L'equazione canonica di un'ellisse ha la forma

dove a è il semiasse maggiore; b - semiasse minore. Si chiamano i punti F1(c,0) e F2(-c,0) − c

a, b - semiassi dell'ellisse.

Trovare fuochi, eccentricità, direttrice di un'ellisse se la sua equazione canonica è nota.

Definizione di iperbole. Focolai di iperbole.

Definizione. Un'iperbole è un insieme di punti in un piano per il quale il modulo della differenza di distanze da due punti dati, detti fuochi, è un valore costante, minore della distanza tra i fuochi.

Per definizione, |r1 – r2|= 2a. F1, F2 sono i fuochi dell'iperbole. F1F2 = 2c.

L'equazione canonica di un'iperbole. Semiassi di un'iperbole. Costruzione di un'iperbole se si conosce la sua equazione canonica.

Equazione canonica:

Il semiasse maggiore dell'iperbole è la metà della distanza minima tra i due rami dell'iperbole, sui lati positivo e negativo dell'asse (sinistra e destra rispetto all'origine). Per un ramo posto sul lato positivo, il semiasse sarà uguale a:

Se lo esprimiamo in termini di sezione conica ed eccentricità, l'espressione assumerà la forma:

Trovare fuochi, eccentricità, direttrice di un'iperbole se si conosce la sua equazione canonica.

Eccentricità di un'iperbole

Definizione. Il rapporto è chiamato eccentricità dell'iperbole, dove c -

metà della distanza tra i fuochi, ed è il semiasse reale.

Tenendo conto del fatto che c2 - a2 = b2:

Se a \u003d b, e \u003d, l'iperbole è chiamata equilatero (equilatero).

Direttive di iperbole

Definizione. Due rette perpendicolari all'asse reale dell'iperbole e disposte simmetricamente rispetto al centro ad una distanza a/e da esso sono dette direttrici dell'iperbole. Le loro equazioni sono:

Teorema. Se r è la distanza da un punto arbitrario M dell'iperbole a un fuoco, d è la distanza dallo stesso punto alla direttrice corrispondente a questo fuoco, allora il rapporto r/d è un valore costante uguale all'eccentricità.

Definizione di parabola. Fuoco e direttrice di una parabola.

Parabola. Una parabola è il luogo dei punti, ciascuno dei quali è ugualmente distante da un dato punto fisso e da una data retta. Il punto a cui si fa riferimento nella definizione è chiamato fuoco della parabola e la retta è chiamata sua direttrice.

L'equazione canonica di una parabola. parametro parabola. Costruzione di una parabola.

L'equazione canonica di una parabola in un sistema di coordinate rettangolare è: (o se gli assi sono invertiti).

La costruzione di una parabola per un dato valore del parametro p viene eseguita nella seguente sequenza:

Disegnare l'asse di simmetria della parabola e adagiarvi sopra il segmento KF=p;

La direttrice DD1 è disegnata per il punto K perpendicolare all'asse di simmetria;

Il segmento KF viene diviso a metà per ottenere il vertice 0 della parabola;

Un certo numero di punti arbitrari 1, 2, 3, 5, 6 vengono misurati dall'alto con una distanza gradualmente crescente tra loro;

Attraverso questi punti si tracciano linee ausiliarie perpendicolari all'asse della parabola;

Sulle rette ausiliarie, i grazie sono realizzati con un raggio uguale alla distanza dalla retta alla direttrice;

I punti risultanti sono collegati da una curva liscia.

punti F 1 (–C, 0) e F 2 (C, 0), dove vengono chiamati trucchi con l'ellisse , mentre il valore 2 C definisce distanza interfocale .

punti MA 1 (–ma, 0), MA 2 (ma, 0), IN 1 (0, –B), B 2 (0, B) sono chiamati i vertici dell'ellisse (Fig. 9.2), mentre MA 1 MA 2 = 2ma costituisce l'asse maggiore dell'ellisse, e IN 1 IN 2 - piccolo, - il centro dell'ellisse.

I parametri principali dell'ellisse, che ne caratterizzano la forma:

ε = da/un – eccentricità dell'ellisse ;

– raggi focali dell'ellisse (punto m appartiene all'ellisse), e R 1 = un + εx, R 2 = un – εx;

– direttrice dell'ellisse .

È vero per un'ellisse: le direttrici non attraversano il confine e l'interno dell'ellisse e hanno anche la proprietà

L'eccentricità di un'ellisse esprime la sua misura di "compressione".

