3.3.1. Pompa centrifuga sommergibile In questa sezione considereremo l'opzione con una pompa centrifuga sommergibile NPTs-750 Uso l'acqua dalla primavera da aprile a ottobre. Lo pompaggio con una pompa centrifuga sommergibile NPTs-750 / 5nk (la prima cifra indica il consumo di energia in watt,

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DELLE SEZIONI PIATTE.

Come mostra l'esperienza, la resistenza dell'asta a varie deformazioni dipende non solo dalle dimensioni della sezione trasversale, ma anche dalla forma.

Le dimensioni e la forma della sezione trasversale sono caratterizzate da diverse caratteristiche geometriche: area della sezione trasversale, momenti statici, momenti di inerzia, momenti di resistenza, ecc.

1. Momento statico dell'area(momento di inerzia del primo grado).

Momento d'inerzia statico area relativa a qualsiasi asse, è la somma dei prodotti delle aree elementari a distanza da tale asse, estesa all'intera area (Fig. 1)

Proprietà del momento statico dell'area:

1. Il momento statico dell'area è misurato in unità di lunghezza del terzo grado (ad esempio cm 3).

2. Il momento statico può essere minore di zero, maggiore di zero e, quindi, uguale a zero. Gli assi rispetto ai quali il momento statico è uguale a zero passano per il baricentro della sezione e sono detti assi centrali.

Se xc e yc sono le coordinate del baricentro, quindi

3. Il momento d'inerzia statico di una sezione complessa rispetto a qualsiasi asse è uguale alla somma dei momenti statici dei componenti sezioni semplici circa lo stesso asse.

Il concetto di momento d'inerzia statico nella scienza della forza viene utilizzato per determinare la posizione del baricentro delle sezioni, anche se va ricordato che nelle sezioni simmetriche il baricentro si trova all'intersezione degli assi di simmetria.

2. Momento d'inerzia sezioni piatte(cifre) (momenti di inerzia di secondo grado).

ma) assiale Momento d'inerzia (equatoriale).

Momento d'inerzia assiale l'area di una figura relativa a un qualsiasi asse è la somma dei prodotti delle aree elementari per quadrato della distanza di questo asse di distribuzione sull'intera area (Fig. 1)

Proprietà del momento d'inerzia assiale.

1. Il momento d'inerzia assiale dell'area è misurato in unità della lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia assiale è sempre maggiore di zero.

3. Il momento d'inerzia assiale di una sezione complessa rispetto a un qualsiasi asse è uguale alla somma dei momenti assiali delle sezioni semplici costituenti rispetto allo stesso asse:

4. Il valore del momento di inerzia assiale caratterizza la capacità di un'asta (trave) di una certa sezione trasversale di resistere alla flessione.

B) momento polare inerzia.

Momento d'inerzia polare L'area di una figura relativa a un polo è la somma dei prodotti delle aree elementari per quadrato della distanza dal polo, estesa all'intera area (Fig. 1).

Proprietà del momento d'inerzia polare:

1. Il momento d'inerzia polare dell'area è misurato in unità di lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia polare è sempre maggiore di zero.

3. Il momento d'inerzia polare di una sezione complessa rispetto a un qualsiasi polo (centro) è uguale alla somma dei momenti polari dei componenti di sezioni semplici rispetto a tale polo.

4. Il momento d'inerzia polare di una sezione è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali di questa sezione attorno a due assi tra loro perpendicolari passanti per il polo.

5. L'entità del momento di inerzia polare caratterizza la capacità di un'asta (trave) di una certa forma della sezione trasversale di resistere alla torsione.

c) momento d'inerzia centrifugo.

IL MOMENTO CENTRIFUGO DI INERZIA dell'area della figura relativa a qualsiasi sistema di coordinate è la somma dei prodotti delle aree elementari per coordinate, estesa all'intera area (Fig. 1)

Proprietà del momento d'inerzia centrifuga:

1. Il momento d'inerzia centrifuga dell'area è misurato in unità di lunghezza della quarta potenza (ad esempio cm 4).

2. Il momento d'inerzia centrifugo può essere maggiore di zero, minore di zero e uguale a zero. Gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero sono detti assi d'inerzia principali. Due assi tra loro perpendicolari, di cui almeno uno è un asse di simmetria, saranno gli assi principali. Gli assi principali passanti per il baricentro dell'area sono chiamati assi centrali principali e i momenti di inerzia assiali dell'area sono chiamati principali momenti centrali inerzia.

