibilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è correlata 1:1. Se uno viene estratto da un mazzo con 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che non ci sia nulla da esplorare e prevedere, soprattutto con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una determinata azione molte volte, puoi identificare un determinato schema e, sulla base di esso, prevedere l'esito di eventi in altre condizioni.

Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in senso classico studia la possibilità del verificarsi di uno dei possibili eventi in senso numerico.

Dalle pagine della storia

La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando sorsero per la prima volta i tentativi di prevedere l'esito dei giochi di carte.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era giustificato da fatti o proprietà empiriche di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in quest'area come disciplina matematica apparvero nel XVII secolo. I fondatori furono Blaise Pascal e Pierre Fermat. Per molto tempo hanno studiato il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni schemi, di cui hanno deciso di parlare al pubblico.

La stessa tecnica fu inventata da Christian Huygens, sebbene non conoscesse i risultati delle ricerche di Pascal e Fermat. Da lui furono introdotti il ​​concetto di "teoria della probabilità", formule ed esempi, che sono considerati i primi nella storia della disciplina.

Di non poca importanza sono i lavori di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e di Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi di compiti di base hanno preso la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità è diventata una delle branche della matematica.

Concetti di base della teoria della probabilità. Eventi

Il concetto principale di questa disciplina è "evento". Gli eventi sono di tre tipi:

• Affidabile. Quelle che accadranno comunque (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadranno in nessuno scenario (la moneta rimarrà sospesa nell'aria).
• Casuale. Quelli che accadranno o non accadranno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la posizione iniziale, la forza di lancio, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati con lettere latine maiuscole, ad eccezione della R, che ha un ruolo diverso. Per esempio:

• A = "gli studenti sono venuti alla lezione".
• Ā = "gli studenti non sono venuti a lezione".

Nelle attività pratiche, gli eventi sono solitamente registrati a parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari possibilità. Cioè, se lanci una moneta, tutte le varianti della caduta iniziale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente probabili. Questo accade quando qualcuno influenza deliberatamente il risultato. Ad esempio, carte da gioco o dadi "contrassegnati", in cui il baricentro viene spostato.

Anche gli eventi sono compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non escludono il verificarsi l'uno dell'altro. Per esempio:

• A = "lo studente è venuto a lezione."
• B = "lo studente è venuto a lezione."

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e l'aspetto di uno di essi non influisce sull'aspetto dell'altro. Gli eventi incompatibili sono definiti dal fatto che il verificarsi dell'uno preclude il verificarsi dell'altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita di "croce" rende impossibile la comparsa di "teste" nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e sommati, nella disciplina vengono introdotti rispettivamente i connettivi logici "AND" e "OR".

L'importo è determinato dal fatto che l'evento A, o B, o entrambi possono verificarsi contemporaneamente. Nel caso in cui siano incompatibili, l'ultima opzione è impossibile, A o B cadranno.

La moltiplicazione degli eventi consiste nella comparsa di A e B contemporaneamente.

Ora puoi fare alcuni esempi per ricordare meglio le basi, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Esercizio 1: L'impresa propone appalti per tre tipi di lavoro. Possibili eventi che possono verificarsi:

• A = "l'impresa riceverà il primo contratto."
• A 1 = "l'impresa non riceverà il primo contratto."
• B = "l'impresa riceverà un secondo contratto."
• B 1 = "l'impresa non riceverà un secondo contratto"
• C = "l'impresa riceverà un terzo contratto."
• C 1 = "l'impresa non riceverà un terzo contratto."

Proviamo ad esprimere le seguenti situazioni usando azioni sugli eventi:

• K = "l'azienda riceverà tutti i contratti."

In forma matematica, l'equazione sarà simile a questa: K = ABC.

• M = "l'impresa non riceverà un solo contratto."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Complichiamo il compito: H = "l'impresa riceverà un contratto". Poiché non si sa quale contratto riceverà l'impresa (il primo, il secondo o il terzo), è necessario registrare l'intera gamma dei possibili eventi:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

E 1 BC 1 è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Anche altri possibili eventi vengono registrati con il metodo corrispondente. Il simbolo υ nella disciplina denota un gruppo di "OR". Se traduciamo l'esempio sopra in linguaggio umano, l'azienda riceverà il terzo contratto, o il secondo, o il primo. Allo stesso modo, puoi scrivere altre condizioni nella disciplina "Teoria della probabilità". Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra ti aiuteranno a farlo da solo.

