Numeri complessi

Immaginario e numeri complessi. Ascissa e ordinata

numero complesso. Numeri complessi coniugati.

Operazioni con numeri complessi. Geometrico

rappresentazione di numeri complessi. piano complesso.

Modulo e argomento di un numero complesso. trigonometrico

forma numerica complessa. Operazioni con complessi

numeri in forma trigonometrica. Formula Moivre.

Informazioni di base su immaginario e numeri complessi sono riportati nella sezione "Numeri immaginari e complessi". La necessità di questi numeri di un nuovo tipo è emersa nella decisione equazioni quadratiche per il casoD< 0 (здесь Dè il discriminante dell'equazione quadratica). A lungo questi numeri non hanno trovato un'applicazione fisica, motivo per cui sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica.

e tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi sono scritti come:a+bi. Qui un e b – numeri reali , un io – unità immaginaria. e. io 2 = –1. Numero un chiamata ascissa, un b - ordinatanumero complessoa + b.Due numeri complessia+bi e a-bi chiamata coniugare numeri complessi.

Principali accordi:

1. Numero realeunpuò anche essere scritto nel modulonumero complesso:un + 0 io o un - 0 io. Ad esempio, le voci 5 + 0io e 5 - 0 iosignifica lo stesso numero 5 .

2. Numero complesso 0 + bichiamata puramente immaginario numero. Registrazionebisignifica uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessia+bi ec + disono considerati uguali sea = c e b = d. Altrimenti i numeri complessi non sono uguali.

Aggiunta. La somma dei numeri complessia+bi e c + diè chiamato numero complesso (a+c ) + (b+d ) io .Così, quando aggiunto i numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sommati separatamente.

Questa definizione segue le regole per trattare i polinomi ordinari.

Sottrazione. La differenza tra due numeri complessia+bi(ridotto) e c + di(sottratto) è chiamato numero complesso (corrente alternata ) + (b-d ) io .

Così, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessia+bi e c + di è chiamato numero complesso.

(ac-bd ) + (ad+bc ) io .Questa definizione nasce da due requisiti:

1) numeri a+bi e c + didovrebbe moltiplicarsi come algebrica binomi,

2) numero ioha la proprietà principale:io 2 = – 1.

ESEMPIO ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Quindi, lavoro

due numeri complessi coniugati sono uguali al reale

numero positivo.

Divisione. Dividi un numero complessoa+bi (divisibile) all'altroc + di(divisore) - significa trovare il terzo numeroe + fi(chat), che, moltiplicato per un divisorec + di, che si traduce nel dividendoa + b.

Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8+io ) : (2 – 3 io) .

Soluzione Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 + 3io

E dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Rappresentazione geometrica di numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:

Ecco il punto UNsignifica numero -3, puntoBè il numero 2, e o- zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti piano delle coordinate. Per questo, scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Poi il numero complessoa+bi sarà rappresentato da un punto P con ascissa a e ordinata b (vedi fig.). Questo sistema di coordinate viene chiamato piano complesso .

modulo numero complesso è chiamato lunghezza del vettoreOPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( completo) aereo. Modulo numerico complessoa+bi indicato da | a+bi| o lettera r

Usando la calcolatrice

Per valutare un'espressione, devi inserire una stringa da valutare. Quando si immettono numeri, il separatore decimale è un punto. È possibile utilizzare le parentesi. Le operazioni sui numeri complessi sono la moltiplicazione (*), la divisione (/), l'addizione (+), la sottrazione (-), l'esponenziazione (^) e altre. Come record di numeri complessi, puoi usare la forma esponenziale e algebrica. Entra in un'unità immaginaria io possibile senza segno di moltiplicazione, negli altri casi è richiesto il segno di moltiplicazione, ad esempio tra parentesi o tra un numero e una costante. Si possono anche usare le costanti: il numero π viene inserito come pi, l'esponente e, tutte le espressioni nell'esponente devono essere racchiuse tra parentesi.

Esempio di stringa da calcolare: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), che corrisponde all'espressione \[\frac((4()5 + i12)(3()2i-2()5))(e^(i1()25\pi))\]

La calcolatrice può utilizzare costanti, funzioni matematiche, operazioni aggiuntive e altro espressioni complesse, puoi familiarizzare con queste funzionalità nella pagina delle regole generali per l'utilizzo delle calcolatrici su questo sito.

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Notizia

07.07.2016
Aggiunto calcolatore per la risoluzione di sistemi non lineari equazioni algebriche: .

30.06.2016
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Classe 12 . Numeri complessi.

12.1. Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione di numeri complessi sul piano complesso. Coniugazione complessa. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

12.2. Modulo, argomento di un numero complesso.

12.3. Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso.

12.4. Elevare a una potenza intera ed estrarre una radice da un numero complesso.

Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione di numeri complessi sul piano complesso. Coniugazione complessa. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

Un numero complesso in forma algebrica è un numero

dove
chiamata unità immaginaria e
- numeri reali:
chiamata parte reale (reale).;
- parte immaginaria numero complesso . Numeri complessi della forma
chiamata puramente numeri immaginari . L'insieme di tutti i numeri complessi è indicato dalla lettera .

