L'uso delle equazioni è molto diffuso nelle nostre vite. Sono usati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. Le equazioni sono state usate dall'uomo fin dall'antichità e da allora il loro uso è solo aumentato. Soluzioni di questo tipo di equazioni possono essere eseguite secondo lo schema generale per la risoluzione delle equazioni gradi superiori. Equazioni di questo tipo hanno soluzioni in radicali grazie al metodo Ferrari, che consente di ridurre le soluzioni a un'equazione cubica. Tuttavia, nella maggior parte dei casi, fattorizzando un polinomio, è possibile trovare rapidamente una soluzione all'equazione.

Supponiamo di avere un'equazione binomiale di quarto grado:

Fattorizziamo \ in fattori polinomiali:

Determiniamo le radici del primo trinomio quadrato:

Determiniamo le radici del secondo trinomio:

Di conseguenza, l'equazione originale ha quattro radici complesse:

Dove posso risolvere online le equazioni di 4° grado?

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Per le equazioni di quarto grado, tutte quelle schemi generali soluzioni di equazioni di grado superiore, che abbiamo analizzato nel materiale precedente. Tuttavia, ci sono una serie di sfumature nella risoluzione di equazioni a due termini, biquadratiche e reciproche, su cui vorremmo soffermarci più in dettaglio.

Inoltre nell'articolo analizzeremo il metodo artificiale di fattorizzazione di un polinomio, la soluzione in radicali e il metodo di Ferrari, che viene utilizzato per ridurre la soluzione di un'equazione di quarto grado a un'equazione cubica.

Soluzione di un'equazione binaria di quarto grado

Questo è il tipo più semplice di equazioni di quarto grado. L'equazione è scritta come A x 4 + B = 0 .

Definizione 1

Per risolvere questo tipo di equazioni, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate:

A x 4 + B = 0 x 4 + BA = 0 x 4 + 2 BA x 2 + BA - 2 BA x 2 = 0 x 2 + BA 2 - 2 BA x 2 = 0 x 2 - 2 BA 4 x + BA x 2 + 2 BA 4 x + BA = 0

Resta solo da trovare le radici dei trinomi quadrati.

Esempio 1

Risolvi l'equazione di quarto grado 4 x 4 + 1 = 0 .

Soluzione

Per prima cosa, fattorizziamo il polinomio 4 x 4 + 1:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

Ora troviamo le radici dei trinomi quadrati.

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + ix 2 = 2 - D 2 2 = 1 2-i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + ix 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - io

Abbiamo ottenuto quattro radici complesse.

Risposta: x = 1 2 ± io e x = - 1 2 ± io .

Soluzione dell'equazione reciproca di quarto grado

Definizione 2

Equazioni di ritorno quarto ordine hanno la forma A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

x = 0 non è una radice di questa equazione: A 0 4 + B 0 3 + C 0 2 + B 0 + A = A ≠ 0 . Pertanto, entrambe le parti di questa equazione possono essere tranquillamente divise per x 2:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 UN x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Facciamo un cambio di variabili x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0

Quindi eseguiamo la riduzione dell'equazione reciproca di quarto grado a un'equazione quadratica.

Esempio 2

Trova tutto radici complesse equazioni 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Soluzione

La simmetria dei coefficienti ci dice che si tratta di un'equazione reciproca di quarto grado. Dividiamo entrambe le parti per x 2:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

Raggruppiamo:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Cambiamo la variabile x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Risolviamo l'equazione quadratica risultante:

D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

Torniamo alla sostituzione: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

Risolviamo la prima equazione:

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + io 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - io 14 4

Risolviamo la seconda equazione:

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + io 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - io 1 2

Risposta: x = - 2 4 ± io 14 4 e x = - 3 2 ± io 1 2 .

Risolvere un'equazione biquadratica

Le equazioni biquadratiche di quarto grado hanno la forma A x 4 + B x 2 + C = 0 . Possiamo quadrare tale equazione A y 2 + B y + C = 0 sostituendo y = x 2 . Questa è una versione standard.