In realtà, la probabilità

Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è un concetto centrale. Esistono 3 definizioni di probabilità:

• classico;
• statistico;
• geometrico.

Ognuno ha il suo posto nello studio delle probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (Grado 9) utilizzano principalmente la definizione classica, che suona così:

• La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di esiti che ne favoriscono il verificarsi e il numero di tutti i possibili esiti.

La formula si presenta così: P (A) \u003d m / n.

E, in effetti, un evento. Se si verifica l'opposto di A, può essere scritto come  o A 1 .

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - tutti gli eventi che possono accadere.

Ad esempio, A \u003d "tira fuori una carta del seme del cuore". Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 delle quali sono di cuori. Di conseguenza, la formula per risolvere il problema sarà simile a:

P(A)=9/36=0,25.

Di conseguenza, la probabilità che una carta a semi di cuori venga estratta dal mazzo sarà 0,25.

alla matematica superiore

Ora è diventato poco noto cosa sia la teoria della probabilità, formule ed esempi di risoluzione di compiti che si incontrano nel curriculum scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova anche nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso, operano con definizioni geometriche e statistiche della teoria e formule complesse.

La teoria della probabilità è molto interessante. Formule ed esempi (matematica superiore) sono migliori per iniziare a imparare da un piccolo - da una definizione statistica (o di frequenza) di probabilità.

L'approccio statistico non contraddice l'approccio classico, ma lo amplia leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare con quale grado di probabilità si verificherà un evento, allora in questo metodo è necessario indicare con quale frequenza si verificherà. Qui viene introdotto un nuovo concetto di “frequenza relativa”, che può essere indicato con W n (A). La formula non è diversa dalla classica:

Se viene calcolata la formula classica per la previsione, quella statistica viene calcolata in base ai risultati dell'esperimento. Prendi, ad esempio, un piccolo compito.

Il dipartimento di controllo tecnologico verifica la qualità dei prodotti. Tra 100 prodotti, 3 sono risultati di scarsa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza di un prodotto di qualità?

A = "l'aspetto di un prodotto di qualità".

V n (LA)=97/100=0,97

Pertanto, la frequenza di un prodotto di qualità è 0,97. Da dove hai preso il 97? Dei 100 prodotti controllati, 3 si sono rivelati di scarsa qualità. Sottraiamo 3 da 100, otteniamo 97, questa è la quantità di un prodotto di qualità.

Un po' di combinatoria

Un altro metodo di teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta A può essere fatta in m modi diversi, e una scelta B in n modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta moltiplicando.

Ad esempio, ci sono 5 strade dalla città A alla città B. Ci sono 4 percorsi dalla città B alla città C. Quanti modi ci sono per andare dalla città A alla città C?

È semplice: 5x4 = 20, cioè ci sono venti modi diversi per andare dal punto A al punto C.

Rendiamo il compito più difficile. Quanti modi ci sono per giocare a carte in solitario? In un mazzo di 36 carte, questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di modi, devi "sottrarre" una carta dal punto di partenza e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32…x2x1= il risultato non si adatta allo schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente indicato come 36!. Cartello "!" accanto al numero indica che l'intera serie di numeri è moltiplicata tra loro.

In combinatoria, ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un insieme ordinato di elementi dell'insieme è chiamato layout. I posizionamenti possono essere ripetitivi, il che significa che un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non si ripetono. n sono tutti gli elementi, m sono gli elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizioni sarà simile a:

A n m = n!/(n-m)!

Le connessioni di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento sono chiamate permutazioni. In matematica, questo è simile a: P n = n!

Le combinazioni di n elementi per m sono tali composti in cui è importante quali elementi fossero e qual è il loro numero totale. La formula sarà simile a:

A n m = n!/m!(n-m)!

Formula di Bernoulli

Nella teoria della probabilità, così come in ogni disciplina, ci sono opere di ricercatori eccezionali nel loro campo che l'hanno portata a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che l'aspetto di A in un esperimento non dipende dalla comparsa o dal non verificarsi dello stesso evento nei test precedenti o successivi.

Equazione di Bernoulli:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

La probabilità (p) del verificarsi dell'evento (A) rimane invariata per ogni prova. La probabilità che la situazione accada esattamente m volte in n numero di esperimenti sarà calcolata dalla formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come scoprire il numero q.

Se l'evento A si verifica p un numero di volte, di conseguenza, potrebbe non verificarsi. Un'unità è un numero che viene utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che indica la possibilità che l'evento non si verifichi.

Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Di seguito verranno presi in considerazione esempi di problem solving (il primo livello).

Compito 2: Un visitatore del negozio effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2. 6 visitatori sono entrati in negozio in modo indipendente. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: Poiché non si sa quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A = "il visitatore effettuerà un acquisto."

In questo caso: p = 0,2 (come indicato nell'attività). Di conseguenza, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (perché ci sono 6 clienti nel negozio). Il numero m cambierà da 0 (nessun cliente effettuerà un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio acquisteranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2621.

In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di problem solving (secondo livello) di seguito.

Dopo l'esempio sopra, sorgono domande su dove sono andati C e p. Rispetto a p, un numero alla potenza di 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato dalla formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Poiché nel primo esempio m = 0, rispettivamente, C=1, che in linea di principio non influisce sul risultato. Utilizzando la nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità di acquisto della merce da parte di due visitatori.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, di cui sono presentati esempi sopra, ne è una prova diretta.

Formula di Poisson

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali improbabili.

Formula base:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

In questo caso, λ = n x p. Ecco una formula di Poisson così semplice (teoria della probabilità). Di seguito verranno presi in considerazione esempi di risoluzione dei problemi.

Compito 3 A: La fabbrica ha prodotto 100.000 parti. L'aspetto di una parte difettosa = 0,0001. Qual è la probabilità che ci siano 5 parti difettose in un lotto?

Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile, e quindi per il calcolo viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina, sostituiamo i dati necessari nella formula sopra:

A = "una parte scelta a caso sarà difettosa."

p = 0,0001 (secondo la condizione di assegnazione).

n = 100000 (numero di parti).

m = 5 (parti difettose). Sostituiamo i dati nella formula e otteniamo:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), esempi di soluzioni con cui sono scritti sopra, l'equazione di Poisson ha un'incognita e. In sostanza, può essere trovata dalla formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tuttavia, esistono tabelle speciali che contengono quasi tutti i valori di e.

Teorema di De Moivre-Laplace

Se nello schema di Bernoulli il numero di prove è sufficientemente grande e la probabilità che si verifichi l'evento A in tutti gli schemi è la stessa, allora la probabilità che si verifichi l'evento A un certo numero di volte in una serie di prove può essere trovata da la formula di Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Per ricordare meglio la formula di Laplace (teoria della probabilità), di seguito esempi di compiti per aiutare.

Per prima cosa troviamo X m , sostituiamo i dati (sono tutti indicati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Usando le tabelle, troviamo il numero ϕ (0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Quindi la probabilità che il volantino colpisca esattamente 267 volte è 0,03.

Formula di Bayes

La formula di Bayes (teoria della probabilità), esempi di risoluzione di compiti che verranno forniti di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento in base alle circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula principale è la seguente:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A e B sono eventi definiti.

P(A|B) - probabilità condizionata, cioè l'evento A può verificarsi, a condizione che l'evento B sia vero.

Р (В|А) - probabilità condizionata dell'evento В.

Quindi, la parte finale del corso breve "Theory of Probability" è la formula di Bayes, esempi di risoluzione dei problemi con i quali sono riportati di seguito.

Compito 5: I telefoni di tre società sono stati portati al magazzino. Allo stesso tempo, parte dei telefoni prodotti nel primo stabilimento è del 25%, nel secondo - 60%, nel terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nella prima fabbrica è del 2%, nella seconda - 4% e nella terza - 1%. È necessario trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.

A = "telefono preso a caso".

B 1 - il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, appariranno le introduzioni B 2 e B 3 (per la seconda e la terza fabbrica).

Di conseguenza, otteniamo:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.

Ora devi trovare le probabilità condizionali dell'evento desiderato, ovvero la probabilità di prodotti difettosi nelle aziende:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Ora sostituiamo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

L'articolo presenta la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto ciò che è stato scritto, sarà logico porsi la domanda se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. È difficile per una persona semplice rispondere, è meglio chiedere a qualcuno che ha vinto il jackpot più di una volta con il suo aiuto.

