Come risolvere un integrale con una laurea. Integrazione del prodotto delle funzioni di potenza di sin x e cos x

Integrali principali che ogni studente dovrebbe conoscere

Gli integrali elencati sono la base, la base dei fondamenti. Queste formule, ovviamente, dovrebbero essere ricordate. Quando calcoli integrali più complessi, dovrai usarli costantemente.

Prestare particolare attenzione alle formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) e (19). Non dimenticare di aggiungere una costante C arbitraria alla risposta durante l'integrazione!

Integrale di una costante

∫ UN d x = UN x + C (1)

Integrazione della funzione di alimentazione

In effetti, ci si potrebbe limitare alle formule (5) e (7), ma il resto degli integrali di questo gruppo sono così comuni che vale la pena prestare loro un po' di attenzione.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrali della funzione esponenziale e delle funzioni iperboliche

Naturalmente, la formula (8) (forse la più comoda da ricordare) può essere considerata un caso speciale della formula (9). Le formule (10) e (11) per gli integrali del seno iperbolico e del coseno iperbolico sono facilmente derivate dalla formula (8), ma è meglio ricordare solo queste relazioni.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrali di base delle funzioni trigonometriche

Un errore che spesso gli studenti fanno: confondono i segni nelle formule (12) e (13). Ricordando che la derivata del seno è uguale al coseno, per qualche ragione molte persone credono che l'integrale della funzione sinx sia uguale a cosx. Questo non è vero! L'integrale di seno è "meno coseno", ma l'integrale di cosx è "solo seno":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 peccato 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrali che si riducono a funzioni trigonometriche inverse

La formula (16), che porta all'arcotangente, è naturalmente un caso speciale della formula (17) per a=1. Allo stesso modo, (18) è un caso speciale di (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = − un r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrali più complessi

Queste formule sono anche desiderabili da ricordare. Sono anche usati abbastanza spesso e il loro output è piuttosto noioso.

Regole generali di integrazione

1) L'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali corrispondenti: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrale della differenza di due funzioni è uguale alla differenza integrali corrispondenti: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La costante può essere detratta dal segno di integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

È facile vedere che la proprietà (26) è semplicemente una combinazione di proprietà (25) e (27).

4) Integrale di funzione complessa, Se funzione interioreè lineare: ∫ f (LA x + B) d x = 1 A F (LA x + B) + C (LA ≠ 0) (28)

Qui F(x) è l'antiderivata per la funzione f(x). Nota che questa formula funziona solo quando la funzione interna è Ax + B.

Importante: non esiste una formula universale per l'integrale del prodotto di due funzioni, così come per l'integrale di una frazione:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trenta)

Ciò non significa, ovviamente, che una frazione o un prodotto non possa essere integrato. È solo che ogni volta che vedi un integrale come (30), devi inventare un modo per "combattere" con esso. In alcuni casi, l'integrazione per parti ti aiuterà, da qualche parte dovrai apportare un cambio di variabile e talvolta anche formule "scolastiche" di algebra o trigonometria possono aiutare.

Un semplice esempio per calcolare l'integrale indefinito

Esempio 1. Trova l'integrale: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Usiamo le formule (25) e (26) (l'integrale della somma o differenza delle funzioni è uguale alla somma o differenza degli integrali corrispondenti. Otteniamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 dx

Ricordiamo che la costante può essere estratta dal segno di integrale (formula (27)). L'espressione viene convertita nel form

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ peccato x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

Ora usiamo solo la tabella degli integrali di base. Dovremo applicare le formule (3), (12), (8) e (1). Integriamo la funzione potenza, seno, esponente e costante 1. Non dimenticare di aggiungere una costante arbitraria C alla fine:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Dopo le trasformazioni elementari, otteniamo la risposta finale:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Mettiti alla prova con la differenziazione: prendi la derivata della funzione risultante e assicurati che sia uguale all'integrando originale.

Tabella riassuntiva degli integrali

∫ UN d x = UN x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 peccato 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = - un r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + un 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − un 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | + C

∫ un 2 − x 2 d x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsin x un + C (a > 0)

∫ x 2 + un 2 d x = x 2 x 2 + un 2 + un 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − un 2 d x = x 2 x 2 − un 2 − un 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0)

Scarica la tabella degli integrali (parte II) da questo link

Se stai studiando in un'università, se hai difficoltà con la matematica superiore ( analisi matematica, algebra lineare, teoria della probabilità, statistica), se hai bisogno dei servizi di un insegnante qualificato, vai alla pagina di un tutor di matematica superiore. Risolviamo insieme i tuoi problemi!

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In questa pagina troverai:

1. In realtà, la tabella degli antiderivati - può essere scaricata in formato PDF e stampata;

2. Video su come utilizzare questa tabella;

3. Un sacco di esempi di calcolo dell'antiderivato da vari libri di testo e test.

Nel video stesso, analizzeremo molte attività in cui è necessario calcolare funzioni antiderivative, spesso piuttosto complesse, ma soprattutto non sono legge di potenza. Tutte le funzioni riassunte nella tabella sopra proposta devono essere conosciute a memoria, come le derivate. Senza di essi, è impossibile approfondire lo studio degli integrali e la loro applicazione per risolvere problemi pratici.

Oggi continuiamo a occuparci di primitivi e passiamo a un argomento leggermente più complesso. Se l'ultima volta abbiamo considerato gli antiderivati solo da funzioni di potenza e strutture leggermente più complesse, oggi analizzeremo la trigonometria e molto altro.