A-priorita,

L'insieme di tutti i numeri reali fa parte del set
: . D'altra parte, ci sono numeri complessi che non appartengono all'insieme . Per esempio,
e
, perché
.

I numeri complessi in forma algebrica sorgono naturalmente quando si risolvono equazioni quadratiche con un discriminante negativo.

Esempio 1. risolvere l'equazione
.

Decisione. ,

Pertanto, l'equazione quadratica data ha radici complesse

,
.

Esempio 2. Trova parti reali e immaginarie di numeri complessi

,

,
.

Di conseguenza, la parte reale e quella immaginaria del numero ,

Qualsiasi numero complesso
rappresentato da un vettore sul piano complesso , che rappresenta un piano con un sistema di coordinate cartesiane
. L'inizio del vettore si trova nel punto , e la fine è nel punto con le coordinate
(Figura 1.) Asse
è chiamato asse reale e asse
- l'asse immaginario del piano complesso .

I numeri complessi vengono confrontati tra loro solo da segni.
. . Se almeno una delle uguaglianze:
violato, quindi
. Voci di tipo
non ha senso.

Per definizione, complesso numero
è detto coniugato complesso del numero
. In questo caso, scrivi
. È ovvio che
. Ovunque sotto, una barra sopra un numero complesso significherà coniugazione complessa.

Per esempio, .

Operazioni come addizione (sottrazione), moltiplicazione e divisione possono essere eseguite su numeri complessi.

1. Aggiunta di numeri complessi si fa così:

Proprietà dell'operazione di aggiunta:

- proprietà della commutatività;

- Proprietà associativa.

È facile vedere quell'addizione geometrica di numeri complessi
significa l'aggiunta del corrispondente ad essi sul piano vettori secondo la regola del parallelogramma.

Operazione di sottrazione dei numeri dal numero si fa così:

2. Moltiplicazione di numeri complessi si fa così:

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione:

- proprietà della commutatività;

- proprietà di associatività;

- la legge di distribuzione.

3. Divisione di numeri complessi fattibile solo quando
e si fa così:

.

Esempio 3. Trovare
, Se .

Esempio 4. Calcolare
, Se .

z, perché
.

.(Ahia!)

È facile verificare (si propone di farlo da soli) la validità delle seguenti affermazioni:

Modulo, argomento di un numero complesso.

Modulo numerico complesso
(modulo indicato ) è un numero non negativo
, cioè.
.

senso geometrico - la lunghezza del vettore che rappresenta il numero sul piano complesso . L'equazione
definisce l'insieme di tutti i numeri (vettori per ) le cui estremità giacciono sulla circonferenza unitaria
.

Argomento di numero complesso
(discussione indicato
) è l'angolo in radianti tra l'asse reale
e numero sul piano complesso , e è positivo se viene contato da
prima in senso antiorario, e negativo se misurata dall'asse
prima senso orario.

Quindi l'argomento del numero è definito in modo ambiguo, fino al termine
, dove
. Sicuramente un argomento numerico definito entro una traversata del cerchio unitario
in superficie . Di solito devi trovare
entro l'intervallo
,tale valore è chiamato il valore principale dell'argomento numero e indicato
.

e
numeri può essere trovato dall'equazione
, in cui necessariamente deve essere preso in considerazione in quale quartiere dell'aereo si trova la fine del vettore - punto
:

Se
(1° quarto dell'aereo ), poi ;

Se
(2° quarto dell'aereo ), poi;

Se
(3° quarto dell'aereo ), poi ;

Se
(4° quarto dell'aereo ), poi .

Infatti, il modulo e l'argomento del numero
, queste sono coordinate polari
punti
- la fine del vettore in superficie .

Esempio 5. Trova il modulo e il valore principale dell'argomento numeri:

.

Argomenti di numeri che giacciono assi
separando i quarti 1,2,3,4 del piano complesso , si trovano immediatamente dalle rappresentazioni grafiche di questi numeri sul piano .

Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso. Moltiplicazione e divisione di numeri complessi in notazione trigonometrica ed esponenziale.

Notazione trigonometrica numero complesso
sembra:

, (2)

dove - modulo, - argomento numero complesso . Tale rappresentazione di numeri complessi deriva dalle uguaglianze.

Dimostrazione(esponenziale) forma di notazione di un numero complesso
sembra:

, (3)

dove - modulo, - argomento numero . La possibilità di rappresentare numeri complessi in forma esponenziale (3) deriva dalla forma trigonometrica (2) e dalla formula di Eulero:

. (4)

Questa formula è dimostrata nel corso TFKP (Teoria delle funzioni di una variabile complessa).

Esempio 6. Trova forme trigonometriche ed esponenziali di numeri complessi: dall'esempio 5.

Decisione. Usiamo i risultati dell'Esempio 5, in cui si trovano i moduli e gli argomenti di tutti i numeri specificati.

