Lascia stare è un sistema di vettori m da . Trasformazioni elementari di base di un sistema di vettori sono

1. - sommando ad uno dei vettori (vector ) una combinazione lineare del resto.

2. - moltiplicazione di uno dei vettori (vector ) per un numero diverso da zero.

3. permutazione di due vettori () in luoghi. I sistemi di vettori, saranno chiamati equivalenti (notazione) se esiste una catena di trasformazioni elementari che trasformano il primo sistema nel secondo.

Si notano le proprietà del concetto introdotto di equivalenza dei vettori

(riflessività)

Ne consegue che (simmetria)

Se e , allora (transitività) Teorema. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente ed è equivalente ad esso, allora il sistema è linearmente indipendente. Prova. Ovviamente basta dimostrare il teorema del sistema ottenuto con l'ausilio di una trasformazione elementare, supponiamo che il sistema dei vettori sia linearmente indipendente. Quindi da ne consegue che . Si ottenga il sistema con l'aiuto di una trasformazione elementare. Ovviamente, permutare i vettori o moltiplicare uno dei vettori per un numero diverso da zero non cambia indipendenza lineare sistemi vettoriali. Assumiamo ora che il sistema dei vettori sia ottenuto dal sistema sommando al vettore una combinazione lineare del resto, . È necessario stabilire che (1) implica che Since , quindi da (1) si ottiene . (2)

Perché sistema è linearmente indipendente, quindi da (2) segue che per tutti .

Da qui arriviamo. QED

57. Matrici. addizione di matrici moltiplicazione di matrici per matrici scalari as spazio vettoriale la sua dimensione.

Tipo di matrice: quadrata

Aggiunta di matrice

Proprietà di addizione della matrice:

1. commutatività: A+B = B+A;

Moltiplicare una matrice per un numero

La moltiplicazione di una matrice A per un numero ¥ (notazione: ¥A) consiste nel costruire una matrice B, i cui elementi si ottengono moltiplicando ogni elemento della matrice A per questo numero, ovvero ogni elemento della matrice B è uguale a: Bij=¥Aij

Proprietà della moltiplicazione di matrici per un numero:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Vettore riga e vettore colonna

Le matrici di dimensione m x 1 e 1 x n sono elementi degli spazi K^n e K^m, rispettivamente:

una matrice di dimensione m x1 è chiamata vettore colonna e ha una notazione speciale:

Una matrice 1 x n è chiamata vettore riga e ha una notazione speciale:

58. Matrici. Addizione e moltiplicazione di matrici. Matrici come anello, proprietà di un anello di matrice.

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri, composta da m righe di uguale lunghezza o n flash di uguale lunghezza.

aij - elemento di matrice situato nella i-esima riga e nella j-esima colonna.

Tipo di matrice: quadrata

matrice quadrataè una matrice con numero uguale colonne e righe.

Aggiunta di matrice

L'addizione delle matrici A + B è l'operazione per trovare una matrice C, i cui elementi sono tutti uguali alla somma a coppie di tutti gli elementi corrispondenti delle matrici A e B, ovvero ogni elemento della matrice è \u200b \u200bCij \u003d Aij + Bij

Proprietà di addizione della matrice:

1. commutatività: A+B = B+A;

2.associatività: (A+B)+C =A+(B+C);

3. addizione con matrice nulla: A + Θ = A;

4.esistenza della matrice opposta: A + (-A) = Θ;

Tutte le proprietà delle operazioni lineari ripetono gli assiomi di uno spazio lineare, e quindi è vero il seguente teorema:

L'insieme di tutte le matrici della stessa dimensione mxn con elementi del campo P (campi di tutti reali o numeri complessi) le forme spazio lineare sul campo P (ciascuna di queste matrici è un vettore di questo spazio).

Moltiplicazione di matrici

La moltiplicazione di matrici (designazione: AB, meno spesso con il segno di moltiplicazione A x B) è l'operazione di calcolo di una matrice C, ogni elemento della quale è uguale alla somma dei prodotti degli elementi nella riga corrispondente del primo fattore e la colonna del secondo.

Il numero di colonne nella matrice A deve corrispondere al numero di righe nella matrice B, in altre parole, la matrice A deve essere coerente con la matrice B. Se la matrice A ha dimensioni mxn , B - nxk , allora la dimensione del loro prodotto AB=C è mxk.