Come ho detto nell'ultima lezione, gli antiderivati, a differenza dei derivati, non vengono mai risolti "in bianco" utilizzando regole standard. Inoltre, la cattiva notizia è che, a differenza del derivato, l'antiderivato potrebbe non essere affatto considerato. Se scriviamo perfettamente funzione casuale e proviamo a trovare la sua derivata, allora ci riusciremo con una probabilità molto alta, ma l'antiderivativa non sarà quasi mai calcolata in questo caso. Ma c'è anche una buona notizia: esiste una classe abbastanza ampia di funzioni chiamate funzioni elementari, le cui antiderivate sono molto facili da calcolare. E tutti gli altri sono di più strutture complesse, che vengono dati su ogni tipo di controllo, indipendente ed esami, infatti, sono costituiti da questi funzioni elementari per addizione, sottrazione, ecc. semplici azioni. Le antiderivate di tali funzioni sono da tempo calcolate e riassunte in apposite tabelle. È con tali funzioni e tabelle che lavoreremo oggi.

Ma inizieremo, come sempre, con una ripetizione: ricordate cos'è un antiderivato, perché ce ne sono un numero infinito e come determinarne la forma generale. Per fare questo, ho raccolto due semplici compiti.

Risolvere esempi facili

Esempio 1

Nota subito che $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ e la presenza di $\text( )\!\!\pi\!\! \ text()$ ci suggerisce immediatamente che l'antiderivata richiesta della funzione è correlata alla trigonometria. E, infatti, se osserviamo la tabella, troviamo che $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ non è altro che $\text(arctg)x$. Allora scriviamo:

Per trovare, è necessario scrivere quanto segue:

\[\frac(\pi )(6)=\testo(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Esempio #2

Qui si parla anche di funzioni trigonometriche. Se guardiamo la tabella, allora, in effetti, risulterà così:

Dobbiamo trovare tra l'intero insieme di antiderivate quella che passa per il punto specificato:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Infine scriviamolo:

È così semplice. L'unico problema è che per contare le antiderivate di funzioni semplici, è necessario imparare la tabella delle antiderivate. Tuttavia, dopo aver appreso la tabella dei derivati per te, immagino che questo non sarà un problema.

Risoluzione di problemi contenenti una funzione esponenziale

Iniziamo scrivendo le seguenti formule:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Vediamo come funziona tutto in pratica.

Esempio 1

Se osserviamo il contenuto delle parentesi, noteremo che nella tabella delle antiderivate non esiste un'espressione tale che $((e)^(x))$ sia in un quadrato, quindi questo quadrato deve essere aperto. Per fare ciò, utilizziamo le formule di moltiplicazione abbreviate:

Troviamo l'antiderivata per ciascuno dei termini:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

E ora raccogliamo tutti i termini in un'unica espressione e otteniamo un antiderivato comune:

Esempio #2

Questa volta, l'esponente è già più grande, quindi la formula di moltiplicazione abbreviata sarà piuttosto complicata. Espandiamo le parentesi:

Ora proviamo a prendere l'antiderivata della nostra formula da questa costruzione:

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato e di soprannaturale nelle antiderivate della funzione esponenziale. Tutto viene calcolato tramite tabelle, tuttavia, gli studenti attenti noteranno sicuramente che l'antiderivativa $((e)^(2x))$ è molto più vicina a $((e)^(x))$ che a $((a )^(x ))$. Quindi, forse c'è qualche regola più speciale che permette, conoscendo l'antiderivativa $((e)^(x))$, di trovare $((e)^(2x))$? Sì, esiste una tale regola. E, inoltre, è parte integrante del lavoro con la tavola degli antiderivati. Lo analizzeremo ora utilizzando le stesse espressioni con cui abbiamo appena lavorato come esempio.

Regole per lavorare con la tabella degli antiderivati

Riscriviamo la nostra funzione:

Nel caso precedente, abbiamo utilizzato la seguente formula per risolvere:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\nomeoperatore(lna))\]

Ma ora facciamolo in modo leggermente diverso: ricorda su quale base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Come già detto, poiché la derivata di $((e)^(x))$ non è altro che $((e)^(x))$, quindi la sua antiderivata sarà uguale alla stessa $((e) ^( x))$. Ma il problema è che abbiamo $((e)^(2x))$ e $((e)^(-2x))$. Ora proviamo a trovare la derivata $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cpunto ((e)^(2x))\]

Riscriviamo ancora la nostra costruzione:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

E questo significa che quando troviamo l'antiderivativa $((e)^(2x))$, otteniamo quanto segue:

\[((e)^(2x))\a \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Come puoi vedere, abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima, ma non abbiamo usato la formula per trovare $((a)^(x))$. Ora questo può sembrare stupido: perché complicare i calcoli quando esiste una formula standard? Tuttavia, tra un po' di più espressioni complesse vedrai che questa tecnica è molto efficace, ad es. utilizzando derivati per trovare antiderivati.

Come riscaldamento, troviamo l'antiderivata di $((e)^(2x))$ in modo simile:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Durante il calcolo, la nostra costruzione sarà scritta come segue:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma siamo andati dall'altra parte. È così, che ora ci sembra un po' più complicato, in futuro sarà più efficiente per calcolare antiderivati più complessi e utilizzare tabelle.

Nota! Questo è un punto molto importante: gli antiderivati, come i derivati, possono essere considerati un insieme vari modi. Tuttavia, se tutti i calcoli e i calcoli sono uguali, la risposta sarà la stessa. Ce ne siamo appena accertati nell'esempio di $((e)^(-2x))$ - da un lato, abbiamo calcolato questa antiderivativa “in tutto”, usando la definizione e calcolandola con l'ausilio di trasformazioni, sul d'altra parte, abbiamo ricordato che $ ((e)^(-2x))$ può essere rappresentato come $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ e quindi utilizzare l'antiderivata per la funzione $( (a)^(x))$. Tuttavia, dopo tutte le trasformazioni, il risultato è lo stesso previsto.

