Portare il sistema di forze alla forma più semplice della teoria. Casi di riduzione di un sistema piatto di forze alla forma più semplice

Caso I.

Se vettore principale il sistema di forze è zero e il suo punto principale rispetto al centro di riduzione è zero, quindi le forze sono reciprocamente bilanciate.

Caso II.

Se il vettore principale del sistema di forze è uguale a zero e il suo momento principale rispetto al centro di riduzione non è uguale a zero, le forze vengono ridotte a una coppia di forze. Il momento di questa coppia di forze è uguale al momento principale del sistema di forze rispetto al centro di riduzione.

In questo caso, i momenti principali del sistema di forze rispetto a tutti i punti nello spazio sono geometricamente uguali.

Caso III.

Se il vettore principale del sistema di forze non è uguale a zero e il suo momento principale relativo al centro di riduzione è uguale a zero, le forze sono ridotte alla risultante, la cui linea d'azione passa per il centro di il fantasma.

Caso IV. E .

Se il momento principale del sistema di forze relativo al centro di riduzione è perpendicolare al vettore principale, le forze vengono ridotte alla risultante, la cui linea d'azione non passa per il centro di riduzione (Fig. 145) .

Caso V. e .

Se il momento principale del sistema di forze relativo al centro di riduzione non è perpendicolare al vettore principale, le forze vengono ridotte a due forze incrociate o a una vite di potenza (dinamo), ad es. a una combinazione di una forza e di una coppia di forze il cui piano è perpendicolare alla forza.

Riduzione a due forze incrociate (Fig. 147):

Equazioni di equilibrio per vari sistemi di forze

Per le forze posizionate arbitrariamente nello spazio, corrispondono due condizioni di equilibrio:

I moduli del momento principale e il vettore principale per il sistema di forze considerato sono determinati dalle formule:

Le condizioni sono soddisfatte solo con le corrispondenti sei equazioni di base dell'equilibrio delle forze, posizionate arbitrariamente nello spazio:

Le prime tre equazioni sono chiamate equazioni dei momenti delle forze relative agli assi delle coordinate e le ultime tre sono le equazioni delle proiezioni delle forze sull'asse.

Forme delle equazioni di equilibrio per un sistema piano di forze

Per le forze posizionate arbitrariamente su un piano, ci sono due condizioni di equilibrio:

Due condizioni per l'equilibrio di forze posizionate arbitrariamente su un piano possono essere espresse come un sistema di tre equazioni:

Queste equazioni sono chiamate equazioni di base per l'equilibrio di un sistema piano di forze. Il centro dei momenti e la direzione degli assi delle coordinate per questo sistema di equazioni possono essere scelti arbitrariamente.

Ci sono altri due sistemi di tre equazioni del sistema di forze.

Allo stesso tempo, l'asse nel sistema tu non deve essere perpendicolare alla retta passante per i punti A e B.

Poiché i momenti principali del sistema di forze rispetto a due centri sono pari a zero, il sistema di forze considerato non si riduce a una coppia di forze. La proiezione della risultante su qualsiasi asse è uguale alla somma delle proiezioni delle forze componenti, cioè quindi, la supposta risultante. Così, il sistema di forze non è ridotto né a una coppia di forze né a una risultante, e, quindi, è equilibrato.

dove i punti A, B, C non giacciono su una retta. In questo caso, le forze non si riducono a una coppia di forze, poiché i momenti principali delle forze attorno ai tre centri sono uguali a zero. Nemmeno le forze si riducono a una risultante, poiché se esiste, allora la sua linea d'azione non può passare per tre punti che non giacciono su una linea retta. Pertanto, il sistema di forze non si riduce né a una coppia di forze né a una risultante e, quindi, è equilibrato.

Centro di forze parallele

Quando vengono aggiunte due forze parallele, due forze parallele vengono ridotte a una forza - la risultante, la cui linea d'azione è diretta parallelamente alle linee d'azione delle forze. La risultante viene applicata in un punto che divide la retta, a distanze inversamente proporzionali all'entità delle forze.

