Questo articolo è dedicato allo studio dell'argomento " Numeri razionali". Le seguenti sono definizioni di numeri razionali, vengono forniti esempi e come determinare se un numero è razionale o meno.

Numeri razionali. Definizioni

Prima di dare una definizione di numeri razionali, ricordiamo cosa sono gli altri insiemi di numeri e come sono correlati tra loro.

I numeri naturali, insieme ai loro opposti e al numero zero, formano un insieme di interi. A sua volta, l'insieme dei numeri interi frazionari costituisce l'insieme dei numeri razionali.

Definizione 1. Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione comune positiva a b , una frazione comune negativa a b o il numero zero.

Quindi, possiamo lasciare un certo numero di proprietà dei numeri razionali:

1. Qualunque numero naturaleè un numero razionale. Ovviamente ogni numero naturale n può essere rappresentato come una frazione 1 n .
2. Qualsiasi numero intero, incluso il numero 0 , è un numero razionale. In effetti, qualsiasi intero positivo e intero negativo può essere facilmente rappresentato rispettivamente come una frazione ordinaria positiva o negativa. Ad esempio, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Qualsiasi frazione comune positiva o negativa a b è un numero razionale. Ciò deriva direttamente dalla definizione di cui sopra.
4. Qualsiasi numero misto è razionale. Infatti, dopo tutto, un numero misto può essere rappresentato come una frazione impropria ordinaria.
5. Qualsiasi frazione decimale finita o periodica può essere rappresentata come frazione comune. Pertanto, ogni periodico o finito decimaleè un numero razionale.
6. I decimali infiniti e non ricorrenti non sono numeri razionali. Non possono essere rappresentati sotto forma di frazioni ordinarie.

Diamo esempi di numeri razionali. I numeri 5 , 105 , 358 , 1100055 sono naturali, positivi e interi. Dopotutto, questi sono numeri razionali. I numeri - 2 , - 358 , - 936 sono numeri interi negativi e sono anche razionali per definizione. Anche le frazioni comuni 3 5 , 8 7 , - 35 8 sono esempi di numeri razionali.

La definizione di numeri razionali di cui sopra può essere formulata in modo più conciso. Rispondiamo di nuovo alla domanda, cos'è un numero razionale.

Definizione 2. Numeri razionali

I numeri razionali sono quei numeri che possono essere rappresentati come una frazione ± z n, dove z è un intero, n è un numero naturale.

Si può dimostrare che questa definizioneè equivalente alla precedente definizione di numeri razionali. Per fare ciò, ricorda che la barra di una frazione è la stessa del segno di divisione. Tenendo conto delle regole e delle proprietà della divisione degli interi, possiamo scrivere le seguenti discrete disuguaglianze:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Quindi si può scrivere:

z n = z n , p p e z > 0 0 , p p e z = 0 - z n , p p e z< 0

In realtà, questo record ne è una prova. Diamo esempi di numeri razionali basati sulla seconda definizione. Considera i numeri - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 e - 1 3 5 . Tutti questi numeri sono razionali, poiché possono essere scritti come una frazione con un numeratore intero e un denominatore naturale: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Presentiamo un'altra forma equivalente della definizione dei numeri razionali.

Definizione 3. Numeri razionali

Un numero razionale è un numero che può essere scritto come frazione decimale periodica finita o infinita.

Questa definizione deriva direttamente dalla prima definizione di questo paragrafo.

Per riassumere e formulare un riassunto su questo punto:

1. I numeri interi e frazionari positivi e negativi costituiscono l'insieme dei numeri razionali.
2. Ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione, il cui numeratore è un intero e il denominatore un numero naturale.
3. Ogni numero razionale può anche essere rappresentato come una frazione decimale: periodica finita o infinita.

Quale numero è razionale?

Come abbiamo già scoperto, qualsiasi numero naturale, intero, frazione ordinaria regolare e impropria, frazione periodica e decimale finale sono numeri razionali. Grazie a questa conoscenza, puoi facilmente determinare se un numero è razionale.

Tuttavia, in pratica, spesso si ha a che fare non con numeri, ma con espressioni numeriche che contengono radici, potenze e logaritmi. In alcuni casi, la risposta alla domanda "Un numero è razionale?" è tutt'altro che ovvio. Diamo un'occhiata a come rispondere a questa domanda.

Se un numero è dato come un'espressione contenente solo numeri razionali e operazioni aritmetiche tra di loro, allora il risultato dell'espressione è un numero razionale.

Ad esempio, il valore dell'espressione 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) è un numero razionale ed è uguale a 18 .

Pertanto, la semplificazione di un'espressione numerica complessa consente di determinare se il numero fornito da essa è razionale.

Ora affrontiamo il segno della radice.

Risulta che il numero m n dato come radice del grado n del numero m è razionale solo quando m è l'n-esima potenza di un numero naturale.

