Come determinare se i numeri sono coprimi. Numeri di coprimi

$p$ è detto numero primo se ha solo $2$ divisori: $1$ e se stesso.

divisore numero naturale$a$ è un numero naturale per il quale il numero originale $a$ è divisibile senza resto.

Esempio 1

Trova i divisori del numero $6$.

Soluzione: dobbiamo trovare tutti i numeri per i quali il numero dato $6$ è divisibile senza resto. Questi saranno i numeri: $1,2,3, 6$. Quindi il divisore del numero $6$ saranno i numeri $1,2,3,6.$

Risposta: $ 1,2,3,6 $.

Quindi, per trovare i divisori di un numero, devi trovare tutti i numeri naturali per i quali il dato è divisibile senza resto. È facile vedere che il numero $1$ sarà un divisore di qualsiasi numero naturale.

Definizione 2

Composito Un numero è chiamato un numero che ha altri divisori oltre a uno e se stesso.

Un esempio di numero primo potrebbe essere il numero $13$, un esempio numero composto $14.$

Nota 1

Il numero $1$ ha un solo divisore, questo numero stesso, quindi non è classificato né come primo né come composto.

Numeri di coprimi

Definizione 3

Numeri di coprimi vengono chiamati quelli il cui MCD è uguale a $1$.Quindi, per scoprire se i numeri sono coprimi, è necessario trovare il loro GCD e confrontarlo con $1$.

Coprimi a coppie

Definizione 4

Se in un insieme di numeri due sono coprimi, allora tali numeri vengono chiamati coprimi a coppie. Per due numeri, i concetti di "coprime" e "coprime a coppie" sono gli stessi.

Esempio 2

$ 8, 15 $ - non prime, ma coprimi.

$ 6, 8, 9 $ - reciprocamente numeri primi, ma non coprimi a coppie.

$ 8, 15, 49 $ sono coprimi a coppie.

Come possiamo vedere, per determinare se i numeri sono coprimi, devi prima scomporli in fattori primi. Prestiamo attenzione a come farlo bene.

fattorizzazione in numeri primi

Ad esempio, fattorizziamo il numero $180$:

$180=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 5$

Usiamo la proprietà dei gradi, quindi otteniamo,

$180=2^2\cpunto 3^2\cpunto 5$

Tale rappresentazione della scomposizione in fattori primi è detta canonica, cioè per fattorizzare un numero in forma canonica è necessario utilizzare la proprietà power e rappresentare il numero come prodotto di potenze con basi diverse

Scomposizione canonica di un numero naturale in forma generale

Scomposizione canonica di un numero naturale in vista generale sembra:

$m=p^(n1)_1\cpunto p^(n2)_2\cpunto \punti \punti ..\cpunto p^(nk)_k$

dove $p_1,p_2\punti \punti .p_k$ sono numeri primi ed esponenti gradi - naturale numeri.

Rappresentare un numero come una scomposizione canonica in insiemi semplici rende più facile trovare il massimo comun divisore dei numeri e agisce come conseguenza della dimostrazione o definizione dei numeri coprimi.

Esempio 3

Trova il massimo comun divisore di $ 180 $ e $ 240 $.

Soluzione: scomponi i numeri in insiemi semplici usando la scomposizione canonica

$180=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 5$, quindi $180=2^2\cpunto 3^2\cpunto 5$

$240=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 5$, quindi $240=2^4\cpunto 3\cpunto 5$

Ora troviamo il MCD di questi numeri, per questo scegliamo i gradi con la stessa base e con l'esponente più piccolo, quindi

$gcd \ (180;240)= 2^2\cpunto 3\cpunto 5=60$

Componiamo algoritmo per trovare gcd tenendo conto della scomposizione canonica in fattori primi.

Per trovare il massimo comun divisore di due numeri usando l'espansione canonica, devi:

fattorizzare i numeri in fattori primi in forma canonica
scegli i gradi con la stessa base e con l'esponente più piccolo dei numeri inclusi nella scomposizione di questi numeri
Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comun divisore desiderato.

Esempio 4

Determina se i numeri $195$ e $336$ sono numeri primi e coprimi.

$195=3\cpunto 5\cpunto 13$

$336=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 7=2^4\cpunto 3\cpunto 5$

$gcd \ (195;336) =3\cpunto 5=15$

Vediamo che il gcd di questi numeri è diverso da $1$, il che significa che i numeri non sono coprimi. Vediamo anche che ciascuno dei numeri include fattori, oltre a $ 1 $ e il numero stesso, il che significa che anche i numeri non saranno primi, ma saranno composti.

