1.Momenti assiali inerzia rispetto ad assi reciprocamente perpendicolari x0y (coincidente con i lati del triangolo) (Fig. 2.17).
Determinare il momento di inerzia attorno ad un asse X Selezioniamo un'area elementare sotto forma di una striscia di larghezza infinitesimale sì, asse parallelo X, a distanza A da lei. Area del sito
. Lunghezza della striscia di) determiniamo dalla somiglianza dei triangoli con le basi di) E B,
Dove 
. Poi 
. Sostituendo questo rapporto nell'espressione per Ix(2.21) e ponendo i limiti di integrazione “0- H", noi abbiamo
.
Definito in modo simile Io sì.
2. Momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi x0y (coincidente con i lati del triangolo)
Il momento d'inerzia centrifugo, per definizione, è uguale a
Usiamo la stessa piattaforma elementare di prima (vedi Fig. 2.17). Come coordinata X prendiamo la coordinata del baricentro della piattaforma elementare
.
Sostituiamo questa espressione, così come la formula for dA sotto l'integrale e integrare nell'intervallo da 0 a H
Pertanto, le formule per i momenti di inerzia della sezione, nella forma triangolo rettangolo, rispetto agli assi coincidenti con le gambe, hanno la forma
Si noti che per la sezione in esame risultano di maggiore interesse i momenti di inerzia attorno agli assi centrali (CO) paralleli ai cateti del triangolo.
3. Momenti d'inerzia rispetto a centri reciprocamente perpendicolari x con sy con (parallelo ai lati del triangolo)
Formule per i momenti di inerzia di un triangolo rettangolo rispetto agli assi x con sy con(vedi Fig. 2.17) si ottiene facilmente utilizzando le espressioni (2.24), così come il teorema su trasferimento parallelo assi, secondo cui:
momenti di inerzia assiale 
; 
;
momento d'inerzia centrifugo 
.
Qui: UN, e– coordinate del baricentro della sezione nel sistema di coordinate x0y
Sostituendo queste espressioni, così come le relazioni (2.24) nelle formule sopra, otteniamo
(2.25)
Si noti che l'orientamento della sezione rispetto agli assi influenza il segno del momento d'inerzia centrifugo. Per l'orientamento in esame si è scoperto che<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ A(secondo e quarto quarto di coordinata). Ciò determina il segno negativo del momento d'inerzia centrifugo risultante. Di seguito sono riportati i diagrammi con diversi orientamenti di un triangolo rettangolo rispetto ai centri paralleli ai lati per i quali è indicato il segno.
Quando si controlla la resistenza di parti di strutture, dobbiamo incontrare sezioni di forme piuttosto complesse, per le quali è impossibile calcolare il momento di inerzia in modo così semplice come abbiamo usato per un rettangolo e un cerchio.
Tale sezione potrebbe essere, ad esempio, una barra a T (Fig. 5 UN) sezione anulare di un tubo soggetto a flessione (strutture di aeromobili) (Fig. 5, B), sezione anulare del perno dell'albero o sezioni anche più complesse. Tutte queste sezioni possono essere divise in sezioni semplici, come rettangoli, triangoli, cerchi, ecc. Si può dimostrare che il momento d'inerzia di una figura così complessa è la somma dei momenti d'inerzia delle parti in cui la dividiamo.
Fig.5. Profili a T - a) e anello b)
È noto che il momento di inerzia di qualsiasi figura rispetto all'asse A— A uguale a:
Dove z— distanza dei cuscinetti elementari dall'asse A—A.
Dividiamo l'area presa in quattro parti: , , e . Ora, quando calcoli il momento d'inerzia, puoi raggruppare i termini nella funzione integranda in modo da eseguire separatamente la somma per ciascuna delle quattro aree selezionate, e quindi sommare queste somme. Ciò non modificherà il valore dell'integrale.
Il nostro integrale sarà diviso in quattro integrali, ciascuno dei quali coprirà una delle aree, , e:
Ciascuno di questi integrali rappresenta il momento di inerzia della corrispondente parte dell'area rispetto all'asse A— A; Ecco perché
dove è il momento di inerzia attorno all'asse A — A area, - lo stesso per area, ecc.
Il risultato ottenuto può essere formulato come segue: il momento d'inerzia di una figura complessa pari alla somma momenti di inerzia delle sue parti costituenti. Pertanto, dobbiamo essere in grado di calcolare il momento di inerzia di qualsiasi figura rispetto a qualsiasi asse giacente nel suo piano.
