Teorema.

Ci sono infiniti numeri primi.

Prova.

Supponiamo che non lo sia. Cioè, supponiamo che ci siano solo n primi, e che questi primi siano p 1 , p 2 , …, p n . Dimostriamo che possiamo sempre trovare un numero primo diverso da quelli indicati.

Si consideri un numero p uguale a p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . È chiaro che questo numero è diverso da ciascuno dei primi p 1 , p 2 , …, p n . Se il numero p è primo, allora il teorema è dimostrato. Se questo numero è composto, allora, in virtù del teorema precedente, esiste un divisore primo di questo numero (indichiamolo p n+1 ). Dimostriamo che questo divisore non coincide con nessuno dei numeri p 1 , p 2 , …, p n .

Se così non fosse, allora per le proprietà di divisibilità il prodotto p 1 ·p 2 ·…·p n sarebbe divisibile per p n+1 . Ma il numero p è anche divisibile per p n+1, uguale alla somma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Ciò implica che il secondo termine di questa somma, che è uguale a uno, deve essere divisibile per p n+1, e ciò è impossibile.

Pertanto, è dimostrato che si può sempre trovare un nuovo numero primo, che non è contenuto in nessun numero di numeri primi dato in anticipo. Pertanto, ci sono infiniti numeri primi.

Quindi, a causa del fatto che ci sono infiniti numeri primi, quando si compilano tabelle di numeri primi, si limitano sempre dall'alto a un numero, di solito 100, 1.000, 10.000, ecc.

Setaccio di Eratostene

Ora discuteremo i modi per compilare tabelle di numeri primi. Supponiamo di dover fare una tabella di numeri primi fino a 100 .

Il metodo più ovvio per risolvere questo problema è controllare in sequenza gli interi positivi, che iniziano con 2 e terminano con 100, per la presenza di un divisore positivo maggiore di 1 e minore del numero da controllare (dalle proprietà di divisibilità, si sapere che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo, diverso da zero). Se un tale divisore non viene trovato, il numero da controllare è primo e viene inserito nella tabella dei numeri primi. Se viene trovato un tale divisore, allora il numero da controllare è composto, NON viene inserito nella tabella dei numeri primi. Dopodiché, c'è una transizione al numero successivo, che viene verificato in modo simile per la presenza di un divisore.

Descriviamo i primi passi.

Partiamo dal numero 2. Il numero 2 non ha divisori positivi diversi da 1 e 2 . Pertanto, è primo, quindi lo inseriamo nella tabella dei numeri primi. Qui va detto che 2 è il numero primo più piccolo. Passiamo al numero 3. Il suo possibile divisore positivo diverso da 1 e 3 è 2 . Ma 3 non è divisibile per 2, quindi 3 è un numero primo e deve anche essere inserito nella tabella dei numeri primi. Passiamo al numero 4. I suoi divisori positivi diversi da 1 e 4 possono essere 2 e 3, controlliamoli. Il numero 4 è divisibile per 2, quindi 4 è un numero composto e non ha bisogno di essere inserito nella tabella dei numeri primi. Si noti che 4 è il numero composto più piccolo. Passiamo al numero 5. Verifichiamo se almeno uno dei numeri 2 , 3 , 4 è il suo divisore. Poiché 5 non è divisibile né per 2, né per 3, né per 4, è primo e deve essere scritto nella tabella dei numeri primi. Quindi c'è una transizione ai numeri 6, 7 e così via fino a 100.

Questo approccio alla compilazione di una tabella di numeri primi è tutt'altro che ideale. In un modo o nell'altro, ha il diritto di esistere. Nota che con questo metodo di costruzione di una tabella di numeri interi, puoi utilizzare criteri di divisibilità, che accelereranno leggermente il processo di ricerca dei divisori.

C'è un modo più conveniente per compilare una tabella di numeri primi chiamata . La parola “setaccio” presente nel nome non è casuale, poiché le azioni di questo metodo aiutano, per così dire, a “setacciare” al setaccio di Eratostene gli interi, unità grandi, per separare quelle semplici da quelle composte.

Mostriamo il crivello di Eratostene in azione durante la compilazione di una tabella di numeri primi fino a 50.

Per prima cosa, scriviamo i numeri 2, 3, 4, ..., 50 in ordine.

Il primo numero scritto 2 è primo. Ora, dal numero 2, ci spostiamo in sequenza a destra di due numeri e cancelliamo questi numeri fino ad arrivare alla fine della tabella dei numeri compilata. Quindi tutti i numeri che sono multipli di due verranno cancellati.

Il primo numero non barrato dopo 2 è 3 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 3, ci spostiamo in sequenza a destra di tre numeri (tenendo conto dei numeri già barrati) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri che sono multipli di tre verranno cancellati.

Il primo numero non barrato dopo il 3 è 5 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 5, ci spostiamo in sequenza a destra di 5 numeri (consideriamo anche i numeri barrati in precedenza) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri che sono multipli di cinque verranno cancellati.