Esempio 5

Determina se i numeri $39$ e $112$ sono numeri primi e coprimi.

Soluzione: utilizziamo la fattorizzazione canonica per la fattorizzazione:

$112=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 7=2^4\cpunto 7$

$mcd \ (39;112)=1$

Vediamo che il gcd di questi numeri è uguale a $1$, il che significa che i numeri sono coprimi. Vediamo anche che ciascuno dei numeri include fattori, oltre a $ 1 $ e il numero stesso, il che significa che anche i numeri non saranno primi, ma saranno composti.

Esempio 6

Determina se i numeri $883$ e $997$ sono numeri primi e coprimi.

Soluzione: utilizziamo la fattorizzazione canonica per la fattorizzazione:

$883=1\cpunto 883$

$997=1\cpunto 997$

$gcd \ (883;997)=1$

Vediamo che il gcd di questi numeri è uguale a $1$, il che significa che i numeri sono coprimi. Vediamo anche che ciascuno dei numeri include solo fattori pari a $1$ e il numero stesso, il che significa che i numeri saranno primi.

Tranne ±1.

14 e 25 sono coprimi poiché non hanno divisori comuni;
15 e 25 non sono primi relativamente perché hanno un divisore comune di 5;

Rappresentazione visiva: se costruisci una "foresta" su un piano impostando "alberi" di spessore zero su punti con coordinate intere, allora solo gli alberi le cui coordinate sono coprimi sono visibili dall'origine, vedi la figura a destra come esempio di la visibilità di un “albero” con coordinate (9 , quattro).

Notazione

Per indicare la mutua semplicità dei numeri m (\ displaystyle m) e n (\ displaystyle n) si usa la notazione:

m ⊥ n . (\ displaystyle m \ perp n.)

Tuttavia, non tutti i matematici riconoscono e usano questa notazione. La formulazione più comunemente usata o notazione equivalente gcd (a , b) = 1 (\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1), che significa: "massimo comun divisore di numeri un e bè uguale a 1".

Definizioni correlate

Se in un insieme di numeri qualunque due numeri sono coprimi, quindi tali numeri vengono chiamati coprimi a coppie. Per due numeri, i concetti di "coprime" e "coprime a coppie" sono gli stessi.

Esempi

8, 15 - non prime, ma coprimi.
6, 8, 9 sono numeri coprimi (collettivamente), ma non coprimi a coppie.
8, 15, 49 sono coprimi a coppie.

Proprietà

Numeri un (\ displaystyle a) e b (\ displaystyle b) coprime se e solo se è soddisfatta una delle condizioni equivalenti:
Due numeri primi (distinti) sono primi relativamente.
Se una un (\ displaystyle a)- divisore di prodotto bc (\ displaystyle bc), e un (\ displaystyle a) reciprocamente semplice con b (\ displaystyle b), poi un (\ displaystyle a)- divisorio c (\ displaystyle c).
Se numeri un 1 , ... , un n (\ displaystyle a_ (1), \ ldots , a_ (n)) sono numeri coprimi a coppie, quindi NOC(un 1 , … , un n) = | a 1 ⋅ … ⋅ a n | (\ displaystyle (a_(1),\ldots,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|). Ad esempio NOC (9, 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99).
La probabilità che qualsiasi k (\ displaystyle k) gli interi positivi selezionati casualmente saranno relativamente primi, uguali a , nel senso che quando N → ∞ (\ displaystyle da N a \ infty ) la probabilità che k (\ displaystyle k) numeri positivi minori di N (\ displaystyle (\ textstyle (N)))(e scelti a caso) saranno coprimi, tende 1 ζ (k) (\ displaystyle (\ dfrac (1) (\ zeta (k)))). Qui ζ (k) (\ displaystyle \ zeta (k))- questo è

$p$ è detto numero primo se ha solo $2$ divisori: $1$ e se stesso.

Il divisore di un numero naturale $a$ è un numero naturale per il quale il numero originale $a$ è divisibile senza resto.

Esempio 1

Trova i divisori del numero $6$.

Soluzione: dobbiamo trovare tutti i numeri per i quali il numero dato $6$ è divisibile senza resto. Questi saranno i numeri: $1,2,3, 6$. Quindi il divisore del numero $6$ saranno i numeri $1,2,3,6.$

Risposta: $ 1,2,3,6 $.

