Oscillazioni libere di sistemi a parametri distribuiti

La caratteristica principale del processo vibrazioni libere sistemi con un numero infinito di gradi di libertà si esprime nell'infinito del numero di frequenze naturali e modi di oscillazione. Ciò è legato anche alle caratteristiche di natura matematica: al posto delle ordinarie equazioni differenziali che descrivono le oscillazioni di sistemi con un numero finito di gradi di libertà, qui si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali. Oltre alle condizioni iniziali che determinano gli spostamenti e le velocità iniziali, è necessario tenerne conto condizioni di confine caratterizzante il fissaggio del sistema.

6.1. Vibrazioni longitudinali delle aste

Quando si analizzano le vibrazioni longitudinali di un'asta rettilinea (Fig. 67, a), assumeremo che le sezioni trasversali rimangano piatte e che le particelle dell'asta non compiano movimenti trasversali, ma si muovano solo in direzione longitudinale.

Lascia stare tu - spostamento longitudinale della sezione di corrente dell'asta durante le vibrazioni; questo spostamento dipende dalla posizione della sezione (coordinate x) e dal tempo t. Quindi esiste una funzione di due variabili; la sua definizione è il compito principale. Il movimento di una sezione infinitamente vicina è uguale, quindi l'allungamento assoluto di un elemento infinitamente piccolo è (Fig. 67, b) e il suo allungamento relativo è .

Di conseguenza, la forza longitudinale nella sezione con la coordinata X può essere scritto nel modulo

,(173)

dove è la rigidità a trazione (compressione) dell'asta. La forza N è anche una funzione di due argomenti: le coordinate X e tempo t.

Si consideri un elemento ad asta situato tra due sezioni infinitamente vicine (Fig. 67, c). Una forza N viene applicata al lato sinistro dell'elemento e una forza viene applicata al lato destro. Se indicata dalla densità del materiale dell'asta, la massa dell'elemento in esame è . Pertanto, l'equazione del moto nella proiezione sull'asse X

,

Considerando(173) e assumendo UN= const , otteniamo

Seguendo il metodo di Fourier, cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione differenziale (175) nella forma

,(177)

quelli. Supponiamo che si muova tu può essere rappresentato come un prodotto di due funzioni, una delle quali dipende solo dall'argomento X, e l'altro solo dall'argomento t . Quindi, invece di definire una funzione di due variabili u (x , t ), è necessario definire due funzioni X(x ) e T(t ), ognuna delle quali dipende da una sola variabile.

Sostituendo (177) in (174), otteniamo

dove i numeri primi denotano l'operazione di differenziazione rispetto a X e punti T. Riscriviamo questa equazione in questo modo:

Qui il lato sinistro dipende solo da x e il lato destro dipende solo da t. Per l'identico compimento di questa uguaglianza (per ogni X e t) è necessario che ciascuna delle sue parti sia uguale ad una costante, che indichiamo con:

; .(178)

Ne derivano due equazioni:

;.(179)

La prima equazione ha una soluzione:

,(180)

indicando un carattere oscillatorio, e dalla (180) è chiaro che l'incognita ha il significato della frequenza delle oscillazioni libere.

La seconda delle equazioni (179) ha una soluzione:

,(181)

determinare la forma delle vibrazioni.

L'equazione della frequenza che determina il valore di , viene compilata utilizzando le condizioni al contorno. Questa equazione è sempre trascendentale e ha un numero infinito di radici. Pertanto, il numero di frequenze naturali è infinito e ogni valore di frequenza corrisponde alla propria funzione T n (t ), determinata dalla dipendenza (180), e alla propria funzione Xn (x ), determinata dalla dipendenza (181). La soluzione (177) è solo parziale e non fornisce una descrizione completa del moto. La soluzione completa si ottiene sovrapponendo tutte le soluzioni particolari:

.

Vengono chiamate le funzioni X n (x ). proprie funzioni compiti e descrivere le proprie modalità di oscillazione. Non dipendono dalle condizioni iniziali e soddisfano la condizione di ortogonalità, che per A=const ha la forma

, Se .

Consideriamo alcune varianti delle condizioni al contorno.

Estremità stelo fissa(Fig. 68, a). Nella sezione terminale, lo spostamento u deve essere uguale a zero; quindi ne consegue che in questa sezione

X=0(182)

Estremità stelo libera(Fig. 68b). Nella sezione terminale, la forza longitudinale

(183)

deve essere uguale a zero, possibile se X"=0 nella sezione finale.

fissato in modo resiliente estremità dello stelo(Fig. 68, c).

Quando ti muovi tu dell'asta terminale si verifica una reazione elastica del supporto , dove C circa - la rigidità del supporto. Tenendo conto della (183) per la forza longitudinale, otteniamo la condizione al contorno

se il supporto si trova all'estremità sinistra dell'asta (Fig. 68, c), e

se il supporto si trova all'estremità destra dell'asta (Fig. 68, d).

Massa concentrata all'estremità dell'asta.

La forza d'inerzia sviluppata dalla massa:

.

Poiché, secondo la prima delle equazioni (179), , la forza di inerzia può essere scritta come . Otteniamo la condizione al contorno

,

se la massa è all'estremità sinistra (Fig. 68, e), e

, (184)

se la massa è collegata all'estremità destra (Fig. 68, f).

Determiniamo le frequenze naturali dell'asta a sbalzo (Fig. 68, a").

Secondo (182) e (183), le condizioni al contorno

X=0 a x=0;

X"=0 quando x= .

Sostituendo queste condizioni una ad una nella soluzione (181), otteniamo

La condizione C0 porta all'equazione della frequenza:

Le radici di questa equazione

(n=1,2,…)

determinare le frequenze naturali:

(n=1,2,…).(185)

Prima frequenza (più bassa) a n=1:

.

