Calcola i momenti di inerzia Ju, Jv e Juv:

Sommando le prime due formule (3.14), otteniamo giu + Jv= Jz+ Jy, cioè. per ogni rotazione di assi tra loro perpendicolari, la somma momenti assiali l'inerzia rimane costante (invariante).

Assi principali e momenti d'inerzia principali

Esplorare la funzione giu(a) all'estremo. Per fare ciò, uguagliamo la derivata a zero giu(a) da a.

Otteniamo la stessa formula eguagliando a zero il momento di inerzia centrifugo

.

Gli assi principali sono gli assi rispetto ai quali i momenti d'inerzia assiali assumono valori estremi e il momento d'inerzia centrifugo è zero.

Un numero infinito di assi di inerzia principali può essere tracciato prendendo come origine un punto qualsiasi del piano. A risolvere i problemi di resistenza dei materiali ci interessa solo asse centrale principale di inerzia. Principali assi centrali di inerzia passare per il baricentro della sezione.

La formula (3.17) fornisce due soluzioni che differiscono di 90°, cioè consente di determinare due valori dell'angolo di inclinazione degli assi di inerzia principali rispetto agli assi originali. Rispetto a quale degli assi è il massimo momento di inerzia assiale J 1 = J max e rispetto a quale - il minimo J 2 = J min , dovrà essere risolto in base al significato del problema.

Più convenienti sono altre formule che determinano in modo univoco la posizione degli assi principali 1 e 2 (data senza derivazione). In questo caso, l'angolo positivo viene misurato dall'asse Oz Antiorario.

Nella formula (3.19), il segno "+" corrisponde al massimo momento di inerzia e il segno "-" al minimo.

Commento . Se la sezione ha almeno un asse di simmetria, rispetto a questo asse ea qualsiasi altra perpendicolare ad esso, il momento d'inerzia centrifugo è uguale a zero. In accordo con la definizione dei principali assi di inerzia, possiamo concludere che questi assi sono i principali assi di inerzia, cioè l'asse di simmetria è sempre l'asse centrale principale.

Per i profili simmetrici presentati nell'assortimento, canale o trave a I, i principali assi centrali di inerzia saranno gli assi verticale e orizzontale che si intersecano a metà dell'altezza del profilo.

Considera la variazione dei momenti di inerzia quando gli assi delle coordinate vengono ruotati. Assumiamo che i momenti di inerzia di una certa sezione siano relativi agli assi X e y (non necessariamente centrale). Necessario per definire J tu , J v , J UV- momenti di inerzia rispetto agli assi tu , v , ruotato di un angolo un. Quindi proiezione OABCè uguale alla proiezione di quella di chiusura:

tu= y peccatoun +X cos un (1)

v=y cos a – x ​​sin a(2)

Elimina u,v nelle espressioni per i momenti di inerzia:

J tu = ∫v 2 dF; J v = ∫tu 2 dF; J UV = ∫uvdF. Sostituendo nelle espressioni (1) e (2) otteniamo:

J tu =J X cos 2 a-J xy peccato 2a + J y peccato 2 un

J v =J X peccato 2 a+J xy peccato 2a + J y cos 2 un(3)

J UV =J xy cos2a + sin2a(J X -J y )/2

J tu + J v = J X + J y = ∫ F (y 2 + X 2 ) dF => La somma dei momenti di inerzia assiali relativi a 2x reciprocamente perpendicolari. Assi indipendenti dall'angolo un. notare che X 2 + y 2 = p 2 . p- distanza dall'origine delle coordinate all'area elementare. Quella. J X + J y = J p .(4)

J p =∫ F p 2 dF – momento polare, indipendente dalla rotazione x,y

2) t. Casteliano.

La derivata parziale dell'energia potenziale del sistema rispetto alla forza è uguale allo spostamento del punto di applicazione della forza nella direzione di questa forza.

Considera una canna carica sistema arbitrario forze e fissati come mostrato in Fig.

