Se seguiamo la definizione, allora la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto di incremento della funzione Δ y all'incremento dell'argomento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a calcolare con questa formula, diciamo, la derivata della funzione f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che le cosiddette funzioni elementari possono essere distinte dall'intera varietà di funzioni. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e inserite nella tabella. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme alle loro derivate.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte elencate di seguito. I derivati ​​di queste funzioni devono essere conosciuti a memoria. Inoltre, non è difficile memorizzarli: ecco perché sono elementari.

Quindi, le derivate delle funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	f(X) = C, C ∈ R	0 (sì, sì, zero!)
Laurea con esponente razionale	f(X) = X n	n · X n − 1
Seno	f(X) = peccato X	cos X
Coseno	f(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	f(X) = ctg X	− 1/peccato2 X
logaritmo naturale	f(X) = registro X	1/X
Logaritmo arbitrario	f(X) = registro un X	1/(X ln un)
Funzione esponenziale	f(X) = e X	e X(niente è cambiato)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, allora si calcola facilmente anche la derivata della nuova funzione:

(C · f)’ = C · f ’.

In generale, le costanti possono essere estratte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate, moltiplicate, divise e molto altro. Così appariranno nuove funzioni, non più molto elementari, ma anche differenziabili secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata di somma e differenza

Passiamo alle funzioni f(X) e g(X), i cui derivati ​​ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

A rigor di termini, non esiste il concetto di "sottrazione" in algebra. C'è un concetto di "elemento negativo". Pertanto, la differenza f − g può essere riscritto come somma f+ (-1) g, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione f(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

f ’(X) = (X 2+ peccato X)’ = (X 2)' + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Parliamo in modo simile per la funzione g(X). Solo ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivato di un prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto colpire"\u003e uguale al prodotto dei derivati. Ma fichi per te! Il derivato del prodotto viene calcolato utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

La formula è semplice, ma spesso dimenticata. E non solo gli scolari, ma anche gli studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Un compito. Trova le derivate di funzioni: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funzione f(X) è un prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (-peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione g(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma schema generale questo non cambia. Ovviamente, il primo moltiplicatore della funzione g(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Risposta:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio, la derivata viene fattorizzata. Formalmente, questo non è necessario, ma la maggior parte delle derivate non vengono calcolate da sole, ma per esplorare la funzione. Ciò significa che ulteriormente la derivata sarà uguale a zero, i suoi segni verranno scoperti e così via. In tal caso, è meglio avere un'espressione scomposta in fattori.

Se ci sono due funzioni f(X) e g(X), e g(X) ≠ 0 sull'insieme di nostro interesse, possiamo definire una nuova funzione h(X) = f(X)/g(X). Per tale funzione, puoi anche trovare la derivata:

Non debole, giusto? Da dove viene il meno? Perché g 2? Ma così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.

Un compito. Trova le derivate di funzioni:

Ci sono funzioni elementari nel numeratore e nel denominatore di ogni frazione, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Per tradizione, fattoriamo il numeratore in fattori: questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione f(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2+ln X. Si scopre f(X) = peccato ( X 2+ln X) - Ecco cos'è funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non funzionerà per trovarlo secondo le regole discusse sopra.

Come essere? In questi casi, la sostituzione di una variabile e la formula per la derivata di una funzione complessa aiutano:

f ’(X) = f ’(t) · t', Se Xè sostituito da t(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Pertanto, è anche meglio spiegarlo con esempi specifici, con una descrizione dettagliata di ogni passaggio.

Un compito. Trova le derivate di funzioni: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = peccato ( X 2+ln X)

Si noti che se nella funzione f(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, allora funzionerà funzione elementare f(X) = e X. Pertanto, facciamo una sostituzione: sia 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Cerchiamo la derivata di una funzione complessa con la formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

E ora - attenzione! Esecuzione di una sostituzione inversa: t = 2X+ 3. Otteniamo:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione g(X). Ovviamente è da sostituire. X 2+ln X = t. Abbiamo:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (peccato t)’ · t' = cos t · t ’

Sostituzione inversa: t = X 2+ln X. Quindi:

g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

È tutto! Come si evince dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della derivata della somma.

