L'equazione differenziale lineare (LDE) del 2° ordine ha la seguente forma:

dove , , e - funzioni predefinite, continua sull'intervallo su cui si cerca la soluzione. Supponendo che a 0 (x) ≠ 0, dividiamo la (2.1) per e, dopo aver introdotto una nuova notazione per i coefficienti, scriviamo l'equazione nella forma:

Assumiamo senza dimostrazione che la (2.2) abbia un'unica soluzione su qualche intervallo che soddisfi eventuali condizioni iniziali , , se le funzioni , e siano continue sull'intervallo considerato. Se , allora l'equazione (2.2) è chiamata omogenea, mentre l'equazione (2.2) è chiamata disomogenea in caso contrario.

Consideriamo le proprietà delle soluzioni al lodu del 2° ordine.

Definizione. Una combinazione lineare di funzioni è un'espressione , dove sono numeri arbitrari.

Teorema. Se ed è una soluzione lodu

allora la loro combinazione lineare sarà anche una soluzione a questa equazione.

Prova.

Mettiamo l'espressione in (2.3) e mostriamo che il risultato è un'identità:

Riorganizziamo i termini:

Poiché le funzioni e sono soluzioni dell'equazione (2.3), ciascuna delle parentesi nell'ultima equazione è identicamente uguale a zero, che doveva essere dimostrato.

Conseguenza 1. Dal teorema dimostrato segue per , che se è una soluzione dell'equazione (2.3), allora è anche una soluzione di questa equazione.

Conseguenza 2. Assumendo , vediamo che anche la somma di due soluzioni del lodu è una soluzione di questa equazione.

Commento. La proprietà delle soluzioni dimostrate nel teorema resta valida per il caso di qualsiasi ordine.

§3. Il determinante di Vronskij.

Definizione. Un sistema di funzioni si dice linearmente indipendente su un certo intervallo se nessuna di queste funzioni può essere rappresentata come una combinazione lineare di tutte le altre.

Nel caso di due funzioni, ciò significa che , cioè. . L'ultima condizione può essere riscritta nella forma o . Il determinante nel numeratore di questa espressione è chiamato determinante di Wronsky per le funzioni e . Pertanto, il determinante di Wronsky per due funzioni linearmente indipendenti non può essere identicamente uguale a zero.

Lascia stare è il determinante di Wronsky per soluzioni ed equazioni linearmente indipendenti (2.3). Verifichiamo per sostituzione che la funzione soddisfi l'equazione. (3.1)

Veramente, . Poiché le funzioni e soddisfano l'equazione (2.3), allora , cioè è la soluzione dell'equazione (3.1). Troviamo questa soluzione: ; . Dove , . , , .

Sul lato destro di questa formula, devi prendere il segno più, poiché solo in questo caso si ottiene un'identità. In questo modo,

(3.2)

Questa formula è chiamata formula di Liouville. È stato mostrato sopra che il determinante di Wronsky per funzioni linearmente indipendenti non può essere identicamente uguale a zero. Pertanto, esiste un punto in cui il determinante per soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2.3) è diverso da zero. Quindi dalla formula di Liouville segue che la funzione sarà diversa da zero per tutti i valori dell'intervallo in esame, poiché entrambi i fattori sul lato destro della formula (3.2) sono diversi da zero per qualsiasi valore.

§4. La struttura della soluzione generale al lod di 2° ordine.

Teorema. Se e sono soluzioni linearmente indipendenti dell'Eq. (2.3), allora la loro combinazione lineare , dove e sono costanti arbitrarie, sarà la soluzione generale di questa equazione.

Prova.

