Si consideri il gruppo moltiplicativo di tutte le potenze intere di due (2Z, ), dove 2Z= (2 n | P e Z). L'analogo del linguaggio additivo di questo gruppo è il gruppo additivo di interi pari (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Diamo definizione generale gruppi, di cui questi gruppi sono esempi particolari.
Definizione 1.8. Gruppo moltiplicativo (G,) (viene chiamato il gruppo additivo (G, +)). ciclico, se è costituito da tutte le potenze intere (rispettivamente, tutti i multipli interi) di un elemento a e G, quelli. G=(a p | p e Z) (rispettivamente, G - (pag | p e Z)). Designazione: (a), si legge: il gruppo ciclico generato dall'elemento a.
Considera degli esempi.
- 1. Un esempio di gruppo ciclico infinito moltiplicativo è il gruppo di tutte le potenze intere di un intero fisso un f±1, è indicato e il sig. In questo modo, e d - (a).
- 2. Un esempio di gruppo ciclico finito moltiplicativo è il gruppo Cn di radici ennesimo grado da un'unità. Ricordiamo che le ennesima radice dell'unità sono
secondo la formula e k= cos---hisin^-, dove k = 0, 1, ..., P - 1. Segui- p p
È importante sottolineare che С " \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Ricordalo numeri complessi ek, k = 1, ..., P - 1, rappresentato da punti sulla circonferenza unitaria che lo dividono P parti uguali.
- 3. Un esempio caratteristico di gruppo ciclico infinito additivo è il gruppo additivo di interi Z, generato dal numero 1, cioè Z = (1). Geometricamente, è rappresentato come punti interi di una retta numerica. In sostanza, il gruppo moltiplicativo è rappresentato allo stesso modo 2 7 - = (2), in generale az \u003d (a), dove è un numero intero un f±1 (vedi fig. 1.3). Questa somiglianza di immagini sarà discussa nella Sezione 1.6.
- 4. Scegliamo in modo arbitrario gruppo moltiplicativo G qualche elemento ma. Quindi tutte le potenze intere di questo elemento formano un sottogruppo ciclico (a) = (a p p e Z)G.
- 5. Dimostriamo che il gruppo additivo di numeri razionali Q non è esso stesso ciclico, ma due qualsiasi dei suoi elementi giacciono in un sottogruppo ciclico.
R. Dimostriamo che il gruppo additivo Q non è ciclico. Supponiamo il contrario: sia Q = (-). C'è un numero intero B,
non dividere T. Poiché - eQ = (-) = sn-|neZ>, allora ci sono
b t/ ( t J
esiste un intero rc 0 tale che - = n 0 -. Ma allora m = n 0 kb,
dove t: b- è venuto in contraddizione.
B. Dimostriamo che due sono arbitrari numeri razionali -
da „ /1
e - appartengono al sottogruppo ciclico (-), dove T c'è un d t/
multiplo comune minore di numeri B e D. Infatti, lasciate t-bu
, e ai 1 /1 da cv 1/1
e m = av, u, v e Z, allora - = - = ai-e(-)u - = - = cv-e(-).
b ma t t/ a dv t t/
Teorema 1.3. L'ordine di un gruppo ciclico è uguale all'ordine dell'elemento generatore di questo gruppo, cioè|(a)| = |a|.
Prova. 1. Sia |a| = ">. Dimostriamo tutto questo gradi naturali elemento ma diverso. Assumiamo il contrario: sia un k = un t e da 0 a Allora T - a - numero naturale e a t ~ k = e. Ma questo contraddice il fatto che | | a =°°. Quindi, tutti i poteri naturali di un elemento ma sono diversi, da cui segue che il gruppo (a) è infinito. Pertanto, | (a)| = °° = |a |.
2. Sia | un | = n. Dimostriamolo (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). L'inclusione (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) c (a) segue dalla definizione di gruppo ciclico. Proviamo l'inclusione inversa. Un elemento arbitrario di un gruppo ciclico (ma) ha la forma a, dove quelli Z. Dividere la grappa per il resto: m-nq + r, dove 0 p un n = e, poi a = a p io + g \u003d a p h? a r = a r e(un 0 , un, un 2,..., a "- 1). Quindi (a) c (a 0, a, a 2, ..., Quindi, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -uno ).