Risposta:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2+ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, al posto del termine “derivato”, uso la parola “ictus”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. È più chiaro? Va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce a sbarazzarsi di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio Torniamo alla potenza derivata con esponente razionale:

(X n)’ = n · X n − 1

Pochi lo sanno nel ruolo n potrebbe benissimo agire numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5. Ma cosa succede se c'è qualcosa di complicato sotto la radice? Ancora una volta, risulterà una funzione complessa: a loro piace dare tali costruzioni lavoro di controllo ed esami.

Un compito. Trova la derivata di una funzione:

Per prima cosa, riscriviamo la radice come una potenza con un esponente razionale:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ora facciamo una sostituzione: sia X 2 + 8X − 7 = t. Troviamo la derivata con la formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.

Facciamo una sostituzione inversa: t = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici:

Diamo senza dimostrazione la formula per le derivate delle funzioni elementari di base:

1. Funzione di potenza: (x n)` =nx n -1 .

2. Una funzione esponenziale: (a x)` = a x lna (in particolare, (e x)` = e x).

3. Funzione logaritmica: (in particolare, (lnx)` = 1/x).

4. Funzioni trigonometriche:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/peccato 2 x

5. Funzioni trigonometriche inverse:

Si può dimostrare che per differenziare una funzione esponenziale di potenza, è necessario utilizzare due volte la formula per la derivata di una funzione complessa, ovvero differenziarla come funzione complessa funzione di potenza, e come esponenziale complesso, e aggiungi i risultati: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)`.

Derivati ​​di ordini superiori

Poiché la derivata di una funzione è essa stessa una funzione, può anche avere una derivata. Il concetto di derivato, discusso sopra, si riferisce a una derivata del primo ordine.

derivaton-esimo ordineè detta derivata della derivata dell'(n-1)-esimo ordine. Ad esempio, f``(x) = (f`(x))` - derivata del secondo ordine (o derivata del secondo), f```(x) = (f``(x))` - derivata del terzo ordine ( o derivati ​​terzi), ecc. A volte i numeri arabi romani tra parentesi sono usati per indicare le derivate superiori, ad esempio f (5) (x) o f (V) (x) per una derivata di quinto ordine.

Il significato fisico delle derivate di ordine superiore è definito allo stesso modo della derivata prima: ciascuna di esse rappresenta il tasso di variazione della derivata dell'ordine precedente. Ad esempio, la seconda derivata è il tasso di variazione della prima, cioè velocità velocità. Per moto rettilineo si intende l'accelerazione di un punto alla volta.

Elasticità della funzione

Elasticità della funzione E x (y) è il limite del rapporto tra l'incremento relativo della funzione y e l'incremento relativo dell'argomento x con quest'ultimo tendente a zero:
.

L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quanta percentuale cambierà la funzione y \u003d f (x) quando la variabile indipendente x cambia dell'1%.

In senso economico, la differenza tra questo indicatore e il derivato è che il derivato ha unità di misura, e quindi il suo valore dipende dalle unità in cui le variabili sono misurate. Ad esempio, se la dipendenza del volume di produzione dal tempo è espressa rispettivamente in tonnellate e mesi, la derivata mostrerà l'aumento marginale del volume in tonnellate al mese; se, tuttavia, questi indicatori vengono misurati, ad esempio, in chilogrammi e giorni, sia la funzione stessa che la sua derivata saranno diverse. L'elasticità è essenzialmente un valore adimensionale (misurato in percentuale o frazioni) e quindi non dipende dalla scala degli indicatori.