Successivamente, cancelliamo i numeri che sono multipli di 7, quindi multipli di 11 e così via. Il processo termina quando non ci sono più numeri da cancellare. Di seguito è riportata una tabella completa di numeri primi fino a 50 ottenuti utilizzando il setaccio di Eratostene. Tutti i numeri non barrati sono primi e tutti i numeri barrati sono composti.

Formuliamo e dimostriamo anche un teorema che accelererà il processo di compilazione di una tabella di numeri primi usando il setaccio di Eratostene.

Teorema.

Il minimo positivo non uno divisore di un numero composto a non supera , dove è da a .

Prova.

Sia b il minimo divisore del numero composto a che differisce dall'unità (il numero b è primo, che segue dal teorema dimostrato proprio all'inizio del paragrafo precedente). Allora c'è un intero q tale che a=b q (qui q è un intero positivo, che segue dalle regole di moltiplicazione degli interi), e (quando b>q, la condizione che b è il minimo divisore di a è violata, poiché q è anche un divisore di a dovuto all'uguaglianza a=q b ). Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per un numero intero positivo e maggiore di un b (ci è permesso farlo), otteniamo , da cui e .

Cosa ci dà il teorema dimostrato riguardo al crivello di Eratostene?

Innanzitutto, la cancellazione di numeri composti che sono multipli di un numero primo b dovrebbe iniziare con un numero uguale a (questo segue dalla disuguaglianza ). Ad esempio, cancellando i numeri che sono multipli di due dovrebbe iniziare con il numero 4, multipli di tre - con il numero 9, multipli di cinque - con il numero 25 e così via.

In secondo luogo, la compilazione di una tabella di numeri primi fino al numero n mediante il setaccio di Eratostene può considerarsi completa quando vengono cancellati tutti i numeri composti che sono multipli di numeri primi non eccedenti. Nel nostro esempio, n=50 (perché stiamo tabulando numeri primi fino a 50 ) e , quindi il setaccio di Eratostene deve eliminare tutti i multipli composti dei primi 2 , 3 , 5 e 7 che non superano la radice quadrata aritmetica di 50 . Cioè, non abbiamo più bisogno di cercare e cancellare numeri che sono multipli dei numeri primi 11 , 13 , 17 , 19 , 23 e così via fino a 47 , poiché saranno già cancellati come multipli di numeri primi più piccoli 2 , 3, 5 e 7.

Questo numero è primo o composto?

Alcune attività richiedono di scoprire se un dato numero è primo o composto. Nel caso generale, questo compito è tutt'altro che semplice, soprattutto per i numeri il cui record è costituito da un numero significativo di caratteri. Nella maggior parte dei casi, devi cercare un modo specifico per risolverlo. Tuttavia, cercheremo di dare una direzione al filo del pensiero per casi semplici.

Indubbiamente, si può provare a utilizzare i criteri di divisibilità per dimostrare che un dato numero è composto. Se, ad esempio, un criterio di divisibilità mostra che il numero dato è divisibile per un intero positivo maggiore di uno, allora il numero originale è composto.

Esempio.

Dimostra che il numero 898 989 898 989 898 989 è composto.

Soluzione.

La somma delle cifre di questo numero è 9 8+9 9=9 17 . Poiché il numero pari a 9 17 è divisibile per 9, quindi per il criterio di divisibilità per 9 si può sostenere che il numero originario è anche divisibile per 9. Pertanto, è composito.

Uno svantaggio significativo di questo approccio è che i criteri di divisibilità non consentono di dimostrare la semplicità di un numero. Pertanto, quando si controlla un numero se è primo o composto, è necessario procedere in modo diverso.

L'approccio più logico è enumerare tutti i possibili divisori di un dato numero. Se nessuno dei possibili divisori è un vero divisore di un dato numero, allora quel numero è primo, altrimenti è composto. Dai teoremi dimostrati nel paragrafo precedente segue che i divisori di un dato numero a devono essere ricercati tra numeri primi non eccedenti . Pertanto, il numero a dato può essere successivamente diviso per numeri primi (che è conveniente prendere dalla tabella dei numeri primi), cercando di trovare il divisore del numero a. Se viene trovato un divisore, il numero a è composto. Se tra i numeri primi non superiori a , non esiste un divisore del numero a, allora il numero a è primo.

Esempio.

Numero 11 723 semplice o composto?

Soluzione.

Scopriamo a quale numero primo possono essere i divisori del numero 11 723. Per questo, stimiamo.

È abbastanza ovvio che , dal 200 2 \u003d 40 000 e 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью confronto dei numeri). Pertanto, i possibili divisori primi di 11.723 sono inferiori a 200. Già questo semplifica enormemente il nostro compito. Se non lo sapessimo, allora dovremmo ordinare tutti i numeri primi non fino a 200, ma fino al numero 11 723 .