Resta da provare che tutti gli elementi dell'insieme (a 0 , a, un 2,..., a” -1 ) sono diversi. Supponiamo il contrario: sia 0 i P, ma un" = ma). Poi lui - e e 0 j - i - è venuto in contraddizione con la condizione | un | = P. Il teorema è stato dimostrato.
Cosets, teorema di Lagrange
Lascia stare h sottogruppo di gruppo G. Il coset sinistro dell'elemento un per sottogruppo h chiamato insieme di elementi Ah, dove h appartiene h. Il coset sinistro è indicato aH. Allo stesso modo, viene introdotto il coset destro dell'elemento un per sottogruppo h, che sta per Ah.
Poiché un sottogruppo ha sempre un elemento neutro, ogni elemento un contenuto in una classe adiacente aH (Ah).
Proprietà 2.7. Elementi un e B appartengono allo stesso coset sinistro per sottogruppo h se e solo se
Prova. Se poi B=Ah, e quindi, B appartiene al coset sinistro aH. Al contrario, sia , allora ci sono quello , e .
Teorema 2.2. Se cosets di elementi a sinistra (a destra). un e B dal sottogruppo H hanno un elemento comune, quindi coincidono.
Prova. Lascia stare. Poi ci sarà. Elemento arbitrario della classe adiacente sinistra aH contenuto nel coset di sinistra bH. Infatti, per , e, quindi, . L'inclusione è dimostrata in modo simile. Così il teorema è dimostrato.
Corollario 2.1. I cosets di sinistra non si intersecano o coincidono.
Prova ovviamente.
Corollario 2.2. Il coset sinistro (destra) è equicardinale a H.
Prova. Stabilire una corrispondenza tra gli elementi del sottogruppo h ed elementi della classe adiacente aH secondo la formula. La corrispondenza è uno a uno. Così l'affermazione è provata.
Teorema 2.3 (Lagrange). L'ordine di un gruppo finito è divisibile per l'ordine del suo sottogruppo.
Prova. Lascia stare G- gruppo di ordini n, ma h- sottogruppo G ordine K.L'uguaglianza vale. Rimuoviamo i termini ripetuti dal lato destro dell'uguaglianza. Di conseguenza, rimarranno classi adiacenti non intersecanti. Poiché il numero di elementi nella classe adiacente è , allora , dove m il numero di cosets distinti. Questo stabilisce l'uguaglianza n=mk, che è quanto richiesto.
Il numero di cosets distinti è chiamato indice di sottogruppo h in un gruppo G.
Un insieme di elementi di un gruppo G è chiamato generazione se G è ottenuto dalla chiusura di questo insieme in un'operazione di gruppo.
Un gruppo generato da un elemento è detto ciclico.
Corollario 2.3. Qualsiasi gruppo contiene un sottogruppo ciclico.
Prova. Lascia stare un-elemento di gruppo G. L'insieme è un sottogruppo ciclico.
Ordine di un sottogruppo ciclico generato da un elemento un, è chiamato ordine dell'elemento.
Proprietà 2.8. Se elemento un ha ordine n, poi un=e.
Prova. Consideriamo una sequenza. Poiché il numero di termini nella sequenza è infinito, e per le potenze di un elemento un ci sono un numero finito di possibilità, quindi gli stessi termini si verificheranno nella sequenza. Lascia dove K<J e K il primo termine ripetuto. Quindi , e quindi il membro k-j+ 1 si ripete. Di conseguenza, J=1 (altrimenti). Pertanto, la sequenza consiste nel ripetere insiemi della forma e in essa K- 1 articoli diversi. Di conseguenza, K=n+1. Da allora .
L'ordine di qualsiasi elemento è quindi un divisore dell'ordine del gruppo un | G | =e per qualsiasi elemento del gruppo.
Corollario 2.4. L'ordine del gruppo è equamente divisibile per l'ordine di qualsiasi elemento del gruppo.
Prova ovviamente.