Uscita raccolta:

APPLICAZIONE DELLA TEORIA DELLA PROBABILITA' E DELLA STATISTICA MATEMATICA IN COSTRUZIONE

Kaverin Aleksandr Vladislavovich

studente del Tchaikovsky Institute of Technology (sezione) dell'Università tecnica statale di Izhevsk intitolata a M.T. Kalashnikov, Federazione Russa, Territorio di Perm, Ciajkovskij

E-posta: AleksVKaverin@ yandex. it

Morozova Amina Rafkatovna

can. tecnico. Scienze, Professore Associato del Dipartimento "Tecnologie e Organizzazione della Produzione Edile"Tchaikovsky Technological Institute (filiale) dell'Università tecnica statale di Izhevsk intitolato a M.T. Kalashnikov, RF, Permiano bordo, G. Ciajkovskij

UTILIZZO DELLA TEORIA DELLA PROBABILITÀ EMATEMATICOLA STATISTICA NELLA COSTRUZIONE

Kaverin Alexander

studente di Chaykovsky

Morozova Amina

Dottore di ricerca, docentedi ChaykovskijInstitute of Technology (filiale) Kalashnikov Università tecnica statale di Izhevsk, Russia, Perm Krai, Chaykovsky

ANNOTAZIONE

Vengono prese in considerazione la necessità di studiare la statistica matematica e la teoria della probabilità e le principali direzioni di applicazione di queste sezioni della matematica nelle attività professionali degli studenti che studiano nella direzione della "Costruzione".

ASTRATTO

Sono state esaminate le necessità di studio della statistica matematica e della teoria della probabilità e la direzione di base dell'applicazione di queste sezioni della matematica nelle attività professionali degli studenti iscritti alla direzione della costruzione.

Parole chiave: Teoria della probabilità; statistiche matematiche; statistiche edilizie.

parole chiave: teoria della probabilità; statistica matematica; statistica in edilizia.

Lo scopo della disciplina "Matematica" è insegnare agli studenti un approccio matematico all'analisi dei problemi applicati (economici), nonché metodi matematici per la ricerca e la risoluzione di tali problemi. Ogni area di studio ha i suoi compiti applicati. Il campo di attività professionale degli scapoli nella direzione 08.03.01 "Costruzioni" comprende: indagini ingegneristiche, progettazione, costruzione, esercizio, valutazione e ricostruzione di edifici e strutture; supporto ingegneristico e conoscenza delle attrezzature dei cantieri e delle aree urbane; applicazione di macchine, attrezzature e tecnologie per la costruzione e produzione di materiali, prodotti e strutture da costruzione. Pertanto, uno dei compiti dello studio della disciplina "Matematica" per i futuri costruttori è concentrarsi sull'uso dei metodi matematici nella risoluzione dei problemi applicati che emergono nelle loro attività professionali. Esempi illustrativi dell'applicazione dei metodi matematici nella risoluzione di problemi specifici stimolano sempre l'interesse degli studenti. La connessione di numeri astratti e soluzioni con un problema specifico e un compito reale è più accessibile per la comprensione.

È facile mostrare la possibilità di applicazione e la necessità di studiare alcune sezioni della matematica senza dedicare molto tempo alle spiegazioni. Ad esempio, i calcoli differenziali vengono utilizzati per trovare velocità e accelerazione e i calcoli integrali vengono utilizzati per trovare le aree. Ma ci sono sezioni di matematica che vengono studiate senza una chiara dimostrazione dell'applicazione di leggi e formule per mancanza di tempo per le spiegazioni, o per insufficiente conoscenza del materiale da parte di studenti di altre discipline in cui è possibile l'uso di metodi matematici appropriati e necessario. La teoria della probabilità e la statistica matematica possono essere attribuite a una di queste sezioni.

Gli studenti che studiano nella specialità "Economia e gestione nell'impresa (in costruzione)" hanno la disciplina "Statistica matematica". Puoi trovare molti esempi dell'applicazione dei metodi statistici nell'economia del complesso edilizio del nostro paese. Pertanto, si ha l'impressione che la statistica sia principalmente affare di economisti e manager. Perché i costruttori semplici hanno bisogno di statistiche? Scopriamo cos'è questa sezione della matematica e come viene utilizzata per risolvere le attività professionali degli scapoli nella direzione 270800 "Costruzione".

La statistica matematica è una scienza che sviluppa metodi matematici per sistematizzare e utilizzare dati statici per conclusioni scientifiche e pratiche. La statistica matematica nella maggior parte delle sue sezioni si basa sulla teoria della probabilità, che consente di valutare l'affidabilità e l'accuratezza delle conclusioni tratte sulla base di un materiale statistico limitato. Ad esempio, per stimare la dimensione del campione richiesta per ottenere i risultati dell'accuratezza richiesta in un'indagine campionaria. L'istituzione di modelli a cui sono soggetti i fenomeni casuali di massa - i risultati delle osservazioni, si basa anche sui metodi di questo ramo della matematica - il metodo della teoria della probabilità dei dati statistici.

