Un segmento N della serie naturale è l'insieme dei numeri naturali non eccedenti numero naturale a, cioè N = (x|x N e x a).
Ad esempio, N è l'insieme dei numeri naturali non superiori a 7, cioè N =(1,2,3,4,5,6,7).
Notiamo due importanti proprietà dei segmenti della serie naturale:
1) Qualsiasi segmento N contiene un'unità. Questa proprietà deriva dalla definizione di un segmento della serie naturale.
2) Se il numero x è contenuto nel segmento N e x a, allora anche il numero x + 1 immediatamente successivo è contenuto in N.
Un insieme A si dice finito se ha dimensioni equivalenti a un segmento N della serie naturale. Ad esempio, l'insieme A dei vertici di un triangolo, l'insieme B di lettere nella parola "mondo" sono insiemi finiti, perché sono equivalenti al segmento N = (1,2,3), cioè A~B~N.
Se un insieme finito non vuoto A è equivalente a un segmento N, allora un numero naturale a è chiamato numero di elementi dell'insieme A e si scrive n(A) = a. Ad esempio, se A è l'insieme dei vertici di un triangolo, allora n(A) = 3.
Qualsiasi insieme finito non vuoto equivale a uno e solo un segmento della serie naturale, cioè ogni insieme finito A può essere associato a un numero a definito in modo univoco, tale che l'insieme A sia mappato uno a uno sul segmento N.
L'instaurazione di una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di un insieme finito non vuoto A e un segmento della serie naturale si chiama conteggio degli elementi dell'insieme A. Poiché ad ogni non-numero corrisponde un solo numero naturale insieme finito vuoto, l'intero insieme di insiemi finiti è diviso in classi di insiemi ugualmente potenti. Una classe conterrà tutti gli insiemi di un elemento, un'altra conterrà gli insiemi di due elementi e così via. E questo numero può essere considerato come proprietà comune classe di insiemi finiti equivalenti. Quindi, dal punto di vista della teoria degli insiemi, un numero naturale è una proprietà generale di una classe di insiemi equipotenti finiti.
Il numero 0 ha anche un'interpretazione insiemistica: viene messo in corrispondenza dell'insieme vuoto: n() = 0.
Quindi, un numero naturale a come caratteristica di una quantità può essere considerato da due posizioni:
1) come numero di elementi dell'insieme A, ottenuto contando;
2) come proprietà generale della classe degli insiemi finiti equivalenti.
La connessione stabilita tra insiemi finiti e numeri naturali ci permette di dare un'interpretazione insiemistica della relazione "minore di".
Se a = n(A), b = n(B), allora il numero a è minore del numero b se e solo se l'insieme A è equivalente al proprio sottoinsieme dell'insieme B, cioè A ~ B, dove B B, B B, B (Fig. 1) . Oppure quando un segmento della serie naturale N è un sottoinsieme proprio del segmento N , cioè N N .
I numeri aeb sono uguali se determinati da insiemi uguali: a = k A~B, dove n(A) = a, n (B) = k. Ad esempio, 2 = 2, perché n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Anche le proprietà della relazione "minore di" per i numeri naturali ricevono un'interpretazione insiemistica: la transitività e l'antisimmetria di questa relazione sono legate al fatto che la relazione "essere un sottoinsieme" è transitiva e antisimmetrica.
Mostriamo, usando l'interpretazione insiemistica della relazione "minore di" per i numeri naturali, che 2
Prendi un insieme A contenente 2 elementi e un insieme B contenente 5 elementi, ad es. n(A) = 2, n(B) = 5. Ad esempio, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Dall'insieme B si può individuare un sottoinsieme B, che è equivalente all'insieme A: per esempio, B = (c, d) e A~B. Secondo la definizione di "minore di", 2
La validità di questa disuguaglianza deriva anche dal fatto che N
Questa disuguaglianza può essere vista nella Figura 2. Sia 2 il numero di cerchi e 5 il numero di quadrati. Se sovrapponiamo cerchi ai quadrati, vedremo che alcuni quadrati rimangono scoperti.
Ciò significa che il numero di cerchi è inferiore al numero di quadrati, cioè 2
Teorico senso plurale disuguaglianze 0
Confrontando i numeri in corso primario si esegue la matematica diversi modi- si basa su tutti gli approcci che abbiamo considerato per l'interpretazione della relazione "meno".
Teoremi sull'intero “più grande” e “più piccolo”.
Teorema 4 (sull'intero ''più piccolo''). Ogni insieme non vuoto di interi delimitato sotto contiene il minimo wuslo. (Qui, come nel caso dei numeri naturali, si usa la parola "insieme" al posto della parola "sottoinsieme"
Prova. Siano O A C Z e A delimitati dal basso, cioè 36? Zva? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Sia ora b A.
Poi Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >DI).
Formiamo un insieme M di tutti i numeri della forma a - b, dove a attraversa l'insieme A, cioè M \u003d (c [ c \u003d a - b, a E A)
È ovvio che l'insieme M non è vuoto, poiché A 74 0
Come notato sopra, M C N . Di conseguenza, per il teorema dei numeri naturali (54, Cap. III), l'insieme M contiene il più piccolo numero naturale m. Allora m = a1 - b per qualche numero a1? A, e, poiché m è il più piccolo di M, allora Va? In< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (sull'intero “più grande”). Qualsiasi insieme di interi non vuoto, delimitato dall'alto contiene il numero più grande.
Prova. Sia O 74 A C Z e A delimitati dall'alto dal numero b, cioè ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b per tutti i numeri a? MA.
Di conseguenza, l'insieme M (con r = -a, a? A) non è vuoto ed è delimitato dal basso dal numero (-6). Quindi, secondo il teorema precedente, l'insieme M contiene il numero più piccolo, cioè asso? MU? M (con< с).
Questo significa wah? Come< -а), откуда Уа? А(-с >ma)
3. Varie forme del metodo di induzione matematica per interi. Teorema di divisione con resto
Teorema 1 (la prima forma del metodo di induzione matematica). Sia P(c) un predicato a un posto definito sull'insieme Z di interi, 4 . Allora se per qualche NUMERO a Z la proposizione P(o) e per un intero arbitrario K > a da P(K) segue P(K -4- 1), allora la proposizione P(r) vale per tutti numeri interi, t numeri c > a (cioè, sull'insieme Z è vero seguente formula calcolo dei predicati:
P(a) cipolla > + 1)) Vc > aP(c)
per ogni intero fisso a
Prova. Supponiamo che per la proposizione P(c) tutto ciò che è detto nella condizione del teorema sia vero, cioè
1) P(a) - vero;
2) Anche UK SC a + è vero.
Dal contrario. Supponiamo che ci sia un tale numero
b > a, che RF) - falso. È ovvio che b a, poiché P(a) è vero. Formiamo l'insieme M = (z? > a, P(z) è falso).