Teorema 2.4 (sui gruppi ciclici)
I. Per qualsiasi naturale n esiste un gruppo di ordini ciclico n.
II. I gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi tra loro.
III. Il gruppo ciclico di ordine infinito è isomorfo al gruppo degli interi.
IV. Qualsiasi sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.
V. Per ogni divisore m numeri n(e solo per loro) nel gruppo ciclico n Nell'ordine c'è un unico sottogruppo di ordine m.
Prova. Insieme di radici complesse di grado n da 1 rispetto all'operazione di moltiplicazione forma un gruppo ciclico di ordine n. Si dimostra così la prima affermazione.
Passiamo al gruppo ciclico G ordine n generato dall'elemento un, e il gruppo ciclico h, dello stesso ordine, è generato dall'elemento B. La corrispondenza è uno a uno e conserva l'operazione. La seconda affermazione è provata
Gruppo ciclico di ordine infinito generato da un elemento un,è composto da elementi. La corrispondenza è uno a uno e conserva l'operazione. Si dimostra così la terza affermazione.
Lascia stare hè un sottogruppo di un gruppo ciclico G generato dall'elemento un. Elementi h sono laurea un. Scegliamo dentro h un. Sia questo un elemento. Mostriamo che questo elemento sta generando nel sottogruppo h. Prendi un elemento arbitrario da h. L'opera è contenuta in h per ogni R. Scegliamo R uguale al quoziente di divisione K sul J, poi k-rj c'è un resto dopo la divisione K sul J e quindi meno J. Perché dentro h nessun elemento che sia potenze diverse da zero un, meno di J, poi k-rj= 0 e . La quarta affermazione è dimostrata.
Passiamo al gruppo ciclico G ordine n generato dall'elemento un. Il sottogruppo generato dall'elemento ha l'ordine m. Considera il sottogruppo h ordine m. Scegliamo dentro h elemento che è la più piccola potenza diversa da zero in valore assoluto un. Sia questo un elemento. Mostriamolo j=n/m. L'oggetto appartiene h. Pertanto, un numero diverso da zero del modulo rj-nv non meno che in valore assoluto J, che è possibile solo se n diviso per J senza traccia. Il sottogruppo generato da ha l'ordine n/J=m, Di conseguenza, j=n/m. Poiché l'elemento generatore di un sottogruppo è determinato unicamente dal suo ordine, la quinta affermazione è dimostrata.
viene chiamato il sottogruppo sottogruppo ciclico. Termine esponenziazione qui significa applicazione multipla all'elemento dell'operazione di gruppo:L'insieme risultante da questo processo è indicato nel testo come . Si noti inoltre che a 0 = e .
Esempio 5.7
Dal gruppo G =< Z 6 , +>si possono ottenere quattro sottogruppi ciclici. Questo H 1 =<{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 =<{0, 3}, +> e H4=G. Si noti che quando l'operazione è addizione, allora a n significa moltiplicare n per a . Si noti inoltre che in tutti questi gruppi l'operazione è l'addizione modulo 6. Quanto segue mostra come troviamo gli elementi di questi sottogruppi ciclici.
un. Il sottogruppo ciclico generato da 0 è H 1 e ha un solo elemento (l'elemento neutro).
B. Il sottogruppo ciclico generato da 1 è H 4 , che è lo stesso gruppo G.
1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5 (stop, poi il processo si ripete)
in. Il sottogruppo ciclico generato da 2 è H 2 , che ha tre elementi: 0 , 2 e 4 .
2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (ferma, poi il processo si ripete)
d. Il sottogruppo ciclico generato da 3 è H 3 , che ha due elementi: 0 e 3 .
e. Sottogruppo ciclico generato da 4,-H2; questo non è un nuovo sottogruppo.
4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (ferma, poi il processo si ripete)
e. Il sottogruppo ciclico generato da 5 è H 4 , che è il gruppo G stesso.
5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (stop, ripeti processo)
Esempio 5.8
Dal gruppo è possibile ottenere tre sottogruppi ciclici. G ha solo quattro elementi: 1, 3, 7 e 9 . Sottogruppi ciclici - 
E . Quanto segue mostra come troviamo gli elementi di questi sottogruppi.
un. Il sottogruppo ciclico generato da 1 è H 1 . Il sottogruppo ha un solo elemento, ovvero quello neutro.