Se B > un> 0, allora l'ellisse è data dall'equazione (9.7), per la quale, invece della condizione (9.8), la condizione

Poi 2 ma- asse minore, 2 B- asse maggiore, - prese (Fig. 9.3). in cui R 1 + R 2 = 2B,
ε = C/B, le direttrici sono determinate dalle equazioni:

Alla condizione abbiamo (nella forma di un caso speciale di un'ellisse) un cerchio di raggio R = un. in cui da= 0, il che significa ε = 0.

I punti dell'ellisse hanno proprietà caratteristica : la somma delle distanze da ciascuno di essi ai fuochi è un valore costante pari a 2 ma(Fig. 9.2).

Per definizione parametrica di un'ellisse (formula (9.7)) nei casi in cui sono soddisfatte le condizioni (9.8) e (9.9), come parametro T si può prendere il valore dell'angolo tra il vettore raggio di un punto giacente sull'ellisse e la direzione positiva dell'asse Bue:

Se il centro dell'ellisse con i semiassi è in un punto, la sua equazione è:

Esempio 1 Dare l'equazione di un'ellisse X 2 + 4y 2 = 16 alla forma canonica e determinarne i parametri. Disegna un'ellisse.

Soluzione. Dividi l'equazione X 2 + 4y 2 \u003d 16 per 16, dopo di che otteniamo:

Con la forma dell'equazione risultante, concludiamo che questa è l'equazione canonica di un'ellisse (formula (9.7)), dove ma= 4 - asse maggiore, B= 2 – semiasse minore. Quindi i vertici dell'ellisse sono i punti UN 1 (–4, 0), UN 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Poiché è la metà della distanza interfocale, i punti sono i fuochi dell'ellisse. Calcoliamo l'eccentricità:

Direttrici D 1 , D 2 sono descritti dalle equazioni:

Rappresentiamo un'ellisse (Fig. 9.4).

Esempio 2 Definire i parametri dell'ellisse

Soluzione. Confrontiamo data equazione con l'equazione canonica di un'ellisse con centro spostato. Trovare il centro dell'ellisse DA: semiasse maggiore, semiasse minore, rettilineo - assi principali. Metà della lunghezza interfocale, il che significa che i fuochi sono l'eccentricità della Direttrice D 1 e D 2 può essere descritto usando equazioni: (Fig. 9.5).

Esempio 3 Determina quale curva è data dall'equazione, disegnala:

1) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0; 2) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 6 = 0;

3) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0; 4) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 17 = 0;

Soluzione. 1) Portiamo l'equazione alla forma canonica selezionando il quadrato pieno del binomio:

X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0;

(X 2 + 4X) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(X 2 + 4X + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Pertanto, l'equazione può essere ridotta alla forma

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Questa è l'equazione di una circonferenza con centro in (–2, 1) e raggio R= 1 (Fig. 9.6).

2) Selezioniamo i quadrati interi dei binomi sul lato sinistro dell'equazione e otteniamo:

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Questa equazione non ha senso sul set numeri reali, poiché il lato sinistro non è negativo per eventuali valori reali delle variabili X e y, mentre quello di destra è negativo. Pertanto, dicono che questa equazione è un "cerchio immaginario" o definisce un insieme vuoto di punti nel piano.

3) Seleziona quadrati interi:

X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0;

(X 2 – 2X + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Quindi l'equazione è simile a:

L'equazione risultante, e quindi quella originale, definisce un'ellisse. Il centro dell'ellisse è nel punto DI 1 (1, –2), gli assi principali sono dati dalle equazioni y = –2, X= 1 e il semiasse maggiore ma= 4, semiasse minore B= 2 (Fig. 9.7).

4) Dopo aver selezionato i quadrati pieni, abbiamo:

(X – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 o ( X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

L'equazione risultante definisce un singolo punto del piano con coordinate (1, -2).

5) Portiamo l'equazione alla forma canonica:

Ovviamente definisce un'ellisse, il cui centro è nel punto in cui gli assi principali sono dati dalle equazioni dove il semiasse maggiore è il semiasse minore (Fig. 9.8).

Esempio 4 Scrivi l'equazione di una tangente a una circonferenza di raggio 2 centrata nel fuoco destro dell'ellisse X 2 + 4y 2 = 4 nel punto di intersezione con l'asse y.

