Il compito ha bisogno trova la linea di intersezione di due piani e determina la dimensione effettiva di uno di essi il metodo del movimento piano-parallelo.

Per risolvere un problema così classico in geometria descrittiva, è necessario conoscere il seguente materiale teorico:

- disegnare proiezioni di punti nello spazio su un disegno complesso secondo coordinate date;

- metodi per specificare un piano su un disegno complesso, un piano di posizione generale e particolare;

- le linee principali dell'aereo;

- determinazione del punto di intersezione di una retta con un piano (ricerca "punti di incontro");

- il metodo del movimento piano-parallelo per determinare la dimensione naturale di una figura piatta;

— definizione della visibilità sul disegno di rette e piani con l'ausilio di punti concorrenti.

Procedura per la risoluzione del problema

1. In base all'opzione Assegnazione per coordinate puntiformi, mettiamo due piani sul disegno complesso, specificato sotto forma di triangoli ABC(A', B', C'; A, B, C) e DKE(D', K', E'; D, K, E) ( fig.1.1).

Fig.1.1

2 . Per trovare la linea di intersezione, utilizziamo metodo del piano di proiezione. La sua essenza è che un lato (linea) del primo piano (triangolo) viene preso e giace nel piano sporgente. Viene determinato il punto di intersezione di questa linea con il piano del secondo triangolo. Ripetendo di nuovo questo compito, ma per la linea del secondo triangolo e il piano del primo triangolo, determiniamo il secondo punto di intersezione. Poiché i punti ottenuti appartengono contemporaneamente a entrambi i piani, devono trovarsi sulla linea di intersezione di questi piani. Collegando questi punti con una retta, avremo la linea di intersezione dei piani desiderata.

3. Il problema si risolve come segue:

ma) racchiudendo in un piano di proiezione F(F') lato AB(UN’ B’) del primo triangolo nel piano di proiezione frontale v. Segnaliamo i punti di intersezione del piano sporgente con i lati DK e DE secondo triangolo, ottenendo punti 1(1') e 2(2'). Li trasferiamo lungo le linee di comunicazione sul piano orizzontale delle proiezioni h sui lati corrispondenti del triangolo, punto 1 (1) sul lato DE e punto 2(2) sul lato DK.

Fig.1.2

B) collegando le proiezioni dei punti 1 e 2, avremo la proiezione del piano sporgente F. Quindi il punto di intersezione della retta AB con il piano del triangolo DKE è determinato (secondo la regola) insieme all'intersezione della proiezione del piano sporgente 1-2 e la proiezione omonima AB. Pertanto, abbiamo ottenuto una proiezione orizzontale del primo punto di intersezione dei piani - m, lungo la quale determiniamo (progettiamo lungo linee di comunicazione) la sua proiezione frontale - m’ su una linea retta UN’ B’ (fig.1.2.a);

in) troviamo il secondo punto allo stesso modo. Concludiamo nel piano di proiezione G(G) lato del secondo triangolo DK(DK) . Segnaliamo i punti di intersezione del piano sporgente con i lati del primo triangolo corrente alternataeAVANTI CRISTO in una proiezione orizzontale, ottenendo proiezioni di punti 3 e 4. Li proiettiamo sui lati corrispondenti sul piano frontale, otteniamo 3’ e 4'. Collegandoli con una linea retta, abbiamo la proiezione del piano sporgente. Quindi il secondo punto di intersezione dei piani sarà all'intersezione della linea 3’-4’ con il lato di un triangolo D’ K’ , che era racchiusa in un piano sporgente. Quindi, abbiamo ottenuto la proiezione frontale del secondo punto di intersezione - n’ , lungo la linea di comunicazione troviamo la proiezione orizzontale - n (fig.1.2.b).

G) collegando i punti MN(MN) e (m’ n’) sui piani orizzontale e frontale si ha la linea di intersezione desiderata dati aerei.