B. Il sottogruppo ciclico generato da 3 è H 3 , che è il gruppo G .
3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (ferma, poi il processo si ripete)
in. Il sottogruppo ciclico generato da 7 è H 3 , che è il gruppo G .
7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (ferma, poi il processo si ripete)
d. Il sottogruppo ciclico generato da 9 è H 2 . Il sottogruppo ha solo due elementi.
9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (ferma, poi il processo si ripete)
Gruppi ciclici
Gruppo ciclicoè un gruppo che è un proprio sottogruppo ciclico di . Nell'Esempio 5.7 il gruppo G ha un sottogruppo ciclico H 5 = G . Ciò significa che il gruppo G è un gruppo ciclico. In questo caso l'elemento che genera il sottogruppo ciclico può generare anche il gruppo stesso. Questo elemento è di seguito denominato "generatore". Se g è un generatore, gli elementi in un gruppo ciclico finito possono essere scritti come
(e,g,g 2 ,….., g n-1 ) , dove g n = e .
Si noti che un gruppo ciclico può avere molti generatori.
Esempio 5.9
ma. Gruppo G =
B. Il gruppo è un gruppo ciclico con due generatori, g = 3 e g = 7 .
Il teorema di Lagrange
Il teorema di Lagrange mostra la relazione tra l'ordine di un gruppo e l'ordine del suo sottogruppo. Supponiamo che G sia un gruppo e H sia un sottogruppo di G . Se l'ordine di G e H è |G| e |H| , rispettivamente, quindi secondo questo teorema |H| divide |G| . Nell'Esempio 5.7 |G| = 6. Ordine di sottogruppo - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 e |H4| = 6. Ovviamente, tutti questi ordini sono divisori di 6 .
Il teorema di Lagrange ha un'applicazione molto interessante. Quando un gruppo G e il suo ordine |G| , gli ordini di potenziali sottogruppi possono essere facilmente determinati se è possibile trovare i divisori. Ad esempio, l'ordine del gruppo G =
Ordine degli elementi
Ordine degli elementi in un gruppo ord(a) (ordine(a)) è il più piccolo intero n tale che a n = e . In altre parole: l'ordine di un elemento è l'ordine del gruppo che genera.
Esempio 5.10
un. Nel gruppo G =
B. Nel gruppo G =
Un gruppo O è detto ciclico se tutti i suoi elementi sono potenze dello stesso elemento.Questo elemento è chiamato generatore del gruppo ciclico O. Qualsiasi gruppo ciclico è ovviamente abeliano.
Un gruppo ciclico è, ad esempio, il gruppo di interi per addizione. Indicheremo questo gruppo con il simbolo 2. La sua generatrice è il numero 1 (e anche il numero - 1). Un gruppo ciclico è anche un gruppo costituito da un solo elemento (uno).
In un gruppo arbitrario O, le potenze di qualsiasi elemento g formano un sottogruppo ciclico con generatore g. L'ordine di questo sottogruppo coincide ovviamente con l'ordine dell'elemento g. Quindi, in virtù del teorema di Lagrange (vedi p. 32), ne consegue che l'ordine di qualsiasi elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo (notare che tutti gli elementi di un gruppo finito sono elementi di un ordine finito).
Pertanto, per ogni elemento g di un gruppo di ordine finito, l'uguaglianza
Questa semplice osservazione è spesso utile.
Infatti, se il gruppo O è ciclico e il suo generatore, allora l'ordine dell'elemento è . Viceversa, se il gruppo O ha un elemento di ordine, allora tra le potenze di questo elemento ce ne sono di diverse, e quindi questi gradi esauriscono l'intero gruppo O.
Vediamo, quindi, che un gruppo ciclico può avere diversi generatori (ovvero, qualsiasi elemento dell'ordine è un generatore).
Un compito. Dimostralo qualsiasi gruppo ordine sempliceè un gruppo ciclico.
Un compito. Dimostra che il gruppo ciclico di ordine ha esattamente dei generatori, dove è il numero numeri positivi, più piccolo e coprimi con .