Allora l'insieme M 0 , poiché b? M e M- è delimitata dal basso dal numero a. Pertanto, per il teorema del minimo intero (Teorema 4, 2), l'insieme M contiene il più piccolo intero c. Quindi c > a, che a sua volta implica c - 1 > a.
Dimostriamo che P(c-1) è vero. Se c-1 = a, allora P(c-1) è vero in virtù della condizione.
Sia c-1 > a. Quindi l'assunzione che P(c - 1) sia falsa implica l'appartenenza a 1? M, che non può essere, poiché il numero c è il più piccolo dell'insieme M.
Quindi c - 1 > a e P(c - 1) è vero.
Quindi, in virtù della condizione di questo teorema, l'enunciato Р((с- 1) + 1) è vera, cioè R(s) è vero. Ciò contraddice la scelta del numero c, poiché c? M Il teorema è dimostrato.
Si noti che questo teorema generalizza il Corollario 1 degli assiomi di Peano.
Teorema 2 (la seconda forma del metodo di induzione matematica per interi). Sia P(c) un prefisso unidirezionale definito sull'insieme Z di interi. Allora se la preposizione P(c) vale per qualche intero K e per un intero arbitrario s K dalla validità della proposizione P(c) per tutti gli interi che soddisfano la disuguaglianza K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >A.
La dimostrazione di questo teorema ripete ampiamente la dimostrazione di un teorema simile per i numeri naturali (Teorema 1, 55, Cap. III).
Teorema 3 (la terza forma del metodo di induzione matematica). Sia P(c) un predicato a un posto definito sull'insieme Z di interi. Allora se P(c) è vero per tutti i numeri di qualche sottoinsieme infinito M dell'insieme dei numeri naturali e per un intero arbitrario a, la verità di P(a) implica la verità di P (a - 1), allora la proposizione P(c) vale per tutti gli interi di numeri.
La dimostrazione è simile alla dimostrazione del teorema corrispondente per i numeri naturali.
Lo proponiamo come un esercizio interessante.
Si noti che in pratica la terza forma di induzione matematica è meno comune delle altre. Ciò si spiega con il fatto che per la sua applicazione è necessario conoscere un sottoinsieme infinito M dell'insieme dei numeri naturali", menzionato nel teorema. Trovare un tale set può essere un compito difficile.
Ma il vantaggio della terza forma rispetto alle altre è che con il suo aiuto si dimostra la proposizione P(c) per tutti gli interi.
Di seguito diamo un interessante esempio di applicazione della terza forma. Ma prima, diamo un concetto molto importante.
Definizione. Il valore assoluto di un intero a è il numero determinato dalla regola
0 se a O a se a > O
E se un< 0.
Quindi, se a è 0, allora? N.
Invitiamo il lettore come esercizio a dimostrare le seguenti proprietà di valore assoluto:
Teorema (sulla divisione con resto). Per ogni intero aeb, dove b 0, esiste, e inoltre, solo una coppia di numeri q U m tale che a r: bq + T A D.
Prova.
1. Esistenza di una coppia (q, m).
Sia a, b? Z e 0. Dimostriamo che esiste una coppia di numeri q e soddisfa le condizioni
La prova si effettua per induzione nella terza forma sul numero a per un numero fisso b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Ovviamente, M C lt è una mappatura f: N M definita dalla regola f(n) = nlbl per ogni n? N, è una biiezione. Ciò significa che M N, cioè M è infinita.
Dimostriamolo per numero arbitrario ma? M (e b-fissa) l'asserzione del teorema sull'esistenza di una coppia di numeri q ed m è vera.
Infatti, sia un (- M. Allora un pf! per alcuni n? N.
Se b > 0, allora a = n + 0. Ora ponendo q = n e m 0, otteniamo la coppia di numeri richiesta q e m. Se b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Facciamo ora un'ipotesi induttiva. Assumiamo che per un intero arbitrario c (e un fisso arbitrario b 0) l'asserzione del teorema sia vera, cioè, esiste una coppia di numeri (q, m) tale che
Dimostriamo che vale anche per il numero (con 1) . L'uguaglianza c = bq -4- implica bq + (m - 1). (uno)
I casi sono possibili.
1) m > 0. Allora 7" - 1 > 0. In questo caso, ponendo - m - 1, otteniamo c - 1 - bq + Tl, dove la coppia (q, 7" 1,) ovviamente soddisfa la condizione
0. Quindi ñ - 1 bq1 + 711 , dove q1
Possiamo facilmente dimostrare che 0< < Д.
Pertanto, l'affermazione vale anche per la coppia di numeri
Si dimostra la prima parte del teorema.
P. L'unicità della coppia q, ecc.
Supponiamo che per i numeri aeb 0 ci siano due coppie di numeri (q, m) e (q1, soddisfando quindi le condizioni (*)
Dimostriamo che coincidono. Quindi lascia
e un bq1 L O< Д.
Ciò implica che b(q1 -q) m - 7 1 1. Da questa uguaglianza segue che
Se ora assumiamo che q ql , allora q - q1 0, da cui lq - q1l 1. Moltiplicando queste disuguaglianze termine per termine per il numero lbl, otteniamo φ! - q11 D. (3)
Allo stesso tempo, dalle disuguaglianze 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Esercizi:
1. Completa le dimostrazioni dei Teoremi 2 e 3 di 5 1.
2. Dimostrare il Corollario 2 del Teorema 3, 1.
3. Dimostrare che il sottoinsieme H ⊂ Z, costituito da tutti i numeri della forma< п + 1, 1 >(n? N), è chiuso per addizione e moltiplicazione.
4. Sia H lo stesso insieme dell'Esercizio 3. Dimostra che la mappatura j : M soddisfa le condizioni:
1) j - biiezione;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) e j(nm) = j(n) j(m) per qualsiasi numero n, m (ovvero, j esegue un isomorfismo delle algebre ( N, 4 e (H, + ,).
5. Completa la dimostrazione del Teorema 1 di 2.
6. Dimostrare che per tutti gli interi a, b, c sono vere le seguenti implicazioni:
7. Dimostrare il secondo e il terzo teorema da 3.
8. Dimostrare che l'anello Z di interi non contiene zero divisori.
Letteratura
1. Bourbaki N. Teoria degli insiemi. M.: Mir, 1965.
2. I. M. Vinogradov, Fondamenti di teoria dei numeri. M.: Nauka, 1972. Z. Demidov, I. T. Fondamenti di aritmetica. Mosca: Uchpedgiz, 1963.
4. M. I. Kargapolov e Yu. I. Merzlyakov, Fondamenti di teoria dei gruppi.
Mosca: Nauka, 1972.