Che cosa è una soluzione dell'Eq. (2.3), segue dal teorema sulle proprietà delle soluzioni di un lodu del secondo ordine. Dobbiamo solo mostrare che la soluzione volere generale, cioè. è necessario mostrare che per qualsiasi condizione iniziale si possono scegliere costanti arbitrarie e in modo da soddisfare tali condizioni. Scriviamo condizioni iniziali come:

Le costanti e da questo sistema di equazioni algebriche lineari sono determinate in modo univoco, poiché il determinante di questo sistema è il valore del determinante di Wronsky per soluzioni linearmente indipendenti del lodu per:

,

e tale determinante, come abbiamo visto nella sezione precedente, è diverso da zero. Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Dimostra che la funzione , dove e sono costanti arbitrarie, è una soluzione generale al lodu .

Soluzione.

È facile verificare per sostituzione che le funzioni e soddisfano l'equazione data. Queste funzioni sono linearmente indipendenti, poiché . Pertanto, secondo il teorema sulla struttura della soluzione generale, il filone del 2° ordine è la soluzione generale di questa equazione.

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

Linee guida

sullo studio dell'argomento "Equazioni differenziali lineari del secondo ordine" da parte degli studenti del dipartimento di contabilità del modulo di istruzione per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

Lineare equazioni differenziali

secondo ordine con costantecoefficienti

1. Equazioni differenziali lineari omogenee

Equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti è chiamata equazione della forma

quelli. un'equazione che contiene la funzione desiderata e le sue derivate solo al primo grado e non contiene i loro prodotti. In questa equazione e
sono alcuni numeri e la funzione
dato su un certo intervallo
.

Se
sull'intervallo
, quindi l'equazione (1) assume la forma

, (2)

e chiamato lineare omogeneo . In caso contrario, viene chiamata l'equazione (1). lineare disomogeneo .

Considera la funzione complessa

, (3)

dove
e
sono funzioni reali. Se la funzione (3) è una soluzione complessa dell'equazione (2), allora la parte reale
, e la parte immaginaria
soluzioni
individualmente sono soluzioni della stessa equazione omogenea. Pertanto, qualsiasi soluzione complessa dell'equazione (2) genera due soluzioni reali di questa equazione.

Soluzioni omogenee equazione lineare hanno proprietà:

Se è una soluzione dell'equazione (2), quindi la funzione
, dove DA- una costante arbitraria, sarà anche una soluzione dell'equazione (2);

Se e sono soluzioni dell'equazione (2), quindi la funzione
sarà anche una soluzione dell'equazione (2);

Se e sono soluzioni dell'equazione (2), quindi la loro combinazione lineare
sarà anche una soluzione dell'equazione (2), dove e
sono costanti arbitrarie.

Funzioni
e
chiamata linearmente dipendente sull'intervallo
se ci sono tali numeri e
, che non sono contemporaneamente uguali a zero, che su questo intervallo l'uguaglianza

Se l'uguaglianza (4) vale solo quando
e
, quindi le funzioni
e
chiamata linearmente indipendente sull'intervallo
.

Esempio 1 . Funzioni
e
sono linearmente dipendenti, poiché
lungo tutta la linea dei numeri. In questo esempio
.

Esempio 2 . Funzioni
e
sono linearmente indipendenti da qualsiasi intervallo, poiché l'uguaglianza
possibile solo se e
, E
.

1. Costruzione di una soluzione generale di un omogeneo lineare

equazioni

Per trovare una soluzione generale all'equazione (2), devi trovare due delle sue soluzioni linearmente indipendenti e . Combinazione lineare di queste soluzioni
, dove e
sono costanti arbitrarie e daranno la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea.

Nella forma si cercheranno soluzioni linearmente indipendenti dell'Eq. (2).

, (5)

dove - un certo numero. Quindi
,
. Sostituiamo queste espressioni nell'equazione (2):

o
.

Perché
, poi
. Quindi la funzione
sarà una soluzione dell'equazione (2) se soddisferà l'equazione

. (6)

Viene chiamata l'equazione (6). equazione caratteristica per l'equazione (2). Questa equazione è un'equazione quadratica algebrica.

Lascia stare e sono le radici di questa equazione. Possono essere reali e diversi, o complessi, o reali e uguali. Consideriamo questi casi.

