estensione del campo algebrico- — Argomenti sicurezza delle informazioni EN campo di estensione … Manuale tecnico del traduttore

Un campo E contenente il campo K specificato come sottocampo. Tipi di estensioni Un'estensione algebrica è un'estensione i cui elementi sono tutti algebrici su K, cioè qualsiasi elemento di cui sia la radice di un polinomio f (x) c ... ... Wikipedia

Un'estensione algebrica del campo EÉ K che è normale e separabile. In queste condizioni, E avrà il numero più grande automorfismi su K (se E è finito, allora anche il numero di automorfismi è finito e uguale al grado di estensione). ... ... Wikipedia

Un semigruppo A è un semigruppo S contenente A come sottosemigruppo. Solitamente si parla di estensioni del semigruppo A relative ad Atemi o ad altre condizioni. La teoria dei semigruppi R. ideali (semigruppi contenenti A come ... ... Enciclopedia matematica

Un'equazione della forma dove è un polinomio dell'ennesimo grado in una o più variabili. Ay. con uno sconosciuto equazione della forma: Qui n è un numero intero numero non negativo, chiamata coefficienti dell'equazione e sono dati, hnaz. sconosciuto ed è... Enciclopedia matematica

Campi k algebrico. un'estensione del campo k, che è un campo algebricamente chiuso. Tale estensione per qualsiasi campo k esiste ed è definita in modo univoco fino all'isomorfismo. A.h. campi numeri realiè il campo numeri complessi(cm.… … Enciclopedia matematica

Un'estensione normale è un'estensione algebrica del campo EQ K per cui ogni polinomio irriducibile f(x) su K che ha almeno una radice in E si scompone in E in fattori lineari. Definizione equivalente: Se KÌ EÌ K*, dove K* ... ... Wikipedia

Un'estensione separabile è un'estensione algebrica di un campo costituito da elementi separabili, cioè elementi α tali che l'annichilatore minimo f(x) su K non abbia radici multiple. La derivata f (x) deve essere conforme a quanto sopra ... ... Wikipedia

Un'estensione di campo tale che E sia a dimensione finita su K come spazio vettoriale. La dimensione di uno spazio vettoriale E su K è chiamata grado di estensione ed è indicata con . Proprietà delle estensioni finite Un'estensione finita è sempre algebrica. In ... ... Wikipedia

Campi Un'estensione algebrica L di un campo K che soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti: 1) eventuale incorporamento del campo L in un'algebrica la chiusura del campo K è un automorfismo del campo L; 2) L è il campo di scomposizione di una famiglia di polinomi con ... ... Enciclopedia matematica

Lascia il campo P contenuto nel campo T e un- elemento T non posseduto P. Considera il campo più piccolo P(un) contenente tutti gli elementi da P e un. A cui appartengono tutti gli elementi della vista P(un). Consideriamo due casi.

Fine campi.

Teorema 4.2. Il numero di elementi del campo finito p n , dove p è un numero primo.

Prova. Poiché il campo P è finito, la sua caratteristica è diversa da zero. Sia p la sua caratteristica. Il campo P, può essere considerato come uno spazio vettoriale su Z p . Indichiamo con v 1 ,…,v n la base P. Qualsiasi elemento del campo P è caratterizzato in modo univoco dalle coordinate (x 1 ,…,x n) in questa base. Ogni coordinata assume p valori, quindi il numero di diversi insiemi di coordinate, e quindi gli elementi del campo P, è uguale a p n .

Lemma 4.1 Nel campo delle caratteristiche P .

Prova. , dove è la molteplicità delle occorrenze dell'elemento. Il valore non è divisibile per P solo in caso io= 0;P. Perché pe=0, poi .

Teorema 4.3. Per ogni n naturale e p primo esiste un campo di ordine p n .

Espandiamo Zp in modo che il campo risultante contenga tutte le radici del polinomio. Il polinomio non ha radici multiple perché la sua derivata è -1. Indichiamo con M l'insieme delle radici del polinomio. È facile verificare che M è un campo e il numero dei suoi elementi è uguale a p n

Teorema 4.4. Il campo dell'ordine è unico fino all'isomorfismo.

Prova.

Poiché il numero di elementi del campo, la sua caratteristica è uguale a . Pertanto, qualsiasi campo P l'ordine può essere pensato come un'estensione dell'anello residuo. Il gruppo moltiplicativo del campo() ha l'ordine e, quindi, vale per qualsiasi . Pertanto, tutti gli elementi del campo sono le radici dell'equazione su .

Teorema 4.5. Gruppo moltiplicativo radici n La potenza di 1 nel campo P è ciclica.