Teoremi di base sulle funzioni differenziabili e loro applicazioni

Il teorema di Fermat. Se una funzione derivabile su un intervallo raggiunge il suo valore massimo o minimo in un punto interno di questo intervallo, allora la derivata della funzione a questo punto è uguale a zero.

Senza prove.

Il significato geometrico del teorema di Fermat è che nel punto del valore più grande o più piccolo raggiunto all'interno del gap, la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse delle ascisse (Figura 3.3).

Il teorema di Rolle. Lascia che la funzione y \u003d f (x) soddisfi le seguenti condizioni:

2) differenziabile sull'intervallo (a, b);

3) assume valori uguali alle estremità del segmento, ad es. f(a)=f(b).

Allora c'è almeno un punto all'interno del segmento in cui la derivata della funzione è uguale a zero.

Senza prove.

Il significato geometrico del teorema di Rolle è che c'è almeno un punto in cui la tangente al grafico della funzione sarà parallela all'asse x (ad esempio, ci sono due di questi punti nella Figura 3.4).

Se f(a) =f(b) = 0, allora il teorema di Rolle può essere formulato diversamente: tra due zeri successivi di una funzione derivabile c'è almeno uno zero della derivata.

Il teorema di Rolle è un caso speciale del teorema di Lagrange.

Il teorema di Lagrange. Lascia che la funzione y \u003d f (x) soddisfi le seguenti condizioni:

1) è continua sul segmento [a, b];

2) è differenziabile sull'intervallo (a, b).

Allora all'interno del segmento c'è almeno un tale punto c in cui la derivata è uguale al quoziente dell'incremento delle funzioni diviso per l'incremento dell'argomento su questo segmento:
.

Senza prove.

Per comprendere il significato fisico del teorema di Lagrange, lo notiamo
non è altro che il tasso medio di variazione della funzione sull'intero intervallo [a,b]. Pertanto, il teorema afferma che all'interno del segmento c'è almeno un punto in cui la velocità di variazione "istantanea" della funzione è uguale alla velocità media della sua variazione sull'intero segmento.

Il significato geometrico del teorema di Lagrange è illustrato nella Figura 3.5. Si noti che l'espressione
è la pendenza della retta su cui giace la corda AB. Il teorema afferma che c'è almeno un punto sul grafico di una funzione in cui la tangente ad essa sarà parallela a questa corda (cioè la pendenza della tangente - la derivata - sarà la stessa).

Corollario: se la derivata di una funzione è uguale a zero su un intervallo, allora la funzione è identica costante su questo intervallo.

In effetti, prendiamo un intervallo su questo intervallo. Per il teorema di Lagrange, c'è un punto c in questo intervallo per il quale
. Quindi f(a) - f(x) = f`(ñ)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = cost.

La regola dell'Hopital. Il limite del rapporto di due funzioni infinitamente piccole o infinitamente grandi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate (finite o infinite), se quest'ultima esiste nel senso indicato.

In altre parole, se c'è un'incertezza della forma
, poi
.

Senza prove.

L'applicazione della regola de L'Hospital per la ricerca dei limiti sarà oggetto di esercitazioni pratiche.

Condizione sufficiente per l'aumento (decremento) di una funzione. Se la derivata di una funzione derivabile è positiva (negativa) all'interno di un intervallo, allora la funzione aumenta (diminuisce) su questo intervallo.

Prova. Considera due valori x 1 e x 2 dall'intervallo dato (sia x 2 > x 1). Per il teorema di Lagrand, su [x 1 , x 2 ] c'è un punto c in cui
. Quindi f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Quindi per f`(c) > 0, il lato sinistro della disuguaglianza è positivo, cioè f(x 2) > f(x 1), e la funzione è crescente. A f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Il teorema è stato dimostrato.

Interpretazione geometrica della condizione di monotonia della funzione: se le tangenti alla curva in un certo intervallo sono dirette ad angoli acuti rispetto all'asse delle ascisse, la funzione aumenta e, se ad angoli ottusi, diminuisce (vedi Figura 3.6) .

