Soluzione di equazioni quadratiche ridotte a quadratiche. Equazioni riducibili al quadrato

ISTITUTO COMUNALE DI ISTRUZIONE TUMANOVSKAYA SCUOLA EDUCATIVA SECONDARIA DI MOSKALENSKY DISTRETTO COMUNALE DELLA REGIONE DI OMSK

Argomento della lezione: EQUAZIONI RIDOTTE AL QUADRATO

Sviluppato dall'insegnante di matematica, scuola secondaria di fisica Tumanovskaya TATYANA VIKTOROVNA

2008

Lo scopo della lezione: 1) considerare modi per risolvere equazioni ridotte a quadratiche; imparare a risolvere queste equazioni. 2) sviluppare il discorso e il pensiero degli studenti, l'attenzione, il pensiero logico. 3) suscitare interesse per la matematica,

Tipo di lezione: Lezione imparando nuovo materiale

Piano di lezione: 1. fase organizzativa
2. lavoro orale
3. lavoro pratico
4. Riassumendo la lezione

DURANTE LE LEZIONI
Oggi nella lezione faremo conoscenza con l'argomento "Equazioni riducibili al quadrato". Ogni studente dovrebbe essere in grado di risolvere correttamente e razionalmente le equazioni, imparare ad applicare vari modi quando si risolvono le equazioni quadratiche date.
1. Lavoro orale 1. Quale dei numeri: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sono le radici dell'equazione: a) x 3 - x \u003d 0; b) y 3 - 9y = 0; c) y 3 + 4y = 0? Quante soluzioni può avere un'equazione di terzo grado? Che metodo hai usato per risolvere queste equazioni?2. Controlla la soluzione dell'equazione: x 3 - 3 x 2 + 4 x - 12 = 0 x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0(x - 3) (x 2 + 4) = 0 (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0 Risposta: x = 3, x = -2, x = 2 Gli studenti spiegano il loro errore. Riassumo il lavoro orale. Quindi, sei stato in grado di risolvere oralmente le tre equazioni proposte, trovare l'errore commesso nel risolvere la quarta equazione. Quando si risolvono le equazioni oralmente, sono stati utilizzati i due metodi seguenti: togliere il fattore comune dal segno della parentesi e calcolare in fattori. Ora proviamo ad applicare questi metodi quando svolgiamo un lavoro scritto.
2. Lavoro pratico 1. Uno studente risolve l'equazione alla lavagna 25x 3 - 50x 2 - x + 2 = 0 Quando risolve, presta particolare attenzione al cambio di segno nel secondo girone. Pronuncia l'intera soluzione e trova le radici dell'equazione.2. L'equazione x 3 - x 2 - 4 (x - 1) 2 \u003d 0 viene proposta per essere risolta da studenti più forti. Quando controllo la soluzione, prendo particolare attenzione ai punti più importanti per gli studenti.3. Lavoro a bordo. risolvere l'equazione (x 2 + 2x) 2 - 2 (x 2 + 2x) - 3 \u003d 0 Quando risolvono questa equazione, gli studenti scoprono che è necessario utilizzare un modo "nuovo": l'introduzione di una nuova variabile.Denota con la variabile y \u003d x 2 + 2x e sostituisci in questa equazione. y 2 - 2y - 3 = 0. Decideremo equazione quadrata rispetto alla variabile y. Quindi troviamo il valore di x.4 . Considera l'equazione (x 2 - x + 1) (x 2 - x - 7) = 65. Rispondiamo alle domande:- che grado è questa equazione?- qual è il modo più razionale per risolverlo?- quale nuova variabile dovrebbe essere introdotta? (x 2 - x + 1) (x 2 - x - 7) = 65 Denota y \u003d x 2 - x (y + 1) (y - 7) \u003d 65La classe risolve quindi l'equazione da sola. Controlliamo le soluzioni dell'equazione alla lavagna.5. Per gli studenti forti, suggerisco di risolvere l'equazione x 6 - 3 x 4 - x 2 - 3 = 0 Risposta: -1, 1 6. L'equazione (2x 2 + 7x - 8) (2x 2 + 7x - 3) - 6 = 0 la classe si propone di risolvere come segue: gli studenti più forti decidono da soli; per il resto decide uno degli studenti della lavagna.Risolvi: 2x 2 + 7x = y(y - 8) (y - 3) - 6 = 0 Troviamo: y1 \u003d 2, y2 \u003d 9 Sostituiamo nella nostra equazione e troviamo i valori di x, per questo risolviamo le equazioni:2x 2 + 7x = 2 2x 2 + 7x = 9Come risultato della risoluzione di due equazioni, troviamo quattro valori di x, che sono le radici di questa equazione.7. Alla fine della lezione, propongo di risolvere verbalmente l'equazione x 6 - 1 = 0. Quando si risolve, è necessario applicare la formula per la differenza dei quadrati, è facile trovare le radici.(x 3) 2 - 1 \u003d 0 (x 3 - 1) (x 3 + 1) \u003d 0 Risposta: -1, 1.
3. Riassumendo la lezione Ancora una volta, attiro l'attenzione degli studenti sui metodi utilizzati per risolvere le equazioni ridotte a quadrati. Si valuta il lavoro degli studenti a lezione, commento le valutazioni e sottolineo gli errori commessi. Scriviamo i nostri compiti. Di norma, la lezione si svolge a un ritmo veloce, le prestazioni degli studenti sono elevate. Molte grazie a tutti per il buon lavoro.