Seconda frequenza (quando n=2):

Determiniamo le frequenze naturali dell'asta con massa all'estremità (Fig. 68, f).

Secondo (182) e (184), abbiamo

X=0 a x=0;

a x=.

Sostituendo queste condizioni nella soluzione (181), otteniamo:

D=0; .

Di conseguenza, l'equazione della frequenza, tenendo conto della (176), ha la forma

.

Qui, il lato destro è il rapporto tra la massa dell'asta e la massa del carico finale.

Per risolvere l'equazione trascendentale risultante, è necessario utilizzare un metodo approssimativo.

Per e i valori della radice più importante saranno rispettivamente 0,32 e 0,65.

Con un piccolo rapporto, il carico ha un'influenza decisiva e bei risultati fornisce una soluzione approssimativa

.

Per barre di sezione variabile, ad es. in Аconst , da (173) e (174) si ottiene l'equazione del moto nella forma

.

Questa equazione differenziale non può essere risolta in forma chiusa. Pertanto, in questi casi, si deve ricorrere a metodi approssimativi per determinare le frequenze naturali.

6.2. Vibrazioni torsionali degli alberi

Le vibrazioni torsionali dell'albero con una massa distribuita in modo continuo (Fig. 69, a) sono descritte da equazioni che coincidono completamente nella struttura con le equazioni delle vibrazioni longitudinali delle aste sopra riportate.

Coppia M in sezione con ascissa Xè correlato all'angolo di rotazione da una dipendenza differenziale simile a (173):

dove Jpè il momento d'inerzia polare della sezione d'urto.

In una sezione a distanza dx, la coppia è (Fig. 69, b):

Indicando attraverso (dove è la densità del materiale dell'albero) l'intensità del momento d'inerzia della massa dell'albero rispetto al suo asse (cioè, il momento d'inerzia di un'unità di lunghezza), l'equazione del moto di una sezione elementare del albero può essere scritto come segue:

,

o come (174):

.

Sostituendo qui l'espressione (186), con Jp=const otteniamo, analogamente a (175):

, (187)

La soluzione generale dell'equazione (187), così come l'equazione (175), ha la forma

,

(188)

Le autofrequenze e le autofunzioni sono determinate da condizioni al contorno specifiche.

Nei casi principali di fissaggio delle estremità, analogamente al caso delle vibrazioni longitudinali, si ottiene

a) estremità fissa (=0): X=0;

b) estremità libera (M=0): X"=0;

in) fissato elasticamente estremità sinistra: СoХ=GJpX "(Coefficiente di rigidità);

G) fissato elasticamente estremità destra: -CoX=GJpX ";

e) disco all'estremità sinistra: (Jo è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse dell'asta);

f) disco all'estremità destra: .

Se l'albero è fissato all'estremità sinistra (x=0) e l'estremità destra (x= ) è libera, allora X=0 in x=0 e X"=0 in x= ; le frequenze naturali sono determinate in modo simile (185 ):

(n=1,2,…).

Se l'estremità sinistra è fissa e c'è un disco all'estremità destra, otteniamo l'equazione trascendentale:

.

Se entrambe le estremità dell'albero sono fisse, le condizioni al contorno saranno X=0 a x=0 e x= . In questo caso, dalla (188) otteniamo

quelli.

(n=1,2,…),

da qui troviamo le frequenze naturali:

Se l'estremità sinistra dell'albero è libera e c'è un disco all'estremità destra, allora X"=0 at x=0; Jo X=GJpX" at x=.

Usando (188), troviamo

C=0; ,

o l'equazione della frequenza trascendentale:

.

6.3 Vibrazioni flessionali delle travi

6.3.1 Equazione di base

Dal corso della resistenza dei materiali, sono note dipendenze differenziali per le travi a flessione:

dove EJ - rigidità alla flessione; y \u003d y (x, t) - deflessione; M=M(x, t) - momento flettente; q è l'intensità del carico distribuito.

Combinando (189) e (190), otteniamo

.(191)

Nel problema delle oscillazioni libere, il carico per lo scheletro elastico è dato dalle forze di inerzia distribuite:

dove m è l'intensità di massa del raggio (massa per unità di lunghezza) e l'equazione (191) diventa

.

Nel caso speciale di una sezione costante, quando EJ = const , m = const , abbiamo:

.(192)

Per risolvere l'equazione (192), assumiamo, come sopra,

y=X( X )× T( t).(193)

Sostituendo (193) in (192), si arriva all'equazione:

.

Perché questa uguaglianza sia identica, è necessario che ciascuna delle parti dell'uguaglianza sia costante. Denotando questa costante con , otteniamo due equazioni:

.(195)

La prima equazione indica che il moto è oscillatorio con la frequenza.

La seconda equazione definisce la forma delle oscillazioni. La soluzione dell'equazione (195) contiene quattro costanti e ha la forma

È conveniente utilizzare la variante di scrittura della soluzione generale proposta da A.N. Krylov:

(198)

sono funzioni di AN Krylov.

Prestiamo attenzione al fatto che S=1, T=U=V=0 a x=0. Funzioni S,T,U,V sono interconnessi come segue:

Pertanto, le espressioni derivate (197) sono scritte nella forma

(200)

Nei problemi della classe in esame, il numero di autofrequenze è infinitamente grande; ognuno di essi ha la propria funzione temporale T n e la propria funzione fondamentale X n . La soluzione generale si ottiene imponendo soluzioni parziali della forma (193)

.(201)

Per determinare le frequenze naturali e le formule, è necessario considerare le condizioni al contorno.

6.3.2. Condizioni di confine

Per ciascuna estremità della barra è possibile specificare due condizioni al contorno .