Nota: la condizione necessaria per la monotonia è più debole. Se la funzione aumenta (diminuisce) su un certo intervallo, allora la derivata è non negativa (non positiva) su questo intervallo (cioè, in alcuni punti, la derivata di una funzione monotona può essere uguale a zero).

Le formule 3 e 5 mettono alla prova te stesso.

REGOLE DI BASE DELLA DIFFERENZIAZIONE

Usando il metodo generale per trovare la derivata usando il limite, puoi ottenere le formule di differenziazione più semplici. Permettere u=u(x),v=v(x) sono due funzioni differenziabili di una variabile X.

Le formule 1 e 2 mettono alla prova te stesso.

Prova di Formula 3.

Permettere y = u(x) + v(x). Per il valore dell'argomento X+Δ X noi abbiamo y(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = tu(x+Δ X) + v(x+Δ X) – tu(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.

Di conseguenza,

Prova di Formula 4.

Permettere y=u(x) v(x). Quindi y(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), Ecco perchè

Δ y=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).

Si noti che poiché ciascuna delle funzioni tu e v differenziabile in un punto X, allora sono continui a questo punto, e quindi tu(X+Δ X)→u(x), v(X+Δ X)→v(x), per Δ X→0.

Pertanto, possiamo scrivere

Sulla base di questa proprietà si può ottenere una regola per differenziare il prodotto di un numero qualsiasi di funzioni.

Lasciamo, per esempio, y=u v w. Quindi,

y " = tu "·( v w) + tu·( v w) "= tu "· v w+ tu·( v" w + v w ") = tu "· v w+ tu· v" w + tu v w".

Prova di Formula 5.

Permettere . Quindi

Nella dimostrazione, abbiamo usato il fatto che v(x+Δ X)→v(x) a Δ X→0.

Esempi.

TEOREMA SULLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPLESSA

Permettere y = f(u), un tu= tu(X). Otteniamo una funzione y, a seconda dell'argomento X: y = f(u(x)). L'ultima funzione è chiamata funzione di una funzione, o funzione complessa.

Ambito della funzione y = f(u(x))è l'intero ambito della funzione tu=tu(X) o quella parte di esso in cui sono determinati i valori tu, non al di fuori dell'ambito della funzione y= f(u).

L'operazione "funzione da funzione" può essere eseguita non una, ma un numero qualsiasi di volte.

Stabiliamo una regola per differenziare una funzione complessa.

Teorema. Se la funzione tu= tu(X) ha ad un certo punto x0 derivata e prende il valore a questo punto tu 0 = tu(x0), e la funzione y=f(u) ha al punto tu 0 derivato y"u= f "(tu 0), quindi la funzione complessa y = f(u(x)) nel punto specificato x0 ha anche una derivata, che è uguale a y"x= f "(tu 0)· tu "(x0), dove invece di tu l'espressione deve essere sostituita tu= tu(X).

Pertanto, la derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio tu alla derivata dell'argomento intermedio rispetto a X.

Prova. Per un valore fisso X 0 avremo tu 0 =tu(X 0), a 0 =f(u 0 ). Per il nuovo valore dell'argomento x0+Δ X:

Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ y=f(tu 0+Δ tu) – f(tu 0).

Perché tu– differenziabile in un punto x0, poi tuè continua a questo punto. Pertanto, per Δ X→0 Δ tu→0. Allo stesso modo, per Δ tu→0 Δ y→0.

Per condizione . Da questa relazione, utilizzando la definizione del limite, si ottiene (per Δ tu→0)

dove α→0 a Δ tu→0, e, di conseguenza, per Δ X→0.

Riscriviamo questa equazione come:

Δ y=y"tu ∆ tu+α·Δ tu.