Esistono diverse classi di equazioni che vengono risolte riducendole a equazioni quadratiche. Una di queste equazioni sono le equazioni biquadratiche.

Equazioni biquadratiche

Le equazioni biquadratiche sono equazioni della forma a*x^4 + b*x^2 + c = 0, dove a non è uguale a 0.

Le equazioni biquadratiche si risolvono usando la sostituzione x^2 =t. Dopo tale sostituzione, otteniamo un'equazione quadratica per t. a*t^2+b*t+c=0. Risolviamo l'equazione risultante, nel caso generale abbiamo t1 e t2. Se in questa fase si ottiene una radice negativa, può essere esclusa dalla soluzione, poiché abbiamo preso t \u003d x ^ 2 e il quadrato di qualsiasi numero è un numero positivo.

Tornando alle variabili originali, abbiamo x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Facciamo un piccolo esempio:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Introduciamo la sostituzione t=x^2. Quindi l'equazione originale assumerà la seguente forma:

9*t^2+5*t-4=0.

Risolviamo questa equazione quadratica con uno qualsiasi dei metodi conosciuti, troviamo:

t1=4/9, t2=-1.

La radice -1 non è adatta, poiché l'equazione x^2 = -1 non ha senso.

Rimane la seconda radice 4/9. Passando alle variabili originali, abbiamo la seguente equazione:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Questa sarà la soluzione dell'equazione.

Risposta: x1=-2/3, x2=2/3.

Un altro tipo di equazioni che possono essere ridotte a equazioni quadratiche sono le equazioni razionali frazionarie. Le equazioni razionali sono equazioni in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali. Se in un'equazione razionale lo sono i lati sinistro o destro espressioni frazionarie, allora tale equazione razionale è chiamata frazionaria.

Schema per la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria

Schema generale per la risoluzione di un'equazione razionale frazionaria.

1. Trova il denominatore comune di tutte le frazioni incluse nell'equazione.

2. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per un denominatore comune.

3. Risolvi l'intera equazione risultante.

4. Controlla le radici ed escludi quelle che portano a zero il denominatore comune.

Considera un esempio:

Risolvi un'equazione razionale frazionaria: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Atteniamoci schema generale. Cerchiamo prima di tutto il denominatore comune di tutte le frazioni.

Otteniamo x*(x-5).

Moltiplica ogni frazione per un denominatore comune e scrivi l'intera equazione risultante.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Semplifichiamo l'equazione risultante. Noi abbiamo

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Ricevuto semplice equazione quadratica ridotta. Lo risolviamo con uno qualsiasi dei metodi conosciuti, otteniamo le radici x=-2 e x=5. Ora controlliamo le soluzioni ottenute. Sostituiamo i numeri -2 e 5 al denominatore comune.