La soluzione a questo problema è il contenuto di questa e delle due prossime interviste.
Momenti d'inerzia rispetto ad assi paralleli.
Il compito di ottenere le formule più semplici per calcolare il momento di inerzia di qualsiasi figura rispetto a qualsiasi asse verrà risolto in più passaggi. Se prendiamo una serie di assi paralleli tra loro, risulta che possiamo facilmente calcolare i momenti di inerzia di una figura rispetto a uno qualsiasi di questi assi, conoscendo il suo momento di inerzia rispetto a un asse passante per il centro di gravità della figura parallelamente agli assi scelti.
Fig. 1. Modello di calcolo per la determinazione dei momenti di inerzia per assi paralleli.
Chiameremo gli assi passanti per il baricentro assi centrali. Prendiamo (Fig. 1) una figura arbitraria. Disegniamo l'asse centrale UO, chiameremo momento d'inerzia attorno a questo asse . Disegniamo un asse nel piano della figura parallelo assi A a distanza da lei. Troviamo la relazione tra e - il momento di inerzia attorno all'asse. Per fare ciò, scriveremo le espressioni for e . Dividiamo l'area della figura in aree; le distanze di ciascuna di tali piattaforme dagli assi A e chiamiamo e . Poi
Dalla Fig. 1 abbiamo:
Il primo di questi tre integrali è il momento d'inerzia attorno all'asse centrale UO. Il secondo è il momento statico attorno allo stesso asse; è uguale a zero, poiché l'asse A passa per il baricentro della figura. Infine, il terzo integrale è uguale all'area della figura F. Così,
| (1) |
cioè, il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse è uguale al momento di inerzia attorno all'asse centrale parallelo a quello dato, più il prodotto dell'area della figura e il quadrato della distanza tra gli assi.
Ciò significa che il nostro compito si è ora ridotto al calcolo dei soli momenti d'inerzia centrali; se li conosciamo, possiamo calcolare il momento d'inerzia attorno a qualsiasi altro asse. Dalla formula (1) segue che centrale il momento di inerzia è il più piccolo tra i momenti di inerzia rispetto agli assi paralleli e per esso si ottiene:
Troviamo anche il momento d'inerzia centrifugo attorno agli assi paralleli a quelli centrali, se noto (Fig. 1). Poiché per definizione
dove: , allora segue
Poiché gli ultimi due integrali rappresentano momenti statici dell'area attorno agli assi centrali UO E Oz poi svaniscono e, quindi:
| (2) |
Il momento d'inerzia centrifugo relativo a un sistema di assi reciprocamente perpendicolari paralleli a quelli centrali è uguale al momento d'inerzia centrifugo relativo a questi assi centrali più il prodotto dell'area della figura e le coordinate del suo baricentro rispetto ai nuovi assi.
Il rapporto tra i momenti di inerzia durante la rotazione degli assi.
Puoi disegnare tutti gli assi centrali che desideri. Sorge la questione se sia possibile esprimere il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse centrale in base al momento di inerzia attorno a uno o due certo assi. Per fare ciò, vediamo come cambiano i momenti di inerzia attorno a due assi reciprocamente perpendicolari quando vengono ruotati di un angolo.
Prendiamo una figura e disegniamola attraverso il suo centro di gravità DI due assi tra loro perpendicolari UO E Oz(Fig.2).
Fig.2. Modello di calcolo per la determinazione dei momenti di inerzia per assi ruotati.
Conosciamo i momenti d'inerzia assiali attorno a questi assi, nonché il momento d'inerzia centrifugo. Disegniamo un secondo sistema di assi coordinati ed inclinato rispetto al primo ad angolo; considereremo la direzione positiva di questo angolo quando ruotiamo gli assi attorno al punto DI Antiorario. Origine DI salva. Esprimiamo i momenti relativi al secondo sistema di assi di coordinate e , attraverso i noti momenti di inerzia e .