Prova. Lascia stare P caratteristica del campo P. Se poi , e, quindi, l'insieme delle radici dell'equazione coincide con l'insieme delle radici di grado . Senza perdita di generalità, possiamo supporre che . La dimostrazione è sufficiente per il caso in cui tutte le radici n la potenza di 1 contenuta nel campo P. In caso contrario, espandiamo il campo e utilizziamo il fatto che qualsiasi sottogruppo gruppo ciclico- ciclico. Nella misura in cui ha solo una radice uguale a zero, quindi il numero di radici n la potenza di 1 è uguale a n. Considera tre casi:

1. n- Numero primo. Quindi il gruppo radice ha l'ordine n, e quindi ciclico

2. - laurea numero primo. Troviamo la radice dell'equazione, che non è la radice dell'equazione. L'ordine degli elementi è un divisore dell'ordine di gruppo n e non è un divisore. Pertanto, l'ordine è n e il gruppo è ciclico.

3. Lascia. Indichiamo con l'elemento generatore del gruppo ciclico di radici di grado 1 . Permettere . Per induzione su K Dimostriamo che l'ordine è . In K=1 l'affermazione è ovvia. Che sia dimostrato K-uno. L'ordine degli elementi è . Massimo comun divisore T ed è uguale a 1, e, quindi, ci sono numeri tu e v, che cosa . Poiché e , l'ordine dell'elemento è divisibile per T e su. Inoltre, dall'uguaglianza , segue che l'ordine dell'elemento è un divisore. Il teorema è stato dimostrato.

Teoria di Galois

Campo Tè chiamata estensione finita del campo P, Se Tè ovviamente dimensionale spazio lineare sopra P. La dimensione dello spazio è chiamata grado di espansione.

Qualsiasi estensione di campo algebrico Pè definitivo. Il suo grado è uguale al grado del polinomio irriducibile.

Teorema 5.1. Fine estensione u campi T, che è un'estensione finita del campo P, è un'estensione finita P. Inoltre, il grado di espansione u sopra Pè uguale al prodotto delle potenze di espansione.

Prova. Quasi ovvio.

Elemento campo T si chiama algebrica finita P se è una radice di un polinomio over P.

Tutti gli elementi di estensione finita P sono algebriche finite P.

Qualsiasi estensione finita può essere ottenuta sommando un numero finito di estensioni algebriche.

Teorema 5.2. Qualsiasi estensione di campo finito P caratteristica 0 è una semplice estensione.

Prova non ovvio.

Fine estensione T chiamato espansione normale P, se dal fatto che un polinomio irriducibile over P ha dentro T radice, segue la sua scomponibilità in fattori lineari. È chiaro che una normale estensione di un campo di caratteristica 0 è un campo di scomposizione di un polinomio. È vero anche il contrario. Il campo di scomposizione di un polinomio è un'estensione normale.

Un automorfismo di un campo è una mappatura isomorfa su se stesso.

Gruppo di Galois di estensione normale T campi Pè chiamato il gruppo di automorfismo del campo T, che preserva gli elementi del campo P.

Teorema 5.3. Ogni campo intermedio u, corrisponde a qualche sottogruppo del gruppo di Galois, ovvero l'insieme di quegli automorfismi che non modificano gli elementi di . Il campo è determinato in modo univoco dal sottogruppo.

Introduzione.

IN università pedagogicheè stato introdotto un programma di un corso unificato di algebra e teoria dei numeri. L'obiettivo principale di questo corso è quello di studiare le basi sistemi algebrici e l'educazione alla cultura algebrica necessaria al futuro insegnante per una profonda comprensione degli scopi e degli obiettivi sia del corso di matematica della scuola principale che dei corsi scolastici opzionali.

A nostro avviso, il più opportuno è l'introduzione di elementi della moderna algebra astratta nell'insegnamento scolastico.

Il processo di algebraizzazione della matematica, iniziato nel 20° secolo, non si ferma e questo provoca persistenti tentativi di introdurre concetti algebrici di base nell'educazione matematica scolastica.

La profondità matematica e una portata insolitamente ampia di campi si combinano con la semplicità delle sue disposizioni principali: i concetti di campi, intera linea teoremi importanti possono essere formulati e dimostrati, avendo idee iniziali nel campo della teoria degli insiemi. Pertanto, la teoria dei campi è il modo migliore per mostrare agli scolari un esempio di matematica moderna.

Inoltre, lo studio degli elementi della teoria del campo è utile per gli scolari, contribuisce alla loro crescita intellettuale, che si manifesta nello sviluppo e nell'arricchimento di vari aspetti del loro pensiero, qualità e tratti della personalità, oltre a instillare negli studenti un interesse in matematica e scienze.