5. A. I. Kostrikin, Introduzione all'algebra. Mosca: Nauka, 1994.
B. Kulikov L. Ya. Algebra e teoria dei numeri. M.: Più in alto. scuola, 1979.
7. Kurosh AG Corso di algebra superiore. Mosca: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Concetti di base della matematica scolastica. M.: Illuminismo, 1987.
9. Lyapin UE. e altri esercizi di teoria dei gruppi. Mosca: Nauka, 1967.
10. Maltsev A. I. Sistemi algebrici. Mosca: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Introduzione alla logica matematica. Mosca: Nauka, 1971.
12. Nechaev V. I. Sistemi numerici. M.: Istruzione, 1975.
13. Novikov PS Elementi di logica matematica. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Lezioni su Algebra e Geometria.: Alle 14.00.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Fondamenti moderni del corso scolastico di matematica Avt. collaboratore: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. Mosca: Istruzione, 1980.
16. L.A. Skornyakov, Elementi di algebra. Mosca: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Insiemi, logica, teorie assiomatiche. M.; Illuminismo, 1968.
18. Stolyar A. A. Introduzione logica alla matematica. Minsk: VYSHEYSH. scuola, 1971.
19. V. P. Filippov, Algebra e teoria dei numeri. Volgograd: vgpi, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Fondamenti della teoria degli insiemi. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Sistemi parzialmente ordinati. M.: Mir, 1965.
Edizione didattica
Vladimir Konstantinovich Kartashov
INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA
Preparazione editoriale di O. I. Molokanova Layout originale preparato da A. P. Boshchenko
„PR 020048 del 20.12.96
Firmato per la pubblicazione il 28 agosto 1999. Formato 60x84/16. Stampa d'ufficio. Boom. genere. M 2. Uel. forno l. 8.2. Uch.-ed. l. 8.3. Tiratura 500 copie. Ordine 2
Casa editrice "Cambiamento"
Un numero naturale è un numero utilizzato per contare gli oggetti. Sorse dai bisogni pratici dell'uomo. Lo sviluppo del concetto di numero naturale può essere suddiviso in più fasi: 1. gli antichi, per confrontare un insieme, stabilivano corrispondenze: per esempio, quanto un dito su una mano. Lo svantaggio è che gli insiemi confrontati dovevano essere visibili contemporaneamente. 2. Molti: intermediari, ad esempio pietre, conchiglie, bastoncini. Il concetto di numero non è ancora stato formato. E i numeri sono legati a oggetti specifici. 3. L'aspetto di un numero (designazione di un numero sotto forma di numeri). L'origine dell'aritmetica. L'aritmetica come scienza ha avuto origine nei paesi dell'Antico Oriente - Cina, India, Egitto, ulteriormente sviluppata in Grecia. Il termine "numero naturale" fu usato per la prima volta dallo scienziato romano Boezio. È necessario un conteggio per determinare l'importo di un set. Dividiamo tutti gli insiemi quantitativi in classi di equivalenza, ad esempio, in una classe di eq. includerà insiemi di vertici di triangoli, lati di un quadrato, un insieme di lettere nella parola mondo. Se continuiamo questo processo, allora a causa del fatto che in relazione all'equivalenza - tutto è una relazione ugualmente potente. Gli insiemi finiti saranno per classi. Quella. teoricamente - il significato plurale di un numero naturale quantitativo - è una proprietà generale di una classe di insiemi finiti equivalenti. Ogni classe ha il suo valore numerico. Zero è impostato per corrispondere al set vuoto.
I numeri A e B si dicono uguali se sono determinati da insiemi uguali.
Questo metodo è utilizzato nelle classi elementari.
Metodologia per lavorare su compiti che rivelano significato specifico operazioni aritmetiche.
I problemi aritmetici nel corso della matematica occupano un posto significativo. Quasi la metà del tempo nelle lezioni di matematica è dedicato alla risoluzione di problemi. Ciò è dovuto al loro grande ruolo educativo ed educativo che svolgono nell'insegnamento ai bambini. Risolvere problemi aritmetici aiuta a svelare il significato principale delle operazioni aritmetiche, a concretizzarle, a connetterle con una certa situazione di vita. I compiti contribuiscono all'assimilazione di concetti, relazioni, schemi matematici. Quando risolvono i problemi, i bambini sviluppano attenzione volontaria, osservazione, pensiero logico, parola, intelligenza. La risoluzione dei problemi contribuisce allo sviluppo di tali processi attività cognitiva come analisi, sintesi, confronto, generalizzazione.
Nel processo di risoluzione dei problemi aritmetici, gli studenti imparano a pianificare e controllare le proprie attività, padroneggiano le tecniche, l'autocontrollo (verifica di un problema, stima dei problemi, ecc.), sviluppano perseveranza, volontà, sviluppano un interesse nel trovare una soluzione a un problema. Il ruolo di risolvere i problemi nella preparazione dei bambini alla vita, per la loro ulteriore attività lavorativa è grande. Quando risolvono problemi di trama, gli studenti imparano a tradurre le relazioni tra oggetti e quantità nel "linguaggio della matematica". Nei problemi aritmetici viene utilizzato materiale numerico che riflette il successo del paese in vari settori dell'economia nazionale, della cultura, della scienza, ecc. Questo aiuta ad ampliare gli orizzonti degli studenti, arricchendoli di nuove conoscenze sulla realtà circostante. La capacità di risolvere problemi aritmetici gli studenti padroneggiano con grande difficoltà.
Le ragioni delle soluzioni errate ai problemi da parte dei bambini risiedono principalmente nelle peculiarità del loro modo di pensare. Nel processo di apprendimento per risolvere i problemi, si dovrebbe evitare il coaching per risolvere problemi di un certo tipo, si deve insegnare un approccio consapevole alla risoluzione dei problemi, imparare a navigare in una determinata situazione di vita descritta nel problema, insegnare la selezione consapevole dei dati del compito , scelta consapevole delle azioni. Nel processo di lavoro su qualsiasi problema aritmetico, si possono distinguere le seguenti fasi:
1. Lavora sul contenuto dell'attività.
2. Cerca una soluzione al problema.
3. Soluzione del problema.
4. Formulazione della risposta.
5. Verifica della soluzione del problema.
6. Lavoro di follow-up sul problema risolto.
Molta attenzione dovrebbe essere prestata per lavorare sul contenuto del compito, ad es. oltre a comprendere la situazione delineata nel problema, stabilendo la relazione tra i dati e il desiderato. La sequenza di lavoro per padroneggiare il contenuto dell'attività;
a) analizzare parole o espressioni incomprensibili;
b) lettura del testo del compito da parte del docente e degli studenti;
c) registrare lo stato del problema;
d) ripetizione del compito su domande.
La lettura espressiva del testo del problema dovrebbe essere insegnata agli studenti. Va ricordato che ai bambini è necessario insegnare in modo specifico la lettura espressiva, non possono leggere correttamente il problema da soli, non possono porre stress logici, ecc.