4. Con l'aiuto di punti in competizione, determiniamo la visibilità degli aerei. Prendi un paio di punti in competizione, ad esempio, 1’=5’ in proiezione frontale. Li proiettiamo sui lati corrispondenti sul piano orizzontale, otteniamo 1 e 5. Vediamo che il punto 1 sdraiato di lato De ha una grande coordinata rispetto all'asse X che punto 5 sdraiato di lato UNIN. Pertanto, secondo la regola della coordinata maggiore, il punto 1 e il lato del triangolo D'E' sul piano frontale sarà visibile. Pertanto, viene determinata la visibilità di ciascun lato del triangolo nei piani orizzontale e frontale. Le linee visibili nei disegni vengono tracciate con una linea di contorno continua e le linee non visibili con una linea tratteggiata. Ricordiamo che nei punti di intersezione dei piani ( m— n em’- n’ ) cambierà la visibilità.

Fig.1.3

RFig. 1.4 .

Il grafico mostra inoltre la definizione di visibilità sul piano orizzontale utilizzando punti concorrenti 3 e 6 su linee rette DK e AB.

5. Usando il metodo dello spostamento parallelo al piano, determiniamo la dimensione effettiva del piano del triangolo ABC, per quello:

ma) nel piano specificato passante per un punto C(C) condurre un frontale C— F(DA-FeC’- F’) ;

B) sul campo libero del disegno in una proiezione orizzontale, prendiamo (contrassegnamo) un punto arbitrario Da 1, supponendo che questo sia uno dei vertici del triangolo (nello specifico, il vertice C). Da esso ripristiniamo la perpendicolare al piano frontale (attraverso asse x);

Fig.1.5

in) per movimento piano-parallelo traduciamo la proiezione orizzontale del triangolo ABC, in una nuova posizione UN 1 B 1 C 1 in modo tale che nella proiezione frontale assuma una posizione aggettante (trasformata in linea retta). Per fare questo: sulla perpendicolare dal punto Da 1, posticipare la proiezione frontale dell'orizzontale C 1 — F 1 (lunghezza lCF) otteniamo un punto F 1 . Una soluzione di una bussola da un punto F1 taglia FA facciamo un arco serif e da un punto C 1 - dimensione della tacca circa, quindi all'intersezione delle linee d'arco otteniamo un punto UN 1 (secondo vertice del triangolo);

- allo stesso modo otteniamo un punto B 1 (dal punto C 1 fare una tacca con le dimensioni C— B(57mm), e dal punto F 1 grandezza F— B(90 mm) Notare che quando giusta decisione tre punti UN 1 F’ 1 e B’ 1 deve giacere su una linea retta (il lato del triangolo UN 1 — B 1 ) gli altri due lati DA 1 — UN 1 e C 1 — B 1 si ottengono collegando i loro vertici;

G) segue dal metodo di rotazione che quando si sposta o ruota un punto in un piano di proiezione - sul piano coniugato, la proiezione di questo punto dovrebbe muoversi in linea retta, nel nostro caso particolare, lungo un asse parallelo rettilineo X. Quindi attingiamo dai punti UN’ B’ C’ Dalla proiezione frontale si tratta di linee rette (si chiamano piani di rotazione dei punti), e dalle proiezioni frontali dei punti spostati UN 1 IN 1C 1 ripristinare le perpendicolari (linee di collegamento) ( fig.1.6).

Fig.1.6

L'intersezione di queste linee con le corrispondenti perpendicolari dà nuove posizioni della proiezione frontale del triangolo ABC, in particolare UN’ 1 IN 1C’ 1 che dovrebbe diventare una sporgenza (linea retta) poiché l'orizzontale h 1 abbiamo disegnato perpendicolarmente al piano di proiezione frontale ( fig.1.6);

5) quindi, per ottenere la dimensione naturale del triangolo, è sufficiente espandere la sua proiezione frontale fino al parallelismo con il piano orizzontale. L'inversione viene eseguita utilizzando una bussola attraverso un punto A' 1, considerandolo come un centro di rotazione, mettiamo un triangolo UN’ 1 IN 1C’ 1 parallelo all'asse X, noi abbiamo UN’ 2 IN 2C’ 2 . Come accennato in precedenza, quando il punto ruota, sulla proiezione coniugata (ora sull'orizzontale), si muovono in linea retta asse parallelo X. Omissione di perpendicolari (linee di collegamento) dalle proiezioni frontali dei punti UN’ 2 IN 2C’ 2 incrociandoli con le linee corrispondenti troviamo la proiezione orizzontale del triangolo ABC (UN 2 IN 2C 2 ) dimensione reale ( fig.1.7).