Esempio 3

Risolvi l'equazione biquadratica 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0 .

Soluzione

Cambiamo la variabile y = x 2 , che ci permetterà di ridurre l'equazione originale a una quadratica:

2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 \u003d - 5 - 7 4 \u003d - 3

Pertanto, x 2 \u003d 1 2 o x 2 \u003d - 3.

La prima uguaglianza ci permette di ottenere la radice x = ± 1 2 . La seconda uguaglianza non ha radici reali, ma ha radici coniugate complesse x = ± i · 3 .

Risposta: x = ± 1 2 e x = ± io · 3 .

Esempio 4

Trova tutte le radici complesse bi equazione quadrata 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Soluzione

Usiamo il metodo di sostituzione y \u003d x 2 per ridurre l'equazione biquadratica originale a una quadratica:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 16 = - 145 - 143 32 = - 9

Pertanto, in virtù del cambio di variabile, x 2 = - 1 16 oppure x 2 = - 9 .

Risposta: x 1, 2 = ± 1 4 io, x 3, 4 = ± 3 io.

Soluzione di equazioni di quarto grado con radici razionali

Algoritmo di ricerca radici razionali le equazioni di quarto grado sono riportate nel materiale "Soluzione di equazioni di gradi superiori".

Soluzione di equazioni di quarto grado con il metodo Ferrari

Le equazioni di quarto grado della forma x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 possono essere generalmente risolte con il metodo di Ferrari. Per fare ciò, devi trovare y 0 . Questa è una qualsiasi delle radici equazione cubica y 3 - B y 2 + UN C - 4 D y - UN 2 D + 4 B D - C 2 = 0 . Successivamente, è necessario risolvere due equazioni quadratiche x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D \u003d 0 , in cui l'espressione radicale è un quadrato perfetto.

Le radici ottenute durante i calcoli saranno le radici dell'equazione originale di quarto grado.

Esempio 5

Trova le radici dell'equazione x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0 .

Soluzione

Abbiamo A \u003d 3, B \u003d 3, C \u003d - 1, D \u003d - 6. Applichiamo il metodo Ferrari per risolvere questa equazione.

Componiamo e risolviamo l'equazione cubica:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

Una delle radici dell'equazione cubica sarà y 0 = 1, poiché 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.

Scriviamo due equazioni quadratiche:
x 2 + LA 2 x + y 0 2 ± LA 2 4 - B + y 0 x 2 + LA 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 oppure x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 oppure x 2 + x - 2 = 0

Le radici della prima equazione saranno x \u003d - 1 ± i 2, le radici della seconda x \u003d 1 e x \u003d - 2.

Risposta: x 1, 2 \u003d - 1 ± io 2, x 3 \u003d 1, x 4 \u003d - 2.

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Compito №1

Risolvi l'equazione di terzo grado usando la formula di Cardano:

x 3 -3x 2 -3x-1=0.

Soluzione: portiamo l'equazione in una forma che non contenga il secondo grado dell'incognita. Per fare ciò, utilizziamo la formula

x \u003d y - , dove a è il coefficiente in x 2.

Abbiamo: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Aprendo le parentesi e portando termini simili, otteniamo:

Per le radici dell'equazione cubica y 3 +py+q=0 esiste una formula di Cardano:

yi= (i=1,2,3,), dove il valore del radicale

, = .

Sia α1 un valore /qualsiasi/ del radicale α. Quindi gli altri due valori si trovano come segue:

α 2 \u003d α 1 ε 1, α 3 \u003d α 1 ε 2, dove ε 1 \u003d + i, ε 2 \u003d - i è la radice dell'unità di terzo grado.

Se mettiamo β 1 = - , allora otteniamo β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Sostituendo i valori ottenuti nella formula yi = αi+βi, troviamo le radici dell'equazione

y 1 \u003d α 1 + β 1,

y 2 \u003d -1/2 (α 1 + β 1) + io (α 1 -β 1),

y 3 \u003d -1 / 2 (α 1 + β 1) - io (α 1 -β 1),

Nel nostro caso p = -6, q= - 6.