Lascia che l'energia potenziale di deformazione, accumulata nel volume del corpo come risultato del lavoro di forze esterne, sia uguale a U. Daremo l'incremento d F n alla forza F n . Quindi energia potenziale U otterrai un incremento
e assume la forma U+
.(5.4)

Cambiamo ora l'ordine di applicazione delle forze. Applichiamo prima a corpo elastico forza dpn. Nel punto di applicazione di questa forza si verificherà uno spostamento corrispondentemente piccolo, la cui proiezione sulla direzione della forza dpnè uguale a . dδ n . Poi il lavoro della forza dpn risulta essere uguale dpn dδn /2. Ora applichiamo l'intero sistema di forze esterne. In assenza di forza dpn l'energia potenziale del sistema riprenderebbe il valore u. Ma ora questa energia cambierà per la quantità di lavoro aggiuntivo dpnδn quale forza farà dpn sullo spostamento δ n , causato dall'intero sistema di forze esterne. Il valore di δ n è di nuovo la proiezione dello spostamento totale sulla direzione della forza n.

Di conseguenza, con la sequenza inversa di applicazione delle forze, si ottiene l'espressione dell'energia potenziale nella forma

(5.5)

Identifichiamo questa espressione con l'espressione (5.4) e scartando il prodotto dpn dδn /2 come quantità del più alto ordine di piccolezza, troviamo

(5.6)

Biglietto 23

Qualcuno è sfortunato

Biglietto 24

1) Torsione di una barra di sezione rettangolare (determinazione delle sollecitazioni e degli spostamenti). Torsione di trave rettangolare, sollecitazioni in sezione trasversale

P In questo caso, viene violata la legge delle sezioni piatte, le sezioni di forma non circolare vengono piegate durante la torsione - deformazione della sezione trasversale.

Diagrammi delle sollecitazioni di taglio di sezione rettangolare.

;
, Jk e Wk - chiamati condizionatamente il momento di inerzia e il momento di resistenza durante la torsione. Sett.=b2,

Jk= hb3, Le sollecitazioni di taglio massime max saranno al centro del lato lungo, le sollecitazioni al centro del lato corto: =max, i coefficienti: ,, sono riportati nei libri di riferimento a seconda di il rapporto h/b (ad esempio, con h /b=2,=0,246;=0,229;=0,795.

Quando si calcola una barra per la torsione (albero), è necessario risolvere due compiti principali. In primo luogo, è necessario determinare le sollecitazioni che si verificano nella trave e, in secondo luogo, è necessario trovare gli spostamenti angolari delle sezioni della trave in base ai valori dei momenti esterni.