Estremità stelo libera(Fig. 70, a). La forza trasversale Q=EJX"""T e il momento flettente M=EJX""T sono pari a zero. Pertanto, le condizioni al contorno hanno la forma

X""=0; X"""=0 .(202)

Estremità incernierata dell'asta(Fig. 70b). La deflessione y=XT e il momento flettente M=EJX""T sono pari a zero. Pertanto, le condizioni al contorno sono:

X=0 ; X""=0 .(203)

estremità pizzicata(Fig. 70, c). La deflessione y=XT e l'angolo di rotazione sono pari a zero. Condizioni di confine:

X=0; X"=0 . (204)

Alla fine dell'asta c'è una massa puntiforme(Fig. 70d). La sua forza d'inerzia può essere scritto usando l'equazione (194) come segue: ; deve essere uguale alla forza trasversale Q=EJX"""T , quindi le condizioni al contorno assumono la forma

; X""=0 .(205)

Nella prima condizione, il segno più è accettato nel caso in cui il peso del punto sia collegato all'estremità sinistra dell'asta e il segno meno quando è collegato all'estremità destra dell'asta. La seconda condizione deriva dall'assenza di momento flettente.

Estremità dell'asta supportata elasticamente(Fig. 70, e). Qui il momento flettente è uguale a zero e la forza trasversale Q=EJX"""T è uguale alla reazione del supporto (C o -coefficiente di rigidità del supporto).

Condizioni di confine:

X""=0 ; (206)

(il segno meno è preso quando il supporto elastico è a sinistra, e il segno più quando è a destra).

6.3.3. Equazione di frequenza ed autoforme

Una registrazione estesa delle condizioni al contorno porta a equazioni omogenee per le costanti C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .

Perché queste costanti non siano uguali a zero, il determinante composto dai coefficienti del sistema deve essere uguale a zero; questo porta a un'equazione di frequenza. Durante queste operazioni si rilevano le relazioni tra C 1 , C 2 , C 3 , C 4, cioè vengono determinati gli automodi di oscillazione (fino a un fattore costante).

Tracciamo la compilazione di equazioni di frequenza usando esempi.

Per una trave con estremità incernierate secondo la (203) si hanno le seguenti condizioni al contorno: X=0; X""=0 quando x=0 e x= . Con l'aiuto di (197)-(200) otteniamo dalle prime due condizioni: C 1 =C 3 =0. Le restanti due condizioni possono essere scritte come

Affinché C 2 e C 4 non siano uguali a zero, il determinante deve essere uguale a zero:

.

Pertanto, l'equazione della frequenza ha la forma

.

Sostituendo le espressioni T e U, otteniamo

Poiché , quindi l'equazione della frequenza finale è scritta come segue:

. (207)

Le radici di questa equazione sono:

,(n=1,2,3,...).

Tenendo conto della (196), otteniamo

.(208)

Passiamo alla definizione delle nostre forme. Dalle equazioni omogenee scritte sopra, segue la seguente relazione tra le costanti C 2 e C 4:

.

Di conseguenza, (197) assume la forma

Secondo (207), abbiamo

,(209)

dove è una nuova costante, il cui valore rimane indeterminato fino a quando non vengono prese in considerazione le condizioni iniziali.

6.3.4. Definizione di moto per condizioni iniziali

Se è necessario determinare il movimento successivo alla perturbazione iniziale, è necessario specificare sia gli spostamenti iniziali che le velocità iniziali per tutti i punti della trave:

(210)

e usa la proprietà di ortogonalità delle autoforme:

.

Scriviamo la soluzione generale (201) come segue:

.(211)

La velocità è determinata dall'espressione

.(212)

Sostituendo nella parte destra delle equazioni (211) e (212) e nella parte sinistra - gli spostamenti e le velocità iniziali noti assunti, otteniamo

.

Moltiplicando queste espressioni per e integrando per l'intera lunghezza, abbiamo

(213)

Le somme infinite ai lati destro sono scomparse a causa della proprietà di ortogonalità. Da (213) seguono le formule per le costanti e

(214)

Ora questi risultati devono essere sostituiti in soluzione (211).

Ancora una volta, sottolineiamo che la scelta della scala delle forme appropriate non è essenziale. Se, ad esempio, nell'espressione della propria forma (209) prendiamo invece un valore volte maggiore, allora (214) darà risultati volte minori; dopo la sostituzione in soluzione (211), queste differenze si annullano a vicenda. Tuttavia, vengono spesso utilizzate autofunzioni normalizzate, scegliendo la loro scala in modo che i denominatori delle espressioni (214) siano uguali a uno, il che semplifica le espressioni e .

6.3.5. Influenza della forza longitudinale costante

Consideriamo il caso in cui la trave oscillante subisce l'azione di una forza longitudinale N, il cui valore non cambia durante il processo di oscillazione. In questo caso, l'equazione di flessione statica diventa più complicata e prende la forma (supponendo che la forza di compressione sia considerata positiva)

.

Assumendo e assumendo costante la rigidità, otteniamo l'equazione delle vibrazioni libere

.(215)

Prendiamo ancora una soluzione particolare nella forma

Quindi l'equazione (215) si divide in due equazioni:

La prima equazione esprime la natura oscillatoria della soluzione, la seconda determina la forma delle oscillazioni e consente anche di trovare le frequenze. Riscriviamolo così:

(216)

dove Kè determinato dalla formula (196), e

La soluzione dell'equazione (216) ha la forma

Considera il caso in cui entrambe le estremità dell'asta hanno supporti incernierati. Condizioni all'estremità sinistra dare . Soddisfacendo le stesse condizioni all'estremità destra, otteniamo

Uguagliando a zero il determinante, composto dai coefficienti ai valori e , si arriva all'equazione

Le radici di questa equazione di frequenza sono:

Pertanto, la frequenza naturale è determinata dall'equazione

.

