I = ∑r io 2 dF io =∫r 2 dF (1.1)

In linea di principio, sia la definizione che la formula che la descrive non sono complicate ed è molto più facile ricordarle che andare fino in fondo. Ma ancora, proviamo a capire qual è il momento di inerzia e da dove viene.

Il concetto di momento d'inerzia è derivato dalla forza dei materiali e dalla meccanica strutturale da un altro ramo della fisica che studia la cinematica del moto, in particolare il moto rotatorio. Ma comunque, partiamo da lontano.

Non so per certo se una mela è caduta sulla testa di Isaac Newton, è caduta nelle vicinanze o non è caduta affatto, la teoria della probabilità consente tutte queste opzioni (inoltre, c'è troppo in questa mela dal biblico leggenda dell'albero della conoscenza), ma sono sicuro che Newton fosse una persona attenta, capace di trarre conclusioni dalle sue osservazioni. Quindi l'osservazione e l'immaginazione permisero a Newton di formulare la legge fondamentale della dinamica (la seconda legge di Newton), secondo la quale la massa di un corpo m moltiplicato per l'accelerazione un, è uguale alla forza agente Q(in realtà, la designazione F è più familiare per la forza, ma poiché più avanti tratteremo l'area, che è anche spesso indicata come F, uso la designazione Q per la forza esterna, considerata nella meccanica teorica come un carico concentrato, il l'essenza della questione non cambia):

Q=ma (1.2)

Per me la grandezza di Newton è proprio nella semplicità e nella chiarezza. questa definizione. Inoltre, se teniamo conto di questo moto uniformemente accelerato accelerazione un uguale al rapporto dell'incremento di velocità ΔV al periodo di tempo Δt, per cui la velocità è cambiata:

a \u003d Δv / Δt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)

a V o \u003d 0 a = v/t (1.3.2)

quindi puoi determinare i parametri di base del movimento, come distanza, velocità, tempo e persino slancio R caratterizzare la quantità di movimento:

p=mv (1.4)

Ad esempio, una mela che cade da diverse altezze sotto l'influenza della sola gravità cadrà a terra in momenti diversi, avrà velocità diverse al momento dell'atterraggio e, di conseguenza, slancio diverso. In altre parole, una mela che cade da un'altezza maggiore volerà più a lungo e si spezzerà più forte sulla fronte di un osservatore sfortunato. E Newton ha ridotto tutto questo a una formula semplice e comprensibile.

E Newton formulò la legge di inerzia (la prima legge di Newton): se l'accelerazione a = 0, quindi nel sistema di riferimento inerziale è impossibile determinare se il corpo osservato, che non risente di forze esterne, sia fermo o si muova in linea retta a velocità costante. Questa proprietà corpi materiali mantenere la sua velocità, anche se nulla, si chiama inerzia. La misura dell'inerzia è la massa inerziale del corpo. A volte la massa inerziale è chiamata inerziale, ma questo non cambia l'essenza della materia. Si ritiene che la massa inerziale sia uguale alla massa gravitazionale, e quindi spesso non viene specificato che tipo di massa si intende, ma semplicemente viene menzionata la massa del corpo.

Non meno importante e significativa è la terza legge di Newton, secondo la quale la forza d'azione è uguale alla forza di reazione se le forze sono dirette in una linea retta, ma in direzioni opposte. Nonostante l'apparente semplicità, questa conclusione di Newton è geniale e il significato di questa legge difficilmente può essere sopravvalutato. A proposito di una delle applicazioni di questa legge di seguito.

Tuttavia, queste disposizioni sono valide solo per gli organismi che avanzano, cioè lungo una traiettoria rettilinea e allo stesso tempo tutto punti materiali tali corpi si muovono con la stessa velocità o la stessa accelerazione. In moto curvilineo ed in particolare quando moto rotatorio, ad esempio, quando un corpo ruota attorno al proprio asse di simmetria, i punti materiali di tale corpo si muovono nello spazio con la stessa velocità angolare w, ma allo stesso tempo velocità di linea v punti diversi avranno differenti e questa velocità lineare è direttamente proporzionale alla distanza r dall'asse di rotazione a questo punto:

v=wr (1.5)

in questo caso, la velocità angolare è uguale al rapporto dell'incremento dell'angolo di rotazione Δφ al periodo di tempo Δt, per cui l'angolo di rotazione è cambiato:

w \u003d Δφ / Δt \u003d (φ - φ o) / t (1.6.1)

a φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)

rispettivamente accelerazione normale un durante la rotazione è uguale a:

a n \u003d v 2 / r \u003d w 2 r (1.8)

E si scopre che per il moto rotatorio non possiamo usare direttamente la formula (1.2), poiché durante il moto rotatorio il valore della sola massa corporea non è sufficiente, è anche necessario conoscere la distribuzione di questa massa nel corpo. Si scopre che più i punti materiali del corpo sono vicini all'asse di rotazione, minore è la forza richiesta da applicare per far ruotare il corpo e viceversa, più i punti materiali del corpo sono lontani dall'asse di rotazione, maggiore è la forza che deve essere applicata per far ruotare il corpo (in questo caso si parla di applicazione della forza nello stesso punto). Inoltre, quando il corpo ruota, è più conveniente considerare non la forza agente, ma la coppia, poiché durante il moto rotatorio il punto di applicazione della forza ha anche Grande importanza.