E ora che abbiamo capito tutto questo, è tempo di passare a qualcosa di più sostanziale. Ora analizzeremo due semplici costruzioni, tuttavia, la tecnica che verrà stabilita per risolverle è uno strumento più potente e utile di una semplice "corsa" tra antiderivate vicine dalla tabella.

Risoluzione dei problemi: trova l'antiderivata di una funzione

Esempio 1

Dare l'importo che è nei numeratori, scomporre in tre frazioni separate:

Questa è una transizione abbastanza naturale e comprensibile: la maggior parte degli studenti non ha problemi con essa. Riscriviamo la nostra espressione come segue:

Ricordiamo ora questa formula:

Nel nostro caso, otterremo quanto segue:

Per sbarazzarsi di tutte queste frazioni a tre piani, suggerisco di fare quanto segue:

Esempio #2

A differenza della frazione precedente, il denominatore non è il prodotto, ma la somma. In questo caso, non possiamo più dividere la nostra frazione per la somma di più frazioni semplici, ma dobbiamo in qualche modo cercare di assicurarci che il numeratore contenga approssimativamente la stessa espressione del denominatore. In questo caso, è abbastanza facile da fare:

Tale notazione, che nel linguaggio della matematica si chiama "addizione di zero", ci permetterà di dividere nuovamente la frazione in due parti:

Ora troviamo quello che stavamo cercando:

Questi sono tutti i calcoli. Nonostante l'apparente maggiore complessità rispetto al problema precedente, la quantità di calcoli si è rivelata ancora più piccola.

Sfumature della soluzione

Ed è qui che risiede la principale difficoltà di lavorare con le primitive tabulari, questo è particolarmente evidente nel secondo compito. Il fatto è che per selezionare alcuni elementi facilmente conteggiabili attraverso la tabella, dobbiamo sapere esattamente cosa stiamo cercando, ed è nella ricerca di questi elementi che consiste l'intero calcolo degli antiderivati.

In altre parole, non è sufficiente memorizzare solo la tabella degli antiderivati: è necessario essere in grado di vedere qualcosa che non c'è ancora, ma cosa intendeva l'autore e il compilatore di questo problema. Ecco perché molti matematici, insegnanti e professori sostengono costantemente: "Cos'è prendere antiderivati o integrazione - è solo uno strumento o è vera arte?" In effetti, secondo la mia personale opinione, l'integrazione non è affatto un'arte - non c'è niente di sublime in essa, è solo pratica e pratica ancora. E per fare pratica, risolviamo altri tre esempi seri.

Pratica l'integrazione nella pratica

Compito #1

Scriviamo le seguenti formule:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\a \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Scriviamo quanto segue:

Compito #2

Riscriviamolo così:

L'antiderivata totale sarà pari a:

Compito #3

La complessità di questo compito sta nel fatto che, a differenza delle funzioni precedenti, non esiste una variabile $x$ sopra, ad es. non ci è chiaro cosa aggiungere, sottrarre per ottenere almeno qualcosa di simile a quanto sta sotto. Tuttavia, in effetti, questa espressione è considerata ancora più semplice di qualsiasi espressione dei costrutti precedenti, perché questa funzione si può riscrivere così:

Ora potresti chiederti: perché queste funzioni sono uguali? Controlliamo:

Riscriviamo ancora:

Cambiamo un po' la nostra espressione:

E quando spiego tutto questo ai miei studenti, sorge quasi sempre lo stesso problema: con la prima funzione è tutto più o meno chiaro, con la seconda puoi capirlo anche con la fortuna o con la pratica, ma che tipo di coscienza alternativa fa devi avere per risolvere il terzo esempio? In realtà, non aver paura. La tecnica che abbiamo usato per calcolare l'ultima antiderivata è chiamata "scomporre una funzione nella più semplice", e questa è una tecnica molto seria e ad essa sarà dedicata una lezione video separata.

Nel frattempo, propongo di tornare a quanto appena studiato, ovvero alle funzioni esponenziali e di complicare un po' i compiti con il loro contenuto.

Problemi più complessi per la risoluzione di funzioni esponenziali antiderivate

Compito #1

Nota quanto segue:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Per trovare l'antiderivata di questa espressione, usa semplicemente la formula standard $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Nel nostro caso, la primitiva sarà così:

Ovviamente, sullo sfondo della costruzione che abbiamo appena risolto, questo sembra più semplice.

Compito #2

Ancora una volta, è facile vedere che questa funzione è facile da dividere in due termini separati: due frazioni separate. Riscriviamo:

Resta da trovare l'antiderivata di ciascuno di questi termini secondo la formula di cui sopra:

Nonostante l'apparente complessità funzioni esponenziali rispetto a quelli potenti, la quantità totale di calcoli e calcoli si è rivelata molto più semplice.

Naturalmente, per gli studenti esperti, ciò di cui ci siamo occupati (soprattutto sullo sfondo di ciò che abbiamo affrontato prima) può sembrare espressioni elementari. Tuttavia, scegliendo questi due compiti per il video tutorial di oggi, non mi sono posto l'obiettivo di raccontarti un altro trucco complesso e fantasioso: tutto ciò che volevo mostrarti è che non dovresti aver paura di usare trucchi di algebra standard per trasformare le funzioni originali .

Usando la tecnica "segreta".

In conclusione, vorrei analizzare un'altra tecnica interessante, che, da un lato, va oltre ciò che abbiamo principalmente analizzato oggi, ma, dall'altro, è, in primo luogo, per nulla complicata, ovvero. anche gli studenti alle prime armi possono padroneggiarlo e, in secondo luogo, si trova abbastanza spesso su tutti i tipi di controllo e lavoro indipendente, cioè. conoscerlo sarà molto utile oltre a conoscere la tavola degli antiderivati.