Insieme alla specifica del contenuto dell'attività con l'aiuto di oggetti, stencil e disegni, le seguenti forme di registrazione del contenuto dell'attività sono ampiamente utilizzate nella pratica degli insegnanti nelle scuole:
1. Una forma abbreviata di scrittura, in cui i dati numerici sono scritti dal testo del problema e solo quelle parole ed espressioni necessarie per comprendere il significato logico del problema.
2. Una forma strutturale abbreviata di notazione, in cui ogni parte logica del problema è scritta da una nuova riga.
3. Forma schematica della scrittura.
4. Forma grafica di registrazione.
Poiché la funzione di controllo nei bambini è indebolita, verificare la soluzione di un problema ha un valore non solo educativo, ma anche educativo. Nelle classi inferiori sono necessari:
1. Controllare i compiti formulati verbalmente eseguendo un'azione sugli oggetti.
2. Verifica la realtà della risposta.
3. Verificare la rispondenza della risposta alla condizione e alla domanda del problema. Controllare la soluzione del problema in altri modi per risolverlo è possibile dalla 4a elementare.
Per controllare la correttezza della soluzione del problema vengono utilizzati anche alcuni elementi di apprendimento programmato. Questo elemento è molto utile in quanto lo studente riceve immediatamente un rinforzo per la correttezza o, al contrario, la fallacia delle sue azioni. Se la decisione è sbagliata, cerca nuove soluzioni.
Un insegnante a scuola spesso non può essere sicuro che la soluzione a un problema sia compresa da tutti gli studenti. Pertanto, è molto utile lavorare per risolvere la soluzione di questo problema. Il lavoro per risolvere il problema può essere svolto in vari modi.
1. Vengono poste domande nodali sul contenuto del compito.
2. Si propone di raccontare l'intero corso della risoluzione del problema con la logica della scelta delle azioni.
3. Le domande vengono poste in azioni o domande separate. Per gli studenti, è importante non il numero di compiti simili risolti, ma la comprensione della situazione della materia in relazione ai dati. Questo obiettivo è servito dal successivo lavoro sul problema risolto, che può essere considerato una tecnica importante che forma le capacità di risoluzione di problemi di questo tipo. Una migliore comprensione del contenuto dell'oggetto dei compiti, della relazione tra i dati e il desiderato è facilitata dalla risoluzione di problemi con dati numerici extra o mancanti, scritti non in numeri, ma in parole. Le osservazioni mostrano che i migliori insegnanti utilizzano ampiamente, come uno dei metodi di insegnamento del problem solving, la compilazione dei problemi da parte degli studenti stessi.
L'elaborazione di compiti aiuta i bambini a comprendere meglio il significato vitale e pratico del compito, a comprenderne meglio la struttura e anche a distinguere tra compiti di vario tipo e a comprendere i metodi per risolverli. La formulazione del problema viene eseguita in parallelo con la soluzione compiti pronti. L'esperienza e l'osservazione mostrano che è più facile per gli studenti comporre compiti in parte. Gli studenti dovrebbero essere incoraggiati a comporre compiti con una varietà di trame. Ciò contribuisce allo sviluppo della loro immaginazione, ingegno, iniziativa. È molto utile quando gli studenti attingono al materiale che “ottengono” durante le escursioni, da libri di consultazione, giornali, riviste, ecc. per comporre compiti. Gli studenti delle scuole superiori devono imparare a compilare e scrivere documenti aziendali relativi a determinati calcoli. Ad esempio, scrivere una procura, compilare un modulo per un trasferimento di denaro, ecc. Tutti i metodi di cui sopra possono essere ampiamente utilizzati per risolvere tutti i tipi di problemi.
Un semplice problema aritmetico è un problema che può essere risolto con una singola operazione aritmetica. I problemi semplici svolgono un ruolo straordinario nell'insegnamento della matematica agli studenti. Sono compiti semplici che consentono di rivelare il significato principale e concretizzare operazioni aritmetiche, per formare determinati concetti matematici. I compiti semplici sono parte integrante dei compiti complessi e, quindi, formando la capacità di risolverli, l'insegnante prepara gli studenti a risolvere problemi complessi.
In ogni anno accademico, gli studenti vengono introdotti a nuovi tipi di problemi semplici. La loro graduale introduzione è spiegata dal diverso grado di difficoltà dei concetti matematici, luogo di studio di quelle operazioni aritmetiche, di cui rivelano il significato specifico. Non meno attenzione da parte dell'insegnante nella scelta di compiti di questo tipo merita sia concretizzazione che contenuto. Infine, l'insegnante insegna a concretizzare il contenuto del problema, rivelando il rapporto tra il dato e il desiderato utilizzando varie forme di scrittura breve.
L'esperienza dei migliori insegnanti mostra che la preparazione per risolvere i problemi aritmetici dovrebbe iniziare con l'arricchimento e lo sviluppo dell'esperienza pratica degli studenti, il loro orientamento nella realtà circostante. Gli studenti devono essere condotti in quella situazione di vita in cui devono contare, risolvere problemi aritmetici e apportare modifiche. Inoltre, all'inizio queste situazioni non dovrebbero essere create artificialmente, dovrebbero solo essere attirate e indirizzate all'attenzione degli studenti. L'insegnante organizza l'osservazione del cambiamento nel numero di elementi degli insiemi di argomenti dei contenuti dei vasi, ecc., Che contribuisce allo sviluppo delle idee degli studenti sul numero per familiarizzare con una certa terminologia, che sarà in seguito incontrati nella formulazione verbale dei compiti: è diventato, tutto è lasciato, hanno preso, aumentato, diminuito, ecc. È necessario organizzare le attività ludiche e pratiche degli studenti in modo tale che, essendo partecipanti diretti a questa attività, oltre ad osservare, gli stessi studenti possano trarre una conclusione in ogni singolo caso; il numero di elementi dell'insieme è aumentato o diminuito e quale operazione ed espressione verbale corrisponde a questo aumento o diminuzione. Questa fase del lavoro preparatorio coincide con l'inizio del lavoro sui numeri dei primi dieci e la conoscenza delle operazioni aritmetiche, con la soluzione e la compilazione di esempi di operazioni con insiemi di soggetti.