Le straordinarie proprietà del momento ci sono note fin dai tempi di Archimede, e se applichiamo il concetto di momento al movimento rotatorio, allora il valore del momento M sarà tanto maggiore quanto maggiore sarà la distanza r dall'asse di rotazione al punto di applicazione della forza F(in meccanica strutturale forza esterna spesso indicato come R o Q):

M = Qr (1.9)

Anche da questa formula non molto complicata, risulta che se la forza viene applicata lungo l'asse di rotazione, non ci sarà rotazione, poiché r \u003d 0, e se la forza viene applicata alla distanza massima dall'asse di rotazione, allora il valore del momento sarà massimo. E se sostituiamo nella formula (1.9) il valore della forza dalla formula (1.2) e il valore normale accelerazione e con le formule (1.8), otteniamo la seguente equazione:

M \u003d mw 2 r r \u003d mw 2 r 2 (1.10)

Nel caso particolare in cui il corpo sia un punto materiale, avente dimensioni molto minori della distanza da questo punto all'asse di rotazione, l'equazione (1.10) è applicabile nella sua forma pura. Tuttavia, per un corpo che ruota attorno a uno dei suoi assi di simmetria, la distanza da ciascun punto materiale del componente dato corpo, è sempre minore di una delle dimensioni geometriche del corpo e quindi la distribuzione della massa corporea è di grande importanza, in questo caso è necessario tenere conto di queste distanze separatamente per ogni punto:

M = ∑r io 2 w 2 m io (1.11.1)

M c \u003d w 2 ∫r 2 dm

E poi si scopre che secondo la terza legge di Newton, in risposta all'azione di una coppia, sorge il cosiddetto momento di inerzia io. In questo caso, i valori della coppia e del momento di inerzia saranno uguali e i momenti stessi saranno diretti in direzioni opposte. A una costante velocità angolare rotazione, ad esempio w = 1, le principali grandezze caratterizzanti la coppia o momento d'inerzia saranno la massa dei punti materiali che compongono il corpo, e la distanza da questi punti all'asse di rotazione. Di conseguenza, la formula per il momento di inerzia assumerà la seguente forma:

[- M] = I = ∑r io 2 m io (1.12.1)

io c = ∫r 2 dm(1.11.2) - quando il corpo ruota attorno all'asse di simmetria

dove io- la designazione generalmente accettata del momento d'inerzia, Circuito integrato- designazione del momento d'inerzia assiale del corpo, kg / m 2. Per un corpo omogeneo con la stessa densità ρ per tutto il corpo V La formula per il momento di inerzia assiale di un corpo può essere scritta come segue:

io c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Pertanto, il momento di inerzia è una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rotatorio, così come la massa è una misura dell'inerzia di un corpo durante il movimento rettilineo traslatorio.

L'intero cerchio è chiuso. E qui potrebbe sorgere la domanda: cosa hanno a che fare tutte queste leggi della dinamica e della cinematica con il calcolo delle strutture edilizie statiche? Si scopre che nessuno dei due è il più diretto e immediato. In primo luogo, perché tutte queste formule furono derivate da fisici e matematici in quei tempi lontani in cui discipline come " Meccanica teorica"o" Teoria della forza dei materiali "semplicemente non esisteva. E in secondo luogo, perché l'intero calcolo delle strutture edilizie è costruito sulla base delle leggi e delle formulazioni indicate e dell'affermazione sull'uguaglianza delle masse gravitazionali e inerziali che non ha ancora stato confutato da chiunque, proprio nella teoria della resistenza dei materiali ancora più semplice, per quanto paradossale possa sembrare.

Ed è più semplice perché quando si risolvono determinati problemi, non si può considerare l'intero corpo, ma solo la sua sezione trasversale e, se necessario, diverse sezioni trasversali. Ma in queste sezioni, lo stesso forze fisiche, pur avendo una natura leggermente diversa. Pertanto, se consideriamo un determinato corpo, la cui lunghezza è costante e il corpo stesso è omogeneo, se non prendiamo in considerazione i parametri costanti: lunghezza e densità ( l = cost, ρ = cost) - otterremo un modello di sezione trasversale. Per tale sezione trasversale, da un punto di vista matematico, sarà valida l'equazione:

I p \u003d ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

dove Ip- momento d'inerzia polare della sezione, m 4 . Di conseguenza, abbiamo ottenuto la formula con cui siamo partiti (ma non so se è diventato più chiaro quale sia il momento di inerzia di una sezione).

Poiché le sezioni rettangolari sono spesso considerate nella teoria della resistenza dei materiali e un sistema di coordinate rettangolari è più conveniente, quando si risolvono i problemi vengono generalmente considerati due momenti di inerzia assiali della sezione trasversale:

Iz = ∫y 2dF (2.2.1)

io y = ∫z 2dF (2.2.2)

Immagine 1. Valori delle coordinate quando si determinano i momenti di inerzia assiali.