Compito #1

Ovviamente, abbiamo qualcosa di molto simile a una funzione di potenza. Come dobbiamo procedere in questo caso? Pensiamoci: $x-5$ differisce da $x$ non tanto - appena aggiunto $-5$. Scriviamola così:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Proviamo a trovare la derivata di $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ciò implica:

\[((\sinistra(x-5 \destra))^(4))=((\sinistra(\frac(((\sinistra(x-5 \destra))^(5)))(5) \ a destra))^(\prime ))\]

Non esiste un tale valore nella tabella, quindi ora abbiamo derivato questa formula noi stessi, usando la formula antiderivativa standard per una funzione di potenza. Scriviamo la risposta in questo modo:

Compito #2

A molti studenti che guardano alla prima soluzione, può sembrare che tutto sia molto semplice: basta sostituire $x$ nella funzione di potenza con un'espressione lineare e tutto andrà a posto. Sfortunatamente, tutto non è così semplice e ora lo vedremo.

Per analogia con la prima espressione, scriviamo quanto segue:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Tornando alla nostra derivata, possiamo scrivere:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\sinistra(4-3x \destra))^(9))=((\sinistra(\frac(((\sinistra(4-3x \destra))^(10)))(-30) \destra))^(\prime ))\]

Da qui segue subito:

Sfumature della soluzione

Nota: se l'ultima volta non è cambiato nulla, nel secondo caso è apparso $-30$ invece di $-10$. Qual è la differenza tra $-10$ e $-30$? Ovviamente, di un fattore di $-3$. Domanda: da dove viene? Osservando da vicino, puoi vedere che è stato preso come risultato del calcolo della derivata di una funzione complessa: il coefficiente che si attestava a $x$ appare nell'antiderivativa di seguito. Questa è una regola molto importante, che inizialmente non avevo intenzione di analizzare affatto nel video tutorial di oggi, ma senza di essa la presentazione degli antiderivati tabulari sarebbe incompleta.

Quindi facciamolo di nuovo. Sia la nostra funzione di potenza principale:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

E ora al posto di $x$ sostituiamo l'espressione $kx+b$. Cosa accadrà allora? Dobbiamo trovare quanto segue:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \destra)\cpunto k)\]

Su quali basi lo affermiamo? Molto semplice. Troviamo la derivata della costruzione scritta sopra:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\sinistra(kx+b \destra))^(n))\]

Questa è la stessa espressione che era originariamente. Pertanto, anche questa formula è corretta e può essere utilizzata per integrare la tabella degli antiderivati, ma è meglio ricordare semplicemente l'intera tabella.

Conclusioni dal "segreto: accoglienza:

Entrambe le funzioni che abbiamo appena considerato, infatti, si possono ridurre alle antiderivate indicate in tabella aprendo i gradi, ma se riusciamo più o meno in qualche modo a far fronte al quarto grado, allora non farei affatto il nono grado osato rivelare.
Se scoprissimo i gradi, otterremmo un tale volume di calcoli che un semplice compito ci porterebbe in modo inadeguato un gran numero di tempo.
Ecco perché tali compiti, all'interno dei quali ci sono espressioni lineari, non hanno bisogno di essere risolti "in bianco". Non appena incontri una antiderivata, che differisce da quella in tabella solo per la presenza dell'espressione $kx+b$ al suo interno, ricorda subito la formula scritta sopra, sostituiscila nella tua antiderivata tabulare, e tutto risulterà molto più veloce e più facile.

Naturalmente, vista la complessità e la serietà di questa tecnica, torneremo più volte alla sua considerazione in futuri video tutorial, ma per oggi ho tutto. Spero che questa lezione possa davvero aiutare quegli studenti che vogliono capire gli antiderivati e l'integrazione.

Ciao di nuovo, amici!

Come ho promesso, da questa lezione inizieremo a navigare nelle infinite distese del mondo poetico degli integrali e inizieremo a risolvere un'ampia varietà di esempi (a volte molto belli). :)

Per navigare con competenza nell'intera varietà integrale e non perdersi, abbiamo bisogno solo di quattro cose:

1) Tabella degli integrali. Tutti i dettagli su di lei . Come lavorare esattamente con lei - in questo.

2) Proprietà di linearità dell'integrale indefinito (integrale della somma/differenza e prodotto per una costante).

3) Tabella delle derivate e regole di differenziazione.

Sì, non essere sorpreso! Senza la capacità di contare i derivati, non c'è assolutamente nulla da catturare nell'integrazione. D'accordo, non ha senso, ad esempio, imparare la divisione senza saper moltiplicare. :) E molto presto vedrai che senza una perfetta capacità di differenziazione, non puoi calcolare nessun integrale serio che vada oltre lo scopo di quelli tabulari elementari.

4) Metodi di integrazione.

Ce ne sono molti, moltissimi. Per una specifica classe di funzioni: la sua. Ma tra tutta la loro ricca diversità, spiccano tre fondamentali:

– ,

– .

Su ciascuno di essi - in lezioni separate.

E ora, finalmente, iniziamo a risolvere gli esempi tanto attesi. Per non saltare da una sezione all'altra, duplicherò ancora una volta l'intero set da gentiluomo, che sarà utile per il nostro ulteriore lavoro. Tieni tutti gli strumenti a portata di mano.)