Prima di iniziare a imparare a risolvere problemi aritmetici, l'insegnante deve immaginare chiaramente quali conoscenze, abilità e abilità devono essere fornite agli studenti. Per risolvere il problema, gli studenti devono risolvere esempi aritmetici, ascoltare e poi leggere il problema, ripetere il problema con domande, da una breve nota, a memoria, evidenziare le componenti del problema, risolvere il problema e verificarne la correttezza della soluzione . In Grade 1, gli studenti imparano a risolvere i problemi per trovare la somma e il resto. Questi compiti vengono introdotti per la prima volta quando si apprendono i numeri dei primi dieci. Quando si insegna a risolvere problemi per trovare la somma di termini identici, dividere in parti uguali o dividere per contenuto, si dovrebbe fare affidamento sulla comprensione da parte degli studenti dell'essenza delle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e divisione. Prima di risolvere il problema del confronto diverso, gli studenti devono fornire il concetto di confrontare oggetti di un insieme, due insiemi di soggetti, quantità, numeri, stabilendo relazioni di uguaglianza e disuguaglianza tra di loro. Un problema aritmetico composto o complesso è un problema che viene risolto da due o un largo numero operazioni aritmetiche. Ricerca psicologica sullo studio delle caratteristiche della risoluzione di problemi aritmetici composti mostrano che i bambini non riconoscono problemi semplici familiari nel contesto di un nuovo problema composto. Lavoro preparatorio per risolvere i problemi composti dovrebbe essere un sistema di esercizi, tecniche, che guidino di proposito gli studenti a padroneggiare la soluzione di problemi composti. L'insegnante può passare alla risoluzione di problemi composti quando è convinto che gli studenti abbiano padroneggiato le tecniche per la risoluzione di problemi semplici che saranno inclusi nel problema composto, essi stessi possono comporre un problema semplice di un certo tipo. Quando risolvono problemi composti, gli studenti devono porre domande ai dati o selezionare i dati per la domanda. Pertanto, nel periodo preparatorio, ad es. durante il primo anno e all'inizio del secondo anno di studio, gli studenti dovrebbero ricevere compiti di:
1. Alla condizione pronta, raccogli le domande.
2. Sulla questione, creare un'attività selezionando i dati numerici mancanti.
Compilando problemi semplici e composti, gli studenti impareranno gradualmente a riconoscere problemi semplici in un problema composto, esercizi che sono già stati nell'esperienza di risolverli sono esercizi molto utili per compilare problemi complessi. Ciò contribuirà a una migliore assimilazione dei tipi di compiti semplici, alla capacità di riconoscerli in un compito composito e aiuterà gli studenti ad analizzare i compiti in modo più consapevole. Quando si risolvono problemi composti, agli studenti dovrebbero essere insegnati i metodi generali di lavoro su un problema; la capacità di analizzare il contenuto dell'attività, evidenziando i dati noti, quelli desiderati (cioè, stabilendo ciò che è necessario sapere nell'attività), determinare quali dati mancano per rispondere al domanda principale nel compito. Nella pratica del lavoro della scuola, si è giustificato il metodo di lavoro con le carte, che stabiliva la sequenza di lavoro sul compito. Quando si risolvono i problemi, la progettazione della sua soluzione viene registrata con domande o ogni azione viene registrata e spiegata. Lo sviluppo di un metodo generalizzato per la risoluzione di problemi di questo tipo è assicurato dalla risoluzione multipla di problemi con vari tipi, trame, risoluzione di problemi già pronti e compilati dagli studenti stessi, confrontando problemi di questo tipo con tipi di problemi precedentemente risolti, eccetera.
1. Spiegare la tecnica computazionale per i casi 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3, tutte le tecniche computazionali dal concentratore cento.
1) 40+20= 4g+2d=6g=60
2) 50-30 = 5g-3d=2g=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4ed + 2ed \u003d 3d 6ed \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8ed-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4g+8sl-3sl=4g 5sl=45
Tutti i metodi di calcolo sono orali e vengono eseguiti sulla base delle cifre di addizione e sottrazione.
Come sapete, l'insieme dei numeri naturali può essere ordinato usando la relazione "minore di". Ma le regole per costruire una teoria assiomatica richiedono che questa relazione non solo sia definita, ma anche fatta sulla base di concetti già definiti nella teoria data. Questo può essere fatto definendo il rapporto "minore di" tramite addizione.
Definizione. Il numero a è minore del numero b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
In queste condizioni, si dice anche che il numero B di più ma e scrivi b > a.
Teorema 12. Per qualsiasi numero naturale ma e B si verifica una e una sola delle seguenti tre relazioni: a = b, a > b, ma < B.
Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.. Da questo teorema segue che se
a ¹ b, o ma< b, o a > b quelli. la relazione "minore di" ha la proprietà di connessione.
Teorema 13. Se ma< b e B< с. poi ma< с.
Prova. Questo teorema esprime la proprietà di transitività della relazione "minore di".
Perché ma< b e B< с. allora, per la definizione della relazione "minore di", esistono tali numeri naturali a e cosa b = a + k e c = b + I. Ma allora c = (a + k)+ / e in base alla proprietà di associatività dell'addizione otteniamo: c = un + (k +/). Nella misura in cui k + io - numero naturale, quindi, secondo la definizione di "minore di", ma< с.
Teorema 14. Se ma< b, non è vero B< а. Prova. Questo teorema esprime la proprietà antisimmetria rapporto "meno".
Dimostriamolo prima per ogni numero naturale ma non tu-!>! ■ )il suo atteggiamento ma< ma. Supponiamo il contrario, cioè che cosa ma< а si verifica. Quindi, per la definizione della relazione "minore di", esiste un tale numero naturale da, che cosa ma+ da= ma, e questo contraddice il Teorema 6.
Proviamo ora che se ma< B, allora non è vero B < ma. Supponiamo il contrario, cioè cosa succede se ma< b , poi B< а eseguita. Ma da queste uguaglianze, per il Teorema 12, abbiamo ma< а, che è impossibile.
Poiché la relazione “minore di” che abbiamo definito è antisimmetrica e transitiva e ha la proprietà di connessione, è la relazione ordine lineare, e l'insieme dei numeri naturali insieme ordinato linearmente.
Dalla definizione di "minore di" e dalle sue proprietà si possono dedurre le proprietà note dell'insieme dei numeri naturali.
Teorema 15. Di tutti i numeri naturali, uno è il numero più piccolo, cioè io< а для любого натурального числа a¹1.
Prova. Lascia stare ma - qualsiasi numero naturale. Allora sono possibili due casi: un = 1 e un ¹ 1. Se un = 1, allora c'è un numero naturale B, seguito da a: a \u003d b " \u003d b + io = 1+ B, cioè, per la definizione di "minore di", 1< ma. Pertanto, qualsiasi numero naturale è uguale a 1 o maggiore di 1. Oppure uno è il numero naturale più piccolo.
La relazione "minore di" è connessa con l'addizione e la moltiplicazione di numeri per le proprietà della monotonia.
Teorema 16.
a = b => a + c = b + c e a c = b c;
ma< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c e ac > bc.
Prova. 1) La validità di questa affermazione deriva dall'unicità dell'addizione e della moltiplicazione.
2) Se ma< b,
allora c'è un numero naturale K, che cosa ma
+ k = b.