Lascia che le radici e equazione caratteristica valido e diverso. Allora le soluzioni dell'equazione (2) saranno le funzioni
e
. Queste soluzioni sono linearmente indipendenti, poiché l'uguaglianza
può essere eseguito solo quando
, E
. Pertanto, la soluzione generale dell'Eq. (2) ha la forma

,

dove e
sono costanti arbitrarie.

Esempio 3
.

Soluzione . L'equazione caratteristica per questo differenziale sarà
. Risolvendolo equazione quadrata, trova le sue radici
e
. Funzioni
e
sono soluzioni dell'equazione differenziale. La soluzione generale di questa equazione ha la forma
.

numero complesso è chiamata espressione della forma
, dove e - numeri reali, ma
prende il nome di unità immaginaria. Se
, quindi il numero
è chiamato puramente immaginario. Se
, quindi il numero
è identificato con un numero reale .

Numero è chiamata parte reale del numero complesso, e - la parte immaginaria. Se due numeri complessi differiscono tra loro solo nel segno della parte immaginaria, allora sono chiamati coniugati:
,
.

Esempio 4 . Risolvi un'equazione quadratica
.

Soluzione . Equazione discriminante
. Quindi . Allo stesso modo,
. Pertanto, questa equazione quadratica ha radici complesse coniugate.

Lascia che le radici dell'equazione caratteristica siano complesse, cioè
,
, dove
. Le soluzioni all'equazione (2) possono essere scritte come
,
o
,
. Secondo le formule di Eulero

,
.

Quindi , . Come è noto, se una funzione complessa è una soluzione di un'equazione lineare omogenea, le soluzioni di questa equazione sono sia la parte reale che quella immaginaria di questa funzione. Pertanto, le soluzioni dell'equazione (2) saranno le funzioni
e
. Dal momento che l'uguaglianza

può essere eseguita solo se
e
, allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma

dove e
sono costanti arbitrarie.

Esempio 5 . Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

Soluzione . L'equazione
è caratteristico per il differenziale dato. Lo risolviamo e otteniamo radici complesse
,
. Funzioni
e
sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale. La soluzione generale di questa equazione ha la forma .

Lascia che le radici dell'equazione caratteristica siano reali e uguali, cioè
. Allora le soluzioni dell'equazione (2) sono le funzioni
e
. Queste soluzioni sono linearmente indipendenti, poiché l'espressione può essere identicamente uguale a zero solo quando
e
. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma
.

Esempio 6 . Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

Soluzione . Equazione caratteristica
ha radici uguali
. In questo caso, le soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale sono le funzioni
e
. La soluzione generale ha la forma
.

§ 9. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Determinazione del LODE del secondo ordine a coefficienti costanti

Equazione caratteristica:

Caso 1. Discriminante maggiore di zero

Caso 2. Il discriminante è zero

Caso 3. Discriminante inferiore a zero

Algoritmo per trovare una soluzione generale a un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti

§ 10. Equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Determinazione di LIDE del secondo ordine a coefficienti costanti

Metodo di variazione costante

Metodo per risolvere LIDE con uno speciale lato destro

Teorema sulla struttura della soluzione generale di LIDE

1. Funzione R (X) è un polinomio di grado T

2. Funzione R (X) è il prodotto di un numero per funzione esponenziale

3. Funzione R (X) - somma funzioni trigonometriche

Algoritmo per trovare una soluzione generale per LIDE con un lato destro speciale

Appendice

§ nove. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Viene chiamata l'equazione differenziale del secondo ordine equazione differenziale lineare omogenea (LODE) a coefficienti costanti se sembra:

dove P e Q

Per trovare una soluzione generale al LODE, basta trovare due delle sue diverse soluzioni particolari e . Quindi la soluzione generale al LODE avrà la forma

dove DA 1 e DA

Leonhard Euler ha proposto di cercare soluzioni particolari di LODE nella forma

dove K- un certo numero.