Il compito principale della statistica matematica è indicare il metodo di raccolta e raggruppamento delle informazioni statistiche ottenute sperimentalmente o come risultato di osservazioni.

Il secondo compito della statistica matematica è lo sviluppo di metodi per l'analisi dei dati statistici, a seconda dello scopo dello studio. Questa sezione include:

un. stima della probabilità sconosciuta di un evento; stima della funzione di distribuzione incognita; stima di parametri di distribuzione di tipo noto; valutazione della dipendenza di una variabile casuale da una o più variabili casuali;

b. verifica di ipotesi statistiche sulla forma di una distribuzione incognita o sull'entità dei parametri di distribuzione, la cui forma è nota.

La moderna statistica matematica sviluppa anche modi per determinare il numero di test richiesti prima dell'inizio dello studio (pianificazione dell'esperimento), durante lo studio (analisi sequenziale) e risolve molti altri problemi. La moderna statistica matematica è definita come la scienza del processo decisionale in condizioni di incertezza.

Gli studenti che studiano nella direzione di "Costruzione" incontrano per la prima volta la menzione di tali problemi nello studio della geologia e della meccanica del suolo, quando viene loro raccontato dell'elaborazione in ufficio dei risultati degli studi sul campo e di laboratorio dei suoli, cioè modalità di esecuzione dell'analisi e dell'elaborazione dei risultati del lavoro sul campo e di laboratorio, selezione degli elementi ingegneristici-geologici (EGE), costruzione di colonne e sezioni geologiche, preparazione di relazioni, comprese conclusioni e raccomandazioni sulle condizioni ingegneristiche-geologiche del cantiere previsto. Il tipo, le dimensioni, la profondità di posa e la composizione della fondazione per la costruzione in un determinato sito dipenderanno da questi risultati. È l'elaborazione in ufficio dei risultati degli studi sul campo e di laboratorio che consente di collegare il lavoro ingegneristico e geologico svolto con la successiva costruzione e montaggio dell'edificio. Pertanto, la comprensione del processo di elaborazione dei risultati di un'indagine geologica è importante per gli studenti e, allo stesso tempo, è un chiaro riflesso dell'applicazione dei metodi della teoria della probabilità e della statistica matematica.

Nel processo di elaborazione dei risultati, i suoli studiati vengono preliminarmente suddivisi in EGE, tenendo conto della loro origine, caratteristiche materiche e strutturali e tipologia. Le caratteristiche dei suoli in ciascun EGE preselezionato vengono analizzate al fine di stabilire ed escludere valori che differiscono nettamente dalla maggior parte dei valori se sono causati da errori sperimentali o appartengono ad un altro EGE. La selezione finale dell'EGE viene effettuata sulla base di una valutazione della natura della variabilità spaziale delle caratteristiche del suolo e del loro coefficiente di variazione, nonché del coefficiente di variazione comparativo. Allo stesso tempo, viene stabilito se le caratteristiche dei suoli cambiano all'interno dell'EGE precedentemente selezionato in modo casuale o se il loro cambiamento regolare avviene in qualsiasi direzione. Per l'analisi vengono utilizzate le caratteristiche fisiche (peso specifico e volumetrico, umidità, limite di snervamento e limite di rotolamento del terreno argilloso) e, se sufficienti, anche le caratteristiche meccaniche (angolo di attrito interno e adesione specifica dei terreni). Per valutare la natura della variabilità spaziale delle caratteristiche, i loro valori vengono applicati a sezioni ingegneristiche-geologiche nei punti di determinazione, vengono costruiti grafici a dispersione e grafici di sondaggio. Per identificare un cambiamento regolare delle caratteristiche, vengono costruiti dot plot delle modifiche nei loro valori nella direzione o vengono utilizzate dipendenze approssimative. Per eseguire l'intero processo, è necessario conoscere una serie di termini, disposizioni e metodi della teoria della probabilità e della statistica matematica, come l'intervallo di confidenza e la probabilità di confidenza, la legge di distribuzione e la deviazione standard, le leggi di approssimazione e un certo numero di altri concetti.