,

.

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) per scrivere un numero .

3)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) per scrivere un numero .

Forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) per scrivere un numero .

5)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) per scrivere un numero .

Forma trigonometrica di un numero ,

.

7)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) di un numero .

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale (esponenziale) per scrivere un numero .

La forma esponenziale della scrittura di numeri complessi porta alla seguente interpretazione geometrica delle operazioni di moltiplicazione e divisione di numeri complessi. Lascia stare
- forme esponenziali dei numeri
.

1. Quando si moltiplicano numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti.

2. Quando si divide un numero complesso per numero ottieni un numero complesso , modulo che è uguale al rapporto dei moduli , e l'argomento - differenze
numero di argomenti
.

Elevare a una potenza intera ed estrarre una radice da un numero complesso.

A-priorita,

Quando elevato a una potenza intera numero complesso
, dovresti procedere come segue: prima trova il modulo e argomento questo numero; introdurre in forma dimostrativa
; trovare
eseguendo i seguenti passaggi

In cui si . (5)

Commento. Discussione
numeri
potrebbe non appartenere all'intervallo
. In questo caso, in base al valore ottenuto trova il valore principale discussione

numeri
, aggiungendo (o sottraendo) il numero
con questo significato
, a

apparteneva all'intervallo
. Successivamente, è necessario sostituire nelle formule (5) sul .

Esempio 7. Trovare e
, Se
.

1)
=
(vedi n dall'esempio 6).

2)
, dove
.
.
.

Quindi, può essere sostituito da e, così

In cui si
.

3)
, dove
.
.

Sostituiamo sul . Quindi,

estrazione della radice esimo grado
da un numero complesso
effettuato secondo la formula Moivre-Laplace

Richiama le informazioni necessarie sui numeri complessi.

Numero complessoè un'espressione della forma un + bi, dove un, b sono numeri reali, e io- cosiddetto unità immaginaria, il simbolo il cui quadrato è -1, cioè io 2 = -1. Numero un chiamata parte reale, e il numero b - parte immaginaria numero complesso z = un + bi. Se un b= 0, quindi invece di un + 0io scrivi semplicemente un. Si può vedere che i numeri reali sono un caso speciale di numeri complessi.

Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse che su quelli reali: si possono sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere tra loro. L'addizione e la sottrazione procedono secondo la regola ( un + bi) ± ( c + di) = (un ± c) + (b ± d)io e moltiplicazione - secondo la regola ( un + bi) · ( c + di) = (corrente alternata – bd) + (anno Domini + avanti Cristo)io(qui è solo usato quello io 2 = -1). Numero = un – bi chiamata complesso coniugato a z = un + bi. Uguaglianza z · = un 2 + b 2 permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):

(Per esempio, .)

I numeri complessi hanno una rappresentazione geometrica comoda e visiva: il numero z = un + bi può essere rappresentato come un vettore con coordinate ( un; b) sul piano cartesiano (o, che è quasi lo stesso, un punto - la fine del vettore con queste coordinate). In questo caso, la somma di due numeri complessi è rappresentata come la somma dei vettori corrispondenti (che possono essere trovati dalla regola del parallelogramma). Per il teorema di Pitagora, la lunghezza del vettore con coordinate ( un; b) è uguale a . Questo valore viene chiamato modulo numero complesso z = un + bi ed è indicato da | z|. Viene chiamato l'angolo che questo vettore forma con la direzione positiva dell'asse x (contato in senso antiorario). discussione numero complesso z e indicato con l'arg z. L'argomento non è definito in modo univoco, ma solo fino all'aggiunta di un multiplo di 2 π radianti (o 360°, se contate in gradi) - dopotutto, è chiaro che la rotazione di un tale angolo attorno all'origine non cambierà il vettore. Ma se il vettore di lunghezza r forma un angolo φ con la direzione positiva dell'asse x, allora le sue coordinate sono uguali a ( r cos φ ; r peccato φ ). Quindi risulta notazione trigonometrica numero complesso: z = |z| (cos (arg z) + io peccato (arg z)). Spesso è conveniente scrivere numeri complessi in questa forma, perché semplifica notevolmente i calcoli. La moltiplicazione di numeri complessi in forma trigonometrica sembra molto semplice: z uno · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (arg z 1+arg z 2) + io peccato (arg z 1+arg z 2)) (quando si moltiplicano due numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti). Da qui segui Formule di De Moivre: zn = |z|n(perché ( n(Arg z)) + io peccato( n(Arg z))). Con l'aiuto di queste formule, è facile imparare come estrarre radici di qualsiasi grado da numeri complessi. Radice ennesima gradi dal numero zè un numero così complesso w, che cosa w n = z. È chiaro che , E dove K può assumere qualsiasi valore dall'insieme (0, 1, ..., n- uno). Ciò significa che c'è sempre esattamente n radici n esimo grado da un numero complesso (sul piano si trovano ai vertici di una regolare n-gon).