Qui potrebbe sorgere la domanda sul motivo per cui vengono utilizzati gli assi z e a piuttosto che il più familiare X e a? È semplicemente successo che la determinazione delle forze nella sezione trasversale e la selezione di una sezione in grado di resistere a sollecitazioni agenti uguali alle forze applicate sono due compiti diversi. Il primo compito - la determinazione delle forze - è risolto dalla meccanica strutturale, il secondo compito - la selezione della sezione - la teoria della resistenza dei materiali. Allo stesso tempo, nella meccanica strutturale, quando si risolvono problemi semplici, molto spesso viene considerata un'asta (per strutture rettilinee), avente una certa lunghezza l, e l'altezza e la larghezza della sezione non vengono prese in considerazione, mentre si presume che l'asse X passa solo attraverso i baricentro di tutte le sezioni trasversali e quindi, quando si tracciano diagrammi (a volte abbastanza complessi), la lunghezza l appena licenziato lungo l'asse X, e lungo l'asse a i valori delle trame sono posticipati. Allo stesso tempo, la teoria della resistenza dei materiali considera la sezione trasversale, per la quale la larghezza e l'altezza sono importanti, e la lunghezza non viene presa in considerazione. Naturalmente, quando si risolvono i problemi della teoria della resistenza dei materiali, che a volte sono anche piuttosto complessi, vengono utilizzati tutti gli stessi assi familiari. X e a. Questo stato di cose mi sembra non del tutto corretto, poiché nonostante la differenza, si tratta ancora di compiti correlati e quindi sarebbe più appropriato utilizzare assi comuni per la struttura calcolata.

Il valore del momento d'inerzia polare in un sistema di coordinate rettangolare sarà:

I p \u003d ∫r 2 dF \u003d∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Poiché in un sistema di coordinate rettangolare, il raggio è l'ipotenusa triangolo rettangolo, e come sai, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe. E c'è anche il concetto di momento d'inerzia centrifugo della sezione trasversale:

Ixz = ∫xzdF(2.4)

Tra gli assi di un sistema di coordinate rettangolari passanti per il baricentro della sezione trasversale, ci sono due assi reciprocamente perpendicolari, rispetto ai quali i momenti di inerzia assiali prendono il massimo e valore minimo, mentre il momento d'inerzia centrifuga della sezione Izy = 0. Tali assi sono chiamati i principali assi centrali della sezione trasversale e i momenti di inerzia attorno a tali assi sono chiamati i principali momenti di inerzia centrali.

Quando nella teoria della resistenza dei materiali si parla di momenti di inerzia, allora, di regola, si intendono i principali momenti di inerzia centrali della sezione trasversale. Per sezioni quadrate, rettangolari, rotonde, gli assi principali coincideranno con gli assi di simmetria. Vengono anche chiamati i momenti di inerzia della sezione trasversale momenti geometrici inerzia o momenti di inerzia dell'area, ma l'essenza di questo non cambia.

In linea di principio, non è necessario determinare i valori dei principali momenti di inerzia centrali per le sezioni trasversali delle forme geometriche più comuni: un quadrato, un rettangolo, un cerchio, un tubo, un triangolo e alcuni altri . Tali momenti di inerzia sono stati a lungo determinati e ampiamente conosciuti. E quando si calcolano i momenti di inerzia assiali per sezioni di forma geometrica complessa, vale il teorema di Huygens-Steiner:

I \u003d I c + r 2 F (2.5)

quindi, se le aree e i centri di gravità sono semplici forme geometriche, costituendo una sezione complessa, allora non sarà difficile determinare il valore del momento d'inerzia assiale dell'intera sezione. E per determinare il baricentro di una sezione complessa, vengono utilizzati i momenti statici della sezione trasversale. I momenti statici sono considerati più in dettaglio in un altro articolo, aggiungerò solo qui. significato fisico del momento statico è il seguente: il momento statico del corpo è la somma dei momenti per i punti materiali che compongono il corpo, relativi ad un punto (momento statico polare) o relativi all'asse (momento statico assiale), e poiché il momento è il prodotto della forza sul braccio (1.9), allora e il momento statico del corpo si determina rispettivamente:

S = ∑M = ∑r io m io= ∫rdm (2.6)

e quindi il momento statico polare della sezione d'urto sarà:

S p = ∫rdF (2.7)

