MECCANICA TEORICA

UDC 531.8:621.8

DM Kobylyansky, VF Gorbunov, VA Gogolin

COMPATIBILITÀ DI ROTAZIONE E OSCILLAZIONI DEI CORPI CON UN GRADO DI LIBERTÀ

Ritenere corpo piatto T, su cui si sovrappongono tre legami ideali, impedendo solo al corpo di muoversi in tutte le direzioni, come mostrato in Fig. 1a. Le connessioni sono punti A, B, C, situati ai vertici di un triangolo equilatero. Scegliendo un sistema di coordinate in modo che il suo centro coincida con il centro del triangolo e sia allineato con esso (Fig. 1a), abbiamo le coordinate dei legami: ^-Ld/e /2; -I / 2), dove I è la distanza dal centro del triangolo ai suoi vertici, cioè il raggio della circonferenza passante per i punti A, B, C. In questa posizione il corpo avrà un grado di libertà, solo se le normali al suo confine nei punti A, B, C si intersecano in un punto, che sarà il centro istantaneo delle velocità. In caso contrario, il numero di gradi di libertà del corpo è uguale a zero e non può solo spostarsi in avanti, ma anche eseguire un movimento rotatorio. Quando un corpo ha un grado di libertà, può iniziare a ruotare con il centro di rotazione istantaneo nel punto di intersezione delle normali precedenti. Sia questo punto l'origine delle coordinate, punto O. Se il centro di rotazione istantaneo non cambia posizione, l'unica forma possibile del corpo T è un cerchio di raggio R centrato nel punto O.

Il problema sorge: ci sono altre forme del corpo che gli consentono di ruotare rispetto a un centro mobile in modo che

il corpo del corpo passava continuamente per tre punti A, B, C senza interrompere queste connessioni? Nella letteratura a noi nota, un problema del genere non è stato considerato e, a quanto pare, è risolto per la prima volta.

Per risolvere questo problema, consideriamo innanzitutto il moto del triangolo ABC come un corpo rigido rispetto al sistema di coordinate X1O1Y1 associato al corpo T (Fig. 1b). Quindi, se il movimento del triangolo avviene in modo tale che i suoi vertici rimangano continuamente sul confine del corpo con una rotazione completa del triangolo di 360 °, il corpo eseguirà anche il movimento richiesto nella direzione opposta rispetto a il triangolo fisso ABC e il sistema di coordinate XOU associato.

Definiamo il moto del triangolo ABC come una rotazione attorno al centro O e uno spostamento del centro O lungo l'asse OіXi di /(r), lungo l'asse OіUi di g(t). Quindi l'equazione parametrica della traiettoria del punto A sarà simile a: уі=г-єо,?ґ + g(t), ґє (1)

Poiché per r=0 il punto O deve coincidere con il punto O1, la condizione /(0)= g(0)=0 deve essere soddisfatta. Richiediamo che quando si gira per l'angolo r=2n/3, il punto A coincide con il punto B1, il punto B coincide con il punto Ci e il punto C

Con il punto A1. Quando si gira per l'angolo r=4p/3, il punto A deve andare al punto C1, il punto B - al punto A1 e il punto C - al punto B1. La combinazione di questi requisiti per il movimento dei vertici del triangolo porta a condizioni sui valori delle funzioni di spostamento del centro di rotazione /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Le condizioni (2) sono soddisfatte da un'ampia classe di funzioni, in particolare funzioni della forma sin(3mt/2), dove m è un intero, e la loro combinazioni lineari con variabili nel caso generale coefficienti della forma:

H (r) \u003d ^ bm (r) 8n (3m / 2)

Inoltre, come

Fig. 1. Schema di calcolo: a) - la posizione di un corpo fisso e le sue connessioni nel sistema HOU; b) - la posizione del sistema fisso X1O1U1 associato alla scocca, e del sistema mobile XOU associato al triangolo ABC

Meccanica teorica

Fig.2. Forme dei corpi e traiettorie di moto dei loro centri di rotazione

Riso. 3. La posizione del corpo quando si gira di un angolo ri corrispondente alla traiettoria di movimento del suo centro di rotazione

funzioni di spostamento, si possono assumere funzioni che definiscono curve chiuse, quali, ad esempio, cicloidi, trocoidi, lemniscati, con opportuni parametri a seconda della condizione (2). In questo caso, tutte le possibili funzioni devono essere periodiche con un periodo di 2n/3.