Negli ultimi anni, l'apparato matematico della teoria della probabilità e della statistica matematica è stato utilizzato nei metodi per il calcolo delle strutture edilizie. A causa della natura casuale dei carichi esterni e delle proprietà meccaniche dei materiali, in misura minore, ma comunque, con deviazioni casuali dei parametri geometrici delle strutture dai valori di progetto, è necessario cercare modi per risolvere i problemi di calcolo dell'edificio strutture con metodi statistici. La possibilità di raggiungere uno degli stati limite di un edificio o di una struttura è considerata un evento casuale, la cui probabilità si cerca di determinare con i metodi della teoria corrispondente. In questo caso, lo stato limite può essere determinato da: superamento del limite elastico in qualsiasi punto della struttura, per il quale sono inaccettabili deformazioni residue; frattura fragile; il verificarsi di deformazioni elastiche troppo grandi. L'insorgere dello stato limite può comprendere una componente temporale, ad esempio, il risultato di un graduale accumulo irreversibile di danni: lo sviluppo di una cricca da fatica o usura meccanica, l'accumulo di deformazioni plastiche o deformazioni da scorrimento.

Un posto speciale è occupato dai metodi statistici nei calcoli della stabilità e delle oscillazioni nella meccanica strutturale. L'irregolarità delle forme geometriche degli elementi strutturali è inizialmente casuale. Pertanto, quando si calcolano gli elementi strutturali: aste, piastre e gusci, la forma stabile dell'equilibrio corrisponde alla massima probabilità della sua attuazione e la forma instabile corrisponde alla probabilità minima. La valutazione del comportamento di una struttura reale, tenendo conto dei metodi statistici, consente di caratterizzarla in modo più completo che nell'ambito dei concetti convenzionali di stabilità. I processi oscillatori che si verificano nelle strutture e nelle strutture sotto l'azione di un carico in movimento o come risultato dell'attività sismica possono essere considerati fenomeni che si verificano con una certa probabilità. Nella loro modellizzazione matematica, è possibile e necessario tenere conto dei dati statistici e considerare il processo stesso come casuale. Tali compiti sono solitamente affrontati da studenti senior o studenti master e la piena conoscenza della sezione pertinente della matematica, una rappresentazione visiva del loro utilizzo aiuterà a non spaventarli, ma ad attirarli verso il lavoro di ricerca.

Allo stesso tempo, vorrei sottolineare che la principale applicazione della teoria della probabilità e della statistica nella costruzione è la raccolta e l'elaborazione dei dati. Ci sono molti usi in questo settore. Oltre a quelli già elencati, si segnala il controllo statistico della qualità del prodotto, che si basa sulla variabilità delle caratteristiche dei materiali e dei prodotti finiti, nonché dei parametri dei processi tecnologici. I risultati dei singoli studi e misurazioni vengono combinati e utilizzati in combinazione per descrivere l'analisi del processo produttivo, la sua ottimizzazione. Se i metodi statistici di controllo della qualità sono inclusi nel sistema di gestione della qualità del prodotto, possono aumentarne significativamente l'efficacia. Quando applicate, si accumuleranno le informazioni necessarie sul grado di variazione della qualità dei materiali, dei processi tecnologici e dei prodotti finiti, sarà possibile chiarire gli indicatori e i criteri di qualità esistenti, i limiti di tolleranza e i requisiti standard, che successivamente renderanno possibile elaborare le condizioni ottimali per la fabbricazione dei prodotti e la gestione della loro qualità.

Un'altra direzione importante nell'uso della statistica matematica è quella economica. Dato che questa direzione è una componente importante dello sviluppo di qualsiasi settore, compresi quelli legati all'edilizia, non può essere ignorata e, soprattutto, sottovalutata. È impossibile fare a meno delle statistiche per la valutazione:

· il tasso di crescita del settore edile, lo sviluppo delle singole regioni, le imprese;

Efficienza d'uso di questa o quella tecnologia o produzione di produzione edilizia;

Prospettive per lo sviluppo o l'efficacia dell'attuazione delle misure nel settore edile.

Ad esempio, nel settore edile vengono utilizzati metodi come il controllo statistico della messa in servizio di locali residenziali e industriali, la regolazione statistica dei processi di costruzione e altri metodi.

L'uso di moderni dispositivi informatici e software può ridurre significativamente il processo di raccolta ed elaborazione delle informazioni, ottenere dipendenze approssimative e valutare i risultati, e consente di dimostrare facilmente e chiaramente i risultati. Pertanto, per applicare i metodi della teoria della probabilità e della statistica matematica nella costruzione, è necessaria solo la loro conoscenza e desiderio di utilizzo.