Scriviamo le espressioni per i momenti di inerzia attorno a questi assi:
Allo stesso modo:
Per risolvere i problemi, potresti aver bisogno di formule per la transizione da un asse all'altro per il momento di inerzia centrifuga. Ruotando gli assi (Fig. 2) abbiamo:
dove e sono calcolati utilizzando le formule (14.10); Poi
Dopo le trasformazioni otteniamo:
| (7) |
Pertanto, per calcolare il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse centrale, è necessario conoscere i momenti di inerzia rispetto al sistema di due assi centrali qualsiasi reciprocamente perpendicolari UO E Oz, momento d'inerzia centrifugo relativo agli stessi assi e angolo di inclinazione dell'asse rispetto all'asse A.
Per calcolare i valori >, devi scegliere gli assi in questo modo A E z e dividere l'area della figura in parti componenti tali da poter effettuare questo calcolo utilizzando solo formule di transizione dagli assi centrali di ciascuno di essi componenti agli assi ad essi paralleli. Come farlo in pratica verrà mostrato di seguito utilizzando un esempio. Si noti che in questo calcolo le figure complesse devono essere suddivise in parti elementari per le quali, se possibile, sono noti i valori dei momenti di inerzia centrali rispetto al sistema di assi reciprocamente perpendicolari.
Si noti che l'andamento della derivazione ed i risultati ottenuti non sarebbero cambiati se l'origine delle coordinate fosse stata presa non nel baricentro della sezione, ma in qualsiasi altro punto DI. Pertanto, le formule (6) e (7) sono formule per la transizione da un sistema di assi reciprocamente perpendicolari a un altro, ruotato di un certo angolo, indipendentemente dal fatto che si tratti di assi centrali o meno.
Dalle formule (6) si ricava un'altra relazione tra i momenti di inerzia durante la rotazione degli assi. Aggiungendo le espressioni for e otteniamo
cioè la somma dei momenti di inerzia attorno ad eventuali assi reciprocamente perpendicolari A E z non cambia quando vengono ruotati. Sostituendo l'ultima espressione al posto di ed i loro valori, otteniamo:
dov'è la distanza dei siti dF dal punto DI. La grandezza è, come già noto, il momento polare d'inerzia della sezione rispetto al punto DI.
Pertanto, il momento d'inerzia polare di una sezione rispetto a qualsiasi punto è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi reciprocamente perpendicolari che passano attraverso questo punto. Pertanto, questa somma rimane costante quando gli assi vengono ruotati. Questa dipendenza (14.16) può essere utilizzata per semplificare il calcolo dei momenti di inerzia.
Quindi, per un cerchio:
Poiché per simmetria per un cerchio allora
che è stato ottenuto sopra per integrazione.
Analogamente, per una sezione anulare a parete sottile si può ottenere:
Assi principali di inerzia e momenti principali di inerzia.
Come già noto, conoscendo i momenti d'inerzia centrali, e per una data figura, è possibile calcolare il momento d'inerzia relativo a qualsiasi altro asse.
In questo caso, è possibile prendere come sistema principale di assi un sistema in cui le formule sono notevolmente semplificate. È cioè possibile trovare un sistema di assi di coordinate per il quale il momento d'inerzia centrifugo è pari a zero. Infatti i momenti d'inerzia sono sempre positivi, come la somma dei termini positivi, tranne il momento centrifugo
può essere sia positivo che negativo, poiché i termini zydF può essere segno diverso a seconda dei segnali z E A per un sito o per l'altro. Ciò significa che può essere uguale a zero.
Gli assi attorno ai quali si annulla il momento d'inerzia centrifugo si chiamano assi principali inerzia. Se l'inizio di un tale sistema è posto al centro di gravità della figura, allora lo sarà assi centrali principali. Indicheremo questi assi e ; per loro
Troviamo di quale angolo gli assi principali sono inclinati rispetto agli assi centrali yez (Fig. 198).
Fig. 1. Modello di calcolo per determinare la posizione dei principali assi di inerzia.
IN famosa espressione per spostarsi dagli assi sì agli assi, per il momento d'inerzia centrifugo diamo il valore dell'angolo; quindi gli assi e coincideranno con quelli principali, e il momento d'inerzia centrifugo sarà pari a zero:
| (1) |
Questa equazione è soddisfatta da due valori di , diversi di 180°, oppure da due valori di , diversi di 90°. Quindi questa equazione ci dà la posizione due assi, formando tra loro un angolo retto. Questi saranno i principali assi centrali e , per i quali .