Se lo si desidera, è possibile stimare in modo più accurato. Da 108 2 \u003d 11 664 e 109 2 \u003d 11 881, quindi 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Pertanto, qualsiasi numero primo inferiore a 109 è potenzialmente un divisore primo del numero dato 11.723.

Ora divideremo in sequenza il numero 11 723 in numeri primi 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Se il numero 11 723 è diviso interamente per uno dei numeri primi scritti, sarà composto. Se non è divisibile per nessuno dei numeri primi scritti, allora il numero originale è primo.

Non descriveremo tutto questo monotono e monotono processo di divisione. Diciamo solo che 11 723

Al momento, gli algoritmi polinomiali per la fattorizzazione dei numeri sono sconosciuti, sebbene non sia stato dimostrato che tali algoritmi non esistano. Il crittosistema RSA e alcuni altri si basano sulla presunta elevata complessità computazionale del problema della fattorizzazione. La fattorizzazione con complessità polinomiale è teoricamente possibile su un computer quantistico utilizzando l'algoritmo di Shor.

Algoritmi per la ricerca e il riconoscimento dei numeri primi

Semplici modi per trovare un elenco iniziale di numeri primi fino a un certo valore danno il setaccio di Eratostene, il setaccio di Sundaram e il setaccio di Atkin.

Tuttavia, in pratica, invece di ottenere una lista di numeri primi, è spesso necessario verificare se un dato numero è primo. Gli algoritmi che risolvono questo problema sono chiamati test di primalità. Esistono molti test di primalità polinomiale, ma la maggior parte di essi sono probabilistici (ad esempio il test di Miller-Rabin) e vengono utilizzati per le esigenze della crittografia. Nel 2002, è stato dimostrato che il problema del test per la primalità in generale è risolvibile polinomiale, ma il test deterministico Agrawal-Kayal-Saksena proposto ha una complessità computazionale piuttosto ampia, il che rende difficile applicarlo nella pratica.

Per alcune classi di numeri, esistono test di primalità efficienti specializzati (vedi sotto).

Infinito di numeri primi

Ci sono infiniti numeri primi. La più antica prova conosciuta di questo fatto è stata data da Euclide ne Gli Elementi (libro IX, affermazione 20). La sua dimostrazione può essere brevemente riprodotta come segue:

I matematici hanno offerto altre prove. Uno di essi (dato da Eulero) mostra che la somma dei reciproci del primo n numeri primi, cresce indefinitamente con la crescita n.

I numeri di Mersenne si confrontano favorevolmente con gli altri avendo un test di primalità efficace: il test di Luc-Lehmer. Grazie a lui, i numeri primi di Mersenne detengono da tempo il record di numeri primi più grandi conosciuti.

Per trovare numeri primi da oltre 100.000.000 e 1.000.000.000 di cifre decimali, l'EFF ha assegnato premi in denaro rispettivamente di $ 150.000 e $ 250.000. L'EFF ha precedentemente assegnato premi per aver trovato numeri primi di 1.000.000 e 10.000.000 di cifre decimali.

Numeri primi di un tipo speciale

Esistono numerosi numeri la cui primalità può essere stabilita in modo efficiente utilizzando algoritmi specializzati.

Per cercare numeri primi di tipi designati, vengono attualmente utilizzati i progetti di calcolo distribuito GIMPS, PrimeGrid. [email protetta], Diciassette o Busto , Riesel Setaccio , [email protetta].

Alcune proprietà

• Se p è primo e p divide ab , allora p divide aob . La prova di questo fatto è stata data da Euclide ed è nota come Lemma di Euclide. È usato nella dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica.
• anello di detrazioni $\backslash mathbb(Z)\_n$è un campo se e solo se $n$- semplice.
• La caratteristica di ogni campo è zero o un numero primo.
• Se una $p$- semplice e $un$- naturale, quindi $a^p-a$ diviso per $p$(Piccolo teorema di Fermat).
• Se una $G$è un gruppo finito il cui ordine $|G|$ diviso per $p$, poi $G$ contiene l'elemento dell'ordine $p$(Teorema di Cauchy).
• Se una $G$è un gruppo finito, e $p^n$- grado massimo $p$, che divide $|G|$, poi $G$ ha un sottogruppo di ordine $p^n$, detto sottogruppo Sylow, inoltre, il numero dei sottogruppi Sylow è uguale a $pk+1$ per qualche numero intero $K$(Teoremi di Sylow).
• naturale $p\; >\; 1$è semplice se e solo se $(p-1)!\; +1$ diviso per $p$(Teorema di Wilson).
• Se una $n\; >\; 1$è naturale, poi c'è un semplice $p$, tale che (Postulato di Bertrand).
• Una serie di numeri inversi ai numeri primi diverge. Inoltre, a $x\backslash a\backslash infty$
• Qualsiasi progressione aritmetica della forma $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, dove $a,q\; >\; 1$- interi coprimi, contiene infiniti numeri primi (teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica).
• Qualsiasi numero primo maggiore di 3 può essere rappresentato come $6k+1$ o $6k-1$, dove $K$è un numero naturale. Quindi, se la differenza tra più numeri primi consecutivi (per k>1) è la stessa, allora è necessariamente un multiplo di 6 - per esempio: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Se una $p\; >\; 3$- semplice, quindi $p^2-1$ divisibile per 24 (valido anche per tutti i numeri dispari non divisibili per 3) .
• Teorema di Green-Tao. Esistono progressioni aritmetiche finite arbitrariamente lunghe costituite da numeri primi.
• $n^k-1$, dove n>2, K>1. In altre parole, il numero che segue un numero primo non può essere un quadrato o una potenza superiore con base maggiore di 2. Ne consegue anche che se un numero primo ha la forma $2^k-1$, poi K- primo (vedi numeri di Mersenne).
• Nessun numero primo può essere della forma $n^(2k+1)+1$, dove n>1, K>0. In altre parole, il numero che precede un primo non può essere un cubo o una potenza dispari superiore con base maggiore di 1.