Quindi, tenendo conto della (217), troviamo

.(219)

Quando è allungata, la frequenza aumenta, quando è compressa, diminuisce. Quando la forza di compressione N si avvicina a un valore critico, la radice tende a zero.

6.3.6. Effetto delle forze a catena

In precedenza, la forza longitudinale era considerata data e indipendente dagli spostamenti del sistema. In alcuni problemi pratici, la forza longitudinale che accompagna il processo di vibrazioni trasversali nasce dalla flessione della trave ed è nella natura della reazione del supporto. Si consideri, ad esempio, una trave su due supporti fissi incernierati. Quando è piegato, si verificano reazioni orizzontali degli appoggi, provocando l'allungamento della trave; si chiama la forza orizzontale corrispondente forza della catena. Se il raggio emette vibrazioni trasversali, la forza della catena cambierà nel tempo.

Se in un istante t le deviazioni della trave sono determinate dalla funzione, allora l'allungamento dell'asse può essere trovato dalla formula

.

La forza della catena corrispondente può essere trovata usando la legge di Hooke

.

Sostituiamo questo risultato in (215) al posto della forza longitudinale N (tenendo conto del segno)

.(220)

Il risultante non lineare integro-differenziale l'equazione è semplificata sostituendo

,(221)

dov'è la funzione adimensionale del tempo, valore massimo che può essere impostato uguale a qualsiasi numero, ad esempio uno; ampiezza di oscillazione.

Sostituendo (221) in (220), otteniamo l'equazione differenziale ordinaria

,(222)

i cui coefficienti hanno i seguenti valori:

;.

L'equazione differenziale (222) non è lineare, quindi la frequenza delle oscillazioni libere dipende dalla loro ampiezza.

La soluzione esatta per la frequenza delle vibrazioni trasversali ha la forma

dove è la frequenza delle oscillazioni trasversali, calcolata senza tener conto delle forze della catena; fattore di correzione in funzione del rapporto tra l'ampiezza di oscillazione e il raggio di rotazione della sezione trasversale; il valore è riportato nella letteratura di riferimento.

Quando l'ampiezza e il raggio di rotazione della sezione trasversale sono comparabili, la correzione alla frequenza diventa significativa. Se, ad esempio, l'ampiezza di oscillazione di un'asta di sezione circolare è uguale al suo diametro, allora , e la frequenza è quasi due volte maggiore rispetto al caso di spostamento libero degli appoggi.

Il caso corrisponde al valore zero del raggio di inerzia, quando la rigidità alla flessione della trave è evanescente: una corda. In questo caso, la formula per fornisce un'incertezza. Rivelando questa incertezza, otteniamo una formula per la frequenza delle vibrazioni della corda

.

Questa formula si riferisce al caso in cui la tensione è zero nella posizione di equilibrio. Il problema delle vibrazioni delle corde si pone spesso sotto altri presupposti: si presume che gli spostamenti siano piccoli e la forza di trazione sia data e rimanga invariata durante le vibrazioni.

In questo caso, la formula per la frequenza ha la forma

dove N è una forza di trazione costante.

6.4. Influenza dell'attrito viscoso

In precedenza, si presumeva che il materiale delle aste fosse idealmente elastico e non vi fosse attrito. Si consideri l'effetto dell'attrito interno, assumendo che sia viscoso; quindi la relazione tra sollecitazioni e deformazioni è descritta dalle relazioni

;.(223)

Lascia che un'asta con parametri distribuiti esegua vibrazioni longitudinali libere. In questo caso, la forza longitudinale sarà scritta nel modulo

Dall'equazione del moto dell'elemento ad asta si ricava la relazione (174).

Sostituendo qui la (224), si arriva all'equazione differenziale principale

,(225)

che differisce da (175) per il secondo termine, che esprime l'influenza delle forze di attrito viscose.

Seguendo il metodo di Fourier, stiamo cercando una soluzione all'equazione (225) nella forma

,(226)

dove la funzione è solo x coordinate e la funzione è solo il tempo t.

In questo caso, ogni membro della serie deve soddisfare le condizioni al contorno del problema e l'intera somma deve soddisfare anche le condizioni iniziali. Sostituendo(226) in(225) e richiedendo che l'uguaglianza sia soddisfatta per qualsiasi numero R, noi abbiamo

,(227)

dove i numeri primi denotano differenziazione rispetto alla coordinata X, e i punti sono differenziazione rispetto al tempo t.

Dividendo (227) per il prodotto , arriviamo all'uguaglianza

,(228)

il lato sinistro, che può dipendere solo dalla coordinata X, e quello giusto - solo dall'ora t. Per l'identico compimento dell'uguaglianza (228), è necessario che entrambe le parti siano uguali alla stessa costante, che indichiamo con .

Da questo seguono le equazioni

(229)

.(230)

L'equazione (229) non dipende dal coefficiente di viscosità K e, in particolare, rimane la stessa nel caso di un sistema perfettamente elastico, quando . Pertanto, i numeri coincidono completamente con quelli trovati in precedenza; tuttavia, come verrà mostrato di seguito, il valore fornisce solo un valore approssimativo della frequenza naturale. Si noti che le autoforme sono completamente indipendenti dalle proprietà viscose dell'asta, cioè le forme delle oscillazioni libere smorzate coincidono con le forme delle oscillazioni libere non smorzate.

Passiamo ora all'equazione (230), che descrive il processo delle oscillazioni smorzate; la sua soluzione sembra

.(233)

L'espressione (232) determina la velocità di smorzamento e (233) determina la frequenza di oscillazione.