Quindi B+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ a)= (a + c) + k. Uguaglianza B+ c = (a + c) + k significa che a + c< b
+ da.
Allo stesso modo, è dimostrato che ma< b =>asso< bс.
3) La dimostrazione è simile.
Teorema 17(cfr. Teorema 16).
1) ma+ c = b + c o ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с o asso< avanti CristoÞ ma< Ь:
3) a + c > b+ con o ac > bcÞ a > b.
Prova. Proviamo, per esempio, che asso< bс dovrebbe ma< b Supponiamo il contrario, cioè che la conclusione del teorema non vale. Allora non può essere a = b. perché allora l'uguaglianza reggerebbe ac = bc(Teorema 16); non può essere ma> B, perché allora sarebbe ac > bc(Teorema!6). Pertanto, secondo il Teorema 12, ma< b.
Dai Teoremi 16 e 17 si possono dedurre le ben note regole per l'addizione e la moltiplicazione termine per termine delle disuguaglianze. Li lasciamo cadere.
Teorema 18. Per qualsiasi numero naturale ma e B; esiste un numero naturale n tale che n b> a.
Prova. Per chiunque ma c'è un tale numero P, che cosa n > a. Per fare questo, è sufficiente prendere n = un + 1. Moltiplicando termine per termine le disuguaglianze P> ma e B> 1, otteniamo pb > ma.
Le proprietà considerate della relazione "minore di" implicano caratteristiche importanti dell'insieme dei numeri naturali, che presentiamo senza dimostrazione.
1. Non per qualsiasi numero naturale ma non esiste un tale numero naturale P, che cosa ma< п < а +
1. Questa proprietà è chiamata proprietà
discrezione insiemi di numeri naturali e i numeri ma e un + 1 chiamato confinante.
2.
Contiene qualsiasi sottoinsieme non vuoto di numeri naturali
il numero più piccolo.
3. Se m- sottoinsieme non vuoto dell'insieme dei numeri naturali
e c'è un numero B, quello per tutti i numeri x da m non eseguito
uguaglianza x< B, poi nella moltitudine mè il numero più grande.
Illustriamo le proprietà 2 e 3 con un esempio. Lascia stare mè un insieme di numeri a due cifre. Perché mè un sottoinsieme di numeri naturali e per tutti i numeri di questo insieme la disuguaglianza x< 100, то в множестве mè il numero più grande 99. Il numero più piccolo contenuto nell'insieme dato M, - numero 10.
Pertanto, la relazione "minore di" ci ha permesso di considerare (e in alcuni casi provare) un numero significativo di proprietà dell'insieme dei numeri naturali. In particolare è linearmente ordinato, discreto, ha il numero più piccolo 1.
Con il rapporto "meno" ("maggiore") per i numeri naturali, gli studenti più giovani fanno conoscenza proprio all'inizio della formazione. E spesso, insieme alla sua interpretazione insiemistica, viene implicitamente utilizzata la definizione da noi data nell'ambito della teoria assiomatica. Ad esempio, gli studenti possono spiegare che 9 > 7 perché 9 è 7+2. Uso spesso e implicito delle proprietà di monotonia dell'addizione e della moltiplicazione. Ad esempio, i bambini spiegano che "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Esercizi
1 Perché l'insieme dei numeri naturali non può essere ordinato dalla relazione "segui immediatamente"?
Formulare una definizione di relazione a > b e dimostrare che è transitivo e antisimmetrico.
3. Dimostralo se a, b, c sono numeri naturali, allora:
ma) ma< b Þ ас < bс;
B) ma+ da< b + dom> ma< Ь.
4. Quali teoremi sulla monotonia dell'addizione e della moltiplicazione possono
utilizzo scolari minori, eseguendo l'attività "Confronta senza eseguire calcoli":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Quali proprietà dell'insieme dei numeri naturali sono implicitamente utilizzate dagli studenti più giovani quando svolgono i seguenti compiti:
A) Annota i numeri maggiori di 65 e minori di 75.
B) Denominare i numeri precedenti e successivi rispetto al numero 300 (800.609.999).
C) Qual è il numero a tre cifre più piccolo e più grande.
Sottrazione
Nella costruzione assiomatica della teoria dei numeri naturali, la sottrazione è solitamente definita come l'operazione inversa di addizione.
Definizione. La sottrazione dei numeri naturali aeb è un'operazione che soddisfa la condizione: a - b \u003d c se e solo se b + c \u003d a.
Numero a - b si chiama differenza tra i numeri a e B, numero ma- decrescente, numero B- sottraibile.
Teorema 19. Differenza di numeri naturali ma- B esiste se e solo se B< а.
Prova. Lascia la differenza ma- B esiste. Quindi, per definizione della differenza, c'è un numero naturale da, che cosa b + c = a, e questo significa questo B< а.
Se B< а, allora, per la definizione della relazione "minore di", esiste un numero naturale c tale che b + c = a. Quindi, per la definizione della differenza, c \u003d a - b, quelli. differenza a - b esiste.
Teorema 20. Se la differenza dei numeri naturali ma e B esiste, allora è unico.
Prova. Assumiamo che ci siano due diversi valori della differenza tra i numeri ma e B;: a - b= c₁ e a - b= c₂, e c₁ ¹ c₂ . Quindi, per definizione della differenza, abbiamo: a = b + c₁, e a = b + c₂ : . Quindi ne consegue che B+ c ₁ = b + c₂ : e sulla base del Teorema 17 concludiamo, c₁ = c₂.. Siamo giunti a una contraddizione con l'assunzione, il che significa che è falsa, e questo teorema è vero.
Sulla base della definizione della differenza dei numeri naturali e delle condizioni per la sua esistenza, è possibile sostanziare le ben note regole per sottrarre un numero da una somma e una somma da un numero.
Teorema 21. Lascia stare ma. B e da- numeri interi.
e se a > c, quindi (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Se b > c. quindi (a + b) - c - a + (b - c).
c) Se a > c e b > c. quindi puoi usare una di queste formule.
Prova. Nel caso a) la differenza di numeri ma e C esiste perché a > c. Indichiamolo con x: a - c \u003d x. dove a = c + x. Se (ma+ b) - c = y. quindi, per la definizione della differenza, ma+ B = da+ a. Sostituiamo in questa uguaglianza invece di ma espressione c + x:(c + x) + b = c + y. Usiamo la proprietà di associatività dell'addizione: c + (x + b) = c+ a. Trasformiamo questa uguaglianza in base alla proprietà della monotonia dell'addizione, otteniamo:
x + b = y..Sostituire x in questa equazione con l'espressione corrente alternata, avrà (ma - G) + b = y. Pertanto, abbiamo dimostrato che se a > c, quindi (a + b) - c = (a - c) + b
La dimostrazione si effettua analogamente nel caso b).