Formule per trovare numeri primi

In varie occasioni, sono stati fatti tentativi per specificare un'espressione i cui valori, quando significati diversi le sue variabili costituenti sarebbero numeri primi. L. Eulero indicò il polinomio $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ prendendo valori primi a n = 0, 1, 2, …, 40. Tuttavia, quando n=41 il valore del polinomio è un numero composto. Si può dimostrare che non esiste un polinomio in una variabile n che prenda valori primi per tutti gli interi n . P. Fermat ha suggerito che tutti i numeri della forma 2 2k + 1 semplice; tuttavia, Eulero confutò questa congettura dimostrando che il numero 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - composito.

Tuttavia, esistono polinomi, l'insieme dei valori positivi di cui, per valori non negativi delle variabili, coincide con l'insieme dei numeri primi. Un esempio è il polinomio

• $\backslash begin\; (allineare)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(allineamento) contenente 26 variabili e di grado 25. Il grado più piccolo per polinomi noti di questo tipo è 5 con 42 variabili; il minor numero di variabili è 10 con un grado di circa 1,6·10 45 . Questo risultato è un caso speciale della proprietà diofantea di qualsiasi insieme enumerabile dimostrato da Yuri Matiyasevich.

Domande aperte

Ci sono ancora molte questioni aperte sui numeri primi, le più famose delle quali furono elencate da Edmund Landau al V Congresso Internazionale di Matematica:

Un problema aperto è anche l'esistenza di un numero infinito di numeri primi in molte sequenze intere, inclusi i numeri di Mersenne, i numeri di Fibonacci, i numeri di Fermat e altri.

Applicazioni

I numeri primi grandi (dell'ordine di 10.300) vengono utilizzati nella crittografia a chiave pubblica. I numeri primi sono usati anche nelle tabelle hash e per generare numeri pseudo-casuali (in particolare, nel Mersenne Vortex PRNG).

Variazioni e generalizzazioni

• Nella teoria degli anelli, una branca dell'algebra generale, sono definiti i concetti di elemento primo e ideale primo.
• Nella teoria dei nodi, il concetto di nodo semplice è definito come un nodo non banale che non può essere rappresentato come somma connessa di nodi non banali.

Guarda anche

Scrivi una recensione sull'articolo "Numero primo"