1. Una semplice estensione di campo algebrico.

1.1 Semplice espansione del campo.

Sia P[x] un anello polinomiale in x su un campo P, dove P è un sottocampo del campo F. Ricordiamo che un elemento a di un campo F si dice algebrico su un campo P se a è una radice di qualche positivo polinomio di grado in P [x].

Definizione. Sia p< F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Sia a0F, P [x] l'anello dei polinomi in x e

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

cioè P [a] è l'insieme di tutte le espressioni della forma a 0 + a 1 a+...+ a n a n , dove a 0 , a 1, ... a n 0P e n è qualsiasi numero naturale.

È facile vedere che l'algebra +P[a], +, -, ., 1, - un sottoanello del campo P (a) - è un anello; questo anello è indicato con P[a].

Teorema 1.1. Sia P[x] un anello polinomiale in x su P e P(a) sia una semplice estensione del campo P. Sia y una mappatura da P[x] a P[a] tale che y(f)=f (a) per qualsiasi f da P[x]. Quindi:

(a) per ogni a in P y (a) = a;

(c) y è un omomorfismo dell'anello P [x] sull'anello P [a];

(d) Kery =(f0P[x]*f(a)=0);

(f) l'anello quoziente P[x]/Ker y è isomorfo all'anello P[a].

Prova. Le affermazioni (a) e (b) derivano direttamente dalla definizione di y. La mappatura y conserva le operazioni principali dell'anello P[x], poiché per ogni f e g da P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

L'asserzione (d) segue direttamente dalla definizione della mappa y.

Poiché y è un omomorfismo dell'anello P[x] su P[a], l'anello quoziente P[x]/Ker y è isomorfo all'anello P[a].

Corollario 1.2. Sia a un elemento trascendentale su un campo P. Allora l'anello polinomiale P[x] è isomorfo all'anello P[a].

Prova. A causa della trascendenza di a over PKery=(0). Pertanto P[x]/(0)–P[a]. Inoltre, l'anello quoziente dell'anello P [x] è isomorfo a P [x] per l'ideale zero. Pertanto, P[x]–P[a].

1.2 Polinomio minimo di un elemento algebrico.

Sia P [x] l'anello dei polinomi sul campo P.

Definizione. Sia a un elemento algebrico su un campo P. Il polinomio minimo di un elemento a su P è un polinomio normalizzato in P[x] di minimo grado la cui radice è a. Il grado di un polinomio minimo è detto grado di un elemento a su P.

È facile vedere che per ogni elemento a che è algebrico su P , esiste un polinomio minimo.

Proposta 1.3. Se a è un elemento algebrico su un campo P, e g e j sono i suoi polinomi minimi su P, allora g=j.

Prova. I gradi dei polinomi minimi g e j coincidono. Se g¹j, allora l'elemento a (di grado n su P) sarà una radice del polinomio g - j, il cui grado è minore del grado del polinomio j (minore di n), cosa impossibile. Pertanto, g=j.

Teorema 1.4. Sia a un elemento algebrico di grado n su un campo P (aóP) e g il suo polinomio minimo su P. Allora:

(a) il polinomio g è irriducibile nell'anello P [x];

(b) se f (a) = 0, dove f0P[x], allora g divide f;

(c) l'anello quoziente P [x]/(g) è isomorfo all'anello P [a];

(d) P[x]/(g) è un campo;

(f) l'anello P[a] coincide con il campo P(a).

Prova. Assumiamo che il polinomio g sia riducibile nell'anello P [x], cioè che vi siano polinomi j e h in P[x] tali che

g = jh, 1£gradi j, gradi h

Allora g(a) = j(a)h(a) = 0. Poiché P (a) è un campo, allora j(a) = 0 oppure h(a) = 0, cosa impossibile perché, per ipotesi, il elemento di grado a su P è uguale a n.

Assumiamo che f0 P[x] e f(a) = 0. Per ipotesi, g(a) = 0. Pertanto, f e g non possono essere coprimi. Poiché il polinomio g è irriducibile, allora g divide f.

Sia j l'omomorfismo dell'anello P [x] sull'anello P [a] (y(f)=f(a) per ogni f da P[x]) considerato nel Teorema 2.1. In virtù di (b), il nucleo dell'omomorfismo y è costituito da multipli del polinomio g, cioè, Ker y = (g). Pertanto, l'anello quoziente P = P [x]/(g) è isomorfo all'anello P [a].