Come puoi vedere, la definizione del momento statico è simile alla definizione del momento di inerzia. Ma c'è anche una differenza fondamentale. Il momento statico è quindi chiamato statico, perché per un corpo su cui agisce la forza di gravità, il momento statico è zero rispetto al baricentro. In altre parole, un tale corpo è in uno stato di equilibrio se il supporto è applicato al baricentro del corpo. E secondo la prima legge di Newton, un tale corpo o è fermo o si muove a velocità costante, cioè accelerazione \u003d 0. E da un punto di vista puramente matematico, il momento statico può essere uguale a zero per il semplice motivo che quando si determina il momento statico, è necessario tenere conto della direzione del momento. Ad esempio, rispetto agli assi delle coordinate passanti per il baricentro del rettangolo, le aree delle parti superiore e inferiore del rettangolo saranno positive, poiché simboleggiano la forza di gravità che agisce in una direzione. In questo caso, la distanza dall'asse al baricentro può essere considerata positiva (condizionatamente: il momento della forza di gravità della parte superiore del rettangolo cerca di ruotare la sezione in senso orario), e al baricentro di la parte inferiore - come negativa (condizionatamente: il momento della forza di gravità della parte inferiore del rettangolo cerca di ruotare la sezione in senso antiorario). E poiché tali aree sono numericamente uguali e uguali alle distanze dai centri di gravità della parte superiore del rettangolo e della parte inferiore del rettangolo, allora la somma dei momenti agenti sarà lo 0 desiderato.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

E questo grande zero consente anche di determinare le reazioni di supporto delle strutture edilizie. Se consideriamo una struttura edile a cui, ad esempio, viene applicato un carico concentrato Q in un certo punto, allora tale struttura edile può essere considerata come un corpo con un baricentro nel punto di applicazione della forza, e supporto le reazioni in questo caso sono considerate come forze applicate ai punti di appoggio. Pertanto, conoscendo il valore del carico concentrato Q e la distanza dal punto di applicazione del carico agli appoggi della struttura dell'edificio, è possibile determinare le reazioni di appoggio. Ad esempio, per una trave incernierata su due appoggi, il valore delle reazioni di appoggio sarà proporzionale alla distanza dal punto di applicazione della forza e la somma delle reazioni degli appoggi sarà uguale al carico applicato. Ma di regola, quando si determinano le reazioni di appoggio, è ancora più semplice: uno degli appoggi viene preso come baricentro, quindi la somma dei momenti del carico applicato e del resto delle reazioni di appoggio è ancora zero . In questo caso, il momento della reazione di appoggio rispetto al quale viene compilata l'equazione del momento è uguale a zero, poiché il braccio della forza = 0, il che significa che nella somma dei momenti rimangono solo due forze: il carico applicato e l'ignoto reazione di supporto(per costruzioni staticamente determinate).

Pertanto, la differenza fondamentale tra il momento statico e il momento di inerzia è che il momento statico caratterizza la sezione che la gravità sta cercando di spezzare a metà rispetto al baricentro o all'asse di simmetria, e il momento di inerzia caratterizza il corpo , tutti i punti materiali di cui si muovono (o cercano di muoversi in una direzione). Forse i seguenti schemi di progettazione piuttosto condizionali per una sezione rettangolare aiuteranno a visualizzare questa differenza più chiaramente:

figura 2. Differenza visiva tra momento statico e momento di inerzia.

E ora torniamo alla cinematica del movimento. Se tracciamo analogie tra le sollecitazioni che si verificano nelle sezioni trasversali delle strutture edilizie e vari tipi di movimento, si verificano sollecitazioni uniformi negli elementi tesi centralmente e compressi centralmente sull'intera area della sezione trasversale. Queste sollecitazioni possono essere paragonate all'azione di una certa forza su un corpo, in cui il corpo si muoverà in linea retta e traslazionale. E la cosa più interessante è che le sezioni trasversali degli elementi tesi centralmente o compressi centralmente si muovono davvero, poiché le sollecitazioni agenti causano deformazioni. E l'entità di tali deformazioni può essere determinata per qualsiasi sezione trasversale della struttura. Per fare ciò è sufficiente conoscere il valore delle sollecitazioni agenti, la lunghezza dell'elemento, l'area della sezione trasversale e il modulo elastico del materiale di cui è composta la struttura.

Per gli elementi di piegatura, anche le sezioni trasversali non rimangono in posizione, ma si muovono, mentre il movimento delle sezioni trasversali degli elementi di piegatura è simile alla rotazione di un determinato corpo attorno a un certo asse. Come probabilmente avrai intuito, il momento d'inerzia permette di determinare sia l'angolo di inclinazione della sezione trasversale che lo spostamento Δ l per i punti finali della sezione. Questi punti estremi per una sezione rettangolare si trovano a una distanza pari alla metà dell'altezza della sezione (perché - è descritto in modo sufficientemente dettagliato nell'articolo "Nozioni di base sulla resistenza del materiale. Determinazione della deflessione"). E questo, a sua volta, consente di determinare la deflessione della struttura.

E il momento di inerzia ti consente di determinare il momento di resistenza della sezione. Per fare ciò, il momento di inerzia deve essere semplicemente diviso per la distanza dal baricentro della sezione al punto più distante della sezione, per una sezione rettangolare per h / 2. E poiché le sezioni studiate non sono sempre simmetriche, il valore del momento di resistenza può essere diverso per parti differenti sezioni.

E tutto è cominciato con una banale mela... anche se no, tutto è cominciato con una parola.