A x=-2, il denominatore comune x*(x-5) non svanisce, -2*(-2-5)=14. Quindi il numero -2 sarà la radice dell'equazione razionale frazionaria originale.

A x=5, il denominatore comune x*(x-5) diventa zero. Pertanto, questo numero non è la radice dell'equazione razionale frazionaria originale, poiché ci sarà una divisione per zero.

Risposta: x=-2.

Professionista del bilancio statale Istituto d'Istruzione

"Nevinnomyssk Energy College"

Sviluppo metodico classe aperta nella disciplina "Matematica"

Argomento della lezione :

Equazioni che si riducono al quadrato

equazioni.

Insegnante di matematica:

Skrylnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomyssk 2016.

Obiettivi della lezione: Diapositiva n. 2

Esercitazioni: promuovere l'organizzazione delle attività degli studenti sulla percezione,

comprensione e memorizzazione primaria di nuove conoscenze (il metodo di introduzione di una nuova variabile, la definizione equazione biquadratica) e modi

azioni (per insegnare a risolvere le equazioni introducendo un nuovo

variabile), per aiutare gli studenti a comprendere il sociale e il personale

significato materiale didattico;

Sviluppando: aiutare a migliorare le capacità informatiche degli studenti;

sviluppo del discorso matematico orale; creare le condizioni per

formazione di capacità di autocontrollo e di controllo reciproco,

cultura algoritmica degli studenti;

Educativo: promuovere la buona volontà

l'uno all'altro.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Metodi: verbale, visivo, pratico, ricerca

Forme di lavoro : individuale, di coppia, collettivo

Attrezzatura: lavagna interattiva, presentazione

Durante le lezioni.

I. Momento organizzativo.

Segna assente, controlla la disponibilità della classe per la lezione.

Insegnante: Ragazzi, stiamo iniziando a studiare nuovo argomento. Non scriviamo ancora l'argomento della lezione, lo formulerai tu stesso un po 'più tardi. Lasciatemi dire che stiamo parlando di equazioni.

Diapositiva numero 3.

Attraverso equazioni, teoremi

Ha risolto molti problemi.

E prevedeva siccità e acquazzoni -

Davvero la sua conoscenza è meravigliosa.

Goser.

Voi ragazzi avete già risolto più di una dozzina di equazioni, potete risolvere i problemi con l'aiuto delle equazioni. Le equazioni possono essere utilizzate per descrivere vari fenomeni in natura, fisici, fenomeni chimici, anche la crescita della popolazione in un paese è descritta da un'equazione.Oggi nella lezione impareremo un'altra verità, la verità sul metodo di risoluzione delle equazioni.

II. Aggiornamento della conoscenza.

Ma prima ricordiamo:

Domande: diapositiva 4

Quali equazioni si chiamano quadratiche? (Un'equazione della forma, doveX - variabile, - alcuni numeri e a ≠ 0.)

Tra le equazioni date, scegli quelle che sono quadrate?

1) 4x - 5 = x + 11

2) x 2 +2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - X 2 – 4 = 8

5) 4x 2 - 1x + 7 \u003d 0 Risposta: (2,3,5)

Quali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche incomplete?(Equazioni in cui almeno uno dei coefficientiin oda è 0.)

Tra queste equazioni, scegli quelle che sono equazioni quadratiche incomplete.(3)

Previsioni di prova

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 +4x-6=0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x+10=0

5) 4x 2 +2x=0

6) -2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4 volte 2 +3x=0

1 opzione

1) Annotare i numeri delle equazioni quadratiche complete.

2) Scrivi i coefficienti a, b, c nell'equazione 8.

3) Annotare il numero di un'equazione quadratica incompleta che ha una radice.

4) Annotare i coefficienti a, b, c nell'equazione 6.

5) Trova D nell'equazione 4 e trai una conclusione sul numero di radici.

opzione 2

1) Annotare i numeri delle equazioni quadratiche incomplete.

2) Annotare i coefficienti a, b, c nell'equazione 1.

3) Annotare il numero di un'equazione quadratica incompleta che ha una radice 0.