Utilizzando questa formula è possibile utilizzare quelle conosciute per ottenere le formule per i principali momenti di inerzia e . Per fare ciò utilizziamo nuovamente le espressioni per i momenti d'inerzia assiali posizione generale. Determinano i valori e se li sostituiamo
| (2) |
Le relazioni risultanti possono essere utilizzate per risolvere problemi. Uno dei principali momenti di inerzia è un altro.
Le formule (2) possono essere trasformate in una forma libera dal valore . Esprimendo e sostituendo i loro valori nella prima formula (2), otteniamo, effettuando contemporaneamente la sostituzione dalla formula (1):
Sostituendo qui la frazione della formula (1) con
noi abbiamo
| (3) |
Alla stessa espressione si può arrivare effettuando una trasformazione simile della seconda formula (3).
Per il sistema principale di assi centrali, da cui ci si può muovere verso qualsiasi altro, si può prendere UO E Oz, e gli assi principali e ; quindi il momento d'inerzia centrifugo () non apparirà nelle formule. Indichiamo l'angolo formato dall'asse , (Fig. 2) con asse principale, Attraverso . Per calcolare , e , spostandosi dagli assi e , è necessario sostituire l'angolo attraverso , a , e nelle espressioni precedentemente trovate per , e , e , e . Di conseguenza otteniamo:
In apparenza, queste formule sono del tutto simili alle formule per le tensioni normali e di taglio lungo due aree reciprocamente perpendicolari in un elemento soggetto a tensione in due direzioni. Indicheremo solo una formula che ci permette di selezionare tra due valori angolari quello che corrisponde alla deviazione del primo asse principale(dando max J) dalla posizione iniziale dell'asse A:
Ora possiamo finalmente formulare cosa bisogna fare per poter calcolare nel modo più semplice il momento d'inerzia di una figura rispetto a un qualsiasi asse. È necessario disegnare gli assi attraverso il centro di gravità della figura UO E Oz per cui, scomponendo la figura nelle sue parti più semplici, possiamo facilmente calcolare i momenti passanti a distanza (Fig. 2) dal baricentro:
In molti casi è possibile tracciare immediatamente gli assi principali della figura; se una figura ha un asse di simmetria, questo sarà uno degli assi principali. Infatti nel derivare la formula abbiamo già trattato dell'integrale, che è il momento d'inerzia centrifugo della sezione rispetto agli assi A E z; è stato dimostrato che se l'asse Ozè l'asse di simmetria, questo integrale svanisce.
Pertanto, in questo caso gli assi UO E Oz Sono principale gli assi centrali di inerzia della sezione. Così, Asse di simmetria- sempre l'asse centrale principale; secondo casa l'asse centrale passa per il baricentro perpendicolare all'asse di simmetria.
Esempio. Trova i momenti di inerzia del rettangolo (Fig. 3) rispetto agli assi e sono pari a:
I momenti di inerzia rispetto agli assi sono pari a:
Il momento d'inerzia centrifugo è uguale a.
Il momento d'inerzia assiale (o equatoriale) di una sezione rispetto a un certo asse è la somma dei prodotti delle aree elementari presi su tutta la sua area F per i quadrati delle loro distanze da questo asse, cioè
Il momento d'inerzia polare di una sezione rispetto ad un certo punto (polo) è la somma dei prodotti delle aree elementari prese su tutta la sua area F per i quadrati delle loro distanze da questo punto, cioè
Il momento d'inerzia centrifugo di una sezione rispetto a due assi reciprocamente perpendicolari è la somma dei prodotti delle aree elementari prese su tutta la sua area F e delle loro distanze da questi assi, cioè
I momenti di inerzia sono espressi in, ecc.
I momenti d'inerzia assiale e polare sono sempre positivi, poiché la loro espressione sotto i segni di integrale comprende i valori delle aree (sempre positivi) e i quadrati delle distanze di queste aree da un dato asse o polo.
Nella fig. 9.5, a mostra una sezione con area F e mostra gli assi y e z. Momenti assiali di inerzia di questa sezione rispetto all'asse y:
La somma di questi momenti di inerzia
e quindi
Pertanto, la somma dei momenti d'inerzia assiali di una sezione rispetto a due assi reciprocamente perpendicolari è uguale al momento d'inerzia polare di questa sezione rispetto al punto di intersezione di questi assi.