Proprietà di moltiplicazione di matrici:

1.associatività (AB)C = A(BC);

2.non commutatività (generalmente): AB BA;

3. Il prodotto è commutativo nel caso di moltiplicazione con matrice identità: AI = IA;

4. distributività: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.associatività e commutatività rispetto alla moltiplicazione per un numero: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Matrici invertibili. Speciale e non speciale trasformazioni elementari righe di matrice. Matrici elementari. Moltiplicazione per matrici elementari.

matrice inversaè una tale matrice A -1, moltiplicato per il quale, la matrice originale UN restituisce la matrice identità e:

Trasformazioni elementari di stringhe chiamata:

Il trasformazioni elementari di colonna.

Trasformazioni elementari reversibile.

La designazione indica che la matrice può essere ottenuta da trasformazioni elementari (o viceversa).

Due sistemi equazioni lineari da un insieme x 1 ,..., x n di incognite e, rispettivamente, da m e p equazioni

Sono detti equivalenti se la loro soluzione insiemi e coincidono (cioè, i sottoinsiemi e in K n coincidono, ). Ciò significa che o sono entrambi sottoinsiemi vuoti (cioè entrambi i sistemi (I) e (II) sono incoerenti) o sono simultaneamente non vuoti e (cioè ogni soluzione del sistema I è una soluzione del sistema II e ogni soluzione sistema II è una soluzione per il sistema I).

Esempio 3.2.1.

Metodo Gauss

Il piano dell'algoritmo proposto da Gauss era abbastanza semplice:

1. applichiamo trasformazioni sequenziali al sistema di equazioni lineari che non modifichino l'insieme delle soluzioni (salviamo così l'insieme delle soluzioni del sistema originario), e andiamo a un sistema equivalente che abbia una "forma semplice" (il cosiddetto passo modulo);
2. per " forma semplice"di un sistema (con matrice a passi) descrivono un insieme di soluzioni che coincide con l'insieme di soluzioni del sistema originale.

Si noti che il metodo strettamente correlato "fan-chen" era già noto nell'antica matematica cinese.

Trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari (righe di matrici)

Definizione 3.4.1 (conversione elementare di tipo 1). Quando l'i-esima equazione del sistema viene sommata alla k-esima equazione moltiplicata per il numero (notazione: (i)"=(i)+c(k) ; cioè solo una i-esima equazione (i) viene sostituita da una nuova equazione (i)"=(i)+c(k) ). La nuova i-esima equazione ha la forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k, o, brevemente,

Cioè, nella nuova i-esima equazione a ij "=a ij +ca kj, b i"=b io + cb k.

Definizione 3.4.2 (conversione elementare di tipo 2). Poiché le equazioni i -esima e k -esima sono scambiate, le restanti equazioni non cambiano (notazione: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; per i coefficienti ciò significa quanto segue: per j=1 ,.. .,n

Osservazione 3.4.3. Per comodità, in calcoli specifici, può essere utilizzata una trasformazione elementare del 3° tipo: la i -esima equazione viene moltiplicata per un numero diverso da zero , (i)"=c(i) .

Proposta 3.4.4. Se si passa dal sistema I al sistema II con l'ausilio di un numero finito di trasformazioni elementari del 1° e 2° tipo, allora dal sistema II si può tornare al sistema I anche per trasformazioni elementari del 1° e 2° tipo.

Prova.

Osservazione 3.4.5. L'affermazione è vera anche con l'inclusione di una trasformazione elementare del 3° tipo nel numero delle trasformazioni elementari. Se e (i)"=c(i) , allora e (i)=c -1 (i)".

Teorema 3.4.6.Dopo l'applicazione successiva di un numero finito di trasformazioni elementari di 1° o 2° tipo ad un sistema di equazioni lineari, si ottiene un sistema di equazioni lineari equivalente a quello originario.

Prova. Si noti che è sufficiente considerare il caso del passaggio dal sistema I al sistema II con l'ausilio di una trasformazione elementare e dimostrare l'inclusione per gli insiemi di soluzioni (poiché, in virtù della proposizione dimostrata, è possibile tornare dal sistema II al sistema I e quindi avremo l'inclusione, cioè sarà provata l'uguaglianza).