4) Annotare i coefficienti a, b, c nell'equazione 3.

5) Trova D nell'equazione 3 e trai una conclusione sul numero di radici.

Gli studenti cambiano quaderno, eseguono il controllo tra pari e danno voti.

1c.

1,2,4,8

a=-4, b=3, c=15

a=-2, b=0, c=2

24, d<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a=-5, b=3, c=2

a=8, b=0, c=-16

D>0, 2 radici.

Gioco "Indovina la parola".

E ora devi indovinare la parola che è scritta sulla lavagna. Per fare ciò, è necessario risolvere le equazioni e trovare le risposte corrette per esse. Ogni risposta corrisponde a una lettera e ogni lettera corrisponde al numero della carta e al numero nella tabella a cui corrisponde questa lettera. La lavagna mostra la tabella n. 1 per intero e la tabella n. 2 in cui sono scritti solo numeri, le lettere vengono inserite dall'insegnante man mano che gli esempi vengono risolti. L'insegnante distribuisce le schede con le equazioni quadratiche a ogni studente. Ogni carta è numerata. Lo studente risolve un'equazione quadratica e ottiene la risposta -21. Nella tabella trova la sua risposta e scopre quale lettera corrisponde alla sua risposta. Questa è la lettera A. Poi dice all'insegnante che lettera ha e chiama il numero della carta. Il numero della carta corrisponde alla posizione della lettera nella tabella n. 2. Ad esempio, la risposta è -21 lettera A carta numero 5. L'insegnante nella tabella n. 2 sotto il numero 5 annota la lettera A, ecc. fino a quando l'espressione non è completamente scritta.

X 2 -5x+6=0 (2;3) B

X 2 -2x-15=0(-3;5) E

X 2 +6x+8=0(-4;-2) K

X 2 -3x-18=0(-3;6) B

X 2- 42x+441=0-21 A

X 2 +8x+7=0(-7;-1) D

X 2 -34x+289=017 R

X 2 -42x+441=0 -21 A

X 2 +4x-5=0(-5;1) T

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

3x 2 -3x+4=0senza radici oh

5 volte 2 -8x+3=0 (;1) E

X 2 -8x+15=0(3;5)

X 2 -34x+289=017 R

X 2 -42x+441=0-21 A

X 2 -3x-18=0(-3;6) B

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

5 volte 2 -8x+3=0 (;1) E

2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

X 2 -2x-15=0(-3;5) E

5 volte 2 -8x+3=0(;1) E

Tabella 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

senza radici

(-5;1)

(3;5)

La sua lettera corrispondente

Tavolo 2

Abbiamo così formulato il tema della lezione di oggi.

"Equazione biquadratica".

III. Imparare nuovo materiale

Sai già come risolvere equazioni quadratiche di vario genere. Oggi nella lezione passiamo alla considerazione delle equazioni che portano alla soluzione delle equazioni quadratiche. Uno di questi tipi di equazioni èequazione biquadratica.

def. Vista equazioniascia 4 +bx 2 +c=0 , dovema 0, chiamataequazione biquadratica .

EQUAZIONI BIKUADRATICHE - dabi - due elatinoquadrato - quadrato, cioè due volte quadrato.

Esempio 1 Risolviamo l'equazione

Soluzione. La soluzione delle equazioni biquadratiche si riduce alla soluzione delle equazioni quadratiche per sostituzioney = x 2 .

Per trovareX torna alla sostituzione:

X 1 = 1; X 2 = -1x 3 =; X 4 = - Risposta 1; -uno

Dall'esempio considerato si evince che per portare l'equazione del quarto grado a quella quadratica è stata introdotta un'altra variabile -a . Questo metodo per risolvere le equazioni è chiamatometodo di introduzione di nuove variabili.