I momenti di inerzia centrifughi possono essere positivi, negativi o nulli. Ad esempio, il momento d'inerzia centrifugo della sezione mostrata in Fig. 9.5, a, relativo agli assi y e è positivo, poiché per la maggior parte di questa sezione, situata nel primo quadrante, i valori di , e quindi, sono positivi.
Se si cambia la direzione positiva dell'asse y o la direzione opposta (Fig. 9.5, b) o si ruotano entrambi questi assi di 90° (Fig. 9.5, c), il momento d'inerzia centrifugo diventerà negativo (il suo valore assoluto non cambierà), poiché la parte principale della sezione si troverà quindi in un quadrante per il quale le coordinate y sono positive e le coordinate z sono negative. Se si cambiano le direzioni positive di entrambi gli assi in senso opposto, ciò non cambierà né il segno né l'entità del momento d'inerzia centrifugo.
Consideriamo una figura simmetrica rispetto a uno o più assi (Fig. 10.5). Disegniamo gli assi in modo che almeno uno di essi (in questo caso l'asse y) coincida con l'asse di simmetria della figura. In questo caso, ciascuna piattaforma situata a destra dell'asse corrisponde alla stessa piattaforma situata simmetricamente alla prima, ma a sinistra dell'asse y. Il momento d'inerzia centrifugo di ciascuna coppia di tali piattaforme posizionate simmetricamente è pari a:
Quindi,
Pertanto il momento d'inerzia centrifugo della sezione rispetto agli assi, uno o entrambi coincidenti con i suoi assi di simmetria, è pari a zero.
Il momento d'inerzia assiale di una sezione complessa rispetto ad un determinato asse è uguale alla somma dei momenti d'inerzia assiale delle sue parti costitutive rispetto allo stesso asse.
Allo stesso modo, il momento d'inerzia centrifugo di una sezione complessa rispetto a due assi qualsiasi tra loro perpendicolari è uguale alla somma dei momenti d'inerzia centrifughi delle sue parti costitutive rispetto agli stessi assi. Inoltre, il momento d'inerzia polare di una sezione complessa rispetto a un certo punto è uguale alla somma dei momenti d'inerzia polari delle sue parti costitutive rispetto allo stesso punto.
Va tenuto presente che i momenti di inerzia calcolati rispetto ad assi e punti diversi non possono essere sommati.
Corpi M per quadrato di distanza D tra gli assi:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Dove M- peso corporeo totale.
Ad esempio, il momento di inerzia di un'asta rispetto ad un asse passante per la sua estremità è pari a:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\sinistra((\frac (l)(2))\destra)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Momenti assiali di inerzia di alcuni corpi
| Corpo | Descrizione | Posizione dell'asse UN | Momento d'inerzia J a |
|---|---|---|---|
| Massa puntiforme materiale M | A distanza R da un punto, stazionario | ||
| Cilindro cavo a pareti sottili o anello radiale R e masse M | Asse del cilindro | mr 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Cilindro solido o disco radiale R e masse M | Asse del cilindro | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Cilindro di massa cavo a pareti spesse M con raggio esterno R 2 e raggio interno R 1 | Asse del cilindro | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Lunghezza cilindro solido l, raggio R e masse M | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Lunghezza del cilindro (anello) cavo a pareti sottili l, raggio R e masse M | L'asse è perpendicolare al cilindro e passa per il suo centro di massa | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Asta dritta di lunghezza sottile l e masse M | L'asse è perpendicolare all'asta e passa per il suo centro di massa | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Asta dritta di lunghezza sottile l e masse M | L'asse è perpendicolare all'asta e passa per la sua estremità | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Sfera dal raggio a pareti sottili R e masse M | L'asse passa per il centro della sfera | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Sfera del raggio R e masse M | L'asse passa per il centro della palla | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Cono del raggio R e masse M | Asse del cono | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Triangolo isoscele con altezza H, base UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del triangolo e passa per il vertice | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Triangolo regolare con lato UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del triangolo e passa per il centro di massa | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Quadrato con lato UN e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del quadrato e passa per il centro di massa | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Rettangolo con lati UN E B e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del rettangolo e passa per il centro di massa | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| N-gon regolari di raggio R e massa M | L'asse è perpendicolare al piano e passa per il centro di massa | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Toro (cavo) con raggio del cerchio guida R, raggio del cerchio generatore R e massa M | L'asse è perpendicolare al piano del cerchio guida del toro e passa per il centro di massa | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\sinistra((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\destra)) |
Derivazione di formule
Cilindro a pareti sottili (anello, cerchio)
Derivazione della formula
Il momento d'inerzia di un corpo è uguale alla somma dei momenti d'inerzia delle sue parti costituenti. Dividiamo un cilindro a pareti sottili in elementi con massa dm e momenti di inerzia DJ io. Poi