Definizione 2

Composito Un numero è chiamato un numero che ha altri divisori oltre a uno e se stesso.

Un esempio di numero primo sarebbe $13$, un esempio di numero composto sarebbe $14.$

Nota 1

Il numero $1$ ha un solo divisore, questo numero stesso, quindi non è classificato né come primo né come composto.

Numeri di coprimi

Definizione 3

Numeri di coprimi vengono chiamati quelli il cui MCD è uguale a $1$.Quindi, per scoprire se i numeri sono coprimi, è necessario trovare il loro GCD e confrontarlo con $1$.

Coprimi a coppie

Definizione 4

Se in un insieme di numeri due sono coprimi, allora tali numeri vengono chiamati coprimi a coppie. Per due numeri, i concetti di "coprime" e "coprime a coppie" sono gli stessi.

Esempio 2

$ 8, 15 $ - non prime, ma coprimi.

$6, 8, 9$ sono numeri coprimi, ma non coprimi a coppie.

$ 8, 15, 49 $ sono coprimi a coppie.

Come possiamo vedere, per determinare se i numeri sono coprimi, devi prima scomporli in fattori primi. Prestiamo attenzione a come farlo bene.

fattorizzazione in numeri primi

Ad esempio, fattorizziamo il numero $180$:

$180=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 5$

Usiamo la proprietà dei gradi, quindi otteniamo,

$180=2^2\cpunto 3^2\cpunto 5$

Scomposizione canonica di un numero naturale in forma generale

L'espansione canonica di un numero naturale in generale ha la forma:

$m=p^(n1)_1\cpunto p^(n2)_2\cpunto \punti \punti ..\cpunto p^(nk)_k$

dove $p_1,p_2\punti \punti .p_k$ sono numeri primi e gli esponenti sono numeri naturali.

Esempio 3

Trova il massimo comun divisore di $ 180 $ e $ 240 $.

Soluzione: scomponi i numeri in insiemi semplici usando la scomposizione canonica

$180=2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 5$, quindi $180=2^2\cpunto 3^2\cpunto 5$

$240=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 5$, quindi $240=2^4\cpunto 3\cpunto 5$

Ora troviamo il MCD di questi numeri, per questo scegliamo i gradi con la stessa base e con l'esponente più piccolo, quindi

$gcd \ (180;240)= 2^2\cpunto 3\cpunto 5=60$

Componiamo algoritmo per trovare gcd tenendo conto della scomposizione canonica in fattori primi.

Per trovare il massimo comun divisore di due numeri usando l'espansione canonica, devi:

fattorizzare i numeri in fattori primi in forma canonica
scegli i gradi con la stessa base e con l'esponente più piccolo dei numeri inclusi nella scomposizione di questi numeri
Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comun divisore desiderato.

Esempio 4

Determina se i numeri $195$ e $336$ sono numeri primi e coprimi.

$195=3\cpunto 5\cpunto 13$

$336=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 3\cpunto 7=2^4\cpunto 3\cpunto 5$

$gcd \ (195;336) =3\cpunto 5=15$

Esempio 5

Determina se i numeri $39$ e $112$ sono numeri primi e coprimi.

Soluzione: utilizziamo la fattorizzazione canonica per la fattorizzazione:

$112=2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 2\cpunto 7=2^4\cpunto 7$

$mcd \ (39;112)=1$

Esempio 6

Determina se i numeri $883$ e $997$ sono numeri primi e coprimi.

Soluzione: utilizziamo la fattorizzazione canonica per la fattorizzazione:

$883=1\cpunto 883$

$997=1\cpunto 997$

$gcd \ (883;997)=1$

Definizione1. Interi a 1 ,a 2 ,…,ak sono detti coprimi se (a 1 ,a 2 ,…,ak) =1

Definizione 2. Gli interi а 1 ,а 2 ,…,ak sono detti coprimi a coppie se i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (а i , а s) =1) .

Se i numeri soddisfano la definizione 2, allora soddisfano anche la Definizione 1. Il viceversa non è vero nel caso generale, ad esempio: (15, 21, 19)= 1, ma (15, 21) = 3

Teorema (criterio di primalità reciproca)

(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + di = 1

Prova:

Dimostriamo la necessità. Sia (à, b) = 1. Sopra abbiamo mostrato che se d=(a, b), allora  x, y  Z: d = ax + by.