Poiché la forza può essere trasferita lungo la linea della sua azione, il punto di applicazione della risultante non è definito. Se le forze vengono ruotate dello stesso angolo e le forze vengono aggiunte di nuovo, otteniamo una direzione diversa della linea d'azione della risultante. Il punto di intersezione di queste due rette risultanti può essere considerato come il punto di applicazione della risultante, che non cambia posizione quando tutte le forze vengono ruotate contemporaneamente dello stesso angolo. Tale punto è chiamato centro di forze parallele.

Consideriamo alcuni casi speciali del teorema precedente.

1. Se per un dato sistema di forze R = 0, M 0 = 0, allora è in equilibrio.

2. Se per un dato sistema di forze R = 0, M 0  0, allora si riduce a una coppia con il momento M 0 = m 0 (F i). In questo caso il valore di M 0 non dipende dalla scelta del centro O.

3. Se per un dato sistema di forze R  0, allora è ridotto a una risultante, e se R  0 e M 0 = 0, allora il sistema è sostituito da una forza, cioè risultante R passante per il centro O; se R  0 e M 0  0, allora il sistema è sostituito da una forza che passa per un punto С, e OS = d(OCR) e d = |M 0 |/R.

Pertanto, un sistema piatto di forze, se non è in equilibrio, si riduce a una risultante (quando R  0) oa una coppia (quando R = 0).

Esempio 2 Forze applicate al disco:

(Fig. 3.16) portano questo sistema di forze nella forma più semplice.

Soluzione: scegli il sistema di coordinate Oxy. Per il centro di riduzione scegliamo il punto O. Il vettore principale R:

R x \u003d Fix \u003d -F 1 cos30 0 - F 2 cos30 0 + F 4 cos45 0 \u003d 0; Riso. 3.16

R y \u003d F iy \u003d -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 - F 3 + F 4 cos45 0 \u003d 0. Pertanto, R \u003d 0.

Il momento principale del sistema M 0:

M 0: \u003d m 0 (F i) \u003d F 3 *a - F 4 *a * sin45 0 \u003d 0, dove a è il raggio del disco.

Risposta: R = 0; M 0 = 0; il corpo è in equilibrio.

Portare alla forma più semplice il sistema di forze F 1, F 2, F 3 mostrato in figura (Fig. 3.17). Le forze F 1 e F 2 sono dirette sui lati opposti e la forza F 3 è diretta lungo la diagonale del rettangolo ABCD, il cui lato AD è uguale ad a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Soluzione: orientare gli assi delle coordinate come mostrato in figura. Definiamo le proiezioni di tutte le forze sugli assi delle coordinate:

Il modulo del vettore principale R è:
;
.

I coseni di direzione saranno:
;
.

Quindi: (x, R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

DI limitiamo il momento principale del sistema di forze rispetto al centro di riduzione A. Allora

m A \u003d m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Considerando che m A (F 1) \u003d m A (F 3) \u003d 0, poiché la direzione delle forze passa per il punto A, allora

m A \u003d m A (F 2) \u003d F * a.

Pertanto, il sistema di forze è ridotto a una forza R e una coppia di forze con un momento m A diretti in senso antiorario (Fig. 3.18).

Risposta: R = 2F; (x, ^ R) \u003d 150 0; (y,^ R) = 60 0 ; m LA = F*a.

Domande per l'autocontrollo

Qual è il momento di forza rispetto al centro?

Cos'è un paio di forze?

Portare un arbitrario sistema piatto di forze in un dato centro?

Aggiunta di forze parallele?

Letteratura:,,.

Lezione 4

Forma base delle condizioni di equilibrio. Per l'equilibrio di un arbitrario sistema planare di forze, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze su ciascuno dei due assi coordinati e la somma dei loro momenti relativi a qualsiasi centro giacente nel piano d'azione del le forze sono uguali a zero:

Fisso = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

La seconda forma di condizioni di equilibrio: Per l'equilibrio di un arbitrario sistema piatto di forze, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti di tutte queste forze relative a due centri A e B qualsiasi e la somma delle loro proiezioni sull'asse Ox non perpendicolare alla retta AB sono uguali a zero:

m LA (F i) = 0; m B (F i) = 0; Fissa = 0.