J = ∑ d J io = ∑ R io 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Poiché tutti gli elementi di un cilindro a pareti sottili si trovano alla stessa distanza dall'asse di rotazione, la formula (1) viene trasformata nella forma
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\somma R^(2)dm=R^(2)\somma dm=mR^(2).)Cilindro a pareti spesse (anello, cerchio)
Derivazione della formula
Sia un anello omogeneo con raggio esterno R, raggio interno R 1, spesso H e densità ρ. Spezziamolo in anelli sottili e spessi dottor. Massa e momento d'inerzia di un anello a raggio sottile R sarà
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Troviamo il momento d'inerzia dell'anello spesso come integrale
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\sinistra.(\frac (r^(4))(4))\destra|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\sinistra(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\sinistra(R^(2 )-R_(1)^(2)\destra)\sinistra(R^(2)+R_(1)^(2)\destra).)Poiché il volume e la massa dell'anello sono uguali
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \sinistra(R^(2)-R_(1)^(2)\destra)h,)otteniamo la formula finale per il momento di inerzia dell'anello
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\sinistra(R^(2)+R_(1)^(2)\destra).)Disco omogeneo (cilindro solido)
Derivazione della formula
Considerando un cilindro (disco) come un anello con raggio interno nullo ( R 1 = 0 ), otteniamo la formula per il momento di inerzia del cilindro (disco):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Cono solido
Derivazione della formula
Spezziamo il cono in dischetti sottili e dotati di uno spessore mah, perpendicolare all'asse del cono. Il raggio di tale disco è uguale a
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Dove R– raggio della base del cono, H– altezza del cono, H– distanza dalla sommità del cono al disco. La massa e il momento di inerzia di tale disco saranno
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrando, otteniamo
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\destra)^(4)\sinistra.(\frac (h^(5))(5))\destra|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\sinistra(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\destra)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(allineato)))Palla solida ed omogenea
Derivazione della formula
Spezziamo la pallina in dischetti sottili di spessore mah, perpendicolare all'asse di rotazione. Il raggio di tale disco situato ad un'altezza H dal centro della sfera, lo troviamo utilizzando la formula
r = R2 - h2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)La massa e il momento di inerzia di tale disco saranno
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\destra)dh.)Troviamo il momento di inerzia della palla mediante l'integrazione:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\sinistra(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\destra)dh=\\&=\pi \rho \sinistra.\sinistra(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \sinistra(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\destra) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))Sfera a pareti sottili
Derivazione della formula
Per ricavarlo usiamo la formula del momento d'inerzia di una sfera omogenea di raggio R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Calcoliamo quanto cambierà il momento d'inerzia della palla se, a densità costante ρ, il suo raggio aumenta all'infinito piccola quantità dottorR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\destra)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(allineato)))Asta sottile (l'asse passa per il centro)
Derivazione della formula
Spezziamo l'asta in piccoli frammenti di lunghezza dottor. La massa e il momento di inerzia di tale frammento sono uguali a
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrando, otteniamo
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l 3 24 = 1 12 ml l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\sinistra.(\frac (r^(3))(3))\destra|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Asta sottile (l'asse passa attraverso l'estremità)
Derivazione della formula
Quando l'asse di rotazione si sposta dal centro dell'asta alla sua estremità, il centro di gravità dell'asta si sposta rispetto all'asse di una distanza l/2. Secondo il teorema di Steiner il nuovo momento d'inerzia sarà pari a
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\sinistra((\frac (l)(2))\destra)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Momenti di inerzia adimensionali di pianeti e satelliti
I loro momenti di inerzia adimensionali sono di grande importanza per gli studi sulla struttura interna dei pianeti e dei loro satelliti. Momento adimensionale inerzia di un corpo di raggio R e masse M uguale al rapporto il suo momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione al momento di inerzia punto materiale lo stesso relativo di massa asse fisso rotazione situata a distanza R(uguale a Sig 2). Questo valore riflette la distribuzione della massa sulla profondità. Uno dei metodi per misurarlo vicino a pianeti e satelliti è determinare lo spostamento Doppler del segnale radio trasmesso da un AMS che vola vicino a un determinato pianeta o satellite. Per una sfera a pareti sottili, il momento d'inerzia adimensionale è 2/3 (~0,67), per una palla omogenea è 0,4, e in generale, più è piccolo, maggiore è la massa del corpo concentrata al suo centro. Ad esempio, la Luna ha un momento d'inerzia adimensionale vicino a 0,4 (pari a 0,391), quindi si presume che sia relativamente omogenea, la sua densità cambia poco con la profondità. Il momento d'inerzia adimensionale della Terra è inferiore a quello di una palla omogenea (pari a 0,335), il che è un argomento a favore dell'esistenza di un nucleo denso.