Innanzitutto questo tabella degli integrali:

Inoltre, abbiamo bisogno delle proprietà di base dell'integrale indefinito (proprietà di linearità):

Bene, l'attrezzatura necessaria è pronta. Tempo di andare! :)

Applicazione diretta della tabella

In questa sezione verranno presi in considerazione gli esempi più semplici e innocui. L'algoritmo qui è semplice per l'orrore:

1) Guardiamo la tabella e cerchiamo la formula desiderata (formule);

2) Applicare le proprietà di linearità (ove richiesto);

3) Eseguiamo la trasformazione secondo formule tabulari e aggiungiamo una costante alla fine Insieme a (non dimenticare!) ;

4) Scrivi la risposta.

Quindi andiamo.)

Esempio 1

Non esiste una tale funzione nella nostra tabella. Ma c'è un integrale della funzione di potenza in vista generale(secondo gruppo). Nel nostro caso n=5. Quindi sostituiamo il cinque invece di n e calcoliamo attentamente il risultato:

Pronto. :)

Naturalmente, questo esempio è piuttosto primitivo. Solo per conoscenza.) Ma la capacità di integrare i gradi rende facile calcolare integrali da qualsiasi polinomio e altre strutture di potere.

Esempio 2

Sotto la somma integrale. Allora ok. Abbiamo proprietà di linearità per questo caso. :) Dividiamo il nostro integrale in tre separati, prendiamo tutte le costanti dai segni degli integrali e contiamo ciascuna secondo la tabella (gruppo 1-2):

Nota: costante Insieme a appare proprio nel momento in cui TUTTI i segni dell'integrale scompaiono! Naturalmente, dopo devi portarlo costantemente con te. Quindi che si fa…

Naturalmente, di solito non è necessario dipingere in modo così dettagliato. Questo è puramente per la comprensione. Per ottenere il punto.)

Ad esempio, molto presto, senza troppe esitazioni, darai mentalmente una risposta a mostri come:

I polinomi sono le funzioni più libere negli integrali.) E nei differenziali, in fisica, nella forza dei materiali e in altre discipline serie, i polinomi dovranno essere integrati costantemente. Abituati.)

Il prossimo esempio sarà un po' più complicato.

Esempio 3

Spero che tutti capiscano che il nostro integrando può essere scritto in questo modo:

L'integrando è separato e il moltiplicatore dx (icona differenziale)- separatamente.

Commento: in questa lezione il moltiplicatore dx nel processo di integrazione Ciao non partecipa in alcun modo, e per ora lo stiamo "martellando" mentalmente. :) Lavoriamo solo con integrando. Ma non dimentichiamoci di lui. Molto presto, letteralmente nella prossima lezione dedicata a, ci ricorderemo di lui. E sentiremo in pieno l'importanza e la potenza di questa icona!)

Nel frattempo, il nostro sguardo è rivolto alla funzione integrando

Non assomiglia molto a una funzione di alimentazione, ma questo è tutto. :) Se ricordiamo le proprietà scolastiche di radici e gradi, allora è del tutto possibile trasformare la nostra funzione:

E x alla potenza di meno due terzi è già funzione tabella! Il secondo gruppo n=-2/3. E la costante 1/2 non è un ostacolo per noi. Lo portiamo fuori, oltre il segno di integrale, e direttamente secondo la formula che consideriamo:

In questo esempio, siamo stati aiutati proprietà elementari gradi. Ed è così che dovrebbe essere fatto nella maggior parte dei casi, quando ci sono singole radici o frazioni sotto l'integrale. Pertanto, una coppia Consiglio pratico quando si integrano strutture di potere:

Sostituiamo le frazioni con potenze con esponenti negativi;

Sostituiamo le radici con potenze con esponenti frazionari.

Ma nella risposta finale, il passaggio dai gradi alle frazioni e alle radici è una questione di gusti. Personalmente, torno indietro: è più esteticamente gradevole, o qualcosa del genere.

E per favore, conta attentamente tutte le frazioni! Seguiamo attentamente i segni e cosa va dove - qual è il numeratore e qual è il denominatore.

Che cosa? Stanco delle già noiose funzioni di alimentazione? OK! Prendiamo il toro per le corna!

Esempio 4

Se ora riduciamo tutto sotto l'integrale a un denominatore comune, allora possiamo rimanere bloccati su questo esempio seriamente e per molto tempo.) Ma, guardando più da vicino l'integrando, possiamo vedere che la nostra differenza consiste in due funzioni tabulari. Quindi non pervertiamo, ma espandiamo il nostro integrale in due:

Il primo integrale è una normale funzione di potenza, (2° gruppo, n=-1): 1/x = x -1 .

La nostra formula tradizionale per la funzione di potere antiderivato

Non funziona qui, ma per noi n=-1 c'è un'alternativa degna: una formula con un logaritmo naturale. Questo:

Quindi, secondo questa formula, la prima frazione sarà integrata come segue:

E la seconda frazione anche una funzione da tavolo! Imparato? Sì! Questo è settimo formula con logaritmo "alto":

La costante "a" in questa formula è uguale a due: a=2.

Nota importante: Si prega di notare la costanteInsieme a con integrazione intermedia I Da nessuna parte Non attribuisco! Come mai? Perché andrà alla risposta finale l'intero esempio. Questo basta.) A rigor di termini, la costante va scritta dopo ogni singola integrazione, intermedia o finale che sia: ecco integrale indefinito richiede...)

Ad esempio, dopo la prima integrazione, dovrei scrivere:

Dopo la seconda integrazione:

Ma il punto è che la somma / differenza di costanti arbitrarie lo è anche qualche costante! Nel nostro caso, per la risposta finale, abbiamo bisogno dell'integrale primo sottrarre secondo. Allora ci riusciremo differenza due costanti intermedie:

C 1 - C 2

E abbiamo tutto il diritto di sostituire questa stessa differenza di costanti una costante! E semplicemente rinominalo con la lettera "C" a noi familiare. Come questo:

C 1 -C 2 \u003d C

Quindi attribuiamo questa stessa costante Insieme a al risultato finale e ottieni la risposta:

Sì, sono frazioni! I logaritmi multipiano quando sono integrati sono la cosa più comune. Ci abituiamo anche noi.)