Il teorema dimostrato può essere formulato come una regola facile da ricordare: per sottrarre un numero dalla somma è sufficiente sottrarre questo numero da un termine della somma e aggiungere un altro termine al risultato ottenuto.
Teorema 22. Lascia stare a, b e c - numeri interi. Se a > b+c, allora ma- (b + c) = (a - b) - c o a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
La dimostrazione di questa teoria è simile alla dimostrazione del Teorema 21.
Il teorema 22 può essere formulato di regola, per sottrarre la somma dei numeri da un numero basta sottrarre da questo numero in successione ogni termine uno dopo l'altro.
Nell'insegnamento della matematica elementare, la definizione di sottrazione come l'inverso dell'addizione, in vista generale, di norma, non viene fornito, ma viene costantemente utilizzato, a partire dall'esecuzione di operazioni su numeri a una cifra. Gli studenti dovrebbero essere ben consapevoli che la sottrazione è correlata all'addizione e utilizzare questa relazione durante il calcolo. Sottraendo, ad esempio, il numero 16 dal numero 40, gli studenti ragionano così: “Sottrai il numero 16 da 40 - cosa significa trovare un numero che sommato al numero 16 dia 40; questo numero sarà 24, poiché 24 + 16 = 40. Quindi. 40 - 16 = 24".
Le regole per sottrarre un numero da una somma e una somma da un numero in un corso di matematica elementare sono base teorica vari metodi di calcolo. Ad esempio, il valore dell'espressione (40 + 16) - 10 può essere trovato non solo calcolando la somma tra parentesi e quindi sottraendo da essa il numero 10, ma anche in questo modo;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Esercizi
1. È vero che ogni numero naturale si ottiene da quello immediatamente successivo sottraendo uno?
2. Qual è la particolarità della struttura logica del Teorema 19? Può essere formulato usando le parole "necessario e sufficiente"?
3. Dimostra che:
e se b > c, poi (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) se a > b + c, poi un - (b+c) = (a - b) - c.
4. È possibile, senza eseguire calcoli, dire quali espressioni saranno uguali:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16 - 14.
5. Quali proprietà di sottrazione sono alla base teorica dei seguenti metodi di calcolo studiati nel corso iniziale di matematica:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Descrivere le possibili modalità di calcolo del valore di un'espressione del modulo. a - b- da e illustrarli con esempi concreti.
7. Dimostralo per B< а e qualsiasi naturale c l'uguaglianza (a - b) c \u003d ac - bc.
Istruzione. La dimostrazione si basa sull'assioma 4.
8. Determinare il valore dell'espressione senza eseguire calcoli scritti. Giustifica le risposte.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Divisione
Nella costruzione assiomatica della teoria dei numeri naturali, la divisione è generalmente definita come l'operazione inversa della moltiplicazione.
Definizione. La divisione dei numeri naturali aeb è un'operazione che soddisfa la condizione: a: b = c se e solo se, a quando b× c = a.
Numero a: b chiamata privato numeri ma e B, numero ma divisibile, numero B- divisorio.
Come è noto, la divisione sull'insieme dei numeri naturali non esiste sempre e non esiste un criterio così conveniente per l'esistenza di un quoziente come esiste per una differenza. C'è solo condizione necessaria esistenza privata.
Teorema 23. Perché esista un quoziente di due numeri naturali ma e B, è necessario che B< а.
Prova. Sia il quoziente dei numeri naturali ma e B esiste, cioè esiste un numero naturale c tale che bc = a. Poiché per ogni numero naturale 1 la disuguaglianza 1 £ da, quindi, moltiplicando entrambe le sue parti per un numero naturale B, noi abbiamo B£ avanti Cristo. Ma bc \u003d a, Di conseguenza, B£ ma.
Teorema 24. Se il quoziente dei numeri naturali ma e B esiste, allora è unico.
La dimostrazione di questo teorema è simile alla dimostrazione del teorema sull'unicità della differenza dei numeri naturali.
Sulla base della definizione dei numeri naturali parziali e delle condizioni per la sua esistenza, è possibile sostanziare le ben note regole per dividere una somma (differenza, prodotto) per un numero.
Teorema 25. Se numeri ma e B diviso per il numero da, poi la loro somma a + bè divisibile per c, e il quoziente ottenuto dividendo la somma ma+ B per numero da,è uguale alla somma dei quozienti ottenuti dividendo ma sul da e B sul da, cioè. (a + b):c \u003d a: c + b:da.
Prova. Dal numero ma diviso per da, allora c'è un numero naturale x = ma; con quello a = cx. Allo stesso modo, esiste un numero naturale y = b:da, che cosa
B= su. Ma allora a + b = cx+ su = - c(x + y). Significa che a + bè divisibile per c, e il quoziente ottenuto dividendo la somma ma+ B al numero c, è uguale a x + si, quelli. ascia + b: c.
Il teorema dimostrato può essere formulato come regola per dividere una somma per un numero: per dividere la somma per un numero è sufficiente dividere ciascun termine per questo numero e sommare i risultati ottenuti.
Teorema 26. Se numeri naturali ma e B diviso per il numero da e a > b poi la differenza a - bè divisibile per c, e il quoziente ottenuto dividendo la differenza per il numero c è uguale alla differenza dei quozienti ottenuti dividendo ma sul da e B a c, cioè (a - b):c \u003d a:c - b:c.
La dimostrazione di questo teorema si effettua in modo analogo alla dimostrazione del teorema precedente.
Questo teorema può essere formulato come regola per dividere una differenza per un numero: per Per dividere la differenza per un numero, basta dividere il minuendo e sottrarre per questo numero e sottrarre la seconda dal primo quoziente.
Teorema 27. Se un numero naturale maè divisibile per un numero naturale c, quindi per qualsiasi numero naturale B lavoro abè suddiviso in pag. In questo caso, il quoziente ottenuto dividendo il prodotto ab al numero da , è uguale al prodotto del quoziente ottenuto dividendo ma sul da, e numeri b: (a × b): c - (a: c) × b.
Prova. Perché ma diviso per da, allora c'è un numero naturale x tale che come= x, da cui a = cx. Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per B, noi abbiamo ab = (cx)b. Poiché la moltiplicazione è associativa, quindi (cx) b = c(x b). Da qui (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Il teorema può essere formulato come regola per dividere un prodotto per un numero: per dividere un prodotto per un numero è sufficiente dividere uno dei fattori per questo numero e moltiplicare il risultato per il secondo fattore.
Nell'insegnamento della matematica elementare, la definizione di divisione come operazione dell'inverso della moltiplicazione, di regola, non è data in forma generale, ma è costantemente utilizzata, a partire dalle prime lezioni di familiarizzazione con la divisione. Gli studenti dovrebbero essere ben consapevoli che la divisione è correlata alla moltiplicazione e utilizzare questa relazione nei calcoli. Dividendo, ad esempio, 48 per 16, gli studenti ragionano così: “Dividere 48 per 16 significa trovare un numero che moltiplicato per 16 sarà 48; questo numero sarà 3, poiché 16 × 3 = 48. Pertanto, 48: 16 = 3.