Per risolvere equazioni che portano alla soluzione di equazioni quadratiche introducendo una nuova variabile, è possibile compilare il seguente algoritmo:

1) Introdurre un cambio di variabile: lettX 2 = y

2) Scrivi un'equazione quadratica con una nuova variabile:Ay 2 + wu + c = 0

3) Risolvi una nuova equazione quadratica

4) Torna alla sostituzione delle variabili

5) Risolvi le equazioni quadratiche risultanti

6) Trarre una conclusione sul numero di soluzioni dell'equazione biquadratica

7) Scrivi la risposta

La soluzione non solo di equazioni biquadratiche, ma anche di altri tipi di equazioni si riduce alla risoluzione di equazioni quadratiche.

Esempio 2 Risolviamo l'equazione

Soluzione. Introduciamo una nuova variabile

non ci sono radici.

senza radici

Risposta: -

IV. Fissaggio primario

Io e te abbiamo imparato a introdurre una nuova variabile, sei stanco, quindi prendiamoci una pausa.

Fizminutka

1. Chiudi gli occhi. Apri gli occhi (5 volte).

2. Movimenti oculari circolari. Non ruotare la testa (10 volte).

3. Senza girare la testa, guarda il più lontano possibile a sinistra. Non battere ciglio. Guarda avanti. Sbatti le palpebre più volte. Chiudi gli occhi e riposati. Lo stesso a destra (2-3 volte).

4. Guarda un oggetto di fronte a te e gira la testa a destra ea sinistra senza distogliere lo sguardo da questo oggetto (2-3 volte).

5. Guarda fuori dalla finestra in lontananza per 1 minuto.

6. Lampeggia per 10-15 s.

Rilassati con gli occhi chiusi.

Quindi, abbiamo scoperto un nuovo metodo per risolvere le equazioni, tuttavia, il successo della risoluzione delle equazioni con questo metodo dipende dalla correttezza dell'equazione con una nuova variabile, soffermiamoci su questa fase della risoluzione delle equazioni in modo più dettagliato. Impareremo come introdurre una nuova variabile e scrivere una nuova equazione, carta numero 1

Ogni studente ha una tessera

CARTA #1

Annotare l'equazione risultante dall'introduzione di una nuova variabile

X 4 -13x 2 +36=0

sia y= ,

poi

X 4 +3x 2 -28 = 0

sia y=

poi

(3x–5) 2 – 4(3х–5)=12

sia y=

poi

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

sia y=

poi

X 4 – 25 volte 2 + 144 = 0

sia y=

poi

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

sia y=

poi

Verifica delle conoscenze:

X 4 -13x 2 +36=0

sia y=x 2 ,

allora tu 2 -13 anni+36=0

X 4 +3x 2 -28 = 0

sia y=x 2 ,

allora tu 2 +3a-28=0

(3x–5) 2 – 4(3х–5)=12

sia y=3x-5,

allora tu 2 -4a-12=0

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

sia y=6x+1,

allora tu 2 +2a-24=0

X 4 – 25 volte 2 + 144 = 0

sia y=x 2 ,

allora tu 2 -25 anni+144=0

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

sia y=x 2 ,

poi 16 anni 2 -8a+1=0

Soluzione di esempi alla lavagna:

Lavoro indipendente:

Opzione 1 Opzione 2

1) x 4 -5x 2 -36=0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2)(2x 2 +3) 2 -12(2x 2 +3)+11=0 2) (x 2 +3) 2 -11(x 2 +3)+28=0

Risposte:

Opzione 1 Opzione 2

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Riassunto della lezione

Per riassumere la lezione, per trarre conclusioni su ciò che ha avuto successo o meno, completa le frasi sui fogli.

- È stato interessante perché...

Vorrei complimentarmi per...

- Valuterei la lezione come...

VI. Compiti a casa :

(2x 2 +x-1)(2x 2 +x-4)+2=0

(X 2 -4x) 2 +9(x 2 -4х)+20=0

(X 2 +x)(x 2 +x-5)=84

Lezione 1

Tipo di lezione: lezione imparando nuovo materiale.

Modulo di lezione: conversazione.

Obbiettivo: per formare la capacità di risolvere equazioni che sono ridotte a quelle quadrate.

Compiti:

presentare agli studenti uno dei modi per risolvere le equazioni;
sviluppare abilità nel risolvere tali equazioni;
creare le condizioni per la formazione di interesse per l'argomento e lo sviluppo del pensiero logico;
assicurare relazioni personali e umane tra i partecipanti al processo educativo.