Ricordare:

Con l'integrazione intermedia di più termini, la costante Insieme a dopo ognuno di essi non puoi scrivere. È sufficiente includerlo nella risposta finale dell'intero esempio. Alla fine.

Anche il prossimo esempio è con una frazione. Per il riscaldamento.)

Esempio 5

Nella tabella, ovviamente, non esiste tale funzione. Ma c'è simile funzione:

Questa è l'ultima ottavo formula. Con arcotangente. :)

Questo:

E Dio stesso ci ha ordinato di adeguare il nostro integrale a questa formula! Ma c'è un problema: nella formula tabulare prima x 2 non esiste un coefficiente, ma abbiamo un nove. Non possiamo ancora usare la formula direttamente. Ma nel nostro caso, il problema è completamente risolvibile. Prendiamo prima questo nove tra parentesi, e poi generalmente lo porteremo fuori dai limiti della nostra frazione.)

E la nuova frazione è la funzione tabulare di cui abbiamo bisogno al numero 8! Qui a 2 \u003d 4/9. O a=2/3.

Qualunque cosa. Prendiamo 1/9 dal segno di integrale e usiamo l'ottava formula:

Ecco la risposta. Questo esempio, con un coefficiente prima x 2, l'ho scelto così. Per chiarire cosa fare in questi casi. :) Se prima x 2 non c'è coefficiente, quindi anche tali frazioni saranno integrate nella mente.

Per esempio:

Qui un 2 = 5, quindi "a" stessa sarebbe "la radice di cinque". In generale, capisci.)

E ora modificheremo leggermente la nostra funzione: scriveremo il denominatore sotto la radice.) Ora prenderemo un tale integrale:

Esempio 6

Il denominatore ha una radice. Naturalmente è cambiata anche la formula corrispondente per l'integrazione, sì). Ancora una volta saliamo sul tavolo e cerchiamo quella giusta. Abbiamo radici nelle formule del 5° e 6° gruppo. Ma nel sesto gruppo c'è solo una differenza sotto le radici. E abbiamo la somma. Quindi ci stiamo lavorando quinta formula, con un logaritmo "lungo":

Numero MA ne abbiamo cinque. Sostituisci nella formula e ottieni:

E tutte le cose. Questa è la risposta. Sì, sì, è così semplice!

Se i dubbi si insinuano, è sempre possibile (e necessario) verificare il risultato mediante differenziazione inversa. Controlliamo? E poi, all'improvviso, una specie di merda?

Differenziamo (non prestiamo attenzione al modulo e lo percepiamo come parentesi ordinarie):

Tutto è giusto. :)

A proposito, se nell'integrando sotto la radice cambiamo il segno da più a meno, la formula per l'integrazione rimarrà la stessa. Non è un caso che nella tabella sotto la radice si trovi più meno. :)

Per esempio:

Importante! In caso di meno primo il posto sotto la radice dovrebbe essere esattamente x 2, e così via secondo – numero. Se sotto la radice tutto è l'opposto, allora la formula tabulare corrispondente sarà già un altro!

Esempio 7

Sotto la radice di nuovo meno, ma x 2 con cinque posti cambiati. Sembra simile, ma non uguale... La nostra tabella ha anche una formula per questo caso.) Formula numero sei, non abbiamo ancora lavorato con essa:

E ora - con attenzione. Nell'esempio precedente, i nostri cinque hanno agito come un numero UN . Qui il cinque fungerà da numero e 2!

Pertanto, per la corretta applicazione della formula, non dimenticare di prendere la radice dei cinque:

E ora l'esempio è risolto in un passaggio. :)

Questo è tutto! Solo i termini sotto la radice hanno cambiato posto e il risultato dell'integrazione è cambiato in modo significativo! Logaritmo e arcoseno... quindi per favore non confondere queste due formule! Anche se gli integrandi sono molto simili...

Bonus:

Nelle formule tabulari 7-8, ci sono coefficienti prima del logaritmo e dell'arcotangente 1/(2) e 1/a rispettivamente. E in una situazione di combattimento allarmante, quando scrivono queste formule, anche i nerd induriti dagli studi spesso si confondono dove 1/a, E dove 1/(2). Ecco un semplice trucco da ricordare.

Nella formula numero 7

Il denominatore dell'integrando è differenza di quadrati x 2 - un 2. Che, secondo la formula della scuola spaventosa, si scompone come (x-a)(x+a). Sul Due moltiplicatore. Parola chiave - Due. E questi Due durante l'integrazione, le parentesi vanno al logaritmo: con un meno su, con un più - giù.) E anche il coefficiente davanti al logaritmo è 1/( 2 un).

Ma nella formula numero 8

Il denominatore della frazione è somma dei quadrati. Ma la somma dei quadrati x2+a2 inscomponibile in fattori più semplici. Pertanto, qualunque cosa si possa dire, rimarrà al denominatore uno fattore. E anche il coefficiente davanti all'arcotangente sarà 1/a.

E ora, tanto per cambiare, integriamo qualcosa dalla trigonometria.)

Esempio 8

L'esempio è semplice. Così semplice che le persone, senza nemmeno guardare il tavolo, scrivono subito con gioia la risposta e... sono arrivate. :)

Seguiamo i segni! Questo è l'errore più comune quando si integrano seno/coseno. Non confondere con i derivati!

Sì, (peccato X)" = cos X e (cos X)’ = - peccato X.

Ma!