L'uguaglianza risultante vale anche per Δ tu=0 per α arbitrario, poiché si trasforma nell'identità 0=0. A Δ tu=0 assumeremo α=0. Dividi tutti i termini dell'uguaglianza risultante per Δ X

.

Per condizione . Pertanto, passando al limite in Δ X→0, otteniamo y"x= y" u u " x . Il teorema è stato dimostrato.

Quindi, per differenziare una funzione complessa y = f(u(x)), devi prendere la derivata della funzione "esterna". f, trattando il suo argomento semplicemente come una variabile e moltiplicandolo per la derivata della funzione "interna" rispetto alla variabile indipendente.

Se la funzione y=f(x) può essere rappresentato come y=f(u), u=u(v), v=v(x), quindi trovare la derivata y " x si effettua mediante successiva applicazione del teorema precedente.

Secondo la regola provata, abbiamo y"x= y"tu · tu" x . Applicando lo stesso teorema a tu"x otteniamo, cioè

y"x= y" X tu"v · v"x= f"tu( tu)· tu"v( v)· v"X( X).

Esempi.

IL CONCETTO DI FUNZIONE INVERSA

Cominciamo con un esempio. Considera la funzione y=x3. Considereremo l'uguaglianza y= x 3 come equazione per X. Questa è l'equazione per ogni valore a definisce un unico valore X: . Geometricamente, questo significa che qualsiasi linea parallela all'asse Bue interseca il grafico della funzione y=x3 solo in un punto. Pertanto possiamo considerare X come una funzione di y. La funzione è chiamata l'inverso della funzione y=x3.

Prima di passare al caso generale, introduciamo le definizioni.

Funzione y = f(x) chiamato crescente su un certo intervallo, se il valore maggiore dell'argomento X da questo segmento corrisponde a un valore maggiore della funzione, cioè Se X 2 >X 1, quindi f(x 2 ) > f(x 1 ).

Allo stesso modo, viene chiamata la funzione calante, se il valore minore dell'argomento corrisponde al valore maggiore della funzione, ad es. Se X 2 < X 1, quindi f(x 2 ) > f(х 1 ).

Quindi, data una funzione crescente o decrescente y=f(x), definito su un certo intervallo [ un; b]. Per definizione, considereremo una funzione crescente (per una funzione decrescente, tutto è simile).

Considera due valori diversi X 1 e X 2. Permettere y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Dalla definizione di funzione crescente segue che se X 1 <X 2, quindi a 1 <a 2. Quindi due valori diversi X 1 e X 2 corrispondono a due diversi valori di funzione a 1 e a 2. È vero anche il contrario, cioè Se a 1 <a 2 , quindi dalla definizione di funzione crescente ne consegue che X 1 <X 2. Quelli. ancora a due valori diversi a 1 e a 2 corrisponde a due valori differenti X 1 e X 2. Quindi, tra valori X e i valori corrispondenti y viene stabilita una corrispondenza uno-a-uno, cioè l'equazione y=f(x) per tutti y(tratto dall'intervallo della funzione y=f(x)) definisce un unico valore X, e possiamo dirlo X avere qualche funzione di argomento y: x= g(y).

Questa funzione è chiamata inversione per funzione y=f(x). Ovviamente, la funzione y=f(x)è l'inverso della funzione x=g(y).

Si noti che la funzione inversa x=g(y) si trova risolvendo l'equazione y=f(x) relativamente X.

Esempio. Lascia che la funzione y= e x . Questa funzione aumenta a –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X=ln y. Dominio della funzione inversa 0< y < + ∞.

Facciamo alcune osservazioni.

Nota 1. Se una funzione crescente (o decrescente). y=f(x) continuo sul segmento [ un; b], e f(a)=c, f(b)=d, allora la funzione inversa è definita e continua sul segmento [ c; d].

Nota 2. Se la funzione y=f(x) non è né crescente né decrescente su un certo intervallo, quindi può avere diverse funzioni inverse.