Appunti

Un estratto che caratterizza il numero primo

Natasha era più calma, ma non più allegra. Non solo evitava tutte le condizioni esterne di gioia: balli, pattinaggio, concerti, teatro; ma non rideva mai tanto che le sue lacrime non si udivano a causa del suo riso. Non sapeva cantare. Appena cominciava a ridere o cercava di cantare da sola con se stessa, le lacrime la soffocavano: lacrime di rimorso, lacrime di ricordi di quel tempo irrevocabile, puro; lacrime di fastidio che così, per niente, ha rovinato la sua giovane vita, che avrebbe potuto essere così felice. Soprattutto le risate e il canto le sembravano una bestemmia contro il suo dolore. Non ha mai pensato alla civetteria; non doveva nemmeno astenersi. Disse e sentì che in quel momento tutti gli uomini erano per lei esattamente gli stessi del giullare Nastasya Ivanovna. La guardia interiore le proibiva fermamente ogni gioia. E non aveva tutti i precedenti interessi della vita da quel modo di vivere da ragazza, spensierato e pieno di speranza. Il più delle volte e più dolorosamente, ricordava i mesi autunnali, la caccia, suo zio e le vacanze di Natale trascorse con Nicolas a Otradnoe. Cosa darebbe per riportare indietro anche un giorno da quel momento! Ma era finita per sempre. Il presentimento non la ingannava allora che quello stato di libertà e di apertura a tutte le gioie non sarebbe mai più tornato. Ma dovevo vivere.
La confortava pensare che non era migliore, come aveva pensato prima, ma peggiore e molto peggiore di tutti, di tutti quelli che esistono solo nel mondo. Ma non è stato abbastanza. Lo sapeva e si chiedeva: "E poi? E poi non c'era niente. Non c'era gioia nella vita e la vita è passata. Natasha, a quanto pare, ha cercato solo di non essere un peso per nessuno e di non interferire con nessuno, ma per se stessa non aveva bisogno di nulla. Si è allontanata da tutti a casa e solo con suo fratello Petya è stato facile per lei. Le piaceva stare con lui più che con gli altri; e qualche volta, quando era con lui faccia a faccia, rideva. Non usciva quasi mai di casa, e di quelli che venivano a trovarli, era contenta solo per Pierre. Era impossibile trattarla con più tenerezza, con più attenzione e allo stesso tempo con più serietà di come la trattava il conte Bezukhov. Natasha Osss ha sentito consapevolmente questa tenerezza di trattamento e quindi ha trovato grande piacere in sua compagnia. Ma non gli era nemmeno grata per la sua tenerezza; niente di buono da parte di Pierre le sembrava uno sforzo. Sembrava così naturale per Pierre essere gentile con tutti che non c'era alcun merito nella sua gentilezza. A volte Natasha notava l'imbarazzo e l'imbarazzo di Pierre in sua presenza, soprattutto quando voleva fare qualcosa di piacevole per lei o quando temeva che qualcosa nella conversazione avrebbe portato Natasha a ricordi dolorosi. Se ne accorse e lo attribuì alla sua generale gentilezza e timidezza, che, secondo lei, come lei, avrebbe dovuto essere con tutti. Dopo quelle parole involontarie che, se fosse stato libero, le avrebbe chiesto le mani e l'amore in ginocchio, dette in un momento di così grande eccitazione per lei, Pierre non ha mai detto nulla dei suoi sentimenti per Natascia; ed era ovvio per lei che quelle parole, che allora tanto la confortavano, erano state pronunciate, come ogni sorta di parole prive di senso sono pronunciate per confortare un bambino che piange. Non perché Pierre fosse un uomo sposato, ma perché Natasha sentiva tra sé e lui al massimo grado quella forza delle barriere morali - l'assenza di cui sentiva con Kyragin - non le era mai venuto in mente di poter uscire dalla sua relazione con Pierre non solo l'amore da parte sua, o ancor meno da parte sua, ma anche quella specie di tenera, autoconfessata, poetica amicizia tra un uomo e una donna, di cui conosceva diversi esempi.
Alla fine del posto di Petrovsky, Agrafena Ivanovna Belova, la vicina Otradnenskaya dei Rostov, venne a Mosca per inchinarsi ai santi di Mosca. Ha invitato Natasha ad andare a letto e Natasha ha colto questa idea con gioia. Nonostante il divieto del medico di uscire presto la mattina, Natasha insistette per digiunare, e non digiunare come al solito nella casa dei Rostov, cioè ascoltare tre funzioni a casa, ma per digiunare come faceva Agrafena Ivanovna, che cioè, tutta la settimana senza perdere un solo Vespro, Messa o Mattutino.
Alla contessa piaceva lo zelo di Natascia; nella sua anima, dopo cure mediche infruttuose, sperava che la preghiera l'aiutasse con più medicine e, sebbene con paura e nascondendosi dal medico, accettò il desiderio di Natasha e la affidò a Belova. Agrafena Ivanovna è venuta alle tre del mattino per svegliare Natascia e per la maggior parte l'ha trovata non addormentata. Natasha aveva paura di dormire troppo all'ora del mattutino. Lavandosi frettolosamente e vestendosi umilmente con il suo vestito peggiore e una vecchia mantiglia, rabbrividendo di freschezza, Natasha uscì per le strade deserte, illuminate in modo trasparente dall'alba del mattino. Su consiglio di Agrafena Ivanovna, Natasha non predicò nella sua parrocchia, ma nella chiesa, in cui, secondo la pia Belova, c'era un prete molto severo e vita alta. C'erano sempre poche persone in chiesa; Natasha e Belova stavano al loro solito posto davanti all'icona della Madre di Dio, incastonata nella parte posteriore del coro sinistro, e il nuovo senso di umiltà di Natasha davanti al grande, incomprensibile, l'ha colta quando, in questo insolito ora del mattino, guardando il volto nero della Madre di Dio, illuminato dalle candele accese davanti a lui, e dalla luce del mattino che cadeva dalla finestra, ascoltava i suoni del servizio, che cercava di seguili, comprendendoli. Quando le comprese, il suo personale sentimento con le sue sfumature si unì alla sua preghiera; quando non capiva, le era ancora più dolce pensare che il desiderio di capire tutto è orgoglio, che è impossibile capire tutto, che bisogna solo credere e arrendersi a Dio, che in quel momento - lei sentiva - governava la sua anima. Si fece il segno della croce, si inchinò, e quando non capiva, solo, inorridita dal suo abominio, chiese a Dio di perdonarla per tutto, per tutto, e abbi pietà. Le preghiere a cui si dedicò maggiormente furono le preghiere di pentimento. Tornata a casa alle prime ore del mattino, quando c'erano solo muratori che andavano a lavorare, bidelli che spazzavano le strade, e tutti dormivano ancora nelle case, Natasha provò per lei un nuovo sentimento della possibilità di correggersi dai suoi vizi e la possibilità di una nuova, pura vita e felicità.
Durante tutta la settimana in cui ha condotto questa vita, questo sentimento è cresciuto ogni giorno. E la gioia di unirsi o di comunicare, come le diceva Agrafena Ivanovna, che giocava gioiosamente con questa parola, le sembrava così grande che le sembrava che non sarebbe vissuta abbastanza per vedere questa benedetta domenica.
Ma venne il giorno felice, e quando Natascia, in quella domenica memorabile, vestita di mussola bianca, tornò dalla comunione, per la prima volta dopo molti mesi si sentì serena e libera dalla vita che le stava davanti.
Il medico che è venuto quel giorno ha esaminato Natasha e ha ordinato di continuare le ultime polveri che aveva prescritto due settimane fa.
"È imperativo continuare, al mattino e alla sera", ha detto, evidentemente lui stesso coscienziosamente soddisfatto del suo successo. “Per favore, stai attento. Stai tranquilla, contessa, - disse scherzando il dottore, raccogliendo abilmente quello d'oro nella carne della sua mano, - presto canterà di nuovo e diventerà vivace. Molto, molto favorevole al suo ultimo rimedio. Si è illuminata molto.
La contessa si guardò le unghie e sputò, tornando in soggiorno con una faccia allegra.