Bibliografia:

1. GOST R ISO 12491-2011. Materiali e prodotti in edilizia. Metodi statistici di controllo della qualità. M.: Standartinform, 2011. - 24 p.
2. GOST 20522-2012. Suoli. Metodi di elaborazione statistica dei risultati dei test. M.: Standartinform, 2013. - 16 p.
3. Standard educativo statale federale dell'istruzione professionale superiore nel campo di studio 08.03.01 Edilizia (livello universitario) [Testo]: (Ordine del Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa, 2015).
4. Gmurman V.E. Teoria della probabilità e statistica matematica: Proc. indennità per le università / V.E. Gmurman. 9a ed., ster. M.: Più in alto. scuola, 2003. - 479 p.: ill.
5. Ledneva O.V. Indicatori delle statistiche operative sulle imprese nel contesto del settore edile in Russia // Economia. Statistiche. Informatica. Vestnik UMO. - 2014. - N. 3. - S. 145-152.
6. Metodi statistici di controllo della qualità del prodotto. /L. Conoscente e altri: per. dall'inglese - 2° russo ed.-M.: Casa editrice di norme, 1989. - 96 p.: ill.
7. Sivorinovsky BG, Aparin NS, Zavarina ES Statistica della costruzione del capitale nella ricerca dell'Istituto di ricerca di statistica di ROSSTAT // Questioni di statistica. - 2013. - N. 7. - S. 13-19.

Dovremmo giustamente iniziare con la fisica statistica. La scienza naturale moderna parte dall'idea che tutti i fenomeni naturali sono di natura statistica e che le leggi possono essere formulate precisamente solo in termini di teoria della probabilità. La fisica statistica è diventata la base di tutta la fisica moderna e la teoria della probabilità - il suo apparato matematico. Nella fisica statistica vengono considerati problemi che descrivono fenomeni determinati dal comportamento di un gran numero di particelle. La fisica statistica è applicata con successo in vari rami della fisica. Nella fisica molecolare, con il suo aiuto, vengono spiegati i fenomeni termici; nell'elettromagnetismo, le proprietà dielettriche, conduttive e magnetiche dei corpi; in ottica, ha permesso di creare una teoria della radiazione termica, la diffusione molecolare della luce. Negli ultimi anni, la gamma di applicazioni della fisica statistica ha continuato ad espandersi.

Le rappresentazioni statistiche hanno permesso di formalizzare rapidamente lo studio matematico dei fenomeni della fisica nucleare. L'avvento della radiofisica e lo studio della trasmissione di segnali radio non solo hanno aumentato il significato dei concetti statistici, ma hanno anche portato al progresso della stessa scienza matematica: l'emergere della teoria dell'informazione.

Comprendere la natura delle reazioni chimiche, anche l'equilibrio dinamico è impossibile senza concetti statistici. Tutta la chimica fisica, il suo apparato matematico ei modelli che propone sono statistici.

L'elaborazione dei risultati osservativi, che sono sempre accompagnati sia da errori di osservazione casuali che da cambiamenti casuali per l'osservatore nelle condizioni dell'esperimento, ha portato i ricercatori nel 19° secolo a creare una teoria degli errori di osservazione, e questa teoria è completamente basata su concetti statistici.

L'astronomia in alcune delle sue sezioni utilizza l'apparato statistico. L'astronomia stellare, lo studio della distribuzione della materia nello spazio, lo studio dei flussi di particelle cosmiche, la distribuzione delle macchie solari (centri di attività solare) sulla superficie del sole e molto altro richiedono l'uso di rappresentazioni statistiche.

I biologi hanno notato che la diffusione delle dimensioni degli organi di esseri viventi della stessa specie si adatta perfettamente alle leggi teoriche e probabilistiche generali. Le famose leggi di Mendel, che hanno segnato l'inizio della genetica moderna, richiedono un ragionamento probabilistico-statistico. Lo studio di problemi della biologia così significativi come il trasferimento dell'eccitazione, la struttura della memoria, il trasferimento di proprietà ereditarie, le questioni della distribuzione degli animali nel territorio, il rapporto tra predatore e preda richiede una buona conoscenza della teoria della probabilità e della matematica statistiche.