Diamo un'occhiata a un esempio. Il numero 2 non è razionale. Mentre 9, 81 sono numeri razionali. 9 e 81 sono i quadrati perfetti rispettivamente dei numeri 3 e 9. I numeri 199 , 28 , 15 1 non sono numeri razionali, poiché i numeri sotto il segno della radice non sono quadrati perfetti di alcun numero naturale.

Ora prendiamone di più caso difficile. Il numero 243 5 è razionale? Se aumenti 3 alla quinta potenza, ottieni 243 , quindi l'espressione originale può essere riscritta in questo modo: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Di conseguenza, dato numero razionalmente. Ora prendiamo il numero 121 5 . Questo numero non è razionale, poiché non esiste un numero naturale la cui elevazione alla quinta potenza darà 121.

Per scoprire se il logaritmo di un numero a in base b è un numero razionale, è necessario applicare il metodo della contraddizione. Per esempio, scopriamo se il log numerico 2 5 è razionale. Assumiamo che questo numero sia razionale. In tal caso, può essere scritto come una frazione ordinaria log 2 5 \u003d m n In base alle proprietà del logaritmo e alle proprietà del grado, sono vere le seguenti uguaglianze:

5 = 2 ceppo 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Ovviamente, l'ultima uguaglianza è impossibile, poiché i lati sinistro e destro contengono rispettivamente numeri pari e dispari. Pertanto, l'ipotesi fatta è sbagliata e il log numerico 2 5 non è un numero razionale.

Vale la pena notare che quando si determina la razionalità e l'irrazionalità dei numeri, non si dovrebbero prendere decisioni improvvise. Ad esempio, il risultato di un prodotto di numeri irrazionali non è sempre un numero irrazionale. Un esempio illustrativo: 2 · 2 = 2 .

Ci sono anche numeri irrazionali, la cui elevazione a potenza irrazionale dà un numero razionale. In una potenza della forma 2 log 2 3, la base e l'esponente sono numeri irrazionali. Tuttavia, il numero stesso è razionale: 2 log 2 3 = 3 .

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La definizione di numeri naturali sono numeri interi numeri positivi. I numeri naturali sono usati per contare gli oggetti e per molti altri scopi. Ecco i numeri:

Questa è una serie naturale di numeri.
Zero è un numero naturale? No, zero non è un numero naturale.
Quanti numeri naturali ci sono? Esiste un insieme infinito di numeri naturali.
Qual è il numero naturale più piccolo? Uno è il numero naturale più piccolo.
Qual è il numero naturale più grande? Non può essere specificato, perché esiste un insieme infinito di numeri naturali.

La somma dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, l'addizione dei numeri naturali aeb:

Il prodotto dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, il prodotto dei numeri naturali aeb:

c è sempre un numero naturale.

Differenza di numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se il minuendo è maggiore del sottraendo, allora la differenza dei numeri naturali è un numero naturale, altrimenti non lo è.

Il quoziente dei numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se per i numeri naturali aeb

dove c è un numero naturale, significa che a è equamente divisibile per b. In questo esempio, a è il dividendo, b è il divisore, c è il quoziente.

Il divisore di un numero naturale è il numero naturale per il quale il primo numero è equamente divisibile.

Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.

I numeri naturali semplici sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Qui intendiamo divisi completamente. Esempio, numeri 2; 3; 5; 7 è divisibile solo per 1 e per se stesso. Questi sono semplici numeri naturali.

Uno non è considerato un numero primo.

I numeri che sono maggiori di uno e che non sono primi sono detti numeri composti. Esempi di numeri composti:

Uno non è considerato un numero composto.

L'insieme dei numeri naturali è uno, numeri primi e numeri composti.

L'insieme dei numeri naturali è indicato dalla lettera latina N.

Proprietà di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali:

proprietà commutativa dell'addizione

proprietà associativa di addizione

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietà commutativa della moltiplicazione

proprietà associativa della moltiplicazione

(ab)c = a(bc);

proprietà distributiva della moltiplicazione

un (b + c) = ab + ac;

Numeri interi

Gli interi sono numeri naturali, zero e l'opposto dei numeri naturali.

I numeri opposti ai numeri naturali sono numeri interi negativi, ad esempio:

1; -2; -3; -4;…

L'insieme degli interi è indicato dalla lettera latina Z.

Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri interi e frazioni.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica. Esempi:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Si può vedere dagli esempi che ogni intero è una frazione periodica con un periodo pari a zero.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione m/n, dove m intero, n numero naturale. Rappresentiamo il numero 3,(6) dell'esempio precedente come una tale frazione:

Un altro esempio: il numero razionale 9 può essere rappresentato come una frazione semplice come 18/2 o come 36/4.

Un altro esempio: il numero razionale -9 può essere rappresentato come una frazione semplice come -18/2 o come -72/8.

Il concetto di numero reale: numero reale- (numero reale), qualsiasi numero non negativo o negativo o zero. Con l'aiuto di numeri reali esprimi le misure di ciascuno quantità fisica.

vero, o numero reale nasce dalla necessità di misurare il geometrico e quantità fisiche pace. Inoltre, per eseguire operazioni di estrazione della radice, calcolo del logaritmo, risoluzione equazioni algebriche eccetera.