Esempio. Funzione y=x2 definito in –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X≤ 0 la funzione è decrescente ed è inversa.

Osservazione 3. Se funziona y=f(x) e x=g(y) sono reciprocamente inverse, quindi esprimono la stessa relazione tra le variabili X e y. Pertanto, il grafico è la stessa curva. Ma se indichiamo nuovamente l'argomento della funzione inversa con X, e la funzione attraverso y e costruiamoli nello stesso sistema di coordinate, otteniamo due grafici diversi. È facile vedere che i grafici saranno simmetrici rispetto alla bisettrice del 1° angolo di coordinate.

TEOREMA SULLA DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

Proviamo un teorema che ci permette di trovare la derivata della funzione y=f(x) conoscere la derivata della funzione inversa.

Teorema. Se per la funzione y=f(x) esiste una funzione inversa x=g(y), che a un certo punto a 0 ha una derivata g "(v0) diverso da zero, quindi nel punto corrispondente x0=g(x0) funzione y=f(x) ha una derivata f "(x0) uguale a , cioè formula corretta.

Prova. Perché x=g(y) differenziabile in un punto si 0, poi x=g(y)è continua a questo punto, quindi la funzione y=f(x) continuo al punto x0=g(si 0). Pertanto, per Δ X→0 Δ y→0.

Mostriamolo .

Permettere . Quindi dalla proprietà limit . Passiamo in questa uguaglianza al limite in Δ y→0. Allora Δ X→0 e α(Δx)→0, cioè .

Di conseguenza,

,

QED

Questa formula può essere scritta come .

Consideriamo l'applicazione di questo teorema con esempi.

È molto facile da ricordare.

Bene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Qual è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Un tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale", e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

a cosa è uguale? Certo, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differenzia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate di funzioni:

1. al punto;
2. al punto;
3. al punto;
4. al punto.

Soluzioni:

1. (la derivata è la stessa in tutti i punti, dato che è una funzione lineare, ricordi?);

Derivato di un prodotto

Tutto è simile qui: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova derivate di funzioni e;
2. Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è un numero.

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per fare ciò, utilizziamo una semplice regola: . Quindi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla te stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: così com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate di funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, nella risposta è lasciato in questa forma.

Si noti che qui è il quoziente di due funzioni, quindi applichiamo la regola di differenziazione appropriata:

In questo esempio, il prodotto di due funzioni:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio, :

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Che cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in termini di matematica, la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo trasportatore: due persone sono sedute e fanno delle azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo lo lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi al quadrato il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), io trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con ciò che è successo come risultato della prima.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il nostro esempio, .

Possiamo anche fare le stesse azioni in ordine inverso: prima fai il quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo verrà chiamata funzione "esterna"., e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

1. Quale azione intraprenderemo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo eleviamo a un cubo. Quindi è una funzione interna, non esterna.
   E la funzione originaria è la loro composizione: .
2. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
3. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
4. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
5. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, si presenta così:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra essere semplice, giusto?

Controlliamo con esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(basta non provare a ridurre ormai! Non viene tolto nulla da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È immediatamente chiaro che qui esiste una funzione complessa a tre livelli: dopotutto, questa è già una funzione complessa in sé e ne estraiamo ancora la radice, ovvero eseguiamo la terza azione (metti il ​​cioccolato in un involucro e con un nastro in una valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: comunque, “scompatteremo” questa funzione nello stesso ordine del solito: dalla fine.

Cioè, prima distinguiamo la radice, poi il coseno e solo allora l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo tutto.

In questi casi, è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata a un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più "esterna" sarà la funzione corrispondente. La sequenza di azioni - come prima:

Qui la nidificazione è generalmente a 4 livelli. Determiniamo la linea di condotta.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Derivata di funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene sottratta dal segno della derivata:

Derivata di somma:

Prodotto derivato:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione "interna", troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione "esterna", troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.