In questo modo, soluzione completa equazioni del problema

.(234)

Costante e si può sempre trovare in determinate condizioni iniziali. Si forniscano gli spostamenti iniziali e le velocità iniziali di tutte le sezioni dell'asta come segue:

;,(235)

dove e sono funzioni note.

Allora per , secondo (211) e (212), abbiamo

moltiplicando entrambe le parti di queste uguaglianze e integrandole sull'intera lunghezza dell'asta, otteniamo

(236)

Secondo la condizione di ortogonalità degli autoforme, tutti gli altri termini inclusi nella parte destra di queste uguaglianze svaniscono. Ora è facile trovare dalle uguaglianze (236) per qualsiasi numero r .

Considerando (232) e (234), notiamo che maggiore è il numero del modo di vibrazioni, più veloce è il suo smorzamento. Inoltre, i termini in (234) descrivono oscillazioni smorzate se esiste un numero reale. Si può vedere dalla (233) che ciò avviene solo per pochi valori iniziali di r purché la disuguaglianza

Per valori sufficientemente grandi R la disuguaglianza (237) viene violata e la quantità diventa immaginaria. In questo caso, i termini corrispondenti della soluzione generale (234) non descriveranno più oscillazioni smorzate, ma rappresenteranno un moto smorzato aperiodico. In altre parole, le fluttuazioni, nel senso usuale del termine, esprimono solo una parte finita della somma (234).

Tutte queste conclusioni qualitative si applicano non solo al caso delle vibrazioni longitudinali, ma anche ai casi delle vibrazioni torsionali e flessionali.

6.5. Vibrazioni di barre di sezione variabile

Nei casi in cui la massa distribuita e la sezione trasversale dell'asta sono variabili lungo la sua lunghezza, invece dell'equazione delle vibrazioni longitudinali (175), si dovrebbe procedere dall'equazione

.(238)

L'equazione della vibrazione torsionale (187) dovrebbe essere sostituita dall'equazione

,(239)

e l'equazione delle oscillazioni trasversali (192) - dall'equazione

.(240)

Le equazioni (238)-(240) con l'ausilio di sostituzioni dello stesso tipo ;; possono essere ridotte a equazioni differenziali ordinarie per la funzione

1

Viene proposto un metodo di frequenza per risolvere il problema delle vibrazioni longitudinali di barre a sezione variabile a gradini, con o senza tener conto della dissipazione di energia all'impatto con un ostacolo rigido. L'equazione delle vibrazioni longitudinali dell'asta viene trasformata secondo Laplace in presenza di condizioni iniziali diverse da zero. risolto problema del valore limite, che consiste nel trovare le forze longitudinali del bordo trasformate da Laplace in funzione degli spostamenti del bordo. Quindi, viene compilato un sistema di equazioni per l'equilibrio dei nodi, risolvendo le quali vengono costruite le caratteristiche di ampiezza-fase-frequenza (APFC) per le sezioni di interesse dell'asta. Eseguendo la trasformata inversa di Laplace, si costruisce un processo transitorio. Come esempio di prova, viene considerata una barra di sezione costante di lunghezza finita. Viene fornito un confronto con la soluzione d'onda nota. Il metodo proposto per il calcolo dinamico di un'asta in collisione con un ostacolo rigido consente generalizzazioni ad un sistema di aste arbitrario in presenza di un numero illimitato di masse fissate elasticamente, con una forza arbitraria applicata alle estremità e lungo la lunghezza della asta.

metodo di frequenza

vibrazioni longitudinali dell'asta

1. Biderman, V.L. Teoria applicata vibrazioni meccaniche/ V.L. Biderman. - M.: Scuola superiore, 1972. - 416 pag.

2. Lavrentiev, MA Metodi della teoria delle funzioni di una variabile complessa / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabbat. – M.: Nauka, 1973. – 736 pag.

3. Sankin, Yu.N. Caratteristiche dinamiche di sistemi viscoelastici a parametri distribuiti / Yu.N. Affondò. - Saratov: casa editrice Sarat. un-ta, 1977. - 312 p.

4. Sankin, Yu.N. Vibrazioni non stazionarie di sistemi di aste in collisione con un ostacolo / Yu.N. Sankin, NA Yuganova; sotto totale ed. Yu.N. Affondò. - Ulyanovsk: UlGTU, 2010. - 174 pag.

5. Sankin, Y.N. Vibrazioni longitudinali di barre elastiche di sezione variabile a gradino che collidono con un ostacolo rigido \ Yu. N. Sankin e N.A. Yuganova, J. Appl. Meccanismi matematici, vol. 65, n. 3, pp. 427-433, 2001.

Consideriamo il metodo della frequenza per risolvere il problema delle vibrazioni longitudinali di barre a sezione variabile a gradini, con o senza la dissipazione di energia all'impatto con un ostacolo rigido, che confronteremo con la soluzione d'onda nota e la soluzione sotto forma di una serie di modi di vibrazione (14) .

L'equazione differenziale delle vibrazioni longitudinali dell'asta, tenendo conto delle forze di resistenza interna, ha la forma:

Impostiamo le seguenti condizioni al contorno e iniziali:

. (2)

Trasformiamo l'equazione (1) e le condizioni al contorno (2) secondo Laplace per dato condizioni iniziali(2). Quindi l'equazione (2) e le condizioni al contorno (2) saranno scritte come segue:

; (3)

,

dove sono gli spostamenti trasformati da Laplace delle punte dell'asta; p è il parametro di trasformazione di Laplace.

L'equazione (3) senza tener conto della dissipazione di energia (a = 0) assumerà la forma:

. (4)

Per l'equazione differenziale disomogenea risultante, viene risolto un problema di valore al contorno, che consiste nel trovare le forze longitudinali del bordo trasformate da Laplace in funzione degli spostamenti del bordo.