La terza forma di condizioni di equilibrio (l'equazione dei tre momenti): Per l'equilibrio di un arbitrario sistema piatto di forze, è necessario e sufficiente che la somma di tutte queste forze rispetto a tre centri qualsiasi A, B, C, non giacenti su una retta, sia uguale a zero:

m LA (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

P Esempio 1. Determinare la reazione dell'incasso di una trave a sbalzo sotto l'azione di un carico uniformemente distribuito, una forza concentrata e due coppie di forze (Fig. 4.1); intensità di carico q \u003d 3 * 10 4 H / m; F \u003d 4 * 10 4 H; m 1 \u003d 2 * 10 4 H * m; m 2 \u003d 3 * 10 4 H * m. BN = 3 m; NC = 3 m; CA = 4 m.

R Soluzione:

Secondo il principio del rilascio dai legami, sostituiremo i legami con le reazioni corrispondenti. Con una sigillatura rigida nella parete, si genera una forza di reazione R A di direzione sconosciuta e un momento m A sconosciuto (Fig. 4.2). Sostituiamo il carico distribuito con una forza concentrata equivalente Q applicata al punto K (VK = 1,5 m). Scegliamo il sistema di coordinate VHU e componiamo le condizioni di equilibrio per la trave nella forma principale:

proiezioni di forza sull'asse X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

proiezioni di forza sull'asse Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

somma dei momenti: m A (F) \u003d m 1 - m 2 + m A + Q * KA + F ”* CA \u003d 0 (3)

Scomponiamo la forza F nel punto C in due componenti F ” e F ' reciprocamente perpendicolari; la forza F' non crea un momento relativo al punto A, poiché la linea d'azione della forza passa per il punto A. Il modulo della forza F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Sostituendo i valori numerici nelle equazioni (1), (2) e (3), otteniamo:

Ci sono tre incognite in questo sistema di tre equazioni, quindi il sistema ha una soluzione e, inoltre, solo una.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2,8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0,7 + R Ay = 0 R Ay = 11,8*10 4 H

m LA – 10 4 + 3*10 4 *3*8,5 + 4*10 4 *2,8 = 0 m LA = - 86,8*10 4 H*m

Risposta: Ascia R \u003d 2,8 * 10 4 H; R Ay \u003d 11,8 * 10 4 H; m A \u003d - 86,8 * 10 4 H * m.

Esempio 2. Determinare le reazioni degli appoggi A, B, C e della cerniera D della trave composita (Fig. 4.3).

Q \u003d 1,75 * 10 4 H / m; F \u003d 6 * 10 4 H; P \u003d 5 * 10 4 H.

Soluzione: secondo il principio del rilascio dai legami, sostituiremo i legami con le reazioni corrispondenti.

Sostituiamo il carico distribuito q con la forza concentrata equivalente Q = q * KA applicata nel punto M (AM = 2m). Numero di forze di reazione sconosciute: R Ax , R Ay , R B , R C e due coppie di forze di reazione componenti nella cerniera D.

R Consideriamo separatamente le reazioni nella cerniera D. Per fare ciò, considera separatamente le travi AD e DE (Fig. 4.5a, 4.5b).

Secondo la terza legge di Newton nella cerniera D, il sistema di forze R Dx e R Dy agisce sulla trave KD, e il sistema di forze opposto agisce sulla trave DE: R' Dx e R' Dy , e i moduli della le forze sono uguali a coppie, cioè R Dx = R Dx e R Dy = R Dy . Questo forze interne trave composta, quindi il numero di forze di reazione sconosciute è sei. Per determinarli, è necessario comporre sei equazioni indipendenti di stati di equilibrio. Sono possibili le seguenti opzioni per la compilazione delle equazioni di stato.

Componiamo le condizioni di equilibrio per l'intera struttura (3 equazioni) e per un elemento separato di questa struttura: travi KD o travi DE. Quando si compilano le equazioni di equilibrio per l'intera struttura, le forze interne non vengono prese in considerazione, poiché una volta sommate si annullano a vicenda.