Riso. 1.7

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Sezione: Geometria descrittiva /

IN questa sezione Continuiamo lo studio del tema dell'equazione di una retta nello spazio dal punto di vista della stereometria. Ciò significa che considereremo una retta nello spazio tridimensionale come una linea di intersezione di due piani.

Secondo gli assiomi della stereometria, se due piani non coincidono e hanno un punto in comune, allora hanno anche una retta comune, su cui giacciono tutti i punti comuni ai due piani. Usando le equazioni di due piani intersecanti, possiamo definire una retta in un sistema di coordinate rettangolare.

Nel corso della trattazione dell'argomento daremo numerosi esempi, alcune illustrazioni grafiche e soluzioni dettagliate necessarie per una migliore assimilazione del materiale.

Siano dati due piani che non coincidono tra loro e si intersecano. Indichiamoli come il piano α e il piano β . Mettiamoli in un sistema di coordinate rettangolare O x y z spazio tridimensionale.

Come ricordiamo, qualsiasi piano in un sistema di coordinate rettangolare è definito da equazione generale piani della forma A x + B y + C z + D = 0 . Assumiamo che il piano α corrisponda all'equazione A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e il piano β corrisponda all'equazione A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. In questo caso, i vettori normali dei piani α e β n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) e n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) non sono collineari, poiché il i piani non coincidono tra loro e sono posti paralleli tra loro. Scriviamo questa condizione come segue:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ UN 1 , B 1 , C 1 ≠ λ UN 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Per aggiornare il materiale sull'argomento "Parallelismo degli aerei", vedere la sezione corrispondente del nostro sito Web.

La linea di intersezione dei piani sarà indicata dalla lettera un . Quelli. a = α ∩ β . Questa linea è un insieme di punti comuni a entrambi i piani α e β. Ciò significa che tutti i punti della retta a soddisfano entrambe le equazioni del piano A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . In effetti, sono una soluzione particolare del sistema di equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Soluzione di sistema generale equazioni lineari A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 definisce le coordinate di tutti i punti della retta lungo i quali i due piani α e β si intersecano . Ciò significa che con il suo aiuto possiamo determinare la posizione di una retta in un sistema di coordinate rettangolare O x y z .

Consideriamo ancora una volta la teoria descritta, ora con un esempio specifico.

Esempio 1

La linea O x è la linea lungo la quale si intersecano piani coordinati O x y e O x z . Definiamo il piano O x y con l'equazione z = 0, e il piano O x z con l'equazione y = 0. Abbiamo discusso questo approccio in dettaglio nella sezione "Equazione generale incompleta di un piano", quindi, in caso di difficoltà, possiamo fare nuovamente riferimento a questo materiale. In questo caso, la linea di coordinate O x è determinata in un sistema di coordinate tridimensionale da un sistema di due equazioni della forma y = 0 z = 0 .

Trovare le coordinate di un punto che giace su una retta lungo la quale i piani si intersecano

Consideriamo il compito. Sia dato un sistema di coordinate rettangolare O x y z nello spazio tridimensionale. La retta lungo la quale due piani si intersecano a è data dal sistema di equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Dato un punto nello spazio tridimensionale M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Determiniamo se il punto M 0 x 0 , y 0 , z 0 appartiene ad una retta data un .

Per ottenere una risposta alla domanda del problema, sostituiamo le coordinate del punto M 0 in ciascuna delle due equazioni del piano. Se, per sostituzione, entrambe le equazioni diventano vere uguaglianze A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 e A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, allora il punto M 0 appartiene a ciascuno dei piani e appartiene alla retta data. Se almeno una delle uguaglianze A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 e A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 è falsa, allora il punto M 0 non appartiene ad una retta.

Considera una soluzione di esempio

Esempio 2

Una retta è data nello spazio dalle equazioni di due piani intersecanti della forma 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Determinare se i punti M 0 (1, - 1, 0) e N 0 (0, - 1 3 , 1) appartengono a una retta di intersezione dei piani.