Insieme all'ordine, a qualsiasi gruppo finito può essere assegnato un numero, il minimo comune multiplo degli ordini di tutti i suoi elementi.
Un compito. Dimostra che per ogni gruppo finito O il numero divide l'ordine del gruppo.
Ovviamente, per un gruppo ciclico, il numero coincide con l'ordine. In genere non è vero il contrario. Tuttavia, vale la seguente affermazione, che caratterizza i gruppi ciclici nella classe dei gruppi abeliani finiti:
un gruppo abeliano finito O per il quale il numero è uguale al suo ordine è un gruppo ciclico.
Infatti, lasciate
Gli ordini di tutti i possibili elementi non uno di un gruppo abeliano finito O sono di ordine , e sia il loro multiplo minimo comune.
Espandiamo il numero in un prodotto di potenze di vari numeri primi:
Sia poiché un numero è, per definizione, il minimo comune multiplo dei numeri (1), tra questi numeri esiste almeno un numero divisibile esattamente per ie, avente la forma , dove b è coprima con . Sia questo numero l'ordine dell'elemento g. Quindi l'elemento ha un ordine (vedi Corollario 1) a p. 29).
Quindi, per ogni elemento del gruppo O c'è almeno un elemento dell'ordine. Scegliendo uno di questi elementi per ciascuno, considera il loro prodotto. Secondo l'affermazione dimostrata alle pagine 29-30, l'ordine di questo prodotto è uguale al prodotto degli ordini di , cioè è uguale al numero. Poiché l'ultimo numero è per condizione uguale a , ciò dimostra che esiste un elemento di ordine n nel gruppo O. Pertanto, questo gruppo è un gruppo ciclico.
Sia ora O un gruppo ciclico arbitrario con un generatore e H alcuni dei suoi sottogruppi. Poiché qualsiasi elemento del sottogruppo H è un elemento del gruppo O, può essere rappresentato come , dove d è un numero intero positivo o negativo (in generale, non è definito in modo univoco). Considera l'insieme di tutti i numeri positivi per i quali l'elemento appartiene al sottogruppo H. Poiché questo insieme non è vuoto (perché?), in esso esiste numero più piccolo Si scopre che qualsiasi elemento h del sottogruppo H è un grado dell'elemento. In effetti, per definizione, esiste un numero d tale che (anche il numero d può essere negativo). Dividere (con resto) il numero d per il numero
Poiché , quindi, per la minimalità del numero, il resto deve essere uguale a zero. In questo modo, .
Ciò dimostra che l'elemento è un generatore del gruppo H, cioè che il gruppo H è ciclico. Quindi, qualsiasi sottogruppo di un gruppo ciclico è un gruppo ciclico.
Un compito. Dimostrare che il numero è uguale all'indice del sottogruppo H e, quindi, divide l'ordine del gruppo O (se il gruppo O è finito).
Notiamo anche che per ogni divisore d'ordine di un gruppo ciclico finito Q nel gruppo O esiste uno ed un solo sottogruppo H di ordine (vale a dire, un sottogruppo con generatore
Ciò implica che se un gruppo ciclico finito è semplice, allora lo è il suo ordine numero primo(o unità).
Infine, notiamo che qualsiasi gruppo quoziente, quindi qualsiasi immagine omomorfa) di un gruppo ciclico Q è un gruppo ciclico.
Per la dimostrazione basti notare che il generatore del gruppo è il coset contenente il generatore del gruppo O.
In particolare, qualsiasi gruppo di fattori del gruppo di interi Z è un gruppo ciclico. Studiamo più in dettaglio questi gruppi ciclici.
Poiché il gruppo Z è abeliano, qualsiasi suo sottogruppo R è un normale divisore. D'altra parte, secondo quanto sopra dimostrato, il sottogruppo H è un gruppo ciclico. Poiché ci sono noti gruppi quozienti per sottogruppi banali, possiamo considerare il sottogruppo Η non banale. Sia un numero un generatore del sottogruppo H. Possiamo considerare questo numero positivo (perché?) e, quindi, maggiore di uno.