Poiché le persone di solito ricordano almeno le derivate, per non confondersi nei segni, la tecnica per ricordare gli integrali qui è molto semplice:

Integrale di seno/coseno = meno derivata dello stesso seno/coseno.

Ad esempio, sappiamo da scuola che la derivata del seno è uguale al coseno:

(peccato X)" = cos X.

Allora per integrante dallo stesso seno sarà vero:

E questo è tutto.) Con il coseno la stessa cosa.

Risolviamo il nostro esempio:

preliminare trasformazioni elementari integrando

Fino a questo punto, ci sono stati gli esempi più semplici. Per avere un'idea di come funziona la tabella e non commettere errori nella scelta di una formula.)

Naturalmente, abbiamo fatto alcune semplici trasformazioni: abbiamo tolto i fattori, li abbiamo scomposti in termini. Ma la risposta era ancora in superficie in un modo o nell'altro.) Tuttavia ... Se il calcolo degli integrali fosse limitato solo all'uso diretto del tavolo, allora ci sarebbe un omaggio completo in giro e la vita diventerebbe noiosa.)

Ora diamo un'occhiata a esempi più solidi. Quelli in cui direttamente, a quanto pare, nulla è deciso. Ma vale la pena ricordare letteralmente un paio di formule o trasformazioni della scuola elementare, poiché la strada verso la risposta diventa semplice e comprensibile. :)

Applicazione di formule trigonometriche

Continuiamo a divertirci con la trigonometria.

Esempio 9

Non esiste una tale funzione nella tabella. Ma in trigonometria scolastica c'è questa identità poco conosciuta:

Esprimiamo ora il quadrato della tangente di cui abbiamo bisogno e lo inseriamo sotto l'integrale:

Perché questo è fatto? E poi, che dopo tale trasformazione, il nostro integrale sarà ridotto a due tabulari e sarà preso in considerazione!

Vedere:

Ora analizziamo le nostre azioni. A prima vista, tutto sembra essere semplice. Ma pensiamo a questo. Se avessimo un compito differenziare la stessa funzione, allora lo faremmo Esattamente sapeva esattamente cosa fare - applicare formula derivata di una funzione complessa:

E questo è tutto. Tecnologia semplice e senza problemi. Funziona sempre ed è garantito per portare al successo.

Ma per quanto riguarda l'integrale? E qui abbiamo dovuto scavare nella trigonometria, scovare qualche formula oscura nella speranza che in qualche modo ci aiutasse a uscire e ridurre l'integrale a una tabella. E non è un dato di fatto che ci aiuterebbe, non è affatto un dato di fatto... Ecco perché l'integrazione è un processo più creativo della differenziazione. Arte, direi anche. :) E questo non è il massimo esempio complesso. È solo l'inizio!

Esempio 10

Cosa ispira? La tavola degli integrali è ancora impotente, sì. Ma, se guardi di nuovo nel nostro tesoro formule trigonometriche, quindi puoi estrarre un molto, molto utile formula del coseno del doppio angolo:

Quindi applichiamo questa formula al nostro integrando. Nel ruolo di "alfa" abbiamo x / 2.

Noi abbiamo:

L'effetto è sorprendente, vero?

Questi due esempi mostrano chiaramente che la pre-trasformazione della funzione prima dell'integrazione abbastanza accettabile e talvolta rende la vita tremendamente più facile! E nell'integrazione questa procedura (trasformazione dell'integrando) è un ordine di grandezza più giustificato che nella differenziazione. Vedrai più tardi.)

Diamo un'occhiata ad un paio di trasformazioni più tipiche.

Formule di moltiplicazione abbreviate, espansione delle parentesi, riduzione dei like e metodo di divisione dei termini.

Le solite banali trasformazioni scolastiche. Ma a volte salvano solo loro, sì.)

Esempio 11

Se abbiamo considerato la derivata, nessun problema: la formula per la derivata del prodotto e - avanti. Ma formula standard per integrante dal lavoro non esiste. E l'unica via d'uscita qui è aprire tutte le parentesi in modo da ottenere un polinomio sotto l'integrale. E in qualche modo integreremo il polinomio.) Ma apriremo anche saggiamente le parentesi: le formule per la moltiplicazione abbreviata sono una cosa potente!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2 x 4 + 1

E ora consideriamo:

E tutte le cose.)

Esempio 12

Ancora una volta, la formula standard per integrale di frazione non esiste. Tuttavia, il denominatore dell'integrando contiene solitario x. Questo cambia radicalmente la situazione.) Dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, riducendo la nostra terribile frazione a una somma innocua di funzioni di potenza tabulari:

Non commenterò in modo specifico la procedura per integrare le lauree: non sono più piccole.)

Integriamo la somma delle funzioni di potenza. Per piatto.)

Questo è tutto.) A proposito, se il denominatore non fosse x, ma, diciamo, x+1, come questo:

Allora questo trucco con la divisione mandato per membro non sarebbe andato così facilmente. È a causa della presenza della radice al numeratore e uno al denominatore. Dovrei sbarazzarmi della radice. Ma tali integrali sono molto più complicati. Su di loro - in altre lezioni.

Vedere! Basta modificare leggermente la funzione: l'approccio alla sua integrazione cambia immediatamente. A volte drammaticamente!) Non esiste uno schema standard chiaro. Ogni funzione ha il suo approccio. A volte anche unico.

In alcuni casi, le conversioni in frazioni sono ancora più complicate.

Esempio 13

E qui, come si può ridurre l'integrale a un insieme di quelli tabulari? Qui puoi schivare abilmente aggiungendo e sottraendo l'espressione x2 al numeratore di una frazione seguito dalla divisione dei termini. Ricezione molto abile negli integrali! Guarda la master class! :)

E ora, se sostituiamo la frazione originale con la differenza di due frazioni, il nostro integrale si divide in due tabulari: la già familiare funzione di potenza e l'arcotangente (formula 8):

Ebbene, cosa posso dire? Oh!