All'inizio di luglio si diffusero a Mosca voci sempre più inquietanti sull'andamento della guerra: si parlava dell'appello del sovrano al popolo, dell'arrivo dello stesso sovrano dall'esercito a Mosca. E poiché il manifesto e l'appello non erano stati ricevuti prima dell'11 luglio, circolavano voci esagerate su di loro e sulla situazione in Russia. Dissero che il sovrano se ne sarebbe andato perché l'esercito era in pericolo, dissero che Smolensk si era arreso, che Napoleone aveva un milione di soldati e che solo un miracolo avrebbe potuto salvare la Russia.
Sabato 11 luglio, il manifesto è stato ricevuto ma non ancora stampato; e Pierre, che era con i Rostov, promise l'indomani, domenica, di venire a cena e di portare un manifesto e un appello, che avrebbe ricevuto dal conte Rostopchin.
In questa domenica, i Rostov, come al solito, sono andati a messa nella chiesa domestica dei Razumovsky. Era una calda giornata di luglio. Già alle dieci, quando i Rostov scesero dalla carrozza davanti alla chiesa, nell'aria calda, nelle grida dei venditori ambulanti, negli abiti estivi luminosi e leggeri della folla, nelle foglie polverose degli alberi del viale, nei suoni della musica e dei bianchi calzoni del battaglione che passò per il divorzio, nel tuono del selciato e nel bagliore luminoso del sole cocente c'era quel languore estivo, l'appagamento e l'insoddisfazione per il presente, che è particolarmente sentito in una giornata calda e limpida in città. Nella chiesa dei Razumovsky c'era tutta la nobiltà di Mosca, tutti i conoscenti dei Rostov (quest'anno, come se si aspettassero qualcosa, molte famiglie benestanti, che di solito si spostavano nei villaggi, sono rimaste in città). Passando dietro il lacchè in livrea, che si stava separando dalla folla accanto a sua madre, Natasha udì una voce giovanotto, che parlava di lei in un sussurro troppo forte:
- Questo è Rostov, lo stesso ...
- Che magro, ma comunque buono!
Ha sentito, o le è sembrato, che sono stati menzionati i nomi di Kuragin e Bolkonsky. Tuttavia, le è sempre sembrato. Le sembrava sempre che tutti, guardandola, pensassero solo a quello che le era successo. Sofferente e morendo nella sua anima, come sempre tra la folla, Natasha camminava nel suo abito di seta viola con pizzo nero nel modo in cui le donne sanno camminare: più calma e maestosa, più dolorosa e vergognosa sentiva nella sua anima. Sapeva e non si sbagliava di essere brava, ma questo non le piaceva adesso, come prima. Al contrario, l'ha tormentata soprattutto ultimamente, e soprattutto in questa calda e luminosa giornata estiva in città. «Un'altra domenica, un'altra settimana», si disse, ricordando com'era stata qui quella domenica, «e ancora la stessa vita senza vita, e tutte le stesse condizioni in cui prima era così facile vivere. È brava, giovane, e so che ora sto bene, prima ero cattiva, ma ora sto bene, lo so, pensò, ma gli anni migliori passano invano, per nessuno. Stava accanto a sua madre e ha scambiato relazioni con conoscenti intimi. Natascia, per abitudine, guardò i gabinetti delle signore, condannò la tenue [comportamento] e il modo indecente di segnarsi con la mano nel piccolo spazio di una che stava lì vicino, pensò di nuovo con fastidio che la stessero giudicando, che stava giudicando, e all'improvviso, sentendo i suoni della funzione, fu inorridita dalla sua bassezza, inorridita dal fatto che la sua antica purezza fosse stata nuovamente persa da lei.
Il vecchio, bello e tranquillo, serviva con quella solennità mite che ha un effetto così maestoso e calmante sulle anime di coloro che pregano. Le porte reali si chiusero, il velo lentamente si ritrasse; una voce misteriosa e calma disse qualcosa da lì. Lacrime, per lei incomprensibili, stavano nel petto di Natasha e un sentimento gioioso e agonizzante la agitava.
“Insegnami cosa fare, come migliorarmi per sempre, per sempre, come affrontare la mia vita…” pensò.
Il diacono si avvicinò al pulpito, lo raddrizzò pollice, capelli lunghi da sotto la cotta e, ponendosi una croce sul petto, cominciò ad alta voce e solennemente a leggere le parole della preghiera:
“Preghiamo il Signore per la pace”.
"Pace, tutti insieme, senza distinzione di classe, senza inimicizia e uniti da amore fraterno, pregheremo", pensò Natascia.
- Della pace dall'alto e della salvezza delle nostre anime!
"Sul mondo degli angeli e delle anime di tutti gli esseri incorporei che vivono sopra di noi", pregò Natasha.
Quando hanno pregato per l'esercito, ha ricordato suo fratello e Denisov. Quando pregavano per marinai e viaggiatori, si ricordava del principe Andrei e pregava per lui, e pregava che Dio le perdonasse il male che gli aveva fatto. Quando hanno pregato per coloro che ci amano, ha pregato per la sua famiglia, per suo padre, sua madre, Sonya, rendendosi conto per la prima volta di tutta la sua colpa davanti a loro e sentendo tutta la forza del suo amore per loro. Quando abbiamo pregato per coloro che ci odiano, si è inventata nemici e odiatori per pregare per loro. Contava i creditori e tutti coloro che avevano trattato suo padre tra i nemici, e ogni volta che pensava a nemici e odiatori, si ricordava di Anatole, che le aveva fatto tanto male, e sebbene non fosse un odiatore, pregava con gioia per lui come per nemico. Solo durante la preghiera si sentiva in grado di ricordare chiaramente e con calma sia il principe Andrei che Anatole, come persone per le quali i suoi sentimenti erano stati distrutti rispetto al suo sentimento di paura e riverenza per Dio. Quando hanno pregato per la famiglia reale e per il Sinodo, si è inchinata particolarmente profondamente e si è segnata, dicendo a se stessa che se non capisce, non può dubitare e ama ancora il Sinodo regnante e prega per questo.
Terminata la litania, il diacono incrociò l'orarion intorno al petto e disse:
“Dedichiamo noi stessi e la nostra vita a Cristo nostro Dio”.
"Ci tradiremo a Dio", ripeté Natasha nella sua anima. Mio Dio, mi impegno alla tua volontà, pensò. - Non voglio niente, non voglio; insegnami cosa fare, dove usare la mia volontà! Sì, prendimi, prendimi! - disse Natasha con commovente impazienza nell'anima, senza segnarsi, abbassando le mani sottili e come aspettandosi che una forza invisibile la prendesse e la salvasse da se stessa, dai suoi rimpianti, desideri, rimproveri, speranze e vizi.
La contessa più volte durante il servizio ha guardato indietro al tenero, con occhi lucidi, il viso di sua figlia e ha pregato Dio che l'aiutasse.