Soluzione

Partiamo dal punto M 0 . Sostituisci le sue coordinate in entrambe le equazioni del sistema 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Come risultato della sostituzione, abbiamo ottenuto le uguaglianze corrette. Ciò significa che il punto M 0 appartiene a entrambi i piani e si trova sulla linea della loro intersezione.

Sostituiamo le coordinate del punto N 0 (0, - 1 3, 1) in entrambe le equazioni del piano. Otteniamo 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .

Come puoi vedere, la seconda equazione del sistema si è trasformata in un'uguaglianza errata. Ciò significa che il punto N 0 non appartiene alla retta data.

Risposta: il punto M 0 appartiene a una retta e il punto N 0 no.

Ora ti offriamo un algoritmo per trovare le coordinate di un certo punto appartenente a una retta, se la retta nello spazio in un sistema di coordinate rettangolare O xyz è determinata dalle equazioni dei piani intersecanti A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 UN 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Il numero di soluzioni di un sistema di due equazioni lineari con incognite A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 è infinito. Ognuna di queste soluzioni può essere una soluzione al problema.

Facciamo un esempio.

Esempio 3

Sia data una retta nello spazio tridimensionale dalle equazioni di due piani intersecanti della forma x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Trova le coordinate di uno qualsiasi dei punti su questa linea.

Soluzione

Riscriviamo il sistema di equazioni x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

Prendiamo come base minore della matrice principale del sistema un minore del secondo ordine diverso da zero 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Significa che z è una variabile sconosciuta libera.

Trasferiamo i termini contenenti la variabile incognita libera z ai lati destro delle equazioni:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Introduciamo un arbitrario numero realeλ e supponiamo che z = λ .

Allora x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Per risolvere il sistema di equazioni risultante, applichiamo il metodo di Cramer:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

La soluzione generale del sistema di equazioni x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 sarà x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , dove λ ∈ R .

Per ottenere una soluzione particolare del sistema di equazioni, che ci dia le coordinate desiderate di un punto appartenente ad una determinata retta, dobbiamo prendere un valore specifico del parametro λ. Se λ = 0 , allora x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .

Questo ci permette di ottenere le coordinate del punto desiderato - 7, 4, 0.

Verifichiamo la correttezza delle coordinate trovate del punto sostituendole nelle equazioni iniziali di due piani intersecanti - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0.

Risposta: - 7 , 4 , 0

Vettore di direzione di una linea lungo la quale due piani si intersecano

Diamo un'occhiata a come determinare le coordinate del vettore di direzione di una retta, che è data dalle equazioni di due piani intersecanti A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . In un sistema di coordinate rettangolare 0xz, il vettore diretto di una retta è inseparabile da una retta.

Come sappiamo, una retta è perpendicolare a un piano se è perpendicolare a qualsiasi retta giacente nel piano dato. Sulla base di quanto sopra, il vettore normale del piano è perpendicolare a qualsiasi vettore diverso da zero che giace nel piano dato. Questi due fatti ci aiuteranno a trovare il vettore di direzione della retta.

I piani α e β si intersecano lungo la linea un . Vettore di direzione a → retta un è perpendicolare al vettore normale n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) del piano A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e al vettore normale n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) piani A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Direzione vettore dritto un rappresenta prodotto vettoriale vettori n → 1 = (LA 1 , B 1 , C 1) e n 2 → = LA 2 , B 2 , C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = io → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Definiamo l'insieme di tutti i vettori direttivi della retta come λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , dove λ è un parametro che può assumere qualsiasi valore reale diverso da zero.

Esempio 4

Sia data una retta nello spazio in un sistema di coordinate rettangolare O x y z dalle equazioni di due piani intersecanti x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Trova le coordinate di qualsiasi vettore di direzione di questa linea.

Soluzione

I piani x + 2 y - 3 z - 2 = 0 e x - z + 4 = 0 hanno vettori normali n 1 → = 1 , 2 , - 3 e n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Prendiamo come vettore diretto di una retta, che è l'intersezione di due piani dati, il prodotto vettoriale dei vettori normali:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - io → (- 3) 0 = - 2 io → - 2 j → - 2 k →

Scriviamo la risposta nella forma delle coordinate a → = - 2 , - 2 , - 2 . Per coloro che non ricordano come è fatto, si consiglia di fare riferimento all'argomento "Coordinate vettoriali in un sistema di coordinate rettangolare".