Momento d'inerzia centrifugo
I momenti centrifughi di inerzia di un corpo rispetto agli assi di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sono le seguenti quantità:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ Rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ Rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ Rho dV,)Dove X , sì E z- coordinate di un piccolo elemento corporeo con volume dV, densità ρ e massa dm .
Si chiama l'asse OX asse principale di inerzia del corpo, se i momenti d'inerzia centrifughi Jxy E Jxz sono contemporaneamente uguali a zero. Attraverso ciascun punto del corpo possono essere tracciati tre assi principali di inerzia. Questi assi sono reciprocamente perpendicolari tra loro. Momenti di inerzia del corpo relativamente tre principali assi di inerzia tracciati in un punto arbitrario O vengono chiamati i corpi principali momenti di inerzia dato corpo.
Vengono chiamati i principali assi di inerzia passanti per il centro di massa del corpo principali assi centrali di inerzia del corpo, e i momenti di inerzia attorno a questi assi sono i suoi principale punti centrali inerzia. L'asse di simmetria di un corpo omogeneo è sempre uno dei suoi principali assi centrali di inerzia.
Momenti d'inerzia geometrici
Momento d'inerzia geometrico del volume
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)dove, come prima R- distanza dall'elemento dV all'asse UN .
Momento d'inerzia geometrico dell'area rispetto all'asse - una caratteristica geometrica del corpo, espressa dalla formula:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)dove l'integrazione viene eseguita sulla superficie S, UN dS- elemento di questa superficie.
Dimensione JSa- lunghezza alla quarta potenza ( d io m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), rispettivamente, l'unità di misura SI è 4. Nei calcoli costruttivi, nella letteratura e negli assortimenti di laminati, è spesso indicato in cm 4.
Attraverso momento geometrico L'inerzia della zona è espressa dal momento resistente della sezione:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Qui massimo- distanza massima dalla superficie all'asse.
| Momenti d'inerzia geometrici dell'area di alcune figure | |
|---|---|
| Altezza del rettangolo h (\displaystyle h) e larghezza b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Sezione scatolare rettangolare con altezza e larghezza lungo i contorni esterni H (\displaystyle H) E B (\displaystyle B) e per interni h (\displaystyle h) E b (\displaystyle b) rispettivamente | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (BH 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Diametro del cerchio d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Momento d'inerzia rispetto al piano
Momento d'inerzia solido rispetto ad un certo piano, si dice una quantità scalare pari alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto del corpo per il quadrato della distanza da questo punto al piano in questione.
Se attraverso un punto arbitrario O (\displaystyle O) disegnare gli assi delle coordinate x , y , z (\displaystyle x,y,z), quindi i momenti di inerzia relativi a piani coordinati x O y (\displaystyle xOy), yOz (\displaystyle yOz) E zOx (\displaystyle zOx) sarà espresso dalle formule:
J x O y = ∑ io = 1 n m io z io 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m io x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O X = ∑ io = 1 n m io y io 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Nel caso di un corpo solido la somma è sostituita dall’integrazione.