Piano di lezione:

1. Momento organizzativo.

3. Imparare nuovo materiale.
4. Consolidamento di nuovo materiale.
5. Compiti a casa.
6. Il risultato della lezione.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Insegnante:“Ragazzi, oggi iniziamo a studiare un argomento importante e interessante “Equazioni riducibili ai quadrati”. Conosci il concetto di equazione quadratica. Diamo un'occhiata a ciò che sappiamo su questo argomento.

Agli scolari vengono offerte istruzioni:

Ricorda le definizioni relative a questo argomento.
Richiami metodi per risolvere equazioni note.
Ricorda le tue difficoltà nel completare i compiti su argomenti che sono "vicini" a questo.
Ricorda i modi per superare le difficoltà.
Considera i possibili incarichi di ricerca e i modi per portarli a termine.
Ricorda dove sono stati applicati i problemi risolti in precedenza.

Gli studenti ricordano la forma di un'equazione quadratica completa, un'equazione quadratica incompleta, le condizioni per risolvere un'equazione quadratica completa, i metodi per risolvere le equazioni quadratiche incomplete, il concetto di un'intera equazione, il concetto di grado.

L'insegnante suggerisce di risolvere le seguenti equazioni (lavorare in coppia):

a) x 2 - 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x - 1) + x 2 (x - 1) = 0

Uno degli studenti commenta la soluzione di queste equazioni.

3. Imparare nuovo materiale

L'insegnante suggerisce di considerare e risolvere la seguente equazione (problema problema):

(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120

Gli studenti parlano del grado di questa equazione, suggeriscono di moltiplicare questi fattori. Ma ci sono studenti che notano gli stessi termini in questa equazione. Quale metodo di soluzione può essere applicato qui?
L'insegnante invita gli studenti a consultare il libro di testo (Yu. N. Makarychev "Algebra-9", p. 11, p. 63) e comprendere la soluzione di questa equazione. La classe è divisa in due gruppi. Gli studenti che hanno compreso il metodo di soluzione svolgono i seguenti compiti:

a) (x 2 + 2x) (x 2 + 2x + 2) = -1
b) (x 2 - 7) 2 - 4 (x 2 - 7) - 45 = 0,

il resto lo è algoritmo risolutivo tali equazioni e analizzare la soluzione dell'equazione successiva insieme all'insegnante.

(2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.

Algoritmo:

– inserire una nuova variabile;
- scrivere un'equazione contenente questa variabile;
- risolvere l'equazione;
- sostituire le radici trovate nella sostituzione;
– risolvere l'equazione con la variabile iniziale;
- controlla le radici trovate, annota la risposta.

4. Consolidamento di nuovo materiale

Lavoro in coppia: "forte" - spiega, "debole" si ripete, decide.

Risolvi l'equazione:

a) 9x 3 - 27x 2 \u003d 0
b) x 4 - 13 x 2 + 36 = 0

Insegnante:"Ricordiamo dove altro abbiamo usato la soluzione delle equazioni quadratiche?"

Studenti:“Quando si risolvono le disuguaglianze; quando si trova l'ambito di una funzione; quando si risolvono equazioni con un parametro”.
L'insegnante offre compiti facoltativi. La classe è divisa in 4 gruppi. Ogni gruppo spiega la propria soluzione.

a) Risolvi l'equazione:
b) Trova il dominio della funzione:
c) Per quali valori ma l'equazione non ha radici:
d) Risolvi l'equazione: x + - 20 = 0.

5. Compiti a casa

N. 221(a, b, c), N. 222(a, b, c).

L'insegnante suggerisce di preparare i messaggi:

1. "Informazioni storiche sulla creazione di queste equazioni" (basate su materiali provenienti da Internet).
2. Metodi per risolvere le equazioni sulle pagine della rivista "Kvant".

Gli incarichi di natura creativa vengono eseguiti a piacimento in quaderni separati:

a) x 6 + 2x 4 - 3x 2 \u003d 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1

6. Riepilogo della lezione

I bambini raccontano cosa hanno imparato durante la lezione, quali compiti hanno causato difficoltà, dove hanno applicato, come valutano le loro attività.