Soluzione. Riduciamo l'equazione dell'ellisse alla forma canonica (9.7):

Quindi, il fuoco giusto - Pertanto, l'equazione desiderata di un cerchio di raggio 2 ha la forma (Fig. 9.9):

Il cerchio interseca l'asse y in punti le cui coordinate sono determinate dal sistema di equazioni:

Noi abbiamo:

Che siano punti n(0; -1) e m(0; 1). Quindi, è possibile costruire due tangenti, denotarle T 1 e T 2. Per una proprietà ben nota, la tangente è perpendicolare al raggio tracciato al punto di contatto.

Sia Allora l'equazione della tangente T 1 assumerà la forma:

Quindi neanche T 1: È equivalente all'equazione

Definizione 7.1. Si chiama l'insieme di tutti i punti del piano per i quali la somma delle distanze di due punti fissi F 1 e F 2 è una data costante ellisse.

La definizione di un'ellisse dà il modo seguente costruzione geometrica. Fissiamo due punti F 1 e F 2 sul piano e indichiamo un valore costante non negativo con 2a. Sia la distanza tra i punti F 1 e F 2 uguale a 2c. Immagina che un filo inestensibile di lunghezza 2a sia fissato ai punti F 1 e F 2, ad esempio, con l'aiuto di due aghi. È chiaro che ciò è possibile solo per a ≥ c. Tirando il filo con una matita, traccia una linea, che sarà un'ellisse (Fig. 7.1).

Quindi, l'insieme descritto non è vuoto se a ≥ c. Quando a = c, l'ellisse è un segmento con estremità F 1 e F 2, e quando c = 0, cioè se i punti fissi specificati nella definizione di ellisse coincidono, è una circonferenza di raggio a. Scartando questi casi degeneri, assumiamo inoltre, di regola, che a > c > 0.

I punti fissi F 1 e F 2 nella definizione 7.1 dell'ellisse (vedi Fig. 7.1) sono chiamati trucchi con l'ellisse, la distanza tra loro, indicata con 2c, - lunghezza focale, e i segmenti F 1 M e F 2 M, che collegano un punto arbitrario M sull'ellisse con i suoi fuochi, - raggi focali.

La forma dell'ellisse è completamente determinata dalla lunghezza focale |F 1 F 2 | = 2ñ e parametro a, e la sua posizione sul piano - da una coppia di punti F 1 e F 2 .

Dalla definizione di ellisse deriva che essa è simmetrica rispetto ad una retta passante per i fuochi F 1 e F 2, nonché ad una retta che divide a metà il segmento F 1 F 2 ed è ad esso perpendicolare (Fig. 7.2, a). Queste linee sono chiamate assi dell'ellisse. Il punto O della loro intersezione è il centro di simmetria dell'ellisse, ed è chiamato il centro dell'ellisse, e i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi di simmetria (punti A, B, C e D in Fig. 7.2, a) - i vertici dell'ellisse.

Viene chiamato il numero a semiasse maggiore di un'ellisse, e b = √ (a 2 - c 2) - suo semiasse minore. È facile vedere che per c > 0, il semiasse maggiore a è uguale alla distanza dal centro dell'ellisse a quelli dei suoi vertici che sono sullo stesso asse dei fuochi dell'ellisse (vertici A e B in Fig 7.2, a), e il semiasse minore b è uguale alla distanza dall'ellisse centrale ai suoi altri due vertici (vertici C e D in Fig. 7.2, a).

Equazione dell'ellisse. Si consideri un'ellisse sul piano con fuochi nei punti F 1 e F 2 , asse maggiore 2a. Sia 2c la lunghezza focale, 2c = |F 1 F 2 |

Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare Oxy sul piano in modo che la sua origine coincida con il centro dell'ellisse e i fuochi siano su ascissa(Fig. 7.2, b). Questo sistema di coordinate viene chiamato canonico per l'ellisse in esame, e le variabili corrispondenti sono canonico.