Momento d'inerzia centrale
Momento d'inerzia centrale (momento d'inerzia rispetto al punto O, momento d'inerzia rispetto al polo, momento d'inerzia polare) J O (\displaystyle J_(O))è la quantità determinata dall'espressione:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Il momento d'inerzia centrale può essere espresso in termini dei principali momenti d'inerzia assiali, nonché in termini di momenti d'inerzia rispetto ai piani:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \Giusto),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tensore d'inerzia ed ellissoide d'inerzia
Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse arbitrario passante per il centro di massa e avente una direzione specificata dal versore unitario s → = ‖ S X , s y , S z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\sinistra\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\destra\Vert ^(T),\sinistra\vert (\vec (s) )\destra\vert =1), può essere rappresentato sotto forma di forma quadratica (bilineare):
Io s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)dove è il tensore d'inerzia. La matrice del tensore d'inerzia è simmetrica e ha dimensioni 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3) ed è costituito dalle componenti dei momenti centrifughi:
Scegliendo il sistema di coordinate appropriato, la matrice del tensore d'inerzia può essere ridotta alla forma diagonale. Per fare ciò, è necessario risolvere il problema degli autovalori per la matrice tensoriale J ^ (\displaystyle (\hat (J))):
Dove Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- matrice ortogonale di transizione alla base propria del tensore d'inerzia. Nella base corretta, gli assi delle coordinate sono diretti lungo gli assi principali del tensore d'inerzia e coincidono anche con i semiassi principali dell'ellissoide del tensore d'inerzia. Le quantità J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- principali momenti di inerzia. L'espressione (1) nel proprio sistema di coordinate ha la forma:
da cui si ottiene l'equazione dell'ellissoide nelle proprie coordinate. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per Io s (\displaystyle I_(s))
e facendo sostituzioni:
ξ = s x io s , η = s y io s , ζ = s z io s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)otteniamo la forma canonica dell'equazione dell'ellissoide in coordinate ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cpunto J_(Z)=1.)La distanza dal centro dell'ellissoide ad un certo punto è correlata al valore del momento d'inerzia del corpo lungo una linea retta passante per il centro dell'ellissoide e questo punto.
Introduciamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari O xy . Consideriamo una sezione arbitraria nel piano delle coordinate ( zona chiusa) con area A (Fig. 1).
Momenti statici
Punto C con coordinate (x C , y C)
chiamato baricentro della sezione.
Se gli assi delle coordinate passano per il baricentro della sezione, allora i momenti statici della sezione sono pari a zero:
Momenti d'inerzia assiali le sezioni relative agli assi xey sono detti integrali della forma:
Momento d'inerzia polare la sezione rispetto all'origine delle coordinate è detta integrale della forma:
Momento d'inerzia centrifugo sezione è detta integrale della forma:
I principali assi di inerzia della sezione si chiamano due assi tra loro perpendicolari, rispetto ai quali I xy = 0. Se uno degli assi tra loro perpendicolari è l'asse di simmetria della sezione, allora I xy =0 e, quindi, questi assi sono i principali. Vengono chiamati gli assi principali passanti per il baricentro della sezione principali assi centrali di inerzia della sezione
2. Teorema di Steiner-Huygens sulla traslazione parallela degli assi
Teorema di Steiner-Huygens (teorema di Steiner).
Il momento d'inerzia assiale della sezione I rispetto ad un asse fisso x arbitrario è pari alla somma del momento d'inerzia assiale di tale sezione I con il relativo asse x* parallelo ad esso, passante per il centro di massa della sezione, e il prodotto dell'area della sezione trasversale A per il quadrato della distanza d tra i due assi.
Se i momenti di inerzia I x e I y relativi agli assi xey sono noti, quindi rispetto agli assi ν e u ruotati di un angolo α, i momenti di inerzia assiale e centrifugo vengono calcolati utilizzando le formule:
Dalle formule di cui sopra è chiaro che
Quelli. la somma dei momenti d'inerzia assiali quando ruotano assi reciprocamente perpendicolari non cambia, cioè gli assi u e v, rispetto ai quali il momento d'inerzia centrifugo della sezione è zero, e i momenti d'inerzia assiali I u e I v sono estremi valori max o min, sono detti assi principali della sezione. Vengono chiamati gli assi principali passanti per il baricentro della sezione principali assi centrali della sezione. Per le sezioni simmetriche, i loro assi di simmetria sono sempre gli assi centrali principali. La posizione degli assi principali della sezione rispetto agli altri assi è determinata utilizzando la relazione:
dove α 0 è l'angolo di cui devono essere ruotati gli assi xey affinché diventino quelli principali (normalmente si imposta un angolo positivo in senso antiorario, un angolo negativo si imposta in senso orario). Si chiamano momenti assiali di inerzia rispetto agli assi principali principali momenti di inerzia:
Il segno più davanti al secondo termine si riferisce al momento d'inerzia massimo, il segno meno a quello minimo.