Lezione 2

Tipo di lezione: lezione per consolidare abilità e abilità.

Modulo di lezione: lezione pratica.

Obbiettivo: consolidare le conoscenze acquisite, formare la capacità di risolvere equazioni su questo argomento.

Compiti:

sviluppare la capacità di risolvere equazioni ridotte a quadrate;
sviluppare capacità di pensiero indipendenti;
sviluppare la capacità di analizzare, cercare informazioni mancanti;
educare l'attività, l'indipendenza, la disciplina.

Piano di lezione:

1. Momento organizzativo.
2. Attualizzazione dell'esperienza soggettiva degli studenti.
3. Risoluzione dei problemi.
4. Lavoro indipendente.
5. Compiti a casa.
6. Il risultato della lezione.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Insegnante:“Nell'ultima lezione abbiamo fatto conoscenza con le equazioni ridotte a quelle quadrate. E quale matematico contribuì alla soluzione delle equazioni della terza e della quarta potenza?

Lo studente che ha preparato il messaggio parla dei matematici italiani del XVI secolo.

2. Attualizzazione dell'esperienza soggettiva

1) Controllo dei compiti

Alla lavagna viene chiamato uno studente, che risolve equazioni simili a quelle di casa:

a) (x 2 - 10) 2 - 3 (x 2 - 10) - 4 = 0
b) x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

In questo momento, per colmare le lacune nelle conoscenze, gli studenti "deboli" ricevono le carte. Lo studente "debole" commenta la soluzione allo studente "forte", quello "forte" contrassegna la soluzione con i segni "+" o "-".

2) Ripetizione di materiale teorico

Gli studenti sono pregati di completare la seguente tabella:

Gli studenti completano la terza colonna alla fine della lezione.
L'assegnazione alla lavagna è verificata. La soluzione campione rimane sulla lavagna.

3. Risoluzione dei problemi

L'insegnante offre una scelta di due gruppi di equazioni. La classe è divisa in due gruppi. Uno esegue compiti in base al modello, l'altro cerca nuovi metodi per risolvere le equazioni. Se le soluzioni causano difficoltà, gli studenti possono rivolgersi a un modello: il ragionamento.

a) (2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 \u003d 0 a) (5x - 63) (5 x - 18) \u003d 550
b) x 4 - 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 - 7 x 2 + 9 = 0

Il primo gruppo commenta la propria decisione, il secondo controlla la soluzione attraverso un codoscopio e commenta i metodi di soluzione.

Insegnante: Ragazzi, diamo un'occhiata a un'equazione interessante: (x 2 - 6 x - 9) 2 \u003d x (x 2 - 4 x - 9).

Quale metodo proponete per risolverlo?

Gli alunni iniziano a discutere il compito problematico in gruppo. Propongono di aprire le parentesi, portare termini simili, ottenere un'equazione algebrica intera di quarto grado e trovare radici intere tra i divisori del termine libero, se presenti; quindi fattorizza e trova le radici dell'equazione data.
L'insegnante approva l'algoritmo di soluzione e suggerisce di considerare un altro metodo di soluzione.

Indichiamo x 2 - 4x - 9 \u003d t, quindi x 2 - 6x - 9 \u003d t - 2x. Otteniamo l'equazione t 2 - 5tx + 4x 2 = 0 e la risolviamo per t.

L'equazione originale si scompone in un insieme di due equazioni:

x 2 - 4 x - 9 \u003d 4 x x \u003d - 1
x 2 - 4 x - 9 = x x = 9
x \u003d (5 + 61) / 2 x \u003d (5 - 61) / 2

4. Lavoro indipendente

Agli studenti vengono fornite le seguenti equazioni tra cui scegliere:

a) x 4 - 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 - y 2) + 7 (1 - y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 - 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 - 18 x 2 - 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 - 28 = 0

L'insegnante commenta le equazioni di ciascun gruppo, richiama l'attenzione sul fatto che l'equazione alla voce c) permette agli studenti di approfondire le proprie conoscenze e abilità.
Il lavoro indipendente viene svolto su fogli tramite carta carbone.
Gli studenti controllano le soluzioni attraverso il codoscopio, scambiandosi i quaderni.