Pertanto, il sistema di equazioni parametriche (1) con condizioni sui valori delle funzioni /(^, g(t) (2) o nella loro forma (3) fornisce l'equazione desiderata per il confine del corpo T. La figura 2 mostra esempi di possibili forme corporee che soddisfano le condizioni del problema. La traiettoria del centro di rotazione O1 è mostrata al centro di ogni figura e le connessioni puntuali A, B, C sono ingrandite per una migliore visualizzazione. Questi esempi mostralo anche viste semplici funzioni della classe definita dall'espressione (3) con coefficienti costanti, ci fornisce un insieme abbastanza ampio di curve che descrivono i confini dei corpi che ruotano e

fluttuazioni contemporaneamente con un solo grado di libertà. Le curve di confine a), c) in Fig. 2 corrispondono al movimento del centro di rotazione solo lungo l'asse orizzontale

ОіХі secondo la legge armonica, e apparentemente hanno due assi di simmetria e possono essere puramente convessi, ovali (Fig. 2a) o combinare convessità con concavità (Fig. 2b). Con una legge armonica verticale e orizzontale con la stessa ampiezza di movimento del centro di rotazione, le curve di confine perdono la loro simmetria (Fig. 2 c, d). Un effetto significativo della frequenza delle oscillazioni armoniche sulla forma della curva di confine del corpo è mostrato in Fig. 2 e, f Senza condurre in questo lavoro analisi completa influenza di ampiezza e frequenza sulla forma e proprietà geometriche curve al contorno, vorrei notare che gli esempi presentati in Fig. 2 mostrano già la possibilità di risolvere problemi tecnici scegliendo forma desiderata

corpo per combinarlo moto rotatorio con oscillazioni nel piano di rotazione.

Considerando ora il movimento del corpo relativo al sistema di coordinate XOY fisso associato al triangolo ABC, cioè passando dal sistema di coordinate X1O1Y1 al sistema di coordinate XOY, otteniamo quanto segue equazioni parametriche curva limite del corpo ad un dato angolo di rotazione p x=cosp-

Cosp(4)

oppure tenendo conto delle equazioni (1), le equazioni (4) assumono la forma x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Le equazioni (5) consentono di descrivere la traiettoria di un punto qualsiasi del corpo lungo la polarità data.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Riso. 4. Varianti delle forme del corpo con un numero diverso di legami, garantendo la compatibilità della rotazione e della vibrazione dei corpi

coordinate R,t. In particolare, per R=0, t=0 si ha un punto coincidente con l'origine Ob, ovvero il centro di rotazione, la cui traiettoria nello schema in esame è descritta dalle equazioni seguenti dalla (5):

* 0 \u003d -f (f) cos f + g (f) sin f, y0 \u003d - f (f) sin f-g (f) cos p.

La figura 3 mostra un esempio della posizione del corpo (Fig. 2b) quando ruota di un angolo φ, e al centro di ogni figura mostra la traiettoria del centro di rotazione

Оі , corrispondente alla rotazione del corpo attraverso questo angolo. È tecnicamente facile creare un'animazione

del movimento del corpo mostrato in Fig. 3 invece di un modello fisico, tuttavia, la struttura di un articolo di giornale può consentirlo solo in una versione elettronica. L'esempio mostrato era

Una generalizzazione del problema considerato è un sistema di n connessioni ideali sotto forma di punti situati ai vertici di un n-gon regolare, che impedisce solo movimenti traslazionali del corpo. Pertanto, come nel caso di un triangolo, il corpo può iniziare a ruotare attorno al centro di rotazione, che è il punto di intersezione delle normali al confine del corpo nei punti di connessione. In questo caso, l'equazione della traiettoria del punto del corpo A, posto sull'asse OY, e distanziata dal centro di rotazione ad una distanza R, avrà la stessa forma della (1). In questo caso prenderanno le condizioni per i valori delle funzioni di spostamento del centro di rotazione (2).