Per questo, consideriamo l'equazione omogenea delle vibrazioni longitudinali dell'asta, tenendo conto della dissipazione di energia

(5)

denotando

e passando ad una nuova variabile otteniamo invece di (5)

(6)

Se, dove è il parametro di frequenza, allora

.

Soluzione equazione omogenea(6) ha la forma:

Le costanti di integrazione c1 e c2 si trovano dalle condizioni iniziali:

u = u0 ; N = N0,

Quelli. ;

Questa soluzione corrisponde alla seguente matrice di trasferimento:

. (7)

Sostituendo le espressioni ottenute per gli elementi della matrice di trasferimento nelle formule del metodo dello spostamento, otteniamo:

; (8)

;

Gli indici n e k indicano rispettivamente l'inizio e la fine della sezione dell'asta. E le costanti geometriche e fisiche con gli indici nk e kn si riferiscono ad una specifica sezione dell'asta.

Spezzando l'asta in elementi, utilizzando le formule (8), comporremo le equazioni di equilibrio dinamico dei nodi. Queste equazioni sono un sistema di equazioni per spostamenti nodali sconosciuti. Poiché i coefficienti corrispondenti sono ottenuti per integrazione esatta, la lunghezza delle sezioni dell'asta non è limitata.

Risolvendo il sistema di equazioni risultante per , costruiamo le caratteristiche ampiezza-fase-frequenza per le sezioni dell'asta che ci interessano. Questi AFC possono essere visti come un'immagine grafica di una trasformata di Fourier unilaterale, che coincide con la trasformata di Laplace sotto azioni impulsive. Poiché tutti i punti singolari delle espressioni corrispondenti giacciono a sinistra dell'asse immaginario, la trasformazione inversa può essere eseguita impostando , cioè utilizzando l'AFC costruito. Il compito di costruire l'AFC, dove il campo delle velocità iniziali moltiplicato per la densità dell'asta appare come una forza, è ausiliario. Di solito, le AFC sono costruite dall'influenza di forze perturbatrici, quindi la trasformata di Laplace inversa viene eseguita mediante integrazione numerica o in qualche altro modo.

Come semplice esempio si consideri un'asta dritta di lunghezza l, che urta longitudinalmente con un ostacolo rigido a velocità V0 (Fig. 1).

Determiniamo lo spostamento delle punte dell'asta dopo l'impatto. Assumiamo che dopo l'urto si mantenga il contatto tra l'ostacolo e l'asta, cioè il rimbalzo dell'asta non si verifica. Se la connessione non è di ritenzione, il problema può essere considerato lineare a tratti. Il criterio per il passaggio ad un'altra soluzione è il cambio di segno della velocità nel punto di contatto.

Nella monografia di Lavrentiev M.A., Shabat B.V. la soluzione d'onda dell'equazione (4) è data:

e ha trovato il suo originale

, (9)

dov'è la funzione del passo unitario.

Un altro approccio per risolvere questo problema può essere effettuato con il metodo della frequenza descritto in . Per questo problema avremo:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Troviamo l'originale (11)

Risolviamo lo stesso problema in modo frequenza. Dall'equazione di equilibrio del 1° nodo:

(12)

otteniamo una formula per spostare l'estremità dell'asta.

Ora, se l'asta di prova di sezione trasversale costante è divisa in due sezioni arbitrarie di lunghezza l1 e l2 (vedi Fig. 1), le condizioni per l'equilibrio dei nodi saranno le seguenti:

(13)

Come risultato del sistema risolutivo (13), otteniamo grafici della risposta di fase per spostamenti nella 1a e 2a sezione (rispettivamente U1 e U2). Quindi, l'immagine per lo spostamento del bordo in una forma chiusa, tenendo conto della dissipazione di energia, nel caso di (12) e (13) coincide e ha la forma:

. (14)

Verifichiamo la coincidenza dei risultati all'estremità dell'asta. Sulla fig. La figura 2 mostra i grafici della soluzione (10) per x = l0.1 e come risultato del sistema risolutivo (13). Si abbinano perfettamente.

La trasformata discreta di Fourier può essere utilizzata per ottenere il processo transitorio. Il risultato può essere ottenuto eseguendo l'integrazione numerica a t=0… con la formula

. (15)

Sull'AFC (vedi Fig. 2), solo una bobina visibile si manifesta in modo significativo. Pertanto, dovrebbe essere preso un termine della serie (15). Dai grafici di figura 3, si può vedere come la soluzione (9) e la soluzione secondo i modi di oscillazione (11) coincidano con la soluzione di frequenza proposta. L'errore non supera il 18%. La discrepanza risultante è spiegata dal fatto che le soluzioni (9) e (11) non tengono conto della dissipazione di energia nel materiale dell'asta.

Riso. 3. Processo transitorio per l'estremità dell'asta; 1, 2, 3 - grafici costruiti secondo le formule (9), (11), (15), rispettivamente.

come più esempio complesso Consideriamo il problema delle vibrazioni longitudinali di un'asta a gradini (Fig. 4) con un carico all'estremità, che urta un ostacolo rigido ad una velocità V0, e lasciamo che la massa del carico sia uguale alla massa della sezione adiacente della canna:.

Riso. 4. Schema di calcolo delle vibrazioni longitudinali di un'asta a gradini con un carico all'estremità

Introduciamo i tratti caratteristici 1,2,3 dell'asta, in cui calcoleremo gli spostamenti. Componiamo un sistema di equazioni risolutive:

(16)

Come risultato del sistema di risoluzione (16), otteniamo i grafici AFC (Fig. 5) per gli spostamenti nella seconda e terza sezione (rispettivamente U2 () e U3 (). I calcoli sono stati effettuati con i seguenti valori delle costanti: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Sugli AFC ottenuti, solo due turni visibili si mostrano in modo significativo. Pertanto, quando costruiamo il processo transitorio nelle sezioni selezionate, prendiamo due termini della serie (16). Per fare ciò, devi prima definire

Riso. Fig. 5. AFC degli spostamenti nella seconda e terza sezione di un'asta a gradini (vedi Fig. 4)

Allo stesso modo, secondo la formula (15), viene costruito un processo transitorio.

Conclusione: è stato sviluppato un metodo per calcolare le vibrazioni longitudinali delle aste all'impatto con un ostacolo.

Revisori:

Lebedev A.M., Dottore in Scienze Tecniche, Professore Associato, Professore dell'Ulyanovsk Higher scuola di aviazione(Istituto), Ulyanovsk.

Antonets IV, dottore in scienze tecniche, professore dello stato di Ulyanovsk Università Tecnica, Ulyanovsk.

Collegamento bibliografico

Yuganova NA VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI ASTE IN COLLISIONE CON OSTACOLI RIGIDI // Questioni contemporanee scienza e istruzione. - 2014. - N. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (data di accesso: 15/01/2020). Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia di Storia Naturale"

In questa sezione considereremo il problema delle vibrazioni longitudinali di un'asta omogenea. Un'asta è un corpo di forma cilindrica (in particolare prismatica), per allungare o comprimere a cui deve essere applicata una forza nota. Assumeremo che tutte le forze agiscano lungo l'asse dell'asta e ciascuna delle sezioni trasversali dell'asta (Fig. 23) si muova traslativamente solo lungo l'asse dell'asta.

Questa ipotesi è generalmente giustificata se le dimensioni trasversali dell'asta sono piccole rispetto alla sua lunghezza e le forze che agiscono lungo l'asse dell'asta sono relativamente piccole. In pratica, le vibrazioni longitudinali si verificano più spesso quando l'asta viene prima leggermente tesa o, al contrario, compressa, e poi lasciata a se stessa. In questo caso, in esso si verificano vibrazioni longitudinali libere. Desumiamo le equazioni per queste oscillazioni.

Orientiamo l'asse delle ascisse lungo l'asse dell'asta (Fig. 23); a riposo, le estremità dell'asta hanno rispettivamente delle ascisse.Si consideri la sezione; - la sua ascissa a riposo.

Lo spostamento di questa sezione in qualsiasi momento t sarà caratterizzato da una funzione per trovare la quale dobbiamo comporre un'equazione differenziale. Innanzitutto troviamo l'allungamento relativo della sezione dell'asta delimitata dalle sezioni Se l'ascissa della sezione a riposo è ordine superioreè uguale a

Pertanto, l'allungamento relativo dell'asta nella sezione con l'ascissa al tempo t è uguale a

Assumendo che le forze che causano questo allungamento obbediscano alla legge di Hooke, troviamo l'entità della forza di tensione T agente sulla sezione trasversale:

(5.2)

dove è l'area della sezione trasversale dell'asta ed è il modulo di elasticità (modulo di Young) del materiale dell'asta. La formula (5.2) dovrebbe essere ben nota al lettore dalla forza del corso dei materiali.

Di conseguenza, la forza che agisce sulla sezione è uguale a

Poiché le forze sostituiscono l'azione delle parti scartate dell'asta, la loro risultante è uguale alla differenza

Considerando la sezione scelta della canna punto materiale con massa , dove è la densità apparente dell'asta, e applicando ad essa la seconda legge di Newton, componiamo l'equazione

Riducendo e introducendo la notazione, otteniamo l'equazione differenziale delle vibrazioni longitudinali libere dell'asta

Se assumiamo inoltre che una forza esterna calcolata per unità di volume e agente lungo l'asse dell'asta sia applicata all'asta, allora un termine verrà aggiunto al lato destro della relazione (5 3) e l'equazione (5.4) prenderà il modulo

che coincide esattamente con l'equazione delle vibrazioni forzate della corda.

Passiamo ora a stabilire le condizioni iniziali e al contorno del problema e consideriamo il caso pratico più interessante, quando un'estremità dell'asta è fissa e l'altra è libera.

All'estremità libera, la condizione al contorno avrà una forma diversa. Perché a questo fine forze esterne sono assenti, allora anche la forza T agente nella sezione deve essere uguale a zero, cioè

Le oscillazioni si verificano perché nel momento iniziale l'asta si è deformata (allungata o compressa) e sono state date determinate velocità iniziali alle punte dell'asta. Pertanto, dobbiamo conoscere lo spostamento delle sezioni trasversali dell'asta al momento

così come le velocità iniziali delle punte dell'asta

Quindi, il problema delle vibrazioni longitudinali libere di un'asta fissata ad un'estremità, derivanti da compressione o tensione iniziale, ci ha portato all'equazione

con condizioni iniziali

e condizioni al contorno

È l'ultima condizione che distingue dal punto di vista matematico il problema in esame dal problema delle vibrazioni di una corda fissata alle due estremità.

Risolveremo il problema formulato con il metodo di Fourier, ovvero troveremo particolari soluzioni dell'equazione che soddisfino le condizioni al contorno (5.8), nella forma

Poiché l'ulteriore corso della soluzione è analogo a quello già delineato nel § 3, ci limitiamo a brevi indicazioni. Differenziando la funzione , sostituendo le espressioni risultanti nella (5.6) e separando le variabili, otteniamo

(Lasciamo al lettore stabilire da sé che, a causa delle condizioni al contorno, la costante di destra non può essere un numero positivo o zero.) La soluzione generale dell'equazione ha la forma

A causa delle condizioni imposte alla funzione, avremo

Soluzioni che non sono identicamente uguali a zero si ottengono solo se la condizione è soddisfatta, cioè per , dove k può assumere i valori

Quindi, gli autovalori del problema sono i numeri

Ognuno ha la sua funzione

Come già sappiamo, moltiplicando una qualsiasi delle autofunzioni per una costante arbitraria, otterremo una soluzione dell'equazione con le condizioni al contorno impostate. È facile verificare che, dando valori negativi al numero k, non otterremo nuove autofunzioni (ad esempio, quando otteniamo una funzione che differisce dall'autofunzione ) solo nel segno),

Dimostriamo innanzitutto che le autofunzioni (5.11) sono ortogonali nell'intervallo . Infatti, a

Se poi

È possibile dimostrare l'ortogonalità delle autofunzioni in un altro modo, non basandosi sulle loro espressioni esplicite, ma utilizzando solo un'equazione differenziale e condizioni al contorno. Lascia che sia due diversi autovalori, e sono le autofunzioni ad esse corrispondenti. Per definizione, queste funzioni soddisfano le equazioni

e condizioni di bordo. Moltiplica la prima delle equazioni per la seconda e sottrai l'una dall'altra.

> Onde longitudinali

Impara la propagazione, la direzione e la velocità onda longitudinale: quali onde sono longitudinali, come si propagano, esempi e fluttuazioni, come sorgono, grafico.

A volte le onde longitudinali sono chiamate onde di compressione. oscillare nella direzione di propagazione.

Compito di apprendimento

• Determinare le proprietà e gli esempi del tipo di onda longitudinale.

Punti chiave

• Le oscillazioni delle onde longitudinali si svolgono nella direzione di propagazione, ma sono troppo piccole e hanno posizioni di equilibrio, quindi non spostano la massa.
• Questo tipo può essere considerato come impulsi che trasportano energia lungo l'asse di propagazione.
• Possono anche essere percepite come onde di pressione con caratteristiche di compressione e rarefazione.

Termini

• La rarefazione è una diminuzione della densità di un materiale (principalmente per un liquido).
• Longitudinale - nella direzione della lunghezza dell'asse.
• La compressione è un aumento della densità.

Esempio

Cosa sono le onde longitudinali? Il miglior esempio è un'onda sonora. Accoglie gli impulsi derivanti dalla compressione dell'aria.

Onde longitudinali

Nella direzione della vibrazione, le onde longitudinali coincidono con la direzione del movimento. Cioè, il movimento del mezzo si trova nella stessa direzione del movimento dell'onda. Alcune onde longitudinali sono anche dette compressive. Se vuoi sperimentare, prendi un giocattolo Slinky (primavera) e tienilo su entrambe le estremità. Al momento della compressione e dell'indebolimento, l'impulso si sposterà fino alla fine.

Lo Slinky compresso è un esempio di onda longitudinale. Si propaga nella stessa direzione delle vibrazioni

Longitudinale (così come trasversale) non sposta la massa. La differenza è che ogni particella nel mezzo attraverso il quale si propaga onda longitudinale, oscillerà lungo l'asse di propagazione. Se pensi allo Slinky, le bobine oscillano in punti, ma non si muovono lungo la lunghezza della molla. Non dimenticare che non è la massa che viene trasportata qui, ma l'energia sotto forma di quantità di moto.

In alcuni casi, tali onde agiscono come onde di pressione. Il suono è un ottimo esempio. Si formano quando un mezzo (il più delle volte, aria) viene compresso. Onde sonore longitudinali - deviazione della pressione alternata dalla pressione bilanciata, che porta ad aree locali di compressione e rarefazione.

La materia in un mezzo viene periodicamente spostata da un'onda sonora e oscilla. Per produrre un suono, è necessario comprimere le particelle d'aria fino a una certa quantità. Così si formano le onde trasversali. Le orecchie reagiscono in modo sensibile alle diverse pressioni e traducono le onde in toni.

Sotto l'asta si intende il cilindro П=0х[О, /], quando IO" diam. Qui D- zona attiva piano delle coordinate Oh 2 x 3 (Fig. 62). Il materiale dell'asta è omogeneo e isotropo e l'asse Ox passa per il baricentro della sezione D. Il campo delle forze del corpo esterno f(r, IO)\u003d / (X |, /) e, dove e, è il vettore unitario dell'asse Ox. Lascia che le forze della superficie esterna sulla superficie laterale del cilindro siano uguali a zero, cioè RA= 0 acceso gg X

Quindi da (4.8) segue per 1=0 uguaglianza

Forme proprie Xk(j) è conveniente normalizzare usando la norma dello spazio /^() a cui appartiene la funzione v(s, io), poiché in ogni momento esiste ed è limitato dal funzionale dell'energia cinetica

dove S- area della regione D. abbiamo

X*(s) = Jj- sin^-l nello spazio delle velocità R 0 = ji)(s, /): v(s,t)e

Di conseguenza, otteniamo una base ortonormale |l r *(^)| ,

dove b a „- Simbolo Kronecker: Funzioni X k *(s), k= 1,2, sono le forme normali di oscillazioni naturali, e u*, k= 1, 2, ..., - frequenze di oscillazione naturali del sistema con un numero infinito di gradi di libertà.

In conclusione, notiamo che la funzione u(s, /) appartiene allo spazio di configurazione del sistema H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0), dove U ^ "OO, /]) è lo spazio delle funzioni di Sobolev sommato ai quadrati delle derivate prime sul segmento . Lo spazio R, è il dominio di definizione del funzionale energia potenziale di deformazioni elastiche

e contiene soluzioni generalizzate del problema in esame.