Nel sistema di coordinate selezionato, i fuochi hanno coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando la formula per la distanza tra i punti, scriviamo la condizione |F 1 M| + |F 2 M| = 2a in coordinate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Questa equazione è scomoda perché contiene due radicali quadrati. Allora trasformiamolo. Trasferiamo il secondo radicale nell'equazione (7.2) sul lato destro e lo al quadrato:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Dopo aver aperto le parentesi e aver ridotto i termini simili, otteniamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

dove ε = c/a. Ripetiamo l'operazione di quadratura per rimuovere anche il secondo radicale: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, oppure, dato il valore del parametro inserito ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / un 2 + y 2 = un 2 - c 2 . Poiché a 2 - c 2 = b 2 > 0, allora

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

L'equazione (7.4) è soddisfatta dalle coordinate di tutti i punti che giacciono sull'ellisse. Ma per derivare questa equazione, sono state utilizzate trasformazioni non equivalenti dell'equazione originale (7.2): due quadrature che rimuovono i radicali quadrati. La quadratura di un'equazione è una trasformazione equivalente se entrambi i lati contengono quantità con lo stesso segno, ma non l'abbiamo verificato nelle nostre trasformazioni.

Potremmo non verificare l'equivalenza delle trasformazioni se consideriamo quanto segue. Una coppia di punti F 1 e F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, sul piano definisce una famiglia di ellissi con fuochi in questi punti. Ciascun punto del piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2 , appartiene a qualche ellisse della famiglia indicata. In questo caso, non si intersecano due ellissi, poiché la somma dei raggi focali determina in modo univoco un'ellisse specifica. Quindi, la famiglia di ellissi senza intersezioni descritta copre l'intero piano, ad eccezione dei punti del segmento F 1 F 2 . Si consideri un insieme di punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (7.4) con un dato valore del parametro a. Questo set può essere distribuito tra più ellissi? Alcuni dei punti dell'insieme appartengono ad un'ellisse con un semiasse maggiore a. Sia un punto in questo insieme che giace su un'ellisse di semiasse maggiore a. Quindi le coordinate di questo punto obbediscono all'equazione

quelli. le equazioni (7.4) e (7.5) hanno soluzioni comuni. Tuttavia, è facile verificare che il sistema

per ã ≠ a non ha soluzioni. Per fare ciò, è sufficiente escludere, ad esempio, x dalla prima equazione:

che dopo le trasformazioni porta all'equazione

non avendo soluzioni per ã ≠ a, perché . Quindi, (7.4) è l'equazione di un'ellisse con il semiasse maggiore a > 0 e il semiasse minore b = √ (a 2 - c 2) > 0. Si chiama l'equazione canonica dell'ellisse.

Vista ellisse. Il metodo geometrico di costruzione di un'ellisse sopra considerato dà un'idea sufficiente di aspetto esteriore ellisse. Ma la forma di un'ellisse può anche essere studiata con l'aiuto della sua equazione canonica (7.4). Ad esempio, considerando y ≥ 0, puoi esprimere y in termini di x: y = b√(1 - x 2 /a 2), e, dopo aver esaminato questa funzione, costruirne il grafico. C'è un altro modo per costruire un'ellisse. Un cerchio di raggio a centrato all'origine del sistema di coordinate canonico dell'ellisse (7.4) è descritto dall'equazione x 2 + y 2 = a 2 . Se è compresso con il coefficiente a/b > 1 lungo asse y, quindi ottieni una curva che è descritta dall'equazione x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ovvero un'ellisse.

Osservazione 7.1. Se lo stesso cerchio viene compresso con il coefficiente a/b

Eccentricità dell'ellisse. Viene chiamato il rapporto tra la lunghezza focale di un'ellisse e il suo asse maggiore eccentricità dell'ellisse e indicato con ε. Per un'ellisse data

equazione canonica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Se in (7.4) i parametri aeb sono legati dalla disuguaglianza a

Per c = 0, quando l'ellisse si trasforma in un cerchio, e ε = 0. In altri casi, 0

L'equazione (7.3) è equivalente all'equazione (7.4) perché le equazioni (7.4) e (7.2) sono equivalenti. Pertanto, anche la (7.3) è un'equazione di ellisse. Inoltre, la relazione (7.3) è interessante in quanto fornisce una semplice formula senza radicali per la lunghezza |F 2 M| uno dei raggi focali del punto M(x; y) dell'ellisse: |F 2 M| = a + εx.

Una formula simile per il secondo raggio focale può essere ottenuta da considerazioni di simmetria o ripetendo calcoli in cui, prima di quadrare l'equazione (7.2), il primo radicale viene trasferito a destra, e non il secondo. Quindi, per ogni punto M(x; y) dell'ellisse (vedi Fig. 7.2)

|V 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

e ciascuna di queste equazioni è un'equazione di ellisse.

Esempio 7.1. Troviamo l'equazione canonica di un'ellisse con semiasse maggiore 5 ed eccentricità 0.8 e costruiamola.