Assumiamo che per una sezione arbitraria (Fig. 1.13) siano noti i momenti di inerzia attorno agli assi coordinati ze y, e sia noto anche il momento di inerzia centrifuga Izy. È necessario stabilire dipendenze per i momenti di inerzia attorno agli assi 11 zy, ruotati di un angolo rispetto agli assi originari ze y (Fig. 1.13). Considereremo l'angolo positivo se la rotazione del sistema di coordinate avviene in senso antiorario. Sia per una data sezione IzI. yPer risolvere il problema, troviamo la relazione tra le coordinate dell'area dA negli assi originale e ruotato. Da Fig.1.13 segue: Da un triangolo da un triangolo Premesso ciò, otteniamo Analogamente per la coordinata y1 otteniamo Considerando che finalmente abbiamo ), determiniamo il momento d'inerzia relativo ai nuovi assi (ruotati) z1 e y1: Allo stesso modo, il momento di inerzia centrifugo I relativo agli assi ruotati è determinato dalla dipendenza . Sottraendo (1.27) dalla (1.26) otteniamo la formula (1.30) può servire a calcolare il momento d'inerzia centrifugo attorno agli assi ze y, secondo i noti momenti d'inerzia attorno agli assi z, y e z1, y1, e formula (1.29) può essere utilizzata per verificare i calcoli dei momenti di inerzia di sezioni complesse. 1.8. Assi principali e momenti d'inerzia principali della sezione Al variare dell'angolo (vedi Fig. 1.13), cambiano anche i momenti d'inerzia. Per alcuni valori dell'angolo 0, i momenti di inerzia hanno valori estremi. I momenti di inerzia assiali con valori massimi e minimi sono chiamati i principali momenti di inerzia assiali della sezione. Gli assi rispetto ai quali i momenti di inerzia assiali hanno valori massimi e minimi sono gli assi di inerzia principali. Gli assi principali, invece, come notato sopra, sono gli assi rispetto ai quali il momento d'inerzia centrifugo della sezione è zero. Per determinare la posizione degli assi principali per sezioni di forma arbitraria, prendiamo la derivata prima rispetto a I e la uguagliamo a zero: Si noti che la formula (1.31) può essere ottenuta dalla (1.28) uguagliandola a zero. Se sostituiamo i valori dell'angolo determinato dall'espressione (1.31) in (1. 26) e (1.27), quindi dopo la trasformazione otteniamo formule che determinano i principali momenti d'inerzia assiali della sezione.Questa formula nella sua struttura è simile alla formula (4.12), che determina le principali sollecitazioni (vedi Sezione 4.3). Se IzI, quindi, sulla base degli studi della derivata seconda, ne consegue che il momento d'inerzia massimo Imax avviene rispetto all'asse principale ruotato di un angolo rispetto all'asse z, e il momento d'inerzia minimo - rispetto all'altro asse principale posto ad angolo 0 Se II, tutto sta cambiando al contrario. I valori dei principali momenti di inerzia Imax e I possono essere calcolati anche dalle dipendenze (1.26) e (1.27), se sostituiamo in esse al posto del valore. In questo caso la domanda si risolve da sola: rispetto a quale asse principale si ottiene il momento d'inerzia massimo e rispetto a quale asse il minimo? Va notato che se per una sezione i principali momenti di inerzia centrali attorno agli assi z e y sono uguali, allora per questa sezione qualsiasi asse centrale è quello principale e tutti i principali momenti di inerzia centrali sono uguali (cerchio, quadrato , esagono, triangolo equilatero, ecc.). Questo è facilmente stabilito dalle dipendenze (1.26), (1.27) e (1.28). Supponiamo infatti che per qualche sezione gli assi z e y siano gli assi centrali principali e, inoltre, I. y Quindi dalle formule (1.26) e (1.27) otteniamo che Izy , 1a dalla formula (1.28) ci assicuriamo che 11 e. eventuali assi sono i principali assi centrali di inerzia di tale figura. 1.9. Il concetto di raggio di rotazione Il momento d'inerzia di una sezione rispetto a un qualsiasi asse può essere rappresentato come il prodotto dell'area della sezione trasversale per il quadrato di una certa quantità, detto raggio di rotazione della superficie della sezione trasversale dove iz ─ il raggio di inerzia relativo all'asse z. Quindi dalla (1.33) segue: I principali assi centrali di inerzia corrispondono ai principali raggi di inerzia: 1.10. Momenti di resistenza Distinguere tra momenti di resistenza assiali e polari. 1. Il momento di resistenza assiale è il rapporto tra il momento di inerzia attorno a un dato asse e la distanza dal punto più distante della sezione trasversale da questo asse. Momento di resistenza assiale relativo all'asse z: e relativo all'asse y: max dove ymax e zmax─, rispettivamente, le distanze dagli assi centrali principali z e y ai punti da essi più distanti. Nei calcoli vengono utilizzati i principali assi centrali di inerzia e i principali momenti centrali, pertanto, sotto Iz e Iy nelle formule (1.36) e (1.37) comprenderemo i principali momenti centrali di inerzia della sezione. Consideriamo il calcolo dei momenti di resistenza di alcune semplici sezioni. 1. Rettangolo (vedi Fig. 1.2): 2. Cerchio (vedi Fig. 1.8): 3. Sezione tubolare anulare (Fig. 1.14): . Per i profili laminati i momenti di resistenza sono riportati nelle tabelle di assortimento e non è necessario determinarli (vedi appendice 24 - 27). 2. momento polare la resistenza è il rapporto tra il momento d'inerzia polare e la distanza dal polo al punto più distante della sezione max 30. Il baricentro della sezione è generalmente preso come polo. Ad esempio, per una sezione piena tonda (Fig. 1.14): Per una sezione tonda tubolare. I momenti di resistenza assiali Wz e Wy caratterizzano in modo puramente geometrico la resistenza dell'asta (trave) alla deformazione flessionale, e il momento di resistenza polare W caratterizza la resistenza alla torsione.