Esercizi
1. Dimostra che:
a) se il quoziente dei numeri naturali a e b esiste, allora è unico;
b) se numeri a e b sono divisi in da e a > b poi (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. È possibile affermare che tutta l'uguaglianza data è vera:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Quale regola è una generalizzazione di questi casi? Formulalo e dimostralo.
3. Per quali proprietà di divisione sono le basi teoriche
adempimento dei seguenti compiti offerti agli scolari scuola elementare:
è possibile, senza eseguire la divisione, dire quali espressioni avranno gli stessi valori:
a) (40+8): 2; c) 48:3; e) (20+ 28): 2;
b) (30 + 16):3; d)(21+27):3; f) 48:2;
Le uguaglianze sono vere:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Descrivere possibili modi per calcolare il valore di un'espressione
genere:
ma) (ma+ avanti Cristo; B) ma:B: da; in) ( a × b): da .
Illustrare i metodi proposti con esempi specifici.
5. Trova i valori dell'espressione in modo razionale; loro
giustificare azioni:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Giustificare i seguenti metodi di divisione per un numero a due cifre:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Senza dividere per un angolo, trova il più razionale
modo privato; giustificare il metodo scelto:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Lezione 34 numeri non negativi
1. L'insieme degli interi non negativi. Proprietà dell'insieme degli interi non negativi.
2. Il concetto di segmento della serie naturale dei numeri e il conteggio degli elementi di un insieme finito. Numeri naturali ordinali e quantitativi.
A esame di stato per specialità
1. Spazio lineare (vettoriale) su un campo. Esempi. Sottospazi, le proprietà più semplici. Dipendenza lineare e indipendenza vettoriale.
2. Base e dimensione spazio vettoriale. Matrice di coordinate di un sistema di vettori. Passaggio da una base all'altra. Isomorfismo degli spazi vettoriali.
3. Chiusura algebrica del campo numeri complessi.
4. Anello di numeri interi. L'ordinamento degli interi. Teoremi sull'intero "più grande" e "più piccolo".
5. Gruppo, esempi di gruppi. Le proprietà più semplici dei gruppi. Sottogruppi. Omomorfismo e isomorfismo di gruppi.
6. Proprietà fondamentali della divisibilità degli interi. Numeri semplici. Infinito dell'insieme dei numeri primi. Espansione canonica numero composto e la sua unicità.
7. Il teorema di Kronecker-Capelli (criterio di compatibilità del sistema equazioni lineari).
8. Proprietà di base dei confronti. Sistemi completi e ridotti di residui modulo. Anello di classe residuo modulo. Teoremi di Eulero e Fermat.
9. Applicazione della teoria dei confronti alla derivazione di criteri di divisibilità. Conversione di una frazione in decimale e determinazione della lunghezza del suo periodo.
10. Coniugazione di radici immaginarie di un polinomio a coefficienti reali. Irriducibile sul campo numeri reali polinomi.
11. Confronti lineari con una variabile (criterio di risolvibilità, metodi di soluzione).
12. Sistemi equivalenti di equazioni lineari. Il metodo della successiva eliminazione delle incognite.
13. Anello. esempi di anelli. Le proprietà più semplici degli anelli. Subring. Omomorfismi e isomorfismi degli anelli. Campo. Esempi sul campo. Le proprietà più semplici. Minimalità del campo dei numeri razionali.
14. Numeri naturali (fondamenti della teoria assiomatica dei numeri naturali). Teoremi sul numero naturale "maggiore" e "minimo".
15. Polinomi su un campo. Teorema di divisione con resto. Il massimo comun divisore di due polinomi, sue proprietà e metodi di ricerca.
16. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza. Classi di equivalenza, insieme di fattori.
17. Induzione matematica per numeri naturali e interi.
18. Proprietà di numeri relativamente primi. Il minimo comune multiplo di interi, sue proprietà e metodi di ricerca.
19. Campo di numeri complessi, campi numerici. Rappresentazione geometrica e forma trigonometrica numero complesso.
20. Teorema di divisione con resto per interi. Il massimo comun divisore degli interi, sue proprietà e metodi per trovarlo.
21. Operatori lineari dello spazio vettoriale. Kernel e immagine di un operatore lineare. Algebra degli operatori lineari dello spazio vettoriale. Autovalori e autovettori dell'operatore lineare.
22. Trasformazioni affini del piano, loro proprietà e modalità di assegnazione. Gruppo trasformazioni affini piano e suoi sottogruppi.
23. Poligoni. L'area del poligono. Il teorema di esistenza e unicità.
24. Poligoni equivalenti e di uguale dimensione.
25. Geometria di Lobachevsky. Coerenza del sistema di assiomi della geometria di Lobachevsky.
26. Il concetto di parallelismo nella geometria di Lobachevsky. Arrangiamento reciproco rette sul piano di Lobachevsky.
27. Formule dei movimenti. Classificazione dei moti piani. Applicazioni alla risoluzione dei problemi.
28. Disposizione reciproca di due piani, una retta e un piano, due rette nello spazio (in una presentazione analitica).
29. Trasformazioni proiettive. Il teorema di esistenza e unicità. Formule per trasformazioni proiettive.
30. Scalare, vettoriale e opere miste vettori, la loro applicazione alla risoluzione dei problemi.
31. Il sistema degli assiomi di Weyl dello spazio euclideo tridimensionale e la sua consistenza significativa.
32. Moti piani e loro proprietà. Gruppo di moti piani. Il teorema dell'esistenza e l'unicità del moto.
33. Piano proiettivo e suoi modelli. Trasformazioni proiettive, loro proprietà. Gruppo di trasformazioni proiettive.
34. Trasformazioni di similarità piana, loro proprietà. Gruppo di trasformazione della somiglianza del piano e suoi sottogruppi.
35. Superfici lisce. La prima forma di superficie quadratica e le sue applicazioni.
36. Progettazione parallela e sue proprietà. L'immagine di figure piatte e spaziali in una proiezione parallela.
37. Linee morbide. Curvatura di una curva spaziale e suo calcolo.
38. Ellisse, iperbole e parabola come sezioni coniche. Equazioni canoniche.
39. Proprietà directory dell'ellisse, iperbole e parabola. Equazioni polari.
40. Doppio rapporto di quattro punti di una retta, sue proprietà e calcolo. Separazione armonica di coppie di punti. Quadrilatero completo e sue proprietà. Applicazione per risolvere i problemi di costruzione.
41. Teoremi di Pascal e Brianchon. Poli e polari.
Esempi di domande per analisi matematica