Interi formati con lo sviluppo del conteggio, e razionali con la necessità di gestire parti del tutto, quindi i numeri reali (reali) vengono utilizzati per le misurazioni quantità continue. Pertanto, l'espansione dello stock di numeri considerati ha portato all'insieme dei numeri reali, che, oltre ai numeri razionali, è costituito da altri elementi chiamati numeri irrazionali.

L'insieme dei numeri reali(indicato R) sono gli insiemi di numeri razionali e irrazionali messi insieme.

Numeri reali dividi perrazionale e irrazionale.

L'insieme dei numeri reali è indicato e spesso chiamato vero o linea numerica. I numeri reali sono costituiti da oggetti semplici: totale e numeri razionali.

Un numero che può essere scritto come rapporto, dovemè un numero intero, e nè un numero naturalenumero razionale.

Qualsiasi numero razionale può essere facilmente rappresentato come frazione finale o una frazione decimale periodica infinita.

Esempio,

Decimale infinito, è una frazione decimale che ha un numero infinito di cifre dopo la virgola.

Numeri che non possono essere rappresentati così come sono numeri irrazionali.

Esempio:

Qualsiasi numero irrazionale è facile da rappresentare come una frazione decimale non periodica infinita.

Esempio,

I numeri razionali e irrazionali creano insieme di numeri reali. Tutti i numeri reali corrispondono a un punto sulla linea delle coordinate, che viene chiamata linea numerica.

Per gli insiemi numerici, viene utilizzata la seguente notazione:

• N- insieme di numeri naturali;
• Z- insieme di numeri interi;
• Q- insieme di numeri razionali;
• Rè l'insieme dei numeri reali.

Teoria delle infinite frazioni decimali.

Un numero reale è definito come decimale infinito, cioè.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

dove ± è uno dei simboli + o −, il segno di un numero,

a 0 è un numero intero positivo,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… è una sequenza di cifre decimali, cioè elementi numero impostato {0,1,…9}.

Una frazione decimale infinita può essere spiegata come un numero che si trova sulla linea dei numeri tra punti razionali come:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n e ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) per tutti n=0,1,2,…

Il confronto dei numeri reali come infinite frazioni decimali avviene bit per bit. Per esempio, supponiamo che siano dati 2 numeri positivi:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Se una uno 0 0, poi α<β ; Se a0 > b0 poi α>β . quando a 0 = b 0 Passiamo al confronto di livello successivo. Eccetera. quando α≠β , quindi dopo un numero finito di passaggi verrà incontrata la prima cifra n, tale che un n ≠ b n. Se una un n n, poi α<β ; Se a n > b n poi α>β .

Ma allo stesso tempo, è noioso prestare attenzione al fatto che il numero a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Pertanto, se il record di uno dei numeri confrontati, a partire da una certa cifra, è una frazione decimale periodica, che ha 9 nel periodo, allora deve essere sostituito con un record equivalente, con zero nel periodo.

Le operazioni aritmetiche con infinite frazioni decimali sono una continuazione continua delle corrispondenti operazioni con numeri razionali. Per esempio, la somma dei numeri reali α e β è un numero reale α+β , che soddisfa le seguenti condizioni:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ un'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Allo stesso modo definisce l'operazione moltiplicazione decimali infiniti.

Questo articolo contiene informazioni di base su numeri reali. In primo luogo, viene data la definizione di numeri reali e vengono forniti degli esempi. Di seguito viene mostrata la posizione dei numeri reali sulla linea delle coordinate. E in conclusione, viene analizzato come vengono dati i numeri reali sotto forma di espressioni numeriche.

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Definizione ed esempi di numeri reali

Numeri reali come espressioni

Dalla definizione di numeri reali, è chiaro che i numeri reali sono:

• qualsiasi numero naturale;
• qualsiasi numero intero;
• qualsiasi frazione ordinaria (sia positiva che negativa);
• qualsiasi numero misto;
• qualsiasi frazione decimale (positiva, negativa, finita, infinita periodica, infinita non periodica).

Ma molto spesso i numeri reali possono essere visti nella forma, ecc. Inoltre, anche la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente dei numeri reali sono numeri reali (vedi operazioni con numeri reali). Ad esempio, questi sono numeri reali.

E se andiamo oltre, dai numeri reali con l'aiuto di segni aritmetici, segni di radice, gradi, logaritmici, funzioni trigonometriche eccetera. puoi comporre tutti i tipi di espressioni numeriche, i cui valori saranno anche numeri reali. Ad esempio, i valori di espressione e sono numeri reali

In conclusione di questo articolo, notiamo che il passaggio successivo nell'espansione del concetto di numero è il passaggio dai numeri reali a numeri complessi.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. ecc. Matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB Algebra: libro di testo per 8 celle. istituzioni educative.
• Gusev VA, Mordkovich AG Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).

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