α= =

Uno dei valori di questo radicale è . Pertanto, poniamo α 1 = . Allora β 1 ​​= – = – = ,

y 2 = ) – io ).

Infine, troviamo il valore di x usando la formula x = y+1.

x 2 = ) + io ) + 1,

x 3 = ) – io ) + 1.

Un compito№2

Risolvi l'equazione di quarto grado con il metodo Ferrari:

x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.

Soluzione: spostiamo gli ultimi tre termini sul lato destro e completiamo i restanti due termini in un quadrato intero.

x 4 -4x 3 \u003d -2x 2 + 4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 \u003d 2x 2 + 4x-1.

Introduciamo una nuova incognita come segue:

(x 2 -2x+) 2 \u003d 2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Scegliamo y in modo che il lato destro dell'uguaglianza sia un quadrato perfetto, questo sarà quando B 2 -4AC=0, dove A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Abbiamo: B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Oppure y 3 -2y 2 +12y-24=0.

Abbiamo ottenuto una risoluzione cubica, una delle cui radici è y=2. Sostituisci il valore risultante y=2 in /1/,

Otteniamo (x 2 -2x+1) 2 =4x 2. Da dove (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 o (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+ 1+ 2x)=0.

Otteniamo due equazioni quadratiche:

x 2 -4x+1=0 e x 2 +1=0.

Risolvendoli, troviamo le radici dell'equazione originale:

x 1 \u003d 2-, x 2 \u003d 2+, x 3 \u003d-I, x 4 \u003d i.

6. Radici razionali di un polinomio

Compito n. 1

Trova le radici razionali di un polinomio

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Soluzione: Per trovare le radici razionali di un polinomio, utilizziamo i seguenti teoremi.

Teorema 1. Se la frazione irriducibile è la radice del polinomio f(x) a coefficienti interi, allora p è il divisore del termine libero e q è il divisore del coefficiente direttivo del polinomio f(x).

Commento: Il teorema 1 dà condizione necessaria per un numero razionale . Era la radice del polinomio, ma questa condizione non è sufficiente, cioè la condizione del Teorema 1 può essere soddisfatta anche per una tale frazione che non sia una radice del polinomio.

Teorema 2: Se la frazione irriducibile è la radice del polinomio f(x) a coefficienti interi, allora per ogni intero m diverso da , il numero f(m) è divisibile per il numero p-qm, cioè un intero.

In particolare, ponendo m=1 e poi m=-1, otteniamo:

se la radice del polinomio non è uguale a ±1, allora f(x) (p-q) e f(-x):.(p+q) , cioè - numeri interi.

Commento: Il teorema 2 fornisce un'ulteriore condizione necessaria per le radici razionali di un polinomio. Questa condizione è conveniente perché può essere facilmente verificata nella pratica. Troviamo prima f(1) e f(-1), quindi per ogni frazione testata controlliamo la condizione indicata. Se almeno uno dei numeri è frazionario, la radice del polinomio f(x) non lo è.

Soluzione: Per il Teorema 1, le radici di questo polinomio dovrebbero essere ricercate tra frazioni irriducibili i cui numeratori sono divisori di 18 e i cui denominatori sono 8. Pertanto, se la frazione irriducibile è la radice di f(x), allora p è uguale a uno dei numeri: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q è uguale a uno dei numeri

±1, ±2, ±4, ±8.

Dato che = , = , i denominatori delle frazioni saranno considerati solo positivi.

Quindi, i seguenti numeri possono essere radici razionali di questo polinomio: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Usiamo il secondo.

Poiché f(1)=72, f(-1)=120, ne consegue in particolare che 1 e -1 non sono radici di f(x). Ora, per ogni possibile frazione, verificheremo le condizioni del Teorema 2 per m=1 e m=-1, cioè stabiliremo se i numeri sono interi o frazionari: = e =

Riassumiamo i risultati in una tabella, dove le lettere “c” e “d” indicano, rispettivamente, se un numero o una frazione è intero o frazionario.