Le trasformazioni di matrici elementari includono:

1. Modifica dell'ordine delle righe (colonne).

2. Eliminazione di zero righe (colonne).

3. Moltiplicazione di elementi di qualsiasi riga (colonna) per un numero.

4. Sommando agli elementi di una qualsiasi riga (colonna) gli elementi di un'altra riga (colonna), moltiplicati per un numero.

Sistemi di equazioni algebriche lineari slu (Concetti e definizioni di base).

1. Sistema m equazioni lineari con n sconosciuto è chiamato sistema di equazioni della forma:

2.Decisione sistema di equazioni (1) è chiamato insieme di numeri X 1 , X 2 , … , X n , convertire ogni equazione del sistema in un'identità.

3. Viene chiamato il sistema di equazioni (1). giunto se ha almeno una soluzione; se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

4. Viene chiamato il sistema di equazioni (1). certo se ha una sola soluzione, e incerto se ha più di una soluzione.

5. Per effetto di trasformazioni elementari, il sistema (1) si trasforma in un sistema ad esso equivalente (cioè avente lo stesso insieme di soluzioni).

Alle trasformazioni elementari i sistemi di equazioni lineari includono:

1. Eliminazione di stringhe nulle.

2. Modifica dell'ordine delle righe.

3. Aggiunta agli elementi di qualsiasi riga degli elementi di un'altra riga, moltiplicati per un numero.

Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

1) Metodo della matrice inversa (metodo della matrice) per la risoluzione di sistemi di n equazioni lineari con n incognite.

sistema n equazioni lineari con n sconosciuto è chiamato sistema di equazioni della forma:

Scriviamo il sistema (2) in forma matriciale, per questo introduciamo la notazione.

Matrice dei coefficienti prima delle variabili:

X = ‒ matrice di variabili.

B = è la matrice dei termini liberi.

Quindi il sistema (2) assumerà la forma:

UN× X = B‒ equazione matriciale.

Risolvendo l'equazione, otteniamo:

X = UN -1 × B

Esempio:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 esiste la matrice A -1.

3)

à =

4) LA -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Risposta:

2) Regola di Cramer per la risoluzione di sistemi di n - equazioni lineari con n - incognite.

Considera un sistema di 2 - x equazioni lineari con 2 - incognite:

Risolviamo questo sistema usando il metodo di sostituzione:

Dalla prima equazione segue:

Sostituendo nella seconda equazione, otteniamo:

Sostituiamo il valore nella formula per, otteniamo:

Determinante Δ - determinante della matrice del sistema;

Δ X 1 - determinante variabile X 1 ;

Δ X 2 - determinante variabile X 2 ;

Formule:

X 1 =;X 2 =;…,X n = ;Δ  0;

sono chiamati Le formule di Cramer.

Quando si trovano determinanti di incognite X 1 , X 2 ,…, X n la colonna dei coefficienti della variabile di cui si trova il determinante è sostituita da una colonna di membri liberi.

Esempio: Risolvi il sistema di equazioni con il metodo di Cramer

Soluzione:

Innanzitutto, componiamo e calcoliamo il determinante principale di questo sistema:

Poiché Δ ≠ 0, il sistema ha una soluzione unica che può essere trovata utilizzando la regola di Cramer:

dove Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 si ottengono dal determinante Δ sostituendo rispettivamente la 1a, 2a o 3a colonna con la colonna dei termini liberi.

In questo modo:

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Considera il sistema:

La matrice estesa del sistema (1) è una matrice della forma:

Metodo Gaussè un metodo di eliminazione successiva di incognite dalle equazioni del sistema, a partire dalla seconda equazione in poi m- quell'equazione.

In questo caso, per trasformazioni elementari, la matrice del sistema si riduce ad una triangolare (se m = n e determinante di sistema ≠ 0) o graduale (se m< n ) modulo.

Quindi, partendo dall'ultima equazione per numero, si trovano tutte le incognite.

Algoritmo del metodo di Gauss:

1) Compilare una matrice espansa del sistema, inclusa una colonna di membri liberi.

2) Se ma 11  0, quindi dividiamo la prima riga per ma 11 e moltiplicare per (- un 21) e aggiungere la seconda riga. Allo stesso modo, raggiungi m-di quella riga:

Divido pagina per ma 11 e moltiplicare per (- ma m 1) e aggiungi m- quella pagina

In questo caso, dalle equazioni, a partire dalla seconda a m- ovvero la variabile verrà esclusa X 1 .