Risposta: a → = - 2 , - 2 , - 2

Transizione alle equazioni parametriche e canoniche di una retta nello spazio

Per risolvere alcuni problemi, è più facile da usare equazioni parametriche retta nello spazio della forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ o equazioni canoniche retta nello spazio della forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . In queste equazioni, a x , a y , a z sono le coordinate del vettore di direzione della retta, x 1 , y 1 , z 1 sono le coordinate di un punto sulla retta e λ è un parametro che assume valori reali arbitrari.

Da un'equazione in linea retta della forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, puoi passare alle equazioni canoniche e parametriche di una retta nello spazio. Per scrivere le equazioni canoniche e parametriche di una retta, abbiamo bisogno delle abilità per trovare le coordinate di un certo punto sulla retta, nonché le coordinate di alcuni vettori direttivi della retta, dati dalle equazioni di due che si intersecano aerei.

Diamo un'occhiata all'esempio sopra.

Esempio 5

Impostiamo una retta in un sistema di coordinate tridimensionale dalle equazioni di due piani intersecanti 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Scriviamo le equazioni canoniche e parametriche di questa retta.

Soluzione

Trova le coordinate del vettore diretto della retta, che è il prodotto vettoriale dei vettori normali n 1 → = 2 , 1 , - 1 del piano 2 x + y - z - 1 = 0 e n 2 → = (1 , 3 , - 2) del piano x + 3 y-2z=0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - io → (- 1) 3 = io → + 3 j → + 5 k →

Coordinate del vettore di direzione della retta a → = (1 , 2 , 5) .

Il passo successivo è determinare le coordinate di un punto della retta data, che è una delle soluzioni del sistema di equazioni: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0 .

Prendiamo il determinante 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 come matrice minore del sistema, che è diversa da zero. In questo caso, la variabile z è libero. Trasferiamo i termini con esso sul lato destro di ciascuna equazione e diamo alla variabile un valore arbitrario λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + zx + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Applichiamo il metodo Cramer per risolvere il sistema di equazioni risultante:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 2 λ - (1 + λ) 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

Otteniamo: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Prendiamo λ = 2 per ottenere le coordinate di un punto su una retta: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1z 1 = 2 . Ora abbiamo abbastanza dati per scrivere nello spazio le equazioni canoniche e parametriche di questa retta: x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ ⇔ x = 1 + 1 λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Risposta: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 e x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Questo problema ha un altro modo per risolverlo.

Trovare le coordinate di un certo punto su una retta si effettua risolvendo il sistema di equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Nel caso generale, le sue soluzioni possono essere scritte nella forma delle equazioni parametriche desiderate di una retta nello spazio x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

L'ottenimento delle equazioni canoniche si effettua come segue: risolviamo ciascuna delle equazioni ottenute rispetto al parametro λ, uguagliamo le parti giuste dell'uguaglianza.

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az

Applicabile Da questa parte per risolvere il problema.

Esempio 6

Impostiamo la posizione della retta dalle equazioni di due piani intersecanti 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Scriviamo le equazioni parametriche e canoniche per questa retta.

Soluzione

La soluzione di un sistema di due equazioni con tre incognite viene eseguita allo stesso modo dell'esempio precedente. Otteniamo: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ .

Queste sono le equazioni parametriche di una retta nello spazio.

Le equazioni canoniche si ottengono come segue: x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Le equazioni ottenute in entrambi gli esempi differiscono esternamente, ma sono equivalenti, poiché determinano lo stesso insieme di punti nello spazio tridimensionale, e quindi la stessa retta.

Risposta: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 e x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

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Se due aerei intersecano, allora il sistema di equazioni lineari definisce l'equazione di una retta nello spazio.

Cioè, la retta è data dalle equazioni di due piani. Un compito tipico e comune è riscrivere le equazioni di una retta nella forma canonica:

Esempio 9

Soluzione: Per scrivere le equazioni canoniche di una retta, è necessario conoscere il punto e il vettore di direzione. E abbiamo dato le equazioni di due piani ....