5. Compiti a casa

223 (d, e, f), n. 224 (a, b) o n. 225, n. 226.

Compito creativo.

Determina il grado dell'equazione e ricava le formule Vieta per questa equazione:

6. Riepilogo della lezione

Gli studenti tornano a compilare la colonna della tabella “Ho imparato”.

Lezione #3

Tipo di lezione: revisione delle lezioni e sistematizzazione delle conoscenze.

Modulo di lezione: la lezione è competizione.

Lo scopo della lezione: imparare a valutare correttamente le proprie conoscenze e abilità, a correlare correttamente le proprie capacità con i compiti proposti.

Compiti:

insegnare come applicare le proprie conoscenze in modo complesso;
rivelare la profondità e la forza di abilità e abilità;
promuovere l'organizzazione razionale del lavoro;
favorire l'attività, l'indipendenza.

Piano di lezione:

1. Momento organizzativo.
2. Attualizzazione dell'esperienza soggettiva degli studenti.
3. Risoluzione dei problemi.
4. Lavoro indipendente.
5. Compiti a casa.
6. Il risultato della lezione.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Insegnante:“Oggi terremo una lezione insolita, una lezione-competizione. Conoscete già i matematici italiani Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano dall'ultima lezione.

Il 12 febbraio 1535 ebbe luogo un duello scientifico tra Fiori e N. Tartaglia, in cui Tartaglia ottenne una brillante vittoria. In due ore ha risolto tutti e trenta i problemi proposti da Fiori, mentre Fiori non ha risolto un solo problema di Tartaglia.
Quante equazioni riesci a risolvere per lezione? Quali metodi scegli? I matematici italiani ti offrono le loro equazioni”.

2. Attualizzazione dell'esperienza soggettiva

lavoro orale

1) Quale dei numeri: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 sono le radici dell'equazione:

a) x 3 - x \u003d 0 b) y 3 - 9 y \u003d 0 c) y 3 + 4 y \u003d 0?

Quante soluzioni può avere un'equazione di terzo grado?
Quale metodo utilizzerai per risolvere queste equazioni?

2) Verificare la soluzione dell'equazione. Trova l'errore che hai fatto.

x 3 - 3 x 2 + 4 x - 12 = 0
x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0
(x - 3) (x 2 + 4) = 0
(x - 3)(x + 2)(x - 2) = 0
x \u003d 3, x \u003d - 2, x \u003d 2.

Lavoro in coppia. Gli studenti spiegano come risolvere le equazioni, l'errore commesso.

Insegnante:“Tu, ben fatto! Hai portato a termine il primo compito dei matematici italiani».

3. Risoluzione dei problemi

Due studenti alla lavagna

a) Trova le coordinate dei punti di intersezione con gli assi delle coordinate del grafico della funzione:

b) Risolvi l'equazione:

Gli studenti della classe scelgono di completare una o due attività. Gli studenti alla lavagna commentano costantemente le loro azioni.

4. "Attraverso" il lavoro indipendente

Un set di carte viene compilato in base al livello di complessità e con opzioni di risposta.

1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 - 32 x 2 - x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0

Opzioni di risposta:

1) a) - 2; 2 b) - 3; 3 c) nessuna soluzione
2) a) - 1/4; 1/4 b) - 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) - 4; uno; 2 b) –1; uno; - 4; 2 c) - 4; 2
4) a) - 2; - uno; b) - 2; - uno; 1c) 1; 2
5) a) - 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (- 3 - 5) / 2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.

5. Compiti a casa

Raccolta di compiti per lo svolgimento di una prova scritta di algebra: n. 72, n. 73 o n. 76, n. 78.

Compito aggiuntivo. Determina il valore del parametro a, a cui l'equazione x 4 + (a 2 - a + 1) x 2 - a 3 - a \u003d 0

a) ha una sola radice;
b) ha due radici diverse;
c) non ha radici.