Differenziando questa funzione due volte e sostituendo le espressioni a, a" e a" nell'equazione, otteniamo:

L'equazione risultante viene chiamata equazione caratteristica LODU. Per compilarlo, è sufficiente sostituire nell'equazione originale a", a" e a rispettivamente acceso K 2 , K e 1:

Dopo aver risolto l'equazione caratteristica, cioè trovare le radici K 1 e K 2 troveremo anche soluzioni particolari al LODE originale.

L'equazione caratteristica è un'equazione quadratica, le sue radici si trovano attraverso il discriminante

In questo caso, sono possibili i seguenti tre casi.

Caso 1. Discriminante maggiore di zero , da cui le radici K 1 e K 2 valido e diverso:

K 1¹ K 2

dove DA 1 e DA 2 sono costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 2. Il discriminante è zero , da cui le radici K 1 e K 2 reali e uguali:

K 1 = K 2 = K

In questo caso, la soluzione generale al LODE ha la forma

dove DA 1 e DA 2 sono costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 3. Discriminante inferiore a zero . In questo caso, l'equazione non ha radici reali:

Non ci sono radici.

In questo caso, la soluzione generale al LODE ha la forma

dove DA 1 e DA 2 sono costanti indipendenti arbitrarie,

Pertanto, trovare una soluzione generale a un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti si riduce a trovare le radici dell'equazione caratteristica e utilizzare formule per la soluzione generale dell'equazione (senza ricorrere al calcolo degli integrali).

Algoritmo per trovare una soluzione generale a un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti:

1. Portare l'equazione nel modulo , dove P e Q sono dei numeri reali

2. Componi un'equazione caratteristica.

3. Trova il discriminante dell'equazione caratteristica.

4. Utilizzando le formule (vedi Tabella 1), a seconda del segno del discriminante, annotare la soluzione generale.

Tabella 1

Tabella delle possibili soluzioni generali

Equazioni differenziali del 2° ordine

§uno. Metodi per abbassare l'ordine di un'equazione.

L'equazione differenziale del 2° ordine ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( o Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Equazione differenziale del 2° ordine). Problema di Cauchy per equazione differenziale del 2° ordine (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Lascia che l'equazione differenziale del 2° ordine sia simile a: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Pertanto, l'equazione del 2° ordine https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Risolvendolo, otteniamo l'integrale generale dell'equazione differenziale originale, dipendente da due costanti arbitrarie: DIV_ADBLOCK219">

Esempio 1 Risolvi l'equazione differenziale https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Questa è un'equazione differenziale separabile: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= "96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99" height ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, es..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Soluzione.

IN data equazione Il 2° ordine chiaramente non include la funzione desiderata https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> che è un'equazione lineare..gif" width="109" height="36 src=">..gif " width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> da alcune funzioni..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width= "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – L'ordine delle equazioni è stato declassato.

§2. Equazione differenziale lineare del 2° ordine.

L'equazione differenziale lineare (LDE) del 2° ordine ha la seguente forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> e, dopo aver introdotto una nuova notazione per i coefficienti, scriviamo l'equazione nella forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> continuo..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – numeri arbitrari.

Teorema. Se https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - la soluzione è

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> sarà anche una soluzione a questa equazione.

Prova.

Mettiamo l'espressione https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.

Riorganizziamo i termini:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> è anche una soluzione a questa equazione.

Conseguenza 2. Supponendo che https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> sia anche una soluzione a questa equazione.

Commento. La proprietà delle soluzioni dimostrate nel teorema resta valida per il caso di qualsiasi ordine.

§3. Il determinante di Vronskij.

Definizione. Sistema di funzioni https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> equazioni (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Infatti, ..gif" width="18" height="25 src="> soddisfa l'equazione (2..gif" width="42" height="25 src="> è una soluzione dell'equazione (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> è identico. Pertanto,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, in cui il determinante per soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Entrambi i fattori sul lato destro della formula (3.2) sono diversi da zero.