3. Il momento di inerzia centrifuga di una sezione complessa in qualsiasi sistema di coordinate è uguale alla somma dei momenti di inerzia centrifuga delle figure costituenti nello stesso schema di coordinate.

MOMENTI DI INERZIA RELATIVI AD ASSI PARALLELI.

Fig.2

Dato: assi x, y- centrale;

quelli. momento assiale di inerzia in una sezione attorno ad un asse parallelo a quello centrale è uguale al momento assiale attorno al suo asse centrale più il prodotto dell'area per il quadrato della distanza tra gli assi. Ne consegue che il momento d'inerzia assiale della sezione rispetto all'asse centrale ha un valore minimo nel sistema di assi paralleli.

Dopo aver effettuato calcoli simili per il momento d'inerzia centrifugo, otteniamo:

Jx1y1=Jxy+Aab

quelli. il momento centrifugo di inerzia della sezione attorno ad assi paralleli al sistema di coordinate centrale è uguale al momento centrifugo nel sistema di coordinate centrale più il prodotto dell'area per la distanza tra gli assi.

MOMENTI DI INERZIA IN UN SISTEMA A COORDINATE ROTATE

quelli. la somma dei momenti d'inerzia assiali della sezione è un valore costante, non dipende dall'angolo di rotazione degli assi coordinati ed è uguale al momento d'inerzia polare rispetto all'origine. Il momento d'inerzia centrifugo può cambiare il suo valore e portarsi a "0".

Gli assi attorno ai quali il momento centrifugo è uguale a zero saranno gli assi di inerzia principali e, se passano per il baricentro, sono chiamati assi di inerzia principali e sono indicati " u" e "".

I momenti di inerzia attorno agli assi centrali principali sono chiamati momenti di inerzia centrali principali e sono indicati , e i principali momenti centrali di inerzia hanno valori estremi, cioè uno è "min" e l'altro è "max".

Lascia che l'angolo "a 0" caratterizzi la posizione degli assi principali, quindi:

in base a questa dipendenza determiniamo la posizione degli assi principali. Il valore dei principali momenti di inerzia dopo alcune trasformazioni è determinato dalla seguente dipendenza:

ESEMPI DI DETERMINAZIONE DI MOMENTI ASSIALI DI INERZIA, MOMENTI DI INERZIA POLARI E MOMENTI DI RESISTENZA DI SEMPLICI FIGURE.

1. Sezione rettangolare

assi X e y - qui e in altri esempi - i principali assi centrali di inerzia.

Determiniamo i momenti assiali di resistenza:

2. Sezione solida rotonda. momenti di inerzia.

Assumiamo che esista un sistema di coordinate con origine nel punto O e assi OX; OY; oncia In relazione a questi assi, i momenti d'inerzia centrifughi (prodotti di inerzia) sono detti quantità, che sono determinati dalle uguaglianze:

dove sono le masse punti materiali in cui il corpo è rotto; - coordinate dei punti materiali corrispondenti.

Il momento d'inerzia centrifugo ha una proprietà di simmetria, che segue dalla sua definizione:

I momenti centrifughi del corpo possono essere positivi e negativi, con una certa scelta degli assi OXYZ, possono svanire.

Per i momenti di inerzia centrifughi, esiste un analogo del teorema di Steinberg. Se consideriamo due sistemi di coordinate: e . Uno di questi sistemi ha l'origine delle coordinate al centro di massa del corpo (punto C), gli assi dei sistemi di coordinate sono paralleli a coppie (). Lascia che nel sistema di coordinate le coordinate del centro di massa del corpo siano (), quindi:

dov'è la massa del corpo.

Principali assi di inerzia del corpo

Lascia che un corpo omogeneo abbia un asse di simmetria. Costruiamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse OZ sia diretto lungo l'asse di simmetria del corpo. Quindi, come conseguenza della simmetria, ad ogni punto del corpo con massa e coordinate corrisponde un punto che ha indice diverso, ma stessa massa e coordinate: . Di conseguenza, otteniamo che:

poiché in queste somme tutti i termini hanno la loro uguale in grandezza, ma opposti nella coppia di segni. Le espressioni (4) equivalgono a scrivere:

Abbiamo ottenuto che la simmetria assiale della distribuzione di massa rispetto all'asse OZ è caratterizzata dallo zero di due momenti d'inerzia centrifughi (5), che contengono il nome di tale asse tra i loro indici. In questo caso, l'asse OZ è chiamato asse di inerzia principale del corpo per il punto O.