Conoscendo il semiasse maggiore dell'ellisse a = 5 e l'eccentricità ε = 0,8, troviamo il suo semiasse minore b. Poiché b \u003d √ (a 2 - c 2) e c \u003d εa \u003d 4, allora b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Quindi l'equazione canonica ha la forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Per costruire un'ellisse, è conveniente disegnare un rettangolo centrato all'origine del sistema di coordinate canonico, i cui lati sono paralleli agli assi di simmetria dell'ellisse e uguali al suo assi corrispondenti (Fig. 7.4). Questo rettangolo si interseca con

gli assi dell'ellisse ai suoi vertici A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e l'ellisse stessa è inscritta in essa. Sulla fig. 7.4 mostra anche i fuochi F 1.2 (±4; 0) dell'ellisse.

Proprietà geometriche di un'ellisse. Riscriviamo la prima equazione della (7.6) come |F 1 M| = (à/ε - x)ε. Si noti che il valore di a / ε - x per a > c è positivo, poiché il fuoco F 1 non appartiene all'ellisse. Questo valore è la distanza dalla retta verticale d: x = a/ε dal punto M(x; y) a sinistra di questa retta. L'equazione dell'ellisse può essere scritta come

|F 1 M|/(à/ε - x) = ε

Significa che tale ellisse è costituita da quei punti M (x; y) del piano per i quali il rapporto tra la lunghezza del raggio focale F 1 M e la distanza dalla retta d è un valore costante pari a ε (Fig. 7.5).

La linea d ha un "doppio" - una linea verticale d", simmetrica rispetto a d rispetto al centro dell'ellisse, che è data dall'equazione x \u003d -a / ε. Rispetto a d", l'ellisse è descritto allo stesso modo del d. Vengono chiamate entrambe le linee d e d". direttrici di ellisse. Le direttrici dell'ellisse sono perpendicolari all'asse di simmetria dell'ellisse, su cui si trovano i suoi fuochi, e sono separate dal centro dell'ellisse da una distanza a / ε \u003d a 2 / c (vedi Fig. 7.5) .

Viene chiamata la distanza p dalla direttrice al fuoco più vicino ad essa parametro focale dell'ellisse. Questo parametro è uguale a

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

L'ellisse ha un altro importante proprietà geometrica: i raggi focali F 1 M e F 2 M formano angoli uguali con la tangente all'ellisse nel punto M (Fig. 7.6).

Questa proprietà ha un chiaro significato fisico. Se una sorgente luminosa è posta al fuoco F 1, il raggio che emerge da questo fuoco, dopo la riflessione dall'ellisse, andrà lungo il secondo raggio focale, poiché dopo la riflessione sarà allo stesso angolo della curva come prima della riflessione . Pertanto, tutti i raggi che escono dal fuoco F 1 saranno concentrati nel secondo fuoco F 2 e viceversa. Sulla base di questa interpretazione, questa proprietà è chiamata proprietà ottica di un'ellisse.

Ellisse

Ellisse. Si concentra. Equazione dell'ellisse. Lunghezza focale.

Assi maggiore e minore dell'ellisse. Eccentricità. L'equazione

tangente all'ellisse. La condizione di tangenza tra una linea e un'ellisse.

Ellisse (Fig. 1 ) è il luogo dei punti, la somma delle distanze da cui due punti dati F 1 e F 2 chiamato trucchi l'ellisse è un valore costante.

Equazione dell'ellisse (Fig. 1) :

Qui origineè il centro di simmetria dell'ellisse, ma gli assi delle coordinate sono i suoi assi di simmetria. Inun > Bi fuochi dell'ellisse giacciono sull'asse OH (Fig. 1), a un< B i fuochi dell'ellisse giacciono sull'asse DI Y, e quando un= Bl'ellisse diventa cerchio(i fuochi dell'ellisse in questo caso coincidono con il centro del cerchio). In questo modo, un cerchio è un caso speciale di un'ellisse .

Sezione F 1 F 2 = 2 da, dove , è chiamato lunghezza focale . SezioneAB = 2 unchiamata asse maggiore dell'ellisse , e il segmento cd = 2 B – asse minore ellisse . Numeroe = C / un , e < 1 называется eccentricità ellisse .

Lascia stare R(X 1 , a 1 ) è il punto dell'ellisse, quinditangente all'equazione dell'ellisse in