Dalla tabella risultante si può vedere che e sono interi solo nei casi in cui è uguale a uno dei numeri: 2, -2, 3, -3, , , , .

Per un corollario del teorema di Bezout, un numero è una radice α di f(x) se e solo se f(x) (x-α). Pertanto, per testare i restanti nove interi, può essere applicato lo schema di Horner per dividere un polinomio per un binomio.

2 - radice.

Quindi abbiamo: x=2 è una radice semplice di f(x). Le restanti radici di questo polinomio coincidono con le radici del polinomio.

F 1 (x) \u003d 8x 4 + 2x 3 -73x 2 -18x + 9.

Controlliamo il resto dei numeri allo stesso modo.

2 - non radice, 3 - radice, -3 - radice, 9 - non radice, ½ - non radice, -1/2 - radice, 3/2 - non radice, ¼ - radice.

Quindi, il polinomio f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 ha cinque radici razionali: (2, 3, -3, -1/2, ¼).

2. Equazione Se una lettera è inclusa nell'uguaglianza, l'uguaglianza è chiamata equazione.
L'equazione può essere vera per alcuni valori di questa lettera
e non corretto per altri valori.

Ad esempio, l'equazione x + 6 = 7
vero per x = 1
e false per x = 2 .

3. Equazioni equivalenti L'equazione lineare ha la forma ax + by + c = 0 .
Ad esempio: 5x - 4y + 6 = 0 .
Esprimi y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒y =

5x+6

4

⇒ y = 1,25x + 1,5 .
L'equazione risultante, che è equivalente alla prima, ha la forma
y = kx + m ,
dove: x - variabile indipendente (argomento);
y - variabile dipendente (funzione);
k e m - coefficienti (parametri).

4 Equazioni equivalenti

Le due equazioni sono chiamate equivalente (equivalente) se gli insiemi di tutte le loro soluzioni coincidono o entrambi non hanno soluzioni e denotano .

5/Equazione di primo grado.

L'equazione di primo grado può essere ridotta alla forma:

ascia+b = 0,

dove X- variabile, un e B sono alcuni numeri, e un ≠ 0.

Da qui è facile dedurre il valore X:

B
x = - -
un

Questo valore Xè la radice dell'equazione.

Le equazioni di primo grado hanno una radice.

Equazione di secondo grado.

L'equazione di secondo grado può essere ridotta alla forma:

ax2 + bx + c = 0,

dove X- variabile, a, b, c sono alcuni numeri, e un ≠ 0.

Il numero di radici dell'equazione di secondo grado dipende dal discriminante:

Se D > 0, allora l'equazione ha due radici;

Se D = 0, allora l'equazione ha una radice;

Se D< 0, то уравнение корней не имеет.

Un'equazione di secondo grado non può avere più di due radici.

(per informazioni su cos'è un discriminante e su come trovare le radici di un'equazione, vedere le sezioni "Formule per le radici di un'equazione quadratica. Discriminante" e "Un altro modo per risolvere un'equazione quadratica").

Equazione di terzo grado.

L'equazione del terzo grado può essere ridotta alla forma:

ascia 3 + bx 2 + cx + D = 0,

dove X- variabile, a, b, c, d sono alcuni numeri, e un ≠ 0.

Un'equazione di terzo grado non può avere più di tre radici.

Equazione di quarto grado.

L'equazione del quarto grado può essere ridotta alla forma:

ascia 4 + bx 3 + cx 2 + dx+e = 0,

dove X- variabile, a, b, c, d, e sono alcuni numeri, e un ≠ 0.

Un'equazione di terzo grado non può avere più di quattro radici.

Generalizzazione:

1) l'equazione di quinta, sesta, ecc. i gradi possono essere facilmente derivati ​​indipendentemente, seguendo lo schema di cui sopra;

2) equazione n-esimo grado non può avere più di n radici.