La risposta di Ilya è corretta, ma non molto dettagliata. Nel 18° secolo, tra l'altro, uno era ancora considerato un numero primo. Ad esempio, grandi matematici come Eulero e Goldbach. Goldbach è l'autore di uno dei sette compiti del millennio: l'ipotesi di Goldbach. La formulazione originale afferma che qualsiasi numero pari può essere rappresentato come la somma di due numeri primi. Inoltre, inizialmente 1 è stato preso in considerazione come numero primo, e vediamo questo: 2 = 1 + 1. Questo è il più piccolo esempio che soddisfa la formulazione originaria dell'ipotesi. Successivamente è stato corretto e la formulazione ha acquisito un aspetto moderno: "ogni numero pari, a partire da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi".

Ricordiamo la definizione. Un numero primo p è un numero naturale p che ha solo 2 diversi divisori naturali: p stesso e 1. Un corollario dalla definizione: un numero primo p ha un solo divisore primo - p stesso.

Supponiamo ora che 1 sia un numero primo. Per definizione, un numero primo ha un solo divisore primo: se stesso. Quindi risulta che qualsiasi numero primo maggiore di 1 è divisibile per un numero primo che differisce da esso (per 1). Ma due numeri primi distinti non possono essere divisibili tra loro, perché altrimenti non sono numeri primi, ma composti, e questo contraddice la definizione. Con questo approccio, risulta che esiste solo 1 numero primo: l'unità stessa. Ma questo è assurdo. Pertanto, 1 non è un numero primo.