L'asse principale di inerzia non è sempre l'asse di simmetria del corpo. Se il corpo ha un piano di simmetria, allora qualsiasi asse perpendicolare a questo piano è l'asse di inerzia principale per il punto O, in corrispondenza del quale l'asse interseca il piano in esame. Le uguaglianze (5) riflettono le condizioni che l'asse OZ è l'asse principale di inerzia del corpo per il punto O (l'origine delle coordinate). Se le condizioni sono soddisfatte:

quindi l'asse OY sarà l'asse di inerzia principale per il punto O.

Se le uguaglianze sono soddisfatte:

quindi tutti e tre gli assi delle coordinate del sistema di coordinate OXYZ sono i principali assi di inerzia del corpo per l'origine.

I momenti di inerzia del corpo rispetto agli assi di inerzia principali sono detti i momenti di inerzia principali del corpo. I principali assi di inerzia, che sono costruiti per il centro di massa del corpo, sono chiamati i principali assi centrali di inerzia del corpo.

Se il corpo ha un asse di simmetria, allora è uno dei principali assi centrali di inerzia del corpo, poiché il centro di massa si trova su questo asse. Nel caso in cui il corpo abbia un piano di simmetria, l'asse normale a questo piano e passante per il centro di massa del corpo è uno dei principali assi centrali di inerzia del corpo.

Il concetto di principali assi di inerzia nella dinamica di un corpo rigido è essenziale. Se gli assi coordinati OXYZ sono diretti lungo di essi, tutti i momenti di inerzia centrifuga diventano uguali a zero, mentre le formule che dovrebbero essere utilizzate per risolvere problemi di dinamica sono notevolmente semplificate. Il concetto dei principali assi di inerzia è connesso con la soluzione di problemi sull'equazione dinamica di un corpo in rotazione e sul centro d'impatto.

Il momento d'inerzia di un corpo (anche centrifugo) nel sistema internazionale di unità si misura in:

Momento d'inerzia centrifugo della sezione

Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione (figura piatta) attorno a due assi tra loro normali (OX e OY) è un valore pari a:

l'espressione (8) dice che il momento d'inerzia centrifugo della sezione relativa ad assi tra loro perpendicolari è la somma dei prodotti delle aree elementari () per le distanze da esse agli assi considerati, sull'intera area S.

L'unità di misura dei momenti di inerzia di una sezione in SI è:

Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione complessa rispetto a due assi qualsiasi tra loro normali è uguale alla somma dei momenti d'inerzia centrifughi delle sue parti costituenti rispetto a questi assi.

Esempi di problem solving

ESEMPIO 1

Considera alcune altre caratteristiche geometriche delle figure piane. Viene chiamata una di queste funzionalità assiale o equatoriale momento d'inerzia. Questa caratteristica rispetto agli assi e
(Fig.4.1) assume la forma:

;
. (4.4)

La principale proprietà del momento di inerzia assiale è che non può essere minore o uguale a zero. Questo momento di inerzia è sempre maggiore di zero:
;
. L'unità di misura del momento d'inerzia assiale è (lunghezza 4).

Collega l'origine delle coordinate con un segmento di linea retta con area infinitesima
e denota questo segmento con la lettera (Fig.4.4). Il momento d'inerzia della figura relativa al polo - l'origine - è chiamato momento d'inerzia polare:

. (4.5)

Questo momento di inerzia, come quello assiale, è sempre maggiore di zero (
) e ha dimensione – (lunghezza 4).

Scriviamo condizione di invarianza somme di momenti di inerzia equatoriali attorno a due assi reciprocamente perpendicolari. La Figura 4.4 lo mostra
.

Sostituiamo questa espressione nella formula (4.5), otteniamo:

La condizione di invarianza è formulata come segue: la somma dei momenti di inerzia assiali attorno a due assi qualsiasi tra loro perpendicolari è un valore costante ed uguale al momento di inerzia polare attorno al punto di intersezione di questi assi.

Viene chiamato il momento d'inerzia di una figura piana attorno a due assi reciprocamente perpendicolari contemporaneamente biassiale o centrifugo momento d'inerzia. Il momento d'inerzia centrifugo ha la seguente forma:

. (4.7)

Il momento d'inerzia centrifugo ha dimensione - (lunghezza 4). Può essere positivo, negativo o zero. Vengono chiamati gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero principali assi di inerzia. Dimostriamo che l'asse di simmetria di una figura piana è l'asse principale.