Perché in questo caso d =1, allora ci sarà  x, y Z (determinato dall'algoritmo di Euclide): 1 = ax + bу.

Adeguatezza. Sia (*) ax + per = 1, dimostriamo che (a, b)=1. Supponiamo che (a, b) = d, quindi sul lato sinistro dell'uguaglianza (*)

(un / d ) & ( b/g ) => (ax + di) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.

§quattro. Nok di numeri interi e sue proprietà.

Definizione 1. Un multiplo comune di un insieme finito di interi diversi da zero a 1 ,a 2 ,…,ak è un intero m che è divisibile per tutti i numeri a i (i=l, 2,…, k)

Definizione 2. Un intero (m) è chiamato multiplo minimo comune di numeri diversi da zero а 1 ,а 2 ,…,ak , se:

1 m - è il loro multiplo comune;

2 (m) divide qualsiasi altro multiplo comune di questi numeri.

Notazione: m = LCM (a 1, a 2,…, a k) oppure m = [a 1, a 2,…, a k]

Esempio. Numeri dati: 2, 3, 4, 6, 12.

I numeri 12, 24. 48. 96 sono multipli comuni di 2, 3, 4, 6, 12. Il minimo comune multiplo è 12. cioè

L'LCM è determinato in modo univoco fino all'ordine dei fattori. Infatti, se assumiamo che m 1 \u003d [a, b] &m 2 \u003d  (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Esiste una relazione tra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore di due interi, che è espressa dalla formula: [a, b] = ab / (a, b) (deducilo tu stesso)

Questa relazione ci permette di affermare che per ogni coppia di interi diversi da zero esiste il loro multiplo minimo comune. Infatti, (a, b) può sempre essere derivato in modo univoco dall'algoritmo di Euclide e per definizione (a, b)  0, allora la frazione ab/(a, b)  0 sarà determinata in modo univoco.

Il più semplice LCM di due interi è calcolato quando (a, b) = 1, allora [a, b] = ab/1 = a b

Ad esempio, = 215/1 = 105, perché (21, 5) = 1.

§5. Numeri primi e loro proprietà.

Definizione 1. Un numero naturale (p) si dice primo se p > 1 e non ha posit. divisori diversi da 1 e p.

Definizione 2. Un numero naturale a > 1 che ha altri divisori positivi oltre a 1 e se stesso si dice composto.

Da queste definizioni ne consegue che l'insieme dei numeri naturali può essere suddiviso in tre classi:

a) numeri composti;

b) numeri primi;

c) unità.

Se a è composto, allora a = nq, dove 1

Compito 1. Dimostra che se aZ e p è un numero primo, allora (a, p) = 1 v (a / p)

Prova.

Sia d = (a, p) => (a/d) & (p/d), perché p è un numero primo, quindi ha due divisori 1 e p. Se (a, p) = 1, allora a e p sono primi tra loro; se (a, p) = p, allora (a/p).

Compito 2. Se il prodotto di più fattori è divisibile per p, allora almeno uno dei fattori è divisibile per p.

Soluzione.

Sia il prodotto (a 1, a 2, ..., e k)/p, se tutti a i non sono divisibili per p, allora il prodotto sarà coprime con p, quindi qualche fattore è divisibile per p.

Compito 3. Dimostra che il più piccolo divisore di un intero a > 1 diverso da 1 è un numero primo.

Prova.

Sia aZ e a un numero composto (se a = p, allora l'asserzione è dimostrata), allora a = a 1 q.

Sia q il minimo divisore, mostriamo che sarà un numero primo. Se assumiamo che q sia un numero composto, allora q \u003d q 1 k e a \u003d a 1 q 1 k, perché q 1

Compito 4. Dimostrare che il minimo divisore primo (p) di un numero naturale (n) non supera n .

Prova.

Sia n = pn 1 e p< n 1 и р - простое. Тогда n  р 2 =>R<n .

Ne consegue da questa affermazione che se un numero naturale (n) non è divisibile per nessun numero primo р n , allora n è primo, altrimenti sarà composto.

Esempio 1. Scopri se il numero 137 è primo? undici<137 <12.

Annotiamo i divisori primi che non superano 137: 2, 3, 5, 7, 11. Verifichiamo che 137 non è divisibile per 2, per 3, per 5, per 7, per 11. Pertanto, il numero 137 è primo.

Il teorema di Euclide. L'insieme dei numeri primi è infinito.