Si consideri una figura piana con caratteristiche geometriche note 1 X , 1 anno e 1 h sugli assi X e A(Fig. 3.3). Usiamoli per determinare i valori di simili caratteristiche geometriche sugli assi e e v, che formano un angolo a con il sistema iniziale.

Calcola le coordinate del baricentro di un elemento di area infinitesimale dA nel nuovo sistema di coordinate e e v:

Riso. 3.3.

Momento d'inerzia rispetto all'asse ruotato Oi sarà uguale a

Usando la notazione delle caratteristiche geometriche relative agli assi originali, otteniamo

Per le altre due caratteristiche geometriche, le formule si ottengono in modo simile:

Trasformiamo le formule risultanti usando formule trigonometriche

Dopo aver convertito le formule per il calcolo dei momenti di inerzia assiale e centrifugo durante la rotazione degli assi, prendono la forma

Assi principali e momenti d'inerzia principali

In precedenza è stato notato che la somma dei momenti assiali è un valore costante. È facile vedere che questa affermazione segue anche dalle formule (3.22):

Assi su cui i momenti di inerzia prendono il massimo e valore minimo, sono chiamati assi principali principali momenti di inerzia.

Quando gli assi vengono ruotati, i valori dei momenti assiali cambiano, quindi deve esserci una coppia di assi principali reciprocamente perpendicolari, rispetto ai quali i momenti di inerzia raggiungono i valori minimo e massimo. Dimostriamo questa posizione. Per fare ciò, studiamo il momento d'inerzia assiale per l'estremo 1 e:

Poiché l'espressione tra parentesi deve essere uguale a zero, otteniamo una formula che ci permette di determinare la posizione di uno degli assi principali:

Angolo a 0 contato dall'asse Oh in senso antiorario, definisce la posizione dell'asse principale rispetto all'asse Oh. Dimostriamo che l'asse perpendicolare a questo asse è anche quello principale. Sostituisci nell'espressione per

angolo derivato a 0 + -:

Pertanto, gli assi principali sono assi reciprocamente perpendicolari.

Prestiamo attenzione al fatto che l'espressione tra parentesi secondo la terza formula (3.22) corrisponde al momento centrifugo. Abbiamo quindi dimostrato che il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi principali è zero.

Usiamo questo risultato e deriviamo una formula per calcolare i principali momenti di inerzia. Per fare ciò, riscriviamo la seconda e la terza formula (3.22) nella forma seguente:

Quadrando e sommando i lati destro e sinistro di entrambe le equazioni, otteniamo

Da ciò segue la formula per il calcolo dei due principali momenti di inerzia:

Nella formula (3.25), il segno più corrisponde al massimo momento di inerzia principale e il segno meno al suo valore minimo.

In alcuni casi particolari, la posizione degli assi principali può essere determinata senza calcoli. Quindi, se la sezione è simmetrica, l'asse di simmetria è uno degli assi principali e il secondo asse è qualsiasi asse perpendicolare ad esso. Questa posizione segue direttamente dall'uguaglianza a zero del momento d'inerzia centrifugo attorno agli assi, uno dei quali è l'asse di simmetria.

Tra tutte le coppie di assi principali si può distinguere una coppia speciale, i cui due assi passano per il baricentro della sezione.

Si chiamano gli assi principali passanti per il baricentro della sezione assi centrali principali, e i momenti di inerzia su tali assi - principale momenti centrali inerzia.

Come già notato, la rotazione del sistema di coordinate provoca un cambiamento nelle caratteristiche geometriche delle figure piatte. Si può dimostrare che l'insieme delle caratteristiche geometriche appartenenti ad una data sezione è descritto da un tensore simmetrico chiamato tensore di inerzia sezione, che può essere scritta come una matrice:

La prima invariante del tensore d'inerzia, che è la somma dei momenti d'inerzia assiali, è stata da noi ottenuta in precedenza (vedi formula (3.23)). La seconda invariante del tensore di inerzia ha la forma

Questo valore sarà utilizzato per ottenere una soluzione generale per la flessione dell'asta.