Nel determinare i momenti di inerzia di una sezione composita, quest'ultima viene suddivisa in figure semplici, in cui sono note le posizioni dei baricentro e i momenti di inerzia relativi ai propri. assi centrali. Secondo le formule (2.5), le coordinate del baricentro dell'intera sezione si trovano nel sistema di assi ausiliari scelti arbitrariamente. Parallelamente a questi assi si tracciano gli assi centrali, rispetto ai quali si determinano i momenti d'inerzia assiale e centrifugo mediante le formule (2.6). I momenti di inerzia attorno agli assi centrali principali sono determinati dalla formula (2.12) e la posizione degli assi centrali principali - dalle formule (2.11).

Esempio 2.1. Determiniamo i momenti di inerzia rispetto agli assi centrali principali della sezione trasversale di una trave a I 130, rinforzata con due lamiere di acciaio di sezione 200 x 20 mm (Fig. 2.12).

Assi di simmetria Ooh ooh sono gli assi centrali principali dell'intera sezione. Scriviamo dall'assortimento (vedi Appendice) i valori ​​dell'area e i momenti di inerzia della sezione I-beam rispetto agli assi Ooh ooh

I momenti di inerzia delle sezioni di lamiere rispetto ai propri assi centrali sono determinati dalle formule (2.14):

L'area dell'intera sezione è uguale a F= 46,5 + 2 20 2 \u003d 126,5 cm 2.

Momenti di inerzia della sezione rispetto agli assi centrali principali Ooh ooh sono determinati dalle formule (2.6):

Esempio 2.2. Determiniamo i momenti di inerzia rispetto agli assi centrali principali della sezione trasversale del truss rack da due angoli isoscele 1_70x70x8, realizzati trasversalmente (Fig. 2.13). Il lavoro di giunzione degli angoli è fornito da strisce di collegamento.

Coordinate del baricentro della sezione angolare, valori dell'area e momenti di inerzia relativi ai propri assi centrali Oh^ e Oy 0 sono indicati nell'assortimento (vedi appendice):

Distanza dal baricentro o l'intera sezione al baricentro dell'angolo è uguale a un\u003d (2,02 + 0,4) l / 2 \u003d 3,42 cm.

L'area dell'intera sezione è uguale a F= 2 10,7 \u003d 21,4 cm 2.

Momenti di inerzia sugli assi centrali principali, che sono gli assi di simmetria Ooh ooh sono determinati dalle formule (2.6):

Esempio 2.3. Determiniamo la posizione del baricentro e i momenti d'inerzia relativi agli assi centrali principali della sezione trasversale della trave, composta da due canali x] e Oh x y ( . Quindi dalle formule (2.5) otteniamo:

Questi valori e coordinate dei centri di gravità del canale e dell'angolo nel sistema di coordinate Oh mostrato in fig. 2.16 e sono rispettivamente pari a:

Determiniamo con le formule (2.6) i momenti d'inerzia della sezione attorno agli assi centrali Oh e UO

Utilizzando le formule (2.12) e (2.11), troviamo i valori dei principali momenti di inerzia e gli angoli di inclinazione degli assi principali 1 e 2 rispetto all'asse Oh:

Le seguenti formule per determinare i momenti di inerzia di sezioni semplici attorno ai loro assi centrali sono ottenute da espressioni integrali per i momenti di inerzia (5.4), (5.5), (5.6):

1. Rettangolo

(5.10)

(5.11)

poiché gli assi Z e Y sono gli assi di simmetria.

2. Cerchio

(5.12)

(5.13)

Qui è il momento d'inerzia polare della sezione.

3. Semicerchio

(5.14)

(5.15)

4. Triangolo isoscele

(5.16)

(5.17)

5. Triangolo rettangolo

(5.18)

(5.19)

(5.20)

È utile ricordare che nelle formule (5.10), (5.11) e (5.16)–(5.19) la dimensione del lato della figura perpendicolare all'asse considerato è al cubo.

Nella formula (5.20), quando si determina il momento d'inerzia centrifugo, il segno meno è posto quando gli angoli acuti del triangolo sono nei quarti negativi (cioè il 2° e il 4°). Nei casi in cui questi angoli sono in quarti positivi (cioè 1° e 3°), nella formula (5.20) viene inserito un segno più.

5.3. Principali momenti d'inerzia centrali di sezioni simmetriche complesse

La posizione degli assi centrali principali e i valori dei principali momenti di inerzia centrali per sezioni simmetriche sono determinati nel seguente ordine:

1. Una sezione complessa è suddivisa in forme semplici (cerchio, rettangolo, trave a I, angolo, ecc.) e vengono disegnati i loro assi centrali Z i e Y i (di norma, orizzontalmente e verticalmente).

2. La posizione del baricentro dell'intera sezione è determinata dalle formule (5.3) e attraverso questo punto vengono tracciati i suoi assi centrali Z e Y. Se sono presenti due assi di simmetria, il baricentro dell'intera sezione è nel punto della loro intersezione.