Si consideri la figura piatta mostrata nella Figura 4.5.

Scegliamo a sinistra ea destra dell'asse di simmetria due elementi di area infinitesima
. Il baricentro dell'intera figura è nel punto C. Poniamo l'origine nel punto C e indichiamo le coordinate verticali degli elementi selezionati con la lettera “ ”, orizzontalmente – per l'elemento sinistro “
”, per l'elemento giusto “ ". Calcoliamo la somma dei momenti d'inerzia centrifughi per gli elementi selezionati con un'area infinitamente piccola rispetto agli assi e :

Se integriamo l'espressione (4.8) a sinistra ea destra, otteniamo:

, (4.9)

poiché se l'asse è un asse di simmetria, quindi per ogni punto che giace a sinistra di questo asse, ce ne sarà sempre uno simmetrico.

Analizzando la soluzione ottenuta, giungiamo alla conclusione che l'asse di simmetria è il principale asse di inerzia. asse centrale è anche l'asse principale, sebbene non sia un asse di simmetria, poiché il momento di inerzia centrifuga è stato calcolato contemporaneamente per due assi e e si è rivelato zero.

Il momento d'inerzia assiale è uguale alla somma dei prodotti delle aree elementari e del quadrato della distanza dall'asse corrispondente.

(8)

Il segno è sempre "+".

Non è uguale a 0.

Proprietà: Accetta valore minimo quando il punto di intersezione degli assi coordinati coincide con il baricentro della sezione.

Il momento d'inerzia assiale della sezione viene utilizzato nei calcoli di resistenza, rigidità e stabilità.

1.3. Momento d'inerzia polare della sezione Jρ

(9)

Relazione tra momenti di inerzia polari e assiali:

(10)

(11)

Il momento d'inerzia polare della sezione è uguale alla somma dei momenti assiali.

Proprietà:

ruotando gli assi in qualsiasi direzione, uno dei momenti di inerzia assiale aumenta, mentre l'altro diminuisce (e viceversa). La somma dei momenti di inerzia assiali rimane costante.

1.4. Momento d'inerzia centrifuga della sezione Jxy

Il momento d'inerzia centrifugo della sezione è uguale alla somma dei prodotti delle aree elementari per le distanze di entrambi gli assi

(12)

Unità di misura [cm 4 ], [mm 4 ].

Segno "+" o "-".

, se gli assi delle coordinate sono assi di simmetria (esempio - trave a I, rettangolo, cerchio) o uno degli assi delle coordinate coincide con l'asse di simmetria (esempio - canale).

Pertanto, per figure simmetriche, il momento d'inerzia centrifugo è 0.

Coordinare gli assi tu e v , passanti per il baricentro della sezione, rispetto alla quale il momento centrifugo è zero principali assi centrali di inerzia della sezione. Sono detti principali perché il momento centrifugo ad essi relativo è zero, e centrali perché attraversano il baricentro della sezione.

Per le sezioni che non hanno simmetria rispetto agli assi X o y , ad esempio all'angolo, non sarà zero. Per queste sezioni determinare la posizione degli assi tu e v calcolando l'angolo di rotazione degli assi X e y

(13)

Momento centrifugo sugli assi tu e v -

Formula per determinare i momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi centrali principali tu e v :

(14)

dove
- momenti di inerzia assiali rispetto agli assi centrali,

- momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi centrali.

1.5. Momento d'inerzia attorno ad un asse parallelo a quello centrale (teorema di Steiner)

Teorema di Steiner:

Il momento di inerzia attorno ad un asse parallelo a quello centrale è uguale al momento di inerzia assiale centrale più il prodotto dell'area dell'intera figura per il quadrato della distanza tra gli assi.

(15)

Dimostrazione del teorema di Steiner.

Secondo la fig. 5 distanza a alla piattaforma elementare dF

Valore sostitutivo a nella formula otteniamo:

termine
, poiché il punto C è il baricentro della sezione (vedi proprietà dei momenti statici dell'area della sezione rispetto agli assi centrali).

Per un rettangolo con un'altezzah e larghezzaB :

Momento d'inerzia assiale:

Momento flettente:

il momento di resistenza alla flessione è uguale al rapporto tra il momento di inerzia e la distanza della fibra più distante dalla linea neutra:

perché
, poi

Per il cerchio:

Momento d'inerzia polare:

Momento d'inerzia assiale:

Momento torsionale:

Perché
, poi

Momento flettente:

Esempio 2. Determinare il momento d'inerzia di una sezione rettangolare attorno all'asse centrale DA X .