Il sottogruppo H. è ovviamente costituito da tutti gli interi divisibili per . Pertanto, due numeri appartengono allo stesso coset rispetto al sottogruppo H se e solo se la loro differenza è divisibile per , cioè quando sono comparabili in modulo (vedi Corso, p. 277). Pertanto, i cosetti rispetto al sottogruppo H non sono altro che le classi di numeri che sono confrontabili modulo .
In altre parole, il gruppo fattoriale del gruppo Z rispetto al sottogruppo H è un gruppo (per addizione) di classi di numeri confrontabili modulo . Indicheremo questo gruppo con il suo generatore è la classe contenente il numero 1.
Si scopre che qualsiasi gruppo ciclico è isomorfo al gruppo Z (se è infinito) oa uno dei gruppi (se il suo ordine è finito).
Sia infatti un generatore del gruppo O. Definiamo una mappatura del gruppo 2 nel gruppo O per impostazione
gruppi finiti
Viene chiamato un gruppo (semigruppo). ultimo se è formato da un numero finito di elementi. Il numero di elementi di un gruppo finito è detto suo al fine. Qualsiasi sottogruppo di un gruppo finito è finito. E se hÍ G– sottogruppo di un gruppo G, quindi per qualsiasi elemento maÎ G molti Sul={X: X=h◦un, per ogni hÎ h) è chiamato classe di adiacenza sinistra per G relativamente h. È chiaro che il numero di elementi in Sul uguale all'ordine h. (Allo stesso modo, si può formulare la definizione un– giusto coset rispetto a h).
È importante che per qualsiasi sottogruppo h gruppi G qualsiasi due cosets a sinistra (a destra) di h coincidono o non si intersecano, quindi qualsiasi gruppo può essere rappresentato come un'unione di cosets disgiunti di sinistra (destra) da h.
Infatti, se due classi N / A e Hb, dove un, BÎ G, hanno un elemento comune X, allora esiste TÎ h tale che X = T◦un. E poi la classe a sinistra per X: H x={y: y=h◦X= h◦(T◦un) = (h◦T)◦un} Í H a, ma un=T ‑1 ◦X e N / A={y: y=h◦un= h◦(T ‑1 ◦X) = (h◦T ‑1)◦X} Í H x. Da qui H x=N / A. Allo stesso modo, lo si può dimostrare H x=H b. E quindi N / A=H b. Se le classi N / A e Hb Non ho elementi comuni, quindi non si intersecano.
Viene chiamata tale partizione di un gruppo in cosets sinistro (destro). scomposizione del gruppo in termini di sottogruppo H.
Teorema 2.6.1. L'ordine di un gruppo finito è divisibile per l'ordine di uno qualsiasi dei suoi sottogruppi.
Prova. Perché Gè un gruppo finito, quindi uno qualsiasi dei suoi sottogruppi h ha un ordine finito. Considera la scomposizione di un gruppo in sottogruppi h. In ogni coset in questa scomposizione, il numero di elementi è lo stesso e uguale all'ordine h. Pertanto, se n- ordine di gruppo G, ma K- ordine di sottogruppo h, poi n=m× K, dove mè il numero di cosets di h nella scomposizione di gruppo G.
Se per qualsiasi elemento unÎ G Þ N / A=un(coset sinistro e destro per sottogruppo h partita), quindi h chiamata divisore normale gruppi G.
Dichiarazione: Se Gè un gruppo commutativo, quindi uno qualsiasi dei suoi sottogruppi hè un normale divisore G.
In vista dell'associatività di un'azione in un gruppo (semigruppo), si può parlare di un “prodotto” di tre elementi ( ma◦B◦C) =(ma◦B)◦C = ma◦(B◦C). La nozione lavoro complesso da n elementi: ma 1 ◦ma 2 ◦…◦un = ◦ un = = ◦.