Poiché P[a]ÌP(a), allora P [a] è un dominio di integrità. Perché [email protetta][a], allora anche l'anello quoziente P è un dominio di integrità. Dobbiamo mostrare che qualsiasi elemento f diverso da zero da P è invertibile in P. Sia f un elemento del coset f. Poiché f¹ 0, allora f(a)¹0; quindi il polinomio g non divide il polinomio f. Poiché il polinomio g è irriducibile, ne consegue che i polinomi f e g sono coprimi. Pertanto, ci sono polinomi u e v in Р[x] tali che uf + vg=1. Ciò implica l'uguaglianza uf = 1, che mostra che l'elemento f è invertibile nell'anello P. Abbiamo quindi stabilito che l'anello quoziente P è un campo.

In virtù di (c) e (d), P[a] è un campo, e quindi P(a)ÌP[a]. Inoltre, ovviamente, P[a]ÌP(a). Quindi P[a] = P(a). Pertanto, l'anello P[a] coincide con il campo P(a).

1.3 Struttura di una semplice estensione di campo algebrico.

Teorema 1.5. Sia a un elemento algebrico sul campo P di grado positivo n. Quindi qualsiasi elemento del campo P(a) può essere rappresentato in modo univoco come combinazione lineare n elementi 1, a, ..., a n-1 con coefficienti da P.

Prova. Sia b un qualsiasi elemento del campo P (a). Per il Teorema 1.4, P(a) = P[a]; quindi esiste un polinomio f in P[x] tale che

Sia g il polinomio minimo per a su P; in virtù dell'ipotesi del teorema, il suo grado è uguale a n. Per il teorema di divisione con resto, esistono polinomi h e r in P[x] tali che

(2) f = gh + r, dove r = 0 o derr< derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1

Dimostriamo che l'elemento b è rappresentabile in modo univoco come una combinazione lineare di elementi 1, a, ..., a n-1 . Lascia stare

(4) b = d 0 +d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P)

Qualsiasi prestazione del genere. Si consideri un polinomio j

j \u003d (c 0 - d 0) + (c 1 - d i .)x + . . . + (con n-1 –d n -1)x n -1

Il caso in cui il grado di j sia minore di n è impossibile perché, in virtù di (3) e (4), j(a) = 0 e il grado di j è minore del grado di g. L'unico caso possibile è quando j = 0, cioè con 0 = d 0 , . . . , con n-1 = d n-1. Pertanto, l'elemento b è rappresentabile in modo univoco come una combinazione lineare di elementi 1, a,…,a n-1 .

1.4 Esenzione dall'irrazionalità algebrica al denominatore di una frazione.

Il problema di eliminare l'irrazionalità algebrica nel denominatore di una frazione è il seguente. Sia a un elemento algebrico di grado n>1 su un campo P; f e h sono polinomi dell'anello polinomiale P [x] e h(a) ¹0. È necessario rappresentare l'elemento f(a)/h(a)0P(a) come una combinazione lineare di potenze dell'elemento a, cioè come j(a),

Questo problema viene risolto nel modo seguente. Sia g il polinomio minimo per a su P. Poiché, per il Teorema 1.4, il polinomio è irriducibile su P e h(a) ¹ 0, ne consegue che g non divide h e quindi i polinomi h e g sono coprimi. Pertanto, ci sono polinomi u e v in P[x] tali che

Poiché g(a) = 0, ne consegue da (1).

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Pertanto, f(a)/h(a) = f(a)u(a), inoltre, f,u0P[x] e f(a)u(a)0P[a]. Quindi, ci siamo sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore della frazione f(a)/h(a) .

Sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione

.

Soluzione. Nel nostro caso a=

. Polinomio minimo questo numero è

I polinomi p(x) e g(x)=-x 2 +x+1 sono coprimi. Pertanto, ci sono polinomi j e y tali che

Per trovare j e y, applichiamo l'algoritmo di Euclide ai polinomi p e g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

In questo modo,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Dove troviamo

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x 2 +1/5x+3/5)=1.

In questo modo,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

)= .

Di conseguenza

.

2. Estensione del campo algebrico composito.

2.1. Estensione di campo finito.

Sia P un sottocampo del campo F. Allora possiamo considerare F come uno spazio vettoriale su P, cioè consideriamo lo spazio vettoriale +F, +, (w l ½l0P),

dove w l è l'operazione di moltiplicazione degli elementi di F per lo scalare l0P.

Definizione. Un'estensione F di un campo P si dice finita se F, come spazio vettoriale su P, ha dimensione finita. Questa dimensione è indicata da .

Proposta 2.1. Se a è un elemento algebrico di grado n su P, allora =n.

Questa proposizione segue direttamente dal Teorema 1.5.

Definizione. Un'estensione F di un campo P si dice algebrica se ogni elemento di F è algebrico su P.