Se la sezione ha un solo asse di simmetria, solo una coordinata del baricentro è determinata dalle formule (5.3). Spieghiamo questo per la figura mostrata in Fig. 5.8:

a) scegliamo gli assi Z" e Y" in modo che l'asse Y" coincida con l'asse di simmetria della figura e l'asse Z" - in modo che sia conveniente determinare la distanza di questo asse dagli assi centrali di figure semplici;

b) determiniamo il momento statico dell'area della sezione trasversale rispetto a un asse Z arbitrario" con la formula:

\u003d A 1 y 1 + A 2 y 2,

dove A i sono le aree trasversali di figure semplici; y i - distanze da un asse arbitrario Z "agli assi centrali delle figure semplici Z i. Le distanze y i devono essere prese tenendo conto dei segni;

c) determinare la coordinata in C del baricentro secondo la formula (5.3):

=

d) ad una distanza y C dall'asse Z disegniamo il secondo asse Z centrale. Il primo asse centrale è l'asse di simmetria Y.

3. I momenti di inerzia attorno agli assi centrali principali Z e Y (Fig. 5.8) sono determinati dalle formule (5.9), che in forma espansa saranno scritte come segue:

da uno degli assi considerati

(Asse Y) è l'asse di simmetria.

In queste formule:

- momenti d'inerzia assiali di figure semplici attorno ai loro assi centrali (momenti d'inerzia intrinseci), che sono determinati dalle formule (5.10) - (5.19) o secondo le tabelle degli assortimenti per laminati;

- distanze dagli assi centrali comuni della sezione Z e Y agli assi centrali delle figure semplici. In questo esempio
e
mostrato in fig. 5.8;

A i sono le aree delle figure semplici. Se una figura semplice è una figura ritagliata da quella generale, cioè figura "vuota", quindi nelle formule corrispondenti per l'area di tali figure A e i loro momenti di inerzia
sono sostituiti con un segno meno.

ESEMPIO 5.1

È necessario determinare i principali momenti d'inerzia centrali della sezione mostrata in Fig. 5.9.

1. Dividiamo la sezione in figure semplici e disegniamo i loro assi centrali orizzontali e verticali Z i e Y i

2. Disegniamo gli assi centrali per l'intera figura, ad es. assi di simmetria Z e Y.

3. Determinare le distanze dagli assi centrali comuni Z e Y agli assi centrali di figure semplici e l'area di queste figure:

4. Calcoliamo i propri momenti centrali delle figure usando le formule (5.10)–(5.17):

5. Determinare i momenti di inerzia assiali dell'intera sezione rispetto agli assi centrali Z e Y:

momento d'inerzia centrifugo
poiché Z e Y sono assi di simmetria. Pertanto, I Z e I Y da noi calcolati sono quindi i principali assi centrali:

ESEMPIO 5.2

Necessario determinare i principali momenti d'inerzia centrali della sezione mostrata in (Fig. 5.10).

1. Dividiamo la sezione in figure semplici e disegniamo i loro assi centrali e Y io .

2. Disegniamo l'asse di simmetria Y. È l'asse centrale principale della sezione data.

3. Per determinare la posizione del 2° asse centrale principale, selezionare un asse Z arbitrario perpendicolare all'asse di simmetria. Lascia che questo asse coincida con l'asse Z 3.

4. Secondo la formula (5.3), determiniamo l'ordinata y dal baricentro della sezione trasversale lungo l'asse Y:

Impostiamo la dimensione a C sopra l'asse Z" e disegniamo il 2° asse centrale principale Z.

5. Determinare i momenti di inerzia assiali di figure semplici rispetto ai propri assi centrali (vedi formule (5.10)–(5.17)):

6. Calcoliamo le distanze dagli assi centrali dell'intera sezione Z e Y agli assi centrali delle singole figure (Fig. 5.10):

poiché gli assi Y 1, Y 2, Y 3 coincidono con l'asse di simmetria Y.

7. Calcoliamo i momenti d'inerzia assiali dell'intera sezione rispetto agli assi centrali Z e Y secondo le formule (5.9):

Il momento d'inerzia centrifugo I ZY dell'intera sezione è zero, poiché l'asse Y è l'asse di simmetria, cioè gli assi Z e Y sono i principali assi centrali di inerzia della sezione e i momenti di inerzia assiali calcolati sono i principali momenti di inerzia centrali:

ESEMPIO 5.3

Necessario determinare i principali momenti d'inerzia centrali della sezione composita mostrati in (Fig. 5.11).

La procedura risolutiva è dettagliata nell'Esempio 5.2.

1. Dividiamo la sezione in figure separate, le cui caratteristiche geometriche sono riportate nella tabella dell'assortimento (trave a I e canale) o sono facilmente calcolabili utilizzando le formule (5.10) - (5.20) (in questo esempio, un rettangolo) e disegnare i loro assi centrali.