Equazioni delle condizioni di equilibrio per l'intera struttura:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay - Fsin60 0 + R B + R C - P = 0

m LA (FA) = Q*m LA - Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC - P*AE = 0

Equazioni delle condizioni di equilibrio per l'elemento DE:

R' Dy , + R C – P*DE = 0

MD (FA) = RC *DC - P*DE = 0

Pertanto, vengono composte sei equazioni indipendenti con sei incognite, quindi il sistema di equazioni ha una soluzione e, inoltre, solo una. Risolvendo il sistema di equazioni, determiniamo le forze di reazione sconosciute.

Come mostrato nel § 12, uno qualsiasi è ridotto nel caso generale ad una forza uguale al vettore principale R e applicata ad un centro arbitrario O, e ad una coppia di momento uguale al momento principale (vedi Fig. 40, b ). Cerchiamo di trovare la forma più semplice a cui si possa ridurre sistema spaziale forze che sono fuori equilibrio. Il risultato dipende dai valori che R e R hanno per questo sistema.

1. Se per un dato sistema di forze , e quindi è ridotto a una coppia di forze, il cui momento è uguale e può essere calcolato utilizzando le formule (50). In questo caso, come mostrato nel § 12, il valore non dipende dalla scelta del centro O.

2. Se per un dato sistema di forze, allora si riduce a una risultante uguale a R, la cui linea d'azione passa per il centro O. Il valore di R può essere trovato dalle formule (49).

3. Se per un dato sistema di forze ma allora anche questo sistema si riduce ad una risultante uguale a R, ma non passante per il centro O.

Infatti, in , la coppia rappresentata dal vettore e la forza R giacciono sullo stesso piano (Fig. 91).

Quindi, scegliendo le forze della coppia uguali in modulo R e disponendole come mostrato in Fig. 91, troviamo che le forze sono reciprocamente equilibrate, e il sistema è sostituito da una risultante linea d'azione che passa per il punto O (cfr. § 15, p. 2, b). La distanza ) è determinata in questo caso dalla formula (28), dove

È facile verificare che il caso considerato, in particolare, si verificherà sempre per qualsiasi sistema di forze parallele o giacenti sullo stesso piano, se il vettore principale di questo sistema Se per un dato sistema di forze e allo stesso tempo il vettore è parallelo a R (Fig. 92, a), quindi ciò significa che il sistema di forze è ridotto alla totalità della forza R e della coppia P, P, giacente su un piano perpendicolare alla forza (Fig. 92 , B). Tale combinazione di forza e coppia è chiamata vite dinamica e la linea retta lungo la quale è diretto il vettore R è chiamata asse della vite. Un'ulteriore semplificazione di questo sistema di forze è impossibile. Infatti, se prendiamo qualsiasi altro punto C come centro di riduzione (Fig. 92, a), allora il vettore può essere trasferito al punto C come libero, e quando la forza R è trasferita al punto C (vedi § 11), verrà aggiunta un'altra coppia con momento perpendicolare al vettore R, e quindi, e . Di conseguenza, il momento della coppia risultante sarà numericamente maggiore in questo modo, il momento della coppia risultante ha in questo caso ridotto al centro O valore più piccolo. Questo sistema di forze non può essere ridotto a una forza (risultante) oa una coppia.

Se una delle forze di una coppia, ad esempio P, viene sommata alla forza R, allora il sistema di forze in esame può ancora essere sostituito da due forze intersecantisi, cioè Q e non giacenti sullo stesso piano (Fig. 93 ). Poiché il sistema di forze risultante è equivalente a una vite dinamica, non ha nemmeno una risultante.

5. Se per un dato sistema di forze e allo stesso tempo, i vettori e R non sono perpendicolari tra loro e non sono paralleli, anche un tale sistema di forze viene ridotto a una vite dinamica, ma l'asse della vite sarà non passare per il centro O.