Lavoro n vengono chiamati elementi identici di un gruppo grado dell'elemento e indicato un=. Questa definizione ha senso per qualsiasi naturale n. Per qualsiasi elemento del gruppo unÎ G designare ma 0 =eè l'elemento neutro del gruppo G. E i poteri negativi di un elemento un ‑ n definito come ( un ‑1)n o ( un) -1 , dove un-1 - elemento inverso a ma. Entrambe le definizioni un ‑ n partita, perché un◦(un ‑1)n = (ma◦ma◦ ¼◦ ma)◦(un ‑1 ◦un-1◦ ¼◦ un ‑1) = ma◦ma◦¼◦( ma◦un ‑1)◦un-1 ◦¼◦ un ‑1 =e n =e. In questo modo, ( un ‑1)n = (un) ‑1 .
In un gruppo additivo, un analogo del grado di un elemento un volere n-multiplo di esso, generalmente indicato n / A, che non deve essere considerato un prodotto n sul ma, nella misura in cui nÎℕ e forse nÏ G. Quella. n / A⇋ dove nнℕ e 0 ma=e⇋0 e (- n)un = ‑(n / A) = n(‑un) per qualsiasi naturale n, dove (- un) è inverso a unÎ G.
È facile mostrarlo con la notazione scelta per qualsiasi numero intero m e n e per qualsiasi unÎ G proprietà note sono soddisfatte: ma) con notazione moltiplicativa un ◦sono = un n + m E ( un)m = un nm; B) con notazione additiva n / A+ma = (n+m)un e n(ma)=(nm)un.
Considera un sottoinsieme del gruppo G, composto da tutti i poteri di un elemento arbitrario GÎ G. Indichiamolo Ag. In questo modo, Ag ={G 0 , G 1 , G ‑1 , G 2 , G-2,¼). Ovviamente, Agè un sottogruppo del gruppo G, perché per qualsiasi elemento X,aÎ Ag segue che ( X◦a)Î Ag, e per qualsiasi elemento XÎ Ag ci sarà X-1 О Ag, Oltretutto, G 0 =eÎ Ag.
Sottogruppo Ag chiamata sottogruppo ciclico gruppi G generato dall'elemento G. Questo sottogruppo è sempre commutativo, anche se è esso stesso G non commutativo. Se il gruppo G coincide con uno dei suoi sottogruppi ciclici, quindi viene chiamato gruppo ciclico generato dall'elemento G.
Se tutte le potenze di un elemento G diverso, quindi il gruppo G chiamata senza fine gruppo ciclico e l'elemento G- elemento ordine infinito.
Se tra gli elementi del gruppo ciclico sono uguali, ad esempio, g k=g m a K>m, poi G km=e; e denotando km attraverso n, noi abbiamo gn=e, nÎℕ.
Meno indicatore naturale n tale che gn=e, è chiamato l'ordine dell'elemento g e l'elemento stesso G chiamata elemento di ordine finito.
Un tale elemento può sempre essere trovato in un gruppo finito, ma può anche essere in un gruppo infinito.
Vengono chiamati i gruppi i cui elementi sono tutti di ordine finito periodico.
Poiché ogni elemento di un gruppo finito ha un ordine finito, tutti i gruppi finiti sono periodici. Inoltre, sono tutti periodici. sottogruppi ciclici gruppo finito, poiché sono finiti, e ogni elemento di ordine finito n genera un gruppo ciclico dello stesso ordine n, costituito da elementi ( G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-uno ). Infatti, se il numero degli elementi fosse uguale ad alcuni K<n, poi g k=e=gn, il che è contrario alla scelta n, come il minimo grado tale che gn=e; d'altro canto, K>nè anche impossibile, perché in questo caso, ci sarebbero elementi identici.
Dichiarazione: 1) tutti i gradi G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-1 sono diversi perché se ci fossero uguali, per esempio, gi=gj (io>J), poi g i-j=e, ma ( io‑J)<n, e per definizione n- il grado più piccolo tale che gn=e.
2) Qualsiasi altra laurea G, positivo o negativo, è uguale a uno degli elementi G 0 , G 1 , G 2,¼, gn-1 perché qualsiasi numero intero K può essere rappresentato dall'espressione: K=nq+R, dove Q,RÎℤ e 0 £ R<n, R- resto e g k=gnq + r= gnq° R= (gn)Q° R= eq° R= R.
1) Ogni gruppo ha un elemento unico del primo ordine ( e) generando un sottogruppo ciclico del primo ordine costituito da un elemento e.
