Poiché la massa del punto è costante e la sua accelerazione, l'equazione (2), che esprime la legge fondamentale della dinamica, può essere rappresentata come
L'equazione (32) esprime simultaneamente il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma differenziale: la derivata temporale della quantità di moto di un punto è uguale alla somma delle forze agenti sul punto
Lascia che il punto in movimento abbia una velocità in un momento e una velocità in un momento, quindi moltiplichiamo entrambe le parti di uguaglianza (32) per e prendiamo da esse integrali definiti. In questo caso, a destra, dove l'integrazione è nel tempo, saranno i limiti dell'integrale e a sinistra, dove la velocità è integrata, i limiti dell'integrale saranno i valori corrispondenti della velocità
Poiché l'integrale di è uguale, di conseguenza otteniamo
Gli integrali a destra, come segue dalla formula (30), rappresentano gli impulsi delle forze agenti. Pertanto, finalmente
L'equazione (33) esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma finale: la variazione della quantità di moto di un punto in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi di tutte le forze agenti sul punto per lo stesso periodo di tempo.
Quando si risolvono problemi, al posto dell'equazione vettoriale (33), vengono spesso utilizzate equazioni nelle proiezioni. Proiettando entrambe le parti di uguaglianza (33) sugli assi delle coordinate, otteniamo
quando moto rettilineo che si verifica lungo l'asse del teorema è espresso dalla prima di queste equazioni.
Risoluzione dei problemi. Le equazioni (33) o (34) consentono, conoscendo come cambia la sua velocità quando un punto si muove, di determinare l'impulso delle forze agenti (primo problema della dinamica) o, conoscendo gli impulsi delle forze agenti, di determinare come la velocità del punto cambia quando ci si sposta (il secondo problema della dinamica). Quando si risolve il secondo problema, date le forze, è necessario calcolarne i momenti, come si vede dalle uguaglianze (30) o (31), ciò può essere fatto solo quando le forze sono costanti o dipendono solo dal tempo.
Pertanto, le equazioni (33), (34) possono essere utilizzate direttamente per risolvere il secondo problema della dinamica, quando il numero di dati e le quantità richieste nel problema include: le forze agenti, il tempo di movimento del punto e la sua iniziale e velocità finali (cioè le quantità), e le forze devono essere costanti o dipendere solo dal tempo.
Problema 95
Soluzione. Secondo il teorema sulla variazione della quantità di moto del Sistema, geometricamente la differenza tra queste grandezze di moto (Fig. 222), troviamo dal triangolo rettangolo risultante
Ma secondo le condizioni del problema, quindi,
Per un calcolo analitico, utilizzando le prime due delle equazioni (34), possiamo trovare
Problema 96. A un carico che ha una massa e giace su un piano orizzontale viene data (mediante una spinta) la velocità iniziale.Il successivo movimento del carico viene rallentato da una forza costante F. Determina per quanto tempo il carico si fermerà,
Soluzione. Secondo i dati del problema, è chiaro che il teorema provato può essere utilizzato per determinare il tempo del moto. Descriviamo il carico in una posizione arbitraria (Fig. 223). È influenzato dalla forza di gravità Р, dalla reazione del piano N e dalla forza frenante F. Dirigendo l'asse nella direzione del moto, componiamo la prima delle equazioni (34)
In questo caso - la velocità al momento dell'arresto), e . Delle forze, solo la forza F dà la proiezione sull'asse, essendo costante, dov'è il tempo di frenatura. Sostituendo tutti questi dati nell'equazione (a), otteniamo il tempo desiderato da
Poiché la massa di un punto è costante e la sua accelerazione, l'equazione che esprime la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come
L'equazione esprime simultaneamente il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma differenziale: derivata temporale sulla quantità di moto del punto è uguale a somma geometrica forze che agiscono sul punto.
Integriamo questa equazione. Lascia che la massa punti m, muovendosi sotto l'azione di una forza (Fig. 15), ha al momento t\u003d 0 velocità e al momento t 1 - velocità.
Fig.15
Moltiplichiamo quindi entrambi i membri dell'uguaglianza e prendiamo da essi integrali definiti. In questo caso, a destra, dove l'integrazione è nel tempo, i limiti degli integrali saranno 0 e t 1, e a sinistra, dove la velocità è integrata, i limiti dell'integrale saranno i valori corrispondenti della velocità e . Poiché l'integrale di is , quindi come risultato otteniamo:
.
Gli integrali a destra sono gli impulsi delle forze agenti. Quindi finiamo con:
.
L'equazione esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto nella forma finale: la variazione della quantità di moto di un punto in un certo periodo di tempo è uguale alla somma geometrica degli impulsi di tutte le forze agenti sul punto nello stesso periodo di tempo ( Riso. quindici).
Quando si risolvono problemi, invece di un'equazione vettoriale, vengono spesso utilizzate equazioni nelle proiezioni.
Nel caso di moto rettilineo lungo l'asse Oh il teorema è espresso dalla prima di queste equazioni.
Domande per l'autoesame
Formulare le leggi fondamentali della meccanica.
Quale equazione è chiamata equazione di base della dinamica?
Qual è la misura dell'inerzia dei corpi solidi in moto traslatorio?
Il peso del corpo dipende dalla posizione del corpo sulla Terra?
Quale sistema di riferimento si chiama inerziale?
Quale corpo è soggetto alla forza d'inerzia? punto materiale e qual è il suo modulo e direzione?
Spiega la differenza tra i concetti di "inerzia" e "forza di inerzia"?
A quali corpi viene applicata la forza d'inerzia, come è diretta e con quale formula può essere calcolata?
Qual è il principio della cinetostatica?
Quali sono i moduli e le direzioni delle forze di inerzia tangenziali e normali di un punto materiale?
Qual è il peso corporeo? Qual è l'unità SI per misurare la massa?
Qual è la misura dell'inerzia di un corpo?
Scrivere la legge fondamentale della dinamica in forma vettoriale e differenziale?
Una forza costante agisce su un punto materiale. Come si muove il punto?
Quale accelerazione riceverà il punto se su di esso agisce una forza pari al doppio della forza di gravità?
Dopo la collisione di due punti materiali con le masse m 1 = 6 kg e m 2 \u003d 24 kg, il primo punto ha ricevuto un'accelerazione di 1,6 m / s. Qual è l'accelerazione ottenuta dal secondo punto?
A quale moto di un punto materiale la sua forza di inerzia tangenziale è uguale a zero ea che cosa è normale?
Quali formule vengono utilizzate per calcolare i moduli di rotazione e forza centrifuga inerzia di un punto appartenente a un corpo rigido rotante asse fisso?
Come viene formulata la legge fondamentale della dinamica dei punti?
Dare la formulazione della legge di indipendenza dell'azione delle forze.
Annotare le equazioni differenziali del moto di un punto materiale in forma vettoriale e coordinata.
Formulare l'essenza del primo e del secondo compito principale della dinamica dei punti.
Fornire le condizioni da cui si determinano le costanti di integrazione delle equazioni differenziali del moto di un punto materiale.
Quali equazioni della dinamica sono chiamate equazioni naturali del moto di un punto materiale?
Quali sono i due problemi principali della dinamica dei punti che vengono risolti con l'aiuto dei moti differenziali di un punto materiale?
Equazioni differenziali del moto di un punto materiale libero.
Come vengono determinate le costanti quando si integrano le equazioni differenziali del moto di un punto materiale?
Determinazione dei valori di costanti arbitrarie che appaiono quando si integrano le equazioni differenziali del moto di un punto materiale.
Quali sono le leggi caduta libera corpo?
Quali sono le leggi che regolano il movimento orizzontale e verticale di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte nel vuoto? Qual è la traiettoria del suo movimento e a quale angolo il corpo ha la maggiore gittata di volo?
Come calcolare l'impulso di una forza variabile in un periodo di tempo finito?
Qual è la quantità di moto di un punto materiale?
Come esprimere lavoro elementare forze attraverso il percorso elementare del punto di applicazione della forza e come - attraverso l'incremento della coordinata dell'arco di questo punto?
Su quali spostamenti è il lavoro di gravità: a) positivo, b) negativo, c) uguale a zero?
Come calcolare la potenza di una forza applicata a un punto materiale che ruota attorno ad un asse fisso con una velocità angolare?
Formulare un teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale.
In quali condizioni la quantità di moto di un punto materiale non cambia? In quali condizioni la sua proiezione su qualche asse non cambia?
Dare la formulazione del teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto materiale in forma differenziale e finita.
Qual è il momento di momento di un punto materiale relativo a: a) il centro, b) l'asse?
Come viene formulato il teorema sulla variazione del momento angolare di un punto rispetto al centro e rispetto all'asse?
In quali condizioni il momento angolare di un punto attorno ad un asse rimane invariato?
Come vengono determinati i momenti di moto di un punto materiale rispetto al centro e rispetto all'asse? Qual è il rapporto tra loro?
In quale posizione del vettore quantità di moto di un punto materiale il suo momento relativo all'asse è uguale a zero?
Perché la traiettoria di un punto materiale che si muove sotto l'azione di una forza centrale giace su un piano?
Quale movimento di un punto si dice rettilineo? annotare equazione differenziale moto rettilineo di un punto materiale.
Scrivi le equazioni differenziali per il moto piano di un punto materiale.
Quale moto di un punto materiale è descritto dalle equazioni differenziali di Lagrange del primo tipo?
In quali casi un punto materiale è chiamato non libero e quali sono le equazioni differenziali del moto di questo punto?
Fornire definizioni di vincoli stazionari e non stazionari, olonomi e nonolonomi.
Cosa sono le relazioni bidirezionali? Unilaterale?
Qual è l'essenza del principio di liberazione dalle obbligazioni?
Che forma hanno le equazioni differenziali del moto di un punto materiale non libero nella forma di Lagrange? Qual è il moltiplicatore di Lagrange?
Dare la formulazione del teorema di Coriolis dinamico.
Qual è l'essenza del principio di relatività di Galileo-Newton?
Assegna un nome ai movimenti in cui la forza di inerzia di Coriolis è zero.
Qual è l'intensità e la direzione delle forze traslazionali e di inerzia di Coriolis?
Qual è la differenza tra le equazioni differenziali dei moti relativi e assoluti di un punto materiale?
Come vengono determinate le forze di inerzia portatili e di Coriolis in vari casi di movimento portatile?
Qual è l'essenza del principio di relatività della meccanica classica?
Quali sistemi di riferimento sono chiamati inerziali?
Qual è la condizione per il resto relativo di un punto materiale?
In quali punti superficie terrestre la gravità ha il massimo e valore più piccolo?
Cosa spiega la deviazione dei corpi in caduta verso est?
In quale direzione viene deviato un corpo lanciato verticalmente verso l'alto?
Un secchio viene calato nella miniera con accelerazione un\u003d 4 m / s 2. Gravità della vasca G=2 kN. Determinare la tensione nella fune che sostiene la vasca?
Due punti materiale si muovono in linea retta con velocità costanti di 10 e 100 m/s. Si può sostenere che sistemi di forze equivalenti siano applicati a questi punti?
1) è impossibile;
Forze uguali vengono applicate a due punti materiali di massa 5 e 15 kg. Confrontare i valori numerici dell'accelerazione di questi punti?
1) le accelerazioni sono le stesse;
2) l'accelerazione di un punto di massa 15 kg è tre volte inferiore all'accelerazione di un punto di massa 5 kg.
È possibile risolvere problemi di dinamica usando le equazioni di equilibrio?
Allo stesso modo, come per un punto materiale, deriviamo un teorema sulla variazione della quantità di moto per il sistema in varie forme.
Trasformiamo l'equazione (teorema sul movimento del baricentro di un sistema meccanico)
nel seguente modo:
;
;
L'equazione risultante esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale: la derivata temporale della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale al vettore principale delle forze esterne agenti sul sistema .
Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:
; 
; 
.
Prendendo gli integrali di entrambe le parti delle ultime equazioni nel tempo, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma integrale: la variazione della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del vettore principale di forze esterne che agiscono sul sistema .
.
Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:
; 
; 
.
Conseguenze dal teorema (leggi di conservazione della quantità di moto)
La legge di conservazione della quantità di moto si ottiene come casi speciali del teorema sulla variazione della quantità di moto per un sistema in funzione delle caratteristiche del sistema di forze esterne. Le forze interne possono essere qualsiasi cosa, poiché non influiscono sui cambiamenti di quantità di moto.
Sono possibili due casi:
1. Se la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema è uguale a zero, la quantità di moto del sistema è costante in grandezza e direzione
2. Se la proiezione del vettore principale delle forze esterne su qualsiasi asse delle coordinate e/o e/o , allora la proiezione della quantità di movimento sugli stessi assi è un valore costante, cioè e/o e/o rispettivamente.
Si possono creare registrazioni simili per un punto materiale e per un punto materiale.
L'obiettivo. Da una pistola la cui massa M, un proiettile di massa vola in direzione orizzontale m con velocità v. Trova la velocità V pistole dopo aver sparato.
Soluzione. Tutto forze esterne agendo su sistema meccanico pistola-proiettile, verticale. Quindi, in base al corollario del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema, abbiamo: .
La quantità di movimento del sistema meccanico prima dello sparo:
La quantità di movimento del sistema meccanico dopo lo sparo:
.
Uguagliando le parti giuste delle espressioni, lo otteniamo
.
Il segno "-" nella formula risultante indica che dopo lo sparo, la pistola rotolerà indietro nella direzione opposta all'asse Bue.
ESEMPIO 2. Un getto di liquido con una densità esce ad una velocità V da un tubo con una sezione trasversale F e colpisce una parete verticale ad angolo. Determinare la pressione del fluido sulla parete.
SOLUZIONE. Applichiamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma integrale al volume di liquido con massa m colpire un muro per un periodo di tempo t.
EQUAZIONE DI MESHCHERSKY
(equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile)
Nella tecnologia moderna si verificano casi in cui la massa di un punto e di un sistema non rimane costante nel processo di movimento, ma cambia. Quindi, ad esempio, durante il volo dei razzi spaziali, a causa dell'espulsione dei prodotti della combustione e delle singole parti non necessarie dei razzi, la variazione di massa raggiunge il 90-95% del valore iniziale totale. Ma non solo la tecnologia spaziale può essere un esempio della dinamica del movimento di una massa variabile. Nell'industria tessile, c'è un cambiamento significativo nella massa di vari fusi, bobine, rotoli alle moderne velocità della macchina e della macchina.
Considera le caratteristiche principali associate a un cambiamento di massa, usando l'esempio movimento in avanti corpi di massa variabile. La legge fondamentale della dinamica non può essere applicata direttamente a un corpo di massa variabile. Si ottengono quindi equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile, applicando il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema.
Sia un punto di massa m+dm si muove a velocità. Poi c'è un distacco dal punto di una particella con una massa dm muovendosi a velocità.
La quantità di movimento del corpo prima del distacco della particella:
La quantità di movimento di un sistema costituito da un corpo e una particella staccata dopo il suo distacco:
Allora la variazione della quantità di moto è:
Sulla base del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema:
Indichiamo il valore - la velocità relativa della particella:
Denota 
il valore R chiamata forza reattiva. La forza del getto è la spinta del motore, dovuta al rilascio di gas dall'ugello.
Finalmente arriviamo
-
Questa formula esprime l'equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile (formula di Meshchersky). Dall'ultima formula segue che le equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile hanno la stessa forma di un punto di massa costante, fatta eccezione per la forza reattiva addizionale applicata al punto a causa della variazione di massa.
L'equazione di base della dinamica di un corpo di massa variabile indica che l'accelerazione di questo corpo si forma non solo a causa di forze esterne, ma anche a causa della forza reattiva.
La forza reattiva è una forza simile a quella provata da una persona che spara: quando spara con una pistola, viene avvertita dalla mano; quando si spara da un fucile, viene percepito dalla spalla.
La prima formula di Tsiolkovsky (per un razzo a stadio singolo)
Lascia che un punto di massa variabile o un razzo si muovano in linea retta sotto l'azione di una sola forza reattiva. Poiché per molti moderni motori a reazione, dove è la massima forza reattiva consentita dal progetto del motore (spinta del motore); - la forza di gravità agente sul motore, posto sulla superficie terrestre. Quelli. quanto sopra consente di trascurare la componente nell'equazione di Meshchersky e per ulteriori analisi di accettare questa equazione nella forma: ,
Denota:
Riserva di carburante (per motori a reazione a propellente liquido: la massa secca del razzo (la sua massa rimanente dopo che tutto il carburante si è esaurito);
La massa di particelle separate dal razzo; considerata come una variabile variabile da a .
Scriviamo l'equazione del moto rettilineo di un punto di massa variabile nella forma seguente:
Poiché la formula per determinare la massa variabile di un razzo
Pertanto, le equazioni del moto di un punto 
Prendendo gli integrali di entrambe le parti, otteniamo
dove - velocità caratteristica- questa è la velocità che il razzo acquisisce sotto l'azione della spinta dopo l'eruzione di tutte le particelle dal razzo (con motori a reazione a propellente liquido - dopo aver bruciato tutto il carburante).
Tolto dal segno integrale (che può essere fatto sulla base del noto matematica superiore teorema del valore medio) è velocità media particelle espulse dal razzo.
Consiste in n punti materiali. Cerchiamo di individuare un punto da questo sistema Mj con massa mj. È noto che su questo punto agiscono forze esterne e interne.
Applicare a un punto Mj risultante di tutto forze interne F j i e la risultante di tutte le forze esterne F j e(Figura 2.2). Per il punto materiale selezionato Mj(come per un punto libero) scriviamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma differenziale (2.3):
Scriviamo equazioni simili per tutti i punti del sistema meccanico (j=1,2,3,…,n).
Figura 2.2
Mettiamo tutto insieme n equazioni:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Qui ∑mj ×Vj =Qè la quantità di moto del sistema meccanico;
∑ F j e = R e – vettore principale tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico;
∑ F j io = R io = 0- il vettore principale delle forze interne del sistema (secondo la proprietà delle forze interne, è uguale a zero).
Infine, per il sistema meccanico, otteniamo
dQ/dt = Ri. (2.11)
L'espressione (2.11) è un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale (in espressione vettoriale): la derivata temporale del vettore quantità di moto di un sistema meccanico è uguale al vettore principale di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Proiettando l'uguaglianza vettoriale (2.11) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo espressioni per il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in un'espressione coordinata (scalare):
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
quelli. la derivata temporale della proiezione della quantità di moto di un sistema meccanico su un qualsiasi asse è uguale alla proiezione su questo asse del vettore principale di tutte le forze esterne agenti su questo sistema meccanico.
Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza (2.12) per dt, otteniamo il teorema in un'altra forma differenziale:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
quelli. il differenziale di quantità di moto di un sistema meccanico è uguale all'impulso elementare del vettore principale (la somma degli impulsi elementari) di tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Integrazione dell'uguaglianza (2.13) nell'intervallo di tempo da 0 a t, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma finita (integrale) (in espressione vettoriale):
Q - Q 0 \u003d S e,
quelli. la variazione della quantità di movimento di un sistema meccanico in un periodo di tempo finito è uguale all'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.