1, oltre a 0, formano un'altra classe di numeri: la classe degli elementi neutri rispetto alle operazioni n-ary in alcuni sottoinsiemi campo algebrico. Inoltre, rispetto all'operazione di addizione, 1 è anche un elemento generatore dell'anello di interi.

Considerando ciò, non è difficile trovare analoghi di numeri primi in altre strutture algebriche. Supponiamo di avere gruppo moltiplicativo, formato da potenze di 2 a partire da 1: 2, 4, 8, 16, ... ecc. 2 funge qui da elemento di formazione. Un numero primo in questo gruppo è un numero maggiore dell'elemento più piccolo e divisibile solo per se stesso e l'elemento più piccolo. Nel nostro gruppo, solo 4 hanno tali proprietà. Non ci sono più numeri primi nel nostro gruppo.

Se 2 fosse anche un numero primo nel nostro gruppo, allora vedi il primo paragrafo - di nuovo risulterebbe che solo 2 è un numero primo.

Che ha solo 2 diversi divisori naturali. In altre parole, il numero p allora sarà semplice quando sarà maggiore dell'unità e potrà essere divisa solo dall'unità e da se stessa - p.

Vengono chiamati i numeri naturali, quelli grandi e i numeri che non sono primi numeri composti. Pertanto, tutti i numeri naturali sono divisi in 3 classi: uno (ha 1 divisore), numeri primi(hanno 2 divisori) e numeri composti(hanno più di 2 divisori).

Inizia pag successioni di numeri primi sembra così:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Se rappresentiamo i numeri naturali come un prodotto di numeri primi, questo sarà chiamato scomposizione in numeri primi o fattorizzazione di un numero.

Il più grande numero primo conosciuto.

Il numero primo più grande conosciuto è 2 57885161 - 1. Questo numero è composto da 17 425 170 cifre decimali ed è chiamato primo Numero di Mersenne(M57885161).

Alcune proprietà dei numeri primi.

Diciamo p- semplice, e p divide ab, poi p divide un o b.

anello di detrazioni Zn sarà chiamato campo solo se n- semplice.

La caratteristica di tutti i campi è zero o un numero primo.

quando p- semplice e un- mezzi naturali un p-a può essere suddiviso in p (piccolo teorema Azienda agricola).

quando Gè un gruppo finito il cui ordine |G| dividi per p, quindi a G c'è un elemento di ordine p (Il teorema di Cauchy).

quando Gè un gruppo finito, e p n- il grado più alto p dividendo |G|, quindi a G c'è un sottogruppo di ordine p n, che è chiamato sottogruppo Sylow, inoltre, corrisponde al numero di sottogruppi Sylow pk+1 per qualche intero K(Teoremi di Sylow).

naturale p > 1 sarà semplice solo se (p-1)! +1 puoi soffiare p (Il teorema di Wilson).

quando n > 1- naturale, il che significa che esiste un semplice p: n< p < 2 n (postulato di Bertrand).

Una serie di numeri che sono inversi ai numeri primi divergono. Inoltre, a .

Qualsiasi progressione aritmetica di tipo a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., dove a,q > 1- totale numeri relativamente primi, contiene un numero infinito di numeri primi ( Teorema di Dirichlet sui numeri primi in progressione aritmetica).

Qualsiasi numero primo maggiore di 3 può essere rappresentato come 6k+1 o 6k-1, dove K- numero naturale. Sulla base di ciò, quando la differenza di più numeri primi consecutivi (per k>1) è lo stesso, il che significa che è esattamente divisibile per sei - Per esempio: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

quando p > 3è un numero primo, il che significa p 2 -1 diviso per 24 (funziona anche per numeri dispari non divisibili per tre).

Teorema di Green-Tao. Esistono infinite progressioni aritmetiche costituite da numeri primi.

nk-1, dove n>2, k>1. In altre parole, il numero che segue un primo non può essere un quadrato o una potenza superiore con base maggiore di due. Si può concludere che quando un numero primo è rappresentato come 2k-1, significa K- semplice.

Nessun numero primo può essere rappresentato come n 2k+1 +1, dove n>1, k>0. In altre parole, un numero che precede un primo non può essere un cubo o una potenza dispari maggiore con base maggiore di uno.

Esistono polinomi in cui l'insieme dei valori non negativi per i valori positivi delle variabili coincide con l'insieme dei numeri primi. Esempio:

Questo polinomio contiene 26 variabili, ne ha 25. Il grado più basso per i polinomi conosciuti della forma presentata è cinque con 42 variabili; il minor numero di variabili è dieci ad una potenza di circa 1,6·10 45 .

Operazioni con numeri primi.

1. Prodotto di numeri primi.

2. Differenza di numeri primi.

3. La somma dei numeri primi.

4. Divisione dei numeri primi.