Per dimostrarlo, scomponiamo il vettore in componenti: diretto lungo R e perpendicolare a R (Fig. 94). In questo caso, dove sono i vettori e R. La coppia rappresentata dal vettore e dalla forza R può, come nel caso mostrato in Fig. 91, sostituire con una forza R applicata al punto O, Poi questo sistema le forze saranno sostituite da una forza e da una coppia di momenti paralleli, e il vettore, in quanto libero, potrà essere applicato anche al punto O. Il risultato sarà infatti una vite dinamica, ma con un asse passante per il punto

Casi di riduzione alla forma più semplice

Portare a una coppia

Risulta, come risultato di portare le forze al centro O, che il vettore principale è uguale a zero e il momento principale è diverso da zero: . Quindi, in virtù del teorema fondamentale della statica, possiamo scrivere

Ciò significa che il sistema originale di forze in questo caso è equivalente a una coppia di forze con momento.

Il momento di una coppia non dipende da quale punto viene scelto come centro dei momenti quando si calcola il momento di una coppia. Pertanto, in questo caso, il momento principale non dovrebbe dipendere dalla scelta del centro di riduzione. Ma è a questa conclusione che la relazione

collegare i punti principali rispetto a due centri diversi. Per , anche il termine aggiuntivo è uguale a zero e otteniamo

Riduzione alla risultante

Lascia che ora il vettore principale non sia uguale a zero e il momento principale sia uguale a zero: . In virtù del teorema fondamentale della statica, abbiamo

cioè, il sistema di forze risulta essere equivalente a una forza: il vettore principale. Pertanto, in questo caso, il sistema di forze originario si riduce alla risultante, e questa risultante coincide con il vettore principale applicato al centro di riduzione: .

Il sistema di forze si riduce alla risultante anche nel caso in cui il vettore principale e il momento principale siano entrambi diversi da zero, ma tra loro perpendicolari: . La dimostrazione viene eseguita utilizzando la seguente sequenza di azioni.

Attraverso il centro di riduzione O tracciamo un piano perpendicolare al momento principale (Fig. 50, a). Nella figura, questo piano è allineato con il piano del disegno e il vettore principale si trova in esso. In questo piano costruiamo una coppia con un momento e scegliamo le forze della coppia uguali in valore assoluto al vettore principale; quindi la leva della coppia sarà pari a . Successivamente, spostiamo la coppia nel suo piano in modo tale che una delle forze della coppia sia applicata al centro di riduzione O opposto a quello principale; la seconda forza della coppia sarà applicata nel punto C, che è lontano dal centro O nella direzione voluta, determinata dalla direzione, ad una distanza OS uguale alla spalla della coppia h (Fig. 50, b). Scartando ora le forze equilibrate R e - applicate al punto O, arriviamo ad una forza applicata al punto C (Fig. 50, c). Servirà come risultante di questo sistema di forze.

Si può notare che il risultante è ancora uguale al vettore principale, ma differisce dal vettore principale nel suo punto di applicazione. Se il vettore principale è applicato al centro di riduzione O, allora la risultante è al punto C, la cui posizione richiede una definizione speciale. Il modo geometrico di trovare il punto C è visibile dalla costruzione sopra.

Per il momento della risultante relativa al centro di riduzione O, si può scrivere (vedi Fig. 50):

oppure, omettendo valori intermedi:

Se proiettiamo questa uguaglianza vettoriale su qualsiasi asse passante per il punto O, otteniamo la corrispondente uguaglianza nelle proiezioni:

Ricordando che la proiezione del momento di forza attorno ad un punto dell'asse passante per questo punto è il momento di forza attorno all'asse, riscriviamo questa uguaglianza come segue:

Le uguaglianze risultanti esprimono il teorema di Varignon nella sua vista generale(nella lezione 2, il teorema è stato formulato solo per forze convergenti): se un sistema di forze ha una risultante, allora il momento di questa risultante (relativo a un punto, relativo a un asse) è uguale alla somma dei momenti di tutti date forze- componenti (relativi allo stesso punto, allo stesso asse). È chiaro che nel caso di un punto la somma dei momenti è vettoriale, nel caso di un asse è algebrica.

Portare alla dinamo

Una dinamo o una vite dinamica è una combinazione di una coppia di forze e una forza diretta perpendicolarmente al piano d'azione della coppia. Si può dimostrare che nel caso generale di riduzione, quando e non è perpendicolare a , il sistema originario di forze è equivalente a qualche dinamo.