1) Per prima cosa, trova un punto appartenente alla retta data. Come farlo? Nel sistema di equazioni, è necessario ripristinare alcune coordinate. Sia , allora otteniamo un sistema di due equazioni lineari con due incognite: . Sommiamo le equazioni termine per termine e troviamo la soluzione del sistema:

Quindi, il punto appartiene a questa linea. Presta attenzione al seguente punto tecnico: è auspicabile trovare un punto con totale coordinate. Se abbiamo azzerato "x" o "z" nel sistema, non è un dato di fatto che otterremmo un punto "buono" senza coordinate frazionarie. Tale analisi e selezione di un punto dovrebbe essere eseguita mentalmente o su una bozza.

Verifichiamo: sostituiamo le coordinate del punto nel sistema di equazioni originario: . Si ottengono le uguaglianze corrette, il che significa che .

2) Come trovare il vettore diretto di una retta? La sua posizione è chiaramente dimostrata dal seguente disegno schematico:

Il vettore di direzione della nostra linea è ortogonale ai vettori normali dei piani. E se , allora troviamo il vettore "pe" as prodotto vettoriale vettori normali: .

Dalle equazioni dei piani, rimuoviamo i loro vettori normali:

E troviamo il vettore di direzione della retta:

Come controllare il risultato è stato discusso nell'articolo Prodotto incrociato di vettori.

3) Componiamo le equazioni canoniche di una retta per un punto e un vettore direzionale:

Risposta:

In pratica, puoi usare una formula già pronta: se una retta è data dall'intersezione di due piani, allora il vettore è il vettore diretto di questa retta.

Esempio 10

Scrivi le equazioni canoniche della retta

Questo è un esempio fai da te. La tua risposta potrebbe essere diversa dalla mia (a seconda del punto che scegli). Se c'è una differenza, quindi per controllare, prendi un punto dalla tua equazione e sostituiscilo nella mia equazione (o viceversa).

Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.

Nella seconda parte della lezione vedremo disposizione reciproca linee nello spazio, nonché analizzare i problemi associati a linee e punti spaziali. Sono tormentato dalle vaghe aspettative che il materiale sarà decente, quindi è meglio creare una pagina web separata dopo tutto.

Benvenuto: Problemi con una retta nello spazio >>>

Soluzioni e risposte:

Esempio 4: Risposte:

Esempio 6: Soluzione: Trova il vettore di direzione della retta:

Componeremo le equazioni della retta per il punto e il vettore di direzione:

Risposta : ("y" - qualsiasi) :

Risposta :

Consideriamo una soluzione di esempio.

Esempio.

Trova le coordinate di un punto qualsiasi su una retta data nello spazio dalle equazioni di due piani che si intersecano .

Soluzione.

Riscriviamo il sistema di equazioni nella forma seguente

Come base minore della matrice principale del sistema, prendiamo il minore diverso da zero del secondo ordine , cioè z è una variabile sconosciuta libera. Trasferiamo i termini contenenti z nelle parti destre delle equazioni: .

Accettiamo , dove è un numero reale arbitrario, allora .

Risolviamo il sistema di equazioni risultante:

Quindi, la soluzione generale del sistema di equazioni ha la forma , dove .

Se prendiamo un valore specifico del parametro, otteniamo una soluzione particolare del sistema di equazioni, che ci fornisce le coordinate desiderate di un punto che giace su una determinata retta. Prendiamolo allora , quindi, è il punto desiderato della retta.

Puoi controllare le coordinate del punto trovato sostituendole nelle equazioni originali di due piani intersecanti:

Risposta:

Il vettore di direzione della linea lungo la quale i due piani si intersecano.

In un sistema di coordinate rettangolare, il vettore di direzione della retta è inseparabile da una retta. Quando la retta a in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale è data dalle equazioni di due piani intersecanti e , le coordinate del vettore direzionale della retta non sono visibili. Mostreremo ora come determinarli.

Sappiamo che una retta è perpendicolare a un piano quando è perpendicolare a qualsiasi retta di quel piano. Quindi il vettore normale del piano è perpendicolare a qualsiasi vettore diverso da zero che giace in questo piano. Useremo questi fatti per trovare il vettore di direzione della retta.