Soluzione. Dividi l'area del rettangolo in rettangoli elementari con dimensioni B (larghezza) e dio (altezza). Quindi l'area di un tale rettangolo (ombreggiato in Fig. 6) è uguale a dF=bdi. Calcolare il valore del momento di inerzia assiale J X

Per analogia, scriviamo

- momento d'inerzia assiale della sezione rispetto alla centrale

momento d'inerzia centrifugo

, poiché gli assi DA X e C y sono gli assi di simmetria.

Esempio 3. Determinare il momento d'inerzia polare di una sezione trasversale circolare.

Soluzione. Rompiamo il cerchio in anelli di spessore infinitamente sottili
raggio , l'area di un tale anello
. Valore sostitutivo
integrando nell'espressione per il momento d'inerzia polare, otteniamo

Considerando l'uguaglianza dei momenti assiali di sezione circolare
e

, noi abbiamo

I momenti di inerzia assiali per l'anello sono

daè il rapporto tra il diametro del taglio e il diametro esterno dell'albero.

Lezione n. 2 "Principali assi emette in risaltoinerzia

Considera come cambiano i momenti di inerzia quando gli assi delle coordinate vengono ruotati. Assumiamo che i momenti di inerzia di una certa sezione attorno agli assi 0 X, 0a(non necessariamente centrale) - ,- momenti d'inerzia assiali della sezione. Necessario per definire ,- momenti assiali relativi agli assi tu,v, ruotato rispetto al primo sistema di un angolo
(Fig. 8)

Poiché la proiezione della linea spezzata OABS è uguale alla proiezione di quella di chiusura, troviamo:

(15)

Escludiamo u e v nelle espressioni per i momenti di inerzia:

(18)

Considera le prime due equazioni. Aggiungendoli termine per termine, otteniamo

Pertanto, la somma dei momenti di inerzia assiali attorno a due assi reciprocamente perpendicolari non dipende dall'angolo
e rimane costante quando gli assi vengono ruotati. Notiamo allo stesso tempo che

Dove - distanza dall'origine delle coordinate all'area elementare (vedi Fig. 5). In questo modo

Dove - già familiare momento di inerzia polare:

Determiniamo il momento d'inerzia assiale del cerchio rispetto al diametro.

Poiché, a causa della simmetria
ma, come sai,

Pertanto, per il cerchio

Con una modifica dell'angolo di rotazione degli assi
valori di momento e cambia, ma l'importo rimane lo stesso. Pertanto, esiste un tale valore
, in cui uno dei momenti di inerzia raggiunge il suo valore massimo, mentre l'altro momento assume il suo valore minimo. Differenziare l'espressione per angolo
e uguagliando la derivata a zero, troviamo

(19)

Con questo valore angolare
uno dei momenti assiali sarà il maggiore e l'altro il minore. Allo stesso tempo, il momento d'inerzia centrifugo
svanisce, che può essere facilmente verificato equiparando a zero la formula del momento di inerzia centrifugo
.

Vengono chiamati gli assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero e i momenti assiali assumono valori estremi principaleassi. Se sono anche centrali (il punto di origine coincide con il baricentro della sezione), vengono chiamati assi centrali principali (tu; v). Si chiamano i momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi principali principali momenti di inerziae

E il loro valore è determinato dalla seguente formula:

(20)

Il segno più corrisponde al momento di inerzia massimo, il segno meno - al minimo.

C'è un'altra caratteristica geometrica - raggio di rotazione sezioni. Questo valore viene spesso utilizzato nelle conclusioni teoriche e nei calcoli pratici.

Ad esempio, il raggio di rotazione della sezione relativa a un asse 0 X , si chiama quantità , determinato dall'uguaglianza

(21)

F - area della sezione trasversale,

- momento d'inerzia assiale della sezione,

Dalla definizione consegue che il raggio di rotazione è uguale alla distanza dall'asse 0 X al punto in cui l'area della sezione (condizionale) F dovrebbe essere concentrata in modo che il momento di inerzia di questo punto sia uguale al momento di inerzia dell'intera sezione. Conoscendo il momento d'inerzia della sezione e la sua area, possiamo trovare il raggio d'inerzia attorno all'asse 0 X:

(22)

Si chiamano i raggi di inerzia corrispondenti agli assi principali principali raggi di inerzia e sono determinati dalle formule

(23)

Lezione 3. Torsione di tondini.