6/ Un'equazione con una variabile è un'equazione che contiene una sola variabile. La radice (o soluzione) di un'equazione è il valore della variabile a cui l'equazione si trasforma in una vera uguaglianza numerica.

1. 8/-11/Sistemi equazioni lineari: concetti basilari Sistema di equazioni lineari.

Sistemi di equazioni lineari incoerenti e indefiniti. Insieme di equazioni lineari Insieme unito e incompatibile di equazioni lineari.

Sistema di equazioni lineariè l'unione di n equazioni lineari, ciascuna delle quali contiene K variabili. Si scrive così:

Molti, quando si trovano per la prima volta di fronte all'algebra superiore, credono erroneamente che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle variabili. Nell'algebra scolastica questo è solitamente il caso, ma per l'algebra superiore questo, in generale, non è vero.

Risolvere un sistema di equazioniè una sequenza di numeri ( K 1 , K 2 , ..., k n), che è una soluzione per ciascuna equazione del sistema, cioè quando si sostituisce in questa equazione invece di variabili X 1 , X 2 , ..., x n fornisce il valore numerico corretto.

Di conseguenza, risolvere un sistema di equazioni significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo insieme è vuoto. Poiché il numero di equazioni e il numero di incognite potrebbero non essere gli stessi, sono possibili tre casi:

1. Il sistema è incoerente, ad es. l'insieme di tutte le soluzioni è vuoto. Un caso abbastanza raro che si rileva facilmente indipendentemente dal metodo per risolvere il sistema.

2. Il sistema è coerente e definito, cioè ha esattamente una soluzione. La versione classica, ben nota fin dai tempi della scuola.

3. Il sistema è compatibile e non definito, ovvero ha infinite soluzioni. Questa è l'opzione più difficile. Non è sufficiente affermare che "il sistema ha un insieme infinito di soluzioni" - è necessario descrivere come è organizzato questo insieme.

Variabile x io chiamata consentito, se è compreso in una sola equazione del sistema, e con coefficiente 1. In altre parole, nelle restanti equazioni, il coefficiente della variabile x io dovrebbe essere uguale a zero.

Se selezioniamo una variabile consentita in ciascuna equazione, otteniamo un insieme di variabili consentite per l'intero sistema di equazioni. Anche il sistema stesso, scritto in questo modulo, sarà chiamato consentito. In generale, uno stesso sistema iniziale può essere ridotto a diversi sistemi consentiti, ma questo non ci riguarda ora. Ecco alcuni esempi di sistemi consentiti:

Entrambi i sistemi sono consentiti rispetto alle variabili X 1 , X 3 e X 4. Tuttavia, con lo stesso successo si può sostenere che il secondo sistema è consentito relativamente X 1 , X 3 e X cinque . È sufficiente riscrivere l'ultima equazione come X 5 = X 4 .

Consideriamo ora un caso più generale. Diamoci tutto K variabili, di cui R sono ammessi. Allora sono possibili due casi:

1. Numero di variabili consentite Rè uguale al numero totale di variabili K: R = K. Prendiamo il sistema da K equazioni in cui R = K variabili consentite. Un tale sistema è collaborativo e definito, perché X 1 = B 1 , X 2 = B 2 , ..., xk = bk;

2. Numero di variabili consentite R inferiore al numero totale di variabili K: R < K. Il riposo ( K − R) le variabili sono chiamate libere: possono assumere qualsiasi valore da cui le variabili consentite possono essere facilmente calcolate.

Quindi, nei sistemi di cui sopra, le variabili X 2 , X 5 , X 6 (per il primo sistema) e X 2 , X 5 (per il secondo) sono gratuiti. Il caso in cui ci sono variabili libere è meglio formulato come teorema:

Nota: questo è un punto molto importante! A seconda di come si scrive il sistema finale, la stessa variabile può essere sia consentita che libera. La maggior parte dei tutor matematica superiore si consiglia di scrivere le variabili in ordine lessicografico, ad es. indice ascendente. Tuttavia, non devi assolutamente seguire questo consiglio.