Prova.

Supponiamo il contrario, sia p 1 ,p 2 , ..., p k sono tutti numeri primi, dove p 1 = 2 e p k è il numero primo più grande.

Componiamo un numero naturale  = p 1 p 2  ... p a +1, come  p i , allora deve essere composto, quindi il suo più piccolo divisore sarà semplice (vedi problema 3). Tuttavia,  non è divisibile né per p 1 né per p 2 ,…, né per p k , perché 1 non è divisibile per nessun p I .

Di conseguenza, la nostra ipotesi che l'insieme dei numeri primi sia finito era sbagliata.

Tuttavia, esiste un teorema che afferma che i numeri primi costituiscono solo una piccola parte dei numeri nella serie naturale.

Il teorema dell'intervallo. Nella serie naturale esistono intervalli arbitrariamente lunghi che non contengono un solo numero primo.

Prova.

Prendiamo un numero naturale arbitrario (n) e componiamo una sequenza di numeri naturali (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1).

In questa sequenza, ogni numero successivo è 1 in più del precedente, tutti questi numeri sono composti, perché ognuno ha più di due divisori (ad esempio, il primo numero è divisibile per 1, per 2 e per se stesso). Come n→∞ otteniamo un intervallo arbitrariamente lungo costituito solo da numeri composti.

Il teorema di Euclide e il teorema degli intervalli testimoniano la natura complessa della distribuzione dei numeri primi nelle serie naturali.

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Qualsiasi numero naturale n>1 può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi, fino all'ordine dei fattori.

Prova.

Proviamo la possibilità di rappresentazione:

Siano nN e n>1, se n è un numero primo, allora n = p e il teorema è dimostrato. Se n è composto, allora il suo più piccolo divisore sarà un numero primo e n = p 1 n 1, dove n 1

Successivamente, discutiamo in modo simile. Se n 1 è un numero primo, allora il teorema è dimostrato, se n 1 è un numero composto, allora n 1 = p 2 n 2, dove n 2< n 1 и тогда n = p 1 p 2 n 2 . На каком-то шаге получим n = p 1 p 2 …p n , где все p i - простые числа.

Proviamo l'unicità dell'espansione:

Supponiamo che ci siano due diverse rappresentazioni per il numero (n): n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n e n>k.

Allora otteniamo che p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). Il lato sinistro dell'uguaglianza (1) è divisibile per p 1 , quindi per la proprietà dei numeri primi (vedi Problema 2), almeno uno dei fattori del lato destro deve essere divisibile per p 1 .

Sia (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1). Dividendo entrambi i membri dell'uguaglianza (1) per p 1 , otteniamo l'uguaglianza p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n . Ripetendo il ragionamento precedente più (k-1) volte, otteniamo l'uguaglianza 1 = q k +1 q k +2 …q n , perché tutto q i >1, allora questa uguaglianza è impossibile. Pertanto, in entrambe le espansioni il numero di fattori è lo stesso (k=n) ei fattori stessi sono gli stessi.

Commento. Nella scomposizione del numero (n) in fattori primi, alcuni di essi possono ripetersi. Indicando con le lettere  1 , 2 ,…, k la molteplicità della loro occorrenza in (n), otteniamo la cosiddetta espansione canonica del numero (n):

Esempio 2

Espansione canonica del numero 588000 = 2 5 35 3 7 2

Conseguenza 1. Se una
allora tutti i divisori del numero (n) hanno la forma:
dove 0 io  io (i = 1, 2,…,k).

Esempio 3 Tutti i divisori del numero 720 = 2 4 3 2 5 otteniamo se nell'espressione
al posto di  1 ,  2 ,  3 , indipendentemente l'uno dall'altro, sostituiremo i valori:  1 =0, 1, 2, 3, 4,  2 =0, 1, 2,  3 = 0, 1 .

I divisori desiderati saranno pari a: 1; 2; quattro; otto; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; diciotto; 36; 72; 144; 5; dieci; venti; 40; 80; quindici; trenta; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720.

Conseguenza 2. Se una
e
allora (a, b) = p 1  1 p 2  2 …p k  k , dove i = min( I , i)

P 1  1 p 2  2 …p k  k , dove i = max( I , i).