La retta a giace sia nel piano che nel piano. Pertanto, anche il vettore direzionale della retta a è perpendicolare al vettore normale piano e il vettore normale aerei. Pertanto, il vettore diretto della retta a è e :

L'insieme di tutti i vettori di direzione della retta e possiamo impostare come , dove è un parametro che accetta qualsiasi valore reale diverso da zero.

Esempio.

Trova le coordinate di qualsiasi vettore di direzione di una linea che è data nel sistema di coordinate rettangolari di Oxyz nello spazio 3D dalle equazioni di due piani che si intersecano .

Soluzione.

I vettori normali dei piani e sono i vettori e rispettivamente. Il vettore diretto della retta, che è l'intersezione di due piani dati, prenderemo il prodotto vettoriale dei vettori normali:

Risposta:

Transizione alle equazioni parametriche e canoniche di una retta nello spazio.

Ci sono casi in cui l'uso delle equazioni di due piani che si intersecano per descrivere una retta non è molto conveniente. Alcuni problemi sono più facili da risolvere se le equazioni canoniche di una retta nello spazio della forma o equazioni parametriche di una retta nello spazio della forma , dove x 1 , y 1 , z 1 sono le coordinate di un punto della linea, a x , a y , a z sono le coordinate del vettore di direzione della linea ed è un parametro che assume valori reali arbitrari. Descriviamo il processo di transizione dalle equazioni dirette della forma alle equazioni canoniche e parametriche di una retta nello spazio.

Nei paragrafi precedenti abbiamo appreso come trovare le coordinate di un certo punto su una retta, nonché le coordinate di alcuni vettori direttivi di una retta, dati dalle equazioni di due piani che si intersecano. Questi dati sono sufficienti per scrivere sia le equazioni canoniche che parametriche di questa linea in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio.

Considera la soluzione dell'esempio e dopo mostreremo un altro modo per trovare le equazioni canoniche e parametriche di una retta nello spazio.

Esempio.

Soluzione.

Calcoliamo prima le coordinate del vettore diretto della retta. Per fare ciò, troviamo il prodotto vettoriale dei vettori normali e aerei e :

Cioè, .

Ora determiniamo le coordinate di un punto della retta data. Per fare ciò, troviamo una delle soluzioni del sistema di equazioni .

Determinante è diverso da zero, lo prendiamo come base minore della matrice principale del sistema. Quindi la variabile z è libera, trasferiamo i termini con essa sul lato destro delle equazioni e diamo alla variabile z un valore arbitrario:

Risolviamo il sistema di equazioni risultante con il metodo Cramer:

Di conseguenza,

Accettiamo, mentre otteniamo le coordinate del punto della retta: .

Ora possiamo scrivere le equazioni canoniche e parametriche richieste della retta originale nello spazio:

Risposta:

e

Ecco il secondo modo per risolvere questo problema.

Quando troviamo le coordinate di un certo punto su una retta, risolviamo il sistema di equazioni . In generale, le sue soluzioni possono essere scritte come .

E queste sono solo le equazioni parametriche desiderate di una retta nello spazio. Se ciascuna delle equazioni ottenute viene risolta rispetto al parametro e quindi si uguagliano i membri di destra delle uguaglianze, si ottengono le equazioni canoniche della retta nello spazio

Mostriamo la soluzione del problema precedente con questo metodo.

Esempio.

Una retta nello spazio tridimensionale è data dalle equazioni di due piani che si intersecano . Scrivi le equazioni canoniche e parametriche di questa retta.

Soluzione.

Noi decidiamo questo sistema da due equazioni con tre incognite (la soluzione è data nell'esempio precedente, non ci ripeteremo). Allo stesso tempo, otteniamo . Queste sono le equazioni parametriche desiderate di una retta nello spazio.

Resta da ottenere le equazioni canoniche di una retta nello spazio:

Le equazioni risultanti della retta differiscono esternamente dalle equazioni ottenute nell'esempio precedente, ma sono equivalenti, poiché definiscono lo stesso insieme di punti nello spazio tridimensionale (e quindi la stessa retta).

Risposta:

e

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky SM matematica superiore. Volume uno: Elementi di algebra lineare e geometria analitica.
• Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.