Teorema. Se nel sistema da n variabili di equazioni X 1 , X 2 , ..., xr- consentito, e xr + 1 , xr + 2 , ..., xk- gratis, quindi:

1. Se imposti i valori delle variabili libere ( xr + 1 = R + 1 , xr + 2 = R + 2 , ..., xk = t k) e quindi trovare i valori X 1 , X 2 , ..., xr, otteniamo una delle soluzioni.

2. Se i valori delle variabili libere in due soluzioni coincidono, coincidono anche i valori delle variabili consentite, ad es. le soluzioni sono uguali.

Qual è il significato di questo teorema? Per ottenere tutte le soluzioni del sistema di equazioni consentito, è sufficiente individuare le variabili libere. Quindi, assegnazione a variabili libere significati diversi, riceveremo soluzioni chiavi in ​​mano. Questo è tutto: in questo modo puoi ottenere tutte le soluzioni del sistema. Non ci sono altre soluzioni.

Conclusione: il sistema di equazioni consentito è sempre coerente. Se il numero di equazioni nel sistema consentito è uguale al numero di variabili, il sistema sarà definito, se minore sarà indefinito.

Si formano diverse equazioni Insieme di equazioni

2. 12,13/ Disuguaglianza lineare./ Disuguaglianze rigorose e non rigorose Che cos'è disuguaglianza? Viene presa qualsiasi equazione, il segno "=" ("uguale") viene sostituito da un'altra icona ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) e si ottiene una disuguaglianza.) L'equazione può essere qualsiasi cosa: lineare, quadrata, frazionaria, esponenziale, trigonometrica, logaritmica, ecc. eccetera. Di conseguenza, otterremo disuguaglianze lineari, quadrate, ecc.

Cosa devi sapere sulle icone di disuguaglianza? Disuguaglianze di icone di più (> ), o meno (< ) sono chiamati rigoroso. Con icone più o uguale (≥ ), minore o uguale a (≤ ) sono chiamati non severo. Icona non uguale (≠ ) sta da solo, ma devi anche risolvere esempi con un'icona del genere tutto il tempo. E lo faremo.)

L'icona stessa non ha molto effetto sul processo di soluzione. Ma alla fine della soluzione, quando si sceglie la risposta finale, il significato dell'icona appare in pieno vigore! Come vedremo di seguito, negli esempi. Ci sono delle battute...

Le disuguaglianze, come le uguaglianze, lo sono fedele e infedele. Tutto è semplice qui, senza trucchi. Diciamo 5 > 2 è la disuguaglianza corretta. cinque < 2 non è corretto.

Le disuguaglianze lineari, quadrate, frazionarie, esponenziali, trigonometriche e altre vengono risolte in diversi modi. Ogni specie ha il suo modo, la sua tecnica speciale. Ma! Tutte queste tecniche speciali possono essere applicate solo a qualcuno modulo standard disuguaglianze. Quelli. disuguaglianza di qualsiasi tipo deve prima preparare per usare il tuo metodo.

3. 14,16/Principali proprietà delle disuguaglianze/. Azioni con due disuguaglianze.

1) Se

2) Proprietà di transitività. Se

3) Se aggiungiamo lo stesso numero ad entrambe le parti di una vera disuguaglianza, otteniamo una vera disuguaglianza, cioè Se

4) Se un qualsiasi termine viene trasferito da una parte all'altra di una vera disuguaglianza, cambiandone il segno in contrario, si otterrà una vera disuguaglianza, cioè Se

5) Se entrambe le parti della disuguaglianza corretta vengono moltiplicate per lo stesso numero positivo, quindi otteniamo la disuguaglianza corretta. Ad esempio, se

6) Se entrambe le parti della disuguaglianza corretta vengono moltiplicate per lo stesso numero negativo e cambia il segno di disuguaglianza al contrario, allora otteniamo la disuguaglianza corretta. Ad esempio, se

7) Analogamente alle regole 5) e 6), si applicano le regole per la divisione per lo stesso numero. Se