3) Al 3° passo, la seconda riga è usata per simili trasformazioni elementari di stringhe dalla 3a alla m- tu. Questo rimuoverà la variabile X 2, a partire dalla 3a riga in basso m- tuia, ecc.

Come risultato di queste trasformazioni, il sistema sarà ridotto a una forma triangolare oa gradini (nel caso di una forma triangolare, ci sono degli zeri sotto la diagonale principale).

Viene chiamato il portare un sistema a una forma triangolare o a gradini metodo di Gauss diretto, e viene chiamata la ricerca di incognite dal sistema risultante indietro.

Esempio:

Mossa diretta. Presentiamo la matrice aumentata del sistema

con l'aiuto di trasformazioni elementari alla forma graduale. Scambia la prima e la seconda riga della matrice UN B otteniamo la matrice:

Aggiungiamo la seconda riga della matrice risultante con la prima moltiplicata per (‒2) e la sua terza riga con la prima riga moltiplicata per (‒7). Ottieni la matrice

Alla terza riga della matrice risultante, aggiungiamo la seconda riga moltiplicata per (‒3), di conseguenza otteniamo una matrice a gradini

Pertanto, abbiamo ridotto questo sistema di equazioni a una forma graduale:

,

Mossa inversa. Partendo dall'ultima equazione del sistema di equazioni graduale ottenuto, troviamo successivamente i valori delle incognite:

Di seguito consideriamo i sistemi di equazioni lineari nel campo delle variabili ESTESO. Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se ciascuna soluzione di uno di questi sistemi è una soluzione dell'altro sistema.

Le seguenti frasi esprimono le proprietà di equivalenza, che derivano dalla definizione di equivalenza e le proprietà di successione dei sistemi sopra annotate.

PROPOSTA 2.2. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se ciascuno di questi sistemi è una conseguenza dell'altro sistema.

PROPOSTA 2.3. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se l'insieme di tutte le soluzioni di un sistema coincide con l'insieme di tutte le soluzioni dell'altro sistema.

PROPOSTA 2.4. Due sistemi di equazioni lineari sono equivalenti se e solo se i predicati definiti da questi sistemi sono equivalenti.

DEFINIZIONE. Le seguenti trasformazioni sono dette trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari:

(a) moltiplicazione di entrambi i membri di una qualche equazione del sistema per uno scalare diverso da zero;

(P) addizione (sottrazione) ad entrambe le parti di qualsiasi equazione del sistema delle parti corrispondenti di un'altra equazione del sistema, moltiplicata per uno scalare;

Esclusione dal sistema o aggiunta al sistema di un'equazione lineare a coefficienti nulli e membro libero zero.

TEOREMA 2.5. Se un sistema di equazioni lineari è ottenuto da un altro sistema di equazioni lineari come risultato di una catena di trasformazioni elementari, allora questi due sistemi sono equivalenti.

Prova. Lascia che il sistema

Se moltiplichiamo una delle sue equazioni, ad esempio la prima, per un X scalare diverso da zero, otteniamo il sistema

Ogni soluzione del sistema (1) è anche una soluzione del sistema (2).

Al contrario, se è una soluzione del sistema (2),

quindi, moltiplicando la prima uguaglianza per e senza modificare le uguaglianze successive, otteniamo uguaglianze che mostrano che il vettore è una soluzione del sistema (1). Pertanto, il sistema (2) è equivalente al sistema originale (1). È anche facile verificare che una singola applicazione della trasformazione elementare (P) o del sistema (1) porta ad un sistema equivalente al sistema originario (1). Poiché la relazione di equivalenza è transitiva, l'applicazione ripetuta di trasformazioni elementari porta a un sistema di equazioni equivalente al sistema originario (1).

COROLLARIO 2.6. Se aggiungiamo una combinazione lineare di altre equazioni del sistema a una delle equazioni del sistema di equazioni lineari, otteniamo un sistema di equazioni equivalente a quello originale.

COROLLARIO 2.7. Se escludiamo dal sistema di equazioni lineari o vi aggiungiamo un'equazione che è una combinazione lineare di altre equazioni del sistema, otteniamo un sistema di equazioni equivalente al sistema originale.