§4. La struttura della soluzione generale al lod di 2° ordine.

Teorema. Se https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">è una soluzione dell'equazione (2.3), segue dal teorema sulle proprietà delle soluzioni lodu del 2° ordine..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Le costanti https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> di questo sistema di equazioni algebriche lineari sono determinate in modo univoco, poiché il determinante di questo sistema è https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Secondo il paragrafo precedente, la soluzione generale del lodu del 2° ordine è facilmente determinabile se si conoscono due soluzioni parziali linearmente indipendenti di questa equazione. Un metodo semplice per trovare soluzioni parziali di un'equazione a coefficienti costanti proposta da L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, otteniamo equazione algebrica, che si chiama caratteristica:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> sarà una soluzione all'equazione (5.1) solo per quei valori di k che sono le radici dell'equazione caratteristica (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> e la soluzione generale (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Verifica che questa funzione soddisfi l'equazione (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Sostituendo queste espressioni in equazione (5.1), otteniamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because.gif" width="137" height="26 src=" >.

Le soluzioni private https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sono linearmente indipendenti, perché.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Entrambe le parentesi sul lato sinistro di questa uguaglianza sono identiche a zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> è il soluzione dell'equazione (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> sarà simile a questa:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

rappresentato come la somma della soluzione generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

e qualsiasi soluzione particolare https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> sarà una soluzione all'equazione (6.1)..gif" larghezza=" 272" altezza="25 src="> f(x). Questa uguaglianza è un'identità perché..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Therefore.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sono soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. In questo modo:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, e un tale determinante, come abbiamo visto sopra, è diverso da zero..gif" width="19" height="25 src="> dal sistema di equazioni (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> sarà la soluzione dell'equazione

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> nell'equazione (6.5), otteniamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> dell'equazione (7.1) nel caso in cui il lato destro f(x) ha uno speciale Questo metodo è chiamato metodo dei coefficienti indeterminati e consiste nel selezionare una soluzione particolare a seconda della forma del lato destro di f(x).Si consideri il lato destro della seguente forma:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> può essere zero. Indichiamo la forma in cui la particolare soluzione deve essere assunta in questo caso.

a) Se il numero è https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Soluzione.

Per l'equazione https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Accorciamo entrambe le parti di https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> nelle parti sinistra e destra dell'uguaglianza

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Dal sistema di equazioni risultante troviamo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> e la soluzione generale data equazione mangiare:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Soluzione.

L'equazione caratteristica corrispondente ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Infine abbiamo la seguente espressione per la soluzione generale:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> eccellente da zero. Indichiamo in questo caso la forma di una soluzione particolare.

a) Se il numero è https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> è la radice dell'equazione caratteristica per l'equazione (5..gif" width ="229 "altezza="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Soluzione.

Le radici dell'equazione caratteristica per l'equazione https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" altezza="25 src=">.

Il lato destro dell'equazione data nell'Esempio 3 ha una forma speciale: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Per definire https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > e sostituisci nell'equazione data:

Portando termini simili, eguagliando i coefficienti su https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

La soluzione generale finale dell'equazione data è: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> rispettivamente, e uno di questi polinomi può essere uguale a zero. Indichiamo la forma di una particolare soluzione in questo generale Astuccio.

a) Se il numero è https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Se il numero è https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, una soluzione particolare sarà simile a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Nell'espressione (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Esempio 4 Indicare il tipo di soluzione particolare per l'equazione

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . La soluzione generale del lod ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Ulteriori coefficienti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > esiste una soluzione particolare per l'equazione con il lato destro f1(x) e Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variazioni di costanti arbitrarie (metodo di Lagrange).

La ricerca diretta di una soluzione particolare di una retta, salvo il caso di un'equazione a coefficienti costanti, e inoltre a termini costanti speciali, presenta grandi difficoltà. Pertanto, per trovare la soluzione generale al lindu, si usa solitamente il metodo della variazione di costanti arbitrarie, che consente sempre di trovare la soluzione generale al lindu in quadrature, se sistema fondamentale soluzioni della corrispondente equazione omogenea. Questo metodo è il seguente.