Le discipline umanistiche uniscono discipline di natura molto diversa, dalla linguistica e dalla letteratura alla psicologia e all'economia. I metodi statistici sono sempre più utilizzati nella ricerca storica, specialmente nell'archeologia. L'approccio statistico viene utilizzato per decifrare le iscrizioni nella lingua dei popoli antichi. Le idee che hanno guidato J. Champollion nella decifrazione dell'antica scrittura geroglifica sono fondamentalmente statistiche. L'arte della crittografia e della decrittazione si basa sull'uso dei modelli statistici del linguaggio. Altre aree sono legate allo studio della frequenza di parole e lettere, alla distribuzione dell'accento nelle parole, al calcolo dell'informatività della lingua di specifici scrittori e poeti. I metodi statistici vengono utilizzati per stabilire la paternità ed esporre i falsi letterari. Ad esempio, la paternità di M.A. Sholokhov basato sul romanzo "Quiet Don" è stato creato utilizzando metodi statistici probabilistici. Rivelare la frequenza dell'aspetto dei suoni di una lingua nel parlato orale e scritto ci consente di sollevare la questione della codifica ottimale delle lettere di una determinata lingua per la trasmissione di informazioni. La frequenza di utilizzo delle lettere determina il rapporto tra il numero di caratteri al botteghino della composizione. La disposizione delle lettere sul carrello di una macchina da scrivere e sulla tastiera di un computer è determinata da uno studio statistico della frequenza delle combinazioni di lettere in una determinata lingua.

Molti problemi di pedagogia e psicologia richiedono anche il coinvolgimento di un apparato probabilistico-statistico. Le questioni economiche non possono non interessare la società, poiché ad essa sono collegati tutti gli aspetti del suo sviluppo. Senza l'analisi statistica è impossibile prevedere i cambiamenti nella dimensione della popolazione, i suoi bisogni, la natura dell'occupazione, l'evoluzione della domanda di massa, e senza di essa è impossibile programmare l'attività economica.

Direttamente correlati ai metodi probabilistico-statistici sono i problemi di verifica della qualità dei prodotti. Spesso, la fabbricazione di un prodotto richiede incomparabilmente meno tempo rispetto al controllo della sua qualità. Per questo motivo non è possibile controllare la qualità di ogni prodotto. Pertanto, si deve giudicare la qualità di un lotto da una parte relativamente piccola del campione. I metodi statistici vengono utilizzati anche quando testare la qualità dei prodotti porta al loro danno o alla morte.

Le questioni relative all'agricoltura sono state da tempo risolte con l'uso estensivo di metodi statistici. Allevamento di nuove razze di animali, nuove varietà di piante, confronto dei raccolti: questo non è un elenco completo di compiti risolti con metodi statistici.

Si può affermare senza esagerare che oggi tutta la nostra vita è permeata di metodi statistici. Nella nota opera del poeta materialista Lucrezio Cara "Sulla natura delle cose" c'è una descrizione vivida e poetica del fenomeno del moto browniano delle particelle di polvere:

"Guarda, ogni volta che la luce del sole penetra nelle nostre dimore e taglia l'oscurità con i suoi raggi, vedrai molti piccoli corpi nel vuoto, tremolanti, correre avanti e indietro nella radiosa radiosità della luce; come se in una lotta eterna essi combattono in battaglie e in battaglie, improvvisamente si precipitano in battaglie a squadre, non conoscendo la pace. O convergenti o separati, costantemente disperdendosi di nuovo. Da questo puoi capire tu stesso come instancabilmente l'Origine delle cose nel vasto vuoto sia inquieta. Così , le piccole cose aiutano a comprendere le grandi cose, delineando il percorso per il raggiungimento, Inoltre, quindi devi prestare attenzione al tumulto nei corpi che tremolano alla luce del sole, Che da esso riconoscerai il movimento della materia "

La prima occasione per uno studio sperimentale della relazione tra il moto casuale delle singole particelle e il moto regolare dei loro grandi aggregati si presentò quando, nel 1827, il botanico R. Brown scoprì un fenomeno che prese il nome di "moto browniano" dal suo nome. Brown ha osservato il polline dei fiori sospeso in acqua al microscopio. Con sua sorpresa, scoprì che le particelle sospese nell'acqua erano in continuo movimento casuale, che non poteva essere fermato nemmeno con il più attento sforzo per eliminare qualsiasi influenza esterna. Si scoprì presto che questa è una proprietà generale di tutte le particelle sufficientemente piccole sospese in un liquido. Il moto browniano è un classico esempio di processo casuale.