Questo trucco del numeratore addizione/sottrazione è molto popolare nell'integrazione di frazioni razionali. Altamente! Consiglio di prendere nota.

Esempio 14

Anche qui le stesse regole della tecnologia. Devi solo sommare / sottrarre uno per selezionare l'espressione al denominatore dal numeratore:

In generale, le frazioni razionali (con polinomi al numeratore e denominatore) sono un argomento separato molto ampio. Il fatto è che le frazioni razionali sono una delle pochissime classi di funzioni per le quali un modo universale di integrarsi esistere. Il metodo di scomposizione in frazioni semplici, abbinato a . Ma questo metodo richiede molto tempo e viene solitamente utilizzato come artiglieria pesante. A lui sarà dedicata più di una lezione. Nel frattempo, ci stiamo allenando e mettendo le mani su semplici funzioni.

Riassumiamo la lezione di oggi.

Oggi abbiamo esaminato nel dettaglio come utilizzare la tabella, con tutte le sfumature, analizzato molti esempi (e non i più banali) e fatto conoscenza con i metodi più semplici per ridurre gli integrali a quelli tabulari. E così ora faremo sempre. Qualunque sia la terribile funzione che si trova sotto l'integrale, con l'aiuto di un'ampia varietà di trasformazioni, faremo in modo che, prima o poi, il nostro integrale, in un modo o nell'altro, sia ridotto a un insieme di tabelle.

Alcuni consigli pratici.

1) Se sotto l'integrale c'è una frazione, al numeratore di cui è la somma dei gradi (radici), e al denominatore - solitario x, quindi utilizziamo la divisione termine per termine del numeratore per il denominatore. Sostituiamo le radici con i poteri indicatori frazionari e lavorare secondo le formule 1-2.

2) Nelle costruzioni trigonometriche, prima di tutto, proviamo le formule base della trigonometria: doppio/triplo angolo,

Può essere molto fortunato. O forse no…

3) Ove necessario (soprattutto nei polinomi e nelle frazioni), utilizziamoformule di moltiplicazione abbreviate:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a 2 -b 2

4) Quando si integrano frazioni con polinomi, si cerca di evidenziare artificialmente l'espressione (s) al numeratore al denominatore. Molto spesso la frazione viene semplificata e l'integrale ridotto a una combinazione di tabelle.

Bene, amici? Vedo che stai iniziando a piacerti gli integrali. :) Quindi ci riempiamo la mano e risolviamo gli esempi da soli.) Il materiale di oggi è abbastanza per affrontarli con successo.

Che cosa? Non lo so, ? Sì! Non l'abbiamo ancora affrontato.) Ma qui non hanno bisogno di essere integrati direttamente. E che il corso scolastico ti aiuti!)

Risposte (in disordine):

Per migliori risultati Consiglio vivamente di acquistare una raccolta di attività su G.N. Berman. Roba forte!

Ed è tutto ciò che ho per oggi. In bocca al lupo!

Si mostra che l'integrale del prodotto delle funzioni di potenza di sin x e cos x può essere ridotto a un integrale del binomio differenziale. Per valori interi degli esponenti, tali integrali sono facilmente calcolabili in parti o utilizzando formule di riduzione. Viene data la derivazione delle formule di riduzione. Viene fornito un esempio del calcolo di tale integrale.

Contenuto

Guarda anche:
Tabella degli integrali indefiniti

Riduzione all'integrale del binomio differenziale

Considera gli integrali della forma:

Tali integrali si riducono all'integrale del binomio differenziale di una delle sostituzioni t = peccato x o t= cos x.

Dimostriamolo sostituendo
t = peccato x.
Quindi
dt = (peccato x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - sin 2 x \u003d 1 - t 2;

Se m e n numeri razionali, dovrebbero essere applicati metodi di integrazione binomiale differenziale.

Integrazione con interi m e n

Quindi, considera il caso in cui m e n sono interi (non necessariamente positivi). In questo caso, l'integrando è una funzione razionale di peccato x e cos x. Pertanto, possono essere applicate le regole presentate nella sezione "Integrazione di funzioni razionali trigonometriche".

Tuttavia, tenendo conto delle specificità, è più facile utilizzare formule di riduzione, facilmente ottenibili mediante integrazione per parti.

Formule di colata

Formule di riduzione per l'integrale

assomigliare:

;
;
;
.

Non hanno bisogno di essere memorizzati, in quanto sono facilmente ottenibili mediante integrazione per parti.

Prove di formule di riduzione

Integriamo per parti.

Moltiplicando per m + n otteniamo la prima formula:

Allo stesso modo, otteniamo la seconda formula.

Integriamo per parti.

Moltiplicando per m + n otteniamo la seconda formula:

Terza formula.

Integriamo per parti.

Moltiplicando per n + 1 , otteniamo la terza formula:

Allo stesso modo, per la quarta formula.

Integriamo per parti.

Moltiplicando per m + 1 , otteniamo la quarta formula:

Esempio

Calcoliamo l'integrale:

Trasformiamo:

Qui m = 10, n = - 4.

Applichiamo la formula di riduzione:

Modulo = 10, n = - 4:

Modulo = 8, n = - 2:

Applichiamo la formula di riduzione:

Modulo = 6, n = - 0:

Modulo = 4, n = - 0:

Modulo = 2, n = - 0:

Calcoliamo l'integrale rimanente:

Raccogliamo i risultati intermedi in una formula.

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di attività su matematica superiore, "Lan", 2003.

Guarda anche: