Il teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale. Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto

La prima derivata temporale del momento angolare di un punto rispetto a qualsiasi centro è uguale al momento della forza rispetto allo stesso centro:

Proiettando la (171) su assi di coordinate cartesiane rettangolari, otteniamo teoremi sul cambiamento momento angolare punti su questi assi coordinati:

,
,
. (171")

Teorema sulla variazione del momento angolare del sistema

La prima derivata temporale del momento angolare del sistema rispetto a un punto qualsiasi è uguale alla somma vettoriale dei momenti delle forze esterne agenti sul sistema rispetto allo stesso punto.

, (172)

dove
– punto principale tutto forze esterne sistemi.

Proiettando la (172) su assi di coordinate cartesiane rettangolari, otteniamo teoremi sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto a questi assi di coordinate, cioè

,
,
. (172")

Leggi di conservazione della quantità di moto

1. Se il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto al punto è uguale a zero, cioè
, quindi, secondo (79), il momento angolare del sistema
rispetto allo stesso punto è costante in grandezza e direzione, cioè

. (173)

Viene chiamato questo caso speciale del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema la legge di conservazione della quantità di moto. Nelle proiezioni su assi di coordinate cartesiane rettangolari secondo questa legge

,
,
,

dove ,,sono valori costanti.

2. Se la somma dei momenti di tutte le forze esterne del sistema attorno all'asse
è uguale a zero, cioè
, quindi da (172") ne segue che

. (174)

Di conseguenza, il momento cinetico del sistema attorno a qualsiasi asse delle coordinate è costante se la somma dei momenti delle forze esterne attorno a questo asse è zero, che, in particolare, si osserva quando le forze esterne sono parallele all'asse o lo attraversano. In un caso particolare, per un corpo o sistema di corpi che possono ruotare tutti insieme attorno ad un asse fisso, e se contemporaneamente

, o
, (175)

dove e - il momento d'inerzia del sistema dei corpi e la loro velocità angolare rispetto all'asse di rotazione in un momento arbitrario ;e - il momento d'inerzia dei corpi e la loro velocità angolare nell'istante scelto come iniziale.

Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

Dal teorema sulla variazione del momento cinetico (172") segue l'equazione differenziale di rotazione corpo solido intorno a asse fisso
:

, (176)

dove è l'angolo di rotazione del corpo.

L'equazione differenziale del moto rotatorio di un corpo rigido nel caso generale permette di risolvere due problemi principali: determinare la coppia delle forze esterne da una data rotazione del corpo e trovare la rotazione del corpo da un dato momento rotatorio e iniziale condizioni. Quando si risolve il secondo problema, per trovare l'angolo di rotazione, è necessario integrare equazione differenziale movimento rotatorio. I metodi della sua integrazione sono del tutto simili ai metodi considerati di integrazione dell'equazione differenziale del moto rettilineo di un punto.

Teorema sulla variazione del momento angolare del sistema in moto relativo rispetto al baricentro

Lascia che il sistema meccanico si muova rispetto al sistema di coordinate principale
. Prendiamo un sistema di coordinate mobile
con origine al centro di massa del sistema , andando avanti rispetto al sistema di coordinate principale. È possibile dimostrare la validità della formula:

dove è la velocità assoluta del centro di massa,
.

Valore
è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa per il moto relativo relativo al sistema di coordinate che si muove traslativamente insieme al centro di massa, cioè il sistema
.

La formula (176) lo mostra momento angolare movimento assoluto sistemi riguardanti Punto fisso è uguale alla somma vettoriale del momento angolare del centro di massa rispetto allo stesso punto, se l'intera massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa, e del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa per il moto relativo del sistema rispetto al sistema di coordinate mobili che si muove traslativamente insieme al baricentro.

Teorema sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto al baricentro per moto relativo sistema in relazione a un sistema di coordinate che avanza con il baricentro; è formulato allo stesso modo come se il centro di massa fosse un punto fisso:

o
, (178)

dove
è il momento principale di tutte le forze esterne attorno al centro di massa.

Considera un punto materiale M il peso m muoversi sotto l'influenza di una forza F(Figura 3.1). Scriviamo e costruiamo il vettore del momento angolare (momento cinetico) M0 punto materiale rispetto al centro o:

Figura 3.1

Differenziare l'espressione per il momento della quantità di moto (momento cinetico k 0) col tempo:

Perché dr/dt=V, poi prodotto vettoriale V×m∙V(vettori collinari V e m∙V) è zero. Allo stesso tempo d(m∙V)/dt=F secondo il teorema della quantità di moto per un punto materiale. Pertanto, lo otteniamo

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

dove r×F = M 0 (F)– vettore-momento di forza F rispetto al centro fisso o. Vettore k 0⊥ aereo ( r, m×V), e il vettore M 0 (FA)⊥ aereo ( r, F), finalmente abbiamo

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

L'equazione (3.4) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza che agisce sul punto rispetto allo stesso centro.

Proiezione dell'uguaglianza (3.4) sugli assi coordinate cartesiane, noi abbiamo

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Le uguaglianze (3.5) esprimono il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale attorno all'asse: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

Consideriamo le conseguenze che seguono dai teoremi (3.4) e (3.5).

Corollario 1

Considera il caso in cui la forza F durante l'intero movimento del punto passa per il centro fisso o(caso di forza centrale), cioè quando M 0 (F) = 0. Quindi ne segue dal Teorema (3.4) che k 0 = cost, quelli. nel caso di una forza centrale, il momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro di questa forza rimane costante in grandezza e direzione(Figura 3.2).

Figura 3.2

Dalla condizione k 0 = cost ne consegue che la traiettoria del punto in movimento è una curva piana, il cui piano passa per il centro di questa forza.

Conseguenza 2

Permettere M z (F) = 0, cioè. la forza attraversa l'asse z o parallelamente ad esso.

In questo caso, come si può vedere dalla terza delle equazioni (3.5), kz = cost, quelli. se il momento della forza che agisce sul punto rispetto a qualsiasi asse fisso è sempre uguale a zero, allora il momento angolare (momento cinetico) del punto rispetto a tale asse rimane costante.

Il momento angolare del punto e sistema meccanico

Riso. 3.14

Uno di caratteristiche dinamiche il movimento di un punto materiale e di un sistema meccanico è il momento cinetico o il momento della quantità di moto.

Per un punto materiale, il momento cinetico relativo a qualsiasi centro O è chiamato momento di quantità di moto del punto relativo a questo centro (Fig. 3.14),

Il momento angolare di un punto materiale rispetto a un asse è la proiezione su questo asse del momento angolare di un punto rispetto a qualsiasi centro su questo asse:

Viene chiamato il momento angolare di un sistema meccanico relativo al centro O somma geometrica momenti cinetici di tutti i punti del sistema relativi allo stesso centro (Fig. 3.15):

(3.20)

Il momento cinetico viene applicato a un punto o rispetto al quale viene calcolato.

Se proiettiamo la (3.20) sugli assi sistema cartesiano coordinate, quindi otteniamo le proiezioni del momento angolare su questi assi, o i momenti cinetici relativi agli assi delle coordinate:

Determiniamo il momento angolare del corpo rispetto al suo asse di rotazione fisso z(Fig. 3.16).

Secondo le formule (3.21), abbiamo

Ma quando il corpo ruota con una velocità angolare w, la velocità e la quantità di moto del punto perpendicolare al segmento dk e giace su un piano perpendicolare all'asse di rotazione Oz, Di conseguenza,

Riso. 3.15

Riso. 3.16

Per tutto il corpo:

dove Jzè il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Pertanto, il momento cinetico di un corpo rigido attorno all'asse di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia del corpo attorno a questo asse per velocità angolare corpo.

2. Teorema sulla variazione del momento angolare
sistema meccanico

Il momento angolare del sistema rispetto al centro fisso o(Fig. 3.15)

Prendi la derivata del tempo dai lati sinistro e destro di questa uguaglianza:

(3.22)

Ne teniamo conto allora l'espressione (3.22) assume la forma

O, dato che

- la somma dei momenti delle forze esterne attorno al centro o, abbiamo finalmente:

(3.23)

L'uguaglianza (3.23) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare.

Teorema sulla variazione del momento cinetico. La derivata temporale del momento angolare di un sistema meccanico rispetto ad un centro fisso è uguale al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso centro.

Proiettando l'uguaglianza (3.23) sugli assi fissi delle coordinate cartesiane, otteniamo il teorema in proiezioni su questi assi:

Dalla (3.23) segue che se il momento principale delle forze esterne rispetto a qualche centro fisso è uguale a zero, allora il momento cinetico relativo a questo centro rimane costante, cioè Se

(3.24)

Se la somma dei momenti delle forze esterne del sistema rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale a zero, la corrispondente proiezione del momento angolare rimane costante,

(3.25)

Le affermazioni (3.24) e (3.25) rappresentano la legge di conservazione del momento angolare del sistema.

Otteniamo un teorema sulla variazione del momento angolare del sistema scegliendo come punto nel calcolo del momento angolare il punto UN, muovendosi rispetto al sistema di riferimento inerziale con una velocità

Il momento angolare del sistema rispetto a un punto UN(Fig. 3.17)

Riso. 3.17

perché poi

Dato che dove è la velocità del centro di massa del sistema, otteniamo

Calcola la derivata temporale del momento angolare

Nell'espressione risultante:

Combinando il secondo e il terzo termine e tenendone conto

finalmente arriviamo

Se il punto coincide con il centro di massa del sistema C, poi e il teorema diventa

quelli. ha la stessa forma di un punto fisso o.

3. Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido
attorno ad un asse fisso

Lascia che un corpo rigido ruoti attorno ad un asse fisso Az(Fig. 3.18) sotto l'azione di un sistema di forze esterne
Scriviamo l'equazione del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema in proiezione sull'asse di rotazione:

Riso. 3.18

Per il caso di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso:

dove Jzè il momento d'inerzia costante attorno all'asse di rotazione; w è la velocità angolare.

Considerando questo, otteniamo:

Se introduciamo l'angolo di rotazione del corpo j, allora, tenendo conto dell'uguaglianza noi abbiamo

(3.26)

L'espressione (3.26) è un'equazione differenziale per la rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso.

4. Teorema sulla variazione del momento angolare del sistema
in moto relativo rispetto al baricentro

Per studiare il sistema meccanico, scegliamo un sistema di coordinate fisse Bue 1 y 1 z 1 e cellulare Cxyz partendo dal centro di massa C, andando avanti (Fig. 3.19).

Da un triangolo vettoriale:

Riso. 3.19

Differenziando questa uguaglianza rispetto al tempo, otteniamo

dove è la velocità assoluta del punto Mk, - velocità assoluta del centro di massa DA,
- velocità relativa del punto Mk, perché

Slancio su un punto o

Sostituendo i valori e , otteniamo

In questa espressione: è la massa del sistema; ;

è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa per il movimento relativo nel sistema di coordinate xyz.

Lo slancio prende la forma

Teorema sulla variazione del momento angolare rispetto ad un punto o ha la forma

Sostituisci i valori e noi abbiamo

Trasformiamo questa espressione tenendone conto

Questa formula esprime il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto al baricentro per il moto relativo del sistema rispetto al sistema di coordinate in movimento traslatorio con il baricentro. È formulato allo stesso modo come se il centro di massa fosse un punto fisso.

La direzione e l'entità del momento della quantità di moto sono determinate esattamente come nel caso della stima del momento della forza (paragrafo 1.2.2).

Definire contemporaneamente ( principale) momento angolare come somma vettoriale momenti del numero di moti dei punti del sistema in esame. Ha anche un secondo nome momento angolare :

Troviamo la derivata temporale dell'espressione (3.40) usando le regole per differenziare il prodotto di due funzioni, e anche il fatto che la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate (cioè, il segno della somma durante la differenziazione può essere spostato come coefficiente):

Prendiamo in considerazione le ovvie uguaglianze cinematiche: . Quindi: . Usiamo l'equazione media dalle formule (3.26) , oltre al fatto che il prodotto vettoriale di due vettori collineari ( e ) è uguale a zero, otteniamo:

Applicando al 2° termine la proprietà forze interne(3.36), otteniamo un'espressione per il teorema sulla variazione del momento principale della quantità di moto di un sistema meccanico:

(3.42)

La derivata temporale del momento angolare è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze esterne agenti nel sistema.

Questa formulazione è spesso chiamata brevemente: teorema del momento .

Va notato che il teorema dei momenti è formulato in un sistema di riferimento fisso rispetto a qualche centro fisso O. Se un corpo rigido è considerato un sistema meccanico, allora è conveniente scegliere il centro O sull'asse di rotazione di il corpo.

Va notata una proprietà importante del teorema del momento (la presentiamo senza derivazione). Il teorema del momento è valido anche in un sistema di riferimento in movimento traslatorio, se si sceglie come centro il centro di massa (m. C) del corpo (sistema meccanico):

La formulazione del teorema è praticamente conservata in questo caso.

Corollario 1

Sia il lato destro dell'espressione (3.42) uguale a zero =0, - il sistema è isolato. Quindi dall'equazione (3.42) segue che .

Per un sistema meccanico isolato, il vettore del momento angolare del sistema non cambia nel tempo né in direzione né in grandezza.

Conseguenza 2

Se il lato destro di una qualsiasi delle espressioni (3.44) è uguale a zero, ad esempio, per l'asse di Oz: =0 (sistema parzialmente isolato), allora segue dalle equazioni (3.44): =const.

Pertanto, se la somma dei momenti delle forze esterne attorno a qualsiasi asse è uguale a zero, il momento cinetico assiale del sistema lungo questo asse non cambia nel tempo.

Le formulazioni sopra riportate nei corollari sono le espressioni legge di conservazione del momento angolare in sistemi isolati .

Momento cinetico di un corpo rigido

Considera un caso speciale: la rotazione di un corpo rigido attorno all'asse di Oz (Fig. 3.4).

Fig.3.4

Punto del corpo, separato dall'asse di rotazione da una distanza h k, ruota su un piano parallelo a Oxy con una velocità di . In accordo con la definizione del momento assiale, utilizziamo l'espressione (1.19), in sostituzione della proiezione F Forza XY su questo piano per la quantità di moto del punto . Stimiamo il momento cinetico assiale del corpo:

Secondo il teorema di Pitagora , quindi la (3.46) può essere scritta come segue:

(3.47)

Allora l'espressione (3.45) assumerà la forma:

(3.48)

Se utilizziamo la legge di conservazione del momento angolare per un sistema parzialmente isolato (Corollario 2) applicata a un corpo solido (3.48), otteniamo . In questo caso si possono considerare due opzioni:

DOMANDE PER AUTOCONTROLLO

1. Come viene determinato il momento angolare di un corpo rigido rotante?

2. Qual è la differenza tra il momento di inerzia assiale e il momento cinetico assiale?

3. Come cambia nel tempo la velocità di rotazione di un corpo rigido in assenza di forze esterne?

Momento d'inerzia assiale di un corpo rigido

Come vedremo più avanti, il momento d'inerzia assiale del corpo ha per il moto rotatorio del corpo lo stesso significato della massa del corpo durante la sua movimento in avanti. Questa è una delle caratteristiche più importanti del corpo, che determina l'inerzia del corpo durante la sua rotazione. Come si evince dalla definizione (3.45), si tratta di una grandezza scalare positiva, che dipende dalle masse dei punti del sistema, ma in misura maggiore dalla distanza dei punti dall'asse di rotazione.

Per corpi solidi omogenei di forma semplice, il valore del momento di inerzia assiale, come nel caso della stima della posizione del baricentro (3.8), viene considerato con il metodo dell'integrazione, utilizzando al posto di una massa discreta la massa di un volume elementare dm=ρdV:

(3.49)

Per riferimento, diamo i valori dei momenti di inerzia per alcuni corpi semplici:

m e lunghezza l rispetto all'asse passante perpendicolare all'asta attraverso il suo centro (Fig. 3.5).

Fig.3.5

momento di inerzia di thin bastoncino omogeneo il peso m e lunghezza l rispetto all'asse passante perpendicolare all'asta attraverso la sua estremità (Fig. 3.6).

Fig.3.6

Il momento d'inerzia di un sottile anello omogeneo con massa m e raggio R rispetto all'asse passante per il suo centro perpendicolare al piano dell'anello (Fig. 3.7).

Fig.3.7

Il momento d'inerzia di un disco sottile omogeneo con massa m e raggio R rispetto all'asse passante per il suo centro perpendicolare al piano del disco (Fig. 3.7).

Fig.3.8

· Momento d'inerzia di un corpo di forma arbitraria.

Per i corpi di forma arbitraria, il momento d'inerzia si scrive nella forma seguente:

dove ρ - cosiddetto. raggio di rotazione corpo, o il raggio di un certo anello condizionale con una massa m, il cui momento d'inerzia assiale è uguale al momento d'inerzia del corpo dato.

Teorema di Huygens-Steiner

Fig.3.9

Associa due sistemi di coordinate parallele al corpo. Il primo Cx"y"z", con l'origine al centro di massa, è detto centrale, e il secondo Oxyz, con il centro O, giacente sull'asse Cx" ad una distanza CO = d(Figura 3.9). È facile stabilire connessioni tra le coordinate dei punti del corpo per questi sistemi:

Secondo la formula (3.47), il momento d'inerzia del corpo attorno all'asse Oz:

Qui, le costanti per tutti i termini della 2a e 3a somma del lato destro sono i fattori 2 d e d rimosso dai rispettivi importi. La somma delle masse nel terzo termine è la massa del corpo. La seconda somma, in accordo con (3.7), determina la coordinata del centro di massa C sull'asse Cx "(), e l'uguaglianza è ovvia: . Tenendo conto che il 1° termine, per definizione, è il momento di inerzia del corpo rispetto a asse centrale Cz" (o Z C) , otteniamo la formulazione del teorema di Huygens-Steiner:

(3.50)

Il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un certo asse è uguale alla somma del momento d'inerzia del corpo attorno ad un asse centrale parallelo e il prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza tra questi assi.

DOMANDE PER AUTOCONTROLLO

1. Fornisci formule per momenti assiali inerzia dello stelo, anello, disco.

2. Trova il raggio di rotazione di un cilindro solido rotondo attorno al suo asse centrale.

Teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema

Il concetto di quantità di moto di una forza permette di formulare un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema per sistemi arbitrari:

dove è l'iniziale, ed è l'impulso finale di un sistema isolato che interagisce con altri sistemi solo attraverso le forze. Infatti, in questa formulazione, la legge di conservazione della quantità di moto è equivalente alla seconda legge di Newton ed è il suo integrale nel tempo, poiché

Teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale

Considera un punto materiale M il peso m muoversi sotto l'influenza di una forza F (Figura 3.1). Scriviamo e costruiamo il vettore del momento angolare (momento cinetico) M 0 punto materiale rispetto al centro o :

Figura 3.1

Differenziare l'espressione per il momento della quantità di moto (momento cinetico K 0) per tempo:

Perché dott /dt = V , quindi il prodotto vettoriale V ⊗ m⋅V (vettori collinari V e m⋅V ) è zero. Allo stesso tempo d(m⋅V) /dt = F secondo il teorema sulla quantità di moto di un punto materiale. Pertanto, lo otteniamo

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

dove r ⊗F = M 0 (F) – vettore-momento di forza F rispetto al centro fisso o . Vettore K 0 ⊥ piano ( r,m ⊗V ), e il vettore M 0 (F) ⊥ aereo ( r ,F ), finalmente abbiamo

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

L'equazione (3.4) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza che agisce sul punto rispetto allo stesso centro.

Proiettando l'uguaglianza (3.4) sugli assi delle coordinate cartesiane, otteniamo

dk x /dt = Mx(F); dk y /dt = mia a(F); dkz /dt = Mz(F) . (3.5)

Consideriamo le conseguenze che seguono dai teoremi (3.4) e (3.5).

Conseguenza 1. Considera il caso in cui la forza F durante l'intero movimento del punto passa per il centro fisso o (caso di forza centrale), cioè quando M 0 (F) = 0. Allora dal Teorema (3.4) ne segue che K 0 = cost ,

quelli. nel caso di una forza centrale, il momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro di questa forza rimane costante in grandezza e direzione (Figura 3.2).

Figura 3.2

Dalla condizione K 0 = cost ne consegue che la traiettoria del punto in movimento è una curva piana, il cui piano passa per il centro di questa forza.

Conseguenza 2. Permettere Mz(F) = 0, cioè la forza attraversa l'asse z o parallelamente ad esso. In questo caso, come si può vedere dalla terza delle equazioni (3.5), kz = cost ,

quelli. se il momento della forza che agisce sul punto rispetto a qualsiasi asse fisso è sempre uguale a zero, allora il momento angolare (momento cinetico) del punto rispetto a tale asse rimane costante.