2. Disegniamo l'asse di simmetria Y. Il baricentro dell'intera sezione giace su questo asse.

3. Selezionare un asse Z arbitrario. In questo esempio, questo asse coincide con l'asse Z 3 .

4. La distanza in C è determinata da un asse arbitrario Zal baricentro dell'intera sezione:

Le distanze da un asse Z scelto arbitrariamente "all'asse centrale di ciascuna figura (y 1, y 2, y 3) sono mostrate in Fig. 5.11.

Le aree della sezione trasversale del canale A 1 e della trave a I A 2 vengono scritte dalle corrispondenti tabelle dell'assortimento e viene calcolata l'area del rettangolo A 3:

A 1 \u003d 23,4 cm 2, A 2 \u003d 46,5 cm 2, A 3 \u003d 24 2 \u003d 48 cm 2.

Tracciamo il valore di y C verso l'alto dall'asse Z" (poiché y C > 0) e tracciamo l'asse centrale principale Z a questa distanza.

5. Scriviamo le caratteristiche geometriche dei profili laminati dalla tabella dell'assortimento, tenendo conto della differenza nell'orientamento degli assi nella tabella dell'assortimento e in fig. 5.12a, c.

1. Canale numero 20

GOST 8240-89

(Fig. 5.12a)
;

I-beam n. 30

GOST 8239-89

(Fig. 5.12b)
h= 30 cm.

La lettera "c" nell'indice dei momenti di inerzia assiali I indica un riferimento alla designazione degli assi nell'assortimento.

I momenti di inerzia del rettangolo (Fig. 5.12c) sono calcolati separatamente utilizzando le formule (5.10) e (5.11):

6. Determinare le distanze dagli assi centrali comuni Y e Z agli assi centrali delle singole figure (sono mostrate in Fig. 5.11):

poiché gli assi Y 1, Y 2, Y 3 coincidono con l'asse di simmetria dell'intera sezione Y.

7. Determiniamo i momenti d'inerzia assiali di una figura complessa rispetto agli assi centrali Z e Y secondo le formule (5.9):

momento d'inerzia centrifugo
poiché l'asse Y è l'asse di simmetria. Pertanto, gli assi Z e Y sono gli assi centrali principali.

I momenti di inerzia delle sezioni sono integrali della forma seguente:

a;

- momento d'inerzia assiale della sezione attorno all'asse z;

è il momento d'inerzia centrifugo della sezione;

è il momento d'inerzia polare della sezione.

3.2.1. Sezione Proprietà del momento d'inerzia

La dimensione dei momenti di inerzia è [lunghezza 4 ], solitamente [ m 4 ] o [ centimetro 4 ].

I momenti di inerzia assiali e polari sono sempre positivi. Il momento d'inerzia centrifugo può essere positivo, negativo o nullo.

Vengono chiamati gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero principali assi di inerzia sezioni.

Gli assi di simmetria sono sempre principali. Se almeno uno dei due assi reciprocamente perpendicolari è un asse di simmetria, allora entrambi gli assi sono principali.

Il momento d'inerzia di una sezione composta è uguale alla somma dei momenti d'inerzia degli elementi di questa sezione.

Il momento d'inerzia polare è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali.

Proviamo l'ultima proprietà. In sezione trasversale con area MA per piattaforma elementare dA raggio vettore ρ e coordinate a e z(Fig. 6) sono collegati dal teorema di Pitagora: ρ 2 = a 2 + z 2. Quindi

Riso. 6. Relazione tra coordinate polari e cartesiane

parco giochi elementare

3.2.2. Momenti di inerzia delle figure più semplici

A sezione rettangolare(Fig. 7) scegliere un'area elementare dA con coordinate y e z e zona dA = diz.

Riso. 7. Sezione rettangolare

Momento d'inerzia assiale rispetto all'asse a

.

Allo stesso modo, otteniamo il momento di inerzia attorno all'asse z:

Perché il a e z sono gli assi di simmetria, quindi il momento centrifugo D zy = 0.

Per cerchio diametro d i calcoli sono semplificati se si tiene conto della simmetria circolare e si utilizzano le coordinate polari. Prendiamo come area elementare un anello infinitamente sottile di raggio ρ e spessore dρ (Fig. 8). La sua zona dA= 2πρ dρ. Allora il momento d'inerzia polare è:

.

Riso. 8. Sezione rotonda

Come mostrato sopra, i momenti di inerzia assiali attorno a qualsiasi asse centrale sono uguali e uguali a

.

Momento d'inerzia anelli troviamo come differenza tra i momenti di inerzia di due cerchi - quello esterno (con un diametro D) e interno (con un diametro d):

Momento d'inerzia io z triangolo definiamo relativo all'asse passante per il baricentro (Fig. 9). Ovviamente, la larghezza di una striscia elementare posta a distanza a fuori asse z, è uguale a

Di conseguenza,

Riso. 9. Sezione triangolare

3.3. Relazioni tra momenti d'inerzia rispetto ad assi paralleli

Con valori noti dei momenti di inerzia rispetto agli assi z e a determinare i momenti di inerzia rispetto ad altri assi z 1 e y 1 parallela a quelle date. Usando la formula generale per i momenti di inerzia assiali, troviamo

Se gli assi z e y centrale, quindi
, e

Dalle formule ottenute si evince che i momenti di inerzia rispetto agli assi centrali (quando
) hanno i valori più piccoli rispetto ai momenti di inerzia rispetto a qualsiasi altro assi paralleli.