Proiettando l'uguaglianza vettoriale (2.14) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo espressioni per il teorema in proiezioni (in un'espressione scalare):
quelli. la variazione nella proiezione della quantità di moto del sistema meccanico su qualsiasi asse in un periodo di tempo finito è uguale alla proiezione sullo stesso asse dell'impulso totale del vettore principale (la somma degli impulsi totali) di tutte le forze esterne agendo sul sistema meccanico per lo stesso periodo di tempo.
Dal teorema considerato (2.11) - (2.15) seguono i seguenti corollari:
- Se una R e = ∑ F j e = 0, poi Q = cost– abbiamo la legge di conservazione del vettore quantità di moto del sistema meccanico: se il vettore principale Rif di tutte le forze esterne agenti su un sistema meccanico è uguale a zero, quindi il vettore momento di questo sistema rimane costante in grandezza e direzione e uguale al suo valore iniziale Q0, cioè. Q = Q0.
- Se una R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), poi Q x = cost- abbiamo la legge di conservazione della proiezione sull'asse della quantità di moto del sistema meccanico: se la proiezione del vettore principale di tutte le forze agenti sul sistema meccanico su un qualsiasi asse è zero, allora la proiezione sullo stesso asse di il vettore della quantità di moto di questo sistema sarà un valore costante e uguale alla proiezione su questo vettore della quantità di moto iniziale dell'asse, cioè Qx = Q0x.
Forma differenziale del teorema del cambiamento di quantità di moto sistema materiale ha importanti e interessanti applicazioni nella meccanica dei continui. Dalla (2.11) si ricava il teorema di Eulero.
La quantità di moto del sistema, come grandezza vettoriale, è determinata dalle formule (4.12) e (4.13).
Teorema. La derivata temporale della quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne agenti su di esso.
Nelle proiezioni degli assi cartesiani si ottengono equazioni scalari.
Puoi scrivere un vettore
(4.28)
ed equazioni scalari
Che esprimono il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi per lo stesso periodo di tempo. Quando si risolvono problemi, vengono utilizzate più spesso le equazioni (4.27).
Legge di conservazione della quantità di moto
Teorema del cambiamento momento angolare
Il teorema sulla variazione del momento angolare di un punto rispetto al centro: la derivata temporale del momento angolare di un punto rispetto ad un centro fisso è uguale al momento vettore agente sul punto di forza relativo allo stesso centro.
o 
(4.30)
Confrontando (4.23) e (4.30), vediamo che i momenti dei vettori e sono connessi dalla stessa dipendenza dei vettori stessi e sono connessi (Fig. 4.1). Se proiettiamo l'uguaglianza sull'asse passante per il centro O, otteniamo
(4.31)
Questa uguaglianza esprime il teorema del momento della quantità di moto di un punto attorno ad un asse.
|
(4.32)
Se proiettiamo l'espressione (4.32) sull'asse passante per il centro O, otteniamo un'uguaglianza che caratterizza il teorema sulla variazione del momento angolare rispetto all'asse.
(4.33)
Sostituendo (4.10) con l'uguaglianza (4.33), si può scrivere l'equazione differenziale di un corpo rigido rotante (ruote, assi, alberi, rotori, ecc.) in tre forme.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Pertanto, è consigliabile utilizzare il teorema sulla variazione del momento cinetico per studiare il moto di un corpo rigido, cosa molto comune in tecnologia, la sua rotazione attorno ad un asse fisso.
La legge di conservazione del momento angolare del sistema
1. Lasciate in espressione (4.32) .
Quindi dall'equazione (4.32) segue che , cioè se è relativa la somma dei momenti di tutte le forze esterne applicate al sistema questo centroè uguale a zero, allora il momento angolare del sistema relativo a questo centro sarà numericamente e in direzione sarà costante.
2. Se , allora . Pertanto, se la somma dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema rispetto a un asse è uguale a zero, il momento cinetico del sistema rispetto a questo asse sarà un valore costante.
Questi risultati esprimono la legge di conservazione del momento angolare.