Kobylyansky Gorbunov

Dmitry Mikhailovich Valery Fedorovich

dottorando stazionario e - doc. tecnico. scienze, prof. bar cento

mezzi di trasporto fermi e mezzi di trasporto

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

La condizione (7) corrisponde a funzioni periodiche con un periodo di 2n/n, ad esempio 8m(n-m4/2), così come le loro combinazioni lineari della forma (3) e altre funzioni che descrivono curve chiuse. Un ragionamento simile al precedente porta alle stesse equazioni (4-6), che consentono di calcolare la forma del corpo, la sua posizione durante la rotazione e la traiettoria del centro di rotazione con vibrazioni del corpo coerenti con la rotazione. Un esempio di tali calcoli è la Fig. 4, in cui la linea tratteggiata mostra la posizione iniziale dei corpi, la linea continua mostra la posizione dei corpi quando si gira di un angolo l / 3 e al centro di ogni figura c'è il traiettoria completa del centro di rotazione quando il corpo è completamente ruotato. E sebbene in questo esempio venga considerato solo il movimento orizzontale del centro di rotazione O, come centro di un n-gon, i risultati ottenuti mostrano un'ampia gamma di possibili forme del corpo con un grado di libertà, combinando il movimento rotatorio con le vibrazioni in presenza di quattro, cinque e sei legami.

Il metodo ottenuto per calcolare la compatibilità dei movimenti di rotazione e oscillazione dei corpi con un grado di libertà può essere utilizzato anche senza aggiunte per i corpi spaziali in cui sono vietati i movimenti lungo la terza coordinata e le rotazioni in altri piani di coordinate.

Gogolin Vyacheslav Anatolievich

Dott. tecnico. scienze, prof. bar matematico applicato e

Come sapete, un corpo che non è limitato in alcun modo nei suoi movimenti si dice libero, poiché può muoversi in qualsiasi direzione. Quindi, ogni corpo rigido libero ha sei gradi di libertà di movimento. Ha la capacità di eseguire i seguenti movimenti: tre movimenti di traslazione, corrispondenti ai tre principali sistemi di coordinate, e tre movimenti di rotazione attorno a questi tre assi di coordinate.

L'imposizione di legami (fissaggio) riduce il numero di gradi di libertà. Quindi, se il corpo è fissato in uno dei suoi punti, non può muoversi lungo gli assi delle coordinate, i suoi movimenti sono limitati solo dalla rotazione attorno a questi assi, ad es. il corpo ha tre gradi di libertà. Nel caso in cui due punti siano fissi, il corpo ha un solo grado di libertà, può ruotare solo attorno a una linea (asse) passante per entrambi questi punti. E infine, con tre punti fissi che non giacciono sulla stessa linea, il numero di gradi di libertà è zero e non possono esserci movimenti del corpo. In una persona, l'apparato passivo del movimento è costituito da parti del suo corpo, chiamate collegamenti. Tutti sono interconnessi, quindi perdono la possibilità di tre tipi di movimenti lungo gli assi delle coordinate. Hanno solo la possibilità di rotazione attorno a questi assi. Pertanto, il numero massimo di gradi di libertà che un collegamento del corpo può avere in relazione a un altro collegamento ad esso adiacente è tre.

Questo si riferisce alle articolazioni più mobili del corpo umano, che hanno una forma sferica.

Collegamenti seriali o ramificati di parti del corpo (collegamenti) formano catene cinematiche.

Una persona si distingue:

• - catene cinematiche aperte avente un'estremità mobile libera, fissata solo ad una delle sue estremità (ad esempio un braccio rispetto al corpo);
• - catene cinematiche chiuse, fissato ad entrambe le estremità (ad esempio, vertebra - costola - sterno - costola - vertebra).

Va notato che ciò si applica alla potenziale gamma di movimento delle articolazioni. In realtà, in una persona vivente, questi indicatori sono sempre inferiori, il che è dimostrato da numerosi lavori di ricercatori domestici - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin e altri una persona vivente è influenzata da una serie di fattori legati a l'età, il sesso, le caratteristiche individuali, lo stato funzionale del sistema nervoso, il grado di allungamento muscolare, la temperatura ambiente, l'ora del giorno e, infine, cosa importante per gli atleti, il grado di forma fisica. Quindi, in tutte le articolazioni delle ossa (discontinue e continue), il grado di mobilità nei giovani è maggiore che negli anziani; le donne in media più degli uomini. La quantità di mobilità è influenzata dal grado di allungamento di quei muscoli che si trovano sul lato opposto al movimento, nonché dalla forza dei muscoli che producono questo movimento. Più elastico è il primo di questi muscoli e più forte è il secondo, maggiore è la gamma di movimento in una data articolazione delle ossa e viceversa. È noto che in una stanza fredda i movimenti hanno una portata minore rispetto a una calda, al mattino sono minori che alla sera. L'uso di diversi esercizi influisce sulla mobilità delle articolazioni in modi diversi. Quindi, l'allenamento sistematico con esercizi di "flessibilità" aumenta il raggio di movimento delle articolazioni, mentre gli esercizi di "forza", al contrario, lo riducono, portando alla "schiavitù" delle articolazioni. Tuttavia, una diminuzione della gamma di movimento delle articolazioni durante l'applicazione di esercizi di forza non è assolutamente inevitabile. Può essere prevenuto con la giusta combinazione di esercizi di forza con esercizi di stretching per gli stessi gruppi muscolari.

Nelle catene cinematiche aperte del corpo umano, la mobilità è calcolata in decine di gradi di libertà. Ad esempio, la mobilità del polso rispetto alla scapola e la mobilità del tarso rispetto al bacino hanno ciascuna sette gradi di libertà e le punte delle dita della mano rispetto al torace hanno 16 gradi di libertà. Se sommiamo tutti i gradi di libertà degli arti e della testa rispetto al corpo, allora questo sarà espresso dal numero 105, che è composto dalle seguenti posizioni:

• - testa - 3 gradi di libertà;
• - mani - 14 gradi di libertà;
• - gambe - 12 gradi di libertà;
• - mani e piedi - 76 gradi di libertà.

Per confronto, segnaliamo che la stragrande maggioranza delle macchine ha un solo grado di libertà di movimento.

Nei giunti sferici sono possibili rotazioni attorno a tre assi reciprocamente perpendicolari. Il numero totale di assi attorno ai quali sono possibili rotazioni in questi giunti è infinitamente grande. Pertanto, per quanto riguarda gli snodi sferici, possiamo dire che i collegamenti che in essi si articolano fuori dei possibili sei gradi di libertà di movimento hanno tre gradi di libertà e tre gradi di connessione.

Le articolazioni con due gradi di libertà di movimento e quattro gradi di connettività hanno una mobilità minore. Questi includono giunti di forma ovoidale o ellittica e a sella, ad es. biassiale. Possono muoversi attorno a questi due assi.

Un grado di libertà di mobilità e, allo stesso tempo, cinque gradi di connettività hanno collegamenti del corpo in quelle articolazioni che hanno un asse di rotazione, ad es. avere due punti fissi.

Nella parte predominante delle articolazioni del corpo umano ci sono due o tre gradi di libertà. Con diversi gradi di libertà di movimento (due o più), sono possibili infinite traiettorie. Le articolazioni delle ossa del cranio hanno sei gradi di connettività e sono immobili. La connessione delle ossa con l'aiuto della cartilagine e dei legamenti (sincondrosi e sindesmosi) può in alcuni casi avere una mobilità significativa, che dipende dall'elasticità e dalle dimensioni delle formazioni di tessuto cartilagineo o connettivo situate tra queste ossa.

Vibrazioni con diversi gradi di libertà.

Brevi informazioni dalla teoria.

Sistemi con n potenzelibertàè consuetudine in dinamica chiamare tali sistemi, per la fissazione completa dello stato geometrico di cui in ogni momento è necessario impostare P parametri, ad esempio posizione (flessioni) P punti. La posizione degli altri punti è determinata dai metodi statici usuali.

Un esempio di sistema con P una trave o un telaio piatto possono fungere da gradi di libertà se le masse delle sue singole parti o elementi sono convenzionalmente (per facilitare il calcolo dinamico) considerate concentrate in P punti, o se porta n grandi masse (motori, motori), rispetto alle quali è possibile trascurare il peso proprio degli elementi. Se le singole masse concentrate ("punto") possono muoversi in due direzioni durante le vibrazioni, allora il numero di gradi di libertà del sistema sarà uguale al numero di vincoli che dovrebbero essere imposti al sistema per eliminare gli spostamenti di tutti masse.

Se un sistema con n gradi di libertà viene portato fuori equilibrio, allora funzionerà vibrazioni libere , e ogni "punto" (massa) eseguirà complesse oscillazioni poliarmoniche del tipo:

Costanti A io e B io dipende da condizioni iniziali moto (deviazioni di masse dal livello statico e velocità al momento T=0). Solo in alcuni casi particolari di eccitazione di oscillazioni, il moto poliarmonico per singole masse può trasformarsi in un moto armonico, cioè come in un sistema con un grado di libertà:

Il numero di frequenze naturali del sistema è uguale al numero dei suoi gradi di libertà.

Per calcolare le frequenze naturali, è necessario risolvere il cosiddetto determinante di frequenza, scritto in questa forma:

Questa condizione in forma espansa fornisce l'equazione P esimo grado da determinare P valori ω 2 , che è chiamata equazione delle frequenze.

Attraverso δ 11, δ 12, δ 22, ecc. sono indicati i possibili movimenti. Quindi, δ 12 è lo spostamento nella prima direzione del punto di localizzazione della prima massa da una forza unitaria applicata nella seconda direzione al punto di localizzazione della seconda massa, ecc.

Con due gradi di libertà, l'equazione della frequenza assume la forma:

Da cui per due frequenze abbiamo:

Nel caso in cui l'individuo metta M io può eseguire, unitamente a movimenti lineari, anche movimenti rotatori o solo rotatori, quindi io-esima coordinata sarà l'angolo di rotazione, e nel determinante di frequenza la massa

m io deve essere sostituito dal momento d'inerzia della massa J io; rispettivamente, eventuali movimenti in direzione io-esima coordinata ( δ io 2 , δ io 2 ecc.) saranno spostamenti angolari.

Se una massa oscilla in più direzioni - io-mu e K-mu (ad esempio, lungo la verticale e l'orizzontale), quindi tale massa partecipa più volte al determinante sotto i numeri M io loro K e corrisponde a diversi possibili spostamenti ( δ ii, δ kk, δ ik, eccetera.).

Si noti che ogni frequenza naturale ha una sua forma speciale di oscillazione (la natura dell'asse curvo, la linea di deflessione, spostamenti, ecc.), che in alcuni casi speciali può rivelarsi una valida forma di oscillazione, se solo le oscillazioni libere sono propriamente o eccitate (opportuni impulsi di selezione, punti della loro applicazione, ecc.). In questo caso le oscillazioni del sistema verranno eseguite secondo le leggi del moto del sistema con un grado di libertà.

Nel caso generale, come segue dall'espressione (9.1), il sistema esegue oscillazioni poliarmoniche, ma è ovvio che qualsiasi linea elastica complessa, in cui si riflette l'influenza di tutte le frequenze naturali, può essere scomposta in componenti di forma separate, ciascuna di che corrisponde alla propria frequenza. Il processo di tale scomposizione della vera forma delle oscillazioni in componenti (necessaria quando si risolvono complessi problemi di dinamica degli edifici) è chiamato decomposizione secondo le forme delle oscillazioni naturali.

Se in ogni massa, più precisamente, nella direzione di ogni grado di libertà, applichiamo una forza perturbatrice che varia nel tempo secondo la legge armonica

oppure , che è indifferente per quanto segue, e le ampiezze delle forze per ciascuna massa sono diverse, e la frequenza e le fasi sono le stesse, quindi con l'azione prolungata di tali forze perturbatrici, il sistema eseguirà oscillazioni forzate costanti con la frequenza della forza motrice. Ampiezze di movimento nella direzione di qualsiasi io-il titolo in questo caso sarà:

dove il determinante D è scritto secondo la (9.2) con ω sostituito da θ e, quindi, D≠0; D ioè definito dall'espressione:

quelli. io La colonna del determinante D è sostituita da una colonna composta da un membro della forma: Per il caso di due gradi di libertà: (9.6)

E corrispondentemente

Quando si calcolano le vibrazioni forzate di travi di sezione trasversale costante, che trasportano masse concentrate (Fig. 9.1).

È più facile, tuttavia, utilizzare le seguenti formule per le ampiezze di deflessione, angolo di rotazione, momento flettente e forza di taglio in qualsiasi sezione della trave:

(9.7)

dove y 0 , φ 0 , m 0 , Q 0 sono le ampiezze di deflessione, rotazione, momento e forza trasversale della sezione iniziale (parametri iniziali); M io e J i- massa e suo momento d'inerzia (masse concentrate); il segno ∑ si applica a tutte le forze e masse concentrate poste dalla sezione iniziale a quella esaminata.

Queste formule (9.7) possono essere utilizzate anche per calcolare le frequenze naturali, per le quali è necessario considerare le forze perturbatrici ∑ Rio e momenti ∑ mio uguale a zero, sostituire la frequenza delle oscillazioni forzate θ con la frequenza delle oscillazioni naturali ω e, supponendo l'esistenza di oscillazioni (oscillazioni libere), scrivere le espressioni (9.7) in relazione a sezioni in cui si trovano masse concentrate e le ampiezze sono già note ( sezioni di riferimento, asse di simmetria, ecc.). Otteniamo un sistema di equazioni lineari omogenee. Uguagliando a zero il determinante di questo sistema, saremo in grado di calcolare le frequenze naturali.

Risulta opportuno utilizzare le espressioni (9.4) e (9.5) per determinare le ampiezze ( y 0 , φ 0 , ecc.) quando X=0, e quindi utilizzando (9.7) per calcolare tutti gli altri elementi di deflessione.

Più difficile è il problema del calcolo dei moti di un sistema a più gradi di libertà sotto l'azione di un carico arbitrario, variabile nel tempo e applicato a masse diverse.

Quando si risolve un problema del genere, è necessario procedere come segue:

a) determinare le frequenze naturali e le forme delle vibrazioni naturali;

b) raggruppare il carico dato tra le masse o, come si suol dire, decomporsi secondo i modi delle oscillazioni naturali. Il numero di gruppi di carico è uguale al numero di frequenze naturali del sistema;

c) dopo aver eseguito le due operazioni ausiliarie di cui sopra, effettuare un calcolo per ciascun gruppo di carichi secondo formule note dalla teoria delle oscillazioni di un sistema ad un grado di libertà, e la frequenza delle oscillazioni naturali in queste formule è considerata la uno che corrisponde a questo gruppo di carico;

d) vengono riassunte soluzioni particolari per ciascuna categoria di carichi, che determinano la soluzione finale del problema.

La definizione delle frequenze naturali viene effettuata secondo (9.2). Per quanto riguarda l'identificazione delle forme di vibrazioni naturali, qui è necessario essere guidati dalla proprietà principale di qualsiasi forma di vibrazioni naturali, che è una linea di influenza della deflessione da forze (il cui numero è pari alla numero di gradi di libertà) proporzionale al prodotto delle masse e delle ordinate delle deviazioni dei punti di attacco delle masse. A parità di massa, la forma delle oscillazioni naturali rappresenta una linea di deflessione da forze proporzionali alle ordinate della deflessione; il diagramma di carico è simile al diagramma di deflessione.

La frequenza più bassa corrisponde alla forma più semplice di oscillazione. Per le travi, molto spesso questa forma corrisponde strettamente all'asse curvo del sistema sotto l'influenza del proprio peso. Se questa struttura è meno rigida in qualsiasi direzione, ad esempio in direzione orizzontale, per rivelare la natura dell'asse curvo desiderato, è necessario applicare condizionalmente il proprio peso in questa direzione.

Le oscillazioni di un sistema con più gradi di libertà, che hanno importanti applicazioni pratiche, differiscono dalle oscillazioni di un sistema con un grado di libertà per un certo numero di caratteristiche essenziali. Per dare un'idea di queste caratteristiche, si consideri il caso delle oscillazioni libere di un sistema a due gradi di libertà.

Lascia che la posizione del sistema sia determinata da coordinate generalizzate e che il sistema sia in equilibrio stabile a . Quindi le energie cinetiche e potenziali del sistema, fino ai quadrati di piccoli valori, si trovano allo stesso modo delle uguaglianze (132), (133), e possono essere rappresentate come:

dove i coefficienti inerziali ei coefficienti quasi elastici sono valori costanti. Se utilizziamo due equazioni di Lagrange della forma (131) e sostituiamo in esse questi valori di T e P, otteniamo le seguenti equazioni differenziali per piccole oscillazioni di un sistema con due gradi di libertà

Cercheremo la soluzione delle equazioni (145) nella forma:

dove A, B, k, a sono costanti. Sostituendo questi valori nelle equazioni (145) e riducendo di otteniamo

Affinché le equazioni (147) forniscano soluzioni per A e B diverse da luglio, il determinante di questo sistema deve essere uguale a zero, altrimenti i coefficienti di A e B nelle equazioni devono essere proporzionali, cioè

Da qui, per la definizione, otteniamo la seguente equazione, chiamata equazione delle frequenze.

Le radici di questa equazione sono reali e positive; ciò è dimostrato matematicamente, ma può anche essere giustificato dal fatto che altrimenti le equazioni (145) non saranno reali e non avranno soluzioni della forma (146), che non può essere per un sistema in equilibrio stabile (dopo le perturbazioni, si deve avvicinarsi alla posizione

Definita nz (149) , troviamo due insiemi di soluzioni particolari della forma (146). Considerando che in base a queste decisioni:

dove e sono i valori che ottengo da (148) con e rispettivamente.

Le oscillazioni definite dalle equazioni (150) e (151) sono dette oscillazioni principali e le loro frequenze ek sono le frequenze naturali del sistema. In questo caso, un'oscillazione con una frequenza (sempre variabile) è chiamata la prima oscillazione principale e con una frequenza la seconda oscillazione principale. I numeri che determinano i rapporti delle ampiezze (o le coordinate stesse, cioè) in ciascuna di queste oscillazioni sono detti coefficienti della forma.

Poiché le equazioni (145) sono lineari, anche le somme di soluzioni particolari (150) e (151) saranno soluzioni di queste equazioni:

Le uguaglianze (152), contenenti quattro costanti arbitrarie determinate dalle condizioni iniziali, danno la soluzione generale delle equazioni (145) e determinano la legge delle piccole oscillazioni del sistema. le oscillazioni sono composte da due oscillazioni principali con frequenze e non sono armoniche. In casi particolari, in opportune condizioni iniziali, il sistema può eseguire una delle oscillazioni principali (ad esempio la prima se ) e l'oscillazione sarà armonica.

Le frequenze naturali ei fattori di forma non dipendono dalle condizioni iniziali e sono le caratteristiche principali delle piccole oscillazioni del sistema; la soluzione di problemi specifici si riduce solitamente alla determinazione di queste caratteristiche.

Confrontando i risultati di questa e delle sezioni precedenti, si può avere un'idea di cosa si ridurrà lo studio delle oscillazioni smorzate e forzate di un sistema a due gradi di libertà. Non lo considereremo, noteremo solo che durante le oscillazioni forzate, la risonanza di un tale sistema può verificarsi due volte: at e at ( è la frequenza della forza perturbatrice). Notiamo infine che le oscillazioni di un sistema con s gradi di libertà saranno composte da s oscillazioni con frequenze che devono essere determinate dall'equazione dei gradi s rispetto a Ciò è dovuto a notevoli difficoltà matematiche che possono essere superate con l'aiuto di macchine elettroniche (o analogiche).

Problema 185. Determinare le frequenze naturali ei coefficienti della forma di piccole oscillazioni di un doppio pendolo fisico formato da aste e 2 della stessa massa e lunghezza l (Fig. 374, a).

Soluzione. Scegliamo piccoli angoli come coordinate generalizzate. Quindi , dove e, con la precisione di calcolo richiesta, . Infine

Secondo (3.7), il sistema di equazioni per II=2 sembra:

Trattandosi di vibrazioni libere, il lato destro del sistema (3.7) è preso uguale a zero.

Stiamo cercando una soluzione nella forma

Dopo aver sostituito la (4.23) nella (4.22), otteniamo:

Questo sistema di equazioni è valido per un arbitrario T, pertanto, le espressioni racchiuse tra parentesi quadre sono nulle. Si ottiene così un sistema lineare di equazioni algebriche rispetto ad A e IN.

Una soluzione banale ovvia a questo sistema l= Ah, B = O secondo (4.23) corrisponde all'assenza di vibrazioni. Tuttavia, insieme a questa soluzione, esiste anche una soluzione non banale A * O, VF 0 a condizione che il determinante del sistema A ( a 2) è uguale a zero:

Questo determinante è chiamato frequenza, e l'equazione è relativa k - equazione della frequenza. La funzione ampliata A(k 2) può essere rappresentato come

Riso. 4.5

Quando RcYa - ^2 > ® e con n ^-4>0 grafico A (k2) ha la forma di una parabola che interseca l'asse x (Fig. 4.5).

Mostriamo che le disuguaglianze di cui sopra valgono per le oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. Trasformare l'espressione per energia cinetica nel seguente modo:

In Q, = 0 abbiamo T = 0,5a.

Successivamente, dimostriamo che le radici dell'equazione della frequenza (4.25) sono due valori positivi a 2 e a 2(nella teoria delle oscillazioni, un indice più piccolo corrisponde a una frequenza più bassa, cioè k ( A questo scopo, introduciamo prima il concetto di frequenza parziale. Questo termine è inteso come la frequenza naturale di un sistema con un grado di libertà ottenuto dal sistema originale fissando tutte le coordinate generalizzate, tranne una. Quindi, ad esempio , se nella prima delle equazioni del sistema noi (4.22) accettiamo q 2 = 0, allora sarà la frequenza parziale p (=yjc u /a n. Allo stesso modo, fissando p 2 ~^c p / a 21 .

Affinché l'equazione della frequenza (4.25) abbia due radici reali a x e K 2, è necessario e sufficiente che, in primo luogo, il grafico della funzione A (a 2) a k = 0 avrebbe un'ordinata positiva e, in secondo luogo, in modo che incroci l'asse x. Il caso delle frequenze multiple a (= a. ), così come la scomparsa della frequenza più bassa, non viene qui considerata. La prima di queste condizioni è soddisfatta, poiché q (0) \u003d c „ c 22 - con e> 0 È facile verificare la validità della seconda condizione sostituendo in dipendenza (4.25) k = k = p 2; mentre A(p, 2) Informazioni di questo tipo nei calcoli ingegneristici facilitano previsioni e stime.

I due valori di frequenza ottenuti a, E a 2 corrispondono a soluzioni parziali della forma (4.23), quindi la soluzione generale ha la seguente forma:

Pertanto, ciascuna delle coordinate generalizzate partecipa a un complesso processo oscillatorio, che è l'aggiunta di movimenti armonici con frequenze, ampiezze e fasi diverse (Fig. 4.6). Frequenze kt e a 2 sono generalmente incommensurabili, quindi qvc, non sono funzioni periodiche.

Riso. 4.6

Il rapporto tra le ampiezze delle oscillazioni libere a una frequenza naturale fissa è chiamato fattore di forma. Per un sistema con due gradi di libertà, i coefficienti di forma (3.= BJA." sono determinati direttamente dalle equazioni (4.24):

Pertanto, i coefficienti della forma p, = B 1 /A [ e r.,= V., / A., dipendono solo dai parametri del sistema e non dipendono dalle condizioni iniziali. I coefficienti di forma si caratterizzano per la frequenza naturale considerata a. distribuzione delle ampiezze lungo il circuito oscillatorio. La combinazione di queste ampiezze forma il cosiddetto forma di oscillazione.

Un fattore di forma negativo significa che le oscillazioni sono in antifase.

Quando si utilizzano programmi per computer standard, a volte usano coefficienti di forma normalizzati. Questo termine è inteso

In coefficiente p'r indice io corrisponde al numero di coordinate e all'indice G- numero di frequenza È ovvio che o È facile vedere che p*

Nel sistema di equazioni (4.28), le restanti quattro incognite A g A 2, oc, cx 2 sono determinati utilizzando le condizioni iniziali:

La presenza di una forza di resistenza lineare, proprio come in un sistema con un grado di libertà, porta allo smorzamento delle oscillazioni libere.

Riso. 4.7

Esempio. Determiniamo le frequenze naturali, le frequenze parziali e i fattori di forma per il sistema oscillatorio mostrato in Fig. 4.7, ma. Prendendo come coordinate generalizzate gli spostamenti assoluti di massa.r, = qv x 2 = q. R Scriviamo le espressioni per le energie cinetiche e potenziali:

In questo modo,

Dopo la sostituzione nelle equazioni di frequenza (4.25), otteniamo

Inoltre, secondo (4.29)

Sulla fig. 4.7, B vengono fornite le forme d'onda. Nella prima forma di oscillazione, le masse si muovono in modo sincrono in una direzione e nella seconda nella direzione opposta. Inoltre, in quest'ultimo caso, è apparsa una sezione trasversale N, non partecipando al processo oscillatorio con la propria frequenza kr Questo cosiddetto nodo di oscillazione.