Le trasformazioni elementari sono:

1) La somma ad entrambe le parti di un'equazione delle parti corrispondenti dell'altra, moltiplicate per lo stesso numero, diverso da zero.

2) Permutazione di equazioni in luoghi.

3) Rimozione dal sistema di equazioni che sono identità per ogni x.

IL TEOREMA DI KRONECKER-CAPELLI

(condizione di compatibilità del sistema)

(Leopold Kronecker (1823-1891) matematico tedesco)

Teorema: Il sistema è consistente (ha almeno una soluzione) se e solo se il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa.

Ovviamente il sistema (1) può essere scritto come:

x 1 + x 2 + … + x n

Prova.

1) Se esiste una soluzione, allora lo è la colonna dei membri liberi combinazione lineare colonne della matrice A, il che significa aggiungere questa colonna alla matrice, ovvero transizione A®A * non cambia il grado.

2) Se RgA = RgA * , significa che hanno lo stesso minore di base. La colonna dei membri liberi è una combinazione lineare delle colonne della base minore, quelle notazioni sopra riportate sono corrette.

Esempio. Determina la compatibilità del sistema di equazioni lineari:

~ . Rga = 2.

A* = RgA* = 3.

Il sistema è incoerente.

Esempio. Determinare la compatibilità del sistema di equazioni lineari.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Il sistema è collaborativo. Soluzioni: x 1 = 1; x 2 \u003d 1/2.

2.6 METODO DI GAUSS

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematico tedesco)

a differenza di metodo matriciale e il metodo di Cramer, il metodo di Gauss può essere applicato a sistemi di equazioni lineari con numero arbitrario equazioni e incognite. L'essenza del metodo è l'eliminazione sequenziale delle incognite.

Consideriamo un sistema di equazioni lineari:

Dividi entrambe le parti della prima equazione per 11 ¹ 0, quindi:

1) moltiplicare per 21 e sottrarre dalla seconda equazione

2) moltiplicare per 31 e sottrarre dalla terza equazione

, dove d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = un ij – un io1 d 1j io = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Esempio. Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss.

, da dove otteniamo: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1 = 1.

Esempio. Risolvi il sistema usando il metodo di Gauss.

Componiamo la matrice estesa del sistema.

Pertanto, il sistema originario può essere rappresentato come:

, da cui otteniamo: z = 3; y=2; x = 1.

La risposta ottenuta coincide con la risposta ottenuta per questo sistema dal metodo Cramer e dal metodo matriciale.

Per una soluzione autonoma:

Risposta: (1, 2, 3, 4).

ARGOMENTO 3. ELEMENTI DI ALGEBRA VETTORIALE

DEFINIZIONI DI BASE

Definizione. Vettoreè chiamato segmento diretto (una coppia ordinata di punti). Vale anche per i vettori. nullo un vettore il cui inizio e fine sono gli stessi.

Definizione. Lunghezza (modulo) vettore è la distanza tra l'inizio e la fine del vettore.

Definizione. I vettori sono chiamati collineare se si trovano su linee uguali o parallele. Il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore.

Definizione. I vettori sono chiamati Complanare se esiste un piano a cui sono paralleli.

I vettori collineari sono sempre complanari, ma non tutti i vettori complanari sono collineari.

Definizione. I vettori sono chiamati pari se sono collineari, hanno la stessa direzione e hanno lo stesso valore assoluto.

Qualsiasi vettore può essere ridotto a un'origine comune, ad es. costruire vettori corrispondentemente uguali ai dati e aventi un'origine comune. Dalla definizione di uguaglianza vettoriale segue che ogni vettore ha infiniti vettori uguali ad esso.

Definizione. Operazioni lineari su vettori si chiama addizione e moltiplicazione per un numero.

La somma dei vettori è il vettore -

Lavoro - , pur essendo collineare.

Il vettore è codirezionale con il vettore ( ) se a > 0.

Il vettore è opposto al vettore ( ¯ ) se a< 0.

PROPRIETA' DEI VETTORI

1) + = + - commutatività.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – associatività

6) (a + b) = a + b - distributività

7) a( + ) = a + a

Definizione.

1) Base nello spazio sono chiamati 3 vettori non complanari, presi in un certo ordine.

2) Base sul piano ci sono 2 vettori non collineari presi in un certo ordine.

3)Base qualsiasi vettore diverso da zero viene chiamato sulla linea.