3.4. Assi principali e momenti d'inerzia principali

Quando gli assi vengono ruotati di un angolo α, il momento d'inerzia centrifugo diventa uguale a

.

Determiniamo la posizione dei principali assi di inerzia principali tu, v riguardo quale

,

dove α 0 è l'angolo di cui devono essere ruotati gli assi y e z per farli diventare i principali.

Poiché la formula fornisce due valori di angolo e
, allora ci sono due assi principali reciprocamente perpendicolari. L'asse massimo forma sempre un angolo più piccolo ( ) con uno degli assi ( z o y), rispetto al quale momento assiale l'inerzia conta di più. Ricordiamo che gli angoli positivi sono tracciati dall'asse z Antiorario.

Si chiamano i momenti di inerzia rispetto agli assi principali principali momenti di inerzia. Si può dimostrare che loro

.

Il segno più davanti al secondo termine si riferisce al momento di inerzia massimo, il segno meno al minimo.

Momento d'inerzia assiale (o equatoriale) della sezione circa qualche asse è detto preso su tutta la sua area F dF dai quadrati delle loro distanze da questo asse, cioè

Il momento d'inerzia polare di una sezione rispetto ad un certo punto (polo) viene rilevato su tutta la sua area F somma dei prodotti delle aree elementari dF dai quadrati delle loro distanze da questo punto, cioè

Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione rispetto a due assi tra loro perpendicolari è detto ripreso su tutta la sua area F somma dei prodotti delle aree elementari dF alla loro distanza da questi assi, cioè

I momenti di inerzia sono espressi in cm 4, m 4, ecc. I momenti di inerzia assiale e polare sono sempre positivi, poiché le loro espressioni sotto i segni degli integrali comprendono i valori delle aree dF(sempre positivo) ei quadrati delle distanze di questi siti dall'asse o dal polo dato.

La Figura 2.3 mostra una sezione trasversale con un'area F e mostrare gli assi a e X.

Riso. 2.3. Sezione zona F.

Momenti d'inerzia assiali di questa sezione relativi agli assi a e X:

La somma di questi momenti di inerzia

Di conseguenza,

La somma dei momenti d'inerzia assiali di una sezione attorno a due assi reciprocamente perpendicolari è uguale al momento d'inerzia polare di questa sezione attorno al punto di intersezione di questi assi.

I momenti di inerzia centrifuga possono essere positivi o nulli. Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione attorno ad assi, uno o entrambi coincidenti con i suoi assi di simmetria, è uguale a zero. Il momento d'inerzia assiale di una sezione complessa attorno a un certo asse è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali delle sue parti costituenti attorno allo stesso asse. Allo stesso modo, il momento di inerzia centrifuga di una sezione complessa attorno a due assi qualsiasi tra loro perpendicolari è uguale alla somma dei momenti di inerzia centrifuga delle sue parti costituenti attorno agli stessi assi. Inoltre, il momento d'inerzia polare di una sezione complessa rispetto ad un certo punto è uguale alla somma dei momenti d'inerzia polari delle sue parti costituenti rispetto allo stesso punto. Va tenuto presente che i momenti di inerzia calcolati rispetto a diversi assi e punti non possono essere sommati.

Per rettangolo

Per un cerchio

Per l'anello

Spesso, quando si risolvono problemi pratici, è necessario determinare i momenti di inerzia di una sezione rispetto ad assi orientati in modo diverso nel suo piano. In questo caso, è conveniente utilizzare i valori già noti dei momenti di inerzia dell'intera sezione (o delle sue singole parti) rispetto ad altri assi, riportati nella letteratura tecnica, libri e tabelle di riferimento speciali, nonché calcolato con le formule disponibili. Pertanto, è molto importante stabilire la relazione tra i momenti di inerzia di una stessa sezione rispetto ad assi diversi.

Nel caso più generale, il passaggio da any vecchio a qualunque nuovo sistema di coordinate può essere considerato come due trasformazioni successive del vecchio sistema di coordinate:

1) di trasferimento parallelo coordinare gli assi in una nuova posizione;

2) ruotandoli rispetto alla nuova origine.

Di conseguenza,

Se l'asse X passa per il baricentro della sezione, quindi il momento statico S x= 0 e

Di tutti i momenti di inerzia attorno ad assi paralleli, il momento di inerzia assiale ha il valore più piccolo attorno all'asse passante per il baricentro della sezione.

Momento d'inerzia rispetto all'asse a

Nel caso particolare in cui l'asse / passa per il baricentro della sezione,

momento d'inerzia centrifugo

In un caso particolare, quando l'origine del vecchio sistema di coordinate y0x situato nel baricentro della sezione,

Se la sezione è simmetrica e uno dei vecchi assi (o entrambi) coincide con l'asse di simmetria, allora