Esempio 4 Trova gcd(a, b) e lcm(a, b) usando la scomposizione canonica if

(24, 42) = 23 = 6

I libri di matematica a volte sono difficili da leggere. Il linguaggio asciutto e chiaro degli autori non è sempre di facile comprensione. Sì, e gli argomenti sono sempre interconnessi, che scorrono reciprocamente. Per padroneggiare un argomento, devi sollevare un certo numero di precedenti e talvolta sfogliare l'intero libro di testo. Difficile? Sì. E corriamo il rischio di aggirare queste difficoltà e cerchiamo di trovare un approccio non standard all'argomento. Facciamo una specie di escursione nel paese dei numeri. Tuttavia, lasceremo la definizione la stessa, perché le regole della matematica non possono essere cancellate. Quindi, i numeri coprimi sono numeri naturali con un divisore comune uguale a uno. Questo è chiaro? Piuttosto.

Per un esempio più visivo, prendiamo i numeri 6 e 13. Entrambi sono divisibili per uno (mutualmente primi). Ma i numeri 12 e 14 non possono essere tali, poiché sono divisibili non solo per 1, ma anche per 2. Anche i seguenti numeri - 21 e 47 non rientrano nella categoria dei "numeri coprimi": possono essere divisi non solo per 1, ma anche per 7.

I numeri del coprime sono indicati come segue: ( un, y) = 1.

Si può dire ancora più semplicemente: il comun divisore (il più grande) qui è uguale a uno.
Perché abbiamo bisogno di tale conoscenza? Ragione sufficiente.

Reciprocamente inclusi in alcuni sistemi di crittografia. Chi lavora con i cifrari Hill o con il sistema di sostituzione Caesar sa che senza questa conoscenza non si può andare da nessuna parte. Se hai sentito parlare di generatori, è improbabile che osi negare: anche lì si usano numeri coprimi.

Ora parliamo di modi per ottenerne di così semplici, come capisci possono avere solo due divisori: sono divisibili per se stessi e per uno. Diciamo che 11, 7, 5, 3 sono numeri primi, ma 9 non lo è, perché questo numero è già divisibile per 9, 3 e 1.

E se unè un numero primo, e a- dal set (1, 2, ... un- 1), allora è garantito ( un, a) = 1, o numeri coprimi — un e a.

Questa non è, piuttosto, nemmeno una spiegazione, ma una ripetizione o una sintesi di quanto appena detto.

Ottenere numeri primi è possibile, tuttavia, per numeri impressionanti (miliardi, per esempio), questo metodo è troppo lungo, ma, a differenza delle superformule, che a volte commettono errori, è più affidabile.

Può funzionare scegliendo a > un. Per fare ciò, y viene scelto in modo che il numero su un non ha condiviso. Per fare ciò, un numero primo viene moltiplicato per un numero naturale e un valore viene aggiunto (o, al contrario, sottratto) (ad esempio, R), che è inferiore un:

y= R a + k

Se, per esempio, un = 71, R= 3, q=10, quindi, rispettivamente, a qui sarà uguale a 713. Un'altra selezione è possibile, con gradi.

I numeri composti, a differenza dei numeri coprimi, sono divisibili per se stessi, per 1, e per altri numeri (anche senza resto).

In altre parole, (tranne uno) si dividono in compositi e semplici.

I numeri primi sono numeri naturali che non hanno divisori non banali (diversi dal numero stesso e dall'unità). Il loro ruolo è particolarmente importante nella crittografia odierna, moderna e in rapido sviluppo, grazie alla quale, precedentemente considerata una disciplina estremamente astratta, è diventata così richiesta: gli algoritmi di protezione dei dati vengono costantemente migliorati.

Il numero primo più grande è stato trovato dall'oftalmologo Martin Nowak, che ha partecipato al progetto GIMPS (distribution computing), insieme ad altri appassionati, di cui erano circa 15 mila. Ci sono voluti sei lunghi anni per calcolarlo. Sono stati coinvolti due dozzine e mezza di computer situati nella clinica oculistica di Novak. Il risultato di un lavoro titanico e della perseveranza fu il numero 225964951-1, scritto in 7816230 cifre decimali. Per inciso, il record un largo numeroè stato consegnato sei mesi prima di questa scoperta. E c'erano mezzo milione di segni in meno.

Per un genio che vuole nominare un numero, dove la durata notazione decimale"salta oltre" i dieci milioni, c'è la possibilità di ottenere non solo fama mondiale, ma anche $ 100.000. A proposito, Nayan Khairatwal ha ricevuto un importo inferiore ($ 50.000) per il numero che ha superato il milione.