Nel caso di un corpo rigido rotante, dall'uguaglianza (4.34) segue che se , allora . Da qui arriviamo alle seguenti conclusioni:
Se il sistema è immutabile (assolutamente solido), quindi , quindi, e e il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso con velocità angolare costante.
Se il sistema è modificabile, allora . Con un aumento (quindi i singoli elementi del sistema si allontanano dall'asse di rotazione), la velocità angolare diminuisce, perché , e aumenta al diminuire, quindi, nel caso di un sistema variabile, con l'aiuto di forze interne, è possibile modificare la velocità angolare.
Secondo compito D2 lavoro di controlloè dedicato al teorema sulla variazione del momento angolare del sistema attorno all'asse.
Compito D2
Una piattaforma orizzontale omogenea (tonda di raggio R o rettangolare di lato R e 2R, dove R = 1,2 m) di massa kg ruota con velocità angolare attorno all'asse verticale z, che è distanziata dal baricentro C della piattaforma in corrispondenza di a distanza OC = b (Fig. D2.0 – D2.9, tabella D2); le dimensioni per tutte le piattaforme rettangolari sono mostrate in fig. D2.0a (vista dall'alto).
Al momento, un carico D di massa kg inizia a muoversi lungo lo scivolo della piattaforma (sotto l'azione di forze interne) secondo la legge , dove s è espresso in metri, t è in secondi. Allo stesso tempo, una coppia di forze con un momento M (dato in newtonometri) iniziano ad agire sulle piattaforme; a M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Determinare, trascurando la massa dell'albero, la dipendenza cioè velocità angolare della piattaforma in funzione del tempo.
In tutte le figure, il carico D è mostrato in una posizione dove s > 0 (quando s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Indicazioni. Compito D2 - sull'applicazione del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema. Quando si applica il teorema a un sistema costituito da una piattaforma e un carico, il momento angolare del sistema attorno all'asse z è definito come la somma dei momenti della piattaforma e del carico. In questo caso va tenuto conto che la velocità assoluta del carico è la somma delle velocità relative e portatili, cioè . Pertanto, la quantità di movimento di questo carico 
. Allora possiamo usare il teorema di Varignon (statica), secondo il quale ; questi momenti sono calcolati allo stesso modo dei momenti delle forze. Il corso della soluzione è spiegato più dettagliatamente nell'esempio D2.
Quando si risolve il problema, è utile rappresentare sul disegno ausiliario una vista della piattaforma dall'alto (dall'estremità z), come si fa in Fig. D2.0,a - D2.9,a.
Il momento d'inerzia di una piastra di massa m attorno all'asse Cz, perpendicolare alla piastra e passante per il suo baricentro, è uguale a: per una piastra rettangolare con i lati e
;
Per un inserto tondo di raggio R
| Numero di condizione | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
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Esempio D2. Una piattaforma orizzontale omogenea (rettangolare con lati 2l e l), avente una massa, è fissata rigidamente ad un albero verticale e ruota con essa attorno ad un asse z con velocità angolare (Fig. E2a ). Al momento, una coppia M comincia ad agire sull'albero, diretta in senso opposto ; allo stesso tempo carico D massa situata nella grondaia AB al punto DA, inizia a muoversi lungo lo scivolo (sotto l'azione di forze interne) secondo la legge s = CD = F(t).
Dato: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - in metri, t - in secondi), M= kt, dove K=6 Nm/s. Definire: - legge del cambiamento velocità angolare piattaforme.
Soluzione. Si consideri un sistema meccanico costituito da una piattaforma e un carico D. Per determinare w, applichiamo il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema attorno all'asse z:
(1)
Descriviamo le forze esterne agenti sul sistema: le forze di gravità della reazione e la coppia M. Poiché le forze e sono parallele all'asse z e le reazioni intersecano questo asse, i loro momenti attorno all'asse z sono uguali a zero. Quindi, considerando la direzione positiva per il momento (cioè in senso antiorario), otteniamo 
e l'equazione (1) assumerà questa forma.