2) Considera il gruppo di permutazione S 3, costituito dagli elementi: , , , , , . Ordine S 3=6. Ordine degli elementi maè uguale a 2, perché . Ordine degli elementi Bè anche uguale a 2, perché . Ordine degli elementi daè uguale a 3, perché E . Ordine degli elementi Fè anche uguale a 3, perché E . E infine l'ordine Dè uguale a 2, perché . Quindi, sottogruppi ciclici S 3 generato da elementi e, un, B, D, C e F, rispettivamente, sono uguali: ( e}, {e, un}, {e, B}, {e, D}, {e, C, F) E ( e, F, C), dove gli ultimi due coincidono. Si noti inoltre che l'ordine di ciascun sottogruppo ciclico divide l'ordine del gruppo senza resto. È vero il seguente teorema.
Teorema 2.7.1. (Lagrange) L'ordine di un gruppo finito è divisibile per l'ordine di uno qualsiasi dei suoi elementi (poiché l'ordine di un elemento e l'ordine del sottogruppo ciclico da esso generato coincidono).
Ciò implica anche che qualsiasi elemento di un gruppo finito, quando elevato a un potere dell'ordine del gruppo, dia l'identità del gruppo. (Perché g m=gnk=e k=e, dove m- ordine di gruppo n- ordine degli elementi G, Kè un numero intero).
Ci sono 3 sottogruppi nel gruppo S h={e, C, F) è un divisore normale, mentre i sottogruppi di ordine 2 non sono divisori normali. Questo è facile da controllare trovando i cosets sinistro e destro di h per ogni elemento del gruppo. Ad esempio, per un elemento ma classe di adiacenza sinistra Sul={e ◦ a, da◦ ma, F◦ un} = {ma, B, D) e il coset giusto un={a ◦ e, ma◦ C, ma◦ F} = {ma, D, B) incontro. Allo stesso modo per tutti gli altri elementi S 3 .
3) L'insieme di tutti gli interi con addizione forma un gruppo ciclico infinito con un elemento generatore 1 (o -1), perché qualsiasi numero intero multiplo di 1.
4) Considera l'insieme delle radici n‑° grado dall'unità: E n=. Questo insieme è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione delle radici. Infatti, il prodotto di due elementi qualsiasi e k e e m da E n, dove K, m £ n-1 sarà anche un elemento E n, poiché = = , dove R=(k+m) mod n e R £ n-uno; la moltiplicazione è un elemento associativo, neutro e=e 0 =1 e per qualsiasi elemento e k c'è un inverso e . Questo gruppo è ciclico, il suo elemento generatore è la radice primitiva. È facile vedere che tutti i gradi sono diversi: , più avanti per K³ n le radici iniziano a ripresentarsi. Sul piano complesso, le radici si trovano su un cerchio di raggio unitario e lo dividono in n archi uguali, come mostrato nella Figura 11.
Gli ultimi due esempi esauriscono essenzialmente tutti i gruppi ciclici. Poiché è vero il seguente teorema.
Teorema 2.7.2. Tutti i gruppi ciclici infiniti sono isomorfi tra loro. Tutti i gruppi ciclici finiti di ordine n isomorfi tra loro.
Prova. Lascia che sia ( G, ∘) è un gruppo ciclico infinito con generatore G. Poi c'è una mappatura biiettiva F: ℤ ® G tale che per qualsiasi numero intero K e m le loro immagini F(K) E F(m), rispettivamente uguali g k e g m, sono elementi G. E dove F(K+m)=F(K)∘F(m), nella misura in cui g k + m=g k∘ g m.
Lascia ora ( G, ∘) è un gruppo ciclico finito di ordine n con elemento padre G. Poi ogni elemento g kÎ G l'unico modo è abbinare l'elemento e kÎ E n(0£ K<n), secondo la regola F(g k)=e k. Eppure, per qualsiasi g k e g mÎ G segue quello F(g k∘ g m)=F(g k) ∘F(g m), nella misura in cui F(g k∘ g m)=F(g k + m)=F(R), dove R=(K+m) mod n, E F(R)=ehm=e k× e m. È chiaro che tale confronto è una mappatura biiettiva.