Secondo quanto sopra, la soluzione generale dell'equazione lineare omogenea è:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – non costante, ma alcune, ancora sconosciute, funzioni di f(x). . deve essere preso dall'intervallo. Infatti, in questo caso, il determinante di Wronsky è diverso da zero in tutti i punti dell'intervallo, cioè nell'intero spazio - radice complessa equazione caratteristica..gif" width="20" height="25 src="> soluzioni parziali linearmente indipendenti della forma:

Nella formula della soluzione generale, questa radice corrisponde a un'espressione della forma.

In questo articolo analizzeremo i principi per la risoluzione di equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, dove p e q sono numeri reali arbitrari. Per prima cosa soffermiamoci sulla teoria, quindi applichiamo i risultati ottenuti nella risoluzione di esempi e problemi.

Se incontri termini sconosciuti, fai riferimento alle definizioni e ai concetti della teoria delle equazioni differenziali.

Formuliamo un teorema che indichi in quale forma trovare la soluzione generale di LODE.

Teorema.

La soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti continui sull'intervallo di integrazione X è data da combinazione lineare , dove sono soluzioni parziali linearmente indipendenti di LODE su X e sono costanti arbitrarie.

Pertanto, la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 costanti arbitrarie. Resta da imparare come trovare soluzioni particolari y 1 e y 2 .

Eulero suggerì di cercare soluzioni particolari nella forma.

Se prendiamo un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti come soluzione particolare, quando sostituiamo questa soluzione nell'equazione, dovremmo ottenere l'identità:

Quindi abbiamo il cosiddetto equazione caratteristica equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. Le soluzioni k 1 e k 2 di questa equazione caratteristica determinano anche soluzioni particolari del nostro LODE del secondo ordine a coefficienti costanti.

A seconda dei coefficienti p e q, le radici dell'equazione caratteristica possono essere:

Nel primo caso soluzioni parziali linearmente indipendenti dell'equazione differenziale originale sono e , la soluzione generale di LODE del secondo ordine a coefficienti costanti è .

Le funzioni e sono infatti linearmente indipendenti, poiché il determinante di Wronsky è diverso da zero per ogni x reale per .

Nel secondo caso una soluzione particolare è la funzione. Come viene adottata la seconda soluzione particolare. Mostriamo cos'è realmente una soluzione particolare del LODE del secondo ordine a coefficienti costanti e dimostriamo indipendenza lineare y 1 e y 2 .

Poiché k 1 \u003d k 0 e k 2 \u003d k 0 sono le stesse radici dell'equazione caratteristica, allora ha la forma. Pertanto, è l'equazione differenziale lineare omogenea originale. Sostituiscilo e assicurati che l'equazione si trasformi in un'identità:

Quindi, è una soluzione particolare all'equazione originale.

Mostriamo l'indipendenza lineare delle funzioni e . Per fare ciò, calcoliamo il determinante di Wronsky e ci assicuriamo che sia diverso da zero.

Conclusione: le soluzioni parziali linearmente indipendenti del LODE del secondo ordine a coefficienti costanti sono e , e la soluzione generale è a .

Nel terzo caso abbiamo un paio di soluzioni particolari complesse per LODE e . La soluzione generale si scrive come . Queste particolari soluzioni possono essere sostituite da due funzioni reali e corrispondente al reale e parti immaginarie. Questo si vede chiaramente se trasformiamo la soluzione generale , utilizzando le formule da teoria delle funzioni di una variabile complessa tipo :


dove C 3 e C 4 sono costanti arbitrarie.

Quindi riassumiamo la teoria.

Algoritmo per trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine con coefficienti costanti.

Considera degli esempi per ogni caso.

